Termodynamikkens første hovedsætning
|
|
- Frederik Skaarup
- 1 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Statistisk mekanik 2 Side 1 af 13 Termodynamikkens første hovedsætning Inden for termodynamikken kan energi overføres på to måder: I form af varme Q: Overførsel af atomar/molekylær bevægelsesenergi på det mikroskopiske plan som følge af temperaturforskelle. I form af arbede W: Makroskopisk forskydning af en krafts angrebspunkt. Endvidere opereres med begrebet indre energi E, hvorved forstås den kinetiske og potentielle energi forbundet med bevægelsen af et systems atomer og molekyler 1 i forhold til systemets massemidtpunkt 2. Termodynamikkens første hovedsætning (TI) Δ E = Q W (2.1) udtrykker således energibevarelse 3, idet et systems tilvækst i indre energi er lig den tilførte varmeenergi til systemet fratrukket det arbede, som systemet udfører på sine omgivelser. 1 Den del af den indre energi, som knytter sig til selve bevægelsen af et legemes atomer/molekyler, kaldes den termiske energi E term. Et legemes temperatur er i den forbindelse udtryk for den gennemsnitlige bevægelsesenergi af legemets enkelte atomer/molekyler. Den termiske energi er således en ekstensiv tilstandsvariabel, hvorimod temperaturen er ensiv. Den del af den indre energi, som knytter sig til den indbyrdes vekselvirkning atomer og molekyler imellem, kaldes på engelsk bond energy E. bond En ideal gas er således kendetegnet ved E = 0 og dermed E = E, svarende til at den indre energi af en ideal gas bond term kun afhænger af temperaturen. 2 Energien knyttet til systemets bevægelse som sådan er således ikke inkluderet. 3 Bemærk, at denne energibevarelse hviler på en sidestilling af det termodynamiske begreb varme og det mekaniske begreb arbede. Formuleringen af termodynamikkens første hovedsætning i midten af 1800-tallet på baggrund af bla. James Joules opdagelser førte således til den erkendelse, at termodynamik og mekanik er to sider af samme sag.
2 Statistisk mekanik 2 Side 2 af 13 Helmholtz-funktionen Helmholtz-funktionen, som defineres i det flg., angiver en øvre grænse for det arbede, som kan udføres i en proces, hvor temperaturen er uændret. Betragt derfor et system, som under vekselvirkning med et varmereservoir 4 med temperaturen T undergår en proces, hvori systemets start- og sluttemperatur er denne temperatur T 5. Betragtes systemet og reservoiret tilsammen som et isoleret system, haves fra udtryk (1.15) samt TII: Q Δ S+Δ SR =ΔS 0 : T hvor ΔS og TΔS Q, (2.2) Δ SR er entropitilvæksten for hhv. det betragtede system og varmereservoiret, og hvor Q er varmetilførslen fra reservoiret til systemet 6. Vha. TI findes flg. øvre grænse for det af systemet udførte arbede: TΔS Δ E + W : T W Δ E + TΔ S, (2.3) T idet W T er arbedet udført ved en proces med samme start- og sluttemperatur T. 4 Et system med uendelig stor varmekapacitet, sådan at temperaturen altid er den samme. 5 Det er således underforstået, at systemet til såvel start som slut er i en tilstand af termisk ligevægt, idet T i modsat fald ikke ville være defineret. Derimod behøver systemet ikke at være i termisk ligevægt underves i processen, og den omtalte proces er således ikke nødvendigvis isoterm. 6 Q er dermed varmetilførslen fra systemet til reservoiret.
3 Statistisk mekanik 2 Side 3 af 13 Indføres Helmholtz-funktionen som flg. tilstandsvariabel 7 : kan udtryk (2.3) skrives 8 F E TS, (2.4) WT Δ F. (2.5) Den øvre grænse for arbedet udført i en proces mellem to tilstande med samme temperatur er således givet ved Helmholtz-funktionens aftagen mellem de to tilstande. Da Helmholtz-funktionens aftagen således angiver den øvre grænse for, hvor meget energi, der kan omdannes ( blive frigort ) til arbede, kaldes F også systemets Helmholtz-frie energi. En tilvækst i Helmholtz-funktionen kræver således, at der bliver udført arbede på systemet ( W < 0) T, svarende til at F enten aftager eller forbliver konstant i spontant forløbende processer mellem to tilstande med samme T. Som bemærket i forbindelse med TII optræder der lighedstegn i udtryk (2.2), (2.3) og dermed i udtryk (2.5), hvis processen er reversibel, og skarpt ulighedstegn, hvis processen er irreversibel. Det udførte arbede antager således sin maksimale værdi for en reversibel proces. 7 I SM6 indføres den generaliserede Helmholtz-funktion energi også indeholder systemets potentielle energi i et eller flere konservative kraftfelter. 8 Eftersom at Δ F = ΔE TΔS SΔ T for denne proces, hvor Δ T = 0. * F = E TS, hvor E = E + E udover systemets indre pot
4 Statistisk mekanik 2 Side 4 af 13 Gibbs-funktionen Udført arbede i en infinitesimal proces kan skrives som en sum af produkter mellem en ensiv tilstandsvariabel 9 Y og en infinitesimal tilvækst i en tilhørende ekstensiv tilstandsvariabel X: dw. (2.6) = YidX i i Det mest velkendte eksempel 10 fra termodynamikken på et sådant YdX -arbede er PdV -arbedet W PdV = PdV. (2.7) Gibbs-funktionen, som indføres i det flg., angiver den øvre grænse for arbedet fraregnet YdX -arbedet i en proces, hvor såvel T som Y er uændrede. I det tilfælde hvor Y = P og X = V haves således hvor PdV PdV W W W PdV W således er arbedet fraregnet PdV -arbedet. = +, (2.8) 9 Se fodnote 24 i SM1. 10 Et andet eksempel hentet fra elektricitetslæren er det arbede dw = E dp = E dp, som det kræver at forøge proektionen af et systems elektriske dipolmoment p på et elektrostatisk felt E. Hvis E-feltet er upåvirket af denne tilvækst i systemets dipolmoment, er det samlede arbede, som systemet skal udføre på sine omgivelser (feltet) givet ved W = dw = E dp = p. E Dette arbede er minus det arbede, som feltet (Coulombkraften) skal udføre på systemet, og dermed ifølge EM2 lig systemets elektrostatiske energi E, hvilket fremgår af EM udtryk (3.5). el Bemærk, at p er proportional med ladning og dermed med stofmængde og således er et eksempel på en ekstensiv tilstandsvariabel X, hvorimod E er et eksempel på en ensiv tilstandsvariabel Y. Magnetiske dipoler ville f. EM udtryk (8.23) udgøre et helt tilsvarende eksempel. i { x, y, z} i i
5 Statistisk mekanik 2 Side 5 af 13 Hvis processen beskrevet i afsnittet om Helmholtz-funktionen ydermere har samme start- og sluttryk P, fås fra udtryk (2.5), (2.7) og (2.8): W + W = PΔV + W Δ F : PdV PdV PdV TP, TP, TP, PdV W TP, ΔF PΔV. (2.9) Indføres Gibbs-funktionen kan udtryk (2.9) skrives G F + PV = E TS + PV, (2.10) PdV TP, W Δ G. (2.11) Den øvre grænse for ikke- PdV -arbedet udført i en proces mellem to tilstande med samme temperatur og tryk er således givet ved Gibbs-funktionens aftagen mellem de to tilstande. Generelt defineres Gibbs-funktionen således G F + YX = E TS + YX, (2.12) svarende til at Gibbs-funktionens aftagen angiver den øvre grænse for ikke-ydx - arbedet udført i en proces mellem to tilstande med samme T og Y. YdX TY, W Δ G. (2.13) Analogt til Helmholtz-funktionen kaldes G systemets Gibbs-frie energi, og der er ligeledes lighedstegn hhv. skarpt ulighedstegn i udtryk (2.11) og (2.13) for hhv. reversible og irreversible processer. Bemærk, at da E, S og X er ekstensive tilstandsvariable, er både F og G det også.
6 Statistisk mekanik 2 Side 6 af 13 Første og anden hovedsætning kombineret Ved at kombinere TI for et PVT-system 11 med den differentielle variant af udtryk (1.15), fås: 12 dqr = TdS, (2.14) TdS = de + PdV. (2.15) Som ekstensive tilstandsvariable skalerer S, E og V med stofmængden n. Udtryk (2.15) har således flg. mol-specifikke variant 13 : Tds = de + Pdv, (2.16) hvor s Sn, e E n og v V n, ligesom T og P, er ensive tilstandsvariable. 11 Et system fuldt beskrevet ved P, V og T, hvor der dermed udelukkende udføres -arbede PdV ( Y P, X V) = =, sådan at dw = PdV 12 Udtryk (2.14) og (2.7) knytter sig til reversible processer, men bemærk, at udtryk (2.15) ikke knytter sig til nogen proces, men beskriver sammenhængen mellem tilstandsvariable i nabo-ligevægtstilstande. 13 For to systemer, der er ens i alle andre henseender end stofmængden, og som derfor har samme fysiske egenskaber, vil udtryk (2.15) have to forskellige varianter, hvorimod udtryk (2.16) vil være det samme for de to systemer.
7 Statistisk mekanik 2 Side 7 af 13 Kemisk Potential I dette afsnit indføres begrebet kemisk potential μ. Et systems bestanddele 14 vil søge mod lavest muligt kemisk potential (deraf navnet), og det kemiske potential indgår derfor i beskrivelsen af hvilke kemiske processer, der kan forekomme. Endvidere indgår μ ifølge SM3 i de såkaldte fordelingsfunktioner, herunder Fermi- Dirac-fordelingen. I det flg. roduceres begrebet som led i beskrivelsen af en simpel proces, og efterfølgende præsenteres en formel definition. To ideale gassers irreversible diffusion Betragt en beholder med rumfang V, der består af to adskilte rum indeholdende hhv. og n mol af to forskellige ideale n1 2 gasser, som begge er kendetegnet ved trykket P og temperaturen T. PV,, T n 1 n 2 Når adskillelsen fernes, og de to gasser diffunderer ind i hinanden, vil der med tiden opstå en ny ligevægtstilstand, som, idet gasserne er ideale 15, vil have uændret temperatur T og tryk hvor p er partialtrykket 16,17. P= p1+ p 2 (2.17) 14 Forskellige stoffer ( stof-bestanddele ) eller samme stof i forskellige faser. 15 En ideal gas er kendetegnet ved, at gasmolekylerne ikke vekselvirker med hinanden. I modsat fald ville en kemisk reaktion mellem to typer gasmolekyler f.eks. kunne føre til en temperaturændring. 16 Partialtrykket p er det tryk, som den te gas ville have givet anledning til, hvis den havde været alene i beholderen. 17 Jf. udtryk (2.17) er p < P, eftersom de to gasser efter diffusionen er spredt ud over et større rumfang.
8 Statistisk mekanik 2 Side 8 af 13 Da Gibbsfunktionen er ekstensiv, er systemets samlede Gibbsfunktion givet ved G= G + G ng. 2 2 = ng + Det kan vises, at den molspecifikke Gibbsfunktion for en ideal gas, for hvilken kan antages konstant, kan skrives ( ln φ ( )) hvor φ ( T ) ses at være en enhedsløs funktion af T. (2.18) g = RT P+ T, (2.19) c P Gibbsfunktionen før og efter diffusionen er dermed ifølge udtryk (2.18) og (2.19) hhv. G = n g + n g i 1 1i 2 2i T( P ) n R T ( P ) = nr 1 ln + φ1 + 2 ln + φ 2, Gf = ng 1 1f + n2g2 f = nrt( ln p + φ ) + nrt ( l n p + φ ), idet den te gas efter diffusionen giver anledning til partialtrykket p. (2.20) (2.21) De to gassers mol-andele er og ifølge idealgasligningen er sådan at 18 n x, n= n1+ n2, (2.22) n n = pv PV, n, RT = R (2.23) T x p =. (2.24) P 18 Mol-andelen og tryk-andelen er nødvendigvis ens, eftersom stofmængden og trykket er proportionale for en ideal gas.
9 Statistisk mekanik 2 Side 9 af 13 Ifølge udtryk (2.24) er ln p = ln P+ ln x, (2.25) sådan at udtryk (2.21) kan skrives f ( ln ln φ ) ( ln ln x φ ) G = nr 1 T P+ x n2rt P (2.26) Indføres det kemiske potential af den te gas: kan udtryk (2.21) skrives ( ln p φ ) μ = RT + f , (2.27) G = nμ + n μ. (2.28) Ved den irreversible diffusionsproces er tilvæksten i Gibbsfunktionen ifølge udtryk (2.20) og (2.28) ( μ ) ( μ ) Δ G= n g + n g i (2.29) 1 1 1i G = nrtln x + n RTln x. (2.30) Alternativt, vha. udtryk (2.26): 19 Δ Kemisk potential Ved sammenligning af udtryk (2.29) og (2.30) ses, at det kemiske potential af en bestanddel er μ g + RTln x, (2.31) hvor x er mol-andelen af den pågældende bestanddel, og hvor g er den mol-specifikke Gibbsfunktion for bestanddelen ved systemets samlede tryk P Bemærk, at da x < 1, er ln x < 0, og dermed er Δ G > 0 hvilket er i overensstemmelse med udtryk (2.11) for PdV denne irreversible proces med uændret tryk og temperatur, hvori der ikke bliver udført ikke- PdV -arbede (W = 0 )., 20 I modsætning til bestanddelens partialtryk. T P
10 Statistisk mekanik 2 Side 10 af 13 μ er således en ensiv tilstandsvariabel, og μ = g, hvis der kun er én bestanddel i systemet ( x = 1). Ved indsættelse af udtryk (2.19) og (2.25) ses udtryk (2.31) at være identisk med udtryk (2.27). Bemærk, at udtrykkene for g og μ i udtryk (2.19) og (2.27) er identiske, bortset fra at g er udtrykt ved det samlede tryk P, hvor μ er udtrykt ved partialtrykket p. 21 Åbne systemer Indtil nu har alle betragtede systemer underforstået været lukkede. Udtryk (2.15), de = TdS PdV, (2.32) gælder således for et lukket PVT-system beskrevet ved en tilstandsligning f ( P, V, T; n ) = 0 22, hvori n er en parameter 23 og ikke en variabel. Et lukket PVT-system således kendetegnet ved 2 frihedsgrader, idet fastlæggelse af to af de tre variable gennem tilstandsligningen vil fastlægge den trede. Alle tilstandsvariable vil således kunne fastlægges ud fra to andre, sådan at man ved at vælge S og V som uafhængige variable f.eks. har E E de = ds + dv S V V S som ved sammenligning med udtryk (2.32) giver E E T S V V =, = P S, (2.33). (2.34) 21 Svarende til, at hvis der kun er én bestanddel i systemet, er p = P og dermed μ = g. 22 For en ideal gas haves f.eks. ( ) f P, V, T; n = PV nrt = Ved beskrivelsen betragtes n som værende konstant, men en konstant, der kan antage en hvilken som helst værdi.
11 Statistisk mekanik 2 Side 11 af 13 Et åbent PVT-system er kendetegnet ved en tilstandsligning ( ) f P, V, T, n = 0, hvori n er en variabel, svarende til 3 frihedsgrader i stedet for 2, sådan at udtryk (2.33) erstattes med E E E. (2.35), de = ds + dv + dn S Vn, V Sn, n SV Et lukket system er således det samme som et åbent system med dn = 0, så pr. korrespondens med udtryk (2.33) og (2.34) må 24 E E T S V =, = P Vn, Sn,. (2.36) En alternativ definition af kemisk potential er μ E n, (2.37) svarende til at det kemiske potential er tilvæksten i indre energi pr. tilført stofmængde ved en proces med fastholdt entropi og rumfang. SV, Udtryk (2.35) kan således vha. udtryk (2.36) og (2.37) skrives de = TdS PdV + μdn, (2.38) og det generelle udtryk gældende for et vilkårligt åbent system er således ifølge udtryk (2.6): de = TdS YdX +μdn. (2.39) 24 I udtryk (2.34) er det således bare underforstået, at n er konstant.
12 Statistisk mekanik 2 Side 12 af 13 Der eksisterer en række alternativer til udtryk (2.37). Ifølge udtryk (2.4) og (2.12) er f.eks. 25 df = de TdS SdT, (2.40) dg = de TdS SdT + YdX + XdY. (2.41) Hvis summen i udtryk (2.39) for nemheds skyld antages at være begrænset til ét led YdX fås hhv. og dermed df = SdT YdX + μdn, (2.42) dg = SdT + XdY + μdn, (2.43) F μ =, (2.44) n T, X G μ =. (2.45) n TY, 25 Infinitesimale tilvækster regnes til laveste orden forskellig fra nul: d( YX) = ( Y + dy)( X + dx) YX = YdX + XdY + dydx, f. 2 dx dx = ( x+ Δx) x x + + Δ lim Δx = lim Δx 0 Δx 0 ( ) 2 2 Δx 2x x x Δ x = lim( Δx + 2x) = 2x Δx 0 d ( xx) xdx + xdx 2xdx = = = 2x dx dx dx.
13 Statistisk mekanik 2 Side 13 af 13 Enthalpi Den ekstensive tilstandsvariabel enthalpien er defineret som der for Y = P og X = V reducerer til Ved sammenligning af udtryk (2.46) med udtryk (2.12) fås H E + YX, (2.46) H = E + PV. (2.47) G = H TS. (2.48) Den infinitesimale enthalpi-tilvækst mellem to nabo-tilstande er ifølge udtryk (2.46) dh = de + YdX + XdY. (2.49)
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi Entropi er en tilstandsvariabel 1, der løst formuleret udtrykker graden af uorden. Entropien er det centrale begreb i termodynamikkens anden hovedsætning (TII):
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi Entropi er en tilstandsvariabel 1, der løst formuleret udtrykker graden af uorden i et system. Da der er mange flere uordnede (tilfældigt ordnede) mikrotilstande
Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5.
Statistisk mekanik 5 Side 1 af 10 ilstandssummen Ifølge udtryk (4.28) kan M-fordelingen skrives og da er μ N e e k = N g ε k, (5.1) N = N, (5.2) μ k N Ne g = e ε k. (5.3) Indføres tilstandssummen 1 Z g
Termodynamik. Esben Mølgaard. 5. april N! (N t)!t! Når to systemer sættes sammen bliver fordelingsfunktionen for det samlede system
Termodynamik Esben Mølgaard 5. april 2006 1 Statistik Hvis man har N elementer hvoraf t er defekte, eller N elementer i to grupper hvor forskydningen fra 50/50 (spin excess) er 2s, vil antallet af mulige
Benyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007.
Formelsamling Noter til Fysik 3 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look at the
Nanotermodynamik formelsamling
Nanotermodynamik formelsamling Af Asmus Ougaard Dohn & Sune Klamer Jørgensen 2. november 2005 ndhold 1 Kombinatorik 2 2 Termodynamik 3 3 deal gasser: 5 4 Entropi og temp.: 7 5 Kemisk potential: 7 6 Gibbs
Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1
Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Betragt Amperes lov fra udtryk (1.1) anvendt på en kapacitor der er ved at blive ladet op. For de to flader og S der begge S1 afgrænses af C fås H dl = J ˆ C S n da = I
Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de EM svingninger i en sortlegeme-kavitet som
Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de M svingninger i en sortlegeme-kavitet som fotoner.
INDHOLD. 5 Lektion Opgave a b Opgave K Lynge opgave
. Indhold 1 Lektion 1 1 1.1 Opgave A............................... 1 1.1.1 A.a............................... 1 1.1. A.b.............................. 1.1.3 A.c............................... 1. Lynge
Statistisk mekanik 12 Side 1 af 9 Van der Waals-gas
Statistisk mekanik Side af 9 Ideale gasmolekyler har pr. definition ingen udstrækning og påirker ikke hinanden med kræfter. En an der Waals-gas, hor der tages højde for såel molekylær udstrækning som er-molekylære
Elementær termodynamik og kalorimetri
Elementær termodynamik og kalorimetri 1/14 Elementær termodynamik og kalorimetri Indhold 1. Indre og ydre energi...2 2. Varmeteoriens (termodynamikkens) 1. hovedsætning...2 3. Stempelarbejde...4 4. Isoterm
1. Varme og termisk energi
1 H1 1. Varme og termisk energi Den termiske energi - eller indre energi - af et stof afhænger af hvordan stoffets enkelte molekyler holdes sammen (løst eller fast eller slet ikke), og af hvordan de bevæger
Figur 1 Energetisk vekselvirkning mellem to systemer.
Energibånd Fysiske fænomener er i reglen forbundet med udveksling af energi mellem forskellige systemer. Udvekslingen af energi mellem to systemer A og B kan vi illustrere grafisk som på figur 1 med en
Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.
Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den
Danmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side af 7 Skriftlig prøve, tirsdag den 6. december, 008, kl. 9:00-3:00 Kursus navn: ysik Kursus nr. 00 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning": Besvarelsen
Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 27. maj 2014 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 27. maj 2014 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS TERMODYNAMIK 2. SEMESTER NANOTEKNOLOGI
AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS TERMODYNAMIK 2. SEMESTER NANOTEKNOLOGI FORÅR 2008 Indholdsfortegnelse TERMODYNAMIK LEK. 1...4 VARMELÆRER...4 Hvorfor
Elementær termodynamik og kalorimetri
Elementær termodynamik og kalorimetri Indhold 1. Hvad er varme?...1 2. Smeltning og fordampning...1 3. Indre og ydre energi...3 4. Varmeteoriens (termodynamikkens) 1. hovedsætning...3 5. Stempelarbejde...5
Elektrokemisk potential, membranpotential og. Donnanligevægt
Elektrokemisk potential, membranpotential og Donnanligevægt Elektrokemisk potential: µ Når en elektrisk ladning, q, transporteres i et ydre elektrisk felt fra potentialet φ 1 til φ 2, er det tilhørende
Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm
Elektromagnetisme 7 Side 1 af 1 Med dette emne overgås fra elektrostatikken, som beskriver stationære ladninger, til elektrodynamikken, som beskriver ladninger i bevægelse (elektriske strømme, magnetfelter,
Anvendt BioKemi: MM2. Anvendt BioKemi: Struktur. 1) MM2- Opsummering. Aminosyrer og proteiner som buffere
Anvendt BioKemi: Struktur 1) MM1 Intro: Terminologi, Enheder Math/ biokemi : Kemiske ligninger, syre, baser, buffer Små / Store molekyler: Aminosyre, proteiner 2) MM2 Anvendelse: blod som et kemisk system
Fysik 12. Sebastian B. Simonsen. June 13, 2004
Fysik 12 Sebastian B. Simonsen June 13, 2004 Contents 1 Vigtige formler til Fysik 12 3 1.1 Relativitets teori......................... 3 1.1.1 Einsteins postulater.................... 3 1.1.2 Fomler...........................
Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm
Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Med dette emne overgås fra elektrostatikken, som beskriver stationære ladninger, til elektrodynamikken, som beskriver ladninger i bevægelse (elektriske strømme, magnetfelter,
Danmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 8 sider Skriftlig prøve, den 24. maj 2005 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr.: 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt. "Vægtning": Besvarelsen vægtes
Danmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 Skriftlig prøve, torsdag den 8 maj, 009, kl 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr 100 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt "Vægtning": Besvarelsen
Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Udledning af den barometriske højdeformel. - Beregning af højde vha. trykmåling. af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium
s.1/5 For at kunne bestemme cansatsondens højde må vi se på, hvorledes tryk og højde hænger sammen, når vi bevæger os opad i vores atmosfære. I flere fysikbøger kan man læse om den Barometriske højdeformel,
Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager
Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Afleveringsdato: 30. oktober 2007* *Ny afleveringsdato: 13. november 2007 1 Kalorimetri
Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model
HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model Energiregnskab som matematisk model side 2 Løsning af kalorimeterligningen side 3 Artiklen her knytter sig til kapitel 3, Energi GYLDENDAL
KOMPENDIUM TIL STATISTISK FYSIK
KOMPENDIUM TIL STATISTISK FYSIK 3. UDGAVE REVIDERET: 18. APRIL 2011 UDARBEJDET AF SØREN RIIS AARHUS SCHOOL OF ENGINEERING Ö Ô Ý º Ùº DETTE VÆRK ER TRYKT MED ADOBE UTOPIA 10PT LAYOUT OG TYPOGRAFI AF FORFATTEREN
Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Eksamen i fysik 2016
Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.
Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN
KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen
Entropibegrebet Jacob Nielsen 1
Entropibegrebet Jacob Nielsen 1 I 1871 introducerede Maxwell dæmonen, der ved hjælp af molekylær information tilsyneladende kan krænke termodynamikkens 2. hovedsætning. Centralt i termodynamikken står
Statitisk fysik Minilex
Statitisk fysik Minilex Henrik Dahl 15. januar 006 Indhold 1 Sandsynlighedsteori Fordelinger 3 Eksperimentelle usikkerheder 3 4 Parameterbestemmelse 3 5 Priors, entropi 3 6 Termodynamik 4 6.1 Kanonisk
Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Den klassiske oscillatormodel
Kvantemekanik 6 Side af 8 n meget central model inden for KM er den såkaldte harmoniske oscillatormodel, som historisk set spillede en afgørende rolle i de banebrydende beskrivelser af bla. sortlegemestråling
Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 2. juni 2015 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 2. juni 2015 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Undervisningsbeskrivelse. Fysik A - 2.A
Undervisningsbeskrivelse. Fysik A - 2.A Termin August 2014 Juni 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Rybners HTX HTX Fysik A Jesper Pedersen (JEPE) Hold 2.A Oversigt over planlagte undervisningsforløb
Forklaring. Størrelsesforhold i biologien DIFFUSION. Biofysik forelæsning 8 Kapitel 1 (8) Mindste organisme: 0.3 :m = m (mycoplasma)
Størrelsesforhold i biologien Forklaring Mindste organisme: 0.3 :m = 3 10-7 m (mycoplasma) Største organisme: 3 10 1 m (blåhval) Største Organismer : 10 Mindste = Enkelte celler: 0.3 :m - 3 :m Største
Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Biofysik forelæsning 8 Kapitel 1 (8)
Størrelsesforhold i biologien Forklaring Mindste organisme:.3 :m = 3-7 m (mycoplasma) Største organisme: 3 m (blåhval) Største Organismer : Mindste = Enkelte celler:.3 :m - 3 :m Største Celler : Mindste
Elektromagnetisme 10 Side 1 af 11 Magnetisme. Magnetisering
Elektroagnetise 10 Side 1 af 11 Magnetisering Magnetfelter skabes af ladninger i bevægelse, altså af elektriske strøe. I den forbindelse skelnes elle to typer af agnetfeltskabende strøe: Frie strøe, der
Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 8. august 2013 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Torsdag d. 8. august 2013 kl. 9 00 13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Energi, Enzymer & enzymkinetik.metabolisme
(gruppeopgaver i databar 152 (og 052)) Energi, Enzymer & enzymkinetik.metabolisme Tirsdag den 17. september kl 13-14.15 (ca) Auditorium 53, bygning 210 Susanne Jacobsen sja@bio.dtu.dk Enzyme and Protein
Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 11. august 2015 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 11. august 2015 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns
Tillæg til partikelfysik (foreløbig)
Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes
Bernoulli s lov. Med eksempler fra Hydrodynamik og aerodynamik. Indhold
Bernoulli s lov Med eksempler fra Indhold 1. Indledning...1 2. Strømning i væsker...1 3. Bernoulli s lov...2 4. Tømning af en beholder via en hane i bunden...4 Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 2008 Bernoulli
Naturkræfter Man skelner traditionelt set mellem fire forskellige naturkræfter: 1) Tyngdekraften Den svageste af de fire naturkræfter.
Atomer, molekyler og tilstande 3 Side 1 af 7 Sidste gang: Elektronkonfiguration og båndstruktur. I dag: Bindinger mellem atomer og molekyler, idet vi starter med at se på de fire naturkræfter, som ligger
Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Rektangulær potentialbarriere
Kvantemekanik 5 Side 1 af 8 ektangulær potentialbarriere Med udgangspunkt i det KM begrebsapparat udviklet i KM1-4 beskrives i denne lektion flg. to systemer, idet system gennemgås, og system behandles
Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 31. maj 2016 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 31. maj 2016 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2015 Institution HTX Vibenhus Københavns Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Elektromagnetisme 15 Side 1 af 5 Molekylært elektrisk felt. Molekylært E-felt i et dielektrikum. mol
lektromagnetisme 15 Side 1 af 5 Molekylært -felt i et dielektrikum Det ekylære elektriske felt, som et enkelt ekyle i et dielektrikum oplever, er ikke det samme som det makroskopiske -felt defineret i
Statistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Kvantemekanik 8 Side 2 af 10 Observable og operatorer. Grundlæggende egenskaber ved operatorrepræsentanter ( ) O= O. (8.4)
Kvantemekanik 8 Side 1 af 10 Opsummering Egenskaber ved operatorrepræsentanter Det blev i KM3-4 vist, at enhver målbar bevægelsesegenskab (observabel) er repræsenteret ved en operator, som for position,
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 +β 1 x +u, hvor fejlledet u,
MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber
1 Basisbegreber ellæren er de mest grundlæggende størrelser strøm, spænding og resistans Strøm er ladningsbevægelse, og som det fremgår af bogen, er strømmens retning modsat de bevægende elektroners retning
Den levende kraft energi og varme
Den levende kraft energi og varme Hvad vil det sige, at noget har energi, og hvordan opstod begrebet? Og hvad er sammenhængen mellem energi og varme? Forståelsen af dette hang i 1800-tallet tæt sammen
Lineære systemer med hukommelse.
Lineær Response Teori. I responseteorien interesserer man sig for, hvad der kan siges generelt om sammenhængen mellem input φ(t) og output γ(t) for et system. Valg af variable. Det betragtede systems forskellige
Elementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns
Mini-formelsamling. Matematik 1
Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...
Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 23. august 2012 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Torsdag d. 23. august 2012 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og
Sandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske
Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen
Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen Sebastian B. Simonsen og Lykke Pedersen 18. januar 2006 Indhold 1 Kapitel 1 - Indledning 2 2 Kapitel 2 - Sandsynlighedsfordelinger 3 2.1 Binomial fordeling........................
Anvendt BioKemi: MM4. Anvendt BioKemi: Struktur. 1) MM4- Opsummering. Små molekyler: fedtsyre. Store molekyler: fedt, lipids, lipoproteiner
Anvendt BioKemi: Struktur 1) MM1 Intro: Terminologi, Enheder Math/ biokemi : Kemiske ligninger, syre, baser, buffer Små / Store molekyler: Aminosyre, proteiner 2) MM2 Anvendelse: blod som kemiske systemer
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Statistisk mekanik 5 Side 1 af 11 Hastighedsfordeling for ideal gas. Enatomig ideal gas
Statistisk ekanik 5 Side 1 af 11 Enatoig ideal gas etragt en enatoig ideal gas bestående af N uskelnelige olekyler ed asse, der befinder sig i en beholder ed rufang V. For at kunne bestee tilstandssuen
2. del. Reaktionskinetik
2. del. Reaktionskinetik Kapitel 10. Matematisk beskrivelse af reaktionshastighed 10.1. Reaktionshastighed En kemisk reaktions hastighed kan afhænge af flere forskellige faktorer, hvoraf de vigtigste er!
Udledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Youngs dobbeltspalteforsøg 1
Kvantemekanik Side af Youngs dobbeltspalteforsøg Klassisk beskrivelse Inden for den klassiske fysik kan man forklare forekomsten af et interferensmønster ud fra flg. bølgemodel. x Før spalterne beskrives
MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Simpel Lineær Regression: Model
Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 + β 1 x + u, hvor fejlledet u, har egenskaben E[u x] = 0. Dette betyder bl.a. E[y x]
Epidemi. Matematik. Indermohan Singh Walia, Egedal Gymnasium & HF
Matematik Epidemi Indermohan Singh Walia, Egedal Gymnasium & HF Denne artikel er skrevet som den matematiske teori til beskrivelse af udvikling af en epidemi i en befolkning. Den matematiske model indeholder
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns
Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Partielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011-Juni 2013 Institution Teknisk Gymnasium Grenå Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Htx Fysik
Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion
Ekstra termodynamikopgaver i Fysik 1, 10022/24 F12
Ekstra termodynamikopgaver i Fysik, 00/4 F Opgave Tre opfindere, A, B og C, fortæller dig at de hver har designet en varmemaskine A s maskine kan udføre et arejde på 0 J ved tilførsel af 50 J med en spildvarme
Skriftlig prøve i KemiF1 (Grundlæggende fysisk kemi) Fredag 30 Juni 2006 kl. 9 00 13 00. Opgave
Skriftlig prøve i KemiF1 (Grundlæggende fysisk kemi) Fredag 30 Juni 2006 kl. 9 00 13 00 Opgave Alle nødvendige data til besvarelse af spørgsmålene i eksamensopgaven er samlet i Tabel 1. Tabel 1: Termodynamiske
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere
Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Exoterme og endoterme reaktioner (termometri)
AKTIVITET 10 (FAG: KEMI) NB! Det er i denne øvelse ikke nødvendigt at udføre alle forsøgene. Vælg selv hvilke du/i vil udføre er du i tvivl så spørg. Hvis du er interesseret i at måle varmen i et af de
Elementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011-Juni 2014 Institution Teknisk Gymnasium Grenå Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Htx Fysik
FYSIK 3 / TERMODYNAMIK Københavns Universitet, 13. april, 2016, Skriftlig prøve
FYSIK 3 / TERMODYNAMIK Københavns Universitet, 13. april, 2016, Skriftlig prøve Benyttelse af medbragt litteratur, noter, lommeregner og computer uden internetadgang er tilladt. Der må skrives med blyant.
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]
Differentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4