Plangeometri BEGREBER OG NAVNGIVNING. FORHÅNDSVIDEN Du skal bruge et digitalt værktøj til nogle af opgaverne på dette opslag. PLANGEOMETRI 79 OPGAVE 2

Transkript

1 Plangeometri KTIVITT OPGV 2 PLNGOMTRI 79 GRR OG NVNGIVNING I en ligesidet trekant er siderne 6 m. realet af trekanten er 1,6 m 2. I dette kapitel skal du arejde med ktivitet for to til tre personer. eregn højden i trekanten. plangeometri. Materialer: egreer og navngivning (7) ngiv vinklerne i trekant. Plangeometri handler om figurer og egenskaer ved figurer i en plan. I den første del af kapitlet skal du arejde med trekanter, hvor du skal ruge din viden om trekanter til at eregne afstande, som du ikke kan måle. u skal også lære at ruge og et digitalt værktøj. I denne aktivitet skal I løse forskellige opgaver, der handler om egreer og navngivning knyttet til forskellige plangeometriske figurer. Til aktiviteten hører otte kort, hvorpå der er eskrevet en opgave. Tegn en stumpvinklet og en retvinklet trekant med samme areal. Pythagoras læresætning. L 1 h u skal i den sidste del af kapitlet lære, Klip egreskortene ud og læg dem på MÅL, FGOR OG GRR Målet er, at du: kan undersøge og argumentere for kongruens eller ligedannethed ved trekanter kan ruge din viden om linjer ved trekanter til at eregne afstande, som du ikke kan måle hvordan du kan argumentere for og evise forskellige sammenhænge i forindelse med trekanter og linjer ved trekanter. u skal arejde med: kongruens ligedannethed topvinkler ensliggende vinkler ordet, så I kan se, hvad der står på dem. Træk på skift et kort. Læs opgaven og tegn evt. en skitse på papir af den eskrevne figur. Løs opgaven på kortet i fællesska ved hjælp af et digitalt værktøj. Når I er enige om, at opgaven på kortet er løst, så gemmer I jeres esvarelse. F Træk herefter en ny opgave. G Hvis der er opgaver, som I ikke kan esvare, så lægger I dem til side. OPGV 3 Frode har en firkantet have på 260 m 2. Længden af haven er 20 meter. Haven skal deles i to lige store dele med en hæk som vist på skitsen herunder. kan anvende Pythagoras læresætning til eregninger kan argumentere for geometriske sammenhænge og følge enkle eviser kan formulere sætninger om sammenhænge inden for plangeometri. FORHÅNSVIN u skal ruge et digitalt værktøj til nogle af opgaverne på dette opslag. Pythagoras læresætning Pythagoræiske tripler. l L 2 Sæt jer sammen med en anden gruppe. Hver gruppe trækker på skift et kort og viser og forklarer, hvordan de har løst opgaven på kortet. Opgaver, der evt. ikke er levet løst i L 1, kan I nu i fællesska se, om I kan løse. Hvis I stadig ikke kan løse opgaven, så afleverer I den til jeres lærer. I kan evt. afslutningsvis få jeres lærer eller en anden gruppe til at gennemgå opgaven. Lav en liste over, hvilke egreer og fag 20 m Hvor red er haven? Forklar, hvorfor hækken deler haven i to lige store dele. Undersøg, hvor mange meter hæk Frode skal plante for at dele haven. Forklar for din makker, hvordan du fandt frem til hvor mange meter hæk, Frode skal plante. OPGV 1 ord I har arejdet med i aktiviteten. Frode vil gerne plante så lidt hæk som muligt. Han Tegn to parallelle linjer l og m. Tegn en vilkårlig trekant, hvor grundlinjen ligger på linjen m og toppunktet på linjen l. Find arealet af trekanten. Undersøg arealet af forskellige trekanter med samme grundlinje ved at flytte toppunktet på linjen l. Hvad opdager du? Forklar hvorfor. m vil gerne vide, hvilken længde og redde haven skal have, hvis den skal forlive en firkant på 260 m 2, og hækken stadig skal plantes diagonalt. Undersøg, hvordan Frodes have skal se ud, når han skal plante så lidt hæk som muligt. F Find længden af havens sider og hækken, som Frode skal plante.

2 80 PLNGOMTRI PLNGOMTRI 81 TORI KONGRUNT OG LIGNN FIGURR To geometriske figurer kaldes kongruente, hvis de kan dække hinanden punkt for punkt. a To figurer er ligedannede, hvis de to figurer enten er kongruente eller, hvis den ene er en forstørrelse af den anden. a u skal ruge et digitalt værktøj til nogle af opgaverne på dette opslag. OPGV 4 Tegn to ensvinklede trekanter og undersøg om trekanterne er ligedannede. Forklar, hvorfor/hvorfor ikke. kongruente. Forklar, hvorfor/hvorfor ikke. OPGV Tegn en vilkårlig trekant. Tegn derefter trekant, så siderne i denne trekant er doelt så lange som siderne i trekant, dvs. = 2, = 2 og = 2. Mål vinklerne i de to trekanter. Hvad opdager du? Undersøg, om det samme ser ud til at gælde for alle trekanter, hvor sidelængderne i den ene er lig med sidelængderne i den anden ganget med et tal. OPGV 6 På tegningen er og parallelle ,2 UNRSØGLS KONGRUNS Materialer: t digitalt værktøj. I skal undersøge og formulere sætninger om, hvilke sider/vinkler det er tilstrækkeligt at kende for at afgøre, om to trekanter er kongruente. er kan formuleres sætninger om kongruente trekanter, fx: To trekanter er kongruente, når siderne er parvis lige store. I geometri ruges ordet mellemliggende til at eskrive vinklers og siders indyrdes eliggenhed. I trekant er siden den mellemliggende side til vinkel og vinkel. Vinkel er den mellemliggende vinkel til siderne a og. a L 1 Tegn to trekanter, hvor to sider og den mellemliggende vinkel er parvis lige store. Undersøg om trekanterne er kongruente. Gentag punkt og med to nye trekanter. Skriv en sætning for, hvad der ser ud til at gælde for to trekanter, hvor to sider og den mellemliggende vinkel er parvis lige store. L 2 Tegn to trekanter, hvor to vinkler og en mellemliggende side er parvis lige store. Undersøg om trekanterne er kongruente. Gentag punkt og med to nye trekanter. Skriv en sætning for, hvad der ser ud til at gælde for to trekanter, hvor to vinkler og en mellemliggende side er parvis lige store. L 3 Tegn to trekanter, hvor alle vinkler er parvis lige store. Undersøg om trekanterne er kongruente. Gentag punkt og med to nye trekanter. Skriv en sætning for, hvad der ser ud til at gælde for to trekanter, hvor alle vinkler er parvis lige store. a a Hvor stor er,, og? Forklar, hvorfor trekant og trekant er ligedannede. Hvor lang er siden? eregn arealerne af trekant og af trekant. Undersøg sammenhængen mellem arealerne i andre par af ligedannede trekanter, når sidelængderne fordoles. F Skriv en regel for, hvad der ser ud til at gælde for trekantens areal, når siderne fordoles. OPGV 7 Undersøg på samme måde som i undersøgelsen KONGRUNS om hver af nedenstående påstande er sande eller falske. Forklar hvorfor/hvorfor ikke. Hvis påstanden er falsk, så vis med et eksempel, fx en skærmvideo, hvorfor den er falsk. lle trekanter, der har to ens vinkler, er ligedannede. lle ligesidede trekanter er ligedannede. lle trekanter, der har tre ens vinkler, er kongruente. lle retvinklede trekanter er ligedannede.

3 82 PLNGOMTRI PLNGOMTRI 83 TORI TOPVINKLR OG NSLIGGN VINKLR TOPVINKLR NSLIGGN VINKLR V To vinkler, hvis en ligger i forlængelse af hinanden, PRLLLL LINJR kaldes topvinkler. Når to parallelle linjer m og n skæres af en tredje Topvinkler er lige store. linje p, så er de ensliggende vinkler lige store. OPGV 11 På skitsen herunder er linjestykkerne og parallelle. OPGV 13 På en solskinsdag kaster Maja, som er 1,6 m høj, en skygge på 1 m. Træet, som hun står ved siden af, kaster en skygge på,6 m. m p 9 n 8 131,63 4 eregn længden af linjestykket. Løs opgaverne på denne side sammen med din makker. OPGV 8 x u v y Hvilke af vinklerne på tegningen er topvinkler? Forklar, hvorfor det må gælde, at x + u = 180 og x + v = 180. rug jeres viden fra punkt og forklar, hvorfor topvinklerne u og v er lige store. OPGV 9 l a d e f h g m Linjerne l og m er ikke parallelle. Hvilke par af vinkler er topvinkler? er ensliggende? OPGV 10 Undersøg om de to påstande herunder ser ud til at gælde. egrund jeres svar. rug evt. et digitalt værktøj. Hvis to linjer skæres af en tredje på en sådan måde, at de ensliggende vinkler er lige store, så er linjerne parallelle. Hvis to ikke ikke-parallelle linjer skæres af en tredje linje, så er de ensliggende vinkler ikke lige store. Skriv de manglende vinkelstørrelser i og. Forklar, hvordan du fandt de manglende vinkler i punkt. rug mindst tre af følgende fagord og egreer i din forklaring: vinkelret, parallel, topvinkler, ligedannede trekanter, ensliggende vinkler. OPGV 12 På skitsen er linjestykkerne og parallelle. Linjestykket er 8,4. 6 6, eregn længden af linjestykket. Skriv de manglende vinkelstørrelser i og. Forklar, hvordan du fandt de manglende vinkler i punkt. rug mindst tre af følgende fagord og egreer i din forklaring: vinkelret, parallel, topvinkler, ligedannede trekanter, ensliggende vinkler. Tegn en skitse af situationen med de oplyste mål. Hvordan kan du eregne højden af træet? egrund dit svar. Hvor højt er træet? OPGV 14 På en iltur i ustralien kører Ida og Per mod yers Rok, som rejser sig næsten lodret over den flade australske ørken. e kan netop se solen forsvinde ag klippens højeste punkt. På GPS en kan de se, at der er 2200 m til klippens fod. e sidste solstråler gør Pers skygge 11, m lang. Per er 1,73 m høj. Tegn en skitse af situationen. eregn højden af yers Rok ud fra oplysningerne i opgaven. YRS ROK

4 84 PLNGOMTRI PLNGOMTRI 8 TORI RTVINKL TRKNTR OG PYTHGORS SÆTNING OPGV 1 eregn ved hjælp af Pythagoras sætning de manglende sidelængder. 8,2 2 UNRSØGLS LÆNGR PÅ SØMRÆT Materialer: Sømræt, Sømrætpapir (U2) og elastikker. OPGV 17 Peter skal lægge en rektangulær fliseterrasse. en lange side skal være 8 meter, og den korte side skal være 6 meter. Forklar, hvordan Peter med en snor på 10 meter kan sikre sig, at terrassen er rektangulær. PYTHGORS 4 13,3 I skal undersøge, hvor mange forskellige længder I kan finde på et sømræt med x søm. Herunder kan I se to forskellige længder på sømrættet. OPGV 18 Ole skal sætte en tværstiver på en havelåge, som er 80 m høj og 1,1 m red. Ole har et stykke træ, der er 140 m langt. Har Ole nok træ til tværstiveren? I en retvinklet trekant har siderne nogle estemte 11,3 navne. e to sider, der er de hosliggende sider til den rette vinkel, kaldes for kateter, og den modstående side kaldes for hypotenusen. Hypotenuse Katete Katete PYTHGORS SÆTNING Pythagoras var en græsk filosof og matematiker, der levede i a. år f.kr. Pythagoras sætning handler om sammenhængen mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. OPGV 16 n ligesidet trekant har sidelængden s =. h 2 rug Pythagoras sætning til at vise, at højden i trekanten er h = 2 3. Find arealet af trekanten. L 1 Find længden af den grønne og den orange elastik, der er vist på sømrættet herunder. I en retvinklet trekant, hvor vinkel er den rette vinkel, gælder det for sidelængderne a, og, at a = 2. a I en vilkårlig ligesidet trekant kalder vi sidelængden s. s s h s 2 s rug Pythagoras sætning til at vise, at højden i trekanten er h = s 2 3. enne formel giver arealet af en ligesidet trekant med sidelængden s: = 3 2 s2 Forklar, hvorfor formlen er rigtig. Undersøg, hvor mange forskellige længder I kan finde på et sømræt. Tegn dem ind på et sømrætpapir. eregn de forskellige længder. Forklar for en anden gruppe, hvordan I har undersøgt antallet og eregnet de forskellige længder. OPGV 19 Undersøg, om du kan ruge Pythagoras sætning til at finde de manglende sider i en retvinklet trekant, når du kender længden af egge kateter. hypotenusen, og du ved, at trekanten er ligeenet. én katete og størrelsen af to vinkler. én katete og hypotenusen.

5 86 PLNGOMTRI PLNGOMTRI 87 TORI N OMVNT PYTHGO- RÆISK LÆRSÆTNING I Pythagoras læresætning er udgangspunktet en retvinklet trekant. Når du ved, at trekanten er retvinklet, og du kender to af siderne, kan du eregne den tredje. I den omvendte læresætning kan du afgøre, om en trekant er retvinklet, når længden af alle sider er kendt. Hvis summen af kvadraterne på de to korteste sider er lig med kvadratet på den længste side, så er trekanten er retvinklet. OPGV 21 n retvinklet, ligeenet trekant har et areal på 0 m 2. eregn trekantens sidelængder. OPGV 22 Herunder er vist de stier, som ske løer på, når han løer sin daglige tur. TORI PYTHGORÆISK TRIPLR n pythagoræisk tripel (a,, ) er tre naturlige tal, a, og, som opfylder, at a = 2. Tallene i en pythagoræisk tripel kan være sidelængder for kateterne og hypotenusen i en retvinklet trekant. (3, 4, ) er et eksempel på en pythagoræisk tripel. Når 3 og 4 er længderne af kateterne i en retvink let trekant, vil være længden af hypotenusen. 4 3 ksempel n trekant har sidelængderne, 9 og 13. For at afgøre om trekanten er retvinklet, sammenlignes summen af kvadraterne på de to korte sider med kvadratet på den længste side: = = = 169 e to tal er forskellige, så trekanten er ikke retvinklet. OPGV 20 Her er sidelængderne i forskellige trekanter. Undersøg, hvilke af disse trekanter der er retvinklede. 3, 7 og 9, 12 og 13 10, 24 og 26 4; 4,64 og 6, m 400 m 200 m ske ved, at stien er 00 m lang. Han ved desuden, at stien står vinkelret på stien. Han påstår, at også stien står vinkelret på. Vis med en eregning, at ske har ret. Find to ensvinklede trekanter på figuren og forklar, hvordan du kan eregne længden af stien. enyt din forklaring til at eregne længden. n dag løer ske to runder på ruten. Han påstår, at han derved løer over 3, km. eregn, om ske har ret i sin påstand. Hvor lang er skes løetur, hvis han en dag løer ruten:. F Foreslå en rute, så ske får en løetur på mellem og 6 km. Ruten skal starte og slutte i. UNRSØGLS PYTHGORÆISK TRIPLR I skal undersøge forskellige pythagoræiske tripler. Triplen (3, 4, ) er en pythagoræisk tripel, fordi: = 2 L 1 Undersøg, om triplen (6, 8, 10) er en pythagoræisk tripel. Forklar, hvorfor triplerne (3, 4, ) og (6, 8, 10) er sidelængder i to ligedannede, retvinklede trekanter. Skriv andre pythagoræiske tripler, som er ligedannede med triplen (3, 4, ). L 2 et kan være tidskrævende, hvis man skal prøve sig frem for at finde frem til forskellige pythagoræiske tripler. Undersøg om denne opskrift leder frem til pythagoræiske tripler. Prøv med fem forskellige ulige tal. 1. Vælg et ulige tal større end 1. ette tal er længden af den ene katete. 2. Udregn tallets kvadrat. 3. Træk 1 fra tallets kvadrat. 4. Halver resultatet i punkt 3. ette tal er længden af den anden katete.. Læg 1 til tallet fra punkt 4. ette tal er længden af hypotenusen. an nye tripler med udgangspunkt i de fem tripler fra punkt. Forklar, hvordan I kommer frem til de nye tripler. Formuler en generel opskrift til at finde pythagoræiske tripler. I kan kalde det ulige tal større end 1 for n. rgumenter for, at der er uendeligt mange pythagoræiske tripler. OPGV 23 Hvilke af følgende tal kan være de to mindste tal a og i en pythagoræisk tripel? 39 og 2 13 og 3 og og 182

6 88 PLNGOMTRI PLNGOMTRI 89 TORI Løs opgaverne sammen med din makker. I kan evt. ruge et digitalt værktøj. OPGV 26 MTMTISK VIS I matematik er det vigtigt at kunne argumentere for resultater og påstande. Når en matematisk argumen Ud fra resultaterne af undersøgelsen kan man formulere en foreløig teori eller en sandsynlig OPGV 24 I en ligesidet trekant er siderne 10 m. M N tation om en påstand ikke kan modsiges af andre, antagelse om vinkelsummen i en trekant. et kaldes den et evis. kaldes også en hypotese. Når man gerne vil O Påstand: Vinkelsummen i enhver trekant er 180. u kan undersøge vinkelsummen i trekanter på evise noget, så handler det om at slå helt fast, at en hypotese er sand. Hvis man kan evise, at hypotesen er sand, så har man en matematisk forskellig vis. u kan fx tegne forskellige trekanter, måle vinklerne og lægge vinklernes gradtal sammen. et ser ud til, at summen altid er 180. u kan også klippe hjørnerne af trekanterne, og når de sættes sammen, danner de en lige vinkel det vil sige en vinkel på 180. sætning. n matematisk argumentation er ygget op af tidligere eviste sætninger samt forklaringer og egreer som fx lige vinkel og parallel med. erfor er det nødvendigt at gøre sig klart, hvilke forudsætninger der ruges i eviset. rgumenter for, at højden fra vinkel deler trekant i to kongruente trekanter. I trekanten er to af medianerne indtegnet. er liver derved dannet to trekanter MON og O. MN er midtpunktstransversal, og den er derfor parallel med grundlinjen. efiner en median. Undersøg og argumenter for eller imod følgende eskriv forholdet mellem sidelængderne og påstande: UNRSØGLS VINKLSUM I TRKNTR T VIS Materialer: t digitalt værktøj. I skal arejde med et geometrisk evis. I dette kapitel har I tidligere arejdet med nogle af de definitioner, som er forudsætninger for at evise følgende påstand: Vinkelsummen i enhver trekant er 180. L 1 Undersøg og forklar ved hjælp at tegninger følgende forudsætninger: L 2 rug forudsætningerne fra L 1 til at diskutere, hvordan I ud fra tegningen herunder kan evise, at vinkelsummen i en trekant altid er 180. v 2 v 1 v 3 a m. Forklar, hvorfor trekant og trekant også kaldes en trekant. Formuler en sætning om sammenhængen mellem den korteste katete og hypotenusen i en trekant. OPGV 2 Linjestykket MN i trekant er en midtpunktstransversal. Linjestykket går fra midtpunktet af til midtpunktet af. n midtpunktstransversal er parallel med trekantens grundlinje. Trekant MON og O er ligedannede trekanter. Siderne i trekant O er doelt så lange som siderne i trekant MON. Forklar for et andet makkerpar, hvordan I har argumenteret. I kan evt. lave en skærmvideo. OPGV 27 I den retvinklede trekant er indtegnet højden fra vinkel. Højden deler trekanten i to mindre retvinklede trekanter og. Forudsætning 1 Vi har en linje l og et punkt P, der ligger udenfor denne linje. På tegningen er tegnet en vilkårlig trekant. Linjen m er tegnet parallelt med linjestykket. Siderne a og er forlænget, så der opstår tre nye M N er findes én og kun én linje gennem punktet P, vinkler v 1, v 2 og v 3. der er parallel med linjen l. Forudsætning 2 nsliggende vinkler ved parallelle linjer er lige store. Forudsætning 3 Topvinkler, som dannes, når to linjer skærer hinanden, er lige store. Undersøg, som en del af jeres argumentation: hvorfor summen af v 1, v 2 og v 3 er 180. hvilke vinkler der er ensliggende vinkler ved parallelle linjer. hvilke vinkler der er topvinkler. Gennemgå jeres evis for en anden gruppe. r eviset overevisende? Forklar, hvorfor/hvorfor ikke. Undersøg og argumenter for eller imod følgende påstande: Trekant og trekant MN er ligedannede trekanter. Siden er doelt så lang som MN. Forklar for et andet makkerpar, hvordan I har Undersøg og argumenter for eller imod følgende påstande: Trekanterne og er ligedannede. Trekanterne og er ligedannede. Trekanterne og er ligedannede. argumenteret. I kan evt. lave en skærmvideo.

7 90 PLNGOMTRI PLNGOMTRI 91 UNRSØGLS RGULÆR POLYGONR OG FLÆKNING Materialer: t digitalt værktøj, evt. Fladedækning (U3) og en saks. I skal undersøge hvilke regulære polygoner, I kan ruge som fliser på en terrasse. L 1 Først skal I genopfriske, hvad I allerede ved om polygoner. Skriv en forklaring på, hvad en polygon er en definition. Skriv en forklaring på, hvad en regulær polygon er en definition. L 2 Vinkelsummen i en n-kant er V n = (n 2) 180. rug formlen til at udfylde et skema som vist herunder. ntal kanter n 3 Vinkelsum V n 180 Vinkelstørrelsen i en regulær n-kant er Forklar hvorfor. n rug formlen fra punkt til at udfylde et skema som vist herunder. ntal kanter n Vinkelsstørrelse L 3 t en geometrisk figur kan ruges som flise etyder, at den er fladedækkende, dvs. at man kan dække en flade med figurer med samme form, uden at der er mellemrum mellem figurerne og uden, at de overlapper hinanden. Fliserne skal lægges, så vinkelspidserne støder sammen i en samling. Undersøg, hvilke regulære polygoner der kan ruges som fliser. Formuler en regel for, hvornår en regulær polygon kan være fladedækkende. Udfyld et skema som vist herunder. I kan evt. ruge arket Fladedækning (U3). ntal kanter Fladedækkende? Ja/Nej ntal polygoner i en samling Vinkelstørrelse i polygonen en samlede vinkelsum i en samling Samling UNRSØGLS FIRKNTR OG TSSLRING Materialer: Karton, limstift, saks, Firkanter og tesselering (U4) og et digitalt værktøj. I skal arejde med forskellige firkanter og undersøge, om de kan tesselere. L 1 Lim firkanterne fra arket Firkanter og tesselering 1 (U4) på karton og klip dem ud, så I har nogle kongruente firkantede rikker. Skriv numre (1, 2, 3 og 4) på vinklerne, således at lige store vinkler får samme nummer. Skriv på egge sider af rikkerne. Undersøg nu, om firkanterne kan tesselere. I må vende og dreje firkanterne, som I vil. Gør det samme med firkanterne på arket Firkanter og tesselering 2 (U4) Tegn selv en række kongruente firkanter (rug evt. en kopimaskine) og undersøg, om de tesselerer. L 2 rug et digitalt værktøj til at tegne en firkant, som I kan kopiere og vende og dreje. Kan jeres firkant tesselere? Forklar, hvad der ser ud til at gælde med hensyn til firkanter og tesseleringer. OPGV 28 I en regulær polygon er hver vinkel 10. Hvilken regulær polygon har denne vinkelstørrelse? Hvad er vinkelsummen i polygonen? OPGV 29 Trekanten over vinduet er ligedannet med den markerede trekant. Tagets hældning er 4. eskriv forskellige forhold vedrørende vinkler og sider i de to trekanter. eregn husets højde h. OPGV 30 illedet viser indgangspartiet til et gammelt indingsværkshus. Længderne =, og er vinkelret på. Træstykket i trekanten deler i to lige store vinkler. Undersøg det øverste af gavlen og argumenter for, at der er ligedannede og kongruente trekanter. Se på illedet af indgangspartiet og find andre eksempler på ligedannethed og kongruens. rgumenter for dine fund.

8 92 PLNGOMTRI PLNGOMTRI 93 TM HØJMÅLINGR Tema for fire til seks personer. Materialer: Højdemålinger (8), måleånd, tommestok, klinometer eller teodolit til vinkelmåling, digitalt værktøj og en solskinsdag. I skal måle højden af ygninger, træer, flagstænger og lign. Til målingerne skal I ruge forskellige målemetoder. På arket Højdemålinger (8) er de forskellige metoder eskrevet, så I ved, hvordan I skal ruge dem. et kan være en god idé at tage arket med ud, når I skal måle de forskellige højder. I skal ruge de metoder, der er vist til højre. I nogle af metoderne kan I finde højden ud fra jeres målinger, og i andre er I nødt til, efter I har foretaget jeres målinger, at lave en tegning i et estemt målestoksforhold, og derved finde frem til hvor højt træet er ved at måle på tegningen. L 1 Find to forskellige ting, som I i gruppen ønsker at finde højden på, fx træ, husmur, flagstang, elmast eller lign. el jer i to mindre grupper, hvor hver gruppe finder højden på de to genstande med to forskellige metoder. et vil sige, at de to genstande måles ved hjælp af alle fire metoder. I kan evt. filme, hvordan I foretog målingerne. Sammenlign de fundne højder, og diskuter, hvordan I i de mindre grupper har foretaget jeres målinger og er kommet frem til resultatet. Hvorfor kan der være forskel i de fundne højder med de forskellige metoder? Hvordan har I foretaget jeres eregninger? Vis evt. ved hjælp at tegninger, hvordan I har fundet de forskellige højder. Metode 1: rug solen Metode 2: rug jeres højde Metode 3: rug et klinometer Metode 4: rug en målepind VLURING På denne side skal I enten ruge arket egreer og fagord Plangeometri (4) eller jeres egen egresog. I kan ruge relevante digitale værktøjer. L 1 I denne evalueringsopgave skal I arejde to til fire elever sammen. Lav syv kort. Skriv ét af egreerne herunder på hvert kort og læg dem på ordet med TOPVINKLR forsiden opad. LIGNNTH PYTHGORS LÆRSÆTNING MTMTISK VIS NSLIGGN VINKLR PYTHGORÆISK TRIPLR KONGRUNS Vælg på skift et kort, og forklar egreet for de andre i gruppen. Når alle i gruppen har forstået egreet, lægges kortet til side. Fortsæt til alle egreer er forklaret og skriv stikord undervejs. Hvis der er kort med egreer, som ingen i gruppen kan forklare, hænger I kortene op på tavlen. Når alle grupper har forklaret de egreer, de kan, så skal egreerne på tavlen forklares for hele klassen. et kan være en anden elev eller jeres lærer, der hjælper med at forklare egreet. L 2 For hvert af de syv egreer, du lige har arejdet med, skal du vise et eksempel eller en tegning. skrive din egen forståelse af egreet. rejd sammen med din makker. I skal løse L 3- ved at ruge arket genskaer ved kvadrat (), hvor kvadratet er vist i en større udgave. Punkterne, F, G og H er sidemidtpunkter i kvadratet. F O P G M N L I J H K L 3 Sidelængden i kvadratet er 10 m. eregn længden af linjestykket. arealet af trekant. arealet af trekant GM. L 4 Sidelængden i kvadratet har længden s. Skriv en formel, hvor I ruger s til eregning af arealet af trekanterne og GM. estem en formel til eregning af længden, hvor kvadrates sidelængde s indgår. L Undersøg og giv en forklaring på, hvorfor de to vinkler, der er markeret med låt, er lige store. de to vinkler, der er markeret med grønt, er lige store. trekant KJ og JI er kongruente. trekant F og MFJ er ligedannede.

9 94 PLNGOMTRI PLNGOMTRI 9 TRÆN 1 FÆRIGHR TRÆN 2 FÆRIGHR OPGV ,, , ,9 83 9,3 6,6 9 7, Figurerne er parvis ligedannede. Hvad er længdeforholdet mellem de to trekanter? firkanter? Tegn en skitse, og skriv de manglende vinkelstørrelser og sidelængder på hver figur. OPGV 3 eregn de ukendte sidelængder ved hjælp af Pythagoras sætning OPGV 4 Herunder er angivet de tre sidelængder i en række trekanter. eregn, hvilke af disse trekanter der er retvinklede. (6, 8, 10) (18, 24, 30) (7, 1, 17) (, 12, 13) (10, 24, 26) F (4, 7, 9) OPGV ,2 6 6,3 108, Figurerne er parvis ligedannede. Hvad er længdeforholdet mellem de to femkanter? Tegn en skitse, og skriv de manglende sidelængder på hver figur. vinkelstørrelser markeret med låt. OPGV 2 OPGV 3 Herunder er angivet de tre sidelængder i en række trekanter. eregn, hvilke af disse trekanter der er retvinklede (, 10, 12) (, 18,7; 2,) (,2; 16,4; 3,2) (3,4; ; 6,0) (1; 2; 2,24) OPGV 4 er retvinklet, og vinkel er den rette vinkel. Tegn evt. en skitse og eregn den manglende side i hver af følgende trekanter. a = 7,2 m og = 9,3 m a = 37 m og = 842 m a = 6 m og = 10 m = 8,4 m og = 8 m OPGV Til en drage skal ruges to pinde, som dragedugen kan spændes op på. Midtpunktet af den mindste pind plaeres på den største i et punkt, der deler den største i forholdet 1:2. en mindste pind er 60 m lang. OPGV 2 Linjerne l og m er parallelle. en grundlinje på linjen m. er ligeenet med OPGV eregn diagonalen i et rektangel, når siden er 13 m, og siden er 20 m. G F 30 m l m Tegn en stor skitse af figuren. Marker på tegningen, hvilke par af vinkler der er ensliggende vinkler ved parallelle linjer. topvinkler. Hvilke trekanter er ligedannede? OPGV 6 er retvinklet, og vinkel er den rette vinkel. Tegn evt. en skitse og eregn den manglende sidelængde i hver trekant. a = 9 og = 12 a = og = 8 a = 7 og = 11 = 2,2 og = 1,7 OPGV 7 I en retvinklet trekant er den ene katete m, og hypotenusen er 13 m. Hvad er trekantens omkreds? Hvad er trekantens areal? er ligesidet med sidelængden 4. Trekantens tre højder er tegnet ind. Linjestykket F er parallelt med siden og går gennem højdernes skæringspunkt. Forklar, hvorfor og F er ligedannede trekanter. Højden i trekanten er 3,46 m. Højden er delt af linjestykket F. fstanden G er 2 3 af længden af hele højden. eregn højden af F. eregn længden af. eregn længden af F. eregn, hvor mange m den største pind skal være i alt. eregn længden af den lå tape, der er sat langs dragens kanter.

10 96 PLNGOMTRI PLNGOMTRI 97 TRÆN 1 PROLMLØSNING TRÆN 2 PROLMLØSNING OPGV 1 t gyngestativ har en -konstruktion i siderne, og det gælder, at: længden af er lig med længden af. højden F på gyngestativet er 3 m, og afstanden fra unden til tværjælken er 1 m. tværjælken er 1,6 m. eregn afstanden. eregn længden af alle stolperne til konstruktion af en side i gyngestativet. rgumenter for: = i = i. OPGV 2 F Trappestigen med 2 x 6 trin har en højde fra gulv til øverste platform på 13,3 m og afstanden mellem trinnene er 24 m. 20 OPGV 3 Helle har savet en træplade ud med målene 4 x 42 m. Hun har kun et måleånd og en lommeregner. Hvordan kan Helle finde ud af, om pladen er retvinklet? Helle måler diagonalen til 6, m. Undersøg, om træpladen er retvinklet. Helle vil save en ny træplade med målene 0 x 42 m ud. Hvor lang skal diagonalen være, for at træpladen er retvinklet? OPGV 4 n stålkonstruktion til en elmast er som vist på tegningen. Linjestykkerne og HF er parallelle. H 1,37 m 4,2 m 3,80 m 2,27 m 3,4 m 1,00 m OPGV 1 F Sekskanten på illustrationen er konstrueret så F er parallel med og. er gælder F = og =. rgumenter for, at arealet af firkant er lig med arealet af firkant F. Hvilke etingelser skal være opfyldt, hvis og i F skal være lige store? rgumenter for, at trekanterne og er kongruente. OPGV 2 OPGV 3 1 m 2, m 4, m eskriv en metode til at eregne afstanden fra muren til redden. enyt din metode til at eregne afstanden. OPGV 4 2, m 2,00 m 2,0 m 3,22 m F 3,7 m G 12,2 m rgumenter for at trekanterne og HF er 24 m ligedannede trekanter. eregn omkredsen af de to trekanter. m rgumenter for at de to orange vinkler er lige store. 7 m 13,3 m Undersøg om siden står vinkelret på siden. Hvor høj er trappestigen i sammenfoldet tilstand? eregn afstanden mellem stigens en ved gulvet, markeret med den stiplede linje, når den er foldet helt ud. Stigen fås også med 2 x 4 og 2 x 3 trin. fstanden mellem trinnene er den samme på alle stiger. eregn de to stigers højde i udfoldet og i sammenklappet tilstand. eregn gulvafstanden mellem stigernes en. OPGV u skal forestille dig, at du står på toppen af Mount verest og kigger ud mod horisonten. Hvor langt er der ifølge tegningen til horisonten? 8848 m 6371 km n smal gade er 7 meter fra husmur til husmur på tværs af gaden. n stige står lænet op ad den ene husmur. Stigen står 2,6 meter fra den husmur, som stigen står op ad. Stigen når op til underkanten af vinduet, som er 6, meter over gaden. Tegn en skitse af situationen. eregn længden af stigen. Stigen vippes over til husmuren overfor. (en liver stående samme sted på gaden). Hvor langt når stigen op ad dette hus? På en festival rejses en høj mast, som skal fungere som mødested for festivalgæsterne. en er afstivet med arduner, som er fæstnet i jorden 7 m fra mastens fod. ardunerne er ligeledes fæstnet på selve masten - den korteste m oppe. Hvor lang er den korteste ardun, der er fæstnet m oppe? Hvor højt oppe er den længste ardun fæstnet? Hvor høj er masten? Hvor mange meter arduner skal der ruges i alt, når der i hver ende af ardunerne skal ruges 2 m til at fastgøre ardunen?