Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec."

Transkript

1 Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra (NVP) kan man betragte tilfældet, hvor skalar mulitplikation med λ R erstattes med skalar multiplikation med λ C. Man taler så om et komplekst vektorrum. Et komplekst vektorrum er altså en mængde V, hvor man til to elementer x, y V kan knytte summen x + y V og til et komplekst tal λ C og et x V kan knytte λx V, således at regnereglerne i Definition i NVP er opfyldt. Eksempel 1.1. Mængderne C n bestående af tupler (z 1,..., z n ) af komplekse tal z 1,..., z n C er med de naturlige regneregler et komplekst vektorrum. Bemærk dog, at de reelle vektorrum R n ikke er komplekse vektorrum. Man har f.eks. ( ) ( ) 1 i i = R n. 1 i Mængderne R n er delmængder af C n, men de er ikke komplekse underrum af det komplekse vektorrum C n. Man regner i komplekse vektorrum fuldstændig som i reelle. Man løser f.eks. lineære ligningssystemer med komplekse koefficienter ved hjælp af Gauss elimination. Alle de begreber vi har indført tidligere overføres uden videre til det komplekse tilfælde. Eksempel 1.2. Vi udregner den komplekse determinant ( ) i 1 + 2i det i = i( 1 + i) ( 1)(1 + 2i) = i + i i = i i = i Eksempel 1.3. Vi betragter det (komplekse) lineære ligningssystem Den tilhørende totalmatrix er x 1 +(1 + i)x 2 = 1 + i ix 1 +x 3 = 0 x 1 +(1 i)x 2 +x 3 = 1. C = i i i i

2 Ved Gauss elimination opnår vi trappematricen i i 0 1 i 1 1 i. 0 0 i i Løsningen til ligningssystemet er x 1 x 2 x 3 = 2 Vektorrum af funktioner i i Hvis X er en vilkårlig mængde, kan vi betragte mængden F(X) af alle (komplekse) funktioner g : X C på X. Hvis g er en kompleks funktion kan vi for hvert x X betragte realdelen Re(g(x)) og imaginærdelen Im(g(x)) af g(x). Vi kan derfor definere to reelle funktioner g r, g i : X R ved 1. g r (x) = Re(g(x)), g i (x) = Im(g(x)). Vi har g(x) = g r (x) + ig i (x). Mængden F(X) er et vektorrum, hvis vi definerer addition ved og skalar multiplikation ved (g + h)(x) = g(x) + h(x), g, h F(X) (λg)(x) = λg(x), λ C, g F(X). Den første regel siger at summen af to funktioner g og h er den nye funktion g + h, hvis værdi i et element x er summen af værdierne af g og h i x. Tilsvarende siger reglen om skalarmultiplikation, at λg er den funktion, hvis værdi i et punkt x er λ gange værdien af g i x. Det overlades til læseren at checke regnereglerne i Definition i NVP. Eksempel 2.1 (Funktioner på endelige mængder). Hvis X = {1, 2,..., n} kan vi nemt beskrive vektorrummet F(X). Det er nemlig isomorft med C n. Man skal blot bemærke, at en funktion g : X C er givet ved de endelig mange værdier z 1 = g(1), z 2 = g(2),..., z n = g(n). Mere præcist er afbildningen F : F(X) C n givet ved g(1) F (g) =. g(n) Rettet 15. dec. F (f) F (g) en isomorfi. Den er bijektiv fordi alle g s værdier entydigt bestemmer g. Den er lineær fordi (λg)(1) λg(1) g(1) F (λg) =. =. = λ. = λf (g) (λg)(n) λg(n) g(n) 2

3 og (g + h)(1) g(1) + h(1) F (g + h) =. =. = F (g) + F (h). (g + h)(n) g(n) + h(n) Ligesom i det reelle tilfælde siges et vektorrum der er isomorft med C n at have dimension n. Når X er en endelig mængde er F(X) altså et vektorrum, hvis dimension er antallet af elementer i X. Hvis X har uendelig mange elementer er F(X) ikke isomorft med noget C n og F(X) er derfor ikke endeligdimensionalt. Vi siger, at F(X) er uendeligdimensionalt. Vi skal nu se på eksempler af denne type. Eksempel 2.2 (Kontinuerte og differentiable funktioner). Lad I = (c, d) R være et åbent interval. Mængden F(I) af alle komplekse funktioner på I er et uendeligdimensionalt komplekst vektorrum. Vi betragter nu delmængden C(I) af kontinuerte funktioner på I. Først er vi nødt til at forklare, hvad vi mener med kontinuerte komplekse funktioner, men det er nemt. Vi siger, at en funktion u : I C er kontinuert, hvis både realdelsfunktionen u r og imaginærdelsfunktionen u i er kontinuerte funktioner på I. På samme måde siger vi, at u er differentiabel, hvis både realdelen og imaginærdelen er det. Vi siger endda, at differentialkvotienten er u (t) = u r(t) + iu i(t). Vi benytter samme definition om integraler u(t)dt = u r (t) + i u i (t)dt. Mængden af differentiable funktioner, hvis differentialkvotient er en kontinuert funktion kaldes kontinuert differentiable og benævnes C 1 (I). På samme skrives mængden af k gange differentiable funktioner med kontinuerte differentialkvotienter for C k (I). Det er nu nemt at se, at alle de sædvanlige regneregler for kontinuerte og differentiable funktioner stadig gælder. Specielt gælder for u C(I) og λ C at λu C(I) og for u, v C(I), at u + v C(I). Ifølge Definition i NVP, betyder det præcist, at C(I) er et underrum af F(I). På samme måde ses det, at C k (I) er underrum af F(I). Rummene, C(I), C 1 (I) og generelt C k (I), er derfor selv vektorrum. Eksempel 2.3 (Differentiation og integration som lineære afbildninger). Regnereglerne for differentiation (u + v) (t) = u (t) + v (t), (λu) (t) = λu (t) betyder ifølge Definition i NVP at afbildningen D : C 1 (I) C(I) givet ved D(u)(t) = u (t) er lineær. Bemærk, at vi her har efterlignet Maples notation D(u). Vores notation kan være lidt forvirrende sammenlignet med notationen i Definition i NVP. I Definition benævnes afbildningen f her er det D, hvorimod vektoren x i Definition nu er funktionen u. Afbildningen D er ikke injektiv. Vi ved nemlig, at D(u) = 0 netop når funktionen u er konstant. Med andre ord kernen ker(d), består af alle konstante funktioner. På den anden side gælder der, at D er en surjektiv afbildning. For at vise det skal vi for ethvert g C(I) finde G C 1 (I) så D(G) = g. Fra analysens fundamentalsætning ved vi, at hvis c I vil funktionen G(t) = c 3 g(s)ds

4 opfylde, at D(G) = g. Hvis vi introducerer afbildningen Int : C(I) C 1 (I) givet ved Int(g)(t) = c g(s)ds gælder der, fra regnereglerne for integration, at Int er lineær og at D Int = id C(I) altså identitetsafbildningen på C(I). På den anden side er Int D id C 1 (I), f.eks. er Int D(1) = 0. Ifølge Sætning i NVP gælder der på endelig dimensionale vektorrum af samme dimension, at lineære afbildninger som er surjektive også er injektive. Afbildningen D viser, at det ikke er rigtigt på uendelig dimensionale vektorrum. Vi skal i de følgende afsnit uddybe ovenstående eksempel om differentiation og integration. Rettet 16. dec. af samme dimension tilføjet 3 Første ordens lineære differentialligninger I de følgende afsnit betragter vi et åbent interval I = (c, d) =]c, d[. I en første ordens lineær differential ligning u (t) a(t)u(t) = f(t) (1) er a, f F(I) kendte funktioner og u = u(t) en ukendt funktion, som vi skal finde. Sætning 3.1 (Løsning til 1. ordens lineære homogene ligninger). Lad a C(I) og definer A(t) = For enhver konstant C C er funktionen a(s)ds, t I. I t C exp A(t) en løsning til den homogene diffentialligning og når C gennemløber C, fås samtlige løsninger til (2). u (t) a(t)u(t) = 0, (2) Bemærkning 3.2. Man kan udtrykke dette resultat ved brug af sprogbrugen fra lineær algebra. Resultatet siger nemlig, at løsningen til diffenentialligningen (2) er et en-dimensionalt underrum af F(I) med en basis bestående af funktionen exp A(t). Vi kan gå et skridt videre og introducere afbildning L : C 1 (I) C(I) givet ved L(u)(t) = u (t) a(t)u(t). Det overlades til læseren at checke, at L er en lineær afbildning på samme måde, som det blev vist for D i Eksempel 2.3. Løsningsmængden til differentialligningen (2) er kernen ker(l), som altså er en-dimensional. Vi skal se i Sætning 3.4 nedenfor, at der findes løsninger til (1) når blot a, f C(I). Med andre ord gælder der, at afbildningen L er surjektiv d.v.s. L(C 1 (I)) = C(I), men ikke injektiv, da dim ker(l) = 1. Eksempel 3.3. Lad os løse ligningen u (t) tu(t) = 0, t I. (3) Da A(t) = sds = 1 2 t2 1 2 t2 0 4

5 kan den generelle løsning til (3) skrives hvor C gennemløber C. u(t) = Ce ( 1 2 t2 1 2 t2 0 ) = Ce ( 1 2 t2 ) Sætning 3.4 (Løsning til 1. ordens lineære inhomogene ligninger). Lad a C(I) og definer A(t) = Lad f C(I). For enhver konstant C C er funktionen u(t) = e A(t) a(s)ds, t I. e A(s) f(s)ds + Ce A(t), t I (4) en løsning til den inhomogene ligning (1), og når C gennemløber C, fås samtlige løsninger til (1). Vi ser den generelle løsningsstruktur: Hvis u 0 er en partikulær løsning til den inhomogene ligning (1), findes samtlige løsninger til (1) ved til u 0 at addere samtlige løsninger til den tilsvarende homogene differentialligning (2). Kan man løse den homogene ligning, behøver man altså blot at gætte en løsning til den inhomogene ligning (1) for at få den totale løsningsmængde til den. I Sætning 3.4 er u 0 (t) = e A(t) e A(s) f(s)ds, t I (5) et eksempel på en partikulær løsning til (1), medens t Ce A(t), C C udgør løsningerne til den tilsvarende homogene ligning (2). Bemærk specielt, at løsningen til en differentialligning der ikke er homogen ikke er et underrum. Bevis for Sætningerne 3.1 og 3.4. Da Sætning 3.1 er et specialtilfælde af Sætning 3.4, nemlig det, hvor f = 0, kan vi nøjes med at vise Sætning 3.4. Vi overlader det til læseren at checke, at (4) for enhver konstant C C definerer en løsning til (1). Dermed står det blot tilbage at vise, at enhver løsning kan skrives på formen (4). Lad u være en løsning til (1). Af fås ved integration, at og derfra, at d ( ) e A(t) u (t) = e A(t) u (t) e A(t) a(t)u(t) = e A(t) f(t) (6) dt e A(t) u(t) e A(t0) u( ) = u(t) = e A(t) e A(s) f(s)ds (7) e A(s) f(s)ds + e A(t0) u( )e A(t), (8) hvoraf det fremgår, at u har den ønskede form med C = e A(t0) u( ) = u( ). I løsningsformlen (4) indgår der en fri parameter, nemlig C. Som følgende Sætning 3.5 viser, betyder det, at man kan foreskrive værdien af løsningen u i lige som man vil. 5

6 Sætning 3.5 (Eksistens- og éntydighedssætningen). Lad a, f C(I). Givet v 0 C findes der netop én løsning u til (1), så u( ) = v 0. Bevis. Man ser, at løsningen (4) opfylder u( ) = Ce A(t0) = C, hvilket vi også netop har konkluderet i beviset for Sætning 3.4. Den eneste løsning der opfylder betingelsen u( ) = v 0 er derfor den, hvor C = v 0. Eksempel 3.6. Lad os finde den løsning til ligningen der opfylder at u( ) = 0. Fra Eksempel 3.3 ved vi at Den generelle løsning til (9) er Det ses nu let at u (t) tu(t) = f(t) (9) A(t) = 1 2 t2 1 2 t2 0. u(t) = e ( 1 2 t2 1 2 t2 0 ) e ( 1 2 s t2 0 ) f(s)ds + Ce 1 2 t2 = e 1 2 t2 e 1 2 s2 f(s)ds + Ce 1 2 t2. u(t) = e 1 2 t2 e 1 2 s2 f(s)ds (10) er løsningen til (9) med begyndelsesbetingelsen u( ) = 0. Hvis f(t) er givet kan man angive løsningen mere præcist ved at løse integralet i (10). Sværhedsgraden af denne opgave afhænger af hvordan f(t) ser ud. Et interessant og vigtigt specialtilfælde indtræffer i (1), hvis funktionen a er konstant, altså når vi har en konstant koefficient. Vi får i det tilfælde følgende korollar af Sætning 3.4 ovenfor. Korollar 3.7 (1. ordens lineær ligning med konstant koefficient). Lad f C(I). For enhver konstant C C er funktionen u(t) = e λt en løsning til differentialligningen e λs f(s)ds + Ce λt, t I (11) u λu = f og når C gennemløber C, fås samtlige løsninger til differentialligningen. 4 Anden og højere ordens lineære ligninger med konstante koefficienter For anden og højere ordens ligninger kan vi kun finde generelle løsningsformler for lineære ligninger med konstante koefficienter. Det er derfor de eneste tilfælde, vi betragter her: u (t) + a 1 u (t) + a 0 u(t) = f(t), (12) hvor a 0, a 1 C og f er en kontinuert funktion på I. 6

7 Sætning 4.1 (Løsning til 2. ordens homogen ligning). Mængden af løsninger til den homogene differentialligning u + a 1 u + a 0 u = 0, hvor a 0, a 1 C, (13) kan, idet λ 1, λ 2 C betegner rødderne i differentialligningens karakteristiske polynonium z 2 + a 1 z + a 0, (14) beskrives som følger: 1. tilfælde. λ 1 λ 2. For ethvert par C 1, C 2 af komplekse tal er funktionen u(t) = C 1 e λ1t + C 2 e λ2t, t R (15) en løsning til (13), og enhver løsning til (13) har denne form for passende C 1, C 2 C. 2. tilfælde. λ 1 = λ 2. For ethvert par C 1, C 2 af komplekse tal er funktionen u(t) = C 1 e λ1t + C 2 te λ1t, t R (16) en løsning til (13), og enhver løsning til (13) har denne form for passende C 1, C 2 C. Bevis. Vi bemærker, at λ 1 + λ 2 = a 1 og λ 1 λ 2 = a 0, idet λ 1 og λ 2 jo er rødderne i anden grads polynomiet z 2 + a 1 z + a tilfælde (λ 1 λ 2 ). At udtrykket (15) definerer en løsning til (13), overlader vi det til læseren at vise. Vi mangler dermed blot at demonstrere, at enhver løsning til (13) kan skrives på formen (15). Lad u være en løsning til (13) og definer funktionen U = du dt λ 2u. Da er du dt λ 1U = d2 u dt 2 (λ 1 + λ 2 ) du dt + λ 1λ 2 u = u + a 1 u + a 0 u = 0. (17) Derfor findes der en konstant α C, så U(t) = αe λ1t, t R. (18) Da U = du dt λ 2u, kan vi se, at u er en løsning til den inhomogene differentialligning fra Korollar 3.7 (med λ = λ 2 og med f(t) = αe λ1t som højre side). Ifølge Korollaret findes der en konstant β C, så u(t) = e λ2t e λ2s ( αe λ1s) ds + βe λ2t = αe λ2t e (λ1 λ2)s ds + βe λ2t. (19) I det tilfælde, som vi arbejder med for øjeblikket, er λ 1 λ 2 (pr antagelse), så vi kan udregne integralet på følgende måde: [ e u(t) = αe λ2t (λ 1 λ 2)s ] t ( ) + βe λ2t α = e λ1t + β α e(λ1 λ2)t0 e λ2t, (20) hvoraf ses, at løsningen u har den ønskede form (15) med konstanterne C 1 = α og C 2 = β α e(λ1 λ2)t0. (21) 2. tilfælde (λ 1 = λ 2 ). Dette tilfælde behandles præcis som det foregående frem til og med udtrykket (19) for løsningen u. Fra dette punkt adskiller regningerne sig. I tilfældet her fås u(t) = αe λ1t e 0 ds + βe λ1t = αe λ1t (t ) + βe λ1t = (β α )e λ1t + αte λ1t, (22) 7

8 hvoraf vi ser, at løsningen u har den ønskede form (16) med konstanterne C 1 = β α og C 2 = α. (23) Bemærkning 4.2. Vi ser at løsningsrummet til en 2. ordens lineær differentialligning med konstante koefficienter er et 2-dimensionalt underrum af F(R), mængden af alle funktioner på R og sætningen ovenfor giver en basis for dette underrum. Eksempel 4.3. Lad os løse den homogene differentialligning u + 4u + 5u = 0. (24) Rødderne i det karakteristiske polynomium z 2 +4z+5 er z = 2±i og den generelle løsning til (24) er da givet ved u(t) = C 1 e ( 2+i)t + C 2 e ( 2 i)t = C 1 e 2t (cos t + i sin t) + C 2 e 2t (cos t i sin t) = C 1 e 2t cos t + C 2 e 2t sin t hvor C 1 og C 2 gennemløber C. Løsningsmængden til differentialligningen (24) er altså det 2-dimensionale underrum af F(R) som har en basis givet ved de to funktioner e 2t cos t og e 2t sin t. I det ovenstående eksempel er differentialligningen reel (der indgår ikke komplekse tal). Løsningerne er også reelle sålænge konstanterne C 1 og C 2 er reelle, men undervejs benyttede vi komplekse tal til at finde løsningerne. Hvis man generelt betragter en 2. ordens differentialligning med konstante koefficienter, som er reelle, vil det karakteristiske polynomium være reelt og derfor enten have reelle rødder Rettet 16. eller to komplekst konjugerede rødder. I det første tilfælde har man to reelle eksponentielle dec. to re- løsninger i det andet tilfælde, kan man altid som i eksemplet ovenfor, elle rødder skrive løsningerne reelt ved brug af sinus og cosinus. reelle rødder Ved induktion efter differentialligningens orden kan man vise følgende generalisation af Sætning 4.1. Vi benytter nu sprogbrugen fra lineær algebra: Sætning 4.4 (Lineære n. ordens homogene ligninger). Betragt den homogene differentialligning u (n) + a n 1 u (n 1) + + a 1 u + a 0 u = 0, (25) hvor a 0, a 1,..., a n 1 C er konstanter. Lad λ 1, λ 2,..., λ s C være rødderne i differentialligningens karakteristiske polynomium λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0, og lad n 1, n 2,..., n s N betegne røddernes multiplicitet. En basis for vektorrummet af de n gange differentiable funktioner u F(R), der opfylder den homogene differentialligning (25) udgøres af følgende funktioner: t e λ1t, te λ1t,..., t n1 1 e λ1t t e λ2t, te λ2t,..., t n2 1 e λ2t t e λst, te λst,..., t ns 1 e λst. 8

9 Hvis polynomiet λ n +a n 1 λ n 1 + +a 1 λ+a 0 har n forskellige rødder λ 1, λ 2,..., λ s C, så udgør de n funktioner en basis for løsningsrummet. t e λ1t, t e λ2t,... t e λst Lad os til slut give en metode til løsning af 2. ordens inhomogene ligninger. Løsningsrecepten for anden ordens lineære differentialligninger er som tidligere beskrevet: Find en løsning u 0 til den inhomogene ligning. Samtlige løsninger fås ved til den partikulære løsning u 0 at addere samtlige løsninger til den tilsvarende homogene differentialligning. Ved hjælp af Sætning 4.1 er den homogene ligning nem at løse (husk at vi antager, at a 0 og a 1 er konstanter). Vi behøver altså blot at gætte en løsning til den inhomogene ligning for at få den totale løsningsmængde. Det er ofte lettest at gætte, men vi giver nu en metode. Dette resultat er ikke pensum i LinAlg, men det forventes at man kan løse inhomogene differentialligninger ved brug af maple. Det følger af resultatet nedenfor, at hvis funktionen f i differentialligningen (12) er kontinuert altså i C(R), findes der en løsning til differentialligningen. Med andre ord, hvis vi betragter afbildningen L : C 2 (R) C(R), givet ved L(u)(t) = u (t) + a 1 u (t) + a 2 u(t), Rettet 15. dec. u(t) u (t) gælder der, at L er surjektiv L(C 2 (R)) = C(R). Man ser nemt at L er lineær. Det følger af Sætning 4.1 at dim(kerl)=2. Tilsvarende gælder der for n. ordens lineære differentialligninger at den tilsvarende lineære afbildning fra C n (R) til C(R) er surjektiv og har dim ker(l)=n. Ved at følge fremgangsmåden i beviset for Sætning 4.1, kan man løse den inhomogene ligning (12). Vi giver resultatet i den næste sætning. Sætning 4.5 (Løsnings til 2. ordens lineær inhomogen ligning). Lad λ 1, λ 2 C være rødderne i det karakteristiske polynomium (14) for den homogene ligning svarende til differentialligningen (12). En partikulær løsning u 0 til (12) kan angives som følger: 1. tilfælde. λ 1 λ 2. Da er u 0 (t) = en løsning til (12). 2. tilfælde. λ 1 = λ 2. Da er en løsning til (12). u 0 (t) = e λ1(t s) e λ2(t s) f(s)ds, t I (26) e λ1(t s) (t s)f(s)ds (27) Bevis. 1. tilfælde. Vi checker, at u 0 virkelig er en løsning. Hvis vi omskriver e λ1t e λ1s f(s)ds e λ2t e λ2s f(s)ds t u 0 (t) = 0, ser man ved brug af produktreglen for differentiation og Analysens Fundamental- 9

10 sætning, at u 0(t) = λ 1e λ1t t e λ1s f(s)ds + f(t) λ 2 e λ2t t e λ2s f(s)ds f(t) = λ 1e λ1t t e λ1s f(s)ds λ 2 e λ2t t e λ2s f(s)ds u 0(t) = λ2 1e λ1t t e λ1s f(s)ds λ 2 2e λ2t t e λ2s f(s)ds + f(t). Da λ 1 og λ 2 er rødder i det karakteristiske polynomium, følger det umiddelbart, at u 0 er en løsning til (12). 2. tilfælde. Vi udregner igen u 0(t) = u 0(t) = 2 e λ1(t s) f(s) ds + λ 1 e λ1(t s) f(s) ds + λ 1 e λ1(t s) (t s)f(s) ds λ 2 1e λ1(t s) (t s)f(s) ds + f(t). Da λ 1 er dobbeltrod i det karakteristiske polynomium, gælder der, at a 1 = 2λ 1. Man ser derfor ved indsættelse i (12), at u 0 er en løsning. I formlen for den generelle løsning af (12) indgår der to frie parametre, nemlig C 1 og C 2. Som følgende sætning viser, betyder det, at man kan foreskrive værdien af løsningen u og dens afledede u i lige som man vil. Sætning 4.6 (Eksistens- og éntydighedssætningen). Lad f C(I). Givet v 0, v 1 C findes der netop én løsning u til den inhomogene differentialligning (12), så u( ) = v 0 og u ( ) = v 1. Bevis. Vi betragter først tilfældet hvor rødderne λ 1 og λ 2 er forskellige. Fra ligning (15) ser vi, at vi skal konkludere, at der er et og kun et sæt løsninger C 1, C 2 til ligningerne C 1 e λ1t0 + C 2 e λ2t0 = v 0 C 1 λ 1 e λ1t0 + C 2 λ 2 e λ2t0 = v 1. Det følger af at determinanten til koefficientmatricen ikke er nul: e λ1t0 e λ2t0 λ 1 e λ1t0 λ 2 e λ2t0 = (λ 2 λ 1 )e (λ1+λ2)t0 0. I tilfældet, hvor λ 1 = λ 2 skal vi tilsvarende checke, at e λ1t0 e λ1t0 λ 1 e λ1t0 (λ 1 + 1)e λ1t0 = 0. e2λ1t0 10

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER

Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER UDKAST 7122009 Noter til An0 Inst f Matematiske Fag Gerd Grubb December 2009 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 1 Generelle resultater 11 Introduktion I tidligere kurser er der gennemgået

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Udarbejdet af Arne Jensen 1 Indledning I forbindelse med kurset Matematisk Analyse 2 på Mat 2 afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang af 3 ECTS.

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform

Læs mere

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Lektion ordens lineære differentialligninger

Lektion ordens lineære differentialligninger Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

Eksamensnoter til Analyse 1

Eksamensnoter til Analyse 1 ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere