Mat2AN Minilex. Indhold. Henrik Dahl 6. januar Definitioner 2. 2 Sætninger Uligheder 28

Transkript

1 Mat2AN Minilex Henrik Dahl 6. januar 2004 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende fejl. Jeg påtager mig intet ansvar overhovedet for noget som helst. Faktisk vil jeg for en sikkerheds skyld fraråde brug af det følgende... Ved referencer til lærebøgerne bruges (K) for Kompendiet og (G) for Grønbæk (Hilbertrum). Hvis der ikke er nogen eksplicit reference er der tale om Carothers (Real Analysis). Check altid referencen for at være sikker, og lav kun henvisninger til de officielle lærebøger - absolut ikke til dette dokument. Jeg har opdaget, at det er en næsten monumental opgave at systematisere Carothers (why?). Pga. tidnød er det derfor ikke lykkedes mig at skelne klart mellem definitioner og sætninger. Mit råd er derfor at checke i både afsnit 1 og 2 for at finde en bestemt egenskab. Hvis du finder fejl eller har andre kommentarer hører jeg meget gerne om det. Send mig en mail, så minilexet kan blive forbedret. På forhånd tak! (Allerede tak til Søren Kristensen og Eva Rotenberg) Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger 14 3 Uligheder 28 1

2 1 DEFINITIONER 2 1 Definitioner Afslutning Lad (M, d), A M. A = cla defineret ved den mindste afsluttede mængde, der indeholder A kaldes afslutningen af A. A = {F afsluttede A F } (s.56, K.s.5) A = {x M ε > 0 : B ε (x) A } Afsluttet mængde x A (x n ) A : x n x E A E = A E M (P.4.13, s.60) En mængde F M er afsluttet dersom F c er åben. (s.53, K.s.4) Ex., M afsluttede, endelig mængde afsluttet. I diskret rum er enhver delmængde afsluttet. F er afsluttet betyder: (S.4.9, s.54) ε > 0 : B ε (x) F x F (x n ) F, x n x M x F F = F (Opg.17, s.57, K.s.5) bdry(f ) F (Opg.44, s.59) F A afsluttet i (A, d) F = A C, C afsluttet i (M, d) (P.4.13, s.60) Endelige foreningsmængder af afsluttede mængder er afsluttede (K.s.4) Uendelig fællesmængde af afsluttede mængder er afsluttet (K.s.4) Afstand til mængde Lad (M, d) være metrisk rum og A M. Afstanden fra x til A defineres til (Opg. 26, s.57, s.67, K.s.6) d(x, A) = inf{d(x, a) a A} Aftagende følge Banach-rum Basis B(X) Begrænsethed d(a, B) = inf{d(a, b) : a A, b B} (Opg. 32, s.58) En følge (x n ) er aftagende betyder: n N : x n+1 x n Et normeret vektorrum (V, ), der er fuldstændigt kaldes et Banach-rum. (s.96, K.s.6) Et vektorrum V kaldes endelig frembragt, dersom der findes en endelig mængde, der udspænder V. En mængde af vektorer B V kaldes en basis for V, hvis span (B) = V og B er lineært uafhængig (G.D.2.6, s.6) Givet en mængde X, er B(X) vektorrummet af alle begrænsede funktioner f : X R, udstyret med normen f = sup x X f(x) (s.153). Vi har f n f B(X) f n f 0 f n f på X uniformt. B(X) er fuldstændigt under supremumsnormen En følge (x n ) - eller en mængde A - er begrænset betyder K R n N : (x n ) K K R x A : x K A (M, d), x 0 M, K < a A : d(a, x 0 ) K (O.14, s.39, K.s.3) Bem. er begrænset (K.s.3)

3 1 DEFINITIONER 3 K kaldes en øvre grænse. være begrænset (p.4) (p.3). Hvis A er begrænset opad og nedad siges A at A begrænset i (M, d) betyder B r (x) A. (s.45) A begrænset diam A < (O.29, s.45) Begrænsethed, total A M kaldes totalt begrænset dersom et endeligt antal kugler fra M med radius ε dækker A: (L.7.1, s.89) ε > 0 x 1,..., x n M : A n i=1b ε (x i ) Vi siger, at {x 1,..., x n } er ε-tæt i A, eller at de udgør et ε-net i A, eller at A er dækket af endelig mange ε-kugler (K.s.6) ε > 0 : diam A i ε : A = n i=1a i En total begrænset mængde er begrænset, en endelig mængde er total begrænset, A total begrænset A total begrænset (s.90) Bernstein-polynomier C(M) C(X) C 1 C 2π Givet f C[0, 1] er følgen af Bernstein-polynomier defineret ved (B n (f))(x) = ( ) n n k=0 f(k/n) x k k (1 x) n k, 0 x 1. (B n (f))(0) = f(0), (B n (f))(1) = f(1) (s.164) Mængden af kontinuerte reelle funktioner på (M, d) (s.73) Mængden af kontinuerte reelle funktioner på (X, d) med X kompakt. Vi har at C(X) er fuldstændigt normeret vektorrum under -normen (s.162) {f : R R f og f kontinuert} Mængden af alle 2π-periodiske kontinuerte funktioner f : R R kaldes C 2π. C 2π = {f : R R f kontinuert og f 2π-periodisk}. T n er et underrum af C 2π (s.171) Det indre produkt på C 2π er givet ved f, g = π f(x)g(x)dx. Der gælder, at funktionerne 1, cos x, cos 2x,..., cos nx, sin x, sin 2x,..., sin nx er ortogonale her. π (s.171) C N Cauchy-følge {(x n ) C} En følge (x n ) er Cauchy dersom (s.46, K.s.3) ε > 0 N N n, m N : x n x m < ε -dvs. følgeelementerne kan ikke skelnes fra hinanden efter et vist trin. ε > 0 N N n, m N : d(x n, x m ) < ε diam Dimension ε > 0 N N : diam ({x n n > N}) ε (M, d) metrisk rum, = A M. diam A = sup{d(x, y) x, y A}. (O.15, s.39, K.s.3) Lad V være et endelig frembragt vektorrum over C og lad B være en basis. Vi definerer dimensionen af V som dim V = card B. Dersom V ikke er endelig frembragt,

4 1 DEFINITIONER 4 siger vi at V er uendeligdimensionalt, og skriver evt. dim V = (G.D.2.10, s.8) Dirichlets kerne Dirichlets kerne er givet ved (s ) D n (t) = 1 n 2 + cos kt = k=1 For t = 0 er D n (t) = n + 1/2 (K.s.10) D n T n sin(n + 1/2)t 2 sin(t/2) Endelig mængde Fejers kerne En mængde A er endelig dersom A = eller A er ækvipotent med {1, 2,..., n} for passende n N (s.18). Hvis A ikke er endelig siges den at være uendelig (K.s.2) K n = n 1 k=0 D k n kaldes Fejers kerne. (s.255) Vi har, at (s.255) n 1 k=0 s k(f)(x) n = 1 π π π f(x + t) n 1 k=0 D k(t) n dt = 1 π π π f(x + t)k n(t)dt K n (t) = sin2 (nt/2) (s.255) for t 0 2n sin 2 (t/2) For t = 0 er K n (t) = n/2 (K.s.10) K n er et lige, ikke-negativt trigonometrisk polynomium af grad højst n 1 med π π K n(t)dt = 1 (s.255) 1 π Fixpunkt Fortætningspunkt Lad T : M M. x M kaldes et fixpunkt for T dersom T x = x (s.98, K.s.6) En mængde A M har fortætningspunkt x M dersom x cl(a \ {x}) (K.s.5) x M, A M. x kaldes et fortætningspunkt for A hvis ε > 0 : (B ε (x)\{x}) A (O.33, s.58). x fortætningspunkt for A (x n ) A : x n x, x n x for alle n (Opg.34, s. 58) Fourierrække Fourierrækken for en 2π-periodisk funktion f som er integrabel på [ π, π] er a (a k cos kx + b k sin kx) k=1 begrænset og Riemann- med a k = 1 π π π f(t) cos ktdt og b k = 1 π π f(t) sin ktdt. (s.244) π Fourierkoefficienterne opfylder a k 1 π π π f(t) dt (samme for b k), og endda a k 2 f (igen også for b k ) Afsnittene i rækken kaldes s n (f)(x) = a 0 2 n k=1 (a k cos kx + b k sin kx) Selv om der ikke er punktvis konvergens, repræsenterer fourierrækken alligevel f, og vi skriver f a0 2 + Der gælder, at de trigonometriske elementarpolynomier er ortogonale, så π π cos mx cos nx = π π sin mx sin nx = π cos mx sin nx = 0 for m n π og = π for m = n 0 og = 2π for m = n = 0

5 1 DEFINITIONER 5 For f C 2π, f : R C defineres fourrierrækken ved k= c ke ikt med c k = 1 π 2π π f(t)e ikt dt. Det indre produkt er da defineret f, g = 1 π 2π π ( f(t)g(t)dt, 1 π 1/2. og L 2 -normen ved f 2 = 2π dt) π f(t) 2 Da er Dn (t) sin(n+1/2)x sin(x/2) og K n (x) = sin 2 (nx/2) n sin 2 (x/2) (s ) Fra et vist trin Fuldstændighed Lad p(n), n N være et udsagn om naturlige tal. Vi siger hvis der findes N N så p(n) er sand for n N (K.s.3) Et metrisk rum (M, d) kaldes fuldstændigt hvis Cauchy-følger er konvergente i rummet, dvs. for alle Cauchy-følger (x n ) i M findes x M så x n x for n. (s.92, K.s.6) Ex. på fuldstændige rum: [0, 1], [0, [, R, R n, l 1, l 2, l, C[a, b] (s.92) Ækvivalenser (S.7.11, s.95): (M, d) fuldstændigt, Rusesætningen: Lad F 1 F 2 være aftagende følge at ikke-tomme afsluttede mængder i M med diam F n 0. Så er 1 F n (faktisk præcis et punkt) Bolzano-Weierstrass: Enhver uendelig totalt begrænset delmængde af M har et fortætningspunkt i M Fuldstændiggørelse Et metrisk rum ( ˆM, ˆd) kaldes en fuldstændiggørelse for (M, d) hvis (s.102, K.s.7) ( ˆM, ˆd) er fuldstændigt og (M, d) er isometrisk med en tæt delmængde af ( ˆM, ˆd) Fælles- og forenings-mængde Lad M være givet. For α I givet familie af delmængder A α M. Fællesmængden er givet ved x α I A α M α I : x A α Foreningsmængden er givet ved x α I A α M α I : x A α Grænseværdi Vi skriver lim x a f(x) = L hvis (f, a reel) (s.14-15) ε > 0 δ > 0 : x a < δ f(x) L < ε Hilbertrum Homeomorfi (x n ) a, x n a L : f(x n ) L x n a, x n a (f(x n )) lim(f(x n )) Et fuldstændigt præhilbertrum kaldes et hilbertrum (G.D.4.5, s.13) (M, d) og (N, ρ) er homeomorfe dersom der findes f : M N bijektiv med f : (M, d) (N, ρ) kontinuert og f 1 (N, ρ) (M, d) kontinuert. (Indebærer ikke ækvivalens) (s.70, K.s.6) x n d x f(xn ) ρ f(x)

6 1 DEFINITIONER 6 Indre Indre produkt (s.171) G åben i M f(g) åben i N F afsluttet i M f(f ) afsluttet i N ˆd(x, y) = ρ(f(x), f(y)) er metrik på M som er ækvivalent med d f : M N isometri f 1 : N M isometri, så f er homeomorfi (s.70) g : N R kontinuert g f : M R kontinuert (opg. 54, s.72) f(a) = f(a) f homeomorfi (Opg.58, s.73) Lad (M, d), A M. A o = inta defineret ved den største åbne mængde, der er indeholdt i A kaldes det indre af A. A o = {G åbne G A}. (s. 56, K.s.5) A o = {x A ε > 0 : B ε (x) A} Det indre produkt (skalarproduktet) på C 2π er givet ved f, g = π π f(x)g(x)dx På = C n, x = (λ 1,..., λ n ), y = (µ 1,..., µ n ), x, y = n 1 λ kµ k (G.s.9) På = C([a, b], C), x, y = 1 b b a x(t)y(t)dt (G.s.9). a På l 2, x = (λ 1, λ 2,...), y = (µ 1, µ 2,...), x, y = 1 λ kµ k (G.s.13) Infimum Lad = A R. inf A er det største undertal for A. Hvis A ikke er nedad begrænset er inf A = (s.4) inf opfylder (K. s.1) 1. a A : a inf A (altså et undertal) 2. a A : a M inf A M (mindste undertal) 3. inf er udefineret Intetsteds tæt A er intetsteds tæt i M hvis A o = (Opg. 54, s. 59, K.s.5) Hvis A afsluttet er A intetsteds tæt hviss (A c tæt A o = ) (Opg.57, s.59) A indeholder ingen åbne delmængder ( ) (Opg. 60, s.60) Hver åben ikke-tom delmængde af M indeholder en ikke-tom åben delmængde, som er disjunkt med A (Opg. 60, s.60) Hver åben ikke-tom delmængde af M indeholder en åben kugle, som er disjunkt med A (Opg. 60, s.60) Isoleret punkt x A, x ikke fortætningspunkt for A. Da kaldes x et isoleret punkt i A, dvs. ε > 0 : (B ε (x) \ {x}) A = (Opg. 40, s.58) De kontaktpunkter for A, der ikke er fortætningspunkter (isolerede punkter tilhører A) (K.s.5) Isometri Isomorfi En funktion f : M N mellem metriske rum kaldes en isometri hvis x, y M : ρ(f(x), f(y)) = d(x, y) (s.64, K.s.6) To hilbertrum (H,, H ), (K,, K ) kaldes (hilbertrums-) isomorfe eller unitærækvivalente hvis der eksisterer en afbildning U : H K som opfylder

7 1 DEFINITIONER 7 U er lineær U er bijektiv x, y H : Ux, Uy K = x, y H dvs. U bevarer hilbertrumstrukturen. En sådan afbildning kaldes en hilbertrumsisomorfi eller en unitær afbildning (G.D.8.1, s.22) Karakteristisk funktion Kompakthed { 1, t A Lad A S. Funktionen χ A : S R givet ved χ A (t) = 0, t S \ A kaldes den karakteristiske funktion for A eller indikatorfunktionen for A. χ = 0. (K.s.5) Et metrisk rum (M, d) kaldes kompakt hvis det er fuldstændigt og total begrænset (s. 108, K.s.7) Ex. K R n afsluttet og begrænset. Modex {x : x 1} i l. (s. 108) Et metrisk rum (M, d) kaldes kompakt dersom enhver åben overdækning (G i ) i I af M kan udtyndes til en endelig overdækning (S.8.9, K.s.7) Komplekst vektorrum Et komplekst vektorrum er en mængde V af vektorer udstyret med vektoraddition V V V : (v, w) v + w og skalarmultiplikation C V V : (λ, v) λv, som opfylder følgende aksiomer (G.D.1.1, s.4) 1. v, w V : v + w = w + v 2. v, w, x V : (v + w) + x = v + (w + x) 3. 0 V v V : v + 0 = v 4. v V w V : v + w = 0 5. v, w V λ C : λ(v + w) = λv + λw 6. v V λ, µ C : (λ + µ)v = λv + µv 7. v V λ, µ C : λ(µv) = (λµ)v 8. 1v = v Vektoren 0 kaldes nulvektoren. Alle andre kaldes egentlige vektorer. Kontaktpunkt Lad (M, d) metrisk rum, A M. Et kontaktpunkt for A er et punkt i cl(a) (K.s.5) Kontinuitet Lad (M, d), (N, ρ) være metriske rum. (s.15, s.49, s.63) f : M N kontinuert i x M betyder ε > 0 δ > 0 y R : y x < δ f(y) f(x) < ε x n x f(x n ) f(x) x n x f(x n ) lim f(x n ) f(x ) = f(x + ) og begge eksisterer ε > 0 δ > 0 : d(x, y) < δ ρ(f(x), f(y)) < ε d(x n, x) 0 ρ(f(x n ), f(x)) 0 f(bδ d (x)) Bε ρ (f(x))

8 1 DEFINITIONER 8 Kontraktion Konvergens ε > 0 δ > 0 : B δ (x) f 1 (B ε (f(x))) E afsluttet i N f 1 (E) afsluttet i M (S.5.1, s.63) V åben i N f 1 (V ) åben i M (S.5.1, s.63) En afbildning T : (M, d) (M, d) kaldes en streng kontraktion dersom der findes 0 < C < 1 således at x, y M : d(t x, T y) Cd(x, y) (dvs. afstand mellem billedpunkter mindre end mellem punkterne selv). (s.98) Hvis C 1 kaldes afbildningen en kontraktion (K.s.6) En følge (x n ) er konvergent betyder (s.46) a R ε > 0 N N n N : x n a < ε lim x n = x d(x n, x) 0 for n n ε > 0 N N n N : d(x n, x) < ε ε > 0 : (x n ) B ε (x) fvt. ε > 0 : (x n ) enhver omegn af x fvt. x X ε > 0 N N n N : ρ(f n (x), f(x)) < ε (Punktvis, s. 145) ε > 0 N N x X n N : f n (x) f(x) < ε (Uniform, s. 146) Uniform konvergens medfører punktvis konvergens (s.147) Konvergens af række l p l (M) L 2 Lad x 1, x 2,... være en følge i et præhilbertrum. Vi siger, at rækken 1 x k er konvergent med sum x = 1 x k hvis afsnitsfølgen y n = n 1 x k er konvergent med grænseværdi lim n y n = x (G.D.6.1, s.18) Lad x = (x n ) være følge i R (evt.c). For 1 p < er l p mængden af følger for hvilke 1 x n p <. Desuden er l er mængden af begrænsede reelle følger. (s.40-41) Mængden af begrænsede reelle funktioner f : M R med norm f = sup x M f(x) (s.103) L 2 -normen er defineret ved (f Riemann-integrabel) f 2 = (s.247, K.s.9) ( 1 π 1/2 π dx) π f(x)2 f 2 = f, f (s.247) Lebesque-tal Limsup, liminf λ n = 1 π π π D n(t) dt kaldes Lebesque-tal (D n er Dirichlets kerne) (s.252) Lad følge (x n ) være begrænset og dan T 1 = sup{x 1, x 2...}, T 2 = sup{x 2, x 3,...} t 1 = inf{x 1,...}, t 2 = inf{x 2,...}. (T n ) er aftagende. (t n ) er voksende. Vi har (s.11) lim sup x n = lim T n, lim inf x n = lim t n Dersom sup{x n x N} = + sættes lim sup n x n = + og hvis inf{x n x N} = sættes lim inf n x n =. Hvis sup n t n = + sættes lim inf n x n = lim sup n x n = +, og hvis inf n T n = sættes lim inf n x n = lim sup n x n = (K. s.1) Linearkombination V komplekst vektorrum, = M V. Et udtryk af formen λ 1 m λ n m n hvor m i M, λ i C kaldes en (kompleks) linearkombination af vektorer fra M.

9 1 DEFINITIONER 9 Hvis (λ 1,..., λ n ) (0,..., 0) kaldes linearkombinationen egentlig i modsætning til det omvendte tilfælde, hvor vi taler om en uegentlig linearkombination (G.D.1.5, s.5) Lineær afbildning Lineær uafhængighed Lipschitz-betingelse Ved en lineær afbildning mellem komplekse vektorrum V, W forstås en afbildning f : V W som opfylder x, y V λ, µ C : f(λx + µy) = λf(x) + µf(y). Dersom V = C kaldes f en linearform (G.D.1.1, s.4) Lad M V, x V. Vi siger, at x er lineært afhængig af M hvis x span M. I modsat fald (x / span M) siges x at være lineært uafhængig af M. Vi siger, at M er en lineært uafhængig mængde hvis det for alle x M gælder, at x / span (M \{x}), altså hvis ingen vektor i M er en linearkombination af de øvrige. Pr. definition er lineært uafhængig, mens enhver ikke-tom lineært uafhængig mængde består af egentlige vektorer (G.D.2.1, s.5) En funktion: f : R R tilfredsstiller Lipschitzbetingelsen, hvis der findes en konstant K < så f(x) f(y) K x y for alle x, y R (Opg.19, s.66) En funktion: f : (M, d) (N, ρ) tilfredsstiller Lipschitzbetingelsen, hvis der findes en konstant 0 < K < så ρ(f(x), f(y)) Kd(x, y) for alle x, y M (Opg.25, s.66, K.s.6). Tallet K kaldes en lipschitzkonstant. Metrik Lad M og d : M 2 R. d er en metrik, hviss (s.37) 0 d(x, y) < for alle x, y M d(x, y) = 0 x = y d(x, y) = d(y, x) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) for alle x, y, z M Metrik, diskrete Metrik, sædvanlige Metrisk delrum Metrisk rum Monoton følge Norm { 0 for a = b For a, b M( ) er d(a, b) = den diskrete metrik. (K.s.2) 1 for a b Bem. den sædvanlige metrik på N er ækvivalent med den diskrete metrik, og enhver metrik på en endelig mængde er ækvivalent med den diskrete metrik (O.43, s.48) (V, ) normeret vektorrum. d(x, y) = x y kaldes den sædvanlige eller inducerede metrik (s.40, K.s.3). I R er d(a, b) = b a den sædvanlige metrik. I R 2 er d(a, b) = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 den sædvanlige metrik. Lad (M, d) være metrisk rum og = A M. Restriktionen af d til A A er en metrik på A, og den kaldes delrumsmetrikken, den relative metrik eller den inducerede metrik (K.s.5) En mængde M med tilhørende metrik d, (M, d) kaldes et metrisk rum (s.37) En følge (x n ) er monoton betyder er enten voksende eller aftagende: n N : x n+1 x n eller n N : x n+1 x n Givet et vektorrum V. En norm : V R opfylder (s.40, K.s.3) : 0 x < for alle x V x = 0 x = 0 ax = a x

10 1 DEFINITIONER 10 x + y x + y Hvis alt undtagen 2. betingelse er opfyldt taler vi om en pseudonorm (s.40) Vi har følgende: 1-normen x 1 = i x i, 2-normen x 2 = ( i x i 2) 1/2, p- normen x p = ( i x i p ) 1/p, -normen x = max i { x i }. (s. 40) På C[a, b] er følgende normer: f 1 = b a f(t) dt, f 2 = ( b a f(t) 2 dt) 1/2, f = max a t b f(t) (s.40) Normeret rum Omegn Et vektorrum V med tilhørende norm kaldes et normeret rum. (s.40) (M, d) metrisk rum, x M. U M kaldes en omegn af x dersom (s.46, K.s.3) r > 0 : B r (x) U Originalmængde Ortogonalitet Lad f : X Y, B Y. Originalmængden f 1 (B) = {x X f(x) B}. To vektorer x, y i et præhilbertrum siges at være ortogonale, hvis x, y = 0. Det noteres x y (G.D.5.1, s.15) En mængde S af vektorer kaldes ortogonal, hvis x y for to vilkårlige forskellige vektorer i S. En følge af vektorer (x n ) kaldes en ortogonalfølge hvis x j x k for alle j k. En endelig ortogonalfølge kaldes også et ortogonalsæt (G.D.5.3, s.15) Ortogonalkomplement Lad A være en delmængde af et præhilbertrum. Det ortogonale komplement til A er mængden A = {x a A : x, a = 0} dvs. A er mængden af vektorer som er ortogonale på enhver vektor i A (G.D.7.1, s.19) Ortonormalbasis Ortonormalitet Overtællelig mængde Potensmængde Præhilbertrum Lad være et præhilbertrum. Er endeligdimensionalt kaldes et ortonormalsæt e 1,..., e n for en ortonormalbasis for, dersom det for alle x gælder, at x = n 1 x, e k e k. Hvis er uendeligdimensionalt kaldes en ortonormalfølge e 1, e 2,... i en ortonormalbasis for hvis det for alle x gælder, at x = 1 x, e k e k. Vi taler i begge tilfælde om ortonormaludviklingen af x mht. ortonormalbasen. (G.D.7.5, s.20) En delmængde S af et præhilbertrum siges at være ortonormal hvis (i) S er ortogonal, og (ii) x = 1 for alle x S. En følge (x n ) af vektorer kaldes en ortonormalfølge hvis (i) x m x n for alle n m og (ii) x k = 1 for alle k. En endelig ortonormalfølge kaldes også et ortonormalsæt (G.D.5.7, s.16) En mængde A er overtællelig dersom A er uendelig og A ikke er tællelig, dvs. ikke ækvipotent med N (s.22) Potensmængden for en mængde A, P(A) er mængden af delmængder af A, P(A) = {B B A} (K.s.2) Et præhilbertrum er et komplekst vektorrum med skalarprodukt, dvs. udstyret med en afbildning, : C som for alle x, y, z og alle λ C opfylder (G.D.1.1, s.9)

11 1 DEFINITIONER y, x = x, y 2. x + y, z = x, z + y, z 3. λx, y = λ x, y 4. x, x R + for x 0 Eks. = C n, x = (λ 1,..., λ n ), y = (µ 1,..., µ n ), x, y = n 1 λ kµ k (Det n-dimensionale unitære rum (G.s.9) (Dette er fuldstændigt, G.s.13) Eks. = C([a, b], C), x, y = 1 b b a x(t)y(t)dt (Præhilbertrummet af kontinuerte a funktioner på [a, b] (G.s.9). (Dette er ikke fuldstændigt, G.s.13) Produktmetrik Enhver henvisning til en metrik på M N kaldes en produktmetrik. Givet to metriske rum (M, d), (N, ρ) har vi d 1 ((a, x), (b, y)) = d(a, b) + ρ(x, y), d 2 ((a, x), (b, y)) = (d(a, b) 2 + ρ(x, y) 2 ) 1/2, d ((a, x), (b, y)) = max{d(a, b), ρ(x, y)} (O.46, s. 48, K.s.4) Punktvis konvergens Rand Lad X være en mængde og (N, ρ) et metrisk rum. En følge af funktioner f n : X N siges at konvergere punktvis mod f : X N dersom der til ethvert x X gælder, at (f n (x)) i N er konvergent mod f(x) (altså: x X ε > 0 N N : n N ρ(f n (x), f(x)) < ε) (K.s.8) Mængden A = cl(a) \ A o kaldes randen af A (K.s.5). Betegnes også med bdry(a) bdry(a) = bdry(a c ) Randpunkt Separabelt rum Span A = A o bdry(a) M = A o bdry(a) (A c ) o bdry(a) = A \ A o (bdry afsluttet, Opg. 43, s.59) bdry(a) A A afsluttet, (opg.44, s. 59) A afsluttet bdry(a) intetsteds tæt (Opg. 59, s.60) x M kaldes et randpunkt for A hviss ε > 0 : B ε (x) A B ε (x) A c. Vi betegner mængden af randpunkter med bdry(a) eller A (Opg. 41, s.58). Et metrisk rum kaldes separabelt hvis det indeholder en tællelig tæt delmængde (Opg. 48, s.59, K.s.5). Ex. l 2, H (Opg.49, s. 59). Men l er ikke separabelt (Opg. 50, s.59) V komplekst vektorrum, = M V. Ved det af M udspændte underrum forstås mængden af linearkombinationer af vektorer fra M. Det benævnes span M, altså span M = {λ 1 m λ n m n m 1,..., m n M, λ 1,..., λ m C} Pr. definition sættes span = {0} (G.D.1.5, s.5). span M er det mindste underrum, der indeholder M (G.Ø.1.6, s.5) Supremum Lad A R. sup A er det mindste overtal for A. Hvis A ikke er begrænset ovenfra er sup A = (p.4) sup opfylder (K. s.1)

12 1 DEFINITIONER a A : a sup A (altså et overtal) 2. a A : a M sup A M (mindste overtal) 3. sup er udefineret Lad A R opad begrænset. s = sup A hviss s øvre grænse for A OG ε > 0 a A : a > s ε (Opg. 3, s. 4) T n Total mængde/følge Trigonometrisk polynomium Mængden af trigonometriske polynomier af grad højst n kaldes T n (s.171) Lad A være en delmængde af et præhilbertrum.. Mængden A kaldes total hvis A = {0}. Hvis A = {a 1, a 2...} taler vi om en total følge (G.D.7.1, s.19) Et trigonometrisk polynomium er en endelig linearkombination af funktionerne cos kx og sin kx, k = 0, 1, 2,..., dvs. en funktion på formen T (x) = a 0 + n k=1 (a k cos kx+ b k sin kx) hvor a k, b k R. Graden af polynomiet er n dersom mindst en af a n, b n 0 (s.170, K.s.8) Et komplekst trigonometrisk polynomium har formen T (x) = n k= n c ke ikx, x R med grad max{k c k 0 c k 0} (K.s.8) Tællelig mængde Tæt mængde En mængde A er tællelig dersom A er ækvipotent med N eller A er endelig. (s.18) A er tæt i M (metrisk rum) hvis A = M, dvs. (Opg.46, s.59, K.s.5) x M (x n ) A : x n x Uendeligt ofte Uendeligt tællelig mængde Underrum ε > 0 x M : B ε (x) A U, U åben U A (A c ) o = Lad p(n), n N være et udsagn om naturlige tal. Vi siger p(n) gælder uendeligt ofte, dersom mængden n for hvilke p(n) er sand er uendelig. (K.s.3) En mængde A er uendeligt tællelig dersom A er ækvipotent med N V komplekst vektorrum. U V kaldes et hvis restriktionen af vektoroperationerne fra V til U gør U til et komplekst vektorrum. Det gælder, hvis (G.D.1.1, s.4) 1. 0 U 2. x, y U x + y U 3. x U, λ C λx U Uniform kontinuitet f : (M, d) (N, ρ) kaldes uniformt kontinuert hvis ε > 0 δ > 0 x, y M : d(x, y) < δ ρ(f(x), f(y)) < ε (Opg. 47, s.105, s.115, K.s.7) (Sender Cauchyfølger i Cauchyfølger (Opg.48, s.105, s.115)) f uniformt kontinuert hviss ε > 0 δ > 0 : A M : diam M (A) < δ diam N f(a) < ε (s.115) Uniform konvergens Lad X være en mængde og (N, ρ) et metrisk rum. En følge af funktioner f n : X

13 2 SÆTNINGER 13 N siges at konvergere uniformt mod f : X N dersom der til ethvert ε > 0 findes et N N så at for alle x X og alle n N gælder, at ρ(f n (x), f(x)) < ε (altså: ε > 0 N N x X : n N ρ(f n (x), f(x)) < ε) (K.s.8) Vektornorm Voksende følge Ækvipotente mængder Ækvivalente metrikker I et præhilbertrum er normen af en vektor defineret som x = x, x 1/2 (G.D.3.1, s.10) En følge (x n ) er voksende betyder: n N : x n+1 x n To mængder, A, B er ækvipotente hviss der findes en bijektion: φ : A B. (s.18). Vi kan da skrive A B og sige, at A, B har samme kardinaltal eller kardinalitet (K.s.2) To metrikker, d, ρ er ækvivalente hviss de bevarer konvergens, dvs. d(x n, a) 0 ρ(x n, a) 0(O.42, s.48, K.s.3) d, ρ ækvivalente på M hvis de genererer de samme åbne mængder (Opg.3, s.55) d, ρ ækvivalente metrikker på M i : (M, d) (M, ρ), i 1 : (M, ρ), (M, d) er begge kontinuerte (s.70) Ækvivalente normer Åben kugle To normer på V,, er ækvivalente hviss de bevarer konvergens, dvs. x n x 0 x n x 0 (K.s.3) (M, d) metrisk rum. En åben kugle med centrum i a M og radius ε > 0 er (s.45, K.s.3) B ε (a) = {x M d(x, a) < ε} (I R et åbent interval, i R 2 en åben cirkelskive. Under diskret metrik enten punktet selv eller hele mængden). Åben mængde Givet metrisk rum (M, d). U M kaldes åben dersom U er en omegn af alle sine punkter, dvs. (s.51, K.s.4) x U ε > 0 : B ε (x) U Ex. i (M, d) er M åben, åben, i diskret rum er {x} åben U åben U o = U (Opg.17, s.57) G U åben i (U, d) G = U V med V åben i (M, d) (P.4.13, s.60) er åben Endelige fællesmængder af åbne mængder er åben (K.s.4) Uendelige foreningsmængder af åbne mængder er åben (K.s.4) A åben A o = A (K.s.5) Åben overdækning En familie (A i ) i I af delmængder af M siges at overdække X M hvis X i I A i, og (A i ) i I siges at være en overdækning af X. Hvis I er endelig eller tællelig taler vi om en endelig eller tællelig overdækning. Hvis M er et metrisk rum og alle A i er åbne taler vi om en åben overdækning. Hvis J I og (A i ) i J overdækker X siger vi, at (A i ) i J er en udtynding af overdækningen (A i ) i I (K.s.7)

14 2 SÆTNINGER 14 2 Sætninger Afslutning og afstand Afslutning og indre Afsluttede mængder d(x, A) = 0 x A (Opg.26, s.57) A = ((A c ) o ) c, A o = A cc (Opg.24, s.57) Om afsluttede mængder gælder : M, er afsluttede F α afsluttede α I F α er afsluttet F 1,..., F n afsluttede n k=1 F k er afsluttet (NB endeligt antal) A M er afsluttet f : M R som er kontinuert, så A = f 1 (0) [ ε > 0(B ε (x) F ) ] x F [x n x x n F ] x F (man kan ikke konvergere ud af en afsluttet mængde) A afsluttet bdry(a) intetsteds tæt (Opg. 59, s.60) bdry(a) = A \ A o (bdry afsluttet, Opg. 43, s.59) bdry(a) A A afsluttet (opg.44, s. 59) Lad (M, d), (N, ρ) være metriske rum. f : M N kontinuert i x M betyder, at E afsluttet i N f 1 (E) afsluttet i M (S.5.1, s.63) Afstand til mængde kontinuert Afstand til mængde og afslutning Aritmetisk snit Arkimedes egenskab Arkimedisk ordning B(X) Afstandsfunktion til en mængde er kontinuert: Lad f(x) = d(x, A), f : (M, d) ([0, [, sædvanlig). f er kontinuert Hvis afstanden fra x til en mængde A, d(x, A) = 0 er x A Hvis s n s, så gælder n k=1 s k n s (L 15.5, s.254) Hvis x, y R + så findes n N så nx > y (L 1.2, s. 5) Hvis a, b R, a < b, så findes r Q så a < r < b (S.1.3, s.5) Hvis (f n ) er Cauchy i B(X), så konvergerer (f n ) uniformt mod f B(X), og sup n f n <, og f n f for n (S.10.8, s.153) (Weierstrass majorantrækkesætning) Lad (g n ) være en følge i B(X) med 1 g n <. Så konvergerer rækken i B(X) uniformt, og 1 g n 1 g n (L.10.9, s. 154) Hvis f, g B(X) er fg B(X) og fg f g. Og hvis f n f, g n g i B(X) så gælder f n g n fg i B(X) (Opg.23, s.158) B(X) er ikke sebarabel (Opg. 25, s.159) Banach-rum (V, ) er et Banach-rum hviss (x n ) V : n=1 x n < x n er konvergent Fuldstændiggørelsen af et normeret vektorrum er et Banachrum (s.106)

15 2 SÆTNINGER 15 Banachs fixpunkts-sætning Lad (M, d) være et fuldstændigt metrisk rum og T : (M, d) (M, d) være en streng kontraktion med 0 α < 1. Da har T præcis et entydigt fixpunkt. Desuden gælder, at for x 0 M vil (T n (x 0 )) altid konvergere mod fixpunktet for T (S.7.13, s.98). Fejlen findes ved d(t n (x 0 ), x) d(t (x 0 ), x 0 ) k=n αk = d(t (x 0 ), x 0 ) αn 1 α (s.99) Basis Ethvert endeligt frembragt vektorrum har en endelig basis (G.S.2.7, s.6) Lad V være et endelig frembragt vektorrum. Da har enhver basis for V det samme antal elementer (G.S.2.9, s.7) Begrænsethed, total Lad B A og A totalt begrænset. Da er B totalt begrænset. (s.90) Lad A totalt begrænset. Hvis B A er uendelig, så gælder, at ε > 0 A A med diam A ε og B A uendelig. Begrænsethed, total A totalt begrænset hviss enhver følge i A har en Cauchy delfølge. (S.7.5, s.91). og Cauchyfølge (Bliver til Bolzano-Weierstrass for A R med sædvanlig metrik). (Og hvis A = {x n n N}, (x n ) cauchy, da er A total begrænset) (L.7.3, s.90) Bernsteins sætning Bernstein-polynomierne B n (f) f uniformt steins sætning) (S.11.4, s. 164) på [0, 1] for alle f C[0, 1] (Bern- Bernstein-polynomier Om Bernstein-polynomierne gælder (L.11.5, s.165) B n (f 0 ) = f 0 (med f 0 (x) = 1) B n (f 2 ) = (1 1/n)f 2 + f 1 /n (med f 2 (x) = x 2, f 1 (x) = x). Dermed gælder B n (f 2 ) f 2 uniformt ( ) n n k=0 (k/n x)2 x k k (1 x) n k = x(1 x) n 1 4n, 0 x 1 Givet δ > 0, 0 x 1 og F mængden af k {0,..., n} hvor k/n x δ. Så er ( ) n k F x k k (1 x) n k 1 4nδ 2 Hvis f B[0, 1] gælder B n (f)(x) f(x) i alle punkter hvor f er kontinuert (Opg. 6, s.168) Bijektion Bolzano-Weierstrass Borel A, B. Hvis der findes en injektiv afbildning f : A B og en injektiv afbildning g : B A, så findes der en bijektion h : A B (Bernsteins sætning, S.2.12, s.24) Enhver begrænset reel følge har en konvergent delfølge (S.1.11, s.12, K.2.4, s.20) M metrisk rum. Flg. er ækvivalent (L.8.8, s.112) Hvis G er en familie af åbne mængder i M med M {H : H G} så er der endeligt mange mængder H 1,..., H n G så M n 1 H i Hvis F er en familie af afsluttede mængder i M med n 1 F i for alle endelige udvalg, så er {E : E F } =

16 2 SÆTNINGER 16 C(X) Der findes en lineær isometri mellem C[0, 1] og C[a, b] som afbilder polynomier i polynomier (L. 11.1, s.162) C[0, 1] er separabelt (S.11.2, s.163) Givet f C[a, b] og ε > 0 findes der et polynomium p så f p < ε. Dvs. der findes en følge af polynomier (p n ) så p n f uniformt på [a, b] (Weierstrass approksimationssætning) (S.11.3, s. 164) C 2π En norm på C 2π er f = max x π f(x).(s.174) Alle elementer af C 2π er uniformt kontinuerte på R. (s.174) Givet f C 2π og ε > 0 findes der et trigonometrisk polynomium T, så f T < ε. Der findes dermed en følge af trigonometriske polynomier (T n ) så T n f uniformt på R (Weierstrass 2 (S.11.8,s.174) Givet en lige funktion f C 2π og ε > 0 så findes der et lige trigonometrisk polynomium T, så f T < ε (L.11.9, s.174) C 2π er fuldstændigt og separabelt (Opg.35,36, s.176) Cauchyfølger, konvergens C(M) Decimaler Cauchy-følger i R er konvergente.(c.1.13, s. 12) Desuden er konvergente følger i R Cauchy. Faktisk: En reel følge konvergerer hviss den er Cauchy (S.1.16, s.13, K.2.5, s.20) M kompakt. Da definerer f = max t M f(t) en norm på C(M) (K 8.7 s. 111) For p 2 og (a n ) Z : 0 a n p 1 for alle n gælder : 1 a n/p n konvergerer mod a [0, 1] (P 1.7 s. 8) Lad p Z, p 2 og 0 x 1. Så findes en følge (a n ), a n N 0, 0 a n p 1 for alle n så 1 a n/p n = x (P 1.8 s. 8) demorgans regler demorgans regler er : [ α I A α ] c = α I A c α [ α I A α ] c = [ α I (A c α) c ] c = [( α I A c α) c ] c = α I A c α diam diam og afslutning Dirichlets formel Dirichlets kerne A kompakt i M diam A < (Opg. 3, s.109) diam A = diam A (Opg. 19, s.57) s n (f)(x) = 1 π π 0 (f(x + t) + f(x t))d n(t)dt (K.s.10) Om Dirichlets kerne gælder (L.15.2, s.251) D n er lige 1 π π π D n(t)dt = 2 π π 0 D n(t)dt = 1 D n (t) n + 1/2, D n (0) = n + 1/2 ( sin(n + 1/2)t /t) D n (t) (π/2t), 0 < t < π

17 2 SÆTNINGER 17 λ n = 1 π π π D n(t) dt 4 π 2 log n λ n 3 + log n Fejers sætning Hvis f C 2π konvergerer σ n (f) = (S.15.6, s.255) n 1 k=0 s k(f)(x) n uniformt mod f for n Fixpunkt f : [a, b] [a, b] kontinuert. Da har f et fixpunkt (Opg. 28, s.112) M kompakt, f : M M opfylder d(f(x), f(y)) < d(x, y) for x y. Da har f et fixpunkt (Opg.29, s.112) Fortætningspunkt Lad A være mængden af fortætningspunkter for A. A er afsluttet og A = A A (O.35, s.58). Enhver begrænset uendelig delmængde af R har et fortætningspunkt (Bolzano- Weierstrass, opg. 37, s.58, K.7.6, s.91) Fourierrække Lad f : R R være 2π-periodisk og Riemann-integrabel på [ π, π]. Hvis er f er lige (ulige) kan dens fourrierrække skrives udelukkende ved brug af cos (sin) (Opg.1, s. 245) For T T n er T lig med sin egen fourierrække (s.245) Hvis f er Riemann-integrabel på [ π, π] minimerer fourierafsnittene s n (f) integralet π π [f(x) T (x)]2 dx over trigonometriske polynomier T med grad højst n. (s.246). Alternativt: inf T Tn f T 2 = f s n (f) 2 (s.247) Fourierkoeffiecienterne for en Riemann-integrabel funktion går mod 0: π lim n π f(x) cos nxdx = lim π n f(x) sin nxdx = 0 (Riemanns lemma, π s.248, K.s.9) For f C 2π gælder f s n (f) dvs. fourierrækken konvergerer mod f i L 2 normen. (s.248) Fourierkoefficienterne for f + g er lig med summen af de tilsvarende koefficienter for f og for g (s.247) - afsnittene i rækken er lineære. Hvis f er Riemann-integrabel på [ π, π] er f 2 2 = lim n s n (f) 2 2, dvs. 1 π a k=1 (a2 k + b2 k ) (Parselvals ligning, s.248, K.s.9) π π f(x)2 dx = Hvis fourierkoefficienterne for f opfylder n a n <, n b n < er fourierrækken uniformt konvergent på R. Hvis f C 2π konvergeres uniformt mod f. (s.249) Afsnittene s n (f) opfylder s n (f)(x) = 1 π π π f(t) sin(n+1/2)(t x) 2 sin((t x)/2) dt = 1 π π π f(t)d n(t x)dt, hvor D n Dirichlets kerne (s ) er Hvis f C 2π gælder s n (f)(x) = 1 π π π f(x + t)d n(t)dt (s.251) For f C 2π gælder s n (f)(x) 1 π π π f(x+t) D n(t) dt λ n f, og s n (f) λ n f (3 + log n) f, (K.15.3, s.252)

18 2 SÆTNINGER 18 Lad f være kontinuert på [ π, π] med f( π) = f(π). Antag, at f har begrænset, stykvist kontinuert afledet på [ π, π]. Da konvergerer fourierrækken for f uniformt mod f på [ π, π] (S.15.4, s.253) Identitetssætningen Lad f, g C 2π. Hvis f og g har identiske fourierrækker, er f = g (altså π π (f(t) g(t)) cos ktdt = π (f(t) g(t)) sin ktdt = 0 for alle π k = 0, 1,... f = g (K.s.9)) Hvis den trigonometriske række a 0 /2 + k=1 (a k cos kt + b k sin kt) er uniformt konvergent med sumfunktion f gælder, at f C 2π og f er sin egen fourierrække (K.s.9) Fuldstændiggørelse Fuldstændiggørelser er entydige (op til en isometri), dvs. hvis M 1, M 2 stændiggørelser af M, så er M 1 og M 2 isometriske (K.8.17, s. 120) er fuld- Ethvert metrisk rum (M, d) har en fuldstændiggørelse. Den er entydig i flg. forstand: Lad M 1, M 2 være to fuldstændiggørelser med tilhørende isometrier φ 1 : M M 1, φ 2 : M M 2. Der findes da en isometrisk isomorfi ψ : M 1 M 2 så flg. diagram er kommutativt (K.s.7) Fuldstændighed og afsluttethed Fuldstændighed φ 1 M M 1 id M ψ M M 2 φ 2 Lad (M, d) være fuldstændigt metrisk rum og A M være metrisk rum. A er fuldstændigt mht. delrumsmetrikken hviss A er afsluttet. (S.7.9, s.93) (Arvelighed af fuldstændighed for afsluttede delmængder) Lad M, N være metriske rum. M N er fuldstændigt hviss M, N begge er fuldstændige (Opg. 17, s.94) Hvis alle tællelige afsluttede delmængder er M er fuldstændige er M fuldstændig (Opg.28, s.96) M er fuldstændigt hviss for alle r > 0 gælder at den afsluttede kugle {y M : d(x, y) r} er fuldstændig (Opg.29, s.96) Et normeret vektorrum X er fuldstændigt hviss alle absolut summable rækker i X er summable, dvs. 1 x n < 1 x n konvergerer i X (s.7.12, s.97) Et normeret vektorrum X er fuldstændigt hviss den lukkede enhedskugle B = {x X x 1} er fuldstændig (opg. 35, s.97) Alle endelig-dimensionale normerede vektorrum er fuldstændige (K.8.25, s.126) Grænseværdi entydig Hilbertrum Grænseværdier i metriske rum er entydige (s.249) Hvis e 1, e 2,... er en ortonormalfølge i et hilbertrum, og hvis λ 1, λ 2,... er en følge af skalarer, så er rækken 1 λ ke k konvergent hviss den reelle række 1 λ k 2 er konvergent. (G.S.6.3, s.19) Lad e 1, e 2,... være en ortonormalfølge i et Hilbertrum. Da er rækken 1 x, e k e k konvergent for alle x (G.K.6.4, s.19)

19 2 SÆTNINGER 19 Lad e 1, e 2,... være en ortonormalfølge i et hilbertrum og lad x = 1 λ ke k, y = µ ke k (begge konvergente). Da gælder (G.S.6.5, s.19) 1 x, y = 1 λ kµ k hvor rækken er absolut konvergent x, e k = λ k for alle k x 2 = 1 λ k 2 = 1 x, e k 2 For en endelig eller uendelig ortonormalfølge e 1, e 2,... i et hilbertrum gælder e 1, e 2,... er en ortonormalbasis for hilbertrummet {e 1, e 2,...} er total (G.S.7.6, s.20) Ethvert separabelt hilbertrum har en ortonormalbasis. Omvendt gælder, at hvis e 1, e 2,... er en ortonormalbasis for et hilbertrum, så er dette rum separabelt (G.S.7.8, s.21) Lad H være et separabelt hilbertrum. Hvis H har en endelig dimension, så er det unitærækvivalent (isomorft) med C n. Hvis H er uendeligdimensionalt, så er det unitærækvivalent med l 2 (G.S.8.3, s.22) Projektionssætningen: Lad H være et separabelt hilbertrum og lad X være et afsluttet underrum. Til enhver vektor u H findes x u X og y u X så u = x u +y u. Om denne fremstilling gælder (G.S.9.1, s.24) x X : u, x = x u, x Fremstillingen er entydig u x u = d(u, X) Afbildningen P (u) = x u er lineær og afstandsformindskende Homeomorfi Isometri M kompakt, f : M N kontinuert bijektion. Da er f en homeomorfi (Opg.23,s.111) (M, d) metrisk rum. M er isometrisk med en delmængde af l (M) (L.7.17, s.103) Hvis M 1, M 2 er fuldstændiggørelser af M, så er M 1, M 2 isometriske (S.7.18, s.104) M kompakt, f : M M opfylder d(f(x), f(y)) d(x, y) for alle x, y M. Da er f en isometri (Opg. 42, s. 114) M kompakt, f : M M bijektiv og opfylder d(f(x), f(y)) d(x, y) for alle x, y M. Da er f en isometri (Opg. 43, s. 114) Enhver isometri er uniformt kontinuert (Opg. 44, s. 116) Kerneoperatorer Antag, at (k n ) C 2π opfylder k n 0 π π k n(t)dt = 1 1 π δ t π k n(t)dt 0, n for alle δ > 0

20 2 SÆTNINGER 20 Da gælder 1 π π π f(x + t)k n(t)dt f(x) uniformt for alle f C 2π (S.15.7, s.256) Hvis f, k C 2π, da er g(x) = π π f(x + t)k(t)dt C2π (Opg.10, s.257) Kompakthed (M, d) er kompakt hviss hver følge i M punkt i M (S.8.2, s.108) har en delfølge, der konvergerer mod et Lad A M. Hvis A er kompakt, så er A afsluttet i M. Hvis M er kompakt og A afsluttet, er A kompakt (K.8.3, s.109) = K R kompakt sup K, inf K K (Opg. 1, s. 109) A, B kompakte i M A B kompakt (Opg. 4, s. 109) A kompakt i M, B kompakt i N A B kompakt (Opg. 6, s. 109) (M, d) kompakt hviss hver uendelig delmængde af M har fortætningspunkt (Opg. 9, s. 109) K kompakt i M K kompakt i vilkårligt rum, der indeholder K (Opg. 11, s. 110) H er kompakt (Opg. 14, s.110) A totalt begrænset delmængde af fuldstændigt rum M. Så er A kompakt i M (Opg.15, s.110) M total begrænset hviss fuldstændiggørelsen af M er kompakt (Opg.16, s.110) M kompakt hviss opfylder Borel (S.8.9, s.112) M kompakt hviss alle aftagende følger af ikke-tomme afsluttede mængder har ikketom fællesmængde, dvs. for F 1 F 2 gælder 1 F n (K.8.10, s.113) M kompakt hviss alle tællelige åbne overdækninger tillader en endelig overdækning (K.8.11, s. 113) A kompakt i M diam A < (Opg. 3, s.109) M kompakt, f : M M opfylder d(f(x), f(y)) < d(x, y) for x y. Da har f et fixpunkt (Opg.29, s.112) M kompakt, f : M M opfylder d(f(x), f(y)) d(x, y) for alle x, y M. Da er f en isometri (Opg. 42, s. 114) M kompakt, f : M M bijektiv og opfylder d(f(x), f(y)) d(x, y) for alle x, y M. Da er f en isometri (Opg. 43, s. 114) M kompakt, f : M kontinuert bijektion. Da er f en homeomorfi (Opg.23,s.111) f : (M, d) (N, ρ) kontinuert. Hvis K kompakt i M er f(k) kompakt i N (S.8.4, s.110) (M, d) kompakt, f : M R kontinuert. Så er f begrænset, og f antager sit min og max på M (K.8.5,s.111)

21 2 SÆTNINGER 21 f : [a, b] R kontinuert. Så er f([a, b]) = [c, d] (kompakt) (K.8.6,s.111) M kompakt, f : M N kontinuert. Da er f uniformt kontinuert (S.8.15, s.117) M kompakt M separabelt (Opg.17, s. 110) Kontinuitet f, g : M R kontinuerte. Så er f ±g, f g, max{f, g}, min{f, g} kontinuerte (S.5.10, s.75) 1. ε > 0 δ > 0 : d(x, y) < δ ρ(f(x), f(y)) < ε 2. ε > 0 δ > 0 : B δ (x) f 1 (B ε (f(x))) 3. x M : x n x i (M, d) f(x n ) f(x) i (N, ρ) 4. E N afsluttet i (N, ρ) f 1 (E) afsluttet i (M, d) 5. V åben i (N, ρ) f 1 (V ) åben (M, d) Kontinuitet og kompakthed f : (M, d) (N, ρ) kontinuert. Hvis K kompakt i M er f(k) kompakt i N (S.8.4, s.110) (M, d) kompakt, f : M R kontinuert. Så er f begrænset, og f antager sit min og max på M (K.8.5,s.111) f : [a, b] R kontinuert. Så er f([a, b]) = [c, d] (kompakt) (K.8.6,s.111) Kontinuitet, uniform f : M N uniformt kontinuert. Da afbilder f totalt begrænsede mængder i totalt begrænsede mængder (P.8.14, s.117) Lad (X, d), (Y, ρ) være metriske rum og f, f n være funktioner X Y. Hvis (f n ) konvergerer uniformt mod f i X og f n kontinuert i x X, så er f også kontinuert i x (S.10.4, s. 150) M kompakt, f : M N kontinuert. Da er f uniformt kontinuert (S.8.15, s.117) Lad D være tæt i M og N fuldstændig. Lad f : D N være uniformt kontinuert. Så kan f udvides på en entydig måde til en uniformt kontinuert afbildning F : M N, der er defineret på hele M. Hvis f er en isometri, så er F det også. (S.8.16, s.119) f n : R R kontinuert og f n f uniformt på alle [a, b]. Da er f kontinuert på R (Opg. 14, s.151) Antag f n : [a, b] R kontinuert for alle n og (f n ) konvergerer uniformt mod f på [a, b]. Da gælder b a f n(x)dx b f(x)dx (S.10.5, s.151) a Antag (f n ) har kontinuert afledet på [a, b] og at (f n) konvergerer uniformt mod g på [a, b]. Hvis (f n (x 0 )) konvergerer i x 0 [a, b] så konvergerer (f n ) mod en differentiabel funktion f på [a, b], og f = g (S.10.7, s. 152) Konvergenser x n x i (M, d) d(x n, y) d(x, y) (O.34, s.46).

22 2 SÆTNINGER 22 Desuden x n x, y n y d(x n, y n ) d(x, y) Hvis x n x da gælder x nk x for enhver delfølge af (x n ) (O.35, s.47) En konvergent følge er Cauchy og en Cauchy-følge er begrænset (O.36, s.47) En Cauchy-følge med en konvergent delfølge er konvergent (O.37, s.47) Konvergens i R n er ensbetydende med koordinatvis konvergens (s.47) Lad f n, g n : X R. Hvis (f n ), (g n ) er uniformt konvergente, er (f n + g n ) uniformt konvergent, men (f n g n ) er det ikke nødvendigvis (Opg. 7, s.149) Hvis (f n ) er Cauchy i B(X), så konvergerer (f n ) uniformt mod f B(X), og sup n f n <, og f n f for n (S.10.8, s.153) (Weierstrass majorantrækkesætning) Lad (g n ) være en følge i B(X) med 1 g n <. Så konvergerer rækken i B(X) uniformt, og 1 g n 1 g n (L.10.9, s. 154) Lighed og < a = b a b 1/n for alle n N Limsup og Lad (a n ) begrænset. Da er M = lim sup n a n = lim(sup{a k : k n}) ±, dvs. begrænsethed ε > 0 N N n N : M ε < sup{a k : k n} < M +ε, dvs. ε > 0 : a n < M +ε for alle n på nær endeligt mange og M ε < a n for uendeligt mange n (s.11-12) Limsup og konvergens Limsup og liminf Lineær uafhængighed Lad (a n ) begrænset. Der gælder (a n ) konvergent lim sup a n = lim inf a n. Da er lim a n = lim sup a n = lim inf a n (Opg.23 s.11). lim sup( a n ) = lim inf(a n ) (Opg.24 s.11). Antag at et lineært underrum U {0} af et komplekst vektorrum V er udspændt af elementerne i en følge x 1, x 2,.... Da findes en endelig eller uendelig følge af indices k 1 < k 2 < så (G.S.2.4, s.6) 1. span {x k1, x k2,...} = U 2. {x k1, x k2,...} er lineært uafhængig Lineær udvidelse Lipschitz kontinuert K Metriske rum Lad V, W være vektorrum og B være basis for V. Antag, at vi til hvert b B har knyttet en vektor i W, dvs. vi har en funktion f : B W. Da findes præcis en lineær afbildning T : V W som udvider f, dvs. b B : T (b) = f(b) (G.S.2.8, s.7) En Lipschitz-afbildning er kontinuert (Opg. 25, s.66) (ex. b f(t)dt er Lipschitz med a = b a for f C[a, b] (opg. 26, s. 66)). Lipschitz-afbildninger er endda uniformt kontinuerte (s.115) Ækvivalente formuleringer for metriske rum (M, d): 1. M fuldstændigt (dvs. Cauchyfølger konvergerer i (M, d) 2. Rusesætningen: For F n, F n M gælder F 1 F 2... og F n afsluttet for alle n N og diam F n 0 for n n=1f n

23 2 SÆTNINGER Bolzano-Weierstrass: Enhver uendelig totalt begrænset delmængde af M har et fortætningspunkt Monoton delfølge Monotonicitet, begrænsethed og konvergens Monotonicitet Enhver reel følge har en monoton delfølge (S.2.3 (s.19)). Monotone begrænsede følger er konvergente (S.1.4 (p.6)). Monotone funktioner R kan kun have højst tælleligt mange springvise diskontinuiteter (S.2.17, s.32) f : R R kontinuert og åben. Da er f strengt monoton (Opg. 26, s.111) Hvis f : [a, b] [c, d] er monoton og surjektiv, så er f kontinuert (S.2.18, s.32) Norm og konvergens Norm og metrik Nulfunktion Ombytning af grænseovergange Alle normer i i R n giver anledning til samme konvergente følger i R n. Specielt er Cauchyfølger konvergente i R n, så (R n, i ) er fuldstændig. Desuden gælder generelt, at konvergens kræver koordinatvis konvergens. En norm inducerer en metrik: hvis (V, ) er normeret vektorrum, da er d(x, y) = x y en metrik på V (nemlig den sævanlige metrik). Hvis f C[a, b] og b a xn f(x)dx = 0, n = 0, 1, 2,... da er f = 0 (A.11.6, s 168) Antag f n : [a, b] R kontinuert for alle n og (f n ) konvergerer uniformt mod f på [a, b]. Da gælder b a f n(x)dx b f(x)dx (S.10.5, s.151) a Antag (f n ) har kontinuert afledet på [a, b] og at (f n) konvergerer uniformt mod g på [a, b]. Hvis (f n (x 0 )) konvergerer i x 0 [a, b] så konvergerer (f n ) mod en differentiabel funktion f på [a, b], og f = g (S.10.7, s. 152) Originalmængde Originalmængden opfylder : f 1 (Y \ B) = X \ f 1 (B) f 1 ( B i ) = f 1 (B i ) Ortogonalitet Hvis x er ortogonal på y 1,..., y n så er x ortogonal på enhver vektor i span {y 1,..., y n } (G.S.5.2, s.15) Hvis x 1, x 2,... er en ortogonalfølge af egentlige vektorer, så er x k -erne lineært uafhængige (G.K.5.6, s.16) Polynomier Hvis p polynomium og ε > 0 findes polynomium q med rationelle koefficienter så p q < ε på [0, 1] (Opg. 7, s. 168) Hvis p n er et polynomium med grad m n og p n f uniformt på [a, b] hvor f ikke er et polynomium, gælder m n (Opg.12, s.169) Præhilbertrum I et præhilbertrum gælder (G.S.2.1, s.10) x, y + z = x, y + x, z x, λy = λ x, y

24 2 SÆTNINGER 24 0, x = x, 0 = 0 z : x, z = y, z x = y Desuden gælder Pythagoras sætning: Lad x, y være elementer i et præhilbertrum og antag x, y = 0. Da gælder x + y 2 = x 2 + y 2 (G.L.3.2, s.10) Udvidet version: Hvis x 1,... x n er ortogonale, gælder n 1 x k 2 = n 1 x k 2 (G.S.5.5, s.15) Cauchy-Schwartz ulighed: I et præhilbertrum gælder x, y x y (G.S.3.3, s.10) x > 0 for x 0 (G.S.3.5, s. 11) λx = λ x (G.S.3.5, s. 11) x + y x + y (G.S.3.5, s. 11) x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2 (parallellogramloven, G.S.3.7, s.11) ( x, y = 1 4 x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2) (Polarisationsidentiteten, G.S.3.7, s.11) Lad T : være en lineær afbildning mellem to præhilbertrum. Da gælder T er en isometri T x, T y = x, y for alle x, y (G.Ø.3.9, s.12) Hvis x n x, y n y, λ n λ gælder (G.S.4.1, s.12) λ n x n λx x n + y n x + y x n, y n x, y Hvis x n x og x n, x x 2 så gælder x n x (G.Ø.4.2, s.12) Lad U være et underrum af et præhilbertrum. Da er cl(u) igen et underrum (G.K.4.3, s.12) Bessels ligning og ulighed: Lad x 1,..., x n være ortonormale vektorer i et præhilbertrum. For hver vektor x gælder x n 1 x, x k x k 2 = x 2 k 1 x, x k 2 og dermed n 1 x, x k 2 x 2 (G.S.5.9, s.16-17) Lad x 1, x 2,... være en uendelig ortonormalfølge i et præhilbertrum. For hvert x gælder 1 x, x k 2 x 2 < (G.K.5.10, s.17) Gram-Schmidt-ortonormalisering: Lad y 1, y 2,... være en uendelig følge af lineært uafhængige vektorer i et præhilbertrum. Der eksisterer en ortonormalfølge x 1, x 2,... så span {x 1, x 2,..., x n } = span {y 1, y 2,..., y n } for alle n (G.S.5.12, s.17) Hvis er et endelig-dimensionalt præhilbertrum, så har en basis af ortonormale vektorer (G.K.5.13, s.18)

25 2 SÆTNINGER 25 Ethvert endeligdimensionalt præhilbertrum er fuldstændigt og dermed et hilbertrum (G.S.5.14, s.18) Lad e 1, e 2,... være en ortonormalfølge i et præhilbertrum og lad λ 1, λ 2,... være en følge af skalarer. Vi definerer y n = n 1 λ ke k. Følgen (y n ) er en cauchy-følge hviss λ k 2 < (G.L.6.2, s.18) 1 For en delmængde A af et præhilbertrum gælder (G.S.7.3, s.20) A er et afsluttet underrum af A og cl(a) har samme ortogonale komplement, dvs. A = cl(a) (span A) = A Ethvert separabelt præhilbertrum indeholder en ortonormalfølge som udspænder et tæt underrum (G.K.7.9, s.22) Ethvert separabelt præhilbertrum kan fuldstændiggøres til et hilbertrum. Sådanne fuldstændiggørelser er entydige på nær unitærækvivalens (isomorfi) (G.S.8.5, s.23) Reelle tal Fra supremumsegenskaben ved R kan udledes Cauchyfølger i R er konvergente N er velordnet (hvilket giver i induktionsprincippet) R er arkimedisk ordnet (så Q er tæt i R) e = lim n (1 + 1/n) n Decimalbrøksfremstilling Rusesætningen Monotone begrænsede følger er konvergente Bolzano-Weierstrass sætning Rusesætningen Sammensat kontinuert funktion Forudsat: [a i, b i ] [a i 1, b i 1 ], dvs. afsluttede og begrænsede intervaller, indeholdt i tidligere. Da er n N I n, dvs. a R n N : a I n (S.1.5 (s.6)). Desuden gælder: b n a n 0 n N I n = {a}. Sammensætningen af kontinuerte funktioner er kontinuert. Lad f : (N, ρ) (K, τ) og g : (M, d) (N, ρ) begge kontinuerte. Da er f g : (M, d) (K, τ) kontinuert. Separabelt rum Et separabelt metrisk rum har højst tælleligt mange s.59) isolerede punkter (Opg.51, Et total begrænset metrisk rum er separabelt (Opg. 10, s.92) M kompakt M separabelt (Opg.17, s. 110) M separabelt hviss M homeomorf med totalt begrænset metrisk rum (Opg.19, s.110)

26 2 SÆTNINGER 26 Sup og konvergens Surjektivitet Supremumsegenskaben for R er, at hvis = A R er opad begrænset, så har A et mindste overtal, sup A. sup A er et overtal, og t < sup A t er ikke et overtal, dvs. a A : t < A. (p.3) Ingen afbildning F : A P(A) er surjektiv (Cantors sætning, S.2.12, s.23) M kompakt, f : M M opfylder d(f(x), f(y)) = d(x, y) for alle x, y M. Da er f surjektiv (Opg.40, s.114) Trigonometriske identiteter Trigonometriske polynomier Vi har (s.250) cos kt cos kx + sin kt sin kx = cos k(t x) 2 cos x sin y = sin(x + y) sin(x y) 1 sin(n + 1/2)x + cos x + cos 2x + + cos nx = 2 2 sin x/2 n 1 2 sin x sin(2k+1)x = k=0 n 1 [cos 2kx cos(2k+2)x] = 1 cos 2nx = 2 sin 2 nx (s.255) k=0 cos nx og sin(n + 1)x/ sin(x) kan skrives som polynomier af grad n i cos x for alle n N (L.11.7, s.170) Lad A = {1, cos x, cos 2x,..., cos nx, sin x, sin 2x,..., sin nx} og B = {1, cos x, cos 2 x,..., cos n x, sin x, cos x sin x,..., cos n 1 x sin x}. Da er span(a) = span(b) og begge kan tjene som basis for T n (s.172) Produktet af to trigonometriske polynomier er et trigonometrisk polynomium (Opg.32, s.172) Funktionerne 1/ 2, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,... er ortonormale i L 2 -normen (s.247) Tællelighed En uendelig delmængde af N, A N er tællelig, dvs. A er ækvipotent med N (L.2.2, s.19) Hvis A i, i N er tællelig, er i=1 A i tællelig (S.2.6, s.21) Q er tællelig (K.2.7, s.21), R er overtællelig (S.2.9, s.22), R\Q er overtællelig (K.2.10, s.22) Hvis A er overtællelig og B er tællelig, er A \ B overtællelig (O.17, s.23) For 0 a n < gælder n=1 a n er konvergent hviss sup{ n k=1 a k n N} er endelig. Supremumsegenskaben Uendeligdimensionale normerede rum Eksempler på uendelig-dimensionale normerede rum er mængden af kontinuerte funktioner med uendelig-normen: (C([0, 1]), ), med f = max{ f(t) t [0, 1]}: f 0 er klart f = 0 max = 0 f(t) = 0 for alle t [0, 1]. af = max{ af(t) } = max{ a f(t) } = a max{ f(t) } = a f.