Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Transkript

1 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave Ingen egenværdier 1 egenværdi Calculus Uge

2 1. ordens lineær ligning [LA] 15 Lineær differentialligning Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er dy dx = a(x)y + b(x) En partikulær løsning er en differentiabel funktion y(x) som opfylder y (x) = a(x)y(x) + b(x) Den fuldstændige løsning er en angivelse af alle løsninger. Ligningen dy = a(x)y kaldes homogen og er den homogene dx part af den inhomogene, b 0, ligning ovenfor. Calculus Uge

3 Lineær struktur [LA] 15 Lineær differentialligning Sætning 15.3 Hvis z 1 (x), z 2 (x) er løsninger til den homogene lineære differentialligning dy dx = a(x)y så er enhver linearkombination også en løsning. z(x) = C 1 z 1 (x) + C 2 z 2 (x) Calculus Uge

4 Lineær struktur [LA] 15 Lineær differentialligning Sætning fortsat Hvis z 0 (x) er en løsning til den inhomogene lineære differentialligning dy dx = a(x)y + b(x) så er enhver løsning af formen y(x) = z(x) + z 0 (x) hvor z(x) er en løsning til den homogene part af systemet. Calculus Uge

5 Konstante koefficienter [LA] 15 Lineær differentialligning Sætning 15.5 Den lineære ligning med konstante koefficienter dy dx = ay + b har fuldstændig løsning givet ved a = 0: y(x) = C + bx a 0: hvor C er arbitrær. y(x) = Ce ax b a Calculus Uge

6 Ikke konstante koefficienter [LA] 15 Lineær differentialligning Sætning 15.7 Den homogene lineære ligning har fuldstændig løsning dy dx = a(x)y y(x) = Ce A(x) hvor C er arbitrær og A(x) = a(x) dx Calculus Uge

7 Ikke konstante koefficienter [LA] 15 Lineær differentialligning Sætning Bevis er separabel med løsninger dy y = dy dx = a(x)y a(x)dx ln y = A(x) + K y(x) = Ce A(x) Calculus Uge

8 Inhomogen ligning [LA] 15 Lineær differentialligning Sætning 15.9 Den generelle lineære ligning dy dx = a(x)y + b(x) har fuldstændig løsning y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) hvor C er arbitrær og A(x) = a(x) dx, B(x) = e A(x) b(x) dx Calculus Uge

9 Inhomogen ligning [LA] 15 Lineær differentialligning Sætning 15.5,9 - Bevis z(x) = e A(x) y(x) opfylder ligningen som integreres til og forlænges til dz dx = e A(x) b(x) z(x) = B(x) + C y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) Calculus Uge

10 Løsningsmetode [LA] 15 Lineær differentialligning Bemærkning metode dy dx = a(x)y + b(x) 1. Bestem en stamfunktion A(x) = a(x) dx 2. Bestem en stamfunktion B(x) = e A(x) b(x) dx 3. Skriv løsningen y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) Calculus Uge

11 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Eksempel Opgave 7 Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y + 2y = xe 2x + 3 Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(0) = 2. Løsning giver y = 2y + (xe 2x + 3) a(x) = 2, b(x) = xe 2x + 3 Calculus Uge

12 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Eksempel fortsat A(x) = a(x) dx = 2 dx = 2x B(x) = e A(x) b(x) dx = e 2x (xe 2x + 3)dx Som giver = 1 2 x e2x Calculus Uge

13 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Eksempel fortsat fuldstændig løsning y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) = Ce 2x + ( 1 2 x e2x )e 2x = Ce 2x x2 e 2x Calculus Uge

14 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Eksempel fortsat I den partikulære løsning bestemmes C ved y(0) = 2. y(0) = Ce = 2 I alt er løsningen C = = 1 2 y(x) = 1 2 e 2x x2 e 2x = 1 2 (1 + x2 )e 2x Calculus Uge

15 Lineært system Definition 16.1 Ved et lineært differentialligningssystem (2 ligninger) med konstante koefficienter forstås dy 1 dx = a 11 y 1 + a 12 y 2 + b 1 dy 2 dx = a 21 y 1 + a 22 y 2 + b 2 En løsning er differentiable funktioner x y 1 (x), x y 2 (x) som indsat opfylder lignningerne. Calculus Uge

16 Lineært system på matrixform Definition matrixform For 2 2-matricen A = (a ij ), koefficientmatricen, og 2-søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) skrives differentialligningssystem dy dx = Ay + b eller ( ) dy1 dx dy 2 dx En løsning skrives = ( ) ( a 11 a 12 a 21 a 22 x y(x) = y 1 y 2 ) ( ) y 1 (x) y 2 (x) + ( b 1 b 2 ) Calculus Uge

17 Lineært system Bemærkning 16.3 Givet 2 2-matricen A = (a ij ) og 2-søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) kaldes systemet dy dx = Ay homogent og er den homogene part af det inhomogene, b 0, system dy dx = Ay + b Calculus Uge

18 Lineær struktur Sætning 16.5 Betragt 2 2-matricen A = (a ij ) og 2-søjlen y(x) = (y i (x)). Hvis z 1 (x), z 2 (x) er løsninger til det homogene lineære differentialligningssystem så er enhver linearkombination også en løsning. dy dx = Ay z(x) = C 1 z 1 (x) + C 2 z 2 (x) Calculus Uge

19 Lineær struktur Sætning fortsat Betragt yderligere 2-søjlen b. Hvis z 0 (x) er en løsninger til det inhomogene lineære differentialligningssystem så er enhver løsning af formen dy dx = Ay + b y(x) = z(x) + z 0 (x) hvor z(x) er en løsning til den homogene part af systemet. Calculus Uge

20 Diagonal system Eksempel 16.6 Systemet y 1 = λ 1 y 1 y 2 = λ 2 y 2 har diagonalmatricen Λ = ( ) λ λ 2 som koefficientmatrix. e 1, e 2 er egenvektorer og basis for R 2. Calculus Uge

21 Diagonal system Eksempel fortsat Fra Sætning 1.3 fås den fuldstændige løsning y 1 (x) = C 1 e λ 1x, y 2 (x) = C 2 e λ 2x på vektorform giver dette ( ) ( ) ( y 1 (x) C 1 e λ 1x y(x) = = = C y 2 (x) C 2 e λ 2x 1 eller udtrykt ved egenvektorerne e λ 1x 0 ) + C 2 ( 0 e λ 2x ) y(x) = C 1 e λ 1x e 1 + C 2 e λ 2x e 2 Calculus Uge

22 En egenvektor Sætning 16.7 Betragt 2 2-matricen A = (a ij ) og 2-søjlen y(x) = (y i (x)) samt det homogene lineære differentialligningssystem dy dx = Ay Hvis u er en egenvektor for A med egenværdi λ, så er løsninger, hvor C er arbitrær. y(x) = Ce λx u Calculus Uge

23 Egenvektor og løsning Sætning 16.8 Betragt 2 2-matricen A = (a ij ) og 2-søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) samt det lineære differentialligningssystem dy dx = Ay + b En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = b. Hvis yderligere u er en egenvektor for A med egenværdi λ, så er løsninger, hvor C er arbitrær. y(x) = Ce λx u + v Calculus Uge

24 Flere egenvektorer Sætning 16.9 Betragt 2 2-matricen A = (a ij ) og 2-søjlen y(x) = (y i (x)) samt det homogene lineære differentialligningssystem Hvis dy dx = Ay y 0 = C 1 u 1 + C 2 u 2 er en linearkombination af egenvektorer for A, med egenværdier λ 1, λ 2, Au j = λ j u j, så er y(x) = C 1 e λ 1x u 1 + C 2 e λ 2x u 2 en løsning, der opfylder y(0) = y 0. Calculus Uge

25 Diagonaliserbar system system Sætning Betragt 2 2-matricen A = (a ij ) og 2-søjlen y(x) = (y i (x)) samt det homogene lineære differentialligningssystem dy dx = Ay Hvis matricen U med søjler u 1, u 2 diagonaliserer A med egenværdier λ 1, λ 2, Au j = λ j u j, så er den fuldstændige løsning givet ved y(x) = C 1 e λ 1x u 1 + C 2 e λ 2x u 2 hvor C 1, C 2 er arbitrære. Calculus Uge

26 Fuldstændig løsning Sætning Betragt 2 2-matricen A = (a ij ) og 2-søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) samt det lineære differentialligningssystem dy dx = Ay + b En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = b. Hvis matricen U med søjler u 1, u 2 diagonaliserer A med egenværdier λ 1, λ 2, Au j = λ j u j, så er den fuldstændige løsning givet ved y(x) = C 1 e λ 1x u 1 + C 2 e λ 2x u 2 + v hvor C 1, C 2 er arbitrære. Calculus Uge

27 Opgave Eksempel opgave Betragt differentialligningssystemet y 1 = y 1 + y 2 y 2 = 8y 1 y 2 Det oplyses, at vektoren u = (1, 2) er en egenvektor for matricen A = ( ) Angiv den løsning y(x) = (y 1 (x), y 2 (x)) der opfylder y(0) = u, altså (y 1 (0), y 2 (0)) = (1, 2). Calculus Uge

28 Opgave Eksemple fortsat Egenværdien λ = 3 fås af udregningen ( ) ( ) Au = = ( ) 3 6 = 3u I følge [LA] Sætning 27 er ( ) y(x) = Ce 3x 1 2 løsninger for alle valg af C. Calculus Uge

29 Opgave Eksemple fortsat ( ) y(x) = Ce 3x 1 2 som opfylder (y 1 (0), y 2 (0)) = C(1, 2) = (1, 2) fås for C = 1. Den ønskede løsning skrevet ud y 1 (x) = e 3x y 2 (x) = 2e 3x Calculus Uge

30 Opgave Eksemple opgave Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet y 1 = y 1 + 2y 2 8 y 2 = 2y 1 + y 2 7 Løsning Koefficientmatricen er A = ( ) Calculus Uge

31 Opgave Eksemple fortsat Egenværdierne findes som rødder i det karakteristiske polynomium 1 λ 2 A λi 2 = 2 1 λ = λ 2 2λ 3 Egenværdier λ 1 = 1, λ 2 = 3 Calculus Uge

32 Opgave Eksemple fortsat Egenvektorer hørende til egenværdien 1: A + I = ( ) ( ) giver egenvektorer ( x 1 x 2 ) = ( ) ( ) x 2 1 = x 2 x 2 1 Calculus Uge

33 Opgave Eksemple fortsat Egenvektorer hørende til egenværdien 3: ( ) 2 2 A 3I = 2 2 ( ) giver egenvektorer ( x 1 x 2 ) = ( x 2 x 2 ) = x 2 ( ) 1 1 Calculus Uge

34 Opgave Eksemple fortsat Den fuldstændige løsning til den homogene part y 1 = y 1 + 2y 2 y 2 = 2y 1 + y 2 er i følge [LA] Sætning 30 ( y(x) = C 1 e x 1 1 ) + C 2 e 3x ( ) 1 1 Skrevet ud y 1 (x) = C 1 e x + C 2 e 3x y 2 (x) = C 1 e x + C 2 e 3x Calculus Uge

35 Opgave Eksemple fortsat En konstant løsning y(x) = v = (v 1, v 2 ) skal opfylde 0 = v 1 + 2v = 2v 1 + v 2 7 Dette løses v = ( ) 2 3 Calculus Uge

36 Opgave Eksemple fortsat Den fuldstændige løsning til systemet er i følge [LA] Sætning 31 ( y(x) = C 1 e x 1 1 y 1 = y 1 + 2y 2 8 y 2 = 2y 1 + y 2 7 ) + C 2 e 3x ( ) ( ) 2 3 Skrevet ud y 1 (x) = C 1 e x + C 2 e 3x + 2 y 2 (x) = C 1 e x + C 2 e 3x + 3 Calculus Uge

37 Ingen egenværdier Eksempel Betragt det lineære system y 1 = y 1 y 2 y 2 = y 1 + y 2 Koefficientmatricen A = ( ) har karakteristisk polynomium λ 2 2λ + 2 med diskriminant 4 og dermed ingen egenværdier. Calculus Uge

38 Ingen egenværdier Eksemple Løsning Ved brug af komplekse tal findes løsningen ved metoden med egenvektorer ( ) ( ) y(x) = C 1 e x cos x + C 2 e x sin x sin x cos x Skrevet ud y 1 (x) = C 1 e x cos x C 2 e x sin x y 2 (x) = C 1 e x sin x + C 2 e x cos x Calculus Uge

39 1 egenværdi Eksemple Betragt det lineære system y 1 = 3y 1 + y 2 y 2 = 3y 2 Koefficientmatricen A = ( ) har egenværdi 3 og egenrum E 3 = span(e 1 ). Calculus Uge

40 1 egenværdi Eksemple Løsning Løsningen bestemmes ved metoden med egenvektorer ( ) ( ) y(x) = C 1 e 3x 1 + C 2 e 3x x 0 1 Skrevet ud Gør prøve! y 1 (x) = C 1 e 3x + C 2 e 3x x y 2 (x) = C 2 e 3x Calculus Uge