Evaluering af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved sommereksamen 2016

Transkript

1 Evaluering af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved sommereksamen 216 Undervisningsministeriet Januar 217

2 Forord Prøveformerne er som følger for hvert af de analyserede niveauer: Nærværende evalueringsrapport omhandler resultaterne ved de skriftlige prøver i matematik på stx og hf maj 216, og rapporten henvender sig både til offentligheden, til lærerne i gymnasiet og hf og til opgavekommissionerne. Niveau Delprøve 1 Delprøve 2 Timeforbrug i alt Matematik stx A 1 time uden hjælpemidler 4 timer med hjælpemidler Matematik stx B 1 time uden hjælpemidler 3 timer med hjælpemidler 4 Matematik hf B 1 time uden hjælpemidler 3 timer med hjælpemidler 4 Matematik hf C 3 timer med hjælpemidler 3 De statistiske analyser er baseret på Undervisningsministeriets samlede opgørelse over alle eksaminandernes karakterer ved prøverne. For at kunne udbygge denne analyse har evalueringsgruppen inddraget resultater fra forcensuren. Denne indeholder ikke samtlige eksaminander, men består af en stikprøve, der er udtaget, ved at førstecensor for de fem første eksaminander på hvert hold indberetter pointtildelingen i hvert spørgsmål samt køn (om muligt) og anvendt matematisk værktøj (lommeregner eller computer om muligt). Forcensuren kan på den måde bidrage til at afdække en række detaljer, som Undervisningsministeriets opgørelse ikke kan give. Det er et værdifuldt materiale, og tak til censorerne for det. Rapporten rummer en beskrivelse af, hvordan det gik ved prøverne, herunder en sammenligning med resultaterne de seneste år. Beskrivelserne gennemføres for hvert niveau i selvstændige afsnit. Efter analyserne af resultaterne findes et afsnit, hvor kønsforskelle i besvarelserne på de forskellige niveauer analyseres, og til sidst et afsnit, hvori det analyseres, i hvor høj grad CAS-værktøjer er nødvendige for besvarelse af opgaverne. Rapporten indeholder ikke analyser af resultaterne fra netforsøget. Evalueringsgruppen har vurderet, at datamaterialet fortsat er for begrænset. Overordnet set tilstræber opgavekommissionerne at sammensætte et opgavesæt, der rummer opgaver til eksaminander på alle niveauer. Således indeholder sættet en række opgaver, der tester mindre komplekse færdigheder og kompetencer inden for de forskellige faglige emner, som skal løses for at bestå. Desuden tilstræbes en faglig progression, herunder opgaver, der differentierer i toppen af skalaen. På stx A-niveau og stx B-niveau i matematik afholdes igen i år ved sommer eksamensterminen to separate prøver, hvor i mellem samtlige eksaminanderne på hvert af de to niveauer er fordelt. Evalueringsgruppen bestod af lektor Susanne Højte, Gladsaxe Gymnasium, lektor Jes Sixtus Jørgensen, Espergærde Gymnasium, studieleder Ernst Hansen, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet samt lektor Morten Overgaard Nielsen, KVUC. En stor tak til de fire. Bodil Bruun, fagkonsulent Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 2 af 27

3 Indholdsfortegnelse Forord... 2 Stx matematik A-niveau... 4 Analyse af forskelle på resultaterne af de to stx A-prøver... Vurdering af resultatet af prøven A Vurdering af resultatet af prøven A Stx matematik B-niveau Analyse af forskelle på resultaterne af de to stx B-prøver Vurdering af resultatet af prøven B Vurdering af resultatet af prøven B Hf matematik B-niveau Vurdering af resultatet af prøven hf B Hf matematik C Vurdering af resultatet af prøven hf C Kønsforskelle i prøveresultaterne Resultater i forhold til brug af hjælpemidler Specielt om CAS på hf C Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 3 af 27

4 Stx matematik A niveau Ved sommereksamen 216 deltog eksaminander i den skriftlige prøve i matematik på A-niveau stx. På stx udtrækkes de eksaminander, der skal til skriftlig eksamen i matematik A, ved lodtrækning blandt samtlige, der har fulgt undervisning i faget. Resultatet af prøven for alle eksaminander, hvoraf nogle også kommer fra VUC og GSK, på matematik A fremgår af dette diagram, hvori der indgår eksaminander fra begge prøvedage d. 24. maj og d. 27. maj 216: Stx 216 matematik A begge prøver gennemsnit: 6, I diagrammet herunder ses udviklingen i karaktergennemsnit for matematik A siden 28, som var første stx A-eksamen efter gymnasiereformen i 2: 9 gennemsnit Skriftlig prøve i matematik stx A Udviklingen i dumpeprocent på matematik stx A ses i følgende diagram: 2 del, der dumper skriftlig prøve i matematik stx A gennemsnittet har været nogenlunde konstant fra 28 til 216, og dumpeprocenten har fra 29 til 216 ligeledes haft en begrænset variation. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 4 af 27

5 Analyse af forskelle på resultaterne af de to stx A prøver Som sædvanlig var der også i år to skriftlige prøver i matematik på A-niveau på stx. Prøven, der blev afholdt d. 24. maj 216 betegnes efterfølgende A1, mens prøven, der blev afhold d. 27. maj 216 efterfølgende betegnes A2. Ved den første prøve A1 deltog 1723 eksaminander, og ved den anden prøve A2 deltog 923 eksaminander. Altså er prøven A2 den prøve, hvorved langt de fleste eksaminander deltog. fordelingerne for de to prøver ses af de følgende diagrammer: Prøven A1 gennemsnit:, Prøven A2 gennemsnit: 7, Der er en bemærkelsesværdig forskel i resultaterne fra de to prøver. gennemsnittet for A1 ligger knapt to karakterpoint under karaktergennemsnittet for prøven A2 (præcis 1,8 karakterpoint). Samtidig er dumpeprocenten ved A1 over dobbelt så høj som ved A2, nemlig 18,7% ved A1 mod 9,% ved A2. Evalueringsgruppen har forsøgt at afdække årsager til denne store forskel i udfaldet af de to prøver A1 og A2. En forklaring på de markant forskellige udfald kan være, at der er tale om to forskellige populationer af eksaminander, der deltog ved de to prøver. Herunder ses en oversigt over, hvor de hold, der deltog ved hver af de to prøver, kom fra. Som det fremgår af opgørelsen, var der overvægt af eksaminander fra VUC ved A1, mens gruppen af eksaminander ved A2 næsten udelukkende bestod af stx-eksaminander. Det skal understreges, at der kan være nogen usikkerhed i optællingen, fordi optællingen viser antal hold og ikke antal eksaminander. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side af 27

6 Prøven A gennemsnit,26 Antal hold Hf-kursus 8 Studenterkursus 1 VUC 79 Stx 42 Prøven A gennemsnit 7,6 Antal hold Hf-kursus 1 Studenterkursus 2 VUC 2 Stx 468 For at undersøge, hvor tydelig forskellen mellem karakterniveauerne er, kan man kalibrere udfaldet af resultaterne for de to prøvedage ved at sammenligne udfaldet af sammenlignelige spørgsmål fra prøverne. Opgave 4 fra A1 og opgave 3 fra A2 vurderes at være så ens, at de er sammenlignelige. Gennemsnittet af point i forcensuren var,6 i opgave 4 fra A1, mens gennemsnittet var 6,9 i opgave 3 fra A2. Dette understreger den markante forskel på sættenes resultater. Begge opgaver drejer sig om opstilling af en eksponentiel model, opgave 4 fra A1 om udviklingen i antal malariamyg, opgave 3 fra A2 om udviklingen i en kommunes faldende indtægt fra parkeringsafgift (se nedenfor). Opgave 4 A1 I 24 indsamlede man i et bestemt område 382 malariamyg. Det årlige antal indsamlede malariamyg faldt herefter med 7% om året frem til år 29. Indfør passende variable, og opstil en eksponentiel model, der beskriver udviklingen i det årlige antal indsamlede malariamyg som funktion af antal år efter 24. Opgave 3 A2 En bestemt kommune havde i 21 en indtægt fra parkering på 1 mio. kr. I de efterfølgende år voksede indtægten med 11,8% om året. Indfør passende variable, og opstil en model, der beskriver udviklingen i kommunens indtægt fra parkering. Foto: De to opgaver er matematisk set ækvivalente. Og skønt der i den ene opgave er tale om en stigning over tid og i den anden opgave et fald over tid, så vurderes det, at opgaverne også i deres sproglige formulering er så beslægtede, at det er rimeligt at sige, at der er tale om samme opgave. Derfor kan opgaven bruges til at kalibrere de to sæts sværhedsgrad i forhold til hinanden. Man må forvente, at eksaminander på samme niveau vil klare kalibreringsopgaven lige godt, uanset om de kommer til eksamen den ene dag eller den anden dag. Hvis eksaminanderne, der scorer ens i kalibreringsopgaven, også scorer nogenlunde ens i de øvrige opgaver, kan det tages som indikation af, at opgavesættene er lige svære. Det kan tilføjes, at ca. 3% af pointene ved hver af de to prøver er knyttet til spørgsmål, hvor CAS er en nødvendighed, hvorfor dette formentlig heller ikke kan forklare forskellen. Evalueringsgruppen vurderer derfor på baggrund af en nærmere analyse af enkelteksaminanders pointscore i enkeltopgaver ved de to prøver, at der er grundlag for at konkludere, at den markante forskel i prøveresultaterne for de to eksamensdage ikke skyldes tilfældigheder eller forskelle i omfang eller sværhedsgrad i eksamenssættene. Ud fra forcensuren observeres desuden en anden forskel på de to populationer, idet procentdelen, der anvender computer ved prøverne, er forskellig. Således anvender 7% af eksaminanderne ikke computer til at skrive deres besvarelse på ved A1, mens det er 1% ved A2. Der er således flere eksaminander, der skriver deres besvarelse i hånden, ved A1 end ved A2. Det er tidligere blevet dokumenteret, at eksaminander, der anvender computer til den skriftlige eksamen i matematik, opnår et signifikant bedre eksamensresultat, end eksaminander, der ikke anvender computer. At færre eksaminander ved A1 anvender computer end ved A2, kan således være med til at forstærke den forskel, der er dokumenteret i resultatniveauet ved de to prøver. Igen skal det dog understreges, at procentfordelingen beskriver fordeling i Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 6 af 27

7 forhold til antal hold, men da de seneste to års prøver (se nedenfor) udviser samme mønster, konkluderer evalueringsgruppen, at forskellen ligger i populationernes sammensætning. Prøven A gennemsnit,37 Antal hold Hf-kursus 6 Studenterkursus 4 VUC 69 Stx 4 Prøven A gennemsnit 7,41 Antal hold Hf-kursus Studenterkursus 7 VUC 3 Stx 463 Prøven A gennemsnit,64 Antal hold Hf-kursus Studenterkursus 1 VUC 73 Stx 2 Prøven A gennemsnit 6,2 Antal hold Hf-kursus 1 Studenterkursus 7 VUC 1 Stx 41 Vurdering af resultatet af prøven A1 Ud fra oplysningerne fra forcensuren kan vi undersøge, hvordan eksaminanderne har klaret de enkelte spørgsmål i opgavesættet. I hvert spørgsmål kan eksaminanden opnå maksimalt 1 point. Ved første prøve A1 har censorerne ved forcensuren indberettet pointfordelingen for 6 eksaminander. Det er bemærkelsesværdigt, at eksaminanderne i nogen udstrækning især opnår lav pointscore i spørgsmål med stof på A-niveau, såsom vektorregning, rumgeometri, trigonometriske funktioner og differentialligninger (opgave 3, 11, 12 og 13). Følgende analyse bygger på en opdeling af opgaver og spørgsmål i fem definerede kategorier. Kategorien et let spørgsmål defineres som et spørgsmål, hvor mindst 7 procent af eksaminanderne scorer 8-1 point. Tilsvarende defineres et svært spørgsmål som et spørgsmål, hvor mindst 7 procent af eksaminanderne scorer -3 point. Et spørgsmål defineres som knald-eller-fald, hvis den hverken er let eller svær, og hvis under 12 procent af eksaminanderne scorer 4-7. Der vil for sådan et spørgsmål være mindst procent flere eksaminander i både -3 gruppen og i 8-1 gruppen end i midtergruppen. Der er overraskende mange spørgsmål, der har knald-eller-fald -karakter. De kan ofte være relativt lette ud fra en rent matematisk vurdering, men formuleringen af spørgsmålene kan gøre det svært at gennemskue, hvordan spørgsmålet skal formaliseres. Eksaminanderne kan dermed have vanskeligt ved at forstå det matematiske indhold. En anden grund til knald-eller-fald -fænomenet kan være, at spørgsmålet kræver en regulær matematisk idé det ser man måske specielt ved trigonometriske opgaver. Et spørgsmål har midtertop, hvis der er et synligt lokalt maksimum ved en pointscore på point. Et sådant lokalt maksimum hænger næsten uvægerligt sammen med, at selve opgaveformuleringen er todelt altså at spørgsmålet indeholder to separate delspørgsmål. I nogle tilfælde kan det være, at det ene delspørgsmål falder eksaminanderne meget nemmere end det andet, og derfor fungerer det i praksis som et let spørgsmål og et svært spørgsmål, stillet oven i hinanden. I andre tilfælde opnår eksaminanderne point i begge delspørgsmål. Bemærk, at det for stort set alle opgaver vil være sådan, at der er flere, der får pointscore end de umiddelbare naboscorere det er formentlig retteteknisk betinget. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 7 af 27

8 Vi vil derfor kun udnævne en opgave til at have midtertop, hvis der er markant flere med pointscore end med nabopointene. I praksis bruger vi kriteriet, at der skal være flere 'ere end 4'ere og 6'ere tilsammen, og mindst procent af eksaminanderne skal pointscore point. Et standardspørgsmål er et spørgsmål, der ikke kan indplaceres i en af ovennævnte fire klasser. For sådan et spørgsmål vil der være et betydeligt antal af eksaminanderne, der scorer både lavt, højt og i midten. Det skal understreges, at der ikke i sig selv er noget negativt ved de fire førstnævnte klasser. De kan fungere udmærket som en grovsortering af eksaminanderne. Men det ideelle må være, at en betydelig andel af opgaverne i et sæt er standardspørgsmål, fordi disse spørgsmål giver mulighed for at separere eksaminander på nogenlunde samme faglige niveau. Pointfordelingerne i procent i alle spørgsmål er illustreret ved nedenstående histogrammer. Det er iøjnefaldende, at der er tendens til, at der fortrinsvis gives eller 1 point. Tallet i overskriften til hvert diagram angiver eksaminandernes gennemsnitlig pointscore. Gul farve dækker et let spørgsmål, grøn farve et svært spørgsmål, rød farve en knald-eller-fald-opgave, blå farve en opgave, hvor der er midtertop samt sort farve en standardopgave. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 8 af 27

9 Nedenfor er samtlige spørgsmål i opgavesættet rangordnet efter sværhedsgrad vurderet ud fra eksaminandernes pointscore. Det er gjort i nedenstående tabel, hvor gennemsnittet (middelscoren) er brugt. Der er formuleret en kort beskrivelse af opgavens tema. Opgaverne angivet med kursiveret skrift er opgaver fra delprøven uden hjælpemidler. Opstillingen giver bl.a. mulighed for at vurdere, om disse opgaver fremstår lettere eller sværere for eksaminanderne end spørgsmålene i prøven med hjælpemidler. Spørgsmål Tema Gennemsnit 8a Trekantsopgave 8,2 1 Retvinklede, ensvinklede trekanter 7,86 7a Eksponentiel model regression 7,83 14a Tegne graf og bestemme bestemt integral 7,7 7c Bestemme fordoblingstid 7,8 7b Bestemme funktionsværdi; fortolkning 6,68 9b Bestemme monotoni for given funktion 6,9 9a Bestemme nulpunkter i given funktion,96 1a Chi-i-anden uafhængighed 2x2 tabel,88 4 Opstille eksponentiel model,6 6 Tegne graf ud fra monotonioplysninger,6 2 To ligninger med to ubekendte, 11a Rumgeometri areal af trekant,46 12a Bestemme væksthastighed vha, diff-lign,,18 13a Graf og monotoni for trigonometrisk funktion,9 1b Chi-i-anden uafhængighed 2x3 tabel, 13b Differentialkvotient og fortolkning 4,83 3 Tangentligning vha, differentialligning 4,77 12b Løse differentialligning 4,6 Undersøge om funktion er stamfunktion 3,72 14b Integralligning 3,1 11b Rumgeometri vinkel mellem to planer 3, 11c Rumgeometri skæring mellem to linjer 2,94 9c Bestemme grafs røringspunkt med tangent 2,74 8b Trekantsopgave bestemme side 2,61 Opgaverne fra prøven uden hjælpemidler er i dette eksamenssæt jævnt fordelt, idet opgave 1 hører til de lette, opgave 4, 6 og 2 hører til midterområdet, mens opgave 3 og hører til de vanskeligere opgaver. Det bemærkes, at geometriopgaven 8b fremstår som den vanskeligste opgave i sættet. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 9 af 27

10 Vurdering af resultatet af prøven A2 Ved den anden prøve A2 er pointfordelingen for 2321 eksaminander indberettet til forcensuren. Herunder ses opgørelsen over, hvordan deres pointfordeling for hvert spørgsmål fordeler sig. Det er igen bemærkelsesværdigt, at eksaminanderne i nogen udstrækning især opnår lav pointscore i spørgsmål med stof på A-niveau, såsom vektorregning, analytisk geometri, rumgeometri, trigonometriske funktioner og differentialligninger (opgave 2,, 11, 12 og 13). Pointfordelingerne i procent i alle spørgsmål er også for dette opgavesæt illustreret ved histogrammer. Tallet i overskriften til hvert diagram angiver eksaminandernes gennemsnitlige pointscore. Gul farve dækker et let spørgsmål, grøn farve et svært spørgsmål, rød farve en knald-eller-fald-opgave, blå farve en opgave, hvor der er midtertop samt sort farve en standardopgave. For nærmere definition af de fem grupper se side 7-8. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 1 af 27

11 Herunder ses en rangordning af alle opgavesættets spørgsmål efter sværhedsgrad vurderet ud fra eksaminandernes gennemsnitsscore som ved A1. Opgaverne angivet med kursiveret skrift er opgaver fra delprøven uden hjælpemidler. Spørgsmål Tema Gennemsnit 8a Graf og nulpunkter 8,7 8b Tangentligning 8,6 7c Bestemme x-værdi i lineær model 8,3 7a Lineær model regression 8,1 7b Lineær model fortolkning 8,26 11a Rumgeometri plan gennem tre punkter 8,1 9b Chi-i-anden-test uafhængighed 7,99 9a Chi-i-anden-test nulhypotese og forventede værdier 7,92 1 Algebraisk reduktion 7,79 8c Monotonibestemmelse 7,69 11b Rumgeometri vinkel mellem to planer 7,24 3 Opstille eksponentiel model 6,94 2 Determinant af vektorer i plan 6,9 1a Udregne funktionsværdi og tegne graf 6,81 Tjekke løsning til differentialligning 6,76 4 Bestemme stamfunktion 6,74 14a Omdrejningslegeme volumen 6,22 1b Bestemme minimum 6,1 11c Rumgeometri areal af trekant,9 13a Løsning differentialligning,7 14b Omdrejningslegeme ligningsløsning, 12a Trekant i koordinatsystem vinkel 4,73 12b Trekant areal 3,68 6 Skitsere mulige grafer for andengradspolynomier 3,13 13b Maksimal væksthastighed 2,43 Opgaverne fra prøven uden hjælpemidler er i dette eksamenssæt fordelt således, at opgave 1, 2, 3, 4 og hører til midterområdet, mens opgave 6 hører til de vanskeligere opgaver. Opgaverne fra prøven uden hjælpemidler er således i A2 fordelt anderledes end i A1. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 11 af 27

12 Stx matematik B niveau Ved sommereksamen 216 deltog 1.1 eksaminander i den skriftlige prøve i matematik B. På stx udtrækkes de eksaminander, der skal til skriftlig eksamen i matematik B, ved lodtrækning blandt samtlige eksaminander, der afslutter faget på B-niveau. Resultatet ved prøven i matematik B ses i dette diagram: Stx 216 matematik B begge prøver gennemsnit:, I nedenstående diagram ses udviklingen i gennemsnitskarakter for matematik B på stx: 8 gennemsnit Skriftlig prøve i stx matematik B Det efterfølgende diagram viser udviklingen i dumpeprocent for matematik B på stx: 4 del, der dumper skriftlig prøve i stx matematik B gennemsnittet og dumpeprocent på matematik B-niveau på stx har varieret en del, men de senere år har begge stabiliseret sig. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 12 af 27

13 Analyse af forskelle på resultaterne af de to stx B prøver Som i de foregående år var der også i år to skriftlige prøver i matematik på B-niveau på stx. Den ene afholdtes 24. maj 216 (efterfølgende betegnet B1) med deltagelse af 72 eksaminander, og den anden afholdtes 27. maj 216 (efterfølgende betegnet B2), og her deltog 928 eksaminander. fordelingerne ved disse to prøver ses i de efterfølgende diagrammer: Stx B1 (72 eksaminander) gennemsnit: 4, Ved prøven B1 var der 27%, der dumpede, mod 2,6% ved B2. Ved B1 var der 21,2%, der opnåede 1 eller 12, mod 26,4% ved B2. Resultatet var alt i alt markant bedre ved B2 end ved B1. Stx B2 (928 eksaminander) gennemsnit:, erne ved B2 har den tilstræbte fordeling (se blandt de, der har bestået den skriftlige prøve, med 7 som hyppigste karakter. Antallet af eksaminander, der gik til de to prøver, er meget forskelligt, idet antallet af eksaminander ved B2 er næsten 17 gange større end det antal, der deltog ved B1. Herunder ses en opgørelse over antal hold fra forskellige skoletyper, der deltog ved de to prøver: Matematik B1 prøvedato gennemsnit 4,61 Antal hold Hf-kursus 1 Studenterkursus 3 VUC Stx 1 Matematik B2 prøvedato gennemsnit,4 Antal hold Hf-kursus Studenterkursus 4 VUC 4 Stx 9 Stx er klart dominerende ved begge prøvedatoer. Forskellene i eksamensresultaterne kan derfor ikke, som ved de to A-prøver, forklares ved type af skole. For at kunne sammenligne sværhedsgraderne af de Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 13 af 27

14 to sæt, har evalueringsgruppe vurderet, om det var muligt at sammenligne resultaterne for de to eksamensdage ved at analysere udfaldet af sammenlignelige spørgsmål. Men evalueringsgruppen er nået frem til, at der ikke er spørgsmål i de to opgavesæt, der er tilstrækkeligt lig hinanden, og en sammenligning af sværhedsgrad af de to sæt er derfor med denne metode ikke mulig. Evalueringsgruppens kvalitative vurdering af de to sæt er imidlertid, at disse er sammenlignelige med blik på både omfang og sværhedsgrad. Det kan tilføjes, at ca. 21% af pointene ved B1 er knyttet til spørgsmål, hvor CAS er en nødvendighed, mens det drejer sig om ca. 42% i B2. Dette forhold kan være medvirkende til forskellen i prøveresultaterne. Ud fra oplysningerne fra forcensuren kan vi undersøge, hvordan eksaminanderne har klaret de enkelte spørgsmål i opgavesættet. I hvert spørgsmål kan eksaminanden opnå maksimalt 1 point. Vurdering af resultatet af prøven B1 Ved forcensuren for matematik B på stx er der ved første prøve B1 indberettet pointfordelingen for 24 eksaminander. Pointfordelingerne i procent i alle spørgsmål er illustreret ved nedenstående histogrammer. Det er iøjnefaldende, at der er tendens til, at der fortrinsvis gives eller 1 point. Tallet i overskriften til hvert diagram angiver eksaminandernes gennemsnitlige pointscore. Gul farve dækker et let spørgsmål, grøn farve et svært spørgsmål, rød farve en knald-eller-fald-opgave, blå farve en opgave, hvor der er midtertop samt sort farve en standardopgave. For nærmere definition af de fem grupper se side 7-8. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 14 af 27

15 En rangordning af spørgsmålene efter sværhedsgrad vurderet ud fra eksaminandernes gennemsnitscore giver nedenstående resultat. Opgaverne angivet med kursiveret skrift er opgaver fra delprøven uden hjælpemidler. Opstillingen giver mulighed for at vurdere, om disse opgaver fremstår lettere eller sværere for eksaminanderne end spørgsmålene i prøven med hjælpemidler. Spørgsmål Tema Gennemsnit 1 Førstegradsligning 7,49 3 Eksponentiel model (renter) 7,3 7b Lineær model fremskrivning 6,89 7a Lineær model regression 6,82 11a Tangentligning 6,74 9a Statistik sumkurve og kvartilsæt 6, 13a Trigonometri cosinusrelation 6,6 1a Andengradsmodel funktionsværdi,3 4 Differentiation,27 2 Algebraisk forståelse af punkt på graf,26 11b Monotonibestemmelse,13 12b Bestemme areal vha, integral,8 11c Bestemme skæring mellem to grafer 4,74 1b Andengradsmodel maksimum 4,67 9b Statistik sammenligning kvartilsæt 4,3 8a Potensmodel relative forhold 3,8 12a Bestemme funktionsværdi (graf tegnet) 3,67 Tegne tre grafer 2,99 13b Trigonometri trickopgave 2,72 6 Stamfunktion 2,61 Opgaverne fra prøven uden hjælpemidler forekommer her jævnt fordelt i opgavesættet, idet to er nemme, to i midterområdet og to svære. Det må bemærkes, at opgave og 6 forekommer eksaminanderne særligt vanskelige. Det må ligeledes bemærkes, at opgave 6 (uden hjælpemidler) og spørgsmål 12b (med hjælpemidler) er matematisk set ækvivalente og af nogenlunde samme sværhedsgrad. Her må man konstatere, at det går væsentligt bedre for eksaminanderne, når de har hjælpemidler til rådighed. Dette er ikke overraskende, men forskellen i resultatet er markant. Endvidere kan det bemærkes, at eksaminanderne i spørgsmål 8a opnår få point set i forhold til, hvordan spørgsmål vedrørende potensfunktioner falder ud på hf B. Spørgsmål 8a i B1 er formelt identisk med spørgsmål 1b i hf B, hvor eksaminanderne opnår en gennemsnitsscore på,94, mod 3,8 her i B1. Vurdering af resultatet af prøven B2 Ved anden prøve B2 er pointfordelingen for 2827 eksaminander indberettet ved forcensuren. Herunder ses opgørelsen over pointfordelingen i procent i de enkelte spørgsmål illustreret ved histogrammer. Tallet i overskriften til hvert diagram angiver gennemsnit i opnåede point. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 1 af 27

16 Gul farve dækker et let spørgsmål, grøn farve et svært spørgsmål, rød farve en knald-eller-fald-opgave, blå farve en opgave hvor der er midtertop samt sort farve en standardopgave. For nærmere definition af de fem grupper se side 7-8. De enkelte spørgsmål kan rangordnes efter sværhedsgrad vurderet ud fra eksaminandernes gennemsnitsscore. Opgaverne angivet med kursiveret skrift er opgaver fra delprøven uden hjælpemidler. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 16 af 27

17 Spørgsmål Tema Gennemsnit 9a Andengradsmodel 8,4 1 Førstegradsligning 7,94 7a Eksponentiel model regression 7,2 8a Statistik sumkurve 7,18 9b Andengradsmodel bestemme x-værdi 7, 7c Eksponentiel model fremskrivning 6,66 Retvinklede, ensvinklede trekanter,93 12b Integration,76 8b Statistik kvartilsæt og fraktil,42 12a Tegne graf og bestemme funktionsværdi,37 6 Tegne graf for andengradspolynomium,3 3 Algebraisk reduktion,26 11a Geometrisk figur omkreds og areal 4,78 2 Opstille lineær model 4,71 1b Bestemme side og vinkel vilkårlig trekant 4,41 9c Bestemme differentialkvotient og fortolke 4,34 4 Bestemme tangentligning 4,26 1a Bestemme side vilkårlig trekant 4,19 7b Eksponentiel model fortolke a-værdi 3,62 11b Optimering 3,9 I dette tilfælde fremstår opgaverne uden hjælpemidler jævnt fordelte. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 17 af 27

18 Hf matematik B niveau Ved sommereksamen 216 var 4391 eksaminander til skriftlig prøve i matematik B på hf. På hf er den skriftlige prøve obligatorisk for samtlige kursister. Derfor indeholder opgørelsen resultatet for samtlige hf-kursister, der har haft matematik på B-niveau. I dette diagram ses derfor karakterfordelingen for samtlige eksaminander, der deltog ved den skriftlige prøve i matematik B på hf: 2 2 Hf B gennemsnit:, erne på hf B i matematik har den tilstræbte fordeling blandt de, der har bestået den skriftlige prøve, med 7 som hyppigste karakter. Der var 21,4%, der dumpede, og 23,3% opnåede karakteren 7. I diagrammerne nedenfor ses udviklingen i karaktergennemsnit og dumpeprocent i matematik B på hf siden 28, som var første år med eksamen på hf B matematik efter gymnasiereformen i 2: 8 7 gennemsnit skriftlig prøve hf B er del, der dumper skriftlig prøve i hf B Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 18 af 27

19 Udviklingen i både gennemsnit og dumpeprocent har i matematik B på hf svinget en del, men har fra 213 til 216 haft lettere stigende dumpeprocent. Vurdering af resultatet af prøven hf B Ved forcensuren for hf B indberettede censorerne pointtallene for 1418 eksaminander. Pointfordelingerne i procent i alle spørgsmål er illustreret ved nedenstående histogrammer. Det er iøjnefaldende, at der er tendens til, at der fortrinsvis gives eller 1 point. Gul farve dækker et let spørgsmål, grøn farve et svært spørgsmål, rød farve en knald-eller-fald-opgave, blå farve en opgave, hvor der er midtertop samt sort farve en standardopgave. For nærmere definition af de fem grupper se side 7-8. Histogrammer, der er farvet blå ( midtertop ), markerer som nævnt mere jævnt fordelte pointtildelinger. Samtlige af disse spørgsmål i dette opgavesæt indeholder to delspørgsmål. Tre opgaver i prøven uden hjælpemidler relaterer til stof på C-niveau, tre relaterer til B-niveaustof. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 19 af 27

20 Spørgsmålene kan rangordnes efter sværhedsgrad ud fra eksaminandernes gennemsnitsscore. Opgaverne angivet med kursiveret skrift er opgaver fra delprøven uden hjælpemidler. Opstillingen giver mulighed for at vurdere, om disse opgaver fremstår lettere eller sværere for eksaminanderne end spørgsmålene i prøven med hjælpemidler. Spørgsmål Tema Gennemsnit 1a Potensmodel 8,99 8a Trigonometri cosinusrelation 7,6 1 Algebraisk reduktion 6,69 9a Lineær model opstille model 6,36 7c Eksponentiel model fremskrivning 6,24 9b Lineær model fremskrivning 6,2 1b Potensmodel relative forhold,94 7a Eksponentiel model regression,84 12a Integration,81 6 Lineær model,64 8b Trigonometri bestemme vinkel og side,33 3 Differentiation,17 11b Tangentligning 4,84 7b Eksponentiel model fortolkning 4,9 11a Monotonibestemmelse,6 4 Andengradspolynomium 4,34 Ubestemt integral 4,21 2 Aflæsning fordoblingstid 3,38 12b Integralligning 2,9 11c Bestemme røringspunkt to tangenter 2,73 Opgaverne fra prøven uden hjælpemidler er nogenlunde jævnt fordelt i forhold til middelscoren, men det må bemærkes, at tre opgaver fra delprøven uden hjælpemidler (opgave 2, 4 og ) fremstår som nogle af de vanskeligste opgaver for eksaminanderne. Det er bemærkelsesværdigt, at eksaminanderne oplever stor forskel i sværhedsgrad mellem opgave (uden hjælpemidler) og spørgsmål 12a (med hjælpemidler). Begge opgaver er om integralregning, ubestemt integral i opgave, bestemt integral i spørgsmål 12a. Eksaminanderne klarer spørgsmålet med hjælpemidler væsentligt bedre end opgaven uden hjælpemidler. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 2 af 27

21 Hf matematik C Ved sommereksamen 216 var 8894 eksaminander til skriftlig prøve i matematik C på hf. På hf er der ikke lodtrækning om eksamensdeltagelse, så derfor er alle kursister til prøve i hf matematik C på nær den del af kursisterne, der har valgt at opgradere matematik til B-niveau. Her ses en opgørelse over karakterfordelingen for samtlige eksaminander, der deltog ved den skriftlige prøve i matematik C på hf. Hf C gennemsnit:, erne i matematik C på hf har den tilstræbte fordeling blandt de, der har bestået den skriftlige prøve, med 7 som hyppigste karakter. Der er 2%, der opnår karakteren 7, mens der er 17,9%, der dumper. Herunder ses udviklingen i dumpeprocent og karaktergennemsnit i matematik C på hf siden 27: 8 gennemsnit skriftlig prøve hf C er del, der dumper skriftlig prøve i hf C Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 21 af 27

22 gennemsnittet har ligget nogenlunde konstant i den beskrevne periode. Fra 211 har dumpeprocenten ligeledes været nogenlunde konstant. Dog er dumpeprocenten i år markant lavere end de foregående år. Vurdering af resultatet af prøven hf C Ved forcensuren er der indberettet pointtal for 264 eksaminander. Pointfordelingerne i procent i alle spørgsmål er også for dette sæt illustreret ved histogrammer. Tallet i overskriften til hvert diagram angiver eksaminandernes gennemsnitlige score. Gul farve dækker et let spørgsmål, grøn farve et svært spørgsmål, rød farve en knald-eller-fald-opgave, blå farve en opgave, hvor der er midtertop samt sort farve en standardopgave. For nærmere definition af de fem grupper se side 7-8. De histogrammer, der er farvet blå ( midtertop ), dækker her spørgsmål, der alle indeholder to delspørgsmål. Opgaverne kan rangordnes efter sværhedsgrad ud fra eksaminandernes gennemsnitsscore på følgende måde: Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 22 af 27

23 Spørgsmål Tema Gennemsnit 4a Potensmodel indsættelse 8,8 1a Rentesregning 8,67 3a Indekstal 7,4 b Lineær model indsættelse 6,7 a Lineær model opstilling 6,3 1b Omvendt rentesregning 6,47 7a Trigonometri retvinklet,3 4b Potensmodel relative forhold,47 2a Statistik,39 2b Statistik kvartiler,21 6b Eksponentiel model omvendt aflæsning 3,66 7b Trigonometri cosinusrelation 3,64 6a Eksponentiel model kalibrering 3,61 c Lineær model sammenligne to modeller 2,88 7c Trigonometri areal 2,62 Det kan bemærkes, at 1a og 1b (om rentesregning) er blandt de lette spørgsmål, mens 6a og 6b (om en eksponentiel model) er blandt de vanskeligste. Matematisk er det essentielt samme opgave, men indpakningen har tilsyneladende afgørende betydning. Det er også bemærkelsesværdigt, at opgave 6 om eksponentielle modeller går markant dårligere end opgave 4 om potensmodeller (som nævnt under hf B). Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 23 af 27

24 Kønsforskelle i prøveresultaterne Prøveresultaterne er på baggrund af indberetningerne fra forcensuren blevet opgjort i forhold til køn. Censorerne er blevet bedt om at indberette eksaminandens køn efter navneangivelse (om muligt). Den samlede opgørelse for resultaterne på stx A i forhold til køn giver følgende fordeling: Stx A samlet fordeling for mænd og kvinder Mænd (129 personer) Kvinder (1461 personer) Forskellene mellem kønnenes resultater er forholdsvis små. Det skal dog fremhæves, at der er flest kvinder, der opnår karaktererne 7 og 1, mens der er flest mænd, der opnår karakteren 12. Den samlede opgørelse for resultaterne på stx B i forhold til køn giver følgende fordeling: Stx B samlet fordeling for mænd og kvinder Mænd (16 personer) Kvinder (1867 personer) På stx B er der markante forskelle mellem kønnene i eksamensresultatet. Det er ganske markant, at kvinderne klarer den skriftlige prøve i stx B klart bedre end mændene. Blandt mændene er det 27,6%, der dumper, mod 18,1% af kvinderne. Blandt kvinder opnår 6,6% karaktererne 7, 1 eller 12, mod 46,1% af mændene. Der er meget små udsving mellem eksamensresultaterne for kvindelige og mandlige eksaminander på hf B. Der er en svag tendens til, at de kvindelige eksaminander klarer sig bedre end de mandlige. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 24 af 27

25 Hf B fordeling for mænd og kvinder Mænd (62 personer) Kvinder (714 personer) Der er kun små udsving i karakterfordelingen i forhold til køn på hf C. Der er således lidt flere mandlige eksaminander, der opnår karaktererne 7, 1 og 12 end kvindelige eksaminander. 18,6% af de kvindelige eksaminander opnår, mod 14,3% af de mandlige eksaminander. Der er således en svag tendens til, at de mandlige eksaminander klarer sig bedre end de kvindelige på hf C, som følgende diagram viser: Hf C fordeling for mænd og kvinder Mænd (134 personer) Kvinder (1378 personer) Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 2 af 27

26 Resultater i forhold til brug af hjælpemidler Stort set alle eksaminander på stx anvender computerbaseret CAS-værktøj (herefter benævnt CAS) i matematikprøverne med hjælpemidler. CAS indeholder faciliteter, der kan være nødvendige for at kunne besvare opgaver, fx løsning af komplicerede ligninger og differentialligninger, differentiation af komplicerede funktioner og bestemmelse af vanskeligere integraler. Der er imidlertid også spørgsmål, som en middelelev vil kunne besvare ved at anvende en basal lommeregner (uden CAS). I det efterfølgende skelnes ikke mellem CAS og basale lommeregnere, fordi opgaverne ved prøverne stilles ud fra en forudsætning om at eksaminanderne råder over CAS. Evalueringsgruppen har analyseret opgavesættene på stx A, stx B og hf B, i forhold til i hvor høj grad CAS er en nødvendighed ved besvarelse af spørgsmålene. Nødvendighed skal her forstås således, at det vil være meget vanskeligt eller umuligt for eksaminander at besvare opgaverne uden brug af CAS. Hvor der skrives absolut nødvendigt kan spørgsmålet udelukkende besvares ved brug af CAS. De to opgavesæt på stx A, A1 og A2, vurderes til at være sammenlignelige i forhold til antal point knyttet til spørgsmål, hvor CAS er nødvendig for besvarelsen. Ca. 3% af de point, der kan opnås i delprøven med hjælpemidler stammer fra opgaver, hvor CAS er en nødvendighed. Med henblik på de to opgavesæt på stx B, B1 og B2, er vurderingen, at der er forholdsvis stor forskel på, hvor mange point i de to opgavesæt, der kræver anvendelse af CAS i besvarelsen. På B1 opnås ca. 21% af pointene i opgaver, hvor CAS er en nødvendighed, mens det drejer sig om ca. 42% i B2. På hf B er vurderingen, at der kun er 2 point ud af de 14 mulige, der er knyttet til spørgsmål, der kræver brugen af CAS i besvarelsen. De øvrige spørgsmål kan besvares uden hjælpemidler af en eksaminand med stærke basale færdigheder eller af en middelgod eksaminand med en basal lommeregner. I A1 er CAS-værktøjet absolut nødvendigt til at besvare spørgsmål 7a (regression), spørgsmål 1a og 1b (chi-i-anden test), spørgsmål 13a (tegning af graf for kompliceret trigonometrisk funktion), spørgsmål 13b (bestemmelse af differentialkvotient) og spørgsmål 14b (løsning af integralligning). I A2 er CAS absolut nødvendigt for at besvare spørgsmål 7a (regression), spørgsmål 8a (tegning af graf for tredjegradspolynomium), spørgsmål 9b (chi-i-anden test), spørgsmål 1a (tegning af graf for kompliceret funktion), spørgsmål 1b (løsning af ligning ), spørgsmål 13a og b (løsning af differentialligning samt bestemmelse af maksimum) og i spørgsmål 14b (løsning af integralligning). Der er således en del opgaver på stx A, hvor CAS-værktøjet er en nødvendighed, og det er tydeligvis inden for flere faglige emner. I B1 er CAS-værktøj absolut nødvendigt til at besvare spørgsmål 7a (regression se ovenfor) og i spørgsmål 11c (skæring mellem grafer for tredjegradspolynomium og andengradspolynomium). I B2 er CAS-værktøjet absolut nødvendigt til at besvare spørgsmål 7a (regression se ovenfor) og i spørgsmål 12a (tegning af grafer for tredjegradspolynomium). Der er således ganske få opgaver på stx B, hvor CAS-værktøjet er en nødvendighed. I opgavesættet hf B er CAS-værktøjet absolut nødvendigt til at besvare spørgsmål 7a (regression) og i spørgsmål 12b (løsning af en integralligning). Der er således ganske få opgaver på hf B, hvor CAS-værktøjet er en nødvendighed. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 26 af 27

27 Specielt om CAS på hf C Ved forcensuren på hf C har censorerne anført, om eksaminandernes besvarelser er udarbejdet og indskrevet på computer ved brug af et CAS-program (computer), eller om de er udfærdiget i hånden med brug af håndholdt værktøj (basal lommeregner). For 18% af eksaminanderne, der indgik i stikprøven, var censorerne ikke i stand til at udpege om eksaminanderne anvendte computer eller lommeregner. På dette grundlag har vi undersøgt, hvordan de to eksaminandgrupper har klaret prøven. Hf C 216: fordeling efter anvendt værktøj LR (168 kursister) PC (196 kursister) gennemsnittene blev: Hf 216 Matematik C del gennemsnit Lommeregner 49 % 4,92 Computer 1 %,66 Antallet af eksaminander på hf, som benytter computer til den skriftlige eksamen i matematik C, er fortsat meget mindre end på stx. Dog var der på hf C ved eksamen i juni i år (216) for første gang over halvdelen (,6%) af eksaminander, der anvendte computer i fremfor lommeregner. Opgaverne på hf C-niveau stilles ikke under forudsætning af, at eksaminanderne har et CAS-værktøj til rådighed under prøven, men det er bemærkelsesværdigt, at eksaminander på hf C, som anvender computer til eksamen, får et,74 procentpoint bedre karaktergennemsnit. Desuden er der langt færre, der dumper, således var dumpeprocenten for eksaminander, der anvendte computer, på 17,2%, mens den var 2,1% for eksaminander, der anvendte lommeregner. Andelen af eksaminander, der anvender computer til skriftlig eksamen på hf C, er vokset støt over nogle år, fx var andelen af eksaminander, der anvendte computer i juni 21 på 32%, og det må forventes, at andelen fortsat vil stige frem mod maj 218, hvor det er et krav at besvarelserne af eksamensopgaver i matematik afleveres elektronisk. Tidligere var det især mere ihærdige og interesserede enkeltkursister, der anvendte computer, mens det i dag i højere grad er hele hold, der anvender computer. Evalueringsgruppen har analyseret opgaverne i forhold til i hvor høj grad, anvendelse af CAS vil være en markant hjælp i besvarelsen. Konklusionen af analysen er, at CAS kun giver en begrænset støtte ved den skriftlige prøve på hf C, og denne støtte kan ikke udgøre den fuldstændige forklaring på, hvorfor eksaminander med computer klarer sig markant bedre end eksaminander med lommeregner. En tese kan være, at brug af computer og CAS kan udgøre et centralt element i at løfte de svageste eksaminander set i forhold til det aktuelle opgavesæt. Evalueringsrapport skriftlig eksamen i matematik stx og hf 216 Side 27 af 27