Egenværdier og egenvektorer

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Egenværdier og egenvektorer"

Transkript

1 enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier og egenvektorer til kvadratiske matricer. Noten bygger derfor på viden omkring generelle vektorrum, se enote 7, på viden om algebra med matricer, se enote 3 og enote 4, og på viden om lineære afbildninger se enote 8. Version Egenværdiproblemet for lineære afbildninger 9.. Indledning I denne enote betragter vi lineære afbildninger af typen f : V V. (9-) det vil sige lineære afbildninger, hvor definitionsrummet og dispositionsrummet er det samme vektorrum. Dette åbner op for et særligt fænomen, nemlig at en vektor kan være identisk med sin billedvektor: f (v) = v. (9-2) Vektorer af denne type kaldes fiksvektorer for f. Mere generelt er vi på jagt efter egenvektorer, det vil sige vektorer, som er proportionale med deres billedvektorer. Man taler i denne forbindelse om egenværdiproblemet: at finde en skalar, typisk betegnet λ, og en egentlig vektor v, som opfylder vektorligningen f (v) = λv. (9-3) Hvis λ er en skalar og v en egentlig vektor, som opfylder (9-3), så kaldes proportionalitetsfaktoren λ en egenværdi for f og v en til λ hørende egenvektor. Lad os som eksempel tage en lineær afbildning f : R 3 R 3, det vil sige en lineær afbildning af mængden af rumvektorer ind i sig selv. På figur 9. afbildes de tre vektorer a, b og c.

2 enote 9 9. EGENVÆRDIPROBLEMET FOR LINEÆRE AFBILDNINGER 2 f(c) c b a f(b) f(a) Figur 9.: Tre egenvektorer i rummet og deres billedvektorer Som antydet på figur 9. er f (a) = 2a. Derfor er 2 en egenværdi for f med tilhørende egenvektor a, λ = 2 og v = a. Da endvidere f (b) = b, er også en egenværdi for f med tilhørende egenvektor b, λ 2 = og v 2 = b. Og da endelig f (c) = c, er en egenværdi for f med tilhørende egenvektor c, λ 3 = og v 3 = c. Specielt er c dermed også en fiksvektor for f. At løse egenværdiproblemer for lineære afbildninger er en af de mest afgørende problemstillinger i ingeniørmæssige anvendelser af lineær algebra. Dette hænger snævert sammen med, at en lineær afbildning, hvis afbildningsmatrix med hensyn til en given basis er en diagonalmatrix, er særligt enkel at overskue og arbejde med. Og her gælder der den komfortable regel, at hvis man vælger en basis bestående af egenvektorer for afbildningen, så bliver afbildningsmatricen automatisk en diagonalmatrix. I det følgende eksempel illustrerer vi disse pointer ved hjælp af lineære afbildninger i planen.

3 enote 9 9. EGENVÆRDIPROBLEMET FOR LINEÆRE AFBILDNINGER 3 Eksempel 9. Egenværdier og egenvektorer i planen Lad G 2 (R) betegne vektorrummet af vektorer i planen. Vi betragter en lineær afbildning f : G 2 (R) G 2 (R) (9-4) af mængden af plane vektorer ind i sig selv, som med hensyn til en given basis a = (a, a 2 ) har følgende diagonalmatrix som afbildningsmatrix: af a = Ved afbildning af basisvektorerne fra basis a fås følgende: og a f (a ) = a F a a a = a f (a 2 ) = a F a a a 2 = [ [ [ ] 2 0. (9-5) 0 3 ][ ] = 0 ][ ] 0 = [ ] 2 = 2 0 [ ] 0 = 3 3 [ 0 [ 0 ] = 2a ] = 3a 2, hvor basisvektorerne mht. deres egen basis naturligvis blot er a a = (, 0) og a a 2 = (0, ). Vi har altså, at f (a ) = 2a og f (a 2 ) = 3a 2. Begge basisvektorer er egenvektorer for f, og a tilhører egenværdien 2, mens a 2 tilhører egenværdien 3. Egenværdierne er diagonalelementerne i a F a. Vi betragter nu en vilkårlig vektor x = x a + x 2 a 2 og finder dens billedvektor: a f (x) = [ ][ ] [ ] 2 0 x 2x =. 0 3 x 2 3x 2 Ved afbildningen bliver x -koordinaten ganget med egenværdien 2, mens x 2 -koordinaten bliver ganget med egenværdien 3. Geometrisk betyder dette, at hele planen ved afbildningen strækkes, først med faktoren 2 i retningen a og dernæst med faktoren 3 i retningen a 2. Virkningen på en vilkårligt vektor x illustreres på figur 9.2. f(x) a 2 a x O Figur 9.2: Vektoren x strækkes vandret med faktor 2 og lodret med faktor 3

4 4 enote 9 9. EGENVÆRDIPROBLEMET FOR LINEÆRE AFBILDNINGER 4 2 På figur 9.3 har vi valgt standardbasen (i, j) og illustrerer, hvordan den lineære afbildning g, som har afbildningsmatricen [ ] eg e =, 0 3 afbilder det blå hus over i det røde hus ved, at alle stedvektorer til punkter i det 8 blå hus strækkes med faktoren 2 i vandret retning og med faktoren 3 i lodret retning j O i Figur 9.3: Det blå hus strækkes vandret med faktor 2 og lodret med faktor 3 2 Vi undersøger nu en anden lineær afbildning h, hvis afbildningsmatrix med hensyn til standardbasen ikke er en 2 diagonalmatrix: 0 4 eh e = 6 [ ] 7/3 2/3. /3 8/3 Her kan man ikke straks afgøre om afbildningen er sammensat af to strækninger i to givne retninger. Og man får ikke umiddelbart 8 hints ved at afbilde det blå hus ved hjælp af h som 8 vist på figur j i Figur 9.4: Hus Men faktisk er det også i tilfældet h muligt at vælge en basis, som består af to lineært uafhængige egenvektorer for h. Lad nemlig b være givet ved e-koordinaterne (2, ) og b

5 enote 9 9. EGENVÆRDIPROBLEMET FOR LINEÆRE AFBILDNINGER 5 ved e-koordinaterne (, ). Så gælder der: og eh(b ) = e H e e b = eh(b 2 ) = e H e e b 2 = [ 7/3 2/3 /3 8/3 [ 7/3 2/3 /3 8/3 ][ ] 2 = ][ ] = [ ] 4 = 2 2 [ ] 3 = 3 3 [ ] 2 Resultatet er h(b ) = 2b og h(b 2 ) = 3b 2. Det viser sig altså, at b og b 2 faktisk er egenvektorer for h. Ved at vælge (b, b 2 ) som basis får afbildningsmatricen for h med hensyn til 2 denne basis formen: [ ] 2 0 bg b = Det viser sig dermed overraskende nok, at afbildningsmatricen for h også kan skrives på formen (9-5). Afbildningen h er også sammensat af to strækninger med faktorerne 2 og 3. Blot 8 er de to strækningsretninger nu bestemt ved egenvektorerne b og b 2. Dette ses tydeligere, hvis vi afbilder et nyt blåt hus, hvis hovedlinjer er parallelle med b-basisvektorerne, se figur [ ]. 4 2 O b b 2 4 Figur 9.5: Det blå hus strækkes med faktor 2 hhv. faktor 3 i egenvektorernes retning 6 Vi har hermed eksemplificeret, at hvis man kan finde to lineært uafhængige egenvektorer for en lineær afbildning i planen, så er det muligt at 8. skrive dens afbildningsmatrix på diagonalform ved at vælge egenvektorerne som basis samt at 0 2. beskrive afbildningen som strækninger i egenvektorernes retninger med deres tilhørende egenværdier 2 som strækningsfaktorer.

6 enote 9 9. EGENVÆRDIPROBLEMET FOR LINEÆRE AFBILDNINGER Egenværdier og deres tilhørende egenvektorer Egenværdiproblemet for en lineær afbildning går i korthed ud på at besvare spørgsmålet: Findes der egentlige vektorer, hvor billedvektoren er proportional med vektoren selv? Det korte svar er, at det kan man ikke svare generelt på! Det afhænger af den enkelte afbildning. I det følgende forsøger vi at indkredse, hvad vi faktisk kan sige generelt om egenværdiproblemet. Definition 9.2 Egenværdi og egenvektor Lad f : V V være en lineær afbildning af vektorrummet V ind i sig selv. Hvis der findes en egentlig vektor v V og en skalar λ således, at f (v) = λv, (9-6) så kaldes proportionalitetsfaktoren λ en egenværdi for f, mens v kaldes en egenvektor, som hører til λ. Hvis det IKKE i definition 9.2 var krævet, at der skulle findes en egentlig vektor som opfylder f (v) = λv, ville enhver skalar λ være en egenværdi, idet der jo for enhver skalar λ gælder f (0) = λ 0. Men bemærk, at hvis λ er en egenværdi, så er nul-vektoren en egenvektor hørende til λ. Tallet 0 kan godt være en egenværdi. Det kræver blot, at der findes en egentlig vektor v, som opfylder f (v) = 0, da vi så har f (v) = 0v. Hvis en lineær afbildning f har blot én egenvektor v, så har den uendeligt mange egenvektorer. Dette er en simpel konsekvens af den følgende sætning. Sætning 9.3 Underrum af egenvektorer Hvis λ er en egenværdi for en lineær afbildning f : V V, så er mængden af egenvektorer, som hører til λ, et underrum i V. Bevis Lad f : V V være en lineær afbildning af vektorrummet V ind i sig selv, og antag, at λ er en egenværdi for f. Vi skal vise, at mængden af egenvektorer, som hører til λ, opfylder de to stabilitetskrav for underrum, se sætning Lad k være en vilkårlig skalar, og lad u og v

7 enote 9 9. EGENVÆRDIPROBLEMET FOR LINEÆRE AFBILDNINGER 7 være to vilkårlige egenvektorer, som hører til λ. Så gælder der under anvendelse af L : f (u + v) = f (u) + f (v) = λu + λv = λ(u + v). Sumvektoren u + v er dermed en egenvektor hørende til λ, og vi har hermed vist, at egenvektorerne hørende til λ opfylder stabilitetskravet vedrørende addition. Endvidere gælder der under anvendelse af L 2 : f (ku) = k f (u) = k(λu) = λ(ku). Hermed er det vist, at egenvektorerne hørende til λ også opfylder stabilitetskravet vedrørende multiplikation med skalar. Samlet er det vist, at mængden af egenvektorer, som hører til en given egenværdi λ, er et underrum i definitionsrummet. Sætning 9.3 giver anledning til den følgende definition. Definition 9.4 Egenvektorrum Lad f : V V være en lineær afbildning af vektorrummet V ind i sig selv, og lad λ være en egenværdi for f. Ved egenvektorrummet (eller kort egenrummet) E λ hørende til λ forstås underrummet af egenvektorer, som hører til λ, E λ = {v V f (v) = λv }. Hvis E λ er endeligt-dimensionalt, kaldes dim(e λ ) for den geometriske multiplicitet af λ, betegnet gm(λ). I det følgende eksempel betragtes en lineær afbildning, som har to egenværdier, begge med geometrisk multiplicitet.

8 enote 9 9. EGENVÆRDIPROBLEMET FOR LINEÆRE AFBILDNINGER 8 Eksempel 9.5 Egenrum for spejling I planen er der tegnet en ret linje m gennem origo. Med s betegnes den lineære afbildning, der afbilder en vektor v afsat ud fra origo i dens spejling s(v) i m, se figuren: s(b) v m a s(a) O b s(v) n Lad a være en vilkårlig egentlig vektor, som ligger på m. Ved afbildning spejles vektoren i linjen m, og der sker derfor ingen ændring. Der gælder: s(a) = a = a, og derfor er en egenværdi for s. Egenrummet E indeholder mængden af samtlige vektorer, der ikke ændres ved spejlingen; dvs. mængden af vektorer, som ligger på m. Vi tegner nu en ret linje n gennem origo vinkelret på m. Lad b være en vilkårlig egentlig vektor, som ligger på n. Da der gælder: s(b) = b = ( ) b, er en egenværdi for s. Egenrummet E er mængden af vektorer som ligger på n. At ikke alle lineære afbildninger har egenværdier og dermed egenvektorer, fremgår af det følgende eksempel. Eksempel 9.6 Lad G 2 (R) betegne vektorrummet af vektorer i planen. Lad os undersøge egenværdiproblemet for den lineære afbildning f : G 2 G 2, som til en egentlig vektor v i planen knytter dens tværvektor: f (v) = v. Da en egentlig vektor v aldrig kan være proportional (parallel) med sin tværvektor, må der

9 enote 9 9. EGENVÆRDIPROBLEMET FOR LINEÆRE AFBILDNINGER 9 for ethvert valg af en skalar λ nødvendigvis gælde, at v = λv. Derfor findes der ikke egenværdier og dermed heller ikke egenvektorer for f. Af den følgende opgave fremgår det blandt andet, at dimensionen af et egenvektorrum meget vel kan være større end. Opgave 9.7 I rummet er der givet et standard (O, i, j, k)-koordinatsystem. Alle vektorer tænkes afsat ud fra origo. Afbildningen p projicerer vektorer ned i (x, y)-planen i rummet, se figur 9.6. Z k O i j v Y p(v) X Figur 9.6: Egenværdiproblemet for projektion ned i (x, y)-planen. Det er vist i opgave 8.26, at p er lineær. Bestem samtlige egenværdier og de egenrum, der hører til egenværdierne, udelukkende ved hovedregning (grubling). Eksempel 9.8 Egenværdiproblem for differentiation Lad C (R) betegne mængden af differentiable reelle funktioner. Vi betragter den lineære afbildning f : C (R) C (R), som er givet ved Lad λ være en vilkårlig skalar. Da der gælder: f (x(t)) = x (t). f (e λt ) = λ e λt, er λ en egenværdi for f, og e λt er en egenvektor, som hører til λ.

10 enote 9 9. EGENVÆRDIPROBLEMET FOR LINEÆRE AFBILDNINGER 0 Dette var blot én løsning. Samtlige løsninger til differentialligningen x (t) = λx(t) er givet ved k e λt, hvor k er et vilkårligt reelt tal, er egenrummet hørende til λ bestemt ved E λ = { k e λt k R } Teoretiske pointer Den følgende hjælpesætning giver et vigtigt resultat for lineære afbildninger af vektorrum ind i sig selv. Den gælder uanset, om det betragtede vektorrum har endelig dimension eller ej. Hjælpesætning 9.9 Lad f : V V være en lineær afbildning af et vektorrum V ind i sig selv, og antag,. at f har en række egenværdier med tilhørende egenrum, 2. at der udvælges nogle af egenrummmene, og inden for hvert af de udvalgte egenrum udvælges nogle lineært uafhængige vektorer, 3. og at alle de således udvalgte vektorer sættes sammen til ét vektorsæt v. Så er v et lineært uafhængigt vektorsæt. Bevis Lad f : V V være en lineær afbildning, og lad v være et vektorsæt, der er sammensat i overensstemmelse med punkt. til 3. i hjælpesætning 9.9. Vi skal vise, at v er lineært uafhængigt. Den røde tråd i beviset er, at vi antager det modsatte; det vil sige, at vi antager, at v er lineært afhængigt men viser, at dette fører til en modstrid. Vi udtynder først v til en basis for span{v}. Da sættet er lineært afhængigt, må der da være mindst én vektor i v, som ikke er med i basen. Vi vælger en af dem (en af de vektorer, der er afhængig af de andre); lad os kalde den x. Nu skriver vi x som en linearkombination af basisvektorerne, idet vi udelader de trivielle led, det vil sige dem, som har koefficienten 0: x = k v + + k m v m. (9-7)

11 enote 9 9. EGENVÆRDIPROBLEMET FOR LINEÆRE AFBILDNINGER Vi kalder egenværdien, der hører til x, for λ, og egenværdierne hørende til v i for λ i. Vi kan ud fra (9-7) opnå et udtryk for λx på to forskellige måder dels ved at gange (9-7) med λ og dels ved at finde billedet ved f af højre- og venstresiden i (9-7). Vi benytter begge fremgangsmåder: λx = λk v + + λk m v m λx = λ k v + + λ m k m v m. Ved subtraktion af den nederste ligning fra den øverste medfører dette: 0 = k (λ λ )v + + k m (λ λ m )v m. (9-8) Hvis alle koefficienterne til vektorerne på højresiden af (9-8) er lig med nul, må λ = λ i for alle i =, 2,..., m. Men så har x og alle basisvektorerne v i samme egenværdi og må være valgt ud fra det samme egenvektorrum. De skulle derfor være lineært uafhængige, da en forudsætningen i hjælpesætning 9.9 for, at de blev valgt ud som et sæt, netop var, at de indenfor samme egenvektorrum var lineært uafhængige. Dette strider mod at x er en linearkombination af basisvektorerne, da det ikke er muligt, hvis den er en del af et lineært uafhængigt sæt. Derfor må mindst én koefficienterne i (9-8) være forskellig fra 0. Men så er nul-vektoren opskrevet som en egentlig linearkombination af basisvektorerne. Dette strider mod kravet om, at en basis er lineært uafhængig. Konklusionen er, at antagelsen om, at v er et lineært afhængigt vektorsæt, nødvendigvis fører til en modstrid. Derfor er v lineært uafhængigt. Eksempel 9.0 Egenvektorers lineære uafhængighed En lineær afbildning f : V V har tre egenværdier λ, λ 2 og λ 3, som har de geometriske multipliciteter 2, henholdsvis og 3. Hvis vektorsættet (a, a 2 ) er en basis for E λ, (b) en basis for E λ2 og (c, c 2, c 3 ) en basis for E λ3, så følger det af hjælpesætning 9.9, at ethvert udvalg af de seks basisvektorer er et lineært uafhængigt vektorsæt. Værdien af hjælpesætning 9.9 viser sig ved, at den direkte fører til de følgende vigtige resultater.

12 enote 9 9. EGENVÆRDIPROBLEMET FOR LINEÆRE AFBILDNINGER 2 Sætning 9. Generelle egenskaber Lad V være et vektorrum med dim(v) = n, og lad f : V V være en lineær afbildning af V ind i sig selv. Der gælder:. Egentlige egenvektorer, som hører til forskellige egenværdier for f, er lineært uafhængige. 2. f kan højst have n forskellige egenværdier. 3. Hvis f har n forskellige egenværdier, findes der en basis for V bestående af egenvektorer for f. 4. Summen af de geometriske multipliciteter af egenværdierne for f kan højst være n. 5. Hvis og kun hvis summen af de geometriske multipliciteter af egenværdierne for f er lig med n, findes der en basis for V bestående af egenvektorer for f. Opgave 9.2 Det første punkt i sætning 9. er et simpelt specialtilfælde af hjælpesætning 9.9 og følger derfor umiddelbart af hjælpesætningen. Det andet punkt kan bevises således: Antag at en lineær afbildning har k forskellige egenværdier. Vi vælger en egentlig vektor fra hvert af de k egenrum. Sættet af de k valgte vektorer er da ifølge hjælpesætning 9.9 lineært uafhængigt, og k må derfor være mindre end eller lig med vektorrummets dimension (se hjælpesætning 7.2). Gør på tilsvarende vis rede for, hvordan de tre sidste punkter i sætning 9. følger af hjælpesætning 9.9. Motiveret af sætning 9. indfører vi begrebet egenbasis. Definition 9.3 Egenvektorbasis Lad f : V V være en lineær afbildning af et endeligt-dimensionalt vektorrum V ind i sig selv. Ved en egenvektorbasis, eller kort egenbasis, for V med hensyn til f forstås en basis bestående af egenvektorer for f.

13 enote 9 9. EGENVÆRDIPROBLEMET FOR LINEÆRE AFBILDNINGER 3 Herefter kan vi præsentere dette afsnits hovedresultat. Sætning 9.4 Hovedsætning Lad f : V V være en lineær afbildning af et n-dimensionalt vektorrum V ind i sig selv, og lad v = (v,..., v n ) være en basis for V. Der gælder da:. Afbildningsmatricen v F v for f med hensyn til v er en diagonalmatrix, hvis og kun hvis v er en egenbasis for V med hensyn til f. 2. Antag, at v er en egenbasis for V med hensyn til f. Lad Λ betegne den diagonalmatrix, som er afbildningsmatrix for f med hensyn til v. Rækkefølgen af diagonalelementerne i Λ er da bestemt ud fra den valgte basis således: Basisvektoren v i hører til den egenværdi λ i, som står i den i te søjle i Λ. Vi udskyder beviset for denne sætning til enote 0 om diagonalisering. Eksempel 9.5 Diagonalmatrix for spejling Lad os igen betragte situationen i eksempel 9.5, hvor vi betragtede afbildningen s, som spejler vektorer afsat ud fra origo i linjen m : s(b) v m a s(a) O b s(v) n Vi fandt, at a er en egenvektor, som hører til egenværdien, og at b er en egenvektor, som hører til egenværdien. Da planen har dimensionen 2, følger det af sætning 9.4, at hvis vi vælger basen (a, b), så har f den følgende afbildningsmatrix med hensyn til denne basis: [ λ 0 Λ = 0 λ 2 ] = [ ] 0. 0

14 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 4 Eksempel 9.6 Lineær afbildning uden egenværdier I eksempel 9.6 fandt vi, at den afbildning, som til en vektor i planen lader svare dens tværvektor, ingen egenværdier har. Der findes derfor ingen egenbasis for afbildningen, og der kan for denne afbildning derfor ikke opstilles en afbildningsmatrix, som er en diagonalmatrix. Eksempel 9.7 Diagonalisering af kompleks afbildning Lad f : C 2 C 2 være en lineær afbildning, som opfylder Da der gælder: f (z, z 2 ) = ( z 2, z ). f (i, ) = (, i) = i (i, ) og f ( i, ) = (, i) = ( i)( i, ), ses det, at i er en egenværdi for f med en tilhørende egenvektor (i, ), og at i er en egenværdi for f med en tilhørende egenvektor ( i, ). Da (i, ) og ( i, ) er lineært uafhængige, er ( (i, ), ( i, ) ) en egenbasis for C 2. Afbildningsmatricen for f med hensyn til denne basis er ifølge sætning 9.4 [ λ 0 Λ = 0 λ 2 ] = [ ] i 0. 0 i Opgave 9.8 Betragt igen situationen i eksempel 9.7. Vælg to forskellige egenbaser (baser bestående af egenvektorer for p ), og bestem i hvert af de to tilfælde den diagonalmatrix, som bliver afbildningsmatrix for p med hensyn til den valgte basis. 9.2 Egenværdiproblemet for kvadratiske matricer Når en lineær afbildning f : V V afbilder et n-dimensionalt vektorrum V ind i vektorrummet selv, bliver afbildningsmatricen for f med hensyn til en vilkårligt valgt basis a en kvadratisk matrix. Egenværdiproblemet f (v) = λv er da ækvivalent med matrixligningen af a a v = λ a v. (9-9) Dette giver os anledning til at formulere et egenværdiproblem for kvadratiske matricer generelt, det vil sige uden, at vi nødvendigvis behøver at tænke på den kvadratiske matrix som en afbildningsmatrix. Vi vil standardisere måden at gå frem på, når egenværdier og egenvektorer for kvadratiske matricer søges bestemt. Dermed fås samtidigt i kraft

15 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 5 af (9-9) metoder til at finde egenværdier og egenvektorer for alle endeligt-dimensionelle lineære afbildninger af vektorrum ind i sig selv, der kan beskrives ved hjælp af afbildningsmatricer. Først præciserer vi, hvad der forstås ved egenværdiproblemet for en kvadratisk matrix. Definition 9.9 Egenværdiproblemet for matricer At løse egenværdiproblemet for en kvadratisk reel (n n)-matrix A vil sige at finde skalarer λ med tilhørende egentlige vektorer v = (v,..., v n ), som opfylder ligningen A v = λv. (9-0) Opfyldes denne ligning for et par bestående af λ og v = 0, kaldes λ en egenværdi for A og v en til λ hørende egenvektor for A. Eksempel 9.20 Egenværdiproblem for kvadratisk matrix Det ønskes undersøgt, om v = (2, 3), v 2 = (4, 4) og v 3 = (2, ) er egenvektorer for en matrix A givet ved [ ] 4 2 A =. (9-) 3 Til dette opstilles egenværdiproblemet, som beskrevet i definition 9.9: [ ][ Av = 3 3 [ ][ Av 2 = 3 4 [ 4 2 Av 3 = 3 ] = ] = ][ 2 [ 2 3 [ 8 8 ] = ] = v ] = 2 v 2 [ 0 7 ] = λ v 3 for ethvert λ. (9-2) Af dette ses, at v og v 2 er egenvektorer for A. v hører til egenværdien, og v 2 hører til egenværdien 2. Endvidere ses det, at v 3 ikke er en egenvektor for A. Eksempel 9.2 Givet matricen Egenværdiproblem for kvadratisk matrix A = [ ] Da [ ][ ] = [ ] 0 = 0 0 [ ],

16 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 6 er 0 en egenværdi for A, og (, ) er en til egenværdien 0 hørende egenvektor for A. Eksempel 9.22 Givet matricen Egenværdiproblem for kvadratisk matrix A = [ ] 0. 0 Da [ 0 0 ][ ] i = [ ] = i i [ ] i, er i en kompleks egenværdi for A, og ( i, ) er en til egenværdien i hørende kompleks egenvektor for A. Til brug for de følgende undersøgelser knytter vi nogle vigtige kommentarer til definition 9.9. Først bemærker vi, at selv om den kvadratiske matrix A i definition 9.9 er reel, er man ofte interesseret i ikke kun at finde reelle løsninger til ligningen (9-0) men generelt komplekse løsninger. Der søges med andre ord en skalar λ C og en vektor v C n, der opfylder (9-0). Det kan derfor være hensigtsmæssigt at opfatte venstresiden i (9-0) som en afbildning f : C n C n givet ved f (v) = A v. Denne afbildning er lineær. Lad nemlig u C n, v C n og k C. Der gælder da ifølge sædvanlige regneregler for matricer, at L : f (u + v) = A (u + v) = A u + A v L 2 : f (k u) = A(k u) = k(a u). Hermed er lineariteten vist. Da egenværdiproblemet f (v) = λv i dette tilfælde er identisk med egenværdiproblemet Av = λv, kan det sluttes at resultaterne opnået i afsnit 9. for egenværdiproblemet i almindelighed, umiddelbart kan overføres til egenværdiproblemet for matricer. Lad os således straks karakterisere mængden af egenvektorer, der hører til en given egenværdi for en kvadratisk, reel matrix (sammenlign med sætning 9.3). Sætning 9.23 Underrum af egenvektorer Lad λ være en reel eller kompleks egenværdi for en reel (n n)-matrix A. Der gælder da, at mængden af komplekse egenvektorer for A hørende til λ er et underrum i C n.

17 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 7 Hvis man kun er interesseret i reelle løsninger på egenværdiproblemet for reelle kvadratiske matricer, kan man alternativt opfatte venstresiden i (9-0) som en reel afbildning f : R n R n givet ved: f (v) = A v. Denne afbildning er naturligvis også lineær. Vi opnår herved den følgende variant af sætning Sætning 9.24 Underrum af egenvektorer Lad λ være en reel egenværdi for en reel (n n)-matrix A. Der gælder da, at mængden af reelle egenvektorer for A hørende til λ, er et underrum i R n. I lyset af sætning 9.23 og sætning 9.24 indfører vi begrebet egenvektorrum (sammenlign med definition 9.4). Definition 9.25 Egenvektorrum Lad A være en kvadratisk, reel matrix, og lad λ være en egenværdi for A. Underrummet af alle de til λ hørende egenvektorer kaldes egenvektorrummet (eller kort egenrummet) hørende til λ og betegnes E λ. Efter at vi nu har opridset de grundlæggende strukturelle rammer for egenværdiproblemet for kvadratiske matricer, vil vi i de to følgende delafsnit helt elementært undersøge, hvordan man overhovedet kan gå i gang med at finde egenværdier og egenvektorer for kvadratiske matricer At finde egenværdierne for en kvadratisk matrix Vi ønsker at bestemme de egenværdier, som hører til en reel (n n)-matrix A. Udgangspunktet er som nævnt ligningen Av = λv. (9-3) I første omgang sætter vi λv over på venstresiden af lighedstegnet, hvorefter v tages uden for parentes. Det kan gøres, fordi v = E v, hvor E er enhedsmatricen: Av = λv Av λv = Av λ(ev) = Av (λe)v = 0 (A λe)v = 0. (9-4)

18 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 8 Den sidste ligning i (9-4) svarer til et homogent lineært ligningssystem bestående af n ligninger med de n ubekendte v,..., v n, som er elementerne i v = (v,..., v n ). Det er dog ikke muligt straks at løse ligningssystemet, netop fordi vi ikke kender λ. Vi er nødt til at arbejde videre med ligningssystemets koefficientmatrix, som tildeles det særlige symbol K A (λ) = (A λe) og kaldes den karakteristiske matrix for A. Da det er et homogent lineært ligningssystem, som skal løses, er der som udgangspunkt to muligheder for løsningsstrukturen: Enten er den karakteristiske matrix regulær, og så er den eneste løsning v = 0. Eller også er matricen singulær, og der vil findes uendeligt mange løsninger v. Men da definition 9.9 kræver, at v skal være en egentlig vektor, altså en vektor forskellig for nulvektoren, må den karakteristiske matrix være singulær. For at undersøge, om dette gælder, tages determinanten af den karakteristiske matrix. Den er nul netop, når matricen er singulær, som vist i en tidligere enote, det(a λe) = 0. (9-5) Bemærk, at venstresiden i (9-5) er et polynomium med λ som variabel, hvis det skrives ud. Polynomiet tildeles det særlige symbol K A (λ) = det(a λe) = det(k A (λ)) og kaldes det karakteristiske polynomium for A. Den ligning, der fremkommer, når det karakteristiske polynomium sættes lig nul kaldes karakterligningen for A. K A (λ) = det(a λe) = det(k A (λ)) = 0, Ved hjælp af udregningsmetoden for determinanter kan det indses, at det karakteristiske polynomium altid er et n tegradspolynomium. Se også de efterfølgende eksempler. Hovedpointen er, at rødderne i det karakteristiske polynomium (løsningerne til karakterligningen) er egenværdierne for matricen, fordi egenværdierne netop opfylder, at den karakteristiske matrix er singulær.

19 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 9 Eksempel 9.26 En karakteristisk matrix Givet en (3 3)-matrix A ved så er den tilhørende karakteristiske matrix A = 0 0, (9-6) 2 K A (λ) = A λ E = 0 0 λ λ 0 0 = λ λ 3 λ 2 0 = 0 λ 0. 2 λ (9-7) Eksempel 9.27 Et karakteristisk polynomium Vi fortsætter fra eksempel 9.26 og får det karakteristiske polynomium for A (ved at opløse den karakteristiske matrix efter sidste søjle jf. metoderne i enote 5): K A (λ) = det 3 λ λ 0 2 λ = ( ) 3+3 (2 λ) det = (2 λ)(3 λ)( λ). ([ 3 λ 2 0 λ Det karakteristiske polynomium for A har altså rødderne, 2 og 3. ]) (9-8)

20 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 20 Eksempel 9.28 Egenværdier for 2 2-matricer Givet to matricer A og B, A = [ ] og B = [ ] 4. (9-9) 2 3 Bestem egenværdierne for A og B. Først betragtes A. Dens karakteristiske matrix opskrives: K A (λ) = A λe = [ ] [ ] [ ] 4 2 λ 0 4 λ 2 =. (9-20) 3 0 λ 3 λ Nu bestemmes det karakteristiske polynomium: ([ ]) 4 λ 2 K A (λ) = det(k A (λ)) = det 3 λ = (4 λ)( λ) ( 2) 3 = λ 2 3λ + 2. (9-2) Polynomiet har som forventet graden 2. Karakterligningen kan opskrives, og løsningerne til den kan bestemmes: K A (λ) = 0 λ 2 3λ + 2 = 0 λ = eller λ = 2. (9-22) Altså har A de to egenværdier λ = og λ 2 = 2. Den samme teknik bruges for at bestemme eventuelle egenværdier til B: [ ] [ ] [ ] 4 λ 0 λ 4 K B (λ) = B λe = = λ 2 3 λ ([ ]) λ 4 K B (λ) = det(k B (λ)) = det 2 3 λ = ( λ)(3 λ) 4 ( 2) = λ 2 2λ + 5. (9-23) Der er i dette tilfælde ingen reelle løsninger til K B (λ) = 0, fordi diskriminanten d = ( 2) = 6 < 0, og derfor har B ingen reelle egenværdier. Men den har to komplekse egenværdier. Vi tager den komplekse værktøjskasse frem: Diskriminanten kan omskrives til d = (4i) 2, hvilket giver de to komplekse løsninger λ = 2 ± 4i 2 λ = + 2i og λ = 2i. (9-24) Altså har B de to komplekse egenværdier λ = + 2i og λ 2 = 2i.

21 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 2 Bemærk, at de to komplekse egenværdier, der blev fundet sidst i eksemplet herover, viser sig at være hinanden konjugerede, λ = + 2i og λ 2 = λ = 2i. Dette er nemlig en generel regel, som vi ser nærmere på senere i afsnit I den følgende sætning opsummeres konklusionerne i dette delafsnit. Sætning 9.29 Karakteristisk matrix og polynomium samt karakterligning For den kvadratiske reelle (n n)-matrix A haves. den karakteristiske matrix K A (λ) = A λe, 2. det karakteristiske polynomium K A (λ) = det(k A (λ)) = det(a λe) og 3. karakterligningen K A (λ) = 0. Der gælder:. Det karakteristiske polynomium er et n tegradspolynomium med den variable λ, og karakterligningen er tilsvarende en n tegradsligning med den ubekendte λ. 2. Rødderne i det karakteristiske polynomium (løsningerne for karakterligningen) er samtlige egenværdier for A. Opgave 9.30 Graden af det karakteristiske polynomium Argumentér for, at det karakteristiske polynomium K A (λ) for en (n n)-matrix A er et polynomium i λ af graden n. Opgave 9.3 Nogle karakteristiske polynomier og deres rødder Bestem de karakteristiske polynomier for følgende matricer, og find alle reelle rødder i hvert af polynomierne: A = [ ] 2, A 2 = diag(a 3 4, a 2, a 3 ), A 3 = bidiag(b, b 2, b 3 ). (9-25)

22 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 22 Opgave 9.32 Find matricer med givne karakter-egenskaber Konstruér to (4 4)-matricer A og B sådan, at den ene har lutter reelle rødder i sit karakteristiske polynomium, og sådan at den anden ikke har nogen som helst reelle rødder i sit karakteristiske polynomium At finde egenvektorerne for en kvadratisk matrix Efter at egenværdierne til en reel (n n)-matrix A er bestemt, er det muligt at bestemme de tilhørende egenvektorer. Proceduren tager udgangspunkt i ligningen (A λe)v = 0, (9-26) som vi nåede frem til i (9-4). Når egenværdierne er kendte, kan det til (9-26) svarende homogene lineære ligningssystem løses med hensyn til de n ubekendte v,..., v n, som er elementer i v = (v,..., v n ). Vi skal blot indsætte egenværdierne efter tur og løse ligningssystemet for hver af dem. Som allerede nævnt er den karakteristiske matrix singulær, når den indsatte λ er en egenværdi. Derfor findes der uendeligt mange løsninger til ligningssystemet. At finde disse svarer til at finde samtlige egenvektorer v, der hører til λ. I den følgende metode sammenfattes opgaven med at bestemme egenværdier og tilhørende egenvektorer for en kvadratisk matrix. Metode 9.33 Bestemmelse af egenvektorer Samtlige (reelle eller komplekse) egenværdier λ for den kvadratiske matrix A findes som løsningerne til karakterligningen for A, K A (λ) = 0 det(a λe) = 0. (9-27) Derefter kan egenvektorerne v tilhørende hver enkelt egenværdi λ bestemmes. De er løsningerne til det følgende lineære ligningssystem når egenværdien λ er indsat. E er enhedsmatricen. (A λe)v = 0, (9-28) Metode 9.33 udfoldes i de følgende tre eksempler, der også giver os anledning til, i forlængelse af sætning 9.23 og sætning 9.24, at beskrive mængden af egenvektorer, der tilhører en given egenværdi.

23 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 23 Eksempel 9.34 Egenværdiers tilhørende egenvektorer Givet den kvadratiske matrix A = Bestem egenværdier og egenvektorer til A. Vi bruger metode Først findes den karakteristiske matrix, [ ] [ ] 2 λ 0 K A (λ) = A λe = = 2 0 λ Dernæst opstilles det karakteristiske polynomium, [ ] 2. (9-29) 2 [ 2 λ 2 λ K A (λ) = det(a λe) ([ ]) 2 λ = det = (2 λ)(2 λ) = λ 2 4λ λ ]. (9-30) (9-3) Karakterligningen, som er λ 2 4λ + 3 = 0, har løsningerne λ = og λ 2 = 3, der er samtlige reelle egenværdier til A. For at bestemme de til λ hørende egenvektorer indsættes λ i (A λe)v = 0, hvorefter vi løser dette lineære ligningssystem, som har totalmatricen [ ] 2 0 T = [A λ E 0 ] =. (9-32) 2 0 Ved GaussJordan-elimination fås trap(t) = [ ] 0. (9-33) Der er altså uendeligt mange løsninger v = (v, v 2 ), da der kun er én ikke-triviel ligning, v + v 2 = 0. v 2 svarer til en fri parameter og betegnes t, og vi opskriver samtlige reelle egenvektorer hørende til λ ved [ ] v = t, t R. (9-34) Vektoren v = (, ) er et eksempel på en egenvektor. Da t kan gennemløbe alle reelle tal, kan man blot vælge et vilkårligt t og deraf få en ny egenvektor. Der findes således uendeligt mange egenvektorer til egenværdien. Løsningen er et -dimensionalt underrum i R 2, og det er nemlig egenrummet, som hører til egenværdien, hvilket vi kan angive således: E = span{(, )}. (9-35) Egenvektorerne til den anden egenværdi λ 2 skal også findes. λ 2 indsættes i (A λe)v = 0, hvorefter vi løser det hertil svarende lineære ligningssystem, som har totalmatricen [ ] T = [A λ 2 E 0 ] =. (9-36) 2 3 0

24 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 24 Ved GaussJordan-elimination fås trap(t) = [ ] 0. (9-37) Heraf ses, at v 2 = (, ) er en egenvektor tilhørende egenværdien λ 2. Samtlige reelle egenvektorer hørende til λ 2 kan opskrives som [ ] v = t, t R. (9-38) Dette er et én-dimensionalt underrum i R 2, som vi også kan angive ved E 3 = span{(, )}. (9-39) Der vil nu blive ført kontrol: Når v = (, ) afbildes med A, vil billedvektoren da udelukkende være en skalering (længdeændring) af v? Av = [ 2 2 ][ ] = Det passer! Man kan oven i købet se, at egenværdien er. Nu kontrolleres v 2 : Av 2 = [ 2 2 ][ ] = v 2 er altså som forventet også en egenvektor, og egenværdien er 3. [ ] = v. (9-40) [ ] 3 = 3 v 2. (9-4) 3 Eksempel 9.35 Komplekse egenværdier og egenvektorer I eksempel 9.28 er der givet en matrix B med B = [ ], (9-42) som ingen reelle egenværdier har. Men vi fandt to komplekse egenværdier, λ = + 2i og λ 2 = 2i. Vi indsætter λ i (B λe)v = 0, hvorefter vi løser det hertil svarende lineære ligningssystem, som har totalmatricen [ ] ( + 2i) 4 0 T = [B λ E 0 ] =. (9-43) 2 3 ( + 2i) 0 Ved GaussJordan-elimination fås trap(t) = [ ] + i 0. (9-44) 0 0 0

25 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 25 Dette svarer til én ikke-triviel ligning v + ( + i)v 2 = 0. Sættes den frie parameter til v 2 = s, ser vi, at samtlige komplekse egenvektorer hørende til λ er givet ved [ ] i v = s, s C. (9-45) Dette er et -dimensionalt underrum i C 2, nemlig egenrummet hørende til egenværdien + 2i, som vi også kan angive ved E +2i = span{( i, )}. (9-46) Tilsvarende kan samtlige komplekse løsninger hørende til λ 2 findes til [ ] + i v = s, s C. (9-47) Dette er ligeledes et -dimensionalt underrum i C 2, som vi i samme stil kan angive ved E 2i = span{( + i, )}. (9-48) I det følgende eksempel finder vi egenværdier og tilhørende egenrum for en (3 3)- matrix. Det viser sig, at der i dette tilfælde hører et to-dimensionalt egenrum til en af egenværdierne. Eksempel 9.36 Egenværdi med multiplicitet 2 Givet matricen A, Bestem egenværdierne til A A = (9-49) 4 0 Vi bruger metode 9.33: det(k A (λ)) = det(a λe) = det 6 λ λ λ = λ 3 9λ = (λ 3)(λ + 6) 2 = 0 (9-50) Af den sidste faktorisering ses, at A har to forskellige egenværdier. Egenværdien λ = 6 er en dobbeltrod i karakterligningen, mens egenværdien λ 2 = 3 er en enkeltrod.

26 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 26 Nu bestemmes egenvektorrummet tilhørende λ = 6, se sætning 9.23: A λ E = 0 6 ( 6) ( 6) ( 6) (9-5) Her er kun én ikke-triviel ligning: 4x + x 2 + 4x 3 = 0. Sættes x og x 3 til de to frie parametre s og t, fås samtlige reelle egenvektorer til egenværdien 6 ved x x = x 2 = s 4 + t x 3 0 Dette er et 2-dimensionalt underrum i R 3, som vi også kan angive ved 0, s, t R. (9-52) 4 E 6 = span{(, 4, 0), (0, 4, )}. (9-53) Det er dermed muligt at finde to lineært uafhængige egenvektorer til λ fx de to, der her er opskrevet som udspændingen af egenrummet. Hvad med antallet af lineært uafhængige egenvektorer for λ 2 = 3? A λ 2 E = (9-54) Her er to ikke-trivielle ligninger, x + 3x 3 = 0 og x 2 + x 3 = 0. Sættes x 3 = s som den frie parameter, fås samtlige reelle egenvektorer til egenværdien 3 ved x 3 x = x 2 = s, s R. (9-55) x 3 Dette er et -dimensionalt underrum i R 3, som vi også kan angive ved E 3 = span{( 3,, )}. (9-56) Det er altså kun muligt at finde én lineært uafhængig egenvektor til λ 2.

27 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 27 Opgave 9.37 Givet den kvadratiske matrix A = 0 6. (9-57) 0 4. Bestem samtlige egenværdier til A. 2. Bestem for hver af egenværdierne det tilhørende egenrum. 3. Opskriv mindst 3 egenvektorer tilhørende hver egenværdi. De må gerne være lineært afhængige Algebraisk og geometrisk multiplicitet Som det fremgår af eksempel 9.36 er det både vigtigt at være opmærksom på, om en egenværdi er enkeltrod eller flerdobbeltrod i karakterligningen for en kvadratisk, reel matrix, og på dimensionen af det tilhørende egenrum. I dette delafsnit undersøges relationen mellem de to fænomener. Det giver anledning til de følgende definitioner. Definition 9.38 Algebraisk og geometrisk multiplicitet Lad A være en kvadratisk, reel matrix, og lad λ være en egenværdi for A.. λ siges at have den algebraiske multiplicitet n, når λ er en n-dobbeltrod i karakterligningen til den kvadratiske matrix A. Dette betegnes am(λ) = n. 2. λ siges at have den geometriske multiplicitet m, når dimensionen af det til λ hørende egenvektorrum er m. Dette betegnes gm(λ) = m. Der gælder med andre ord, at dim(e λ ) = gm(λ). Det er ikke altid, at am(λ) = gm(λ). Dette tages op i sætning Vi kan betragte den algebraiske multiplicitet som antallet af forekomster af egenværdien λ og den geometriske multiplicitet som antallet af lineært uafhængige egenvektorer til egenværdien λ. Den følgende sætning viser nogle vigtige egenskaber vedrørende algebraisk og geome-

28 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 28 trisk multiplicitet for egenværdier for kvadratiske matricer (sammenlign med sætning 9.). Sætning 9.39 Egenskaber for multipliciteter Givet en reel (n n)-matrix A.. A har højst n forskellige reelle egenværdier, og også summen af de reelle egenværdiers algebraiske multipliciteter er højst n. 2. A har højst n forskellige komplekse egenværdier, og summen af de komplekse egenværdiers algebraiske multipliciteter er lig med n. 3. Er λ en reel eller kompleks egenværdi for A, gælder der: gm(λ) am(λ) n (9-58) Det vil sige, at den geometriske multiplicitet af en egenværdi mindst vil være, at den vil være mindre end eller lig med den algebraiske multiplicitet af egenværdien, som igen vil være mindre eller lig antallet af søjler og rækker i A. Opgave 9.40 Kontroller, at alle tre punkter i sætning 9.39 er gældende for egenværdierne og egenvektorerne i eksempel Lad os knytte nogle kommentarer til sætning Punkt og 2 følger direkte af læren om polynomier. Det karakteristiske polynomium for en reel (n n)-matrix A er et n tegradspolynomium, og det har højst n forskellige reelle såvel som komplekse rødder. Endvidere er summen af de reelle rødders multiplicitet højst n, mens summen af de komplekse rødders multiplicitet er lig med n. Vi har tidligere vist, at der for enhver lineær afbildning af et n-dimensionalt vektorrum ind i sig selv gælder, at summen af de geometriske multipliciteter af egenværdierne højst kan være n, se sætning 9.. Bemærk at dette direkte kan udledes af udsagnene om mulipliciteter i sætning Som noget nyt og interessant påstås det i punkt 3, at den geometriske multiplicitet for en enkelt egenværdi kan være mindre end den algebraiske multiplicitet det kommer

29 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 29 der et eksempel på i det følgende opsamlende eksempel 9.4 og videre at den geometriske multiplicitet af en enkelt egenværdi ikke kan være større end den algebraiske. Beviset for punkt 3 i sætning 9.39 udelades. Eksempel 9.4 Geometrisk multiplicitet mindre end algebraisk Givet er matricen A = 3 5. (9-59) 4 6 Egenværdierne til A bestemmes ved karakterligningen det(k A (λ)) = 0: det(k A (λ)) = det(a λe) = det 9 λ λ λ = λ 3 2λ 2 + 7λ 4 = (λ + 4)(λ ) 2 = 0. (9-60) Af faktoriseringen før sidste lighedstegn fås, at A har to forskellige egenværdier, λ = 4 og λ 2 =. Desuden er am( 4) = og am() = 2, som det også fremgår af faktoriseringen. Egenvektorrummet til λ = 4 bestemmes ved at løse (A λ E)v = 0: 9 ( 4) ( 4) ( 4) (9-6) Der er to ikke-trivielle ligninger, v 0v 3 = 0 og v 2 5v 3 = 0. Sættes v 3 til den frie parameter, ses det, at samtlige til λ hørende reelle egenvektorer kan angives ved E 4 = { s (0, 5, ) s R } = span{(0, 5, )}. (9-62) Man har, at gm( 4) = dim(e 4 ) =, og at en egenvektor til λ er v = (0, 5, ). Det ses, at gm( 4) = am( 4) for denne egenværdi. Det tilsvarende udføres for λ 2 = : / / (9-63)

30 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 30 Her er der igen to ikke-trivielle ligninger, v v 2 = 0 og 3v 2 5v 3 = 0. Sættes v 3 = 3s, ses det, at samtlige til λ 2 hørende reelle egenvektorer kan angives ved E = { s (5, 5, 3) s R } = span{(5, 5, 3)}. (9-64) Det giver følgende resultater: gm() = dim(e ) =, og at en egenvektor til λ 2 er v 2 = (5, 5, 3). Desuden ses det, at gm() = < am() = 2. Bemærk, at den frie parameter i eksemplet herover ikke blot er navngivet s men derimod 3s. Derved undgås nemlig brøker i elementerne. Ender man nogensinde med brøker eller andre grimme tal som elementer i de udspændende vektorer, kan man ofte blot forlænge vektoren men en vilkårlig passende faktor. Det gør ingen forskel, da den frie parameter i forvejen gennemløber alle tal Mere om den komplekse problemstilling Vi vil bruge matricen B = [ ] (9-65) fra eksempel 9.35 til at præcisere nogle særlige fænomener for kvadratiske, reelle matricer, når deres egenværdiproblem studeres i kompleks ramme. Vi fandt, at B har egenværdierne λ = + 2i og λ 2 = 2i. Der gælder således, at egenværdierne er hinandens konjugerede. En anden bemærkelsesværdig ting i eksempel 9.35 er, at når [ ] i v = er en egenvektor for λ = + 2i, så er den konjugerede vektor [ ] + i v = en egenvektor for λ 2 = 2i. Begge dele er eksempler på generelle regler.

31 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 3 Sætning 9.42 Konjugerede egenværdier og egenvektorer For en kvadratisk, reel matrix A gælder:. Hvis λ er en kompleks egenværdi for A med rektangulær form λ = a + ib, så er også λ = a ib en egenværdi for A. 2. Hvis v er en egenvektor for A hørende til den komplekse egenværdi λ, så er den konjugerede vektor v en egenvektor for A hørende til den konjugerede egenværdi λ. Bevis Første del af sætning 9.42 følger af læren om polynomier. Det karakteristiske polynomium for en kvadratisk, reel matrix er et polynomium med reelle koefficienter. Derom vides, at rødderne for polynomiet altid optræder i konjugerede par. Anden del af beviset foretages således: Av = λv Av = λv A v = λ v Av = λ v. Hvis v er en egenvektor til egenværdien λ, så er v altså samtidig en egenvektor til egenværdien λ. Hermed er sætningen vist. Ved sporet for en kvadratisk matrix forstås summen af diagonalelementerne. Sporet af B er dermed + 3 = 2. Læg nu mærke til, at summen af egenværdierne for B er ( i) + ( + i) = 2, altså det samme som sporet af B. Også dette er et generelt fænomen, som her anføres uden bevis. Sætning 9.43 Sporet For en kvadratisk, reel matrix A gælder, at sporet af A, det vil sige summen af diagonalelementerne i A, er lig med summen af alle (reelle som komplekse) egenværdier for A, idet hver egenværdi indgår i summen det antal gange, som svarer til egenværdiens algebraiske multiplicitet.

32 enote EGENVÆRDIPROBLEMET FOR KVADRATISKE MATRICER 32 Opgave 9.44 I eksempel 9.36 fandt vi, at det karakteristiske polynomium for matricen A = har dobbeltroden 6 og enkeltroden 3. Eftervis, at sætning 9.43 gælder i dette tilfælde.

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer 1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 6 1 enote 6 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar) 1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Førsteordens lineære differentialligninger

Førsteordens lineære differentialligninger enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3 Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.

Læs mere

Mat 1. 2-timersprøve den 5. december 2016.

Mat 1. 2-timersprøve den 5. december 2016. Mat. -timersprøve den 5. december 6. JE 4..6 Opgave > restart;with(linearalgebra): Et inhomogent lineært ligningssystem bestående at tre ligninger med fire ubekendte, x og x 4 har totalmatricen T = [A

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

DesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I

DesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor

Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor enote 10 1 enote 10 Geometriske vektorer Formålet med denne note er at give en introduktion til geometriske vektorer i planen og rummet, som sigter mod at introducere en række af de metoder, der gør sig

Læs mere

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort

Læs mere

Eksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger

Eksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z

Læs mere

Reeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet

Reeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

Underrum - generaliserede linjer og planer

Underrum - generaliserede linjer og planer 1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

Eksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger

Eksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Marts 4 Opgave Vi skal løse ligningen () z (8 + i) e i 6 = Løsningen ønskes angivet på rektangulær form, dvs. på formen x + iy, hvor x; y R. Vi nder umiddelbart

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer

Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1

Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1 Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Reeksamen i Lineær Algebra

Reeksamen i Lineær Algebra Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER

Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER UDKAST 7122009 Noter til An0 Inst f Matematiske Fag Gerd Grubb December 2009 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 1 Generelle resultater 11 Introduktion I tidligere kurser er der gennemgået

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere