Lineære Normale Modeller

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lineære Normale Modeller"

Transkript

1 Note tl Leære Normale Modeller Bo Rosbjerg. marts 009 Tegger udført af Herk Ve Chrstese

2

3 Idhold E smpel leær ormal model 5. Modelbestemmelse Mdste kvadraters estmat Resdualer Resdualkvadratsumme Sammefatg Maksmum lkelhood estmato Sucet redukto Modelkotrol Kodestervaller Hypotesetest Sgkastest Fejlslutger ved hypotesetest χ -fordelger t-fordelger F-fordelger Opgaver Smpel leær regresso 8. Modelbestemmelse Mdste kvadraters estmater Resdualer og resdualkvadratsum Determatoskoecete r Maksmum lkelhood estmater Sucet redukto Modelkotrol Kodestervaller Test modelle Opgaver

4 3 De erdmesoale ormalfordelg 7 3. Stokastske vektorer De erdmesoale ormalfordelg Egeskaber ved ormalfordelte stokastske vektorer E betget fordelg Opgaver E geerel leær ormal model Modelbestemmelse Mdste kvadraters estmater Resdualer og resdualkvadratsum Determatoskoecete R Gauss-Markov Maksmum lkelhood estmater Sucet redukto Modelkotrol Kodesellpsoder og kodestervaller Kvotettest Ae hypoteser Opgaver

5 E smpel leær ormal model. Modelbestemmelse Lad y,..., y være observatoer e ormalfordelt populato med mddelværd µ og varas σ. Observatoere er realsatoer af stokastske varable Y Nµ, σ ), =,...,, uafhægge. V ka samle observatoere e -dmesoal vektor y = y,..., y ) R. Tlsvarede for mddelværdere, dvs. µ = µ,..., ) = µ. Det ses, at µ L = sp {}, og at L er et uderrum af R. Modelle kaldes leær, det et vektorrum også beteges som et leært rum. I almdelghed gælder, at < µ <, dvs. at parameterrummet er R R + Modelle har to parametre, µ og σ, som skal estmeres.. Mdste kvadraters estmat Lad ˆµ betege de ortogoale projekto af y på L, dvs. ˆµ = P y = y = ȳ, hvor P er projektosmatrx for ortogoalprojektoe på L. Ortogoalprojektoe på et uderrum er e leær trasformato og ka derfor repræseteres ved e matrx P. Her blver P =, jf. opgave. Fgur : Ortogoalprojekto på et uderrum. Ved mdste kvadraters estmat forstås det valg af de/de ukedte parameter/-tre, som mmerer kvadratsumme af afstadee mellem de observerede værder og de tlsvarede estmerede. Her er det altså størrelse, y µ som skal mmeres. De ovefor dførte vektor ˆµ ses let at være MK-estmatet for µ, det der gælder y µ y ˆµ for alle µ L, 5

6 og y µ = y ˆµ µ = ˆµ, jf. opgave. ȳ er altså MK-estmat for µ. V skrver ˆµ = ȳ. Bemærk, at Ȳ Nµ, σ )..3 Resdualer Forskelle mellem e observeret værd og de tlsvarede estmerede værd kaldes resdualet: r = y ŷ = y ˆµ = y ȳ, =,...,. Bemærk, at både ȳ og y ȳ er learkombatoer af y 'ere. Med resultater fra afst 3.3 gælder derfor, at de stokastske varable Ȳ og Y Ȳ begge er ormalfordelte, og edvdere at de er uafhægge, det Cov Ȳ, Y Ȳ ) ) = Cov Y j, Y Cov Ȳ, Ȳ ) j = Cov Y j, Y ) Var Ȳ ) Bestemmelse af Var R ) = Var Y Ȳ ) : j = Var Y ) + )0) σ = σ σ = 0. Y = Y Ȳ ) + Ȳ Var Y ) = Var Y Ȳ ) + Var Ȳ ) σ = Var Y Ȳ ) + σ Var Y Ȳ ) = σ ). For resdualet som stokastsk varabel gælder åbebart, det bestemmelse af E [R ] er trvel, at R N 0, σ )), =,...,. Bemærk, at de ekelte resdualer kke er uafhægge; der gælder, at jf. opgave 3. Cov R, R j ) = σ, j, 6

7 .4 Resdualkvadratsumme For resdualkvadratsumme gælder, at r = y ȳ) = y µ) ȳ µ) = jf. opgave 4. y ȳ, Betragter v de tlsvarede stokastske varable, ser v, at [ E Y Ȳ ) ] = E [Y µ] E [ Ȳ µ ] = σ σ, jf. detoe af varas = ) σ. Der gælder åbebart, at størrelse y ȳ) er et cetralt estmat for σ. Størrelse beteges ormalt s. Som stokastsk varabel er S uafhægg af Ȳ. Dette resultat vses sdst afst 3.3. Med heblk på at bestemme fordelge af S betragter v ge Y Ȳ ) = Y µ) Ȳ µ) ) ) Y µ = Ȳ µ Y σ σ Ȳ ) + σ. De to led på højresde er uafhægge, da Ȳ og S er uafhægge. Edvdere har v, at ) ) Y µ Ȳ µ χ ) og χ ), σ jf. deto af χ -fordelge, se afst.3. σ For de mometfrembrgede fuktoer gælder derfor, at M Y µ σ ) t) = M σ Y Ȳ )t)m Ȳ µ σ t) = M σ Y Ȳ )t) t) M σ Y Ȳ )t) = t) σ Y Ȳ ) χ ). ) t) De mometfrembrgede fukto for e stokastsk varabel Y deeres som M Y t) = E e ty, hvor t er e reel varabel. Bemærk, at E [ Y j] = M j) Y 0). For uafhægge stokastske varable X og Y ses, at M X+Y t) = M X t)m Y t). Vedrørede etydghed: Når to stokastske varabler har samme mometfrembrgede fukto, har de også samme sadsylghedsfordelg. 7

8 Bemærk, at σ Y Ȳ ) = )S, hvorefter v har, at σ S.5 Sammefatg σ χ ), σ E [ S ] = ) = σ regekotrol), Var S ) ) σ = ) = σ4. ) ˆµ = ȳ, Ȳ N µ, σ, r = y ȳ, =,...,, R N s = 0, σ Cov R, R j ) = σ, j, y ȳ), S σ χ ), Ȳ og S uafhægge..6 Maksmum lkelhood estmato Lkelhoodfuktoe for µ, σ ) er deeret ved Lµ, σ ; y,..., y ) = f Y y,..., y ; µ, σ ), )), =,...,, hvor f Y er de smultae tæthedsfukto for Y,..., Y, dvs. Lµ, σ ) = e y µ) σ πσ og dermed loglkelhoodfuktoe = πσ ) e σ y µ) = πσ ) e σ y µ, lµ, σ ) = lπσ ) y µ σ De værd parameterrummet, som gver de største værd af lkelhoodfuktoe, opfattes som de, der bedst uderstøttes af de forelggede observatoer. 8

9 Bemærk, at L og l har supremum for samme værd af µ, σ ), det l er er e mooto fukto. Det ses umddelbart, at hvor ˆµ = ȳ, jf. afst.. σ > 0 : sup lµ, σ ) = lˆµ, σ ), µ R Fuktoe ľσ ) = lˆµ, σ ) kaldes prolloglkelhoodfuktoe for σ. Udtrykket for ľ blver ľσ ) = l π l σ σ y ȳ. Ved deretato fås hvoraf ľ σ ) = σ + σ ) y ȳ, ľ σ ) = 0 for ˆσ = y ȳ. At det er et maksmumspukt, v har bestemt, ses af ľ σ ) = σ = σ ˆ σ ) σ ) y σ 3 ȳ = = σ ˆ De maksmale værd af lkelhoodfuktoe blver Lˆµ, ˆσ ) = π ˆσ ) e σ ˆ σ ˆ = πe ˆσ ). ˆσ ) ˆσ ˆσ ) 3 = ˆσ ) < 0. Det ses, at MK- og ML-estmatere for µ er sammefaldede. Som estmat for σ beytter v ormalt kke ˆσ, me det s v bestemte forbdelse med MKestmato, bl.a. for at opå et cetralt estmat. For sammehæge mellem ˆσ og s gælder, at s = ˆσ..7 Sucet redukto Idet f Y y,..., y ; µ, σ ) = πσ ) e σ y µ) = πσ ) e σ y µȳ+µ ) 9

10 ses ved beyttelse af Neymas krterum, at ȳ, y ) er e sucet redukto for µ, σ ), subsdært ka beyttes y, y ) eller ȳ, y ȳ) ) eller adre varater..8 Modelkotrol At observatoere stammer fra e ormalfordelt populato, ka eftervses grask ved et såkaldt ormalfraktldagram. Lad y ),..., y ) betege observatoere ordet efter størrelse. De kumulerede relatve frekves svarede tl de 'te observato efter størrelse er f =, =,...,. Lad F y) betege de emprske fordelgsfukto, dvs. F y) = I y ) y), hvor I er dkatorvarabel for hædelse y ) y. For ethvert fastholdt y må der gælde, at F y) b, p), hvor p = P Y y) = F y); F er fordelgsfukto for observatoere. De store tals lov vser, at F y) F y) for. For at få e hurtgere koverges modceres f ofte ved beyttelse af e kostat a tl f = a + a, 0 a, =,...,, hvor de mest almdelge valg af a er 3, år 0, eller, år > 0. 8 Når observatoere er ormalfordelte, må der gælde, at ) y) µ f Φ, =,...,, σ som er ækvvalet med Φ f ) y ) µ σ, =,...,. Sætter v Φ f ) = u, =,...,, skal puktere y ), u ), =,...,, tlærmelsesvs lgge på e ret le med hældgskoecet. Le afskærer stykket µ på u- σ σ akse. Betragt e model med parameter θ θ ka være erdmesoal). Neymas krterum sger, at stkprøvefuktoe ty,..., y ) er sucet for θ, år og ku år de smultae tæthedsfukto for Y,..., Y ka faktorseres som fy,..., y ; θ) = hy,..., y )gty,..., y ); θ). Bemærk, at h kke afhæger af θ, og at g ku afhæger af θ geem ty,..., y ). 0

11 På det såkaldte sadsylghedspapr svarer ddelge på de ee akse tl trasformatoe Φ, således at f 'ere ka afsættes drekte. Normalfraktldagrammet ka beyttes tl grask estmato af µ svarede tl u = 0, og σ fx som halvdele af afstade mellem y svarede tl u = og det estmerede µ..9 Kodestervaller I tlkytg tl et parameterestmat er det ofte øskelgt, at kue agve et skø over, hvor præcst det pågældede estmat er, eller sagt på e ade måde, hvor stor tltro v tør have tl de beregede værd. Her kommer de såkaldte kodestervaller d blledet. Lad os gå drekte gag med at kostruere et kodesterval for parametere µ vores model. Som v har beyttet ere gage det foregåede, gælder der, at χ ), Ȳ og S uafhægge, og dermed at )S σ Ȳ Nµ, σ ) og Ȳ µ S = Ȳ µ σ )S σ t ), jf. deto af t-fordelge, se afst.4. Følgede sadsylghedsudsag om de t-fordelte varabel må være sadt: ) Ȳ µ P t α ) t α ) = α, S hvor t α ) beteger α )-fraktle3 t-fordelge med frhedsgrader. Sadsylghedsudsaget ka omformes tl P Ȳ t α ) S µ Ȳ + t α ) S ) = α. Erstatter v de stokastske varable Ȳ og S med deres realserede værder ȳ og s, får v et udsag, som er sadt eller falsk: s ȳ t α ) µ ȳ + t α ) s. 3 Ved p-fraktle e fordelg med fordelgsfukto F x) forstås F p), 0 < p <. p- fraktle skrves ofte x p, altså x p = F p).

12 V er ude af stad tl at afgøre sadhedsværde af udsaget, me v ka vælge at have e grad af tltro tl udsaget svarede tl sadsylghede det bagved lggede sadsylghedsudsag. V sger, at v har kostrueret et kodesterval for parametere µ med kodesgrad α. Kodestervallet for µ skrves ofte på e ldt upræcs, me praktsk form: s µ = ȳ ± t α ). Betragter v ge de stokastske varabel )S σ et kodesterval for σ, det P χ α ) χ ), ka v også kostruere ) )S χ σ α ) = α, som omformes tl ) )S P χ α ) )S σ χ = α. α ) Kodestervallet for parametere σ med kodesgrad α blver da.0 Hypotesetest )s χ α ) )s σ χ α ). Et almdelgt udgagspukt for at kostruere et test er at beytte de såkaldte kvotetteststørrelse, som har lkelhoodfuktoes maksmale størrelse ævere og lkelhoodfuktoes maksmale størrelse uder ulhypotese tællere. Store værder af kvotetteststørrelse uderstøtter derfor ulhypotese, mes små værder er krtske for dee. Her vl v ved avedelse af prcppere for kvotettest udvkle det såkaldte t- test for hypotese H 0 : µ = µ 0. Som alteratv hypotese er der tre forskellge mulgheder H : µ < µ 0, H : µ µ 0 eller H : µ > µ 0. Testet med det første eller det sdste alteratv kaldes esdet, heholdsvs edad eller opad, mes det mdterste alteratv svarer tl et tosdet test. For at kue udlede kvotettestet for H 0 : µ = µ 0 må v først estmere de modcerede model. Det er ku parametere σ, der skal estmeres. Maksmum lkelhood estmato fører umddelbart tl resultatet ˆσ = y µ 0 ) og lkelhoodfuktoes maksmale værd blver L ˆσ ) = πe ˆσ ), jf. opgave 8.

13 Kvotetteststørrelse opstlles: qy,..., y ) = L ˆσ ) Lˆµ, ˆσ ) = πe ˆσ ) πe ˆσ ) = = ˆσ ˆσ y ) ȳ) y ȳ) + ȳ µ 0 ) ) = = y ȳ) y µ 0 ) + ȳ µ 0) y ȳ) ). Størrelse ) ȳ µ 0) y ȳ) er e aftagede trasformato af q, så store værder af dee størrelse er krtske for H 0. Bemærk, at ) ȳ µ 0) µ 0) y = )ȳ ȳ) )s = ȳ µ 0 σ )s σ ) = t obs ), hvor t obs er realseret værd af e t-fordelt varabel med frhedsgrader. Bemærk edvdere, at t obs ) = f obs, hvor f obs er e realseret værd af e F-fordelt varabel med tællerfrhedsgrad og æverfrhedsgrader, jf. deto af F- fordelge, se afst.5. V ka altså vælge mellem at udføre et t-test eller et F-test. V vælger ormalt t-testet af hesy tl smplere beregger af testsadsylghede ved esdet test. Testsadsylghede svarede tl de tre forskellge alteratver sættes tl P T t obs ) P T t obs ) P T t obs ) edad esdet test, tosdet test, opad esdet test, hvor T t ) uder H 0. Det er også mulgt, at kostruere et test for hypotese H 0 : σ = σ0. Her er der ge tre mulgheder for alteratv hypotese H. I de modcerede model uder H 0 er det ku µ, der skal estmeres. ML-estmatet blver ˆµ = y ȳ) og ˆ σ σ Lˆµ) = πe 0 σ0), jf. opgave. For kvotetteststørrelse får v qy,..., y ) = Lˆµ) σ ˆ Lˆµ, ˆσ ) = πe σ 0 σ0) πe ˆσ ) = ˆσ σ 0 e σ ˆ σ 0 ). 3

14 Det ses, at σ ˆ σ0 er e aftagede trasformato af q for ˆ σ σ 0 >, voksede for ˆ σ σ 0 <. Bemærk σ ˆ = )s = χ σ0 σ obs, hvor χ 0 obs er e realseret værd af e χ -fordelt varabel med frhedsgrader. Testsadsylghede sættes tl P X < χ obs) edad esdet, m { P X < χ obs), P X > χ obs) } tosdet, P X > χ obs) opad esdet, hvor X χ ) uder H 0.. Sgkastest Ofte vælger ma på forhåd at bestemme et krtsk område forkastelsesområde) og dermed også et acceptområde for værde af de betragtede teststørrelse. Der fastsættes et såkaldt sgkasveau α, og ud fra dette bestemmes de/de krtske værder) som passede fraktler teststørrelses fordelg uder H 0. For fx et t-test blver det krtske område bestemt som < t < t α edad esdet test, < t < t α og t α < t < tosdet test, t α < t < opad esdet test. Kommer t obs tl at lgge det krtske område, må v forkaste H 0, og v sger, at der er sgkas på veau α. Mere udførlgt opfatter v de fremkome værd af t obs som sgkat afvgede forhold tl det, v med det gve sgkasveau måtte forvete uder H 0. Krtske områder for χ -testet: 0 < χ < χ α edad esdet, 0 < χ < χ α og χ α χ α < χ < < χ < tosdet, opad esdet.. Fejlslutger ved hypotesetest Bemærk, at der er mulghed for to forskellge typer fejlslutg ved test af hypotese H 0 : θ = θ 0, se skema: 4

15 H 0 accepteres H 0 forkastes H 0 sad Korrekt Fejl af type I H 0 falsk Fejl af type II Korrekt Ved et sgkastest er sadsylghede for at begå e fejl af type I lg med det valgte sgkasveau. Testets eve tl at forkaste e falsk hypotese vl ormalt være e fukto af de parameter, testet hadler om. Dee fukto beteges testets styrkefukto. Hvs βθ) beteger sadsylghede for at begå e fejl af type II, ka styrkefuktoe udtrykkes som γθ) = βθ). E styrkefukto vl altd gå geem puktet θ 0, α), hvor α er sgkasveauet. Fgur : Illustrato af styrkefuktoe for testet H 0 : θ = θ 0, H : θ θ 0 Hvs v stller krav om, at testets styrke mdst skal være på værde γ svarede tl at gvet θ, altså γθ) γ, ka dette ormalt opfyldes ved e passede forøgelse af atallet af observatoer..3 χ -fordelger Med U N0, ), =,..., k og U,..., U k uafhægge, sger v, at V = U U k er χ -fordelt med k frhedsgrader, og v skrver V χ k). V atager ku postve værder. De almdelgt beyttede fraktlværder er tabellagte, se fx Erlag S, der agver 6 fraktlværder for alle χ -fordelger med frhedsgrader fra tl 00. Fraktlværder ka også bestemmes R eller adre statstkpakker. 5

16 For V χ k) gælder E [V ] = k, Var V ) = k, M V t) = t) k, t <..4 t-fordelger Med U N0, ) og V χ k), U og V uafhægge, sger v, at T = U V k er t-fordelt med k frhedsgrader, og v skrver T tk). t-fordelges tæthedsfukto er symmetrsk om t = 0. For k kovergerer T fordelg mod U N0, ). t) er detsk med Cauchy-fordelge med θ = 0. Udvalgte fraktler de almdelgt beyttede t-fordelger er tabellagte..5 F-fordelger Med V χ k) og W χ m), V og W uafhægge, sger v, at F = V k W m = mv kw er F-fordelt med k tællerfrhedsgrader og m æverfrhedsgrader, og v skrver F F k, m). F-fordelte varable atager ku postve værder. For m kovergerer F fordelg mod k V. Med T tk) gælder, at T F, k). Også for de almdelgt beyttede F -fordelger er udvalgte fraktler tabellagte, dog ku for p >. Fraktlværder for p < ka, som det vses edefor, fås af f p k, m) = f p m, k). I hehold tl detoe på F-fordelg har v umddelbart, at F m, k), hvlket F udyttes følgede regger, hvor F beyttes som betegelse for både fordelgs- 6

17 fukto og for de omhadlede stokastske varabel: ) p = F F f p k, m)) = P F f p k, m)) = P F f p k, m) ) ) p = P F < = F f p k, m) F f p k, m) f p m, k) = f p k, m)..6 Opgaver. Udled, at P =. Vk: Omskrv udtrykket ȳ tl P y.. Eftervs, at y µ y ˆµ med lghedsteg, år og ku år µ = ˆµ. Vk: y µ = y ˆµ + ˆµ µ = Eftervs, at Cov R, R j ) = σ, j. Vk: Udyt, at kovarasoperatore er bleær. 4. Eftervs, at y ȳ) = y µ) ȳ µ) = y ȳ. 5. Vs, at r = y I P )y, hvor P =. Sæt deræst u = y µ, og vs, at der også gælder, at r = u I P )u. 6. Geerer ogle forskellge ormalfordelte datasæt, og opteg hvert tlfælde et ormalfraktldagram. 7. Hvor stor er chace procet for, at et gvet kodesterval omslutter de sade parameterværd? 8. Bestem ML-estmatet for σ modelle Y Nµ, σ ), =,...,, hvor µ er kedt. Agv edvdere lkelhoodfuktoes maksmale værd. 9. Vs, at T tm) T F, m). 0. Vs, at {µ 0 H 0 : µ = µ 0 accepteres} ved tosdet sgkastest på veau α etop udgøres af kodestervallet for µ med kodesgrad α.. Bestem ML-estmatet for µ modelle Y Nµ, σ ), =,...,, hvor σ er kedt. Agv edvdere lkelhoodfuktoes maksmale værd.. Kostruer et kodesterval for parametere µ modelle opgave. Vk: Ȳ µ σ N0, ). 7

18 3. Ved test af H 0 : µ = µ 0 modelle opgave beyttes testvarable Ȳ µ σ N0, ) uder H 0. Opstl for alteratvet H : µ > µ 0 et udtryk for styrkefuktoe γµ). µ µ Fact: γµ) = Φ 0 σ u α ), hvor u α er α)-fraktle de stadardserede ormalfordelg. Vs, at et krav om at γµ) γ, hvor γ er e gve værd, fører tl følgede betgelse om atallet af observatoer: ) u α u γ )σ. µ µ 0 4. Bestem mddelværd og varas af V χ k). Bestem edvdere V 's mometfrembrgede fukto. Smpel leær regresso. Modelbestemmelse Lad x, y ),..., x, y ) være sæt af observatoer, dog således at x 'ere er gve valgte) kostater, hvormod y 'ere er realserede værder af ormalfordelte stokastske varable med e mddelværd, der afhæger leært af x, og med es varas, dvs. Y Nα + βx, σ ), =,..., uafhægge. Med µ = µ,..., µ ), hvor µ = α + βx, med =,..., ) og med x = x,..., x ) ser v, at µ L R, hvor L = sp {, x}. L er altså et todmesoalt uderrum af R. Modelle har tre parametre, α, β og σ, som skal estmeres. E reparametrserg af modelle fås ved at sætte α + βx = α + β x + βx x) = α 0 + βt. Her er det α 0, β og σ, der skal estmeres.. Mdste kvadraters estmater Størrelse, som skal mmeres, får her følgede udseede: y µ = y α + βx ) ) = y α βx ) 8

19 Forme er altså e fukto af de to reelle varable, α og β. Med beyttelse af de sædvalge metode fra calculus tl bestemmelse af lokale ekstrema får v mmum for ˆα = ȳ ˆβ x og ˆβ = x y ȳ) x x x), eller de omformede model ˆα 0 = ȳ og ˆβ = t y Det er almdelgt at dføre forkortede betegelser for bl.a. tæller og æver ˆβ, me der er lagt fra eghed om hvlke. For ævere beyttes fx, SS x, SSD x, ssd x, SAK x m.. Her vl der blve beyttet følgede betegelser: = x x) = ) t, t. S xy = S yy = x x)y ȳ), y ȳ). Bemærk, at x y ȳ) = x x)y = x x)y ȳ). Dee og tlsvarede detteter eftervses opgave. Med de forkortede betegelser har v subsdært ˆα = ȳ ˆβ x og ˆβ = S xy, ˆα 0 = ȳ og ˆβ = S xy. Både ˆα og ˆβ ses at være learkombatoer af y 'ere og er derfor som stokastske varable ormalfordelte, jf. afst 3.3. For mddelværdere får v: E [ ˆβ] = E [S xy ] = x x)e [Y ] = x x)α + βx ) = α x x) + β x x)x = 0 + β = β, E [ˆα] = E [ Ȳ ] E [ ˆβ] ) x = E [Y ] β x = α + βx ) β x = α + β x β x = α. 9

20 ˆα og ˆβ er altså cetrale estmater for hhv. α og β. Før v bestemmer varasere, vl v vse, at Ȳ og ˆβ er ukorrelerede og dermed uafhægge, da de begge er ormalfordelte jf. afst 3.3): ) ) Cov Ȳ, ˆβ = Cov Y, x j x)y j S xx j = x j x) Cov Y, Y j ) = σ Varasere blver ) Var ˆβ = Var S xy ) = j x x) = 0. x x) Var Y ) Var ˆα) = Var Ȳ ) + Var ˆβ )) x = σ V ka u sammefatte + σ x = σ = σ + x ) = σ x x + x ) ˆα N Cov ˆα, ˆβ ) I de omformede model får v ) ˆα 0 N α 0, σ ) α, σ x ), ˆβ N β, σ = σ, = σ x. ) ) = Cov Ȳ ˆβ x, ˆβ = 0 xvar ˆβ = σ x. ) og ˆβ N β, σ.3 Resdualer og resdualkvadratsum Modelles resdualer er, uafhægge. r = y ŷ = y ˆα + ˆβx ) = y ȳ ˆβ x + ˆβx ) = y ȳ ˆβx x), =,...,, dvs. learkombatoer af y 'ere og dermed som stokastske varable ormalfordelte. Der gælder, at E [R ] = E [Y ] E [ Ȳ ] E [ ˆβ] x x) = α + βx α + β x) βx x) = 0. 0

21 Edvdere, at jf. opgave 5. Cov Y Ȳ, ˆβx ) x) = σ x x), Var R ) = Var Y Ȳ ) Cov Y Ȳ, ˆβx ) ) x) + Var ˆβx x) = σ ) σ x x) + σ x x) = σ x ) x). De ekelte resdualer er korrelerede, der gælder, at Cov R, R j ) = σ + x x)x j x) ), j, jf. opgave 6. Resdualkvadratsumme ka udtrykkes som r = y ŷ ) = y ˆα ˆβx ) = y ȳ ˆβx x)) = y ȳ) ˆβ x x)y ȳ) + ˆβ x x) Ved beyttelse af ˆβ = S xy = S yy ˆβS xy + ˆβ. ka v opå tre varater af resdualkvadratsumme: r = S yy ˆβ = S yy ˆβS xy = S yy S xy. Med resdualkvadratsumme som stokastsk varabel får v [ ] E = E [S Y Y ] E [ ] ˆβ. Efter e hel del regger fremkommer [ ] E = )σ, jf. opgave 7. R R

22 V har altså, at r ormalt s. Det ka vses 4, at er et cetralt estmat for σ. Dee størrelse beteges S σ χ ) uafhægg af ˆα, ˆβ). S er også uafhægg af ˆα 0, ˆβ), og da ˆα 0 og ˆβ er uafhægge, gælder følgelg at ˆα 0, ˆβ og S er uafhægge. Heraf edvdere, at ˆα og S er uafhægge. Mddelværd og varas af S : E [ S ] = Var S ) = σ ) = σ regekotrol), σ 4 σ4 ) = )..4 Determatoskoecete r Bemærk, at ŷ ȳ) = = ˆα + ˆβx ȳ) = ȳ ˆβ x + ˆβx ȳ) ˆβx x)) = ˆβ = ˆβS xy = S xy, og betragt r = ŷ ȳ) = S xy. S yy S yy V ka tolke r som de brøkdel af varatoe y-værdere, som regressosmodelle ka forklare. Betegelse r er valgt, så r svarer tl de emprske korrelatoskoecet for x- og y-værdere, det der åbebart gælder, at r = S xy Sxx Syy = )s xy )sx )s y = s xy s x s y, hvor s x = x x), s y = y ȳ) og s xy = x x)y ȳ) overestemmelse med sædvalg otato. Bemærk, at r = ˆβ s x sy, jf. opgave 8. 4 V veder tlbage tl spørgsmålet opgave afst 4..

23 .5 Maksmum lkelhood estmater Lkelhoodfuktoe blver Lα, β, σ ) = e y α βx ) σ π σ = πσ ) e σ y α βx ), og dermed lα, β, σ ) = lπσ ) y σ α βx ). For vlkårlgt σ > 0 atages de maksmale værd af l, år y α βx ) er mdst. V skal altså foretage præcs det samme valg af α og β, som MK-metode avste. Edvdere ser v, at prolloglkelhoode for σ, ľσ ) = lπσ ) y σ ˆα ˆβx ), har samme form som de tlsvarede fukto de smple leære model, dvs. ML-estmatet blver ˆσ = y ˆα ˆβx ) og Lˆα, ˆβ, ˆσ ) = πe ˆσ ). V beytter ormalt kke ˆσ me stedet s som deeret forbdelse med MKestmater. Sammehæge mellem s og ˆσ er s = ˆσ..6 Sucet redukto Idet y α βx ) = y ȳ) + ȳ α + βx )) = S yy + ȳ + α + β x βs xy αȳ β xȳ + αβ x ses, at fx ȳ, S yy, S xy ) er sucet for α, β, σ ). 3

24 .7 Modelkotrol For at opå, at alle resdualere får samme varas, deerer v de såkaldte stadardserede resdualer hvorefter s = r x x), =,...,, S N0, σ ), =,...,. Der ses ofte bort fra afhægghede mellem de ekelte S 'er. Kotrol for ormaltet ka da udføres ved at optege et ormalfraktldagram..8 Kodestervaller Ved at udytte kedskabet tl fordelgere af ˆα, ˆβ og S ka v umddelbart opstlle kodestervaller for parametree α, β og σ : α = ˆα ± t α ) s x, β = ˆβ ± t α ) s Sxx, )s χ α ) σ )s ), hvor der tl alle tre tervaller er beyttet kodesgrade α. Bemærk, at symbolet α tradtoelt beyttes både som betegelse for e parameter og forbdelse med agvelse af kodesgrad. Det burde kke gve aledg tl msforståelser. Betragter v µ = α + βx, hvor x kke ødvedgvs falder e af x -værdere, ka v umddelbart dae estmatet ˆµ = ˆα + ˆβx. ˆµ beæves også ŷ. ˆµ er et cetralt estmat for µ, det E [ˆµ] = E [ˆα] + E [ ˆβ] x = α + βx = µ. Bemærk, at ˆµ = ȳ ˆβ x+ ˆβx = ȳ+ ˆβx x) og dermed, at Var ˆµ) = σ + σ x x), det Ȳ og ˆβ er uafhægge. Da ˆµ som learkombato af ormalfordelte varable selv er ormalfordelt, har v )) ˆµ N α + βx, σ x x) +. Kodestervallet for µ med kodesgrad α blver derfor x x) µ = ŷ ± t α ) s +. 4 χ α

25 V ka opfatte kodesgræsere for µ som fuktoer af x. Grafere kaldes for kodesbådet. V vl også bestemme de såkaldte prædktosgræser for e tækt fremtdg observato y svarede tl værde x af de forklarede varabel. Idet Y Nα + βx, σ ) er uafhægg af tdlgere observatoer, må der gælde Y ˆµ N 0, σ + + x x) Beytter v samme tekk som ved kostrukto af kodestervaller, får v, at P t α ) Y ˆµ t α ) = α, S + + x x) )). som omformes tl P ˆµ t α ) S + x x) + Y ˆµ + t α ) S + + x x) ) = α. Heraf følger prædktostervallet for y med kodesgrad α : y = ŷ ± t α ) s + + x x). Også her ka v bestemme et båd ved at lade x varere. Bemærk, at med samme kodesgrad er bredde her altd større ed ved kodestervallet for µ..9 Test modelle Kedskabet tl parameterestmateres fordelger gør det mulgt umddelbart at opstlle hypotesetest om parametree. Øsker v fx at teste H 0 : β = β 0, H : β β 0, ka v beytte testvarable T = ˆβ β 0 S Sxx t ) uder H 0, og dermed udføre et smpelt t-test. Bemærk, at s = r = S yy S xy. Sxx 5

26 Ofte testes H 0 : β = 0 for at afklare om regressosmodelle er relevat. I dette test ka de observerede værd af testvarable T udtrykkes alee ved determatoskoecete r : t obs = ˆβ s Sxx = S xy S yy S xy = S xy Sxx S yy = S yy S xy S yy r r. Hypoteser om σ testes ved χ -test, jf. opgave..0 Opgaver. Geemfør udreggere tl bestemmelse af ˆα og ˆβ.. Eftervs følgede detteter: x x) = x x)x = x x = x x)y ȳ) = x x)y = x y ȳ) = = x x ), x y x y xȳ x 3. Eftervs, at ˆβ bestemt de sædvalge model og ˆβ bestemt de reparametrserede model er detske. 4. Vs, at, t), hvor t = x x, er e ortogoal bass for for L. Udyt dette tl at vse, at ˆµ = ȳ + ˆβ. 5. Eftervs, at Cov Y Ȳ, ˆβx ) x) = σ x x). 6. Eftervs, at Cov R, R j ) = σ + x x)x j x) ), j. 7. Eftervs, at E [ R ] = )σ. Vk: Beyt R på forme S Y Y ˆβ, og husk at S Y Y = Y Ȳ ).. metode: Sæt Y = α + βx + U, U N0, σ ), =,...,. Husk regeregle E [X ] = Var X) + E [X]).. metode: Udreg Y Ȳ ). Beyt regeregle for E [X ] samt regeregle E [XY ] = Cov X, Y ) + E [X] E [Y ]. y. 8. Eftervs, at r = ˆβ s x sy. Vk: Tag udgagspukt r = Sxy S yy = ˆβ S yy. 6

27 9. Eftervs, at ȳ, S yy, S xy ) er sucet for α, β, σ ). 0. Agv kodestervallet for parametere µ = α + β x med kodesgrad α α beyttes her to forskellge betydger).. Opstl et sgkastest for H 0 : σ = σ 0, H : σ > σ 0, dvs. agv testvarabel og dees fordelg uder H 0 samt det tlhørede krtske område.. Betragt modelle Y Nβx, σ ), =,..., uafhægge. Estmer parametre, bestem deres fordelger, opstl kodestervaller og test m.m. 3 De erdmesoale ormalfordelg 3. Stokastske vektorer Ved e stokastsk vektor skal v forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalge stokastske varable. For de stokastske vektor Y = Y,..., Y ) deerer v mddelværdvektore som E [Y ] = E [Y ],..., E [Y ]). I sammehæg med matrcer vl v opfatte Y og E [Y ] som søjlevektorer. Lad os betragte to stokastske vektorer X = X,..., X m ) og Y = Y,..., Y ). Alle kovaraser mellem X's kompoeter og Y 's kompoeter ka aturlgt samles e m matrx, de såkaldte kovarasmatrx: Cov X, Y ) = {Cov X, Y j )} = {E [X E [X ])Y j E [Y j ])]} = E [ X E [X])Y E [Y ]) ]. I det sdste udtryk skal v ved mddelværde af e matrx aturlgvs forstå matrce beståede af alle elemeteres mddelværder. Sætter v X = Y Cov X, Y ), får v de såkaldte varasmatrx for Y også kaldet varas-kovarasmatrx, kovarasmatrx, dspersosmatrx): Var Y ) = Cov Y, Y ) = {Cov Y, Y j )}. 7

28 Bemærk, at Var Y ) har Var Y ), =,...,, hoveddagoale. Bemærk edvdere, at Var Y ) er symmetrsk, da Cov Y, Y j ) = Cov Y j, Y ). Eksempel: Ved smpel leær regresso fadt v om resdualere, at R N 0, σ x )) x), og at Sætter v og gælder der åbebart, at Cov R, R j ) = σ + x ) x)x j x), j. p j = + x x)x j x) P = {p j }, Var R) = σ I P ). At to stokastske vektorer er uafhægge, betyder at e vlkårlg kompoet de ee vektor er uafhægg af e vlkårlg kompoet de ade vektor. To forskellge kompoeter samme vektor ka være afhægge eller uafhægge.) Bemærk, at X, Y uafhægge Cov X, Y ) = O. Lad os betragte e leær trasformato T af de stokastske vektor Y repræseteret ved matrce A, dvs. T : R R m, T Y ) = AY. Da mddelværdoperatore er leær, har v umddelbart, at E [AY ] = A E [Y ]. For varasmatrce får v, at Var AY ) = E [ AY AE [Y ])AY AE [Y ]) ] = E [ AY E [Y ])Y E [Y ]) A ] = A E [ Y E [Y ])Y E [Y ]) ] A = A Var Y ) A. Var AY ) er altså e m m matrx. Betragter v specelt e learkombato af Y 's kompoeter a Y +...+a Y, der kort ka skrves a Y, får v E [ a Y ] = a E [Y ] og Var a Y ) = a Var Y ) a. Var a Y ) er et reelt tal matrx). E ortogoal trasformato er e leær trasformato, der repræseteres ved e ortogoal matrx 5, dvs. e matrx hvor søjlevektorere er ortoormerede. For e 5 De tradtoelle betegelse, e mere præcs betegelse vlle være ortoormal matrx. 8

29 såda matrx gælder, at systemet af rækkevektorer lgeledes er ortoormeret, at de verse matrx er lg de traspoerede, og at de tlhørede determat atager værde eller. Lad Z = CY deere e ortogoal trasformato. C er altså e ortogoal matrx. Der gælder, at Z = Z Z = CY ) CY = Y C CY = Y Y = Y, dvs. kvadratsumme af e stokastsk vektors kompoeter er varat over for ortogoaltrasformato. Betragt u e stokastsk kvadratsk form Y AY, hvor E [Y ] = µ og Var Y ) = Σ. Mddelværde af Y AY udreges: E [ Y AY ] [ ] = E a j Y Y j = a j E [Y Y j ] j j = a j Cov Y, Y j ) + E [Y ] E [Y j ]) j = a j σ j + a j µ µ j j j = a j σ j + µ Aµ = AΣ) + µ Aµ j = tr AΣ + µ Aµ Når Var Y ) = σ I forekles udtrykket tl og år yderlgere E [Y ] = 0 tl E [ Y AY ] = σ tr A + µ Aµ, E [ Y AY ] = σ tr A. De mometfrembrgede fukto hørede tl e stokastsk vektor deeres som M Y t,..., t ) = E [ expt Y ) ]. Ofte skrves M Y t) som e forkortelse for M Y t,..., t ). De sædvalge egeskaber ved mometfrembrgede fukto har også gyldghed her, dvs. M AY +b t) = expt b)m Y A t), og for X og Y uafhægge jf. opgave 4 og 5. M X+Y t) = M X t)m Y t), 9

30 3. De erdmesoale ormalfordelg E stokastsk vektor Y = Y,..., Y ) sges, at være -dmesoal ormalfordelt, år Y,..., Y har de smultae tæthed f Y y,..., y ) = π) det Σ) exp ) y µ) Σ y µ), hvor µ R og Σ R. µ ka vælges vlkårlgt, mes Σ skal være e postv det matrx 6. At Y er -dmesoal ormalfordelt med parametree µ og Σ, skrves kort Y N µ, Σ). V vl først vse, at v ved e passede a trasformato af Y ka opå, at kompoetere de trasformerede stokastske vektor er uafhægge og stadardserede ormalfordelte. Sæt Y = Σ X + µ se opgave 7, 8 og 9 vedr. Σ ). Jacobdetermate hørede tl dee trasformato ses umddelbart at være det Σ. Tæthedsfuktoe for X blver derfor f X x,..., x ) = π) det Σ) exp ) det x Σ Σ Σ x Σ = π) exp ) ) x x = π) exp x = = π e x, hvoraf ses, at X N0, ), =,...,, og at X 'ere er uafhægge. Herefter ka v let udrege E [Y ] og Var Y ): E [Y ] = Σ E [X] + µ = Σ 0 + µ = µ, Var Y ) = Σ Var X) Σ ) = Σ I Σ = Σ. Parametree µ og Σ er altså heholdsvs mddelværdvektor og varasmatrx for Y. De mometfrembrgede fukto for Y ka v bestemme ved følgede udreg- 6 E symmetrsk matrx er postv det, år x R \{0} : x Ax > 0. A er postv semdet, år x R \{0} : x Ax 0, og der des mdst) et x 0, så x Ax = 0. Aalogt deeres egatv det og egatv semdet. 30 =

31 ger, hvor v ge beytter trasformatoe Y = Σ X + µ: M Y t) = E [ expt Y ) ] = expt y)π) det Σ) exp ) R y µ) Σ y µ) dv = expt Σ x + µ))π) exp ) R x x dv = expt µ) π) exp ) R x x t Σ x) dv = exp t µ + ) t Σt π) exp ) R x x t Σ x + t Σt) dv = exp t µ + ) t Σt π) exp ) R x Σ t) x Σ t) dv = exp t µ + ) t Σt, det fuktoe uder det sdste tegralteg ses at være tæthedsfuktoe for e -dmesoal ormalfordelg med mddelværdvektor Σ t og varasmatrx I. I stedet for at deere de erdmesoale ormalfordelg ud fra tæthedsfuktoe ka v beytte følgede alteratve deto: Y er -dmesoal ormalfordelt, år og ku år der for alle l 0 gælder, at l Y er edmesoal) ormalfordelt. Beytter v symbolere µ og Σ som ovefor, skal der altså gælde at l Y Nl µ, l Σ l). I dee deto ka v umddelbart medtage det sgulære tlfælde, hvor Σ ku er postv semdet svarede tl, at der des mdst) et l 0, så l Σ l = 0. I det sgulære tlfælde vl der altså optræde learkombatoer) l Y med varas 0. Fra tdlgere keder v de mometfrembrgede fukto for e ormalfordelt stokastsk varabel X Nµ, σ ). Der gælder M X t) = e µt+ σ t. Følgelg har v M l Y t) = exp l µt + l Σ lt ). Ved beyttelse af mometfrembrgede fuktoer ka det let eftervses, at de to forskellge detoer på erdmesoal ormalfordelg er ækvvalete, år der ses bort fra det sgulære tlfælde, se opgave. 3

32 3.3 Egeskaber ved ormalfordelte stokastske vektorer Lad os betragte e a trasformato AY + b af Y N µ, Σ), hvor A er q og rag A = q. Der gælder l 0 : l AY + b) = l A)Y + l b = l Y + b Nl µ + b, l Σ l ) = Nl Aµ + l b, l AΣA l), som vser, at AY +b N q Aµ+b, AΣA ), det AΣA er postv det, jf. opgave. Heraf følger, at e vlkårlg learkombato a Y af Y 's kompoeter er ormalfordelt. Ved et passede valg af A ka v udtage e vlkårlg delvektor af Y. Alle delvektorer af Y, heruder også de ekelte kompoeter, er altså ormalfordelte. For edmesoale ormalfordelte varable gælder, at uafhægghed er esbetydede med, at de varable er ukorrelerede. Betragter v to ormalfordelte stokastske vektorer Y N µ, Σ ) og Y N µ, Σ ), vl v tlsvarede vse, at uafhægghed mellem Y og Y er esbetydede med, at Cov Y, Y ) = O. Det gælder geerelt, at uafhægghed mellem stokastske vektorer medfører, at de er ukorrelerede, jf. afst 3.. Atager v omvedt, at Cov Y, Y ) = O, blver varasmatrce Σ for de stokastske vektor Y = Y, Y ) [ ] Σ O Σ =, O Σ hvor Σ og Σ er varasmatrcere for heholdsvs Y og Y. Heraf følger, at Bemærk, at Σ = [ Σ O O Σ [ ] [ y µ) Σ y µ y µ) = Σ y µ O ]. O Σ ] [ y µ y µ = y µ ) Σ y µ ) + y µ ) Σ y µ ) = h y ) + h y ) 3 ]

33 For Y 's tæthedsfukto får v derfor, at f Y y,..., y, y,..., y ) = π) + det Σ det Σ ) exp h y ) + h y )) ) = π) det Σ ) exp h y ) ) π) det Σ ) exp h y ) ) = f Y y,..., y )f Y y,..., y ), hvoraf det ses, at Y og Y er uafhægge. Hvs v betragter to leære trasformatoer af samme vektor Y, A Y og A Y, hvor A og A har fuld rag, ses umddelbart, at uafhægghed mellem A Y og A Y er esbetydede med at A ΣA = O, det Cov A Y, A Y ) = O A Cov Y, Y ) A = O A ΣA = O. Bemærk, at med A ΣA = O er systemet af rækker A ortogoalt på systemet [ af ] rækker A med hesy tl det dre produkt u, v = u A Σv. Matrce A = har derfor fuld rag, dvs. rag A = rag A + rag A. Specelt gælder, at to learkombatoer af Y 's kompoeter, a Y og a Y, er uafhægge, år og ku år Cov a Y, a Y ) = 0 a Σa = 0. Et vgtgt resultat er, at hvlket let eftervses, se opgave 4. Y µ) Σ Y µ) χ ), Lad os tl slut vede tlbage tl påstade afst.4, om at Ȳ og S er uafhægge. Ȳ og S er baseret på e ormalfordelt stkprøve med mddelværd µ og varas σ, dvs. Y N µ, σ I). Når Z er e ortogoal trasformato af Y, dvs. Z = CY med C ortogoal, får v Kompoetere Z er altså uafhægge. Z N µc, σ CIC ) = N µc, σ I). Beytter v specelt e ortogoal matrx, der har vektore,..., ) som første rækkevektor, får v og [ Z =... ] Y = )S = Y Ȳ ) = = Z + + Z, Y Y = Ȳ Ȳ = Z Ȳ = hvoraf det umddelbart fremgår, at Ȳ og S er uafhægge. 33 ) Z Z A

34 3.4 E betget fordelg Lad Y N µ, Σ), og betragt delvektoree Y med kompoeter og Y med kompoeter, + =. Y og Y er begge ormalfordelte og almdelghed afhægge. V ka skrve [ ]) Σ Σ Y, Y ) N + µ, µ ),, Σ Σ hvor betydge af de beyttede betegelser er åbebar, fx står Σ for Cov Y, Y ). Idfør Z = Y Σ Σ Y, og betragt de stokastske vektor Y, Z), der fremkommer som e leær trasformato af Y, Y ). Trasformatoe er repræseteret [ ved matrce I O Σ Σ I Ved udregg, jf. opgave 6, får v, at ], som er og regulær. [ Σ O Var Y, Z)) = O der vser, at Y og Z er uafhægge. Σ Σ Σ Σ For Var Z) beyttes som regel betegelse Σ, altså Bemærk, at Σ = Σ Σ Σ Σ. ], E [Z] = E [Y ] Σ Σ E [Y ] = µ Σ Σ µ, hvorefter v ka agve Z's fordelg som Fra dførelse af Z ser v, at og ved at betge med Y = y, får v Z N µ Σ Σ µ, Σ ). Y = Z + Σ Σ Y, Y y = Z + Σ Σ y, det Y og Z er uafhægge. Mddelværdvektor og varasmatrx for Y y blver Fordelge af Y y er altså E [Y y ] = µ + Σ Σ y µ ), Var Y y ) = Var Z) = Σ. Y y N µ + Σ Σ y µ ), Σ ). 34

35 3.5 Opgaver. Vs, at Cov X, Y ) = E [ XY ] E [X] E [Y ].. Vs, at Cov AX, BY ) = A Cov X, Y ) B. 3. Vs, at Var Y + b) = Var Y ). 4. Vs, at M AY +b t) = expt b)m Y A t). 5. Vs, at X og Y uafhægge M X+Y t) = M X t)m Y t). 6. Lad C være e ortogoal matrx, dvs. der gælder C C = I. Vs, at systemet af rækkevektorer C er ortoormeret, at C = C, og at det C = ±. Vs edvdere, at produktet af to ortogoale matrcer gver e ortogoal matrx. 7. Lad A være e symmetrsk matrx. Vs, at A er postv det, år og ku år alle A's egeværder er postve. Vk: Betragt e ortogoal substtuto x = Cy, hvor matrce C dagoalserer A, dvs. C AC = Λ = λ... λ, og vs, at x Ax = λ y. 8. Lad A være e postv det matrx, og lad C være e ortogoal matrx, som dagoalserer A tl Λ. Bestem først e matrx Λ, så Λ ) = Λ, og deræst e matrx A, så A ) = A.' 9. Vs, at det Σ = det Σ). 0. Kotroller at f Y er e tæthedsfukto, dvs. at R f Y y,..., y )dv =. Vk: Beyt tæthedsfuktoe f X x,..., x ) for de trasformerede stokastske vektor X.. Vs ved beyttelse af mometfrembrgede fuktoer, at de to detoer på erdmesoal ormalfordelg er ækvvalete, dvs. at deto defto, og at deto deto. Der ses bort fra det sgulære tlfælde.). Vs, at år A er postv det, og år C er p med rag C = p, så er CAC postv det. 3. Eftervs, at u Σv, hvor Σ er postv det, deerer et dre produkt. 4. Vs, at Y µ) Σ Y µ) χ ). Vk: Beyt trasformatoe Y = Σ X + µ. 5. Lad Y,..., Y være e stkprøve e ormalfordelt populato. Gv et yt bevs for, at S σ χ ). Vk: Betragt først X = Y µ) og σ deræst U = CX med samme C som slutge af afst

36 6. Eftervs, at Y og Z er uafhægge. Vk: Husk, at VarAY )=AVarY )A. 4 E geerel leær ormal model 4. Modelbestemmelse Lad som sædvalg y,..., y være observatoer e ormalfordelt populato, hvor alle varable har samme varas. V har y,..., y ) R og Y Nµ, σ ), =,..., uafhægge. Atag om mddelværdvektore µ = µ,..., µ ), at µ L R, hvor L er et uderrum af R. Lad os edvdere atage, at L har dmeso k og udspædes af vektorere x,..., x k, dvs. L = sp {x,..., x k }, dm L = k. Da µ L des kostater β,..., β k, så µ = β x β k x k, eller µ = Xβ, X = [x... x k ], β = β,..., β k ). I udtrykket µ = Xβ skal µ og β opfattes som søjlevektorer. X kaldes modelles desgmatrx. Modelle har k + parametre, β,..., β k og σ, der alle skal estmeres. 4. Mdste kvadraters estmater Lad ˆµ betege de ortogoale projekto af y på L, dvs. ˆµ = P y, hvor P er projektosmatrx. Beyttelse af mdste kvadraters metode gver y µ = y ˆµ + ˆµ µ hvor lghedsteget gælder for µ = ˆµ. = y ˆµ + ˆµ µ Pythagoras) y ˆµ, ˆµ = P y er altså mdste kvadraters estmat for µ. 36

37 Fgur 3: Ortogoalprojekto af y på L. ˆµ er et cetralt estmat for µ, det E [ˆµ] = E [P Y ] = P E [Y ] = P µ = µ. Søger v et estmat ˆβ for β, skal der gælde, at X ˆβ = ˆµ, hvoraf følger at X X ˆβ = X ˆµ = X P y = P X) y = P X) y = X y. Her har v udyttet, at e projektosmatrx er symmetrsk. De ade grudlæggede egeskab ved e projektosmatrx er, at de er dempotet.) V ser, at ˆβ skal opfylde lggssystemet som også kaldes ormallggere. X X ˆβ = X y, Omvedt, år ormallggere er opfyldt, gælder at X X ˆβ = X y X y X ˆβ ) = 0 ˆβ X y X ˆβ ) = 0 X ˆβ ) y X ˆβ) = 0 X ˆβ y X ˆβ, det y = X ˆβ + y X ˆβ ) åbebart er e ortogoal dekomposto af y, hvor X ˆβ L og y X ˆβ L. Da e ortogoal dekomposto er etydg, har v, at X ˆβ = ˆµ = P y). Når rag X = k, blver X X e regulær k k matrx, og ormallggere ka umddelbart løses: ˆβ = X X) X y. Multplcerer v med X på begge sder får v X ˆβ = XX X) X y ˆµ = XX X) X y. 37

38 Sammeholdes med ˆµ = P y, ses at projektosmatrce P ka udtrykkes som P = XX X) X, det e projektosmatrx er etydgt bestemt. Hvs x,..., x k er leært afhægge, dvs. dm L = rag X < k, så vl ˆµ og P stadg være etydgt bestemt, me kke ˆβ. Udtrykkee for ˆβ og P ka opretholdes, hvs X X) erstattes af e vlkårlg geeralseret vers 7 X X). I det følgede forudsættes dog, at rag X = k. Med beyttelse af de erdmesoale ormalfordelg, ka v formulere modelle som Y N µ, σ I), µ = Xβ, X k, rag X = k. Da ˆβ er e leær trasformato af y, er ˆβ N k, ). Mddelværdvektore blver dvs. ˆβ er et cetralt estmat for β. For varasmatrce gælder, at E [ˆβ] = X X) X E [Y ] = X X) X µ = X X) X Xβ = β, Var ˆβ) = X X) X Var Y )X X) X ) = X X) X σ IXX X) ) = σ X X) X XX X) = σ X X). V har altså ˆβ N k β, σ X X) ). 4.3 Resdualer og resdualkvadratsum Resdualvektore modelle er r = y ŷ = y ˆµ = y X ˆβ = y P y = I P )y. Mddelværdvektor og varasmatrx af R blver E [R] = E [Y ] P E [Y ] = µ P µ = µ µ = 0, Var R) = I P )Var Y )I P ) = I P )σ II P ) 7 A er e geeralseret vers tl A, år der gælder AA A = A. 38

39 = σ I P ). Tlsyeladede gælder R N, ), me I P er postv semdet, det fx µ I P )µ = µ µ µ) = µ 0 = 0, dvs. R N 0, σ I P )) sgulær. Da både ˆβ og R er leære trasformatoer af Y, ka v let udrege deres kovarasmatrx: Cov ˆβ, R) = X X) X Var Y )I P ) = X X) X σ II P ) = σ X X) X X X) X P ) = σ O = O, det X P = P X) = P X) = X. Der gælder altså, at ˆβ og R er uafhægge. Resdualkvadratsumme er jf. opgave 6 og 7. r = y ˆµ = y ˆµ = y X ˆβ ) y, Resdualkvadratsumme ka også skrves I P )y) I P )y = y I P )y. Mddelværde ka med beyttelse af regeregel udledt afst 3. udreges tl E [ R ] = E [ Y I P )Y ] det tr P = k, jf. opgave 8. = tr I P )σ I) + µ I P )µ = σ tr I P ) + µ µ µ) = σ tr I tr P ) + 0 = σ k), Det ses, at k r = k y X ˆβ) y er et cetralt estmat for σ. V vl beytte betegelse s for dette estmat. Ved at sætte u = y µ, dvs. U N 0, σ I) og dsætte y = u + µ udtrykket for resdualkvadratsumme får v edu et udtryk for dee: y I P )y = u + µ) I P )u + µ) = u I P )u, det I P )µ = µ µ = 0. 39

40 Lemma: Lad U N 0, σ I), og lad P være e projektosmatrx med rag k. Der gælder da, at U P U σ χ k). Bevs: Da P er e projektosmatrx, des e ortogoal matrx C, så jf. opgave 9. C P C = Λ = }.{{.. } 0 }.{{.. 0}, k k Betragt følgede leære trasformato af U: [ [I k O] C P U N k 0, [I k O] C P Var U) P C ) Ik O [ ] = N k 0, σ [I k O] C Ik P C ) O = N k 0, σ [I k O] Λ = N k 0, σ I k ) [ ] Ik ) O I reggere blev beyttet, at C = C, og at P IP = P = P. V har u umddelbart, at [Ik O] C P U ) σ I k ) [Ik O] C P U χ k) ] ) me [I k O] C P U ) [Ik O] C P U σ χ k), [Ik O] C P U ) [Ik O] C P U [ ] = U Ik P C [I k O] C P U O = U P CΛC P U = U P P P U = U P U, hvoraf følger, at U P U σ χ k). Ved beyttelse af oveståede lemma får v, at resdualkvadratsumme R = k)s = Y I P )Y = U I P )U σ χ k), 40

41 og dermed at S σ k χ k). Mddelværd og varas af S blver E [S ] = Var S ) = σ k) = σ regekotrol), k σ 4 σ4 k) = k) k. Idet S er e fukto af R, har v umddelbart, at ˆβ og S er uafhægge. 4.4 Determatoskoecete R De brøkdel af varatoe observatoere, som modelle ka forklare, kaldes også dee model for determatoskoecete, me beteges her tradtoelt med R, dvs. R = S yy r S yy y = y y ȳ y X ˆβ) = S yy ) y X ˆβ ȳ. S yy S yy har samme betydg som afst Gauss-Markov Bladt alle leære cetrale estmater af c µ er c ˆµ det estmat, der har mdst varas. Dette resultat kaldes Gauss-Markovs sætg. E ade formulerg er, at c ˆµ er BLUE for c µ, hvor BLUE = Best Lear Ubased Estmate. Med bedst mees aturlgvs med mdst varas. Det ses umddelbart, at c ˆµ er et leært cetralt estmat for c µ, det c ˆµ = c P Y = P c) Y og E [ c ˆµ ] = c E [ˆµ] = c µ. Lad her d Y være et vlkårlgt leært cetralt estmat for c µ. Først udtrykker v c ˆµ ved d og Y : c µ = E [ d Y ] = d E [Y ] = d µ c d) µ = 0 c d L P c d) = 0 P c = P d P c) Y = P d) Y c ˆµ = P d) Y. 4

42 Herefter ka v sammeholde varasere af c ˆµ og d Y : Var c ˆµ ) = P d) σ IP d = σ d P d. Var d Y ) = d σ Id = σ d d. Var d Y ) Var c ˆµ ) = σ d I P )d 0, Var d Y ) Var c ˆµ ). da I P er postv semdet Etydghed ses af Var d Y ) Var c ˆµ ) = 0 d I P )d = 0 I P )d = 0 d = P d d = P c. Som korollar får v med et passede valg af c at ˆµ er BLUE for µ. 4.6 Maksmum lkelhood estmater Lkelhoodfuktoe blver Lβ,..., β k, σ ) = exp y ) µ ) π σ σ = πσ ) exp ) y µ σ = πσ ) exp ) y Xβ, σ og loglkelhoodfuktoe lβ,..., β k, σ ) = lπσ ) σ y Xβ. For vlkårlgt σ > 0 har l maksmum år y Xβ = y µ har mmum, dvs. etop for mdste kvadraters estmatet ˆµ = X ˆβ. Prolloglkelhoode for σ blver ľσ ) = lπσ ) σ y X ˆβ. Dee fukto ka opfattes som e fukto af de reelle varabel σ. Maksmum bestemmes efter sædvalg metode, og resultatet blver ˆσ = y X ˆβ. 4

43 Med dette udtryk for ˆσ blver lkelhoodfuktoes maksmale værd L ˆβ,..., ˆβ k, ˆσ ) = πe ˆσ ). Som de tdlgere modeller vl v ormalt kke beytte ˆσ, me stedet det tlhørede cetrale estmat s = k r = k y ˆµ = k y X ˆβ = y y X ˆβ). k Relatoe mellem s og ˆσ er s = 4.7 Sucet redukto Idet ˆσ k. y µ = y Xβ = y Xβ) y Xβ) = y y y Xβ + β X Xβ, ser v, at y y, y X) er sucet for β, σ ). 4.8 Modelkotrol For de ekelte resdualer gælder, at og R N0, σ p )), =,...,, Cov R, R j ) = σ p j, j, hvor p j betyder det j'te elemet projektosmatrce P = XX X) X. V dfører de stadardserede resdualer s = r p, =,...,, hvorefter og S N0, σ ), =,...,, Cov S, S j ) = σ, j. p pjj p j Idet der ofte ses bort fra afhægghede mellem S 'ere, ka kotrol for ormaltet udføres form af et ormalfraktldagram. 43

44 4.9 Kodesellpsoder og kodestervaller Med ˆβ N k β, σ X X) ) har v, at og jf. opgave 3. X X) ˆβ β) Nk 0, σ I), ˆβ β) X Xˆβ β) σ χ k), Da S σ k χ k) er uafhægg af β, ka v umddelbart kostruere e F-fordelt varabel F = ˆβ β) X Xˆβ β) σ k k)s σ k = ˆβ β) X Xˆβ β) k S F k, k). Området { β R k ˆβ β) X Xˆβ β) } f k s α k, k) kaldes kodesellpsode for β med kodesgrad α. Betragter v de ekelte parametre, ka v med udgagspukt ˆβ Nβ, σ X X) ), =,...,, opskrve kodestervaller med kodesgrad α for de ekelte β 'ere: β = ˆβ ± t α k)s X X). Kodestervallet for σ bestemmes tl k)s χ α lgeledes med kodesgrad α. k) σ k)s k), Lad os betragte learkombatoe µ = x β, hvor x R k. Dee aedte parameter estmeres ved ˆµ = x ˆβ, og der gælder χ α ˆµ N µ, σ x X X) x ). V ka derfor opstlle et kodesterval for µ med kodesgrad α: µ = ˆµ ± t α k)s x X X) x, hvor ˆµ = x ˆβ og s = k y X ˆβ) y, S σ k χ k). 44

45 Da ˆµ ka opfattes som e mddel prædkteret værd for observatoer foretaget ved x, beteges størrelse ofte med ŷ. V ka derfor også skrve µ = ŷ ± t α k)s x X X) x. V vl lgeledes opstlle et prædktosterval for e tækt fremtdg observato y foretaget ved x. Der må gælde, at Y Nx β, σ ), og at Y og ˆµ er uafhægge, da de fremtdge observato kke afhæger af de tdlgere foretage. Heraf Y ˆµ N x β x β, σ + σ x X X) x ) = N 0, σ + x X X) x) ). Med beyttelse af samme regetekk som afst.8 får v prædktostervallet for y med kodesgrad α tl hvor ŷ = x ˆβ og s som ovefor. y = ŷ ± t α k)s + x X X) x, Bemærk, at med samme kodesgrad vl prædktostervallet altd være større ed det tlsvarede kodesterval. 4.0 Kvotettest Lad L 0 være et uderrum af L, og betragt hypotese H 0 : µ L 0 mod alteratvet H : µ L \L 0. Estmatet for µ uder H 0 skal aturlgvs des som projektoe af y på L 0. V beteger dette estmat ˆµ. Fgur 4 llustrerer sammehæge mellem y, ˆµ og ˆµ. Fgur 4: Sammehæge mellem y, ˆµ og ˆµ 45

46 Med beyttelse af resultater fra afst 4.6 ka lkelhoodfuktoes maksmale værd uder H 0 agves tl πe ˆσ ), hvor ˆσ = y ˆµ og ˆµ = P 0 y. P 0 er projektosmatrce for de ortogoale projekto på L 0, rag P 0 = k 0 < k. Kvotetteststørrelse qy,..., y ) blver qy,..., y ) = Lˆβ, ˆσ ) Lˆβ, ˆσ ) = πe ˆσ ) ˆσ y ˆµ πe ˆσ = = ) ˆσ y ˆµ ) y ˆµ = = y ˆµ + ˆµ ˆµ + ˆµ ˆµ y ˆµ I reggere er beyttet, at y ˆµ L og ˆµ ˆµ L. Det ses, at k k k 0 ˆµ ˆµ y ˆµ udgør e aftagede trasformato af q. V har tdlgere vst, at Tlsvarede ka vses, at ) Y ˆµ = U I P )U σ χ k). ˆµ ˆµ = U P P 0 )U σ χ k k 0 ), ) jf. opgave 5. Desude gælder, at ) Cov Y ˆµ, ˆµ ˆµ = O, jf. opgave 6, dvs. Y ˆµ og ˆµ ˆµ er uafhægge. Der gælder derfor, at F = k k k 0 ˆµ ˆµ Y ˆµ F k k 0, k) uder H 0. Store værder af f obs er krtske for hypotese. Kvotettestet for H 0 : µ L 0 fører altså frem tl et sædvalgt F-test. Bemærk om de dgåede vektorer, at ˆµ L 0, ˆµ ˆµ L = L L 0, det ortogoale komplemet tl L 0 de for L P 0 ˆµ = P 0 P y = P 0 y = ˆµ ˆµ ˆµ ˆµ), y ˆµ L. 46

47 Det er umddelbart klart, at L 0 + L = L. Da desude L 0 L = {0}, sger v uddybede, at L er fremkommet som de drekte sum af L 0 og L, og v beytter symbolet stedet for +, dvs. L 0 L = L. V ka også dføre symbolet ved regle L L 0 = L L 0, dvs. L = L L 0. Bemærk, at L 0 L L 0 ) L = R, det der gælder, at L 0 L L 0 ) = L 0 L = L L 0 ) L = {0}. Da rummee edvdere er dbyrdes ortogoale, sger v, at R er fremstllet som de ortogoale drekte sum af de tre uderrum. Lad os betragte L opdelt r dbyrdes ortogoale uderrum, således at R = L L, dm L = k, = L L... L r, dm L = k, k = k. Der gælder da, at P Y, P Y,..., P r Y er uafhægge, P Y µ σ χ k), P Y σ χ k ), =,..., r, hvor P er projektosmatrce for projekto på L, =,..., r. Bevset helægges tl opgave Ae hypoteser V går ge ud fra grudmodelle µ L, me betragter u hypotese H 0 : µ x 0 + L 0, dvs. at µ lgger et såkaldt at uderrum af L. V dfører y = y x 0 og bemærker, at E [Y ] = E [Y ] x 0 µ = µ x 0. Der gælder åbebart, at H 0 : µ x 0 + L 0 er ækvvalet med H 0 : µ L 0. H 0 ka u testes ved beyttelse af F = k ˆµ ˆµ k k 0 Y ˆµ = k ˆµ x 0 ˆµ P 0 x 0 ) k k 0 Y x 0 ˆµ x 0 ) = k k k 0 ˆµ ˆµ + P 0 I)x 0 Y ˆµ F k k 0, k) uder H Opgaver. Vs, at e ortogoal dekomposto af e vektor er etydg. Vk: Atag, at der er to forskellge dekompostoer, og betragt deres deres. 47

48 Fgur 5: Test af a hypotese H 0 : µ x 0 + L 0. Bestem MK-estmatere for α og β de smple leære regressosmodel ved projekto på sp{, t}, hvor t = x x bemærk, at t), beyttelse af ormallggere. 3. Kotroller, at P = XX X) X er symmetrsk og dempotet. 4. Redegør for, at fordelge af ˆµ N µ, σ P ) er sgulær. 5. Vs, at I P er e projektosmatrx, og at I P )y er projektoe af y på L. 6. Eftervs, at y ˆµ = y ˆµ. 7. Udled, at y ˆµ = y X ˆβ) y. Vk: Idfør ˆµ = P y, foretag e del omskrvger, og erstat tl sdst P y med X ˆβ. 8. Vs, at tr P = k. Vk: Betragt P = XX X) X, og udyt regeregle tr AB) = tr BA), der gælder, år begge matrxprodukter ekssterer. 9. Vs, at ehver projektosmatrx etop har egeværder 0 og, og agv dsses multplcteter. Vk: Vs først, at λx x = λ x x ved udyttelse af P x = λx og P = P. 0. Vs, at e projektosmatrx P har rag P = tr P.. I afst.3 blev det påstået, at S σ χ ). Argumeter for, at dee påstad er dækket d geem udledgere afst Geemfør reggere tl bestemmelse af ML-estmatet ˆσ. 48

49 3. Redegør for fordelgere af X X) ˆβ β) og ˆβ β) X Xˆβ β). 4. Udled detaljer prædktostervallet for e tækt fremtdg observato. 5. Vs, at ˆµ ˆµ = U P P 0 )U χ k k 0 ). ) 6. Eftervs, at Cov Y ˆµ, ˆµ ˆµ = O. 7. Lad L være opdelt r dbyrdes ortogoale uderrum, således at R = L L, dm L = k, = L L... L r, dm L = k, k = k. Bevs, at P Y, P Y,..., P r Y er uafhægge P Y µ σ χ k) P Y σ χ k ), =,..., r, hvor P er projektosmatrce for projekto på L, =,..., r. 8. Ved multpel leær regresso forstås ormalfordelte observatoer af forme y = β 0 + β x β k x k, =,...,. Opstl e leær ormal model, der passer tl sådae observatoer. Vk: Desgmatrce skal deholde k + søjler med som de første. Hvlke ædrger må der foretages formlere udvklet tl de geerelle leære model, for at de ka beyttes tl multpel leær regresso? Note: I vsse fremstllger kaldes de geerelle leære model for multpel leær regresso.) 49

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 004 Emet for dee forelæsg er stadg de multple regressosmodel (Wooldrdge kap. 3.4-3.5) Praktske bemærkg Opsamlg fra sdst Irrelevate varable og

Læs mere

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation Statstk Lekto 4 Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures ( ad Sales ( Et scatterplot vser par (, af observatoer.

Læs mere

Hvorfor n-1 i stikprøvevariansen?

Hvorfor n-1 i stikprøvevariansen? Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Hvorfor - stkprøvevarase? Lad os sge, at e fabrk producerer e bestemt type halogepærer. Det vser sg, at levetde for e såda elpære varerer efter e ormalfordelg. Nogle

Læs mere

Økonometri 1. Funktionel form. Funktionel form (fortsat) Dagens program. Den simple regressionsmodel 14. september 2005

Økonometri 1. Funktionel form. Funktionel form (fortsat) Dagens program. Den simple regressionsmodel 14. september 2005 Dages program Økoometr De smple regressosmodel 4. september 5 Dee forelæsg drejer sg stadg om de smple regressosmodel (Wooldrdge kap.4-.6) Fuktoel form Hvorår er OLS mddelret? Varase på OLS estmatore Regressosmodelle

Læs mere

Supplement til sandsynlighedsregning og matematisk statistik

Supplement til sandsynlighedsregning og matematisk statistik Supplemet tl sadsylghedsregg og matematsk statstk 1. Bevs for lgg (4b) 22.4 ( 23.3) 8. (7.) udgave. Teorem 3 (4): Atallet af forskellge kombatoer med k elemeter, der ka daes ud af forskellge elemeter,

Læs mere

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser Uge 37 I Teoretsk Statstk, 9.sept. 003. Fordelger kyttet tl N-ford. Gvet: uafhægge observatoer af samme N(µ,σ )-fordelte stokastske varabel. Formelt: X,X,,X uafhægge, alle N(µ,σ )-fordelt. Mddelværd µ

Læs mere

Spørgsmål 1 (5 %) Bestem sandsynligheden for at batteriet kan anvendes i mere end 5 timer.

Spørgsmål 1 (5 %) Bestem sandsynligheden for at batteriet kan anvendes i mere end 5 timer. TATITIK krftlg evaluerg, 3. semester, fredag de 4. jauar 3 kl. 9.-3.. Alle hjælpemdler er tlladt. Opgaveløsge forsyes med av og CR-r. OGAVE Et batter har e levetd tmer med de tlkyttede tæthedsfukto f (

Læs mere

Repetition. Forårets højdepunkter

Repetition. Forårets højdepunkter Repetto Forårets højdepukter Forårets højdepukter Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso: Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures (X ad Sales (Y Et scatterplot

Læs mere

Simpel Lineær Regression - repetition

Simpel Lineær Regression - repetition Smpel Leær Regresso - repetto Spørgsmål: Afhæger leært af?. Model: β + β + ε ε d N(0, σ 0 ) Sstematsk kompoet + Stokastsk kompoet Estmato - repetto Vha. Mdste Kvadraters Metode fder v regressosle hvor

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvattatve metoder Iferes de leære regressosmodel 9. marts 007 Opsamlg vedr. feres e leær regressosmodel uder Gauss-Markov atagelser (W.4-5) Eksempel med flere restrktoer (F-test) Lagrage

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

Statistik 9. gang 1 REGRESSIONSANALYSE. Korrelation (kontrol af model) Regression (tilpasning af model)

Statistik 9. gang 1 REGRESSIONSANALYSE. Korrelation (kontrol af model) Regression (tilpasning af model) Statstk 9. gag REGRESSIONSANALYSE Korrelato kotrol af model Regresso tlpasg af model Statstk 9. gag KORRELATIONS ANALYSE. Grad af fælles varato mellem X og Y. Område og fordelg af sample data 3. Optræde

Læs mere

Variansanalyse. på normalfordelte observationer af Jens Friis

Variansanalyse. på normalfordelte observationer af Jens Friis Varasaalyse på ormalfordelte observatoer af Jes Frs Esdg varasaalyse Model eelt ormalfordelt observatosræe Lad X, X, X er dbyrdes uafhægge N(μ, σ ) - fordelt stoastse varable Det tlhørede observatossæt

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik.

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Epdemolog og bostatstk. Uge, trsdag. Erk Parer, Isttut for Bostatstk. Geerelt om statstk Dataaalyse - Deskrptv statstk - Statstsk feres Sammelgg af to grupper med kotuerte data - Geemst og spredg - Parametre

Læs mere

χ 2 -fordelte variable

χ 2 -fordelte variable χ -fordelte varable Defnton af χ -fordelngen Kvadratsummen V n af n uafhængge standardserede normalfordelte stokastske varable sges at være χ -fordelt med n frhedsgrader. V n fremkommer altså som V n =

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2005

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2005 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 005 Emet for dee forelæsg er de multple regressosmodel (Wooldrdge kap 3.-3.3+appedx E.-E.) Defto og motvato Fortolkg af parametree de multple

Læs mere

Fordelingen af gentagne observationer (målinger) kan beskrives ved hjælp af et histogram, der viser antallet af målinger i et givet interval.

Fordelingen af gentagne observationer (målinger) kan beskrives ved hjælp af et histogram, der viser antallet af målinger i et givet interval. H:\excerc\geodstat.doc, sdste ædrg: ov. 5, 3.. 3. Geodætsk statstk og mdste kvadraters metode. 3.. Statstske grudbegreber. 3.. Fordelger. Fordelge af getage observatoer (målger ka beskrves ved hælp af

Læs mere

Videregående Algoritmik. David Pisinger, DIKU. Reeksamen, April 2005

Videregående Algoritmik. David Pisinger, DIKU. Reeksamen, April 2005 Vderegåede Algortmk Davd Psger, DIKU Reeksame, Aprl 5 Bsecto problemet Gvet e uvægtet graf G = (V, E) samt et heltal k. E bsecto af grafe G er e opdelg af kudere V to lge store mægder S og T. MAX-BISECTION

Læs mere

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj)

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj) Betækg om kommueres udgftsbehov Blag (med metodedskusso af professor Aders Mlhøj) Betækg r. 36 Oktober 998 Kommueres Udgftsbehov Betækg om kommueres udgftsbehov - Redegørelse fra arbejdsgruppe uder Idergsmsterets

Læs mere

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning lemetær Matematk Sadsylghedsregg Ole Wtt-Hase Køge Gymasum 008 INDHOLD KAP. KOMBINATORIK.... MULTIPLIKATIONS- OG ADDTIONSPRINCIPPT.... PRMUTATIONR... 3. KOMBINATIONR...3 KAP. NDLIGT SANDSYNLIGHDSFLT...7.

Læs mere

Økonometri 1. Instrumentvariabelestimation 26. november Plan for IV gennemgang. Exogenitetsantagelsen. Exogenitetsantagelsen for OLS

Økonometri 1. Instrumentvariabelestimation 26. november Plan for IV gennemgang. Exogenitetsantagelsen. Exogenitetsantagelsen for OLS y = cy ( c 0 ) Pla for IV geemgag Økoometr Istrumetvarabelestmato 6. ovember 004 F9: Hvad er IV estmato: Bvarat model, et strumet: Kap.5. + afst -4 ote. F0: IV estmato det multple tlfælde (eksakt detfceret):

Læs mere

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring Pearsos formel for χ test De teoretse forlarg Ole Wtt-Hase 04 Idhold. Normalfordelge og χ.... Pearsos formel for χ test... 3. Forlarg på Pearsos formel....4 Pearsos formel for χ test. Normalfordelge og

Læs mere

bestemmes. kendes ( ) A i Subjektiv information + objektiv information Bayesiansk statistik (gang 10) Bayes sætning

bestemmes. kendes ( ) A i Subjektiv information + objektiv information Bayesiansk statistik (gang 10) Bayes sætning Statstk. gag BAYESIANSKE METOER Objektv formato f.eks. forsøgs resultater klasssk statstk gag -9 Subjektv formato objektv formato Bayesask statstk gag Bayes sætg E E A A E A A... E A A A E A E E E A A

Læs mere

SUPPLEMENT til Anvendt statistik

SUPPLEMENT til Anvendt statistik SUPPLEMET tl Avedt statstk IDHOLD A BEVISER VEDRØREDE ORMALFORDELIGE 3A χ - FORDELIE 3 3B t - FORDELIGE 6 3C F - FORDELIGE 7 4A DEFIITIOER OG EKSEMPLER PÅ CETRALE OG EFFEKTIVE ESTIMATORER 9 4B BEVISER

Læs mere

Statistisk analyse. Vurdering af usikkerhed i forbindelse med statistiske opgørelser forudsætter:

Statistisk analyse. Vurdering af usikkerhed i forbindelse med statistiske opgørelser forudsætter: Statstsk aalyse Vurderg af uskkerhed forbdelse med statstske opgørelser forudsætter: Kvattatve mål for varato og spredg forbdelse med statstske opgørelser varas og stadardafvgelse Kvattatve mål for tlfældgheder

Læs mere

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( )

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( ) FORDELINGER: HYERGEOMETRIS FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI Mddelværd MIDDELVÆRDI (TYS: ERWARTUNGSWERT ) DEFINITION X er e stokastsk varabel på et edelgt sadsylghedsfelt U, ( ) Mddelværde af X

Læs mere

Rettevejledning til Økonomisk Kandidateksamen 2006I, Økonometri 1

Rettevejledning til Økonomisk Kandidateksamen 2006I, Økonometri 1 Rettevejledg tl Økoomsk Kaddateksame 6I, Økoometr Vurdergsgrudlaget er selve opgavebesvarelse og blaget. Programmer og data, som er afleveret på dskette/cd, bedømmes som såda kke, me er avedt f.eks. tl

Læs mere

1.0 FORSIKRINGSFORMER

1.0 FORSIKRINGSFORMER eam Lv forskrgsakteselskab Bereggsgrudlaget sgrp217 tl præmeberegg for gruppeforskrg e-am Lv forskrgsakteselskab 1. FORIKRINGFORMER 1.1 Oblgatorske ordger Alle gruppeforskrgsordger teget på dette grudlag

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

1 Løsning og mindste kvadraters løsninger af lineære ligningssystemer

1 Løsning og mindste kvadraters løsninger af lineære ligningssystemer Løsg og mdste kadraters løsger af leære lggssystemer Def. Lære lggssystemer Et leært lggssystem er et system af m lgger ubekedte, hor dsse ka skres som: a a... a b 2 2... a a... a b m m2 2 m m Dsse systemer

Læs mere

Notato: k grupper observeret tl tdspuktere (logartmerede) t1;t2;:::;t k. Tl tdspukt observeres et atal ( ) ph-vρrder, 1 ; 2 ;:::;. V opfatter dem som

Notato: k grupper observeret tl tdspuktere (logartmerede) t1;t2;:::;t k. Tl tdspukt observeres et atal ( ) ph-vρrder, 1 ; 2 ;:::;. V opfatter dem som Statstk 1, torsdag de 15. marts Leρr regressosaalyse, afst 5.2.1 ffl Problemstllg ffl Data Model Estmato og test Dages program: Hvad ka v? 1 V ka sammelge grupper af observatoer, hvor data hver gruppe

Læs mere

Kontrol af udledninger ved produktion af ørred til havbrugsfisk

Kontrol af udledninger ved produktion af ørred til havbrugsfisk Kotrol af udledger ved produto af ørred tl havbrugsfs Notat fra DCE - Natoalt Ceter for Mljø og Eerg Dato: 19. december 013 Rettet: 4. jauar 014 og de 8. marts 014 Søre Er Larse 1 & Lars M. Svedse 1 Isttut

Læs mere

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON IE-ONTINUERTE (DISRETE) STOASTISE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRIS, BINOMIAL, POISSON Edelgt sadsylghedsfelt V reeterer: Et sadsylghedsfelt ( P ) U, kaldes edelgt, hvs

Læs mere

Praktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.

Praktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags. Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt

Læs mere

Kvalitet af indsendte måledata

Kvalitet af indsendte måledata Notat ELT2004-112 Aktørafregg Dato: 23. aprl 2004 Sagsr.: 5584 Dok.r.: 185972 v1 Referece: NIF/AFJ Kvaltet af dsedte måledata I Damark er det etvrksomhederes opgave at måle slutforbrug, produkto og udvekslg

Læs mere

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

L komponent produceret i linie 1

L komponent produceret i linie 1 Statstk. gag BAYESIANSKE METOER Obektv ormato (.eks. orsøgs resultater klasssk statstk (gag -9 Subektv ormato + obektv ormato Bayesask statstk (gag Bayes sætg ( E ( E A ( A + ( E A ( A +... ( E A ( + (

Læs mere

Lineær regression lidt mere tekniske betragtninger om R^2 og et godt alternativ

Lineær regression lidt mere tekniske betragtninger om R^2 og et godt alternativ Dowloaded from orbt.dtu.dk o: Dec 0, 08 Leær regresso ldt mere tekske betragtger om R^ og et godt alteratv Brockhoff, Per B.; Ekstrøm, Claus Thor; Hase, Erst Publshed : LMFK-Bladet Publcato date: 07 Documet

Læs mere

Indeks over udviklingen i biltrafikken i Danmark

Indeks over udviklingen i biltrafikken i Danmark Ideks over udvklge bltrafkke Damark Afdelgsgeør Alla Crstese, Vejdrektoratet, og cvlgeør, p.d. Crsta Overgård ase, TetraPla A/S. Baggrud og formål. Baggrud Vejdrektoratet ar sde 978 regelmæssgt udgvet

Læs mere

Korrelation (kontrol af model) Regression (tilpasning af model) 1. Grad af fælles variation mellem X og Y. 2. Område og fordeling af sample data

Korrelation (kontrol af model) Regression (tilpasning af model) 1. Grad af fælles variation mellem X og Y. 2. Område og fordeling af sample data tatstk 9. gag GIONANAL Korrelato (kotrol af model egresso (tlpasg af model tatstk 9. gag KOLATION ANAL. Grad af fælles varato mellem X og. Område og fordelg af sample data 3. Optræde af ekstrem-værder

Læs mere

Den stokastiske variabel X angiver levetiden i timer for en elektrisk komponent. Tæthedsfunktionen for den stokastiske variabel er givet ved

Den stokastiske variabel X angiver levetiden i timer for en elektrisk komponent. Tæthedsfunktionen for den stokastiske variabel er givet ved STATISTIK Skrtlg evaluerg, 3. emeter, madag de 3. jauar 5 kl. 9.-3.. Alle hjælpemdler er tlladt. Opgaveløge orye med av og CPR-r. OPGAVE De tokatke varabel agver levetde tmer or e elektrk kompoet. Tætheduktoe

Læs mere

Løsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Løsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler

Læs mere

1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2

1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2 Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval

Læs mere

Analyse af bivariate data: korrelation og regression. korrelation. Korrelation og regression: Co-varians:

Analyse af bivariate data: korrelation og regression. korrelation. Korrelation og regression: Co-varians: ,,,,,,,,,, Stattk for bologer -, modul og : Korrelato og regreo: Aale af bvarate data: korrelato og regreo Korrelato: llutrerer v.h.a. e koeffcet hvlke grad to varable er dbrde afhægge: - (perfekt egatv

Læs mere

Regressions modeller Hvad regresserer vi på og hvorfor? Anders Stockmarr Axelborg statistikgruppe 6/

Regressions modeller Hvad regresserer vi på og hvorfor? Anders Stockmarr Axelborg statistikgruppe 6/ Regressos modeller Hvad regresserer v på og hvorfor? Aders Sockmarr Aelborg saskgruppe 6/ 0 Geerel Regresso Y f( ) ε f er e UKENDT fuko der beskrver relaoe mellem de uafhægge varabel og de afhægge varabel

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold Kombator, marts 04, Krste Roselde Georg Mohr-Kourrece Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger

Læs mere

Økonometri 1. Test for heteroskedasticitet. Test for heteroskedasticitet. Dagens program. Heteroskedasticitet 26. oktober 2005

Økonometri 1. Test for heteroskedasticitet. Test for heteroskedasticitet. Dagens program. Heteroskedasticitet 26. oktober 2005 Dagens program Økonometr Heteroskedastctet 6. oktober 005 Emnet for denne forelæsnng er heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-8.4) Konsekvenser af heteroskedastctet Hvordan fnder man en effcent estmator?

Læs mere

Kogebog: 5. Beregn F d

Kogebog: 5. Beregn F d tattk 8. gag KONFIDENINERVALLER Kofdetervaller: kaptel Valg og tet af fordelgfukto tattk 8. gag. KONFIDEN INERVALLER Et kofde terval udtrykker tervallet hvor de rgtge værd af parametere K, med γ % adylghed

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Brugen af R 2 i gymnasiet

Brugen af R 2 i gymnasiet Bruge af R gymaset Per Bruu Brockhoff, DTU Compute, Erst Hase, KU Matematk og Claus Thor Ekstrøm, KU Bostatstk Der lader tl at være e vs forvrrg bladt og ueghed mellem forskellge faggrupper omkrg R værde,

Læs mere

Økonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1

Økonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1 Økonometr 1 Heteroskedastctet 27. oktober 2006 Økonometr 1: F12 1 Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-4) Sdste gang: I dag: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Korrekton af varansen

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Økonometri lektion 7 Multipel Lineær Regression. Testbaseret Modelkontrol

Økonometri lektion 7 Multipel Lineær Regression. Testbaseret Modelkontrol Økonometr lekton 7 Multpel Lneær Regresson Testbaseret Modelkontrol MLR Model på Matrxform Den multple lneære regressons model kan skrves som X y = Xβ + Hvor og Mndste kvadraters metode gver følgende estmat

Læs mere

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 9

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 9 Økonometr 1 Efterår 006 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Opsamlng på Ugeseddel 8 Gruppearbejde SAS øvelser Ugeseddel 9 består at undersøge, om der er heteroskedastctet vores model for væksten og så fald,

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Overlappende stationsoplande: Bestemmelse af passagerpotentialer

Overlappende stationsoplande: Bestemmelse af passagerpotentialer Resumé Overlappede statosoplade: Bestemmelse af passagerpotetaler Valdemar Warburg, stud.polyt., valde@post.com Ibe Rue, stud.polyt., berue@hotmal.com Ceter for Trafk og Trasport (CTT), Damarks Tekske

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Statistik II Lektion 4 Generelle Lineære Modeller. Simpel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Flersidet Variansanalyse (ANOVA)

Statistik II Lektion 4 Generelle Lineære Modeller. Simpel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Flersidet Variansanalyse (ANOVA) Statstk II Lekton 4 Generelle Lneære Modeller Smpel Lneær Regresson Multpel Lneær Regresson Flersdet Varansanalyse (ANOVA) Logstsk regresson Y afhængg bnær varabel X 1,,X k forklarende varable, skala eller

Læs mere

Opsamling. Simpel/Multipel Lineær Regression Logistisk Regression Ikke-parametriske Metoder Chi-i-anden Test

Opsamling. Simpel/Multipel Lineær Regression Logistisk Regression Ikke-parametriske Metoder Chi-i-anden Test Opsamlng Smpel/Multpel Lneær Regresson Logstsk Regresson Ikke-parametrske Metoder Ch--anden Test Opbygnng af statstsk model Specfcer model Lgnnger og antagelser Estmer parametre Modelkontrol Er modellen

Læs mere

Statikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller

Statikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller Statkstk II 3. Lekton Multpel Logstsk regresson Generelle Lneære Modeller Defntoner: Repetton Sandsynlghed for at Ja tl at være en god læser gvet at man er en dreng skrves: P( God læser Ja Køn Dreng) Sandsynlghed

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Binomialfordelingen: april 09 GJ

Binomialfordelingen: april 09 GJ Bnomalfordelngen: aprl 09 GJ Spm A 14: Sandsynlghedsregnng og statstk. Efter en kort ntrodukton af grundlæggende begreber sandsynlghedsregnng og statstk skal du skal ntroducere bnomalfordelngsmodellen

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Statikstik II 4. Lektion. Generelle Lineære Modeller

Statikstik II 4. Lektion. Generelle Lineære Modeller Statkstk II 4. Lekton Generelle Lneære Modeller Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel X 1,,X k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet X + k = E( Y X ) = α + β x + + β

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Kombinatoriknoter 2012, Kirsten Rosenkilde 1

Kombinatoriknoter 2012, Kirsten Rosenkilde 1 Kombatoroter 0, Krste Roselde Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger. I otere troduceres

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Meningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Meningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3

Læs mere

Projekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning

Projekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 1 TALTEORI Følger og den knesske restklassesætnng Dsse noter forudsætter et grundlæggende kendskab tl talteor som man kan få Maranne

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

EKSAMEN I MATEMATIK-STATISTIK, 27. JANUAR 2006, KL 9-13

EKSAMEN I MATEMATIK-STATISTIK, 27. JANUAR 2006, KL 9-13 EKSAMEN I MATEMATIK-STATISTIK, 7. JANUAR 006, KL 9-13 [HER STARTER STATISTIKDELEN] Opgave 3 (5%): Bologsk baggrundsnformaton tl forståelse af opgaven: Dr producerer kke altd lge meget afkom af hvert køn.

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen Kvanttatve metoder Instrumentvarabel estmaton 4. maj 007 F5: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler En regressor,

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvanttatve metoder 2 Instrumentvarabel estmaton 14. maj 2007 KM2: F25 1 y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen F25: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler

Læs mere

Ikke-parametriske tests af forskel i central tendens. Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala

Ikke-parametriske tests af forskel i central tendens. Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala Statstk for bologer 5-6, moul 7: Tests for forskel cetral tees for ata på oral- og tervalskala Ikke-parametrske tests af forskel cetral tees Vægter forskel mea ve hjælp af ragtal Data skal være på mst

Læs mere

FRIE ABELSKE GRUPPER. Hvis X er delmængde af en abelsk gruppe, har vi idet vi som sædvanligt i en abelsk gruppe bruger additiv notation at:

FRIE ABELSKE GRUPPER. Hvis X er delmængde af en abelsk gruppe, har vi idet vi som sædvanligt i en abelsk gruppe bruger additiv notation at: FRIE ABELSKE GRUPPER. IAN KIMING Hvs X er delmængde af en abelsk gruppe, har v det v som sædvanlgt en abelsk gruppe bruger addtv notaton at: X = {k 1 x 1 +... + k t x t k Z, x X} (jfr. tdlgere sætnng angående

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvanttatve metoder Den smple regressonsmodel 9. februar 007 Regressonsmodel med en forklarende varabel (W..3-5) Varansanalyse og goodness of ft Enheder og funktonel form af varabler modellen

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Kombinatorik. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Kombinationer 2

Kombinatorik. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Kombinationer 2 Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger I otere troduceres helt grudlæggede måder

Læs mere