Pseudospektrer og normvurderinger
|
|
- Dorte Kronborg
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 master 2009/6/3 0:27 page I # Pseudospektrer og normvurderinger af Lars V. Iversen Dan V. Jensen Ove L. Sandau AALBORG UNIVERSITET d Institut for Matematiske Fag Gruppe G3-09 MAT6. februar 5. juni 2009
2 master 2009/6/3 0:27 page II #2
3 master 2009/6/3 0:27 page III #3 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G Titel: Pseudospektrer og normvurderinger Semester: MAT6 Projektperiode:. feb. 5. jun Projektgruppe: G3-09 Gruppemedlemmer: Lars V. Iversen Dan V. Jensen Ove L. Sandau Vejleder: Arne Jensen Oplagstal: 6 Sidetal: 2 Synopsis: For en begrænset operator A har udviklingen af p n (A), hvor p n er et polynomium af grad n, stor interesse både for et givet n og asymptotisk. I denne forbindelse bevises bl.a. Kreiss' matrixsætning og nogle forskellige generaliseringer heraf. Denne del af rapportens resultater tager udgangspunkt i kompleks funktionsteori, og Dunfordkalkulen bliver en vigtig metode til at forbinde kompleks funktionsteori med Hilbertrum. Udvidelsen af Kreiss' matrixsætning kræver kendskab til Faberpolynomier, som er tæt forbundet med Riemanns afbildningssætning. I den forbindelse bevises en række resultater fra kompleks funktionsteori. Det har stor interesse at bestemme pseudospektrer for matricer, da der er sammenhæng mellem pseudospektrer og operatorers og dynamiske systemers opførsel. Et eksempel på en operator er dierentialoperatoren, der kan diskretiseres ved hjælp af spektrale dierentiationsmetoder. Som et eksempel herpå betragtes Chebyshevdierentiationsmatricer. Dele af teorien bag beskrives, og forskellige egenskaber vises. Endvidere beskrives implementering heraf i Maple og matlab, og pseudospektrerne betragtes. Desuden gennemgås teori om og eksempler på numerisk bestemmelse af den pseudospektrale abscisse ved hjælp af de såkaldte criss-crossalgoritmer. Disse algoritmer er baseret på egenskaber ved singulære værdier og hamiltoniske matricer. c Gruppe G3-09, forår 2009
4 master 2009/6/3 0:27 page IV #4 Forord Denne rapport er skrevet som speciale ved Aalborg Universitet. Projektet er ment som en udredning og præsentation af generaliseringer af Kreiss' matrixsætning og resultater angående pseudospektrer for begrænsede operatorer på separable Hilbertrum. Alle vektorrum i denne rapport benytter C som skalarlegeme. Rapporten forudsætter kendskab til kompleks funktionsteori og dennes generalisering til Hilbertrum. Kapitel og 2 er skrevet i fællesskab, mens kapitel 3 er skrevet af Dan V. Jensen, kapitel 4 af Lars V. Iversen og kapitel 5 af Ove L. Sandau. Vi gør læseren opmærksom på, at der benyttes to slags henvisninger. Når nummeret er i parentes, som f.eks. (.2), henvises der til det matematiske udtryk med dette nummer, mens f.eks. sætning.2 henviser til en hel sætning med dette nummer. Sidstnævnte henvisning ndes ligeledes til algoritme, denition, gur, korollar og lemma. Kilder anføres med notationen [forfatter(e), udgivelsesår, placering i kilde]. Aalborg, den 5/ Lars V. Iversen Dan V. Jensen Ove L. Sandau IV
5 master 2009/6/3 0:27 page V #5 Abstract Let A be a bounded operator in a Hilbert space. It is of interest to give estimates for f(a), in particular when f is a polynomial. The objective of this report is to give such bounds for f(a) based on pseudospectra and the Kreiss matrix theorem, of which the latter is generalized to bounded operators with spectrum σ(a) in arbitrary compact sets σ(a) Ω C, and to address the question of computation of quantities related to norm bounds, particularly related to pseudospectra. To associate an operator with a continuous function, the Dunford calculus is used, and complex analysis and in particular the Cauchy integral formula will play an important role. In the rst chapter we will present some classical results from complex analysis, e.g. the maximum modulus principle, the open mapping principle and the Riemann mapping theorem. In the second chapter we associate pseudospectra and the Kreiss constant, and through the conformal mapping from the Riemann mapping theorem another denition of the Kreiss constant is presented, and it is shown that the two denitions are equivalent in a sense. The Faber polynomials, too, are related to the Kreiss constant in the sense that they, too, are dened through the conformal mapping from the Riemann mapping theorem. These are dened in the third chapter, and generalizations of the Kreiss matrix theorem to Faber polynomials and polynomials in general are proven. Pseudospectra are particularly useful for non-normal operators. In chapter four a discretization of the dierential operator by Chebyshev dierential methods is considered, and implementation and some properties of the non-normal Chebyshev dierentiation matrix are presented. The last chapter considers computation of the pseudospectral abscissa, which e.g. yields a lower bound for the transient behavior of exp(ta). The criss-cross algorithm is presented, and some properties concerning convergence are proven. V
6 master 2009/6/3 0:27 page VI #6 Indhold Riemanns afbildningssætning. Det udvidede komplekse plan Argument og logaritme Möbiustransformationen Det metriske rum H(G) Riemanns afbildningssætning Kreisskonstanter 3 2. Pseudospektrer og Kreisskonstanten Kreiss' matrixsætning Koebes 4-sætning Ækvivalens mellem Kreisskonstanter Kreiss' matrixsætning Generaliseringer Faberpolynomier Generaliseringer med Faberpolynomier Resultater for endeligdimensionale rum Rational ydre afbildning Chebyshevdierentiation Chebyshevdierentiationsmetoden Chebyshevdierentiationsmatricer Implementering Pseudospektrer Numerisk bestemmelse af pseudospektral abscisse 9 5. Singulære værdier Hamiltoniske matricer Skæringer med pseudospektret Beregning af pseudospektral abscisse Numerisk implementering Perspektivering Litteratur 0 VI
7 master 2009/6/3 0:27 page #7 Kapitel Riemanns afbildningssætning I dette kapitel præsenteres og bevises en række geometrisk funderede resultater fra kompleks funktionsteori samt en række generelle resultater angående holomorfe funktioner. Notationen H(G) henviser til mængden af holomorfe funktioner f : G C, og hvor intet andet nævnes, er G C åben og sammenhængende. Kapitlet er baseret på [Conway, 978] og [Apostol, 974] og tager sigte på at bevise Riemanns afbildningssætning.. Det udvidede komplekse plan Senere i rapporten betragtes komplementærmængden til kompakte mængder i C. Det bliver i den forbindelse naturligt at betragte som et punkt. Inden for de reelle tal er det praktisk at udvide med både ±, da de reelle tal har en ordning, men da de komplekse tal ikke har en sådan ordning, udvides blot med. Det ønskes at tillade, at komplekse funktioner antager værdien. I det følgende udvides det metriske rum C derfor til et metrisk rum C = C { }, så konvergens i C er ækvivalent med konvergens i C. Således vil blandt andet kontinuitet og analyticitet nedarves. Det vil ofte være praktisk at betragte C som enhedskuglen S = {(x, x 2, x 3 ) R 3 : x 2 + x x 2 3 = }, og vi vil benytte den metrik, der følger deraf. Hvordan dette gøres, konkretiseres i det følgende. Afbildningen z = a + ib (a, b, 0) R 3 er en isometri mellem C og x x 2 -planet. Det vises først, at der eksisterer en homeomor mellem x x 2 -planet og S \ {N}, hvor N = (0, 0, ). For ethvert punkt ζ = (a, b, 0) i x x 2 -planet eksisterer en entydigt bestemt linje gennem ζ og N, der kan parametriseres ved t (( t)a, ( t)b, t) for t R. (.) Denne skærer S for t =, og det vises nu ved indsættelse i kuglens ligning, at der eksisterer ét andet skæringspunkt. For t er følgende udsagn ækvivalente: Ved indsættelse i (.) fås x = = ( t) 2 a 2 + ( t) 2 b 2 + t 2 t 2 = ( t) 2 z 2 + t = ( t) z 2 t = z 2 z 2 +. (.2) 2a z 2 +, x 2 = 2b z 2 + og x 3 = z 2 z 2 +,
8 master 2009/6/3 0:27 page 2 #8. RIEMANNS AFBILDNINGSSÆTNING eller ækvivalent x = z + z z 2 +, x 2 = i(z z) z 2 + og x 3 = z 2 z 2 +. (.3) Omvendt, hvis ζ = (x, x 2, x 3 ) er kendt, og z skal bestemmes, fås ved indsættelse af t = x 3 i (.) a = x x 3 og b = x 2 x 3, da x 3 = t. Afbildningen mellem z og ζ = (x, x 2, x 3 ) er dermed en bijektion, og da den er kontinuert, er det en homeomor, og dermed er C og S \ {N} homeomorfe ved afbildningen givet ved ( ) z + z i(z z) z z 2, + z 2 +, z 2 z 2. + Hvis z går mod, fås ifølge (.2), at t går mod, og dermed går ζ = (x, x 2, x 3 ) mod N. Derfor lader vi N svare til punktet i C. Betragt metrikken på S induceret af den sædvanlige metrik på R 3. Da gælder for z ζ = (x, x 2, x 3 ) og z ζ = (x, x 2, x 3) på S, at d(ζ, ζ ) = (x x )2 + (x 2 x 2 )2 + (x 3 x 3 )2 = 2 2(x x + x 2x 2 + x 3x 3 ), hvilket ved hjælp af (.3) giver d(ζ, ζ ) = 2 z z ( z 2 + )( z 2 + ) for z, z C. Med ovenstående som motivation benyttes d(ζ, ζ ) som metrik på C med nedenstående grænsetilfælde. Sætning. Funktionen d: C C [0, ) givet ved er en metrik på C. 2 z z ( z 2 +)( z 2 +) for z, z C 2 for z = d(z, z ) = z for z = z for z = z = Det bliver nødvendigt at betragte mængder, specielt værdi- og denitionsmængder for funktioner, som delmængder af både C og C. Derfor får vi brug for følgende sætning. En følge {z n } i C siges at konvergere mod, hvis der for alle ε > 0 eksisterer et N N, så n N medfører z n > ε. Sætning.2 En følge er konvergent i C (evt. mod ), hvis og kun hvis følgen er konvergent med samme grænse i C. 2
9 master 2009/6/3 0:27 page 3 #9.. DET UDVIDEDE KOMPLEKSE PLAN Antag, at der for alle ε > 0 eksisterer et N N, så n N medfører z n a < ε 2, hvor a, z n C. Bemærk, at ( z n 2 + )( a 2 + ). Der gælder dermed for n N, at d(z n, a) = 2 z n a ( zn 2 + )( a 2 + ) < 2 ε 2 = ε. Hvis {z n } konvergerer mod i C, eksisterer et N N, så n N medfører z n > 2ε. Da fås 2 d(z n, ) = zn 2 + < 2 = ε. 4ε 2 Antag, at {z n } er konvergent mod a i C. Det vises, at følgen er Cauchy i C. At følgen så vil konvergere mod samme grænse i C, følger af første del af 2 beviset. Da a, eksisterer et δ > 0, så δ for store n, og dermed også 4 δ z 2 n 2. Da fås og deraf følger zn 2 + ( ) 2 4 ( zn 2 + )( z m 2 + ) δ 2 = 4 δ 2, z n z m 4 z n z m δ 2 ( z n 2 + )( z m 2 + ) = 2 δ 2 d(z n, z m ). Givet et δ > 0 eksisterer der et N N, så n, m N, hvilket medfører, at d(z n, z m ) < δ 2 ε 2, hvormed følgen konvergerer i C. Hvis z 2 n i C, gælder < ε, og zn 2 + dermed 4ε 2 < z n 2. For små ε gælder < 3ε 2, og dermed ε < z n, hvormed z n i C. Af ovenstående følger, at enhver kontinuert funktion ind i C er kontinuert, hvis og kun hvis den er kontinuert som funktion ind i C, hvis funktionen ikke antager værdien. Denition.3 (Funktioner og ) En åben mængde A C, hvor {z C : z > r} A for et r > 0, kaldes en åben omegn af. Hvis f er en kompleks funktion deneret på en åben omegn af, og grænseværdien a = lim z f(z) eksisterer, deneres f( ) = a. Tilsvarende, hvis lim z a f(z) =, deneres f(a) =. Funktionen f(z) siges at være holomorf på en åben omegn af, hvis og kun hvis der for w = z gælder, at f(w) er holomorf på en åben omegn af 0. I bekræftende fald deneres d dz f(z) z= = d dw f(w) w=0. Hvis funktionen f(z ) er holomorf på en åben omegn af 0, har den dermed en potensrække f(z ) = n 0 a nz n, og dermed er f(z) = n 0 a nz n. Hvis f(z ) har en pol i 0 af orden m, siges f(z) at have en pol i af orden m, og der må gælde f( ) =. Funktionen z m f(z ) er så holomorf på en åben omegn af 0, og der gælder dermed f(z) = a m z m + + a 0 + n= a nz n efter en omnummerering af konstanterne. Følgende denition kan udvides til C. Denition.4 (Simpel kurve) En kontinuert funktion γ : [a, b] X, hvor X er et metrisk rum, og hvor γ : [a, b) 3
10 master 2009/6/3 0:27 page 4 #0. RIEMANNS AFBILDNINGSSÆTNING X er injektiv, kaldes en simpel kurve. Hvis γ(a) = γ(b), kaldes kurven lukket. Ved γ forstås kurvens billede γ = {γ(t) : t [a, b]}. Det antages endvidere, at simple kurver i C er kontinuerte og stykkevis glatte. Følgende denition gælder også tilsvarende i C. Denition.5 (Enkeltsammenhængende) Lad G X, hvor X er et metrisk rum, og γ : [a, b] G og γ 2 : [a, b] G være simple kurver, og enten a) γ (a) = γ 2 (a) og γ (b) = γ 2 (b) eller b) γ (a) = γ (b) og γ 2 (a) = γ 2 (b). Kurverne γ og γ 2 siges at være homotope i G, hvis der eksisterer en kontinuert funktion h: [0, ] [a, b] G, så. h(0, t) = γ (t) for t [a, b] 2. h(, t) = γ 2 (t) for t [a, b] og i tilfælde a): 3.a) h(s, a) = γ (a) og h(s, b) = γ (b) for s [0, ] og i tilfælde b): 3.b) h(s, a) = h(s, b) for s [0, ]. Hvis G er åben og sammenhængende, og enhver simpel, lukket kurve γ i G er homotop med et punkt ξ G, dvs. homotop med kurven t ξ, kaldes G enkeltsammenhængende. Det vises for god ordens skyld, at der eksisterer enkeltsammenhængende områder. Sætning.6 En åben, stjerneformet mængde G C er enkeltsammenhængende. Da G er stjerneformet, eksisterer der et ξ G, så linjestykket mellem ξ og z ligger i G for alle z G. Lad γ være en simpel, lukket kurve i G. Da ligger linjestykket mellem ξ og γ(t) i G for alle t, og funktionen h(s, t) = ( s)γ(t) + sξ opfylder det ønskede. Sætning.7 Lad f : G G, hvor både G C og G C er åbne og sammenhængende, være bijektiv og holomorf. Da er G enkeltsammenhængende, hvis og kun hvis G er enkeltsammenhængende. Antag, at G er enkeltsammenhængende, og lad γ : [a, b] G være en simpel, lukket kurve. Da er f γ = γ en simpel, lukket kurve i G, og der eksisterer dermed en funktion h, der opfylder kravene i denition.5, så γ er homotop med γ(a) i G. Således er γ homotop med γ(a) i G ved funktionen f h. Antag omvendt, at G er enkeltsammenhængende, og γ er en simpel, lukket kurve i G. Da er f γ = γ en simpel, lukket kurve i G, hvoraf resultatet følger analogt. 4
11 master 2009/6/3 0:27 page 5 #.2 Argument og logaritme.2. ARGUMENT OG LOGARITME Gennem rapporten benyttes både argument og logaritme, der som udgangspunkt ikke er entydigt bestemte for komplekse tal. I dette afsnit deneres disse størrelser stringent. Bemærk, at det er mængder, der deneres. Denition.8 (Argument og logaritme) Lad z C \ {0}. Der deneres følgende mængder: arg z = {v R : z = z e iv } log z = {w C : z = e w }. Mængden arg z kaldes argumentet til z, og mængden log z kaldes logaritmen til z. Det ses ved at vise inklusion begge veje, at der gælder mængderelationen log z = ln z + i arg z. Her betegner ln den sædvanlige reelle naturlige logaritmefunktion. Denition.9 (Kontinuert determination) Lad G C\{0} være en åben og sammenhængende mængde. En funktion ϑ: G R kaldes en kontinuert determination af argumentet i G, hvis ϑ er kontinuert, og der for alle z G gælder, at z = z e iϑ(z). Tilsvarende kaldes en funktion l : G C en kontinuert determination af logaritmen i G, hvis l er kontinuert, og der for alle z G gælder, at z = e l(z). Det er en umiddelbar konsekvens af denitionerne, at hvis ϑ er en kontinuert determination af argumentet i G, så er ln z + iϑ(z) en kontinuert determination af logaritmen i G. Omvendt, hvis l er en kontinuert determination af logaritmen i G, er Im l(z) en kontinuert determination af argumentet i G. Sætning.0 Lad G C \ {0} være en åben og sammenhængende mængde. Hvis en funktion ϑ: G R er en kontinuert determination af argumentet i G, så er ϑ = ϑ + 2kπ en kontinuert determination af argumentet i G for ethvert k Z. Hvis både ϑ og ϑ er kontinuerte determinationer af argumentet i G, så eksisterer der et k Z, så ϑ = ϑ + 2kπ. Første del er triviel. Antag nu, at ϑ og ϑ er kontinuerte determinationer af argumentet i G, og betragt funktionen Da gælder h(z) = ϑ(z) ϑ(z). 2π e h(z)2πi = eiϑ(z) e = i ϑ(z) for alle z G. Det følger heraf, at h(z) er et heltal for alle z G. Da h(z) er kontinuert, og G er sammenhængende, er h(z) konstant i G. 5
12 master 2009/6/3 0:27 page 6 #2. RIEMANNS AFBILDNINGSSÆTNING Sætning. Lad G C \ {0} være en åben og sammenhængende mængde. Hvis en funktion l : G C er en kontinuert determination af logaritmen i G, så er l = l + 2kiπ en kontinuert determination af logaritmen i G for ethvert k Z. Hvis både l og l er kontinuerte determinationer af logaritmen i G, så eksisterer der et k Z, så l = l + 2kiπ. Dette følger af sætning.0 og bemærkningen før denne. Sætning.2 Lad G og Ω være åbne delmængder af C. Antag, at f og g er kontinuerte på hhv. G og Ω, at f(g) Ω, og at g(f(z)) = z for alle z G. Hvis g er dierentiabel, og g (z) 0, er f dierentiabel, og f (z) = Altså, hvis g er analytisk, er f analytisk. g (f(z)). Lad a G være fast, og lad h C, hvor h 0, og a+h G. Bemærk, at a = g(f(a)) og a + h = g(f(a + h)) medfører, at f(a) f(a + h). Derudover er = a + h a g(f(a + h)) g(f(a)) = h h g(f(a + h)) g(f(a)) f(a + h) f(a) =. f(a + h) f(a) h På grund af ligheden eksisterer der en grænseværdi for h 0 på højresiden, og da lim h 0 (f(a + h) f(a)) = 0, er Da g (f(a)) 0 per antagelse, eksisterer g(f(a + h)) g(f(a)) lim = g (f(a)). h 0 f(a + h) f(a) f f(a + h) f(a) (a) = lim, h 0 h og vi får, at = g (f(a))f (a). Da G er åben, er dette uafhængigt af valget af a G, da et h som det anvendte altid vil eksistere. Dermed er f (z) = g (f(z)) for alle z G. Hvis g er analytisk, er g kontinuert, og f (z) vil derfor altid eksistere. Dermed er f holomorf og dermed analytisk. Korollar.3 Lad G C \ {0} være åben og sammenhængende. Enhver kontinuert determination af logaritmen i G er analytisk, og dens aedede er z. Lad g være eksponentialfunktionen, og f være en kontinuert determination af logaritmen. Da g er analytisk, er f analytisk, og f (z) = d df(z) exp(f(z)) = z. 6
13 master 2009/6/3 0:27 page 7 #3.2. ARGUMENT OG LOGARITME Denition.4 (Hoveddetermination) For G = C \ {z C : Re z 0, Im z = 0} betegnes med Arg z den kontinuerte determination af argumentet, der ligger i intervallet ( π, π). Denne determination kaldes hoveddeterminationen af argumentet. Tilsvarende er hoveddeterminationen af logaritmen, Log z, givet ved Log z = ln z + i Arg z. Det ses, at Arg z kan bestemmes ved arccot ( ) Re z Im z for Im z > 0 Arg z = 0 ( ) for Im z = 0 arccot for Im z < 0. Re z Im z (.4) Det bemærkes også, at der til enhver cirkelskive, der ikke indeholder nul, ndes en determination af argumentet, da cirklen enten er indeholdt i G = C \ {z C : Re z 0, Im z = 0} eller kan roteres π radianer omkring origo, hvorefter Arg z kan bestemmes og π lægges til. Denition.5 (Determination langs kurve) Lad γ : [a, b] C være en kurve, der ikke går gennem nul. En kontinuert funktion ϑ: [a, b] R kaldes en kontinuert determination af argumentet langs γ, hvis der gælder, at for alle t [a, b]. γ(t) = γ(t) e iϑ(t) Man kan ligeledes indføre begrebet en kontinuert logaritmefunktion langs en kurve. Sætning.6 Lad γ : [a, b] C være en kurve, der ikke går gennem nul. Så gælder følgende: (i) Der eksisterer en kontinuert determination af argumentet langs γ. (ii) Hvis en funktion ϑ: [a, b] C er en kontinuert determination af argumentet langs γ, så er ϑ = ϑ + 2kπ en kontinuert determination af argumentet langs γ for ethvert k Z. (iii) Hvis både ϑ og ϑ er kontinuerte determinationer af argumentet langs γ, så eksisterer der et k Z, så ϑ = ϑ + 2kiπ. Lad γ : [a, b] C være en kurve, så 0 γ. Da eksisterer der et ρ > 0, så dist(0, γ ) = ρ. Da [a, b] er kompakt, er γ ligeligt kontinuert på intervallet, og der eksisterer dermed et δ > 0, så der for t, t 2 [a, b] gælder, at t t 2 < δ medfører, at γ(t ) γ(t 2 ) < ρ. Bemærk, at der for alle t [a, b] gælder, at 0 B ρ (γ(t)), og dermed eksisterer der en kontinuert determination af argumentet i B ρ (γ(t)). Betragt nu en inddeling a = τ 0 < τ < < τ n = b, så τ i τ i+ < δ. Lad ϑ i betegne en kontinuert determination af argumentet i B ρ (γ(τ i )). Da B ρ (γ(τ i )) B ρ (γ(τ i+ )), og ϑ i og ϑ i+ begge er kontinuerte determinationer af argumentet på mængden, eksisterer der et k i+ Z, så ϑ i = ϑ i+ + 2k i+ π, hvor k 0 sættes lig med nul. Funktionen bestemt 7
14 master 2009/6/3 0:27 page 8 #4. RIEMANNS AFBILDNINGSSÆTNING γ 2(t 2 ) γ (t ) γ 2 z 0 γ Figur.: Illustration af vinkel mellem kurver. ved ϑ(t) = ϑ i (t) + i 2k j π for t [τ i, τ i+ ) j=0 er da en kontinuert determination af argumentet langs γ. Anden og tredje del vises som i sætning.0. Bemærk, at da en kontinuert determination af argumentet er en funktion fra G C til R, kan den ikke være holomorf. Lad γ : [a, b] C\{0} være en simpel, glat kurve, hvor γ(t) = γ (t) + iγ 2 (t), så γ (t), γ 2 (t) R for alle t. Da giver (.4) en kontinuert determination af argumentet langs γ. Endvidere er funktionen t Arg(γ(t)) en reel dierentiabel funktion med den aedede d dt arccot ( γ (t) γ 2 (t) ) = γ 2(t)γ (t) γ (t)γ 2 (t) γ (t) 2 + γ 2 (t) 2..3 Möbiustransformationen Möbiustransformationer er en klasse af funktioner med klare geometriske fortolkninger, som sammensætninger af translationer, inversioner, skaleringer og rotationer. Derudover afbilder Möbiustransformationer cirkler over på cirkler, og derudfra kan egenskaber som orientering og symmetri deneres. Denition.7 (Konform afbildning) En analytisk funktion f : G C siges at være konform, hvis der for ethvert z 0 G og alle simple kurver γ : [a, b] G og γ 2 : [c, d] G, der opfylder γ (t ) = γ 2 (t 2 ) = z 0 γ (t ) 0 og γ 2(t 2 ) 0 arg γ (t ) arg γ 2(t 2 ), gælder, at f er vinkelbevarende. Se gur.. Der skal altså gælde arg γ (t ) arg γ 2(t 2 ) = arg f (γ (t ))γ (t ) arg f (γ 2 (t 2 ))γ 2(t 2 ). Det ses af denitionen, at der skal gælde f (z 0 ) 0. Følgende sætning viser, at dette er en tilstrækkelig betingelse. Sætning.8 En funktion f H(G) er konform, hvis f (z) 0 for alle z i G. 8
15 master 2009/6/3 0:27 page 9 #5.3. MÖBIUSTRANSFORMATIONEN f Figur.2: Et eksempel på en konform afbildning er f(z) = e z. Rette linjer med konstant realeller imaginærdel bliver afbildet over på hhv. cirkler og halvlinjer, men vinklen bevares. Lad γ og γ 2 være givet som i denition.7, og antag, at f (z 0 ) 0. Da gælder og arg f (γ (t ))γ (t ) = arg f (z 0 ) + arg γ (t ) arg f (γ 2 (t 2 ))γ 2(t 2 ) = arg f (z 0 ) + arg γ 2(t 2 ), da γ (t ) = γ 2 (t 2 ) = z 0, γ (t ) 0, og γ 2(t 2 ) 0. Således fås arg f (γ (t ))γ (t ) arg f (γ 2 (t 2 ))γ 2(t 2 ) = arg γ (t ) arg γ 2(t 2 ), hvormed f er konform. Et eksempel på en konform afbildning er f(z) = e z. Som det ses på gur.2, bliver rette linjer med konstant real- eller imaginærdel afbildet over på hhv. cirkler og halvlinjer, men vinklen bevares. Med ovenstående sætning som motivation siges en funktion f : G C, hvor G C, at være konform, hvis f (z) 0 for alle z G. Det ses umiddelbart, at f(z) = z er konform på en åben omegn af, da der for w = z gælder, at d dw f(w) =. Lemma.9 Sammensætninger af konforme afbildninger er konforme. Lad f : G G 2 og g : G 2 C være konforme, hvor G, G 2 C. Da gælder f (z) 0 og g (z) 0 for alle z, og dermed er (f g) (z) = f (g(z))g (z) 0. Denition.20 (Möbiustransformation) En afbildning S : C C på formen S(z) = az + b cz + d, hvor a, b, c, d C, og ad bc 0, kaldes en Möbiustransformation. Der gælder S( ) = a d c og S( c ) =. De sidste udsagn kræver et argument. Antag først, at c 0. Det ses, at S(z) for z d c, og tilsvarende lim z S(z) = a c. Hvis c = 0, fås S( ) =, hvilket betragtes som et grænsetilfælde af ovenstående. Følgende sætning eftervises nemt. 9
16 master 2009/6/3 0:27 page 0 #6. RIEMANNS AFBILDNINGSSÆTNING Sætning.2 Möbiustransformationen er en bijektion på C med invers S (z) = dz b cz + a, der også er en Möbiustransformation. Hvis T er en Möbiustransformation, er S T det også. For funktionerne f (z) = z + d f 2 (z) = c z ad bc f 3 (z) = c 2 z f 4 (z) = z + a c gælder S = f 4 f 3 f 2 f. Altså er Möbiustransformationer sammensætninger af translationer, inversioner, skaleringer og rotationer. Sætning.22 Möbiustransformationen er konform på C. Antag først, at c 0. Det ses, at Möbiustransformationen S(z) = az+b cz+d for z d c og z, og der gælder S (z) = ad bc (cz + d) 2. er holomorf For z d c går S (z) mod, og dermed er S ( d c ) = ifølge denition.3. For w = z gælder S(w) = bw+a d bc ad dw+c, og dermed dw S(0) = c. 2 Hvis c = 0, gælder S(z) = a d z + b d, og dermed fås S (w) = a dw, og dermed for 2 w 0, at S ( ) =. Således er S konform ifølge sætning.8. Sætning.23 Lad a, b, c C være forskellige, og S(a) = α, S(b) = β og S(c) = γ. Da er S den eneste Möbiustransformation med denne egenskab. Bemærk, at hvis S ikke er identitetsafbildningen, har S højst to kspunkter, da z = az+b cz+d hvis og kun hvis cz2 + (d a)z b = 0. Antag, at T også opfylder kravene til S, da har sammensætningen T S både a, b og c som kspunkter, og dermed er S = T. Denition.24 (Dobbeltforhold) Lad z 2, z 3 og z 4 være forskellige punkter i C, og dener S : C C ved S(z) = z z 3 z z 4 z 2 z 4 z 2 z 3 S(z) = z z 3 z z 4 S(z) = z 2 z 4 z z 4 hvis z 2, z 3, z 4 C hvis z 2 = hvis z 3 = S(z) = z z 3 z 2 z 3 hvis z 4 =. Da er S den entydigt bestemte Möbiustransformation, så S(z 2 ) =, S(z 3 ) = 0, og S(z 4 ) =, og dobbeltforholdet deneres som (z, z 2, z 3, z 4 ) = S(z ). 0
17 master 2009/6/3 0:27 page #7.3. MÖBIUSTRANSFORMATIONEN Sætning.25 Dobbeltforholdet er invariant under Möbiustransformation. Det vil sige, at for enhver Möbiustransformation T. (z, z 2, z 3, z 4 ) = (T z, T z 2, T z 3, T z 4 ) Lad S(z) = (z, z 2, z 3, z 4 ), og dener M = S T. Da gælder M(T z 2 ) =, M(T z 3 ) = 0 og M(T z 4 ) =, og dermed M(z) = (z, T z 2, T z 3, T z 4 ) for alle z C. Vælg nu z = T z, hvilket giver det ønskede. Sætning.26 Lad z 2, z 3, z 4 C være forskellige, og ω 2, ω 3, ω 4 C være forskellige. Da eksisterer en entydigt bestemt Möbiustransformation S, så S(z 2 ) = ω 2, S(z 3 ) = ω 3, og S(z 4 ) = ω 4. Dener T (z) = (z, z 2, z 3, z 4 ) og M(z) = (z, ω 2, ω 3, ω 4 ). Da har S = M T de ønskede egenskaber. Hvis R også opfylder egenskaberne, har S R tre kspunkter, hvormed S = R. Bemærk, at i C betragtes linjer som cirkler gennem. Sætning.27 Lad z, z 2, z 3 og z 4 være forskellige punkter i C. Da er (z, z 2, z 3, z 4 ) reel, hvis og kun hvis z, z 2, z 3 og z 4 ligger på en cirkel. Først vises, at for en vilkårlig Möbiustransformation S er billedet af den reelle akse en cirkel i C. Antag, at z R, og S (z) = ω, så hverken z eller ω er. Da gælder S(ω) = S(ω), det vil sige og dermed aω + b ā ω + b = cω + d c ω + d, (a c āc) ω 2 + (a d bc)ω + (b c ād) ω + (b d bd) = 0. Bemærk, at hvis z =, gælder ω = S ( ) = d c, som også opfylder ovenstående ligning. Antag først, at a c = āc. Da gælder hvoraf det fås, at 0 = (a d bc)ω (ād b c) ω + (b d bd) = (a d bc)ω + b d ((a d bc)ω + b d), Im((a d bc)ω + b d) = 0, og dermed ligger S (R { }) på en linje. Under antagelse af, at a c = āc, og at ω, er ovenstående udsagn ækvivalente, og dermed udgør S (R { }) hele linjen. Bemærk, at der eksisterer et z R { }, så S (z ) =, hvis og kun hvis z = S( ) = a c R, hvilket er ækvivalent med a c = āc. Et sådant z kan altså kun eksistere, hvis mængden S ((R { }) \ {z }) udgør en linje, og dermed er S(R { }) en cirkel i C.
18 master 2009/6/3 0:27 page 2 #8. RIEMANNS AFBILDNINGSSÆTNING Hvis a c āc, deneres γ = b c dā a c āc bd b d og δ = a c āc, så der gælder ω 2 + γω + γ ω δ = 0, og dermed fås ved simple udregninger ω + γ = γ 2 + δ = ad bc a c āc > 0. Da γ 2 + δ er uafhængig af z, svarer dette til, at S (R { }) ligger på en cirkel. Da ovenstående udsagn er ækvivalente under antagelse af, at a c āc, udgør S (R { }) hele cirklen. Antag nu, at (z, z 2, z 3, z 4 ) R { }. Specielt gælder således for S(z ) = (z, z 2, z 3, z 4 ), hvor z, z 2, z 3, z 4 S (R { }), at z, z 2, z 3 og z 4 ligger på en cirkel. Antag nu, at z, z 2, z 3 og z 4 ligger på en cirkel. Da z 2, z 3 og z 4 ligger i S (R { }), og da dette er en cirkel, må også z ligge på denne cirkel, og dermed (z, z 2, z 3, z 4 ) R { }. Sætning.28 En Möbiustransformation afbilder cirkler over på cirkler. Lad Γ C være en cirkel, og z 2, z 3, z 4 Γ være forskellige. For ω i = S(z i ) bestemmer ω 2, ω 3 og ω 4 en cirkel Γ. Der gælder ifølge sætning.25 (z, z 2, z 3, z 4 ) = (S(z), ω 2, ω 3, ω 4 ), så z Γ, hvis og kun hvis S(z) Γ ifølge sætning.27, og dermed S(Γ) = Γ. Sætning.29 Lad Γ og Γ være cirkler i C. Da eksisterer en Möbiustransformation S, så S(Γ) = Γ. Hvis der for tre forskellige punkter z 2, z 3, z 4 Γ fastsættes S(z i ) = ω i, hvor ω i Γ, så er S entydigt bestemt. Lad T (z) = (z, z 2, z 3, z 4 ), og R(z) = (z, ω 2, ω 3, ω 4 ), og dener S = R T. Da S(Γ) er en cirkel, og da S(z i ) = ω i, må der gælde S(Γ) = Γ. Antag, at M også opfylder kravene til S. Da gælder M S(z i ) = z i for i {2, 3, 4}, hvormed M = S. Orienteringsprincippet Det er vist i det foregående, at Möbiustransformationen afbilder cirkler over på cirkler. Det vises nu, at området på den ene side af cirklen bliver på samme side i en passende forstand. Denition.30 (Symmetri) Givet en cirkel Γ C og tre forskellige punkter z 2, z 3, z 4 Γ siges to punkter z og z at være symmetriske mht. Γ, hvis (z, z 2, z 3, z 4 ) = (z, z 2, z 3, z 4 ). Da Möbiustransformationen er en bijektion på C, vil z eksistere for ethvert z. Bemærk, at z er symmetrisk med sig selv, hvis og kun hvis z Γ ifølge sætning.27. Efter følgende sætning vises, at denitionen er uafhængig af z 2, z 3 og z 4. 2
19 master 2009/6/3 0:27 page 3 #9.3. MÖBIUSTRANSFORMATIONEN z Γ z Figur.3: Illustration af symmetriske punkter mht. linjen Γ. Sætning.3 (Symmetriprincippet) Lad Γ og Γ 2 være cirkler i C, så S(Γ ) = Γ 2. Hvis z og z er symmetriske mht. Γ, er S(z) og S(z ) symmetriske mht. Γ 2. For z 2, z 3, z 4 Γ gælder (S(z), S(z 2 ), S(z 3 ), S(z 4 )) = (z, z 2, z 3, z 4 ) = (z, z 2, z 3, z 4 ) hvormed S(z) og S(z ) er symmetriske mht. Γ 2. = (S(z ), S(z 2 ), S(z 3 ), S(z 4 )), Korollar.32 Hvis Γ C er en cirkel, og (z, z 2, z 3, z 4 ) = (z, z 2, z 3, z 4 ) for z 2, z 3, z 4 Γ, gælder (z, ζ 2, ζ 3, ζ 4 ) = (z, ζ 2, ζ 3, ζ 4 ) for vilkårlige punkter ζ 2, ζ 3, ζ 4 Γ. Det vises, at (z, z 2, z 3, z 4 ) = (z, z 2, z 3, z 4 ) medfører (z, ζ 2, ζ 3, ζ 4 ) = (z, ζ 2, ζ 3, ζ 4 ). Lad S(Γ) = Γ, så S(ζ i ) = z i. Da gælder (z, ζ 2, ζ 3, ζ 4 ) = (S(z), z 2, z 3, z 4 ) = (S(z ), z 2, z 3, z 4 ) = (z, ζ 2, ζ 3, ζ 4 ). Det vises nu, at denitionen stemmer overens med, hvad der normalt forstås ved symmetri. Lad Γ være en linje i C, og z og z være symmetriske mht. Γ. Bemærk, at z = z, hvis og kun hvis z Γ. Hvis z 2, z 3 og z 4 vælges på Γ, så z 4 =, fås z z 3 z 2 z 3 = z z 3 z 2 z 3, og dermed z z 3 = z z 3. Da z 3 kan vælges vilkårligt på linjen, har z og z samme afstand til ethvert punkt på linjen, hvormed punkterne må ligge som på gur.3. Lad nu Γ være en cirkel, Γ = B R (a), R (0, ). Ved hjælp af sætning.25 fås (z, z 2, z 3, z 4 ) = (z, z 2, z 3, z 4 ) = (z a, z 2 a, z 3 a, z 4 a) ( R 2 = z ā, z 2 a, R 2 z 3 a, R 2 ) z 4 a ( ) R 2 = z ā + a, z 2, z 3, z 4, (.5) 3
20 master 2009/6/3 0:27 page 4 #20. RIEMANNS AFBILDNINGSSÆTNING Γ a z z 2 z 2 z Figur.4: Illustration af symmetriske punkter mht. cirklen Γ. hvor (.5) følger af denition.24. Således gælder z = R2 z ā + a. Dermed må der gælde z a z a = R 2, så hvis z ligger inden for cirklen, må z ligge uden for cirklen, og jo tættere z er på a, desto længere må z være fra cirklen. Tilsvarende gælder z = a + R2 z a (z a), så z ligger på halvlinjen fra a gennem z. Dette er 2 illustreret på gur.4. Denition.33 (Orientering) Givet en cirkel Γ C kaldes en tripel (z, z 2, z 3 ) af forskellige punkter i Γ en orientering på Γ. Lad z, z 2 og z 3 være tre forskellige punkter i R. For T (z) = (z, z, z 2, z 3 ) = az+b cz+d kan a, b, c og d vælges reelle ifølge denition.24. Da gælder (z, z, z 2, z 3 ) = az + b cz + d = az + b (c z + d) cz + d 2 = cz + d 2 (ac z 2 + adz + bc z + bd) og dermed Im(z, z, z 2, z 3 ) = ad bc cz+d 2 Im z. Tallene z, z 2 og z 3 opfylder (z 2 z )(z 3 z 2 )(z 3 z ) > 0, hvis og kun hvis en af følgende gælder: z < z 2 < z 3 z 3 < z < z 2 z 2 < z 3 < z. Det vil sige, at hvis den reelle akse betragtes som en cirkel i C, skal punkterne ligge i rækkefølge. Ifølge denition.24 kan a, b, c og d vælges, så ad bc = (z z 3 )z 3 (z 2 z ) z 2 (z 3 z )(z z 2 ) = (z 2 z )(z 3 z 2 )(z 3 z ), og dermed ligger z til venstre for den reelle tallinje, hvis Im(z, z, z 2, z 3 ) < 0, og z, z 2 og z 3 ligger i den naturlige rækkefølge. Således deneres den venstre side af en cirkel Γ C som {z : Im(z, z, z 2, z 3 ) < 0}, og tilsvarende deneres den højre side som {z : Im(z, z, z 2, z 3 ) > 0}. Bemærk, at et punkt ligger hverken på venstre eller højre side, hvis og kun hvis punktet ligger i Γ. 4
21 master 2009/6/3 0:27 page 5 #2.4. DET METRISKE RUM H(G) Sætning.34 (Orienteringsprincippet) Lad Γ og Γ 2 være cirkler i C, så S(Γ ) = Γ 2, og lad (z, z 2, z 3 ) være en orientering på Γ. Da vil den højre og den venstre side af Γ mht. (z, z 2, z 3 ) blive afbildet over på hhv. den højre og den venstre side af Γ 2 mht. orienteringen (S(z ), S(z 2 ), S(z 3 )). Hvis z ligger på venstre side, ligger z på højre side. Da (z, z, z 2, z 3 ) = (S(z), S(z ), S(z 2 ), S(z 3 )), fås det ønskede. Betragt nu enhedscirklen B med orientering ( i,, i), hvilket intuitivt svarer til positiv omløbsretning. Da gælder der, at (z, i,, i) = S(z) = z 2i z i i = (z )( z+i)(+i) z i. Det kan således afgøres, om z = a + ib ligger på højre eller 2 venstre side ved at bestemme fortegnet for imaginærdelen af tælleren. Der gælder (a + ib )(a ib + i)( + i) = a 2 + b 2 2a 2b + + i(a 2 + b 2 ). Således gælder Im S(z) < 0 for z B, og dermed svarer det indre af cirklen til venstre side ved positiv omløbsretning. Sætning.35 Til enhver åben kugle B i C eksisterer en Möbiustransformation T, så T (B) = B. Lad Γ = B, og vælg orientering (z, z 2, z 3 ) på Γ, så B udgør venstre side. Da eksisterer en entydigt bestemt Möbiustransformation T, så T (Γ) = B, og T (z ) = i, T (z 2 ) =, T (z 3 ) = i, ifølge sætning.29, og dermed gælder ifølge orienteringsprincippet, at T (B) = B. Bemærk, at B både kan være en åben kugle B r (a) og et halvplan i C..4 Det metriske rum H(G) Gennem rapporten benyttes de forskellige maksimumprincipper og åben afbildningssætningen for holomorfe funktioner ere gange. I næste kapitel skærpes åben afbildningssætningen for holomorfe og injektive funktioner i Koebes 4 -sætning. Lemma.36 (Lokalt maksimumprincip) Lad S C være åben, og f H(S), hvor f ikke er konstant. Så har f ikke lokalt maksimum i S, dvs. enhver B r (a) S indeholder et z, så f(z) > f(a). Bemærk kontrapositionen af lemmaet: Hvis f har lokalt maksimum i S, så er f konstant. Antag, at for alle z B r (a) er f(z) f(a), dvs. at f har lokalt maksimum i B r (a), og betragt B r (a), hvor 0 < r < r. Bemærk, at for alle θ R er a + r e iθ B r (a), så f(a + r e iθ ) f(a). Antag nu, at uligheden er skarp for et θ. Dermed vil der på grund af kontinuitet eksistere et ε > 0 for alle θ I [0, 2π], så f(a + r e iθ ) f(a) ε. Ved hjælp af Cauchys integralformel fås, at 2π r f(a) = 2π 0 I f(a + r e iθ ) dθ f(a + r e iθ ) dθ + [0,2π] I f(a + r e iθ ) dθ 5
22 master 2009/6/3 0:27 page 6 #22. RIEMANNS AFBILDNINGSSÆTNING h( f(a) ε) + (2π h) f(a) = 2π f(a) hε < 2π f(a), hvor h er længden af I. Dette er en modstrid for små r, så f(z) = f(a) for alle z B r (a). Men så er f konstant på kuglen. Skriv f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Hvis f = c, er u 2 + v 2 = c 2, hvoraf u u x + v v = 0 og u u x y + v v y = 0. Ved hjælp af Cauchy-Riemann-ligningerne fås det konsistente, homogene ligningssystem [ ] [ u v u ] [ x 0 u =. v u y 0] Dermed er de aedede af u, og dermed også af v, konstant lig nul. Sæt a = (x 0, y 0 ), og lad y ligge mellem y og y 0, og x ligge mellem x og x 0. Fra middelværdisætningen fås, at og u(x, y) u(x, y 0 ) = (y y 0 ) y u(x, y ) = 0, u(x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) = (x x 0 ) y u(x, y 0 ) = 0. Dermed er u(x, y) = u(x 0, y 0 ) for alle x, y B r (a). Samme argument kan laves for v. Dermed er f konstant på kuglen. Dette udvider nu til hele S jf. identitetssætningen for analytiske funktioner. Lemma.37 (Absolut maksimumprincip) Lad T C være kompakt, og f H(int T ) og kontinuert på T. Så antages det absolutte maksimum af f på randen af T. Lad f antage sit maksimum i a T. Dette eksisterer, da T er kompakt. Hvis f er konstant, antages maksimum på randen. Hvis f ikke er konstant, kan f ikke antage sit maksimum i et indre punkt ifølge lokalt maksimumprincippet, hvormed a ligger på randen. Lemma.38 (Minimumprincip) Lad S C være åben, og f en ikke-konstant analytisk funktion på S. Hvis f har lokalt minimum i a S, er f(a) = 0. Hvis f(a) 0, kan lemma.36 anvendes på g = f, der er analytisk på en åben kugle omkring a. Dermed har g lokalt maksimum i a. Men så er g, og dermed f, konstant på kuglen omkring a, og dermed på hele S. Sætning.39 (Åben afbildningssætning) Hvis f H(G), hvor G C er åben, ikke er konstant, vil f(a) være åben, hvis A G er åben. 6
23 master 2009/6/3 0:27 page 7 #23.4. DET METRISKE RUM H(G) Lad b = f(a) være et vilkårligt punkt i f(a) for et a A, hvor A G er åben. Bemærk, at a ikke er et fortætningspunkt i urbilledet af b, da f således ville være konstant på hele A, jf. identitetssætningen. Dermed eksisterer en kugle B r (a), hvis aukning ligger i A og kun indeholder a fra urbilledet af b. Da f( B r (a)) er en kompakt mængde ikke indeholdende b, er m = inf{ f(z) b : z B r (a)} > 0. Lad w være et vilkårligt punkt i B m 2 (b), og g(z) = f(z) w. Nu er g kontinuert på B r (a), der er kompakt, så der ndes et z 0 B r (a), hvor g antager sit minimum. Da a B r (a), er men for z B r (a) er g(z 0 ) g(a) = f(a) w = b w < m 2, g(z) = f(z) b + b w f(z) b w b > m m 2 = m 2. Dermed ligger z 0 ikke i B r (a), men kun i B r (a). Da g er analytisk og ikke-konstant, kan minimumprincippet anvendes, hvorved g(z 0 ) = 0. Dermed er w = f(z 0 ), så hele B m 2 (b) er indeholdt i f(b r(a)), og dermed er f(a) åben, da f(b r (a)) f(a). Denition.40 (C(G, Ω)) For en åben mængde G C og et fuldstændigt metrisk rum (Ω, d) betegner C(G, Ω) mængden af alle kontinuerte funktioner fra G til Ω. Medmindre andet nævnes, vil G i dette afsnit være en åben delmængde af C, og i de este tilfælde vil C eller C optræde som Ω. Det bemærkes i den forbindelse, at mængden af analytiske funktioner på G betegnet med H(G) kan betragtes som en delmængde af C(G, C). Denition.4 (Konvergens i C(G, Ω) og H(G)) En følge {f n } i C(G, C) konvergerer mod f, hvis {f n } konvergerer ligeligt mod f på alle kompakte delmængder af G. Konvergensbegrebet nedarves fra C(G, C) til H(G). Det vil sige, at en følge {f n } i H(G) konvergerer mod f, hvis {f n } konvergerer ligeligt mod f på alle kompakte delmængder af G. Der ndes en metrik, der realiserer disse konvergensbegreber, og udstyret med denne er mængden C(G, Ω) et fuldstændigt metrisk rum. Detaljer kan ndes i [Conway, 978, ŸVII.]. Udstyret med denne metrik er mængden H(G) et metrisk rum, og følgende sætning giver yderligere oplysninger om dette. Sætning.42 Hvis {f n } er en følge i H(G), og f tilhører C(G, C), således at f n f, så er f analytisk, og f (k) n f (k) for ethvert heltal k. For at vise, at f er analytisk, anvendes Moreras sætning. Lad være en udfyldt trekant, der er helt indeholdt i G C. Den udfyldte trekant er kompakt, så i henhold til denition.4 konvergerer {f n } ligeligt mod f på. På grund af den ligelige konvergens fås, at f = lim n f n = lim n f n = 0, hvor det sidste lighedstegn følger af Cauchys integralsætning, idet hver af funktionerne f n per antagelse er analytisk. Det følger så af Moreras sætning, at f er analytisk på G. 7
24 master 2009/6/3 0:27 page 8 #24. RIEMANNS AFBILDNINGSSÆTNING Nu vises det, at f n (k) f (k). Lad D = B r (a) G. Dener m > 0 ved r + m = dist(a, G c ) og R = r + m 2, således at B R(a) G. Betingelserne for at anvende Cauchys integralformel for den k'te aedede er opfyldt, da det i første del af beviset er vist, at f H(G), hvor G C er en åben delmængde. Hvis γ er B R (a), fås, at f (k) n (z) f (k) (z) = k! 2πi γ f n (w) f(w) dw (w z) k+ for z D B R (a). For et fast punkt z D B R (a) og et fast k er nævneren i integranden konstant for hvert punkt w γ. Ifølge antagelsen konvergerer f n mod f, så i henhold til denition.4 konvergerer {f n } ligeligt mod f på alle kompakte delmængder af G og dermed også på γ. Det vil sige, at {f n f} konvergerer ligeligt mod 0, og ved udnyttelse af disse bemærkninger fås 0 = γ = lim n lim f n(w) f(w)dw = k! n 2πi γ k! f n (w) f(w) dw = lim 2πi (w z) k+ γ lim n f n (k) n f n (w) f(w) dw (w z) k+ (z) f (k) (z), det vil sige, at f n (k) f (k) ligeligt i B r (a), da det sidste lighedstegn netop gælder for z D = B r (a). Hvis K er en vilkårlig kompakt delmængde af G, og 0 < r < d(k, G), hvor d(k, G) = inf{d(z, z ) : z K, z G}, ndes der {a,..., a N } K, således at K N j= B r(a j ), disse åbne kugler udgør altså en endelig åben overdækning af K. Det er vist ovenfor, at f n (k) f (k) ligeligt i en vilkårlig lukket kugle B r (a) G. Således er der en tilsvarende ligelig konvergens i hver af de åbne kugler B r (a j ) G og dermed også på K. Det gælder altså for alle kompakte delmængder af G, hvilket i henhold til denition.4 giver det ønskede resultat. Ovenstående sætning viser, at H(G) indeholder alle sine grænsepunkter, eller med andre ord, at H(G) er lukket i C(G, C). Da C(G, C) er et fuldstændigt metrisk rum, medfører dette, at H(G) også er et fuldstændigt metrisk rum, hvilket vises på tilsvarende vis som for C(G, C). Sætningen giver også, at afbildningen f f fra H(G) ind i sig selv er kontinuert, for hvis f n f, gælder f n f. Nu indføres nogle begreber, som indgår i Arzela-Ascolis sætning. Denition.43 (Normal) En mængde F C(G, Ω) er normal, hvis enhver følge i F har en delfølge, der konvergerer mod f C(G, Ω). Dette minder om denitionen på en følgekompakt mængde, dog med den forskel, at for en følgekompakt mængde skal grænsen for enhver følge i mængden tilhøre mængden. Det ses umiddelbart, at hvis F er normal, er F kompakt. Denition.44 (Ækvikontinuert) En mængde F C(G, Ω) er ækvikontinuert i et punkt z 0 G, hvis der for ethvert ε > 0 ndes et δ > 0, således at der for z z 0 < δ gælder, at d(f(z), f(z 0 )) < ε for ethvert f F. En mængde F C(G, Ω) er ækvikontinuert på en mængde E G, hvis der for ethvert ε > 0 ndes et δ > 0, således at der for alle z, z E og z z < δ gælder, at d(f(z), f(z )) < ε for ethvert f F. 8
25 master 2009/6/3 0:27 page 9 #25.4. DET METRISKE RUM H(G) Det samme δ skal altså kunne bruges for alle f F. Hvis F kun består af én funktion f, vil det, at F er ækvikontinuert i et punkt z 0, blot sige, at f er kontinuert i z 0, hvilket allerede er opfyldt. For samme F vil det, at F er ækvikontinuert på en mængde E, sige, at f er ligeligt kontinuert på E. Der er altså en væsentlig forskel mellem de to denitioner. Hvis F består af ere funktioner, skal der være ligelig kontinuitet både med hensyn til punkter og funktioner. Følgende sætning anføres uden bevis. For bevis, se [Conway, 978, Theorem VII..23]. Sætning.45 (Arzela-Ascoli) En mængde F C(G, Ω) er normal, hvis og kun hvis følgende to betingelser er opfyldt: (i) For ethvert z G har mængden {f(z) : f F} en kompakt aukning i Ω. (ii) Mængden F er ækvikontinuert i ethvert punkt i G. For at opnå en alternativ karakterisering af normale mængder i H(G) indføres følgende begreb. Denition.46 (Lokalt begrænset) En mængde F H(G) er lokalt begrænset, hvis der for ethvert punkt a G ndes konstanter M og r > 0, så B r (a) G, og så der for alle f F gælder, at f(z) M for z B r (a). Dette kan også formuleres som, at der for ethvert punkt a G eksisterer et M a > 0 og et r a > 0, så B ra (a) G, og så F er ligeligt begrænset af M a på B ra (a). Lemma.47 En mængde F H(G) er lokalt begrænset, hvis og kun hvis der for enhver kompakt mængde K G ndes en konstant M, så f(z) M for alle f F og alle z K. Antag først, at F er lokalt begrænset, det vil sige, at F er ligeligt begrænset af M a på B ra (a) G for ethvert punkt a G. For enhver kompakt delmængde K af G ndes en åben overdækning bestående af en åben kugle B rb (b) G om hvert punkt b K, altså K b K B r b (b). Per antagelse er F ligeligt begrænset af M b på B rb (b) G. Der ndes en endelig deloverdækning, så K N i= B r bi (b i ), og dermed er F ligeligt begrænset på K af M = max i {,...,N} M bi. Antag omvendt, at F er ligeligt begrænset på enhver kompakt mængde K G, det vil sige, at der ndes en konstant M, så f(z) M for alle f F og alle z K. For enhver åben kugle om et punkt a G, så B r (a) G, gælder der, at B r (a) G. Sidstnævnte kugle er lukket og begrænset og dermed kompakt, så per antagelse er F ligeligt begrænset på enhver af disse B r (a) og dermed også på B r (a), hvilket netop vil sige, at F er lokalt begrænset. Sætning.48 (Montel) En mængde F H(G) er normal, hvis og kun hvis F er lokalt begrænset. 9
26 master 2009/6/3 0:27 page 20 #26. RIEMANNS AFBILDNINGSSÆTNING Først vises det ved et modstridsbevis, at normal medfører lokalt begrænset. Lad F H(G) C(G, Ω) være normal, og antag, at F ikke er lokalt begrænset. Det vil sige, at der ndes en kompakt mængde K G, så der for enhver konstant M ndes et f F og et z K, så f(z) > M. Med andre ord eksisterer der en kompakt mængde K G, så sup{ f(z) : f F, z K} =, hvilket vil sige, at der må ndes en følge {f n } i F, så sup{ f n (z) : z K} n. Da F er normal, ndes der per denition en delfølge {f nk } i F H(G) og en funktion f C(G, Ω), så f nk f. Ifølge sætning.42 er f så analytisk, altså f H(G). Ovenstående giver, at sup{ f nk (z) f(z) : z K} 0 (.6) for k. Delfølgen opfylder analogt med følgen, at sup{ f nk (z) : z K} n k. Antages det, at f(z) M for z K, kan der foretages følgende omskrivninger. Denne antagelse kan gøres, da en kontinuert funktion på en kompakt mængde antager sit maksimum, og det bemærkes, at den heller ikke er i modstrid med antagelsen om, at F ikke er lokalt begrænset. Omskrivningerne er n k sup{ f nk (z) : z K} = sup{ f nk (z) f(z) + f(z) : z K} sup{ f nk (z) f(z) + f(z) : z K} sup{ f nk (z) f(z) : z K} + sup{ f(z) : z K} sup{ f nk (z) f(z) : z K} + M. Det følger af (.6), at højresiden går mod M for k. Da venstresiden går mod for k, er dette en modstrid, så F må være lokalt begrænset. For at vise, at lokalt begrænset medfører normal, antages det nu, at F H(G) er lokalt begrænset. Til at vise, at F så er normal, anvendes Arzela-Ascolis sætning, sætning.45. Punkt (i) i sætningen gælder, da alle funktionerne f i den normale familie F per denition er ligeligt begrænsede i punkter i en åben cirkelskive omkring ethvert punkt i den åbne mængde G. Aukningen af mængden {f(z) : f F} er dermed lukket og begrænset og dermed kompakt i C for ethvert z G. Nu vises punkt (ii). Vælg et punkt a G og et ε > 0. Mængden F er antaget at være lokalt begrænset, så dermed ndes der per denition et r > 0 og et M > 0, så B r (a) G og f(z) M for alle z B r (a) og alle f F. Lad z a < 2r, og lad f F. Ved at anvende Cauchys integralformel med kurven γ(t) = a + re it, 0 t 2π, der gennemløber B r (a) en gang i positiv omløbsretning, fås nedenstående. Situationen er illustreret på gur.5. Betingelserne for at anvende Cauchys integralformel i dette tilfælde er opfyldt, da f F H(G), hvor G C er en åben delmængde, B r (a) G 20
27 master 2009/6/3 0:27 page 2 #27.5. RIEMANNS AFBILDNINGSSÆTNING G r a z 2 r γ Figur.5: Kurven γ, der anvendes i beviset for sætning.48. som konstateret ovenfor, og a, z B r (a). Der gælder altså, at f(a) f(z) = f(w) 2πi γ w a dw f(w) 2πi γ w z dw = f(w)(w z) 2π γ (w a)(w z) dw f(w)(w a) γ (w z)(w a) dw = f(w)((w z) (w a)) 2π dw γ (w a)(w z) = f(w)(a z) 2π γ (w a)(w z) dw 2π max f(w) 2π w γ (w a)(w z) γ (t) dt a z 0 = M 2π r 2 r 2πr a z = 2M a z. r For a z < δ = r 2M ε fås fra ovenstående, at f(a) f(z) 2M r a z < 2M r δ = 2M r r 2M ε = ε. Det følger, at a z < δ medfører, at f(a) f(z) < ε for alle f F. Punktet a G er tilfældigt valgt, så det vil sige, at F er ækvikontinuert i ethvert punkt i G, hvilket er punkt (ii) i Arzela-Ascolis sætning. Dermed følger det af denne, at F er normal, og den sidste implikation og dermed hele Montels sætning er bevist..5 Riemanns afbildningssætning Ud over at Riemanns afbildningssætning har selvstændig interesse, vil den også spille en afgørende rolle i denitionen af den generelle Kreisskonstant. Sætning.49 (Rouché) Lad f og g være meromorfe på en åben omegn af B r (a) uden nulpunkter eller poler 2
28 master 2009/6/3 0:27 page 22 #28. RIEMANNS AFBILDNINGSSÆTNING på B r (a). Hvis Z f, Z g og P f, P g er antallet af nulpunkter hhv. poler af f og g i B r (a), talt med multiplicitet, og hvis på B r (a), så er Fra antagelsen fås, at f(z) + g(z) < f(z) + g(z) Z f P f = Z g P g. f(z) g(z) + < f(z) g(z) + på B r (a). Hvis f(z) g(z) er et positivt reelt tal, fås en modstrid, så den meromorfe funktion f g afbilder B r(a) på Ω = C \ [0, ). Hvis l er en kontinuert determination af logaritmen på Ω, er l ( l f g ( ) så l f(z) g(z) B r (a). Dermed er ( f(z) g(z) ) (z) = l ( f(z) g(z) ) veldeneret for alle z B r (a). Af kædereglen fås ) ( ) f (z) = g er en veldeneret stamfunktion til 0 = 2πi = 2πi B r(a) B r(a) ( ) ( ) f f (z), g g ( ) ( ) f f g g på en åben omegn af ( ) ( ) f(z) f(z) dz g(z) g(z) ( f ) (z) f(z) g (z) dz g(z) = (Z f P f ) (Z g P g ), hvor sidste lighed følger af argumentprincippet [Conway, 978, Theorem V.3.4]. Sætning.50 (Hurwitz) Lad G C være åben, og {f n } H(G) konvergere mod f med metrikken fra C(G, Ω). Hvis f 0, B r (a) G, og f(z) 0 for z B r (a), da eksisterer et N N, så n N medfører, at f og f n har samme antal nulpunkter i B r (a). Da f(z) 0 for z B r (a), er δ = inf{ f(z) : z B r (a)} > 0. Da B r (a) er en kompakt mængde, konvergerer {f n } ligeligt mod f på denne mængde. Derfor ndes et N N, så f(z) f n (z) < 2 δ < f(z) f(z) + f n(z) for n N og z B r (a). Af Rouchés sætning følger det nu, at f og f n har samme antal nulpunkter i B r (a). 22
29 master 2009/6/3 0:27 page 23 #29.5. RIEMANNS AFBILDNINGSSÆTNING Korollar.5 Hvis {f n } H(G) konvergerer mod f, og f n (z) 0 for alle n og alle z G, da er f 0 eller f(z) 0 for alle z G. Lemma.52 (Schwarz) Lad f være analytisk på B med f(b ) B og f(0) = 0. Så er f (0), og f(z) z for alle z B. Hvis enten f (0) =, eller f(z) = z for et z 0, eksisterer en konstant c med c =, så f(z) = cz for alle z B. Dener g : B C ved g(z) = f(z) f(z) z og g(0) = lim z 0 z = f (0). Dermed er g analytisk på B. Lad z B r B. Anvendes absolut maksimumprincippet på f(z) z fås, at der eksisterer et z r B r, så g(z) = f(z) z f(z r ) r. For r er g(z) for alle z B. Men så er f(z) z, og f (0) = g(0). Hvis f(z) = z for et z 0 i B, eller f (0) =, så antager g sit maksimum i B. Men jf. kontrapositionen af lokalt maksimumprincippet er g dermed konstant lig c, med c =. Men så er f(z) = cz. Lemma.53 Lad G C være åben og enkeltsammenhængende. Da eksisterer for enhver funktion f H(G), som opfylder f(z) 0 for alle z G, følgende funktioner: (i) Der eksisterer g H(G), så f(z) = exp(g(z)) for alle z G. (ii) For ethvert n N eksisterer h H(G), så f(z) = h(z) n for alle z G. z r Da f er forskellig fra nul på G, er funktionen f f holomorf på G. Da G er enkeltsammenhængende, eksisterer en funktion ψ H(G), så ψ = f f. Betragt nu funktionen ψ (z) = exp(ψ(z)). Denne er holomorf og forskellig fra nul på G. Således er funktionen f ψ holomorf med dierentialkvotient f ψ fψ ψ 2 = f exp(ψ) exp(ψ)f ψ 2 og således gælder f(z) = cψ (z) = exp(ψ(z) + c ) for alle z G, hvilket var kravet til g. Når ψ H(G), er exp( n (ψ + c )) også holomorf, og der gælder dermed exp( n (ψ + c )) n = exp(ψ + c ) = f, hvilket var det ønskede. Lemma.54 For f H(G) er funktionen = 0, kontinuert på G G. g(z, w) = { f(z) f(w) z w f (z) for w z for w = z 23
Kompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereSUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005
SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereOpgaver til f(z) = 1 z 4 1, g(z) = 1
1.17 Opgaver til 1. 1 1.1. Vis, at f(z) = er vilkårligt ofte differentiabel i C \ {, 1}, og z(1 z) find et udtryk for f (n) (z) for alle n. (Vink. Skriv f(z) = 1 z + 1 1 z ). 1.2. Beskriv billedkurverne
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereIdenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig
Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereFormelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009
Formelsamling - MatF2 Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 1 Indhold 1 Kompleks variabel teori 3 1.1 Komplekse funktioner 825-830........................... 3 1.2 Powerserier af komplekse
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereKortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017
Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereOrdliste MM511 Kompleks Analyse
Ordliste MM511 Kompleks Analyse Jens Siegstad jesie04@student.sdu.dk A Absolute convergence = absolut konvergens Analytic = analytisk Antiderivative = stamfunktion Annulus = annulus, ringområde Argument
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereMat 2KF Minilex. Henrik Dahl 2. januar Definitioner 2. 2 Sætninger 6. 3 Symboler Opskrifter og trix Gennemregnede eksempler 16
Mat 2KF Minilex Henrik Dahl 2. januar 2004 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende fejl. Jeg påtager mig intet
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereHilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereIndledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Indledning I disse noter vil uddybe nogle af Øksendals resultater i afsnittene 4 og 7 samt give andre beviser for dem. Disse resultater er gennemgået til forelæsningerne. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Læs mereKomplekse perler: Möbiustransformationer, hyperbolske mønstre og fraktaler
: Möbiustransformationer, hyperbolske mønstre og fraktaler Institut for matematiske fag Aalborg Universitet AAU 26.3.2010 Matematiske perler Möbiustransformationer Definition Möbiustransformation: En afbildning
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereSvar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016
Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.
MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det
Læs mereKlassisk Taylors formel
p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereAsymptotisk testteori
Kapitel 8 Asymptotisk testteori Vi vil nu beskæftige os med den asymptotiske teori for estimation under pæne hypoteser og for test af disse hypoteser. Vi skal især undersøge det forhold at hvis den fulde
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereKomplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs mereComputing the constant in Friedrichs inequality
Computing the constant in Friedrichs inequality Tomáš Vejchodský vejchod@math.cas.cz Institute of Mathematics, Žitná 25, 115 67 Praha 1 February 8, 212, SIGA 212, Prague Motivation Classical formulation:
Læs mere1: Fundamentale begreber.
Topologi 1 1: Fundamentale begreber. Hvis vi lader henholdsvis O og C betegne de åbne og afsluttede delmængder i et metrisk rum med X som underliggende mængde, mens vi benytter betegnelserne I henholdsvis
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereFunktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder
Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereKomplekse tal og rækker
Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereMat 6 projekt Projektoplæg 22. januar 2013
1 Generelt om projektet For nogle af de studerende er 6. semester det semester hvor man skal skrive bachelorprojekt. Andre har allerede skrevet bachelorprojekt i et andet fag. For dem er det et almindeligt
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med
Læs mere