Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?"

Transkript

1 Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere spru og smøger og afdragsfrie lån. For seriøse og hårdarbejdende rene-analyikere var dagen også en fesdag; en inellekuel udfordring. Afdragsfrie lån kan nemlig være flere ing, og nogle har ganske komplicerede eksra-eksra indbyggede lånagerreigheder, der srækker lovgivningen lige il brisepunke. Hisorien om valgfri afdragsfrie lån Tidligere skulle ydelsesprofilen på danske realkredilån være afagende eller konsan 1 over id. Men i begyndelsen af 2003 blev lovgivningen ændre, således a konsrukionen af afdragsfrie lån muliggjordes. Lånere fik 10 års afdragsfrihed. E lån, der er afdragsfri de førse 10 år, har noge lavere ydelser i saren end e sædvanlig lån. De er derfor ikke svær a se, hvorfor sådan e produk kan virke ilrækkende på den almindelige måske endda nybage boligejer. Så ehver realkrediinsiu med respek for sig selv indføre afdragsfrie lån nogle med fikse navne som Pauselån. På disse lån fx Nykredis var de afdragsfrie perioder ypisk lag i saren. Men Realkredi Danmark ville gerne lave e afdragsfri lån med den eksra finesse, a lånager ikke fra sar skal vælge, hvornår de afdragsfrie perioder skal ligge, men kan gøre dee løbende; il hver ermin kan han hvis man har flere udskud ilbage sig Nej, jeg vener. Der var der visse skaelovgivningsekniske problemer med, men i sepember 2003 gav Øsre Landsre grøn lys for disse valgfri afdragsfrie lån. En vigig eknisk dealje i konsrukionen af begge yper afdragsfrie lån er, a de udskude afdrag lægges hel ud. Med de menes, a når man udskyder e afdrag, så ændrer de ikke annuiespro- Denne version december Tak il Anders, Bjarne, Mikkel og Moren Nordea Markes, København. Afdeling for Anvend Maemaik og Saisik, Københavns Universie, Universiesparken 5, 2100 København Ø. 1 Alle underlige ing ændring af rene på Flex-lån, op- eller ned-konverering der kan ske fordi rener ændrer sig over id ignoreres. 1

2 filen, de gør blo a hovedsolen ikke reduceres. Hvis e besem udskud afdrag skulle beales på e besem fremidig idspunk, så ville de blive noge rigig rod; man skulle så for hver enkel låner holde syr på hele hans udskydelseshisorie alså hvilke og hvornår, ikke bare hvormange ilbage. Hvad vi gør og hvad vi ikke gør Spørgsmåle vi ønsker a besvare skulle fremgå nogenlunde ydelig af ilen. Svare går over 3 eaper. 1. Vi illusrerer nogle mege nyige men ikke nye beregningseknikker. Vi ser, hvordan omskrivninger kan være banale, eller måske endda virke unødig komplicerende, for radiionelle realkredilån, men være afgørende for effekiv beregning af priser på valgfri afdragsfrie lån. 2. Vi bruger eknikkerne il a give e skøn på en rimelig prisforskel på de o yper afdragsfrie lån. Den er ikke sor; for obligaioner, hvis kurser ligger mid i 90 erne. 3. Vi demonsrerer nogle ineressane/sjove egenskaber ved låne med fri valg af udskude afdrag. De viser, a de o indbyggede opioner ilbagebealings- og afdragsudskydelsesreighederne gensidig påvirker hinanden, og a de derfor i eorien, ihverfald er vigig, a obligaionen prisfassæes som en samle pakke. Vi siger ikke noge om, om afdragsfrie lån er en god eller dårlig ide, hverken fra den individuelle låners synspunk poreføljevalg med lividiesaspeker, fra invesors synspunk kan jeg jene på lånagers irraionalie/specielle præferencer? eller fra e samfundsmæssig synspunk desabilisering af boligfinansieringsmarkede, insider/ousider -skævvridning. Alsammen mege ineressan, men ikke de ærinde, vi er ude i. Men vi ror nu nok, a spirius og cigareer er noge mere skadelige end afdragsfrie lån. 2 Prisfasæelse af valgfri afdragsfrie lån To ing hjælper os: Hovedsolshomogenie: Hvis værdien af en konvererbar annuie hovedsol 1, perioder il udløb og k mulige afdragsudskydelser klip ilbage er V, så er værdien af e ellers ilsvarende lån med hovedsol H ganske enkel H V. Springbeingelse: Hvis vi udskyder afdrag på e konvererbar lån med perioder il udløb og k klip ilbage, så har vi, når næse besluning skal ages, en konvererbar annuie med 1 perioder il udløb og k 1 klip ilbage. De er her vigig a annuiesprofilen bevares, dvs. a de udskude afdrag lægges hel ud og alle fremidige afdrag derfor ændres en smule. 2

3 Disse ricks/ideer er ikke nye, men forjener a være bedre kend. I Luenberger 1998, Afsni 14.5 anvendes homogeniesideen under navne leveling på en række problemer. Snedig brug af springbeingelser kan man fx finde dem i Dewynne & Wilmo 1999?, 2 og er bleve anvend i mange sammenhænge siden fx il prisning af såkalde flexi-caps. Men eknikkerne er sadig såre elegane og nyige; kapiel 1 i Svensrup 2003 giver en række anvendelser på moderne renerelaerede produker. De o nævne arikler berager koninueridsmodeller, og formuleringerne er derfor i form af parielle differenialligninger. Vi går mere silfærdig ilværks og berager en diskre 3 korrenemodel, som beskreve fx i kapiel 8 i Lando & Poulsen Modellen specificeres direke under e ækvivalen maringalmål, alså de risiko-neurale sandsynlighedsmål. Nogle gange, speciel når der inddrages porføljevalgsaspeker med begrænsede muligheder for dynamiske juseringer, kan dee skjule vigige aspeker, men her ser vi udelukkende på e mesendels relaiv, endda prisfassæelsesaspek, så ilgangsvinklen er ganske rimelig. Lokal, dvs. omkring en eller anden knude i ræe, ser modellen sådan ud: T IL i + 1 S T A N D i 2 r 1 q,i r,i q,i r +1,i+1 r +1,i + 1 TID For e akiv af europæisk ype beregnes den arbiragefri pris på id i ilsand i 4 ud fra formlen π,i e = 1 E Q,i 1 + r πe +1 + δ 1 +1 = q,i π+1,i+1 e,i 1 + r + δ +1,i q,i π+1,i e + δ +1,i,,i hvor δ +1 angiver akives dividendebealing på id + 1. For en inkonvererbar obligaion er δ +1 bare id- + 1 ydelsen, men generel kan δ være en sokasisk proces. En amerikansk opion er karakerisere ved sin pay-off funkion g og si underliggende akiv, lad os 2 D herrer forsøger ilsyneladende a gøre dee manuskrip så besværlig som mulig a referere. Tilen er Uniled, de unpublished, der er ikke angivelse af id og sed, og nogle.pdf-fil er, der er ilgængelige via nee er leere defeke! 3 Bi/ri-nomial modeller kan berages som eksplicie endelige differensmeoder for PDE er. 4 Om noaionen: Objeker med 2 fodegn er al, der sår i en besem knude, e objek med 1 fodegn opfaes som en sokasisk variabel så når vi skriver en ligning op, så dækker de over en hel hoben ligninger; en for hver i, og objeker med 0 fodegn er sokasiske processer så vi kan skrive endnu flere ligninger endnu mere kompak. 3

4 kalde dees prisproces π U. Ejeren af opionen modager gπ U τ på de sokasiske idpunk τ, hvor han vælger a exercise den. Teknisk se skal τ være en sopid. De beyder, a man ikke kan basere sin exercise-regel på informaion, der førs bliver ilgængelig i fremiden, hvilke da også er de færrese forund! For en amerikansk pu-opion på en akie modager man alså K Sτ +, når man exerciser. Amerikanske opioners arbiragefri priser besemmes ud fra rekursionsligningen π,i a = max gπ,i U, 1 E Q,i 1 + r πa +1 = max gπ,i U, 1 q,i π+1,i+1 a,i 1 + r + 1 q,iπ a +1,i,,i med begyndelsesbeingelsen π a T = gπu T. Teknisk se er πa prisen på opionen give den ikke idligere er bleve exercise. Så også amerikanske opioners priser kan prises ved, a man rævler sig baglæns gennem si binomialgier; kan man ikke lige kan se de, så kan Lando 2000 anbefales. Denne prisningsalgorime er også velkend, 5 fakisk så velkend a man kan glemme, den er overraskende simpel! E formel bevis dvs. en dealjere redegørelse for, a enhver anden pris vil kreere en arbiragemulighed kan man finde i afsni 4.3 i Pliska 1997 eller kapiel 2 i Lamberon & Lapeyre De radiionelle realkredilån Tradiionelle realkredilån er konvererbare, hvilke beyder a lånager har re il på e hvilkesomhels idspunk, τ, han ønsker, a slippe ud af sine gældsforpligelser ved a beale den reserende hovedsol H τ ilbage. Dee kan opfaes som om lånager ejer en amerikansk call-opion med de inkonvererbare lån, kald dees pris π IK, som underliggende, og en idsvarierende srike-pris på H. Under alle omsændigheder foræller ovensående a call-prisen er: π AC = max π IK 1 H, E Q π AC 1 + r +1. For invesor svarer de konvererbare realkredilån il en lang posiion i den inkonvererbare obligaion kombinere med en kor posiion i den amerikanske call. Derfor er π K = π IK π AC, og π K = π IK π IK H, max = max H, = max H, = max = min H, 1 H, 1 E Q π+1 AC 1 + r r E Q π AC r π IK r E Q π AC +1 πik +1 δ +1 E Q 1 + r πk +1 + δ +1, r E Q π K +1 + δ +1 5 En ilsrækkelig beingelse for for, a kunne beegne noge som velkend, er a de sår i Hull, alså Hull Er man i dårlig humør, kan man jamre over, hvor æ beingelsen er på også a være nødvendig. 4

5 hvor de 3. lighedsegn bruger a π IK = 1 1+r E Q π IK +1 +δ +1, de 4. udnyer a π K +1 = πik +1 πac +1, og de 5. blo a max x, y = minx, y. Læg mærke il, a π angiver prisen eks-dividende og de er derfor underforsåe a H er hovedsolen efer id- afdrage. Ganske som man ville ro, så minimerer opimal lånageropførsel alså værdien af obligaionsejerens dvs. udlånerens bealingsrække. De viser sig senere prakisk a arbejde med værdier inklusive dividende cum-coupon. Disse beegner vi med V, dvs. V = π + δ. Ligeledes får vi også brug for a kunne arbejde med sidse periodes hovedsol der også kan opfaes som hovedsolen umiddelbar før id- afdrage, der er besem ved bogholderiligningen H + a = H 1, hvor a er id- afdrage. For radiionelle realkredilån er de ikke nødvendig eksplici a kunne skelne: Tillader vi konverering lige før vi bealer afdrag skal vi beale H c, hvor c er kuponrenen; ved konverering lige efer, skal vi beale H 1 c + a + H = H c; alså de samme. For de valgfri afdragsfrie lån udøver vi derimod en ikke-riviel påvirkning gennem vores udskyd-eller-ej-besluning. For e annuieslån med udløb på idspunk T, kuponrene c og gammel dvs. id- 1 eller før afdrag hovedsol H 1 er ydelsen på id give ved annuiesformlen c T 1 c y = H c T 1 1. Renebealingen er c H 1 og afdrage a = y c H 1. Vi har derfor V K [H 1 ] = min H + y, y + 1 E Q 1 + r V +1 K [H ] = min 1 + ch 1, y + 1 E Q V K 1 + r +1[1 + ch 1 y], ide vi har noaionsmæssig via [ ] har indikere afhængigheden af hovedsolen, og fliig har brug bogholderiligningerne, der knyer afdrag, renebealing, ydelse og hovedsol sammen. Og nu den sidse observaion: Dersom vi ændrer hovedsolen for en given annuie, så skalerer de bare bealingsrækken, og da vores prisningsregel er lineær, ligeledes værdien af bealingsrækken; homogenie af grad 1 med andre ord: V K [x] = x V K [1]. 6 De er den hel almindelige kun visse Microsof-programmer har andre konvenioner annuiesformel, svarende il a førse ydelse falder om 1 periode ; derfor skal der så 1 rund omkring. 5

6 Derfor har vi [1] = min 1 + c, y + 1 V K = min +1[1 + c y] E Q V K 1 + r 1 + c, y c y E Q V+1 K 1 + r [1], hvor vi har indfør noaionen y = 1+cT 1 c ; hvor y før afhang af hovedsolen men vi ikke 1+c T 1 1 kunne bære a gøre dee noaionsmæssig eksplici, så afhænger y kun af iden il udløb sam naurligvis kuponrenen. Vi kan alså arbejde med e gier, hvor vi priser en annuie, der alid har før-afdrag hovedsol 1 og varierende id il udløb. De kan virke som en banal og omsændelig omskrivning af den umiddelbare prisningsalgorime se Lando Men de vil sraks vise sig overmåde prakisk, når vi går over il a kigge på: Realkredilåne med valgfri afdragsudskydelse VA-låne Lad os indføre noaionen V k for id- værdien id- pris + cash-flows for en hovedsol-1 annuie, hvor vi før vi besluer os il, hvad vi gør med id- afdrage har k mulige afdragsydskydelser, kalde klip i de følgende, ilbage. Ovenfor har vi alså funde en meode il beregning af V 0. På en erminsdao,, kan der nu ske en 3. ing: Lånageren kan vælge a udskyde si afdrag. I så fald modager obligaionsejeren kun kuponen c, men er ilgengæld den lykkelige ejer af e annuieslån, der har 1 periode mindre il udløb sadig har hovedsol 1 nu kun har k 1 klip ilbage Dersom lånageren ikke udskyder si afdrag, så vil obligaionsejeren ilsvarende eje en 1-periodekorere annuie med en hovedsol 1 + c y, hvor der sadig er k klip ilbage. Den arbiragefri værdi af bealingsrækken fremkommer igen ved a lånager opfører sig, så værdien af obligaionsejernes bealingsrække minimeres, og derfor giver hovedsolshomogenie igen a: V k = min 1 + c, y c y E Q V 1 + r +1, k c + 1 E Q V+1 k r. Og de er jus de snedige fra e beregningsmæssig synspunk: Når vi er komme il klip k, så kan de o mulige fremidige V+1 k 1 k -værdier aflæses fra allerede beregnede k 1 -gier. V+1 kendes som alid fra de gier i er igang med 1 idsskid længere fremme. Så for a prise annuieen med k valgfrie afdragsudskydelser, skal man alså bare 7 arbejde sig igennem k +1 binomialgire, og huske 7 Beregningsmæssig er de generel mege nemmere/hurigere a løse N 1-dimensionale problemer end 1 N- dimensional problem. Fx hvis problem beyder lineær ligning og dimension anal ligninger og ukende, så er beregningkompleksieen ON imod ON 3. 6

7 a gemme de forrige. Dee er e eksempel på en såkald springbeingelse jump condiion. Vores ilfælde er speciel simpel fordi afhængigheden kun virker en vej k 1-beregningen bruger sle ikke k-giere, men er man fiks på fingerene og ferm på indeksene kan man fange mange ineressane ing på denne måde. Variaioner Ovensående beskriver hjere i prisningsalgorimen. Man skal lige sørge for a sare og slue den rigig. Tid T : VT,i k = 1 + c for alle i og k. Tid 0: Der er ingen renebealinger her og afdrage er også 0, så der er ingen ide i a udskyde. Derfor π0 k = V 0 1, k = min 1 E Q 1 + r V 1 k. 1 Dersom man har lys da de kan spare specialilfælde i koden kan man god inkludere e 1+r E Q k 1 V1 i sin min -operaor; de spiller ingen rolle da V k V k 1. Desuden kan simplere produker kun konvererbare, afdragsfri med fas udskydelse de førse 10 år, inkonvererbare og de lid mere ænke inkonvererbar valgfri afdragsfri nem prisfassæes ved mindre variaioner resrikioner af konvererbar valgfri afdragsfri lån -algorimen. 3 E aleksempel Model Vi bruger en diskreisere udgave af Vasicek-modellen med paramerene θ = 0.06, κ = 0.25, σ = Disse opfaes som paramere under e ækvivalen maringalmål; i den risko-neurale verden mao. De er θ, der påvirkes af fornufige målskif. Vasicek-modellen er simpel, men alligevel nogenlunde realisisk. Den er behagelig a regne i, og så begynder den ikke lige pludselig a gøre underlige ing fx i sin langsigsopførsel; de ku nogle modeller god lære af! Tiden snies i sykker af længde, og som i Jensen & Poulsen 2002 laves der en binomialmodel, hvor r hopper op og ned i spring af sørrelsen r = σ, således a e op -spring sker med sandsynlighed qr = κθ r, σ 7

8 hvor der dog runkeres ved hhv og Læg mærke il, a springsørrelserne ikke er ilsandsafhængige, hvorved den diskree model umiddelbar bliver rekombinerende. De niveau-afhængige sandsynligheder bruges il a fange modellens mean-reversion, ide lave rener, r < θ, gør op-spring mere sandsynlige. E naurlig valg af idsskrid er = 1/4, svarende il ermin hver 3. måned. Man skal bemærke, a paramerene er give in pro anno ermer; de beyder a man ved kodning af algorimerne fra foregående afsni skal lave subsiuionerne r r og c c på passende seder. Man kan også sagens bruge mindre idsskrid end = 1/4; herved bliver den diskree model en bedre approksimaion af Vasicek-modellen, men koden bliver mere rode. De ændrer ikke væsenlig på resulaerne i de følgende. En hel masse informaion soppe ind i 1 graf rene kuponrene udskyd med 1 klip inial renesrukur udskyd med 40 klip udskyd med 119 klip konverer med 119 klip id Figur 1: Kriiske rande for afdragsudskydelse og konverering. Figur 1 viser følgende: Sreg -kurve- - - : Iniial renesrukur. Nogenlunde realisisk; den iniiale rene er god nok noge høj, men ilgenæld rammer modellen sådan ca. de almindelige realkredilåns priser. Prik/Sreg -kurve.-.-.-: Kuponrenen. 8

9 Prik -kurve dvs. zig/zag-kurverne: Kriisk rand for konverering. Hvis den kore rene falder under denne, så ilbagebeales den reserende hovedsol. Punkerne ville i en koninuer verden ligge på en gla, monoon, konveks kurve, men da vi arbejder med en diskreisere model, så er der lige/ulige akker i kurven. Hel præcis er de 119 mulige udskydelser randen, der er egne. Som de senere vil fremgå, så er de en ikke hel uvæsenlig oplysning. Fuld oprukne kurver: Kriiske rande for afdragsudskydelse. Randene er egne for hhv. 1, 40 og 119 mulige udskydelser. Hvis renen kommer over denne rand, så skal man udskyde si afdrag. For grafikkens skyld er disse rande bleve glae ud; ellers ville de være akkede som konvereringsranden. Den umiddelbare argumenaion for a udskyde er, a markedsrenen er sørre end kuponrenen, fordi så får man mere ud af a placere si udskude afdrag på markede, end man skal beale i rene på sin eksra hovedsol på låne der jo forrenes med kuponrenen. Men der er o modsa reede opionseffeker i spil, så billede er mere komplicere end som så: Ved a udskyde miser man muligheder for a gøre de i fremiden hvor renen måske er endnu højere. Ved a udskyde øger man værdien af sin konvereringsreighed de er hele hovedsolen man kan beale ilbage; man holder flere opioner i live. Af figuren ser man, a begge effeker kan dominere. Den kriiske udskydelsesrand kan ligge såvel over som under kuponrenen. Hvis man kan udskyde så mege man lyser, så er udskydelsesranden og konvereringsranden sammenfaldende. Man vil med andre ord alid enen konverere eller udskyde si afdrag, man vil aldrig bare beale almindelig. De er fordi i dee ilfælde svarer e almindelig afdrag fuldsændig il a man konvererer en del af si lån, men hvis de ikke er opimal a konverere hele låne, så er de ydeligvis heller ikke opimal a konverere en del af de, og man udskyder derfor. Hvis man derimod har væsenlig færre klip, end der er erminer, så dominerer opporuniesabe ved udskydelse for midimellem reneniveauer, og alle re muligheder konverer, hold, udskyd kommer i spil. Dersom man kun har 1 skud i bøssen, så skal markedsrenen endda ganske mege over kuponrenen for udskydelse er opimal. Priser Man kan se fra Figur 1 a i de beragede markedsscenarie, så er de ikke opimal a udskyde klip med de samme, dersom man laver e annuieslån, hvor man kan udskyde 40 afdrag, som man vil. Men fra figuren er de svær a vurdere præcis hvor inopimal de er, hvis man eksempelvis vælger a placere sine 40 klip i de førse 40 erminer. Eksemple er naurligvis ikke spor ilfældig valg, for de afspejler hvad Nykredis udskydelseslån auomaisk gør, og hvad man kan formode, a mange 9

10 lånagere med valgfri afdragsfrie lån vil gøre af likvidiesårsager. Så vi har regne id-0 priserne på re forskellige yper annuieslån ud 40 klip, r 0 = 0.035, kuponrene = 0.05: De radiionelle realkredilån: π K 0 = Så nogenlunde = observere markedskurs. Afdragsfri lån: π K,A 0 = ; π K 0 πk,a 0 = Valgfri afdragsfri lån: π K,V A 0 = ; π K,A 0 π K,V A 0 = Pr. konsrukion er π K,V A 0 π IK 0 og π K,V A 0 π K,A 0 ellers har man kode gal, og medmindre man ser på perverse markedsscenarier, så er også π K,A 0 π IK 0. Man kan bemærke, a de eoreiske kursforskelle på radiionelle og de afdragsfrie lån ligger på god 1 kurspoin, hvilke er noge lavere en de observeres på markede, hvor forskellen for 5%-lånene er p ca. 2 kurspoin. Dee eksempel er noge nær den maksimale forskel på A- og VA-lån, vi kan lave i realisiske modeller. En lav iniial rene vil øge forskellen, men på den anden siden skal den heller ikke være for lav, for så dominerer konvereringseffeken, og alle obligaioner har kurser æ ved 100. De ses ydelig i Figur 2. Her holdes al fas ved idligere værdier, pånær den iniiale rene, der varieres mellem 2% og 15%. De beyder a den iniiale renesrukur varierer fra sejl normal over flad il sejl invers. Grafen viser forskellen mellem kurserne på afdragsfrie og valgfri afdragsfrie lån. Figur 3 viser hvad der sker for forskellige kuponrener; ikke overraskende er de sor se 8 e spejlbillede af analysen med r 0 -variaion. 8 De er ikke e fuldsændig spejlbillede fordi r 0 -variaion både flyer og sejler/falder renekurven. 10

11 Forskel mellem afdragsfri og valgfri afdragsfri Forskel mellem afdragsfri og valgfri afdragsfri pi_0^k,a pi_0^k,va pi_0^k,a pi_0^k,va iniial kor rene kuponrene Figur 2: Forskel mellem kurser på afdragsfrie og valgfri afdragsfrie lån for forskellige iniiale kor-rene niveauer. Figur 3: Forskel mellem kurser på afdragsfrie og valgfri afdragsfrie lån for forskellige kuponrener. 11

12 Volailiesfølsomhed Nedensående grafer viser hvordan priserne afhænger af korrenevolailieen σ for o forskellige iniiale kore rener. Kursforskelle på lån når iniial kor rene= Kursforskelle på lån når iniial kor rene= 0.04 Obligaionskurs sigma Nærbillede: Forskel mellem radiionel og A lån pi_0^k pi_0^k,a sigma Nærbillede: Forskel mellem A og VA lån pi_0^k,a pi_0^k,va Obligaionskurs sigma Nærbillede: Forskel mellem radiionel og A lån pi_0^k pi_0^k,a sigma Nærbillede: Forskel mellem A og VA lån pi_0^k,a pi_0^k,va sigma sigma Vi ser flere ing. For de førse giver højere volailie en øge værdi af de indbyggede opioner for alle obligaionsyper, og derfor lavere priser. Hvis volailieen er mege lav, så er prisforskellene 0: Den iniiale rene er lavere end kuponrenen, der igen er lavere end langsigsreneniveaue θ, så de bli r aldrig bedre end nu a konverere, og alle kurser er derfor 100, da der konvereres sraks. Men derudover er forskellen mellem de radiionelle realkredilån og de valgfri afdragsfrie lån mege sabil; e sor σ-område giver næsen samme prisforskel. Vi ser a valgfriheden af afdragsfriheden alså VA konra A aldrig giver anledning il dramaiske forskelle; men der er forskellige effeker i spil. Når volailieen går fra lav il middel, så siger forskellen mellem afdragsfrie og valgfriafdragsfrie lån. De er ikke overraskende, al den sund VAlåne har mere opionalie, som sigende volailie al ande lige vil gøre mere værdifuld. Men 12

13 når volailien siger yderligere fra middel il høj, så afager forskellen igen. De virker umiddelbar underlig. Forklaringen er, a når volailien er høj, så er konvereringsopioner så mege værd de er allerede noge in-he-money, a de beds kan beale sig a holde flere af dem i live ved a udskyde afdrag. Den opimale sraegi for VA-låne er alså mage il A-låne, og priserne er derfor nogenlunde ens. Vi ser her sammenhængen mellem de indbyggede reigheder. Anvendelse af udskydelsesopionerne påvirker hvor mange konvereringopioner, vi har, og der er en e negaiv feed-back fra konverering, ide de udskydelsesopionerne så bliver slåe ihjel. Hvis man alligevel sandsynligvis skal konverere snar, så er de bare med a få brug udskydelsesopionerne. Der e derfor vigig a de o opioner prises samle; man bør ikke gøre de sepera. Man skal bemærke a ændringer i volailieen, σ, også ændrer den iniiale renesrukur, og da vi arbejder med en diskreisere model, så påvirkes også selve renegiere. Man kan derfor finde en anden ype volailiesfølsomhed key volailiy sensiiviy ved a ændre σ, men samidig jusere/rekalibrere sine øvrige paramere så den iniale renekurve ca. fasholdes. Eller ændre den lange volailie via κ, mens den kore volailie og ev. renesrukuren holdes fas. Eller... Her beyder de ikke mege, og man kan diskuere længe!, hvad der giver mes mening. Man skal bare være klar over, a i en 1-fakor-model kan man ikke skrue på re mege uden de har effeker andre seder i modellen; også seder, hvor man egl. ville holde ingene fas. En sjov effek, der også illusrerer, a de o opioner i VA-låne hænger sammen, ses ved a undersøge, hvordan muligheden for a udskyde afdrag påvirker den opimale konvereringssraegi. Som Figur 4 viser, 9 ligger den kriiske konvereringsrand for e 40-klipslån ligger beydelig under den ilsvarende rand for de radiionelle 0-klipslån; ca. 100 basispunker på opagelsesidspunke. De er sammenligninger idlig i forløbe, der er mes relevane; efer 10 år har man næppe e 40-klipslån. Muligheden for a udskyde afdrag, og dermed holde sine konvereringssopioner i live, gør a man kan have mere is i maven mh. konverering. 9 For a lave den figur er skridsørrelsen i den diskreiserede Vasicek-model sa noge ned 100 skrid pr. år. 13

14 kriisk rene klip 40 klip id Figur 4: Kriisk rand for konverering for hhv. e de radiionelle lån øvers og de valgfri afdragsfrie med 40 klip. Sepera prisning De valgfri afdragsfrie konvererbare lån har o værdifulde egenskaber, der som vi har se hænger sammen. Men de er naurlig a spørge, hvor gal de går, hvis man prisfassæer dem sepera. En anden, mere posiiv klingende, måde a udlægge sepera prisning, er a sige a man benyer en eksrapolaionseknik. 10 Ial kan man foresille sig 6 forskellige kombinaioner af konvereringsreighed og afdrag; abellen nedenfor giver priser for r 0 = 0.035, kupon på 5% og ellers vore sædvanlige paramere: Inkonvererbar Konvererbar π K 0 Tradiionelle afdrag Afdragsfri i saren Valgfri afdragsfri π IK 0 = π IK,A 0 = π IK,V A 0 = = πk,a 0 = π K,V A 0 = De førse man bemærker er, a for de ganske vise noge ænke lån med afdragsfrihed men uden konvereringsre er værdien af a kunne placere sine afdrag som man vil i sede ffor bare i 10 Med eksrapolaion forsøger man a udale sig om vanskelig beregnelige ing ud fra mere simple. De er ofe ganske nyig. 14

15 saren sørre end værdien af udskydelsesopionalieen for konvererbare lån π IK,A 0 π IK,V A 0 = > = π K,A 0 π K,V A 0. De er fordi konvereringsreigheden gør afdragsudskydelser mere arakive, og den opimale sraegi derfor er a udskyde hurig,alså neop hvad A-låne auomaisk gør. Inspirere af Taylor-udviklinger er de naurlig a berage approksimaionen/eksrapolaionen: π K,z 0 π ex polk,z 0 := π0 IK π0 IK π0 K πik 0 π IK,z 0, hvor z {A, V A}. Læg mærke il, a der på højresiden sår mesendels velkende produker. De inkonvererbare og de afdragsfrie inkonvererbare er give dagens renesrukur rivielle a prise. De radiionelle realkredilån kan prises i e gier, men man kunne måske have lys il a bruge en anden model, fx en empirisk prepaymen-model, der dårlig lader sig forene med gier-modeller. A-låne: Man ser, a i dee ilfælde passer den eksrapolerede pris forbløffende god if De prikkede linier i Figur 5 og 6 viser hvordan eksrapolaionen virker for forskellige r 0 - og σ-værdier. I eksreme ilfælde kan der være nogen forskel, men ellers ser de ganske rimelig ud; eksrapolaionsfejlen er som regel ofes under basispunk. Læg mærke il a den eksrapolerede værdi kan ligge både over og under den sande værdi. De kan man god forklare, men jeg orker næsen ikke! VA-låne: De fuld oprukne linier i Figur 5 og 6 viser eksrapolaionsfejlene for VA-låne. Vi ser dels a de næsen alid er posiive. De er fordi, som idligere forklare, den separae prisning overvurderer værdien af udskydelsesopionalieen. Vi ser også væsenlig højere fejl end for VA-låne. Om de er så sore, a de gør noge, kan man diskuere, men de fremhæver igen vores eoreiske poine: VA-låne skal prises som en samle pakke. 15

16 Eksrapolaionsfejl sand ex pol for forskellige r_0 Eksrapolaionsfejl sand ex pol for forskellig volailie pi0_^sand pi_0^expol Valgfri afdragsfri pi0_^sand pi_0^expol Valgfri afdragsfri Afdragsfri Afdragsfri r_0 sigma Figur 5: Eksrapolaionsfejl for varierende r 0 for A-låne... og VA-låne Figur 6: Eksrapolaionsfejl for varierende σ for A-låne... og VA-låne 4 Konklusion Selvom den anvende model er realisisk, er den alligevel i legeøjssørrelse. Desuden ser vi bor fra en række andre effeker fx omkosninger. Man kan derfor overveje masser af: Udvidelser Man kan kalibrere si renegier il en observere renesrukur; se fx Kapiel 8 i Lando & Poulsen Man kan ogsåønske a skife il koninueridsmodeller og de ilknyede PDE er; leere il formulering af fler-fakor-modeller. Mere realisisk realkredimodellering: Modellen rammer måske observerede priser på radiionelle realkrediobligaioner dårlig; der er ihverfald ingen eksplici kalibrerering heril. Man kan lægge diverse spreads il. Eller man kan overveje, hvordan man kombinerer denne ilgangsvinkel med sin professionelle prepaymenmodel. Og når man er igang, så kunne man også overveje en mere empirisk modellering af afdragsudskydelserne end vores ren opionsbaserede. Men der er en glimrende mellemvej: Kapiel 1 Svensrup 2003 viser, hvordan siafhængighed og irraionalie af prepaymens ganske ilfredssillende kan fanges vha. en eksra ilsandsvariabel. Realprisningen sker så i e 3-dimensional gier, hvor de enkele 2-dimensionelle skiver kun hænger sammen igennem springbeingelser der dog er mere komplicerede end dem vi her har mød på erminsdage. Beregningskompleksieen ikke a forveksle med den mere subjekive, men mege reelle kodnings- 16

17 kompleksie vokser derfor ikke dramaisk. Vi forvener ikke a dee vil have sor effek på værdien af afdragsplaceringsopionen. Excecuive Summary Selvom der er flere prisningseknisk og opions-eoreisk ineressane forskelle på lån med fas afdragsfrihed i saren og lån med valgfri adragsfrihed, så er de svær a vride sore kursforskelle mere end 0.2 kurspoin mellem afdragsfrie og valgfri afdragsfrie lån ud af en realisisk model. Eller mao. de er mege æ på a være opimal a lægge sine afdragsfrie perioder førs. Lieraur Dewynne, J. & Wilmo, P. 1999?, Uniled. Working paper. Mahemaical Finance Group, Universiy of Oxford. Available a hp://www.finance.ox.ac.uk/file links/mf papers/1999mf18.pdf. Hull, J. 2002, Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 5. edn, Prenice-Hall. Jensen, B. & Poulsen, R. 2002, Transiion Densiies of Diffusion Processes: Numerical Comparison of Approximaion Techniques, Journal of Derivaives 94, Lamberon, D. & Lapeyre, B. 1996, Inroducion o Sochasic Calculus Applied o Finance, Chapman & Hall. Lando, D. 2000, En hovedsæning i finansieringseorien og lid om realkrediobligaioner. Noe. Afdeling for Anvend Maemaik og Saisik, Københavns Universie. Kan downloades fra hp://www.mah.ku.dk/ rolf/eaching/ofe01/famoes.pdf. Lando, D. & Poulsen, R. 2002, Lecure noes for he course Inveserings- og Finansieringseori. Deparmen of Applied mahemaics and Saisics, Universiy of Copenhagen. Available a hp://www.mah.ku.dk/ rolf/eaching/iff02/ifnoes.2002.pdf. Luenberger, D. G. 1998, Invesmen Science, Oxford. Pliska, S. 1997, Inroducion o Mahemaical Finance, 1. edn, Blackwell. Svensrup, M. 2003, Ineres Rae Derivaives Valuaion and Applicaion, PhD hesis, Deparmen of Finance, Aarhus School of Business. Elecronically available as working papers D a hp://www.asb.dk/deparmens/fin/research/wp/2002.hm. 17

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

Ny ligning for usercost

Ny ligning for usercost Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 8. okober 2008 Ny ligning for usercos Resumé: Usercos er bleve ændre frem og ilbage i srukur og vil i den nye modelversion have noge der minder om

Læs mere

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

Pensionsformodel - DMP

Pensionsformodel - DMP Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marin Junge og Tony Krisensen 19. sepember 2003 Pensionsformodel - DMP Resumé: Vi konsruerer ind- og udbealings profiler for pensionsformuerne. I dee ilfælde kigger

Læs mere

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh. augus 007 Funkionel form for effekiviesindeks i de nye forbrugssysem Resumé: Der findes o måder a opskrive effekiviesudvidede CES-funkioner med o

Læs mere

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder Opimal poreføljevalg i en model med inern habi nyefunkion og sokasiske inveseringsmuligheder Thomas Hemming Larsen cand.merc.(ma.) sudie Insiu for Finansiering Copenhagen Business School Vejleder: Carsen

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl. Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Øresund en region på vej

Øresund en region på vej OKTOBER 2008 BAG OM NYHEDERNE Øresund en region på vej af chefkonsulen Ole Schmid Sore forvenninger il Øresundsregionen Der var ingen ende på, hvor god de hele ville blive når broen blev åbne, og Øresundsregionen

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

Vækst på kort og langt sigt

Vækst på kort og langt sigt 12 SAMFUNDSØKONOMEN NR. 1 MARTS 2014 VÆKST PÅ KORT OG LANG SIGT Væks på kor og lang sig Efer re års silsand i dansk økonomi er de naurlig, a ineressen for a skabe økonomisk væks er beydelig. Ariklen gennemgår

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marcus Mølbak Inghol 17. okober 2012 Dokumenaion for regelgrundskyldspromillen Resumé: I dee modelgruppepapir dokumeneres konsrukionen af en idsrække for regelgrundskyldspromillen

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

Hvor mange er der?

Hvor mange er der? A Familien Tal 9 0 Hvor mange er der? Tæl ing Læs hisorien om Familien Tal høj. Se lærervejledningen..-. Tæl analle af de vise ing og skriv, hvor mange der er. Tæl ing fra asken 0 Tæl ing fra klassen 9

Læs mere

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Grane Høegh. augus 006 Dynamik i effekiviesudvidede CES-nyefunkioner Resumé: I dee papir benyes effekiviesudvidede CES-nyefunkioner il a finde de relaive forbrug

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

Indekserede Obligationer

Indekserede Obligationer Insiu for Finansiering Cand. Merc. 3. emeser Lærer: vend Jacobsen Forfaere: Per Frederisen Torben Peersen Indeserede Obligaioner - En analyse af den implicie opions enise aspeer og anvendelsesmuligheder

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

Værdien af den traditionelle pensionskontrakt

Værdien af den traditionelle pensionskontrakt Handelshøjskolen i Århus Erhvervsøkonomisk Insiu Kandidaafhandling cand.merc. finansiering Værdien af den radiionelle pensionskonrak En opionsbasere synsvinkel Februar 2007 Opgaven er udarbejde af: Carsen

Læs mere

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet Erhvervsøkonomisk insiu Afhandling Vejleder: Peer Løche Jørgensen Forfaere: Kasper Korgaard Anders Weihrauch Prisfassæelse og hedging af opioner under sokasisk volailie Suppose we use he sandard deviaion

Læs mere

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 4. april 2008 Bilbeholdningen i ADAM på NR-al Resumé: Dee papir foreslår a lade bilbeholdningen i ADAM være lig den officielle bilbeholdning fra Naionalregnskabe.

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* 13. maj 2005 Modellering af benzin- og bilforbruge med bilsocken besem på baggrund af samle forbrug Resumé: Dee redje papir om en ny model for biler og benzin

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

Produktionspotentialet i dansk økonomi

Produktionspotentialet i dansk økonomi 51 Produkionspoeniale i dansk økonomi Af Asger Lau Andersen og Moren Hedegaard Rasmussen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske udvikling er i Danmark såvel som i alle andre

Læs mere

PROSPEKT FOR. Hedgeforeningen Jyske Invest

PROSPEKT FOR. Hedgeforeningen Jyske Invest Prospek PROSPEKT FOR Hedgeforeningen Jyske Inves Ansvar for prospek Hedgeforeningen Jyske Inves er ansvarlig for prospekes indhold. Vi erklærer herved, a oplysningerne i prospeke os bekend er rigige og

Læs mere

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

tegnsprog Kursuskatalog 2015

tegnsprog Kursuskatalog 2015 egnsprog Kursuskaalog 2015 Hvordan finder du di niveau? Hvor holdes kurserne? Hvordan ilmelder du dig? 5 Hvad koser e kursus? 6 Tegnsprog for begyndere 8 Tegnsprog på mellemniveau 10 Tegnsprog for øvede

Læs mere

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie 2 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER 20062862 Tielblad Uddannelse:

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger?

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger? 59 Kan den danske forbrugsudvikling benyes il a besemme inflaionsforvenninger? Michael Pedersen, Økonomisk Afdeling INFLATIONSFORVENTNINGER Realrenen angiver låneomkosningerne (eller afkase af en placering

Læs mere

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Pensions- og hensæelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Indhold 1 Indledning 6 1.1 Lovgrundlag.............................. 6 1.2 Ordningerne.............................. 6 2 Risikofakorer

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

Lidt om trigonometriske funktioner

Lidt om trigonometriske funktioner DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved

Læs mere

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab Poreføljeeori: Inveseringsejendomme i inveseringsporeføljen - Med særlig fokus på invesering gennem e kommandiselskab Jonas Frøslev (300041) MSc in Finance Aarhus Universie, Business and Social Sciences

Læs mere

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk Vejdirekorae Side 1 Forsøg med modulvognog Slurappor Bilag 1E: Toalvæge og ryk Bilag 1E: Toalvæge og ryk Dee bilag er opdel i følgende dele: 1. En inrodukion il bilage 2. Resulaer fra de forskellige målesaioner,

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 29 Marianne Frank Hansen og Mahilde Louise Baringon Augus 29 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... 1 Befolkningsfremskrivning 29...

Læs mere

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri CS Klimaeknik ApS Tlf.: +45 38 88 7 7 DATA OG FAKTA Lufbehandlingsenhed MuliMAXX New Generaion... God luf il erhverv og indusri Enhedsbeskrivelse MuliMAXX Om dee kaalog Til vore kunder Med dee kaalog ønsker

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked Cand.merc.(ma)-sudie Økonomisk nsiu Kandidaafhandling Mulivariae koinegraionsanalyser - En analyse af risikopræmien på de danske akiemarked Suderende: Louise Wellner Bech flevere: 9. april 9 Vejleder:

Læs mere

Pricing of Oil Derivatives. -With the SABR and Schwartz models. Prisfastsættelse af Oliederivater. -Med SABR og Schwartz modellerne

Pricing of Oil Derivatives. -With the SABR and Schwartz models. Prisfastsættelse af Oliederivater. -Med SABR og Schwartz modellerne Pricing of Oil Derivaives -Wih he SABR and Schwarz models Prisfassæelse af Oliederivaer -Med SABR og Schwarz modellerne Mark Søndergaard Pedersen CPR xxxxxx-xxxx Alex Rusanov CPR xxxxxx-xxxx Vejleder:

Læs mere

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator Side 1/6 Kompak mikroprocessorregulaor Indbygningshus ih. DIN 43 700 Kor beskrivelse er en kompak mikroprocessorsyre opunksregulaor med fronrammemåle 96mm x 96mm. Alle re udførelser af regulaoren har e

Læs mere

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

BAT Nr. 6 oktober 2006. Skatteminister Kristian Jensen vil erstatte 2.700 medarbejdere med postkort!

BAT Nr. 6 oktober 2006. Skatteminister Kristian Jensen vil erstatte 2.700 medarbejdere med postkort! B A T k a r e l l e BAT Nr. 6 okober 2006 I BAT har vi med ineresse bemærke de 13 nye iniiaiver, som Beskæfigelsesminiseren har iværksa med de formål a gøre de leere for danske virksomheder a få udenlandsk

Læs mere

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011 Badevande 2010 Teknik & Miljø - Maj 2011 Udgiver: Bornholms Regionskommune, Teknik & Miljø, Naur Skovløkken 4, Tejn 3770 Allinge Udgivelsesår: 2011 Tiel: Badevande, 2010 Teks og layou: Forside: Journalnummer:

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller 33 Finanspoliik i makroøkonomiske modeller Jesper Pedersen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Finanspoliik og pengepoliik er radiionel se de o vigigse økonomiske insrumener il sabilisering

Læs mere

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II Hvordan ville en rendyrke dual indkomsskaemodel virke i Danmark? Simulering af en ensare ska på al kapialindkoms Arbejdspapir II Ændre opsparingsadfærd Skaeminiserie 2007 2007.II Arbejdspapir II - Ændre

Læs mere

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer Noa. november (revidere. maj ) Finansminiseries beregning af gab og srukurelle niveauer Vurdering af oupugabe (forskellen mellem fakisk og poeniel produkion) og de srukurelle niveauer for ledighed og arbejdssyrke

Læs mere

FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocent: 76,4%

FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocent: 76,4% Horsensvej Anal besvarelser: 375 FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocen: 76,4% Forældreilfredshed 2015 OM RAPPORTEN 01 OM RAPPORTEN RAPPORTENS OPBYGNING Aarhus Kommune har i perioden okober november 2015

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 26 Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peer Sephensen Juni 26 Indholdsforegnelse Forord...4 1. Indledning...6 2. Befolkningsfremskrivningsmodellen...8

Læs mere

PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET

PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET HANDELSHØJSKOLEN I ÅRHUS INSTITUT FOR FINANSIERING CAND.MERC. FINANSIERING KANDIDATAFHANDLING VEJLEDER: MICHAEL CHRISTENSEN UDARBEJDET AF: JULIE LINDBJERG NIELSEN PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET

Læs mere

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13 Side 1 af 34 Tielblad Dao: 16. december 2004 Forelæser: Ben Dalum og Björn Johnson Vejleder: Ger Villumsen Berglind Thorseinsdoir Charloa Rosenquis Daniel Skogemann Lise Pedersen Maria Rasmussen Susanne

Læs mere

Overføring af ultrafi e partikler og gasser mellem to lejligheder

Overføring af ultrafi e partikler og gasser mellem to lejligheder n IDEKLIMA Overføring af ulrafi e og gasser mellem o Overføring af gasser, og røglug mellem er ofe e problem for beboere i ældre eageejendomme. Derfor har Saens Byggeforskningsinsiu undersøg en ny æningsmeode,

Læs mere

Valgfrit afdragsfrie lån

Valgfrit afdragsfrie lån Valgfrit afdragsfrie lån Morten Nalholm nalholm@math.ku.dk Valgfrit afdragsfrie lån p. 1/32 Introduktion Prisfastsættelse Modellering af låntagerheterogenitet S.Jakobsen:"unødigt kompliceret" (om et RDs

Læs mere

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Geodæisk Insiu før og efer GIER GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Sasgeodæ, dr. scien. Knud Poder 1 Beregningsopgave med konsekvenser 1.1 Opgaven I 1953 fik Geodæisk Insius afdeling GA1 en sørre beregningsopgave,

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

Mulige bachelorprojekter

Mulige bachelorprojekter Bachelorprojektformalia Selvstændigt projekt (under vejledning), der involverer litteratursøgning og -studier og rapportskrivning. Ikke (for meget) overlap med (obligatoriske) kurser. Ekstern censur &

Læs mere

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0 Micrologic oversømsrelæer.0 og.0 Lær oversømsrelæe a kende Idenifikaion af oversømsrelæe Oversig over funkioner 4 Indsilling af oversømsrelæe 6 Indsillingsprocedure 6 Indsilling af Micrologic.0 oversømsrelæ

Læs mere

LONGEVITY CHRESTEN DENGSØE OG JENS VESTERGAARD ATP'S AKTUARIAT

LONGEVITY CHRESTEN DENGSØE OG JENS VESTERGAARD ATP'S AKTUARIAT LONGEVITY CHRESTEN DENGSØE OG JENS VESTERGRD TP'S KTURIT S:\KTU\Longevi\Rappor.doc /37 Indholdsforegnelse. Indledning 4. Rapporens indhold 4 3. Daamaeriale 4 4. Lexis diagrammer 5 5. Beskrivelse af daamaeriale

Læs mere

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen Appendisk. Formel beskrivelse af modellen I dee appendiks foreages en mere formel opsilning af den model, der er beskreve i ariklen. Generel: Renen og alle produenpriser - eksklusiv lønnen - er give fra

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 213 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Juli 213 Side 2 af 132 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale

Læs mere

Slides til Makro 2, Forelæsning oktober 2005 Chapter 7

Slides til Makro 2, Forelæsning oktober 2005 Chapter 7 GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER Slides il Makro 2, Forelæsning 9 31. okober 2005 Chaper 7 Hans Jørgen Whia-Jacobsen Ocober 26, 2005 De klassiske økonomer, Smih, Ricardo, Malhus m.fl.

Læs mere

Hvad spiser de? Hvordan forarbejdes skindet? S æ r l i g e. h u s d y r o p d r æ

Hvad spiser de? Hvordan forarbejdes skindet? S æ r l i g e. h u s d y r o p d r æ 53 S æ r l i g e h u s d y r o p d r æ Hvad spiser de? Mange pelsdyr er kødædere, men de er ikke mulig a give dem levende bye a spise. Derfor har forskerne udvikle en særlig slags foder, der er ilpasse

Læs mere

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2.

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2. KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER MAKRO 2 2. årsprøve Klassisk syn: JORDEN/NATUREN er en produkionsfakor, som er - uundværlig i frembringelsen af aggregere oupu og Forelæsning

Læs mere

Lad totalinddækning mindske nedslidningen

Lad totalinddækning mindske nedslidningen B A T k a r e l l e Nr. 5 sepember 2006 3 mia. il ny forebyggelsesfond og eksra midler il Arbejdsilsyne, var de glade budskab, da forlige om fremidens velfærd var i hus lige før sommerferien. Side 2 Arbejdsilsyne

Læs mere

ktion MTC 4 Varenr MTC4/1101-1

ktion MTC 4 Varenr MTC4/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 4 Varenr. 572185 MTC4/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

Bilag 7 - Industriel overfladebehandling Bilag til Arbejdstilsynets bekendtgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde med kodenummererede produkter

Bilag 7 - Industriel overfladebehandling Bilag til Arbejdstilsynets bekendtgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde med kodenummererede produkter Bilag 7 - Indusriel ovfladebehandling Bilag il Arbejdsilsynes bekendgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde kodenume produk 7.1. Bilages område a. Påføring af maling og lak på emn på fase arbejdsplads

Læs mere

BLIV KLOG PÅ NATURSTEN

BLIV KLOG PÅ NATURSTEN BLIV KLOG PÅ NATURSTEN - OG UNDGÅ MISFARVNINGER ARDEX NATURSTENS- SYSTEM E hurig og komple sysem, der sikrer farveæge naursensbelægninger www.ardex.dk Produkoversig Fugfølsomme naursen Fugbesandige naursen

Læs mere

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri N N N '(7.2120,6.( 5c' 6 (. 5 ( 7 $ 5, $ 7 ( 7 Den erhvervspoliiske værdi af søen il den danske vindmølleindusri Svend Jespersen Arbejdspapir 2002:3 Sekreariae udgiver arbejdspapirer, hvori der redegøres

Læs mere

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv.

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv. B A T k a r e l l e Nr. 3 maj 2006 Den 4. april fremsae EU kommissionen e revidere forslag il e Servicedirekiv. Side 3 De økonomiske miniserier er i skarp konkurrence om, hvem der kan fremmane sørs flaskehalspanik

Læs mere

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem En model il fremskrivning af de danske uddannelsessysem Peer Sephensen og Jonas Zangenberg Hansen December 27 Side 2 af 22 1. Indledning De er regeringens mål a øge befolkningens uddannelsesniveau. Befolkningens

Læs mere

Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbuds- og priselasticitet på det Københavnske boligmarked

Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbuds- og priselasticitet på det Københavnske boligmarked Specialeafhandling for Cand. Merc sudie Erhvervsøkonomisk insiu Forfaere: Anne Kvis Nielsen Jan Furbo Fuglsang Pedersen Vejleder: Tom Engsed Udviklingen i boligomkosninger, efficiensanalyse sam udbuds-

Læs mere

FJERNVARME 2011. Muffer og fittings af plast

FJERNVARME 2011. Muffer og fittings af plast FJERNVARME 2 Muffer og fiings af plas INDHOLDSFORTEGNELSE Muffer Lige muffer Side 4 Krympemuffer Side 5 Svejsemuffer Side 6 Skydemuffer Side 7 Redukionsmuffer Side 9 Ballonmuffer Side 4 Slumuffer Side

Læs mere