Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?"

Transkript

1 Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere spru og smøger og afdragsfrie lån. For seriøse og hårdarbejdende rene-analyikere var dagen også en fesdag; en inellekuel udfordring. Afdragsfrie lån kan nemlig være flere ing, og nogle har ganske komplicerede eksra-eksra indbyggede lånagerreigheder, der srækker lovgivningen lige il brisepunke. Hisorien om valgfri afdragsfrie lån Tidligere skulle ydelsesprofilen på danske realkredilån være afagende eller konsan 1 over id. Men i begyndelsen af 2003 blev lovgivningen ændre, således a konsrukionen af afdragsfrie lån muliggjordes. Lånere fik 10 års afdragsfrihed. E lån, der er afdragsfri de førse 10 år, har noge lavere ydelser i saren end e sædvanlig lån. De er derfor ikke svær a se, hvorfor sådan e produk kan virke ilrækkende på den almindelige måske endda nybage boligejer. Så ehver realkrediinsiu med respek for sig selv indføre afdragsfrie lån nogle med fikse navne som Pauselån. På disse lån fx Nykredis var de afdragsfrie perioder ypisk lag i saren. Men Realkredi Danmark ville gerne lave e afdragsfri lån med den eksra finesse, a lånager ikke fra sar skal vælge, hvornår de afdragsfrie perioder skal ligge, men kan gøre dee løbende; il hver ermin kan han hvis man har flere udskud ilbage sig Nej, jeg vener. Der var der visse skaelovgivningsekniske problemer med, men i sepember 2003 gav Øsre Landsre grøn lys for disse valgfri afdragsfrie lån. En vigig eknisk dealje i konsrukionen af begge yper afdragsfrie lån er, a de udskude afdrag lægges hel ud. Med de menes, a når man udskyder e afdrag, så ændrer de ikke annuiespro- Denne version december Tak il Anders, Bjarne, Mikkel og Moren Nordea Markes, København. Afdeling for Anvend Maemaik og Saisik, Københavns Universie, Universiesparken 5, 2100 København Ø. 1 Alle underlige ing ændring af rene på Flex-lån, op- eller ned-konverering der kan ske fordi rener ændrer sig over id ignoreres. 1

2 filen, de gør blo a hovedsolen ikke reduceres. Hvis e besem udskud afdrag skulle beales på e besem fremidig idspunk, så ville de blive noge rigig rod; man skulle så for hver enkel låner holde syr på hele hans udskydelseshisorie alså hvilke og hvornår, ikke bare hvormange ilbage. Hvad vi gør og hvad vi ikke gør Spørgsmåle vi ønsker a besvare skulle fremgå nogenlunde ydelig af ilen. Svare går over 3 eaper. 1. Vi illusrerer nogle mege nyige men ikke nye beregningseknikker. Vi ser, hvordan omskrivninger kan være banale, eller måske endda virke unødig komplicerende, for radiionelle realkredilån, men være afgørende for effekiv beregning af priser på valgfri afdragsfrie lån. 2. Vi bruger eknikkerne il a give e skøn på en rimelig prisforskel på de o yper afdragsfrie lån. Den er ikke sor; for obligaioner, hvis kurser ligger mid i 90 erne. 3. Vi demonsrerer nogle ineressane/sjove egenskaber ved låne med fri valg af udskude afdrag. De viser, a de o indbyggede opioner ilbagebealings- og afdragsudskydelsesreighederne gensidig påvirker hinanden, og a de derfor i eorien, ihverfald er vigig, a obligaionen prisfassæes som en samle pakke. Vi siger ikke noge om, om afdragsfrie lån er en god eller dårlig ide, hverken fra den individuelle låners synspunk poreføljevalg med lividiesaspeker, fra invesors synspunk kan jeg jene på lånagers irraionalie/specielle præferencer? eller fra e samfundsmæssig synspunk desabilisering af boligfinansieringsmarkede, insider/ousider -skævvridning. Alsammen mege ineressan, men ikke de ærinde, vi er ude i. Men vi ror nu nok, a spirius og cigareer er noge mere skadelige end afdragsfrie lån. 2 Prisfasæelse af valgfri afdragsfrie lån To ing hjælper os: Hovedsolshomogenie: Hvis værdien af en konvererbar annuie hovedsol 1, perioder il udløb og k mulige afdragsudskydelser klip ilbage er V, så er værdien af e ellers ilsvarende lån med hovedsol H ganske enkel H V. Springbeingelse: Hvis vi udskyder afdrag på e konvererbar lån med perioder il udløb og k klip ilbage, så har vi, når næse besluning skal ages, en konvererbar annuie med 1 perioder il udløb og k 1 klip ilbage. De er her vigig a annuiesprofilen bevares, dvs. a de udskude afdrag lægges hel ud og alle fremidige afdrag derfor ændres en smule. 2

3 Disse ricks/ideer er ikke nye, men forjener a være bedre kend. I Luenberger 1998, Afsni 14.5 anvendes homogeniesideen under navne leveling på en række problemer. Snedig brug af springbeingelser kan man fx finde dem i Dewynne & Wilmo 1999?, 2 og er bleve anvend i mange sammenhænge siden fx il prisning af såkalde flexi-caps. Men eknikkerne er sadig såre elegane og nyige; kapiel 1 i Svensrup 2003 giver en række anvendelser på moderne renerelaerede produker. De o nævne arikler berager koninueridsmodeller, og formuleringerne er derfor i form af parielle differenialligninger. Vi går mere silfærdig ilværks og berager en diskre 3 korrenemodel, som beskreve fx i kapiel 8 i Lando & Poulsen Modellen specificeres direke under e ækvivalen maringalmål, alså de risiko-neurale sandsynlighedsmål. Nogle gange, speciel når der inddrages porføljevalgsaspeker med begrænsede muligheder for dynamiske juseringer, kan dee skjule vigige aspeker, men her ser vi udelukkende på e mesendels relaiv, endda prisfassæelsesaspek, så ilgangsvinklen er ganske rimelig. Lokal, dvs. omkring en eller anden knude i ræe, ser modellen sådan ud: T IL i + 1 S T A N D i 2 r 1 q,i r,i q,i r +1,i+1 r +1,i + 1 TID For e akiv af europæisk ype beregnes den arbiragefri pris på id i ilsand i 4 ud fra formlen π,i e = 1 E Q,i 1 + r πe +1 + δ 1 +1 = q,i π+1,i+1 e,i 1 + r + δ +1,i q,i π+1,i e + δ +1,i,,i hvor δ +1 angiver akives dividendebealing på id + 1. For en inkonvererbar obligaion er δ +1 bare id- + 1 ydelsen, men generel kan δ være en sokasisk proces. En amerikansk opion er karakerisere ved sin pay-off funkion g og si underliggende akiv, lad os 2 D herrer forsøger ilsyneladende a gøre dee manuskrip så besværlig som mulig a referere. Tilen er Uniled, de unpublished, der er ikke angivelse af id og sed, og nogle.pdf-fil er, der er ilgængelige via nee er leere defeke! 3 Bi/ri-nomial modeller kan berages som eksplicie endelige differensmeoder for PDE er. 4 Om noaionen: Objeker med 2 fodegn er al, der sår i en besem knude, e objek med 1 fodegn opfaes som en sokasisk variabel så når vi skriver en ligning op, så dækker de over en hel hoben ligninger; en for hver i, og objeker med 0 fodegn er sokasiske processer så vi kan skrive endnu flere ligninger endnu mere kompak. 3

4 kalde dees prisproces π U. Ejeren af opionen modager gπ U τ på de sokasiske idpunk τ, hvor han vælger a exercise den. Teknisk se skal τ være en sopid. De beyder, a man ikke kan basere sin exercise-regel på informaion, der førs bliver ilgængelig i fremiden, hvilke da også er de færrese forund! For en amerikansk pu-opion på en akie modager man alså K Sτ +, når man exerciser. Amerikanske opioners arbiragefri priser besemmes ud fra rekursionsligningen π,i a = max gπ,i U, 1 E Q,i 1 + r πa +1 = max gπ,i U, 1 q,i π+1,i+1 a,i 1 + r + 1 q,iπ a +1,i,,i med begyndelsesbeingelsen π a T = gπu T. Teknisk se er πa prisen på opionen give den ikke idligere er bleve exercise. Så også amerikanske opioners priser kan prises ved, a man rævler sig baglæns gennem si binomialgier; kan man ikke lige kan se de, så kan Lando 2000 anbefales. Denne prisningsalgorime er også velkend, 5 fakisk så velkend a man kan glemme, den er overraskende simpel! E formel bevis dvs. en dealjere redegørelse for, a enhver anden pris vil kreere en arbiragemulighed kan man finde i afsni 4.3 i Pliska 1997 eller kapiel 2 i Lamberon & Lapeyre De radiionelle realkredilån Tradiionelle realkredilån er konvererbare, hvilke beyder a lånager har re il på e hvilkesomhels idspunk, τ, han ønsker, a slippe ud af sine gældsforpligelser ved a beale den reserende hovedsol H τ ilbage. Dee kan opfaes som om lånager ejer en amerikansk call-opion med de inkonvererbare lån, kald dees pris π IK, som underliggende, og en idsvarierende srike-pris på H. Under alle omsændigheder foræller ovensående a call-prisen er: π AC = max π IK 1 H, E Q π AC 1 + r +1. For invesor svarer de konvererbare realkredilån il en lang posiion i den inkonvererbare obligaion kombinere med en kor posiion i den amerikanske call. Derfor er π K = π IK π AC, og π K = π IK π IK H, max = max H, = max H, = max = min H, 1 H, 1 E Q π+1 AC 1 + r r E Q π AC r π IK r E Q π AC +1 πik +1 δ +1 E Q 1 + r πk +1 + δ +1, r E Q π K +1 + δ +1 5 En ilsrækkelig beingelse for for, a kunne beegne noge som velkend, er a de sår i Hull, alså Hull Er man i dårlig humør, kan man jamre over, hvor æ beingelsen er på også a være nødvendig. 4

5 hvor de 3. lighedsegn bruger a π IK = 1 1+r E Q π IK +1 +δ +1, de 4. udnyer a π K +1 = πik +1 πac +1, og de 5. blo a max x, y = minx, y. Læg mærke il, a π angiver prisen eks-dividende og de er derfor underforsåe a H er hovedsolen efer id- afdrage. Ganske som man ville ro, så minimerer opimal lånageropførsel alså værdien af obligaionsejerens dvs. udlånerens bealingsrække. De viser sig senere prakisk a arbejde med værdier inklusive dividende cum-coupon. Disse beegner vi med V, dvs. V = π + δ. Ligeledes får vi også brug for a kunne arbejde med sidse periodes hovedsol der også kan opfaes som hovedsolen umiddelbar før id- afdrage, der er besem ved bogholderiligningen H + a = H 1, hvor a er id- afdrage. For radiionelle realkredilån er de ikke nødvendig eksplici a kunne skelne: Tillader vi konverering lige før vi bealer afdrag skal vi beale H c, hvor c er kuponrenen; ved konverering lige efer, skal vi beale H 1 c + a + H = H c; alså de samme. For de valgfri afdragsfrie lån udøver vi derimod en ikke-riviel påvirkning gennem vores udskyd-eller-ej-besluning. For e annuieslån med udløb på idspunk T, kuponrene c og gammel dvs. id- 1 eller før afdrag hovedsol H 1 er ydelsen på id give ved annuiesformlen c T 1 c y = H c T 1 1. Renebealingen er c H 1 og afdrage a = y c H 1. Vi har derfor V K [H 1 ] = min H + y, y + 1 E Q 1 + r V +1 K [H ] = min 1 + ch 1, y + 1 E Q V K 1 + r +1[1 + ch 1 y], ide vi har noaionsmæssig via [ ] har indikere afhængigheden af hovedsolen, og fliig har brug bogholderiligningerne, der knyer afdrag, renebealing, ydelse og hovedsol sammen. Og nu den sidse observaion: Dersom vi ændrer hovedsolen for en given annuie, så skalerer de bare bealingsrækken, og da vores prisningsregel er lineær, ligeledes værdien af bealingsrækken; homogenie af grad 1 med andre ord: V K [x] = x V K [1]. 6 De er den hel almindelige kun visse Microsof-programmer har andre konvenioner annuiesformel, svarende il a førse ydelse falder om 1 periode ; derfor skal der så 1 rund omkring. 5

6 Derfor har vi [1] = min 1 + c, y + 1 V K = min +1[1 + c y] E Q V K 1 + r 1 + c, y c y E Q V+1 K 1 + r [1], hvor vi har indfør noaionen y = 1+cT 1 c ; hvor y før afhang af hovedsolen men vi ikke 1+c T 1 1 kunne bære a gøre dee noaionsmæssig eksplici, så afhænger y kun af iden il udløb sam naurligvis kuponrenen. Vi kan alså arbejde med e gier, hvor vi priser en annuie, der alid har før-afdrag hovedsol 1 og varierende id il udløb. De kan virke som en banal og omsændelig omskrivning af den umiddelbare prisningsalgorime se Lando Men de vil sraks vise sig overmåde prakisk, når vi går over il a kigge på: Realkredilåne med valgfri afdragsudskydelse VA-låne Lad os indføre noaionen V k for id- værdien id- pris + cash-flows for en hovedsol-1 annuie, hvor vi før vi besluer os il, hvad vi gør med id- afdrage har k mulige afdragsydskydelser, kalde klip i de følgende, ilbage. Ovenfor har vi alså funde en meode il beregning af V 0. På en erminsdao,, kan der nu ske en 3. ing: Lånageren kan vælge a udskyde si afdrag. I så fald modager obligaionsejeren kun kuponen c, men er ilgengæld den lykkelige ejer af e annuieslån, der har 1 periode mindre il udløb sadig har hovedsol 1 nu kun har k 1 klip ilbage Dersom lånageren ikke udskyder si afdrag, så vil obligaionsejeren ilsvarende eje en 1-periodekorere annuie med en hovedsol 1 + c y, hvor der sadig er k klip ilbage. Den arbiragefri værdi af bealingsrækken fremkommer igen ved a lånager opfører sig, så værdien af obligaionsejernes bealingsrække minimeres, og derfor giver hovedsolshomogenie igen a: V k = min 1 + c, y c y E Q V 1 + r +1, k c + 1 E Q V+1 k r. Og de er jus de snedige fra e beregningsmæssig synspunk: Når vi er komme il klip k, så kan de o mulige fremidige V+1 k 1 k -værdier aflæses fra allerede beregnede k 1 -gier. V+1 kendes som alid fra de gier i er igang med 1 idsskid længere fremme. Så for a prise annuieen med k valgfrie afdragsudskydelser, skal man alså bare 7 arbejde sig igennem k +1 binomialgire, og huske 7 Beregningsmæssig er de generel mege nemmere/hurigere a løse N 1-dimensionale problemer end 1 N- dimensional problem. Fx hvis problem beyder lineær ligning og dimension anal ligninger og ukende, så er beregningkompleksieen ON imod ON 3. 6

7 a gemme de forrige. Dee er e eksempel på en såkald springbeingelse jump condiion. Vores ilfælde er speciel simpel fordi afhængigheden kun virker en vej k 1-beregningen bruger sle ikke k-giere, men er man fiks på fingerene og ferm på indeksene kan man fange mange ineressane ing på denne måde. Variaioner Ovensående beskriver hjere i prisningsalgorimen. Man skal lige sørge for a sare og slue den rigig. Tid T : VT,i k = 1 + c for alle i og k. Tid 0: Der er ingen renebealinger her og afdrage er også 0, så der er ingen ide i a udskyde. Derfor π0 k = V 0 1, k = min 1 E Q 1 + r V 1 k. 1 Dersom man har lys da de kan spare specialilfælde i koden kan man god inkludere e 1+r E Q k 1 V1 i sin min -operaor; de spiller ingen rolle da V k V k 1. Desuden kan simplere produker kun konvererbare, afdragsfri med fas udskydelse de førse 10 år, inkonvererbare og de lid mere ænke inkonvererbar valgfri afdragsfri nem prisfassæes ved mindre variaioner resrikioner af konvererbar valgfri afdragsfri lån -algorimen. 3 E aleksempel Model Vi bruger en diskreisere udgave af Vasicek-modellen med paramerene θ = 0.06, κ = 0.25, σ = Disse opfaes som paramere under e ækvivalen maringalmål; i den risko-neurale verden mao. De er θ, der påvirkes af fornufige målskif. Vasicek-modellen er simpel, men alligevel nogenlunde realisisk. Den er behagelig a regne i, og så begynder den ikke lige pludselig a gøre underlige ing fx i sin langsigsopførsel; de ku nogle modeller god lære af! Tiden snies i sykker af længde, og som i Jensen & Poulsen 2002 laves der en binomialmodel, hvor r hopper op og ned i spring af sørrelsen r = σ, således a e op -spring sker med sandsynlighed qr = κθ r, σ 7

8 hvor der dog runkeres ved hhv og Læg mærke il, a springsørrelserne ikke er ilsandsafhængige, hvorved den diskree model umiddelbar bliver rekombinerende. De niveau-afhængige sandsynligheder bruges il a fange modellens mean-reversion, ide lave rener, r < θ, gør op-spring mere sandsynlige. E naurlig valg af idsskrid er = 1/4, svarende il ermin hver 3. måned. Man skal bemærke, a paramerene er give in pro anno ermer; de beyder a man ved kodning af algorimerne fra foregående afsni skal lave subsiuionerne r r og c c på passende seder. Man kan også sagens bruge mindre idsskrid end = 1/4; herved bliver den diskree model en bedre approksimaion af Vasicek-modellen, men koden bliver mere rode. De ændrer ikke væsenlig på resulaerne i de følgende. En hel masse informaion soppe ind i 1 graf rene kuponrene udskyd med 1 klip inial renesrukur udskyd med 40 klip udskyd med 119 klip konverer med 119 klip id Figur 1: Kriiske rande for afdragsudskydelse og konverering. Figur 1 viser følgende: Sreg -kurve- - - : Iniial renesrukur. Nogenlunde realisisk; den iniiale rene er god nok noge høj, men ilgenæld rammer modellen sådan ca. de almindelige realkredilåns priser. Prik/Sreg -kurve.-.-.-: Kuponrenen. 8

9 Prik -kurve dvs. zig/zag-kurverne: Kriisk rand for konverering. Hvis den kore rene falder under denne, så ilbagebeales den reserende hovedsol. Punkerne ville i en koninuer verden ligge på en gla, monoon, konveks kurve, men da vi arbejder med en diskreisere model, så er der lige/ulige akker i kurven. Hel præcis er de 119 mulige udskydelser randen, der er egne. Som de senere vil fremgå, så er de en ikke hel uvæsenlig oplysning. Fuld oprukne kurver: Kriiske rande for afdragsudskydelse. Randene er egne for hhv. 1, 40 og 119 mulige udskydelser. Hvis renen kommer over denne rand, så skal man udskyde si afdrag. For grafikkens skyld er disse rande bleve glae ud; ellers ville de være akkede som konvereringsranden. Den umiddelbare argumenaion for a udskyde er, a markedsrenen er sørre end kuponrenen, fordi så får man mere ud af a placere si udskude afdrag på markede, end man skal beale i rene på sin eksra hovedsol på låne der jo forrenes med kuponrenen. Men der er o modsa reede opionseffeker i spil, så billede er mere komplicere end som så: Ved a udskyde miser man muligheder for a gøre de i fremiden hvor renen måske er endnu højere. Ved a udskyde øger man værdien af sin konvereringsreighed de er hele hovedsolen man kan beale ilbage; man holder flere opioner i live. Af figuren ser man, a begge effeker kan dominere. Den kriiske udskydelsesrand kan ligge såvel over som under kuponrenen. Hvis man kan udskyde så mege man lyser, så er udskydelsesranden og konvereringsranden sammenfaldende. Man vil med andre ord alid enen konverere eller udskyde si afdrag, man vil aldrig bare beale almindelig. De er fordi i dee ilfælde svarer e almindelig afdrag fuldsændig il a man konvererer en del af si lån, men hvis de ikke er opimal a konverere hele låne, så er de ydeligvis heller ikke opimal a konverere en del af de, og man udskyder derfor. Hvis man derimod har væsenlig færre klip, end der er erminer, så dominerer opporuniesabe ved udskydelse for midimellem reneniveauer, og alle re muligheder konverer, hold, udskyd kommer i spil. Dersom man kun har 1 skud i bøssen, så skal markedsrenen endda ganske mege over kuponrenen for udskydelse er opimal. Priser Man kan se fra Figur 1 a i de beragede markedsscenarie, så er de ikke opimal a udskyde klip med de samme, dersom man laver e annuieslån, hvor man kan udskyde 40 afdrag, som man vil. Men fra figuren er de svær a vurdere præcis hvor inopimal de er, hvis man eksempelvis vælger a placere sine 40 klip i de førse 40 erminer. Eksemple er naurligvis ikke spor ilfældig valg, for de afspejler hvad Nykredis udskydelseslån auomaisk gør, og hvad man kan formode, a mange 9

10 lånagere med valgfri afdragsfrie lån vil gøre af likvidiesårsager. Så vi har regne id-0 priserne på re forskellige yper annuieslån ud 40 klip, r 0 = 0.035, kuponrene = 0.05: De radiionelle realkredilån: π K 0 = Så nogenlunde = observere markedskurs. Afdragsfri lån: π K,A 0 = ; π K 0 πk,a 0 = Valgfri afdragsfri lån: π K,V A 0 = ; π K,A 0 π K,V A 0 = Pr. konsrukion er π K,V A 0 π IK 0 og π K,V A 0 π K,A 0 ellers har man kode gal, og medmindre man ser på perverse markedsscenarier, så er også π K,A 0 π IK 0. Man kan bemærke, a de eoreiske kursforskelle på radiionelle og de afdragsfrie lån ligger på god 1 kurspoin, hvilke er noge lavere en de observeres på markede, hvor forskellen for 5%-lånene er p ca. 2 kurspoin. Dee eksempel er noge nær den maksimale forskel på A- og VA-lån, vi kan lave i realisiske modeller. En lav iniial rene vil øge forskellen, men på den anden siden skal den heller ikke være for lav, for så dominerer konvereringseffeken, og alle obligaioner har kurser æ ved 100. De ses ydelig i Figur 2. Her holdes al fas ved idligere værdier, pånær den iniiale rene, der varieres mellem 2% og 15%. De beyder a den iniiale renesrukur varierer fra sejl normal over flad il sejl invers. Grafen viser forskellen mellem kurserne på afdragsfrie og valgfri afdragsfrie lån. Figur 3 viser hvad der sker for forskellige kuponrener; ikke overraskende er de sor se 8 e spejlbillede af analysen med r 0 -variaion. 8 De er ikke e fuldsændig spejlbillede fordi r 0 -variaion både flyer og sejler/falder renekurven. 10

11 Forskel mellem afdragsfri og valgfri afdragsfri Forskel mellem afdragsfri og valgfri afdragsfri pi_0^k,a pi_0^k,va pi_0^k,a pi_0^k,va iniial kor rene kuponrene Figur 2: Forskel mellem kurser på afdragsfrie og valgfri afdragsfrie lån for forskellige iniiale kor-rene niveauer. Figur 3: Forskel mellem kurser på afdragsfrie og valgfri afdragsfrie lån for forskellige kuponrener. 11

12 Volailiesfølsomhed Nedensående grafer viser hvordan priserne afhænger af korrenevolailieen σ for o forskellige iniiale kore rener. Kursforskelle på lån når iniial kor rene= Kursforskelle på lån når iniial kor rene= 0.04 Obligaionskurs sigma Nærbillede: Forskel mellem radiionel og A lån pi_0^k pi_0^k,a sigma Nærbillede: Forskel mellem A og VA lån pi_0^k,a pi_0^k,va Obligaionskurs sigma Nærbillede: Forskel mellem radiionel og A lån pi_0^k pi_0^k,a sigma Nærbillede: Forskel mellem A og VA lån pi_0^k,a pi_0^k,va sigma sigma Vi ser flere ing. For de førse giver højere volailie en øge værdi af de indbyggede opioner for alle obligaionsyper, og derfor lavere priser. Hvis volailieen er mege lav, så er prisforskellene 0: Den iniiale rene er lavere end kuponrenen, der igen er lavere end langsigsreneniveaue θ, så de bli r aldrig bedre end nu a konverere, og alle kurser er derfor 100, da der konvereres sraks. Men derudover er forskellen mellem de radiionelle realkredilån og de valgfri afdragsfrie lån mege sabil; e sor σ-område giver næsen samme prisforskel. Vi ser a valgfriheden af afdragsfriheden alså VA konra A aldrig giver anledning il dramaiske forskelle; men der er forskellige effeker i spil. Når volailieen går fra lav il middel, så siger forskellen mellem afdragsfrie og valgfriafdragsfrie lån. De er ikke overraskende, al den sund VAlåne har mere opionalie, som sigende volailie al ande lige vil gøre mere værdifuld. Men 12

13 når volailien siger yderligere fra middel il høj, så afager forskellen igen. De virker umiddelbar underlig. Forklaringen er, a når volailien er høj, så er konvereringsopioner så mege værd de er allerede noge in-he-money, a de beds kan beale sig a holde flere af dem i live ved a udskyde afdrag. Den opimale sraegi for VA-låne er alså mage il A-låne, og priserne er derfor nogenlunde ens. Vi ser her sammenhængen mellem de indbyggede reigheder. Anvendelse af udskydelsesopionerne påvirker hvor mange konvereringopioner, vi har, og der er en e negaiv feed-back fra konverering, ide de udskydelsesopionerne så bliver slåe ihjel. Hvis man alligevel sandsynligvis skal konverere snar, så er de bare med a få brug udskydelsesopionerne. Der e derfor vigig a de o opioner prises samle; man bør ikke gøre de sepera. Man skal bemærke a ændringer i volailieen, σ, også ændrer den iniiale renesrukur, og da vi arbejder med en diskreisere model, så påvirkes også selve renegiere. Man kan derfor finde en anden ype volailiesfølsomhed key volailiy sensiiviy ved a ændre σ, men samidig jusere/rekalibrere sine øvrige paramere så den iniale renekurve ca. fasholdes. Eller ændre den lange volailie via κ, mens den kore volailie og ev. renesrukuren holdes fas. Eller... Her beyder de ikke mege, og man kan diskuere længe!, hvad der giver mes mening. Man skal bare være klar over, a i en 1-fakor-model kan man ikke skrue på re mege uden de har effeker andre seder i modellen; også seder, hvor man egl. ville holde ingene fas. En sjov effek, der også illusrerer, a de o opioner i VA-låne hænger sammen, ses ved a undersøge, hvordan muligheden for a udskyde afdrag påvirker den opimale konvereringssraegi. Som Figur 4 viser, 9 ligger den kriiske konvereringsrand for e 40-klipslån ligger beydelig under den ilsvarende rand for de radiionelle 0-klipslån; ca. 100 basispunker på opagelsesidspunke. De er sammenligninger idlig i forløbe, der er mes relevane; efer 10 år har man næppe e 40-klipslån. Muligheden for a udskyde afdrag, og dermed holde sine konvereringssopioner i live, gør a man kan have mere is i maven mh. konverering. 9 For a lave den figur er skridsørrelsen i den diskreiserede Vasicek-model sa noge ned 100 skrid pr. år. 13

14 kriisk rene klip 40 klip id Figur 4: Kriisk rand for konverering for hhv. e de radiionelle lån øvers og de valgfri afdragsfrie med 40 klip. Sepera prisning De valgfri afdragsfrie konvererbare lån har o værdifulde egenskaber, der som vi har se hænger sammen. Men de er naurlig a spørge, hvor gal de går, hvis man prisfassæer dem sepera. En anden, mere posiiv klingende, måde a udlægge sepera prisning, er a sige a man benyer en eksrapolaionseknik. 10 Ial kan man foresille sig 6 forskellige kombinaioner af konvereringsreighed og afdrag; abellen nedenfor giver priser for r 0 = 0.035, kupon på 5% og ellers vore sædvanlige paramere: Inkonvererbar Konvererbar π K 0 Tradiionelle afdrag Afdragsfri i saren Valgfri afdragsfri π IK 0 = π IK,A 0 = π IK,V A 0 = = πk,a 0 = π K,V A 0 = De førse man bemærker er, a for de ganske vise noge ænke lån med afdragsfrihed men uden konvereringsre er værdien af a kunne placere sine afdrag som man vil i sede ffor bare i 10 Med eksrapolaion forsøger man a udale sig om vanskelig beregnelige ing ud fra mere simple. De er ofe ganske nyig. 14

15 saren sørre end værdien af udskydelsesopionalieen for konvererbare lån π IK,A 0 π IK,V A 0 = > = π K,A 0 π K,V A 0. De er fordi konvereringsreigheden gør afdragsudskydelser mere arakive, og den opimale sraegi derfor er a udskyde hurig,alså neop hvad A-låne auomaisk gør. Inspirere af Taylor-udviklinger er de naurlig a berage approksimaionen/eksrapolaionen: π K,z 0 π ex polk,z 0 := π0 IK π0 IK π0 K πik 0 π IK,z 0, hvor z {A, V A}. Læg mærke il, a der på højresiden sår mesendels velkende produker. De inkonvererbare og de afdragsfrie inkonvererbare er give dagens renesrukur rivielle a prise. De radiionelle realkredilån kan prises i e gier, men man kunne måske have lys il a bruge en anden model, fx en empirisk prepaymen-model, der dårlig lader sig forene med gier-modeller. A-låne: Man ser, a i dee ilfælde passer den eksrapolerede pris forbløffende god if De prikkede linier i Figur 5 og 6 viser hvordan eksrapolaionen virker for forskellige r 0 - og σ-værdier. I eksreme ilfælde kan der være nogen forskel, men ellers ser de ganske rimelig ud; eksrapolaionsfejlen er som regel ofes under basispunk. Læg mærke il a den eksrapolerede værdi kan ligge både over og under den sande værdi. De kan man god forklare, men jeg orker næsen ikke! VA-låne: De fuld oprukne linier i Figur 5 og 6 viser eksrapolaionsfejlene for VA-låne. Vi ser dels a de næsen alid er posiive. De er fordi, som idligere forklare, den separae prisning overvurderer værdien af udskydelsesopionalieen. Vi ser også væsenlig højere fejl end for VA-låne. Om de er så sore, a de gør noge, kan man diskuere, men de fremhæver igen vores eoreiske poine: VA-låne skal prises som en samle pakke. 15

16 Eksrapolaionsfejl sand ex pol for forskellige r_0 Eksrapolaionsfejl sand ex pol for forskellig volailie pi0_^sand pi_0^expol Valgfri afdragsfri pi0_^sand pi_0^expol Valgfri afdragsfri Afdragsfri Afdragsfri r_0 sigma Figur 5: Eksrapolaionsfejl for varierende r 0 for A-låne... og VA-låne Figur 6: Eksrapolaionsfejl for varierende σ for A-låne... og VA-låne 4 Konklusion Selvom den anvende model er realisisk, er den alligevel i legeøjssørrelse. Desuden ser vi bor fra en række andre effeker fx omkosninger. Man kan derfor overveje masser af: Udvidelser Man kan kalibrere si renegier il en observere renesrukur; se fx Kapiel 8 i Lando & Poulsen Man kan ogsåønske a skife il koninueridsmodeller og de ilknyede PDE er; leere il formulering af fler-fakor-modeller. Mere realisisk realkredimodellering: Modellen rammer måske observerede priser på radiionelle realkrediobligaioner dårlig; der er ihverfald ingen eksplici kalibrerering heril. Man kan lægge diverse spreads il. Eller man kan overveje, hvordan man kombinerer denne ilgangsvinkel med sin professionelle prepaymenmodel. Og når man er igang, så kunne man også overveje en mere empirisk modellering af afdragsudskydelserne end vores ren opionsbaserede. Men der er en glimrende mellemvej: Kapiel 1 Svensrup 2003 viser, hvordan siafhængighed og irraionalie af prepaymens ganske ilfredssillende kan fanges vha. en eksra ilsandsvariabel. Realprisningen sker så i e 3-dimensional gier, hvor de enkele 2-dimensionelle skiver kun hænger sammen igennem springbeingelser der dog er mere komplicerede end dem vi her har mød på erminsdage. Beregningskompleksieen ikke a forveksle med den mere subjekive, men mege reelle kodnings- 16

17 kompleksie vokser derfor ikke dramaisk. Vi forvener ikke a dee vil have sor effek på værdien af afdragsplaceringsopionen. Excecuive Summary Selvom der er flere prisningseknisk og opions-eoreisk ineressane forskelle på lån med fas afdragsfrihed i saren og lån med valgfri adragsfrihed, så er de svær a vride sore kursforskelle mere end 0.2 kurspoin mellem afdragsfrie og valgfri afdragsfrie lån ud af en realisisk model. Eller mao. de er mege æ på a være opimal a lægge sine afdragsfrie perioder førs. Lieraur Dewynne, J. & Wilmo, P. 1999?, Uniled. Working paper. Mahemaical Finance Group, Universiy of Oxford. Available a hp://www.finance.ox.ac.uk/file links/mf papers/1999mf18.pdf. Hull, J. 2002, Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 5. edn, Prenice-Hall. Jensen, B. & Poulsen, R. 2002, Transiion Densiies of Diffusion Processes: Numerical Comparison of Approximaion Techniques, Journal of Derivaives 94, Lamberon, D. & Lapeyre, B. 1996, Inroducion o Sochasic Calculus Applied o Finance, Chapman & Hall. Lando, D. 2000, En hovedsæning i finansieringseorien og lid om realkrediobligaioner. Noe. Afdeling for Anvend Maemaik og Saisik, Københavns Universie. Kan downloades fra hp://www.mah.ku.dk/ rolf/eaching/ofe01/famoes.pdf. Lando, D. & Poulsen, R. 2002, Lecure noes for he course Inveserings- og Finansieringseori. Deparmen of Applied mahemaics and Saisics, Universiy of Copenhagen. Available a hp://www.mah.ku.dk/ rolf/eaching/iff02/ifnoes.2002.pdf. Luenberger, D. G. 1998, Invesmen Science, Oxford. Pliska, S. 1997, Inroducion o Mahemaical Finance, 1. edn, Blackwell. Svensrup, M. 2003, Ineres Rae Derivaives Valuaion and Applicaion, PhD hesis, Deparmen of Finance, Aarhus School of Business. Elecronically available as working papers D a hp://www.asb.dk/deparmens/fin/research/wp/2002.hm. 17

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet Erhvervsøkonomisk insiu Afhandling Vejleder: Peer Løche Jørgensen Forfaere: Kasper Korgaard Anders Weihrauch Prisfassæelse og hedging af opioner under sokasisk volailie Suppose we use he sandard deviaion

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Indekserede Obligationer

Indekserede Obligationer Insiu for Finansiering Cand. Merc. 3. emeser Lærer: vend Jacobsen Forfaere: Per Frederisen Torben Peersen Indeserede Obligaioner - En analyse af den implicie opions enise aspeer og anvendelsesmuligheder

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie 2 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER 20062862 Tielblad Uddannelse:

Læs mere

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Pensions- og hensæelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Indhold 1 Indledning 6 1.1 Lovgrundlag.............................. 6 1.2 Ordningerne.............................. 6 2 Risikofakorer

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

tegnsprog Kursuskatalog 2015

tegnsprog Kursuskatalog 2015 egnsprog Kursuskaalog 2015 Hvordan finder du di niveau? Hvor holdes kurserne? Hvordan ilmelder du dig? 5 Hvad koser e kursus? 6 Tegnsprog for begyndere 8 Tegnsprog på mellemniveau 10 Tegnsprog for øvede

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab Poreføljeeori: Inveseringsejendomme i inveseringsporeføljen - Med særlig fokus på invesering gennem e kommandiselskab Jonas Frøslev (300041) MSc in Finance Aarhus Universie, Business and Social Sciences

Læs mere

Pricing of Oil Derivatives. -With the SABR and Schwartz models. Prisfastsættelse af Oliederivater. -Med SABR og Schwartz modellerne

Pricing of Oil Derivatives. -With the SABR and Schwartz models. Prisfastsættelse af Oliederivater. -Med SABR og Schwartz modellerne Pricing of Oil Derivaives -Wih he SABR and Schwarz models Prisfassæelse af Oliederivaer -Med SABR og Schwarz modellerne Mark Søndergaard Pedersen CPR xxxxxx-xxxx Alex Rusanov CPR xxxxxx-xxxx Vejleder:

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II Hvordan ville en rendyrke dual indkomsskaemodel virke i Danmark? Simulering af en ensare ska på al kapialindkoms Arbejdspapir II Ændre opsparingsadfærd Skaeminiserie 2007 2007.II Arbejdspapir II - Ændre

Læs mere

PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET

PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET HANDELSHØJSKOLEN I ÅRHUS INSTITUT FOR FINANSIERING CAND.MERC. FINANSIERING KANDIDATAFHANDLING VEJLEDER: MICHAEL CHRISTENSEN UDARBEJDET AF: JULIE LINDBJERG NIELSEN PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET

Læs mere

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13 Side 1 af 34 Tielblad Dao: 16. december 2004 Forelæser: Ben Dalum og Björn Johnson Vejleder: Ger Villumsen Berglind Thorseinsdoir Charloa Rosenquis Daniel Skogemann Lise Pedersen Maria Rasmussen Susanne

Læs mere

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator Side 1/6 Kompak mikroprocessorregulaor Indbygningshus ih. DIN 43 700 Kor beskrivelse er en kompak mikroprocessorsyre opunksregulaor med fronrammemåle 96mm x 96mm. Alle re udførelser af regulaoren har e

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Geodæisk Insiu før og efer GIER GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Sasgeodæ, dr. scien. Knud Poder 1 Beregningsopgave med konsekvenser 1.1 Opgaven I 1953 fik Geodæisk Insius afdeling GA1 en sørre beregningsopgave,

Læs mere

Lad totalinddækning mindske nedslidningen

Lad totalinddækning mindske nedslidningen B A T k a r e l l e Nr. 5 sepember 2006 3 mia. il ny forebyggelsesfond og eksra midler il Arbejdsilsyne, var de glade budskab, da forlige om fremidens velfærd var i hus lige før sommerferien. Side 2 Arbejdsilsyne

Læs mere

Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbuds- og priselasticitet på det Københavnske boligmarked

Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbuds- og priselasticitet på det Københavnske boligmarked Specialeafhandling for Cand. Merc sudie Erhvervsøkonomisk insiu Forfaere: Anne Kvis Nielsen Jan Furbo Fuglsang Pedersen Vejleder: Tom Engsed Udviklingen i boligomkosninger, efficiensanalyse sam udbuds-

Læs mere

Hvad spiser de? Hvordan forarbejdes skindet? S æ r l i g e. h u s d y r o p d r æ

Hvad spiser de? Hvordan forarbejdes skindet? S æ r l i g e. h u s d y r o p d r æ 53 S æ r l i g e h u s d y r o p d r æ Hvad spiser de? Mange pelsdyr er kødædere, men de er ikke mulig a give dem levende bye a spise. Derfor har forskerne udvikle en særlig slags foder, der er ilpasse

Læs mere

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD B A T k a r e l l e BAT Nr. 1 februar 2007 Bedre arbejdsmiljø, overholdelse af idsfriser, færre mangler - resulaerne fra re års arbejde med BygSoL-projeke er il a age og føle på. Side 2 Trods høje økonomiske

Læs mere

Teoretisk og empirisk markedskvalitetsanalyse af Københavns Fondsbørs i perioden fra januar 2001 til august 2003

Teoretisk og empirisk markedskvalitetsanalyse af Københavns Fondsbørs i perioden fra januar 2001 til august 2003 Insiu for Finansiering Vejleder: Carsen Tanggaard Kandidaafhandling Forfaer: Sudienummer: 243060 Teoreisk og empirisk markedskvaliesanalyse af Københavns Fondsbørs i perioden fra januar 2001 il augus 2003

Læs mere

Valgfrit afdragsfrie lån

Valgfrit afdragsfrie lån Valgfrit afdragsfrie lån Morten Nalholm nalholm@math.ku.dk Valgfrit afdragsfrie lån p. 1/32 Introduktion Prisfastsættelse Modellering af låntagerheterogenitet S.Jakobsen:"unødigt kompliceret" (om et RDs

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 2011 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Side 2 af 116 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale begivenheder...

Læs mere

BAT Nr. 4 juli 2008. Den danske model har igen vist sin robusthed

BAT Nr. 4 juli 2008. Den danske model har igen vist sin robusthed BAT Nr. 4 juli 2008 Miniseren må il lommerne og genåbne voksenlærlingeordningen. De er direke dum a lukke en ordning, som er en ordnende succes for alle parer Side 2 Byggefagene i BAT er mege ilfredse

Læs mere

SKRÆPPEBLADET. september 2005. Nr.07. Tovtrækning ved sommerfesten i Hasselhøj/Hasselengen

SKRÆPPEBLADET. september 2005. Nr.07. Tovtrækning ved sommerfesten i Hasselhøj/Hasselengen SKRÆPPEBLADET sepember 2005 Tovrækning ved sommerfesen i Hasselhøj/Hasselengen Nr.07 ISSN 0906-267X Gudrunsvej 2, kld., 8220 Brabrand Tlf. 86 25 26 99. E-pos: skraeppen@mail1. sofane.dk Hjemmeside: www.skraeppeblade.dk

Læs mere

SAM B. Samarbejde om borger/patientforløb. Samarbejdsaftale mellem kommuner og region om borger/patientforløb i Region Syddanmark

SAM B. Samarbejde om borger/patientforløb. Samarbejdsaftale mellem kommuner og region om borger/patientforløb i Region Syddanmark SAM B Samarbejde om borger/paienforløb Samarbejdsafale mellem kommuner og region om borger/paienforløb i Region Syddanmark Forord il medarbejderen 2 3 Denne pjece indeholder en kor version af den regionale

Læs mere

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til myndighedspersoner

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til myndighedspersoner Maganvendelse i forhold il personer med beydelig og varig nedsa psykisk funkionsevne Til myndighedspersoner Publikaionen er udgive af Socialsyrelsen Edisonsvej 18, 1. 5000 Odense C Tlf.: 72 42 37 00 E-mail:

Læs mere

Udarbejdet af gr. 542 Aalborg Universitet, AAUE 2002 Det teknisk-naturvidenskabelige falkultet Institut 7 Niels Bohrs Vej 8 6700 Esbjerg

Udarbejdet af gr. 542 Aalborg Universitet, AAUE 2002 Det teknisk-naturvidenskabelige falkultet Institut 7 Niels Bohrs Vej 8 6700 Esbjerg Udarbejde af gr. 542 Aalborg Universie, AAUE 2002 De eknisk-naurvidenskabelige falkule Insiu 7 Niels Bohrs Vej 8 6700 Esbjerg Tielblad Tiel: Klimacompuer il vækshus Tema: Appara- og/eller sysemkonsrukion

Læs mere

Bilag 1 Kravspecifikation

Bilag 1 Kravspecifikation Bilag 1 specifikaion Indholdsforegnelse 1. Indledning 1 1.1 Baggrund 1 1.2 Formål 1.3 Overordnede rammer for syseme 2 3 1.4 Definiioner og forkorelser 4 1.5 Besvarelse af krav 4 2. 2.1 Funkionelle krav

Læs mere

Kirkeligt Teater. Underholdende

Kirkeligt Teater. Underholdende Kirkelig Teaer For børn og familier, minikonfirmander, konfirmander, unge og voksne»de er Kirkeeaeres oplevelse, a når børn og unge morer sig under forkyndelsen, husker de mege bedre den bibelske forælling«foredrag

Læs mere

Dynamiske Rentemodeller

Dynamiske Rentemodeller Dynamiske Renemodelle BD & ande én-fako modelle Noa il Invesmens Ovesig Behove fo dynamiske modelle. Klassiske dynamiske modelle og foskellige specifikaione. De klassiske modelles mangle. Ny indsig og

Læs mere

Grønne regnskaber 2013

Grønne regnskaber 2013 Grønne regnskaber 2013 Grøn og dynamisk med respek for dig! 1 Udgiver: Miljø- og Energiforvalningen Aalborg Forsyning, Renovaion Over Bækken 2 9000 Aalborg Udgivelse: April 2014 Sagsnr.: 2013-50948 Dok.

Læs mere

Professionel erhvervsudlejning

Professionel erhvervsudlejning Den grønne vej il sor bundlinie Læs side 30 ESTATE MAGASIN Magasin om byggeri, ejendom og invesering udgives i samarbejde med Byggesocieee Nr. 08 2013 6. årgang Konor, lager & forrening? - Lejerne finder

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 19. marts 2015 Dias 1/22 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic Sofsarere, moorsyringer og elekroniske konakorer CI-ronic INDUSTRIAL CONTROLS Elekroniske konakorer CI-ronic konakorer er skræddersyede il kræende indusrielle applikaioner. Takke ære indbygge LTE-eknik

Læs mere

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf

Læs mere

Dansk Byggeri rejser useriøs kritik

Dansk Byggeri rejser useriøs kritik B A T k a r e l l e BAT Nr. 5 sepember 2007 Den 29. juni besluede forligsparierne a revidere Øsafalen. Revisionen kom i sand efer god en måneds forhandlinger mellem Beskæfigelsesminiserie, Dansk Arbejdsgiverforening

Læs mere

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til fagpersoner

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til fagpersoner Maganvendelse i forhold il personer med beydelig og varig nedsa psykisk funkionsevne Til fagpersoner Publikaionen er udgive af Socialsyrelsen Edisonsvej 18, 1. 5000 Odense C Tlf.: 72 42 37 00 E-mail: socialsyrelsen@socialsyrelsen.dk

Læs mere

Kommunikation der samler virksomheden

Kommunikation der samler virksomheden IPVis Connec Asger Andersen info@ipvis.dk Kommunika der samler virksomheden +45 8888 7777 765 Kalender 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 Salg Magnus Knudsen Nicklas Kaspersen Oscar Chrisoffersen Anne Peersen

Læs mere

Byg en mur rundt om din pc

Byg en mur rundt om din pc BESKYT PC EN MOD ANGREB FRA INTERNETTET: Byg en ur rund o din pc Ny progra på cd en Med en firewall på copuen har du en effekiv ur od kriinelle fra innee. Freov vil du finde firewallen ZoneAlar på cd en,

Læs mere

Udviklings- og efteruddannelsesdag fredag den 2. maj 2014 på Trinity for almen praksis i Region Syddanmark

Udviklings- og efteruddannelsesdag fredag den 2. maj 2014 på Trinity for almen praksis i Region Syddanmark Program il Udviklings- og eferuddannelsesdag fredag den 2. maj 2014 på Triniy for almen praksis i Region Syddanmark Praksisdag Syd 2.5.2014 KEU syd Praksisdag Syd 2. maj 2014 Målgruppen for Praksisdag

Læs mere

Teknisk baggrundsnotat om de finanspolitiske udfordringer frem mod 2040

Teknisk baggrundsnotat om de finanspolitiske udfordringer frem mod 2040 Grønlands Økonomiske Råd, okober 21 Teknisk baggrundsnoa om de finanspoliiske udfordringer frem mod 24 Indhold Del I: Model og meode...3 1. Finansindikaoren...3 1.1. Den offenlige ineremporale budgeresrikion

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Rentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu

Rentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu Rentesregning Vi skal kigge på hvordan en lille rente kan have stor betydning på den samlede gæld. Vi skal kigge på lånetyper og opsparings samt gældsformlerne. Version 2.1 Sct. Knud Henrik S. Hansen Dine

Læs mere

Invitation til udviklings- og efteruddannelsesdag fredag den 23. maj 2008 på Trinity - for almen praksis i Region Syddanmark

Invitation til udviklings- og efteruddannelsesdag fredag den 23. maj 2008 på Trinity - for almen praksis i Region Syddanmark Inviaion il udviklings- og eferuddannelsesdag fredag den 23. maj 2008 på Triniy - for almen praksis i Region Syddanmark Praksisdag Syd 23.5.2008 Praksisdag Syd 23. maj 2008 Målgruppen for Praksisdag Syd

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 9. oktober 2012 Dias 1/19 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

DFG/TFG 660-690 DFG 660 DFG 670 DFG 680 DFG 690 DFG S80 DFG S90 TFG 660 TFG 670 TFG 680 TFG 690 TFG S80 TFG S90. Driftsanvisning 12.12 - 11.

DFG/TFG 660-690 DFG 660 DFG 670 DFG 680 DFG 690 DFG S80 DFG S90 TFG 660 TFG 670 TFG 680 TFG 690 TFG S80 TFG S90. Driftsanvisning 12.12 - 11. DFG/TFG 660-690 12.12 - Drifsanvisning 51289397 11.14 K DFG 660 DFG 670 DFG 680 DFG 690 DFG S80 DFG S90 TFG 660 TFG 670 TFG 680 TFG 690 TFG S80 TFG S90 Overenssemmelseserklæring Jungheinrich AG, Am Sadrand

Læs mere

Bilag 1: Beregningseksempel.

Bilag 1: Beregningseksempel. Bila 1: Bereninseksemel. Claus F. Jensen, 5/4-01 Bilae har il ormål a vise bereninsroceduren or e elemen a en lasacade. De anvende elemen er rundlæende idenisk med de i ren 13947 anivne. Der renes i dee

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Praksisorienteret forskningsformidling via et offentligt website

Praksisorienteret forskningsformidling via et offentligt website Praksisorienere forskningsformidling via e offenlig wesie Refleksioner over meoder anvend i forindelse med rekonsrukion af wesie for By og Byg (Saens Byggeforskningsinsiu) Jesper Kirkeskov Maserafhandling

Læs mere

fermacell Brandbeskyttelse Ekstraordinær brandbeskyttelse med fermacell Aestuver og fermacell Firepanel A1

fermacell Brandbeskyttelse Ekstraordinær brandbeskyttelse med fermacell Aestuver og fermacell Firepanel A1 fermacell Brandbeskyelse Eksraordinær brandbeskyelse med fermacell esuver og fermacell Firepanel 1 2 Brandbeskyelse af bjælker og søjler med fermacell esuver Pladens opbygning Fermacell esuver pladen er

Læs mere

Byg med Weber. Leca letklinker på toppen af Nyborg Lige i skabet Weber App en - få svar her og nu Mørtelvælgeren

Byg med Weber. Leca letklinker på toppen af Nyborg Lige i skabet Weber App en - få svar her og nu Mørtelvælgeren Facade og mur Nyheder Gulve Leca Flisv Anvendelsesip Produker Find forhandler Konak Min konakperson Farveværkøj Projeker Videoer Forsiden Projeker Nyheder Om Weber Leca leklinker på oppen af Nyborg Lige

Læs mere

Hvor lang tid varer et stjerneskud?

Hvor lang tid varer et stjerneskud? Hvor lang id varer e jernekud? Ole Wi-Hanen, Køge Gymnaium Hvordan kan man ud fra en meeor mae og haighed bekrive den vej ned gennem amofæren? Her giver forfaeren en fremilling af fyikken bag. Søndag den

Læs mere

Elevatorlifte Platformslifte Trappelifte. Botved lifte - det handler alt sammen om tilgængelighed...

Elevatorlifte Platformslifte Trappelifte. Botved lifte - det handler alt sammen om tilgængelighed... Elevaorlife Plaformslife Trappelife Boved life - de handler al sammen om ilgængelighed... Elevaorlife Plaformslife Trappelife Op og ned uden sore armbevægelser... A insallere en elevaor i en eksiserende

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Afdragsfrie lån Hvis du vil have luft til nye muligheder

Afdragsfrie lån Hvis du vil have luft til nye muligheder Afdragsfrie lån Hvis du vil have luft til nye muligheder Hvad er et afdragsfrit lån? Hos Realkredit Danmark kan du få disse låntyper med afdragsfrihed: fastforrentede lån, FlexGaranti og FlexLån. I de

Læs mere

DEPARTMENT OF MANAGEMENT

DEPARTMENT OF MANAGEMENT DEPARTMENT OF MANAGEMENT AFDELING FOR VIRKSOMHEDSLEDELSE Workng Paper 2003-6 Danske selskaber udbealer udbyer som aldrg før Mee Rosborg Aagard Johannes Raaballe UNIVERSITY OF AARHUS DENMARK ISSN 1398-6228

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

De danske huspriser. homes husprisindeks. 180 Realkreditrådet. Home s Danske Husprisindeks. Danmarks Statistik. 80 www.danskebank.

De danske huspriser. homes husprisindeks. 180 Realkreditrådet. Home s Danske Husprisindeks. Danmarks Statistik. 80 www.danskebank. De danske huspriser homes husprisindeks København den 1. sept. 7 For yderligere information: Steen Bocian, Danske Bank +5 5 1 5 31, stbo@danskebank.dk Niels H. Carstensen, home +5 15 3 nica@home.dk Den

Læs mere

BRUGERMANUAL FOR ESA BRANDALARMCENTRAL FLERE ALARMER I DRIFT TIL- KOBLING FRA- KOBLING OBS!

BRUGERMANUAL FOR ESA BRANDALARMCENTRAL FLERE ALARMER I DRIFT TIL- KOBLING FRA- KOBLING OBS! ESMI A/S - tlf.: +45 60 18 37 18, - www.esmi.dk BRUGERMANUAL FOR ESA BRANDALARMCENRAL FORVARSLING SLUKNINGSANLÆG AKIVERE RØGVENILAION AKIVERE AKIVERE ALARMSENDER AKIVERE ILBAGESILLING MISLYKKE IL / FRA

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Hvor kommer du fra? Hvordan kan vi bruge data fra projektet i undervisningssammenhæng?

Hvor kommer du fra? Hvordan kan vi bruge data fra projektet i undervisningssammenhæng? Hvor kommer du fra Hvordan kan vi bruge data fra projektet i undervisningssammenhæng Slutkonference ulaen på arhus Universitet, d. 31 marts 2014 Frank Grønlund Jørgensen Ph.d. i biologi fra U med fokus

Læs mere

Yderligere teknisk data Brændestilling. Spænding Lampespænding Lyskilde Lyskilde finish

Yderligere teknisk data Brændestilling. Spænding Lampespænding Lyskilde Lyskilde finish Produk Kompake udladningslamper med høj lysudbye Fordele Høj lysudbye begrænser analle af påkræe belysningsarmaurer, hvilke både minimerer anskaffelsesog drifsudgiferne Den gode farvegengivelse skaber

Læs mere

Brugervejledning til Højkvalitetsdokumentationen og Dialogforummet på Danmarks Statistiks hjemmeside

Brugervejledning til Højkvalitetsdokumentationen og Dialogforummet på Danmarks Statistiks hjemmeside Brugervejledning til Højkvalitetsdokumentationen og Dialogforummet på Danmarks Statistiks hjemmeside Forord Denne vejledning beskriver baggrunden for begreber og sammenhænge i Danmarks Statistiks dokumentationssystem

Læs mere

Introduktion til SPSS

Introduktion til SPSS Introduktion til SPSS Øvelserne på dette statistikkursus skal gennemføres ved hjælp af det såkaldte SPSS program. Det er erfaringsmæssigt sådan, at man i forbindelse af øvelserne på statistikkurser bruger

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Matematik og spil. Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014

Matematik og spil. Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014 Enhedens navn Matematik og spil Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014 På disse slides skal spil læses som væddemål. Hvorfor

Læs mere

OPQ Profil OPQ. Lær mere. Navn Sample Candidate. Dato 1. oktober 2013. www.ceb.shl.com

OPQ Profil OPQ. Lær mere. Navn Sample Candidate. Dato 1. oktober 2013. www.ceb.shl.com OPQ Profil OPQ Lær mere Navn Sample Candidate Dato 1. oktober 2013 www.ceb.shl.com Introduktion En opmærksomhed på individuel læring er i stigende grad afgørende for udviklingen af de menneskelige ressourcer,

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Rente, lån og opsparing

Rente, lån og opsparing Rente, lån og opsparing Simpel rente og sammensat rente... 107 Nogle vigtige begreber omkring lån og opsparing... 109 Serielån... 110 Annuitetslån... 111 Opsparing... 115 Rente, lån og opsparing Side 106

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

FINANSIERING 1. Opgave 1

FINANSIERING 1. Opgave 1 FINANSIERING 1 3 timers skriftlig eksamen, kl. 9-1, onsdag 9/4 008. Alle sædvanlige hjælpemidler inkl. blyant er tilladt. Sættet er på 4 sider og indeholder 8 nummererede delspørgsmål, der indgår med lige

Læs mere

Vurdering af billedmanipulation Opgave 1

Vurdering af billedmanipulation Opgave 1 Vurdering af billedmanipulation Opgave 1 Beskriv de enkelte funktioner i dit tegneprogram... Er der tale om en korrektion eller en modifikation? Før vi kan begynde at kategorisere de forskellige funktioner

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Forbrug af film- og tv-serier og pirateri i danske husstande 2013

Forbrug af film- og tv-serier og pirateri i danske husstande 2013 Side 1 af 12 YouSee A/S, Presse DATO 17/4-2013 INITIALER BWJ/IKJE Version: FINAL Forbrug af film- og tv-serier og pirateri i danske husstande 2013 Forord Denne analyse er den fjerde i en række, som YouSee

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Ejendomsværdibeskatning i Danmark

Ejendomsværdibeskatning i Danmark DET SAMFUNDSVIDENSABEIGE FAUTET Økonomisk Insiu ØBENAVNS UNIVERSITET andidaspeciale aine Gønbæk von Fühen Ringsed Ejendomsvædibeskaning i Danmak Analysee i en anvend geneel ligevægsmodel Vejlede: oul Schou

Læs mere

Effektiv søgning på web-steder

Effektiv søgning på web-steder Effektiv søgning på web-steder 7. maj 1998 Udarbejdet af DialogDesign ved Rolf Molich, Skovkrogen 3, 3660 Stenløse Indhold 1. Indledning 3 1.1. Model for søgning 3 2. Forskellige former for søgning 4 2.1.

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere