Vektorregning. Vektorer som lister

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Vektorregning. Vektorer som lister"

Transkript

1 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning med dem. Husk at listens elementer adskilles med komma, altså {1,2,3}: Som det ses, er det helt problemfrit at lægge vektorer sammen og gange dem med skalarer. Det er også ganske nemt at få adgang til koordinaterne i en vektor fx er a[1] første koordinaten i a. Tip: Krydsproduktet er defineret i både 2 og 3 dimensioner. I 2 dimensioner er krydsproduktet en 3- dimensional vektor, der peger op ad z- aksen. Mere problematisk er produktet. Man kan jo ikke gange to vektorer sammen, og forsøger man alligevel, så får man koordinaterne ganget sammen koordinat for koordinat og det kan ikke bruges til noget her. Derimod er TI-89 Titanium / Voyage 200 udstyret med to kommandoer til udregning af prikprodukt og krydsprodukt. Kommandoerne hedder DotP og CrossP, hhv. 97 Vektorregning

2 Dette er stort set, hvad TI-89 Titanium / Voyage 200 indeholder til vektorregning resten må du selv lave. Start med at definere længden af en vektor (Define skrives nemmest med 1): Define len(v)= (dotp(v,v)) Efter definitionen placeres len i Catalog under User-Defined (andet skærmbillede nedenfor): Tip Ved at dividere med 1 er, at du får resultatet ud i grader, selvom indstillingen er RADIAN Det kan også være nyttigt at have en kommando, der giver vinklen mellem to vektorer. Standardformlen er Define vinkel(u,v)= cos -1 (DotP(u,v)/(len(u)*len(v))/1 Tip Du kan benytte genvejstasterne: Voyage 200: F TI-89 Titanium: Í Desværre er skærmen for lille til at vise denne definition. Værre bliver det, når projektionsformler, afstandsformler mv. skal indtastes. På side 100 får du en opskrift på, hvordan alle de gængse formler fra vektorregningen indtastes. Dette arbejde skal du kun gøre én gang. Herefter ligger de lagret i maskinens hukommelse. Hvis du på et tidspunkt glemmer, hvordan en af formlerne er bygget op, så skal du ind i Var-Link for at undersøge dette. Se appendiks til dette afsnit, hvis du vil lave en skræddersyet menu til dine vektoroperationer. 98 Vektorregning

3 I en plan er givet to vektorer aog b, hvor a = 2, a b= 4 og a+ b = 2 Find længden af b Bestem et gradtal for vinklen mellem a og a+ b. Opgaven regnes igennem med koordinater. Da koordinatsystemet kan vælges frit, kan kordinaterne til a vælges til at være {2,0}. Koordinaterne til b sættes til at være {x,y}, hvor x og y skal bestemmes ud fra de givne oplysninger. Når først x og y er bestemt, er det en triviel sag at finde længden af b og vinklen mellem a og a+ b. 99 Vektorregning

4 TI-89 Titanium / Voyage 200 kommando Længden af en vektor v Define len(v)= (dotp(v,v)) Formel vv Vinklen mellem to vektorer u og v Define vinkel(u,v)= cos -1 (DotP(u,v)/(len(u)*len(v)) cos 1 u v uv Projektionen af en vektor u på en vektor v Define proj(u,v)=dotp(u,v)/dotp(v,v)*v u v vv v Afstand fra et punkt P til et punkt Q Define dist(p,q)=len(q-p) PQ Afstand fra et punkt P til en plan p (med ankerpunkt P0 og normalvektor n) Define distp(p,po,n)=abs(dotp(n,p-po))/len(n) npp 0 n Afstand fra et punkt P til en linje l (med ankerpunkt P0 og retningsvektor u) Define distl(p,po,u)= len(crossp(u,p-po))/len(u) u PP u 0 Afstand fra en linje l (med ankerpunkt P0 og retningsvektor u) til en linje m (med ankerpunkt Q0 og retningsvektor v) Define distll(po,u,qo,v)= abs(dotp(crossp(u,v),qo-po))/len(crossp(u,v)) ( u v) PQ 0 0 u v Areal af parallelogram udspændt af vektorerne u og v Define areal(u,v)=len(crossp(u,v)) u v 100 Vektorregning

5 I et koordinatsystem i rummet er givet tre vektorer a= 2, b= 1, c= Bestem et gradtal for vinklen mellem aog b. Bestem koordinatsættet til projektionen af a på b. Bestem tallene s og t, således at vektoren d = a+ s b+ t c står vinkelret på både b og c, og angiv koordinaterne for d. I nedenstående 3 skærmbilleder løses opgaven: 101 Vektorregning

6 I et koordinatsystem i rummet er givet et punkt P(5,4,3). To linjer l og m er bestemt ved: l : x 8 1 y = 0 + t 0, z 0 1 t R m : x 4 1 y = 4 + s 2, z 2 0 s R Bestem en ligning for den plan α, der indeholder P og l. Find koordinatsættet til m's skæringspunkt med α. Bestem et gradtal for den spidse vinkel, som m danner med α. Bestem en parameterfremstilling for den linje, der går gennem P og skærer både l og m. Først laves en række tildelinger (vises ikke på skærmbillederne nedenfor): {5,4,3} p {8,0,0} p0 {4, 4,2} q0 {1,0,1} u {1,2,0} v Så kan de to parameterfremstillinger indtastes således: Ligning for den plan α, der indeholder P og l kan bestemmes således: Først finder du normalvektoren ved n= PP u og ligningen for planen ved: 0 x 5 α : n y 4 z 3 = Vektorregning

7 Dette laver du således på TI-89 Titanium / Voyage 200: For at finde koordinatsættet til m's skæringspunkt med α, skal du indsætte parameterfremstillingen for m i planens ligning. Du får fat i første koordinaten i m's parameterfremstilling ved at skrive m(s)[1] og tilsvarende for de øvrige koordinater. Gør således: Kopier planens ligning til indtastningslinjen og tilføjer x=m(s)[1] and y=m(s)[2] and z=m(s)[3] efter ligningen. Så vil du få parameterfremstillingen for m indsat i planens ligning. Det en triviel sag at løse den ligning, der kommer frem: Skæringspunktet mellem m og α er altså {7,2,2}. Dette punkt kaldes q. Vinklen, som m danner med α, findes let med den brugerdefinerede funktion vinkel. Den linje, der går gennem P og skærer både l og m, må gå igennem m's skæringspunkt med α altså q. Dvs., du skal blot finde parameterfremstillingen for linjen gennem p og q. Se skærmbilledet til højre ovenfor, hvor r er benyttet som parameter. 103 Vektorregning

8 Bemærkning: Man kunne lige så vel have benyttet matricer til vektorer enten som rækkevektorer eller som søjlevektorer. Men der vindes ikke ret meget derved. Rækkevektorer indtastes med kantede parenteser og komma som separator. Søjlevektorer indtastes også med kantede parenteser, men med semikolon som separator. Addition og skalarmultiplikation fungerer som forventet, i kraft af at vektorerne her opfattes som matricer. Derimod fungerer multiplikation ikke, da spillereglerne for matrixmultiplikation ikke overholdes. Her er man altså også nødt til henvise til dotp for skalarprodukt og crossp for krydsprodukt. Hvis en søjlevektor kopieres til indtastningslinjen fra historikområdet, vil søjlevektoren ikke vise sig med semikolon som separator, men på formen [[1] [2] [3]], som er standardindtastningen af en matrix. Gevinsten ved at benytte matricer er, at så har vi automatisk længden af en vektor til rådighed, nemlig Norm( ) Denne virker imidlertid kun på matricer ikke på lister. Den norm, len(), vi har defineret, virker på såvel lister som på matrix-vektorer. Det samme gælder i øvrigt for alle de regneoperationer, der er beskrevet på side 100. Endelig findes kommandoen UnitV( ) der returnerer en enhedsvektor med samme retning som en given matrixvektor. Skulle der opstå behov for denne i forbindelse med liste-vektorer, er det ingen sag at definere denne. 104 Vektorregning

9 Appendiks menu til vektorregning Ved at skrive et simpelt program menu() kan du oprette din egen oversigt over kommandoer med tilhørende syntaks. Du starter programeditoren fra skrivebordet eller med O 7, hvis du ikke har skrivebordet slået til. Vælg New.. og kald programmet menu (skærmbilledet til højre). Afslut med, og en næsten tom programeditor kommer frem. Denne udfylder du som vist nedenfor (en række sammenklippede skærmbilleder): menu() (husk parenteserne). Der sker tilsynela- Start nu programmet dende ingenting. 105 Vektorregning

10 Tryk på ¾, og straks kommer din nye menulinje frem. Tast ƒ for at se kommandoerne og for at se syntaksen: Kommandoerne fra ƒ kan hentes til indtastningslinje på sædvanlig vis. ¾-tasten virker som en vippe-kontakt. Et tryk på ¾, og menuerne skifter til de brugerdefinerede menuer ƒ Kommandoer og Syntax. Endnu et tryk på ¾-tasten, og de brugerdefinerede menuer fjernes igen. 106 Vektorregning

TI-Nspire TM CAS. Software version 2.1. introduktion og eksempler

TI-Nspire TM CAS. Software version 2.1. introduktion og eksempler TI-Nspire TM CAS Software version 2.1 introduktion og eksempler TI-Nspire TM CAS introduktion og eksempler Copyright 2010 by Texas Instruments Denne PDF-fil er gratis og må frit bruges til undervisningsformål.

Læs mere

Knud Nissen. TI-89 Titanium Voyage 200. introduktion og eksempler

Knud Nissen. TI-89 Titanium Voyage 200. introduktion og eksempler Knud Nissen TI-89 Titanium Voyage 200 introduktion og eksempler Knud Nissen TI-89 Titanium / Voyage 200 introduktion og eksempler Copyright 2000 by Texas Instruments 4. reviderede oplag 2005 Tryk: Jelling

Læs mere

Kom godt i gang med Maple 12 (Document mode)

Kom godt i gang med Maple 12 (Document mode) Kom godt i gang med Maple 12 (Document mode) Adept Scientific 2008 I Document mode har du en helt blank side at skrive på, og altså ingen røde >. Når du åbner en ny side, ser øverste venstre hjørne således

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Lectio. Spørgeskema. 1. udgave august 2007 OD

Lectio. Spørgeskema. 1. udgave august 2007 OD Lectio Spørgeskema 1. udgave august 2007 OD Indledning Lectio kan anvendes til mere end notering af fravær, studieplan, studierapport og undervisningsbeskrivelse. Det kan også bruges til at lave spørgeskemaundersøgelser

Læs mere

At gemme en opgave eller graf på TI-89 / Voyage 200 til senere brug eller til dokumentation på Pc.

At gemme en opgave eller graf på TI-89 / Voyage 200 til senere brug eller til dokumentation på Pc. At gemme en opgave eller graf på TI-89 / Voyage 200 til senere brug eller til dokumentation på Pc. af Behrndt Andersen Heri gennemgås hvordan, man på Voyage 200og TI-89 kan gemme en opgave og dens grafer

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

BRUG AF LISTEFUNKTIONER I EXCEL

BRUG AF LISTEFUNKTIONER I EXCEL BRUG AF LISTEFUNKTIONER I EXCEL Lister kan i Excel anvendes til forskellige formål. Her skal vi se på et af disse, nemlig anvendelsen af lister til "databaselignende" funktioner. For at kunne anvende de

Læs mere

Software version 3.6. Eksempelsamlingen 1. del: Introduktion til værkstederne

Software version 3.6. Eksempelsamlingen 1. del: Introduktion til værkstederne Software version 3.6 Eksempelsamlingen 1. del: Introduktion til værkstederne Eksempelsamlingen 1. del Introduktion til værkstederne Copyright december 2013 by Texas Instruments Eksempelsamlingen vedligeholdes

Læs mere

AFFINE KRYPTOSYSTEM. Programmering og Talteori med TI-Nspire. Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen. Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15

AFFINE KRYPTOSYSTEM. Programmering og Talteori med TI-Nspire. Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen. Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15 AFFINE KRYPTOSYSTEM Programmering og Talteori med TI-Nspire Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15 Forord Indholdsfortegnelse Forord... 3 1. Introduktion til

Læs mere

Excel-6: HVIS-funktionen

Excel-6: HVIS-funktionen Excel-6: HVIS-funktionen Regnearket Excel indeholder et væld af "funktioner" som kan bruges til forskellige ting indenfor f.eks. finans, statistik, logiske beregninger, beregninger med datoer og meget

Læs mere

Excel-1: kom godt i gang!!

Excel-1: kom godt i gang!! Excel-1: kom godt i gang!! Microsoft Excel er et såkaldt regneark, som selvfølgelig bliver brugt mest til noget med tal men man kan også arbejde med tekst i programmet. Excel minder på mange områder om

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Word-5: Tabeller og hængende indrykning

Word-5: Tabeller og hængende indrykning Word-5: Tabeller og hængende indrykning Tabel-funktionen i Word laver en slags skemaer. Word er jo et amerikansk program og på deres sprog hedder skema: table. Det er nok sådan udtrykket er opstået, da

Læs mere

Introduktion til geometri med TI-Nspire CAS version 3.2 Midtsjællands Gymnasieskoler 2012-13

Introduktion til geometri med TI-Nspire CAS version 3.2 Midtsjællands Gymnasieskoler 2012-13 Introduktion til geometri med TI-Nspire CAS version 3.2 Midtsjællands Gymnasieskoler 2012-13 Materialet er udarbejdet af Brian Olesen med assistance fra Bjørn Felsager. Dynamiske geometriprogrammer Dynamisk

Læs mere

Sådan kommer du i gang med Socrative en praktisk guide

Sådan kommer du i gang med Socrative en praktisk guide Sådan kommer du i gang med Socrative en praktisk guide Indhold Hvad er Socrative?... 1 Hvordan kommer man i gang?... 1 Sådan laver du en quiz... 3 Oprettelse af Multiple Choice-spørgsmål... 5 Oprettelse

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5 INDHOLDSFORTEGNELSE Side Indledning Kapitel 1 Introduktion til funktioner af variable 3 Niveaukurver 5 Kapitel Partiel differentiation og gradienten 7 Kapitel 3 Differentialet 1 Fejlvurdering 13 Tangentplan

Læs mere

Kom nemt i gang med. TRE fra ScanDis A/S

Kom nemt i gang med. TRE fra ScanDis A/S Kom nemt i gang med TRE fra ScanDis A/S TAL SEORD TEX Denne korte manual gør det muligt, hurtigt og nemt, at komme i gang med at bruge programmerne ViTal, ViseOrd og ViTex fra ScanDis A/S Kom nemt i gang

Læs mere

Manual til Wordpress. 1. Log ind på din Wordpress-side. Indhold: Sådan opdaterer du din hjemmeside i Wordpress.

Manual til Wordpress. 1. Log ind på din Wordpress-side. Indhold: Sådan opdaterer du din hjemmeside i Wordpress. Manual til Wordpress Sådan opdaterer du din hjemmeside i Wordpress. Dette er en manual til de mest grundlæggende ting, så du selv kan redigere indholdet og lægge nyt på din hjemmeside. Guiden er skrevet

Læs mere

Gør dig klar til Google AdWords Workshop

Gør dig klar til Google AdWords Workshop Gør dig klar til Google AdWords Workshop Nu er du snart klar til at komme på workshop og blive ekspert i AdWords. Du skal inden kursusstart have oprettet din AdWords konto. Vi hjælper dig i gang med denne

Læs mere

EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad

EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad af Bjørn Felsager, Knud Nissen og Niels Fruensgaard Flagskibet blandt geometriprogrammer The Geometers SketchPad

Læs mere

Gør dig klar til Google AdWords Workshop

Gør dig klar til Google AdWords Workshop Gør dig klar til Google AdWords Workshop Nu er du snart klar til at komme på workshop og blive ekspert i AdWords. Du skal inden kursusstart have oprettet din AdWords konto. Vi hjælper dig i gang med denne

Læs mere

EXCEL 2010 LÆR DET SELV

EXCEL 2010 LÆR DET SELV JES NYHUS EXCEL 2010 LÆR DET SELV EXCEL 2010 LÆR DET SELV Nyt i Excel 2010 Båndet, knappen Filer og værktøjslinjerne Navigering og tilpasning Excel 2010 lær det selv 1. udgave, 2. oplag 2011 Copyright

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere