Matematik A. Højere handelseksamen. Vejledende opgave 2

Transkript

1 Matematik A Højere handelseksamen Vejledende opgave Efterår 01

2 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres kl. 10. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 6 til 13C med i alt 18 spørgsmål. De 3 spørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægt. I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes. I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt. Til eksamenssættet hører følgende fire datafiler: husholdning alder afs-pris maskindele

3 Side 1 af 10 sider Delprøven uden hjælpemidler Kl Opgave 1 En funktion f er givet ved forskriften f ( x) = 6x + 1x. 5 y f f Funktionen har nulpunkter i x = 0 og x =. a) Bestem arealet af det grå område på figuren. xx Opgave a) Gør rede for, at funktionen f ( x) = 5x er en løsning til differentialligningen dy dx y =. x Opgave 3 En virksomhed har anskaffet et nyt produktionsapparat. Produktionsapparatets værdi afskrives efter den lineære metode, dvs. produktionsapparatets værdi falder med en fast størrelse hvert år. Produktionsapparatets værdi V kan beskrives ved en lineær funktion med forskriften V ( x) = ax + b, hvor V (x) er produktionsapparatets værdi x år efter anskaffelsen. Anskaffelsesprisen er kr. og den årlige afskrivning er kr. a) Bestem en forskrift for V (x), og bestem hvor lang tid der går, før produktionsapparatets værdi er afskrevet til kr.

4 Side af 10 sider Opgave 4 a) Tegn grafen for en funktion f, der opfylder følgende: f har nulpunkt i x = 1 f ( 3) = 9 f '( 3) = 0 Dm ( f ) = 5;5 [ ] Bilag 1 kan benyttes. Opgave 5 En virksomhed producerer og afsætter en vare. Omkostningerne C (i 1000kr.) og omsætningen R (i 1000 kr.) ved produktionen kan beskrives ved funktionerne C( x) = x + 5, x 0 R ( x) = x + 8x, 0 x 8 y R C hvor x er afsætningen i tons. Overskuddet P (i 1000 kr.) bestemmes ved overskud = omsætning omkostninger P x a) Bestem en forskrift for overskuddet P og bestem virksomhedens størst mulige overskud. Besvarelsen afleveres kl

5 Side 3 af 10 sider Delprøven med hjælpemidler Kl Opgave 6 Følgende to spørgsmål besvares uafhængigt af hinanden: a) Undersøg, ved hjælp af et CAS-værktøj, om nedenstående udtryk er sandt. a b + a a ( b a) 3 ( a b) = b 3 a b b) Integralet x ln( x + 5) dx er bestemt ved substitution. x ln( x + 5) dx Integralet der skal bestemmes. = ln( t) dt = t ln( t) t + K = ( x + 5) ln( x + 5) ( x + 5) + K

6 Side 4 af 10 sider Opgave 7 I en undersøgelse har man spurgt 1406 danskere om deres syn på egen økonomiske situation. Følgende spørgsmål blev stillet: Hvor let synes du, det er at få pengene til at slå til i husholdningen? De 1406 danskere er blevet grupperet efter deres arbejdsmæssige status. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen husholdning. Arbejdsmæssig status Lønmodtager e. Meget svært Selvstændig a. Meget let : : Pensionist e. Meget svært Syn på egen økonomiske situation a) Konstruér et skema som nedenstående, der indeholder data fra filen husholdning. Arbejdsløs Lønmodtager Pensionist Selvstændig Studerende Total a. Meget let b. Let c. Nogenlunde let d. Lidt svært e. Meget svært Total 1406 Det ønskes undersøgt, om der er uafhængighed mellem arbejdsmæssig status og syn på egen økonomiske situation. b) Opstil en nulhypotese og en alternativ hypotese, og bestem de forventede værdier, når der antages uafhængighed. c) Kan det antages, med et signifikansniveau på 5%, at der er uafhængighed mellem arbejdsmæssig status og syn på egen økonomiske situation? Kilde:

7 Side 5 af 10 sider Opgave 8 Et analyseinstitut ønsker at få et overblik over aldersfordelingen af arbejdsløse i en kommune. Derfor har instituttet lavet en undersøgelse den 1. januar 011, hvor 4 arbejdsløses alder er blevet registreret. Tabellen viser et udsnit af data fra undersøgelsen den 1. januar 011. Samtlige data er gengivet i filen alder. Aldersfordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks. gennemsnit varians standardafvigelse median kvartilsæt typetal/typeinterval Alder : 33 6 a) Lav en grafisk præsentation af data og beskriv aldersfordelingen ved hjælp af 3 statistiske deskriptorer. En tilsvarende undersøgelse lavet 1. januar 008 inden finanskrisen gav følgende statistiske deskriptorer: Aldersfordeling af arbejdsløse 1. januar 008 Gennemsnit 43, 0 Nedre kvartil 36, Median 44, 4 Øvre kvartil 53, 9 Standardafvigelse 1, 69 Varians 161, 04 Minimum 15 Maksimum ;45 Antal 08 Typeinterval ] ] b) Skriv en kort redegørelse til kommunen, hvor du præsenterer resultaterne fra undersøgelsen i 011 og redegør for udviklingstendenser i de arbejdsløses aldersfordeling fra 008 til 011. Kilde:

8 Side 6 af 10 sider Opgave 9 En virksomhed producerer og sælger to typer handicaplifte, FLEXSTAIRS og UPLIFT. Lad x angive antal FLEXSTAIRS og lad y angive antal UPLIFT. Produktionen af de to lifte foregår i to afdelinger, produktionsafdelingen og testafdelingen. Til både produktion og testning er der et begrænset antal timer pr. måned. Det tager 0 timer at producere en FLEXSTAIRS og 15 timer at producere en UPLIFT. Samlet er der 300 timer i produktionsafdelingen pr. måned. Der skal bruges timer til at teste en FLEXSTAIRS og 4 timer til at teste en UPLIFT. Samlet er der 40 timer i testafdelingen pr. måned. Ovenstående oplysninger er samlet i følgende skema: Flexstairs Uplift Max tid Produktion Testning 4 40 Dækningsbidrag Foto: Det samlede dækningsbidrag ved en produktion af x antal FLEXSTAIRS og y antal UPLIFT er givet ved funktionen f ( x, y) = 10000x y. a) Bestem det antal FLEXSTAIRS og det antal UPLIFT, virksomheden skal producere pr. måned for at opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag. Virksomheden ser de største fremtidsmuligheder i produktion og salg af FLEXSTAIRS. Hvis dækningsbidraget på FLEXSTAIRS stiger, overvejer virksomheden at stoppe produktionen af UPLIFT. b) Bestem hvor meget dækningsbidraget på en FLEXSTAIRS mindst skal stige til, for at det bedst kan betale sig for virksomheden udelukkende at producere FLEXSTAIRS.

9 Side 7 af 10 sider Opgave 10 En virksomhed har observeret en sammenhæng mellem pris og afsætning på et af deres produkter. Nedenstående tabel viser et udsnit af virksomhedens data. Samtlige data er gengivet i filen afs-pris. Afsætning i stk. Pris i kr : : Lad x angive afsætning i stk. og lad y = p(x) angive prisen i kr. pr. stk. Sammenhængen mellem afsætning i stk. og pris i kr. kan tilnærmelsesvis beskrives ved en eksponentiel model p( x) = b a x a) Lav et xy -plot af data, der viser sammenhængen mellem afsætning og pris, og estimér modellens parametre a og b. Dækningsbidraget er givet ved x d( x) = 19,36x 0, x b) Bestem d '( x) og bestem den afsætning, der giver det størst mulige dækningsbidrag. c) Bestem den pris p(x) i kr. pr. stk., der giver det størst mulige dækningsbidrag.

10 Side 8 af 10 sider Opgave 11 Figuren viser graferne for to funktioner f og g givet ved forskrifterne 3 f ( x) = 0,1x 4x + 15x y g( x) = 10 ln( x), x > 0 g a) Bestem monotoniforholdene for funktionen f. f f Det grå område er afgrænset af graferne for f og g samt x-aksen. b) Bestem arealet af det grå område på figuren. 4 x Opgave 1 Sammenhængen mellem en vares kg-pris, p (x) og den mulige afsætning x (i tons) kan i intervallet ] ;6[ beskrives ved differentialligningen p '( x) = p( x) + x pris pris og opfylder p ( 4) = a) Bestem forskriften for p (x) p p b) Bestem afsætningen ved en kg-pris på 90. afsætning afsætning

11 Side 9 af 10 sider Af opgaverne 13A, 13B og 13C må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave. Opgave 13A En virksomhed producerer to slags varer A og B. Lad x angive afsætningen i stk. pr. uge af vare A og lad y angive afsætningen i stk. pr. uge af vare B. Afsætningen er underlagt følgende betingelser: 10 x y 60 Det samlede ugentlige dækningsbidrag kan bestemmes ved funktionen DB( x, y) = 50x x 50y + 000y a) Gør rede for, at niveaukurven N (55000) er en cirkel med centrum i punktet ( 50, 0). b) Bestem det størst mulige samlede ugentlige dækningsbidrag. Opgave 13B Igennem en studietid på 36 måneder, startende den 1. august 009, har Caroline fået udbetalt 755 kr. pr. måned som studielån. Renten har gennem hele studietiden været 0, 33% pr. måned. a) Bestem størrelsen af Carolines gæld den 1. august 01. Fra den 1. august 01 er renten 0, 15 % pr. måned. Caroline skal begynde tilbagebetalingen den 1. januar 014. Gælden opgøres derfor den 1. december 013 (dvs. efter 16 måneder). b) Bestem størrelsen af Carolines gæld den 1. december 013.

12 Side 10 af 10 sider Opgave 13C Virksomheden SHAREPART producerer små maskindele til industrien, bolte, skruer, beslag m.m. Virksomheden laver jævnligt stikprøver af produktionen for at undersøge hvor mange enheder, der har fejl. Antag at fejlprocenten er 10%. a) Bestem sandsynligheden for, at der i en stikprøve på 10 enheder er fejl på mere end 13 enheder. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen maskindele, der viser resultatet af en stikprøvekontrol på 10 enheder. Stikprøve Fejl Ok Ok : Ok b) Estimér andelen af enheder med fejl i stikprøven og bestem et 95 % konfidensinterval for andelen af enheder med fejl.

13

14

15

16 Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

17 Bilag 1 til opgave 4. Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: 9 y 9 y x x

18

19 Bilag til opgave 6. Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: x ln( x + 5) dx Integralet der skal bestemmes. = ln( t) dt = t ln( t) t + K = ( x + 5) ln( x + 5) ( x + 5) + K