Statitisk fysik Minilex
|
|
- Thomas Groth
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Statitisk fysik Minilex Henrik Dahl 15. januar 006 Indhold 1 Sandsynlighedsteori Fordelinger 3 Eksperimentelle usikkerheder 3 4 Parameterbestemmelse 3 5 Priors, entropi 3 6 Termodynamik Kanonisk ensemble Generelt Eksempel: Ideal monoatomisk gas Tryk-ensemble Generelt Eksempel: Ideal gas med indre frihedsgrader Ligefordelingsloven Store kanoniske ensemble Generelt Eksempel: Ideal gas Kvantemekanik Generelt Kanonisk ensemble Generelt Eksempel: Frie partikler i en æske Eksempel: Harmonisk oscillator Eksempel: Roterende molekyle
2 1 SANDSYNLIGHEDSTEORI 8 Fermioner og bosoner Fermioner Atomer, molekyler, halvledere, isolatorer Metaller, tunge kerner, Fermi-energi, -gas og -tryk Hvide dværge og neutronstjerner Bosoner Fotongas Sandsynlighedsteori P A I + P A I = 1 1. P AB I = P B IP A BI 1.3 P AB I = P A IP B I p.1 P A + B I = P A I + P B I P AB I 1.5 P T DI = P D T I P D I P T I Generaliseret: P T i DI = P D T iip T i I j P D T jip T j I 1.13 Fordelinger Middelværdi Varians Binom-koef Sumregel Produktregel Uafhængighed Generel sumregel Bayes formel Binomfordeling Multinom-koef m = N m=1 mp m I.5 σ = N m=1 m m P m I = m m.6, p. Zλ = e λm = N m=1 eλm P m I p. Z0 = 1, Z 0 = m, Z n = m n N N! = p.0 M M!N M! Approx: N m /m!.0 N P m I = p m m 1 p N m.3 Middelværdi m = Np, varians σ = Np1 p p.3, tilstandssum: Zλ = pe λ + 1 p N p. Bn 1,..., n k = N! n 1! n k! p.4
3 3 EKSPERIMENTELLE USIKKERHEDER 3 Multinom-ford Poissonford Normalford P n 1,..., n k I = Bn 1,..., n k p n 1 1 p n k k.9 : Zλ 1,..., λ k = n 1,...,n k e λ 1n 1 + +λ k n kp n1,..., n k I.10 med n i = Np i, n i n j = NN 1p i p j +Np i δ ij.13,.14, så σi = Np 1 1 p i.15 P m I = µm m! e µ.1 : Zλ = e µeλ 1.3, så m = µ og σ = µ p.30 px µ, σ = 1 πσ e x µ σ.16 : Zλ = e µ+λσ µ σ.17 Ophobningsloven δf = 3 Eksperimentelle usikkerheder f x 1 δx f x n δx n Parameterbestemmelse Prior, posterior P D θi P θ DI = P D θip θ Idθ dθ4.. Venstre side er posterior, første led på højre side er likelihood og andet led på højre side er prior. 5 Priors, entropi Jeffreys MaxEnt pm = p1/m 5.3 Sp = i p i ln p i 5.10 Problem: Maksimer Sp = i p i ln p i 5.13 s.t. i f kx i p i = f k = F k for k = 1,..., m 5.1 og i p i = 1. Løsning: p i = Z 1 e k λ kf k x i 5.15 med Z = i e k λ kf k x i. Egenskaber: : S = ln Z + k λ kf k 5.19 Middelværdier: ln Z λ k = f k = F k 5.0 Kovarianser: ln Z λ k λ l = f k f l f k f l 5.1 Lagrangemultiplikatorer: S F k = λ k 5.
4 6 TERMODYNAMIK 4 Varme: δs = k λ kδq k 5.4 med δq k δ f k δf k = i f kx i δp i Termodynamik Energi Faserum Ensembler Er, p = N p n n=1 m n + V r 1,..., r N 6.1 {p 1x, p 1y, p 1z,..., p Nx, p Ny, p Nz, x 1, y 1, z 1,..., x N, y N, z N } p.70 med dimension 6N. Kanoniske ensemble: U = E statistisk og kendt. V, N fuldstændig bestemte. λ T p.7 Tryk-ensemble: U = E og V statistiske og kendte. N fuldstændig bestemt. λ T, p p.7 Store kanoniske ensemble: U = E og N statistiske og kendte. V fuldstændig bestemt. λ T, µ kemisk potentiale p.7 Mikrokanoniske ensemble: E, V, N fuldstændig kendt Opg Kanonisk ensemble Generelt Maksimer S = i p i ln p i s.t. i p i = 1 og E = i p ie i = U 6., 6.3 Løsning: p i = Z 1 e βe i, Z = i e βe i, eller Z = d 3N r d 3N pe βer,p 6.4,6.5,6.6 Varme dq = T ds p.77. Varme svarer til ændring af systemets tilstandssandsynligheder, mens arbejde svarer til ændringer af E i hver faserumscelles energi p.80 C = dq dt p.77 bør kaldes C V da V er fastholdt p.85 Arbejde Arbejde er arbejde udført på systemets omgivelser δw δw = pδv 6.3 = E a δa 6.0. Helmholtz energi fri F = ln Z = U T S 6.6,6.7. Fortolkning: Det arbejde systemet kan udføre β ved konstant temperatur. Tryk p = F V for fastholdt T Eksempel: Ideal monoatomisk gas Antagelse Antagelse: Ingen vekselvirkning mellem atomer, dvs. V r 1,..., r N = 0 og m n =
5 6 TERMODYNAMIK 5 m, så Er, p = N n=1 p n m Middelenergi Temperatur Boltzmanns konstant Z = d 3N r 3N/ d 3N pe βp /m = V N πm β 6.7 U = ln Z β S = ln Z + βu = N ln T = β 1 p.75 = 3N = 3 NT 6.8 β πmv e 3/ p.73 β 3/ k B = T /T [J/K] = J/K 6.13 C = δu = δt β ln Z β = 3 N 6.14, 6.15, p.7 og T ds = CdT 6.18 Arbejde ændring Helmholtz fri energi Tilstandsligning δ ln Z = βδw ved uændret temperatur 6.1 δs = βδq = βδu + δw 6. Korr. T δs = δu + δw 1.HS. F = N T ln πmv e 3/ 6.30 β β 3/ pv = NT 6.31 Antagelser 6. Tryk-ensemble 6..1 Generelt V og E = U kendt, N og T = β 1 givet p.83 Sandsynligheder p i V = Z 1 e βe iv αv p.83 Lagrangemultiplikator α = β = pβ 6.33 EV V = p T 1. HS ZT, p = i 0 dv e βe iv +pv 6.34 S = ln Z + βu + pv 6.35 du = T ds pdv 6.39tilført varme - minus arbejde på væggen C p = U T + p V T for konstant tryk
6 6 TERMODYNAMIK 6 Gibbs fri energi GT, p = ln Z = U + pv T S 6.53, 6.54, så dg = SdT + V dp + dw 6.55: β Fortolkning som arbejde, der kan udføres af systemet ved konstant temperatur og tryk. Energi 6.. Eksempel: Ideal gas med indre frihedsgrader EV = [ ] N p n n=1 + V x m n x + E indre r n, p n Z = 3N/ i dv e βe iv pv = N!βp N m Zi β N 6.44,6.45, hvor Z 0 β i er tilstandssum for molekyle, der ligger stille. Tilstandsligning V = 1 β d ln Z dp = N βp pv = NT p.86 Middelenergi U = ln Z pv = 3N + Nu β β iβ 6.46 med u i β = d ln Z i dβ enkelt molekyle. som middelenergi i C p = 3N + N du i dt + N 6.47 og C V = 3N + N du i dt Ligefordelingsloven Tema Vibrationer Translation Rotationer Molekyle for harmonisk oscillator med energi Ep, x = p fast temperatur T = β 1 Z vib = dp dxe βep,x = π βω p.87. U vib = d ln Z Z tr = πm, U β tr = T/ og C tr = 1/ 6.50 Z rot = dl π 0 dφe βel,φ = π C = Ntr + N vib + Nrot 6.5 m + mω x 6.49 med dβ = T p.87, så C vib = 1 πi β med U rot = T/ og C rot = 1/ 6.51 Helmholtz fri energi Kemisk potential 6.3 Store kanoniske ensemble Generelt Variabelt antal partikler, men N kendt. F T, V, N = β lnz/n! 6.84 µ = F N 6.85
7 7 KVANTEMEKANIK 7 Z = N e βe i N i e βµn 6.86 N! S = ln Z + βu µn 6.87 Termodynamisk Ω = ln Z = U T S µn Vi får T ds = du µdn + dw og dω = β potential SdT Ndµ + dw 6.89, 6.90 Tryk pv = ln Z β 6.93 Termodynamisk potential Middelantal partikler Tilstandsligning 6.3. Eksempel: Ideal gas d 3 pe β p Z = N Ω = V β V N N! 3/ πm β e βµ 6.95 N = Ω µ = Ω β pv = N T 6.97 N m µ = e V πm β 3/ e βµ Kvantemekanik Tæthedsmatrix Middelværdi MaxEnt 7.1 Generelt ρ = i w i ψ i ψ i p.109 med i w i = 1 og 0 w i 1. Der gælder, at Tr[ρ] = A =Tr[Âρ] 7. S = Tr[ρ ln ρ] 7.7 Problem: Find ρ, der maksimerer S = Tr[ρ ln ρ] med f k =Tr[ ˆf k ρ] = F k 7.8 Løsning: ρ = Z 1 e k λ k ˆf k 7.9 Middelværdier Z =Tr[e k λ k ˆf k] 7.10 ˆf k = ln Z λ k = F k 7.11 S = ln Z + k λ kf k 7.1
8 7 KVANTEMEKANIK 8 Lagrangemultiplikatorer Kontekst MaxEnt ssh S F k = λ k Kanonisk ensemble 7..1 Generelt Middelenergi H er kendt p.111 ρ = Z 1 e βh Diagonal, hvis der anvendes energiegentilstande. Da er E i egenenergierne, og p i = e βe i Z - og Z = i e βe i Eksempel: Frie partikler i en æske Antagelser Hamilton 1 part Egentilstande Dimensioner L x, L y, L z kendte, V = L x L y L z givet, ingen vekselvirkning, ingen indre frihedsgrader, ens partikler p.11 H = p m p.11 ψ k r = eik r/ V p.11 Egenenergier ɛ k = k m p.11 Bølgetal N partikler Karakteristisk temperatur Regler k x = π L x n x med n x = 1,,... p.113 Z 1 = V π d 3 ke β m k x +k y +k z 7.18, dvs. Z 1 = V ikke - Antagelse - tilstrækkeligt stor kasse. Z = Z N 1 = V N πm βh 3N/ 7.0 πm βh 3/ 7.19 NB: h og T k π ml k B Hvis T k T - Kvantemekanik - ellers klassisk OK. Ex. T k 10 4 K for elektron i nm-kasse, 10 3 K for atom i fast stof. Jo større m, T, L jo mere klassisk er systemet Eksempel: Harmonisk oscillator Hamilton 1 part Egenenergier H = p m + mω x p.115 ɛ n = ωn + 1/, n = 0, 1,,... p.115
9 7 KVANTEMEKANIK 9 Middelenergi Middelkvantetal Egenskaber Z = n=0 e βɛn = e β ω/ e β ω H = U = ln Z β n = 1 e β ω S = ln Z + βu = C = U T Se p.116 = β U β = = ω 1 e β ω x ln1 e x 1 e x med x = β ω 7.4 x e x e Eksempel: Roterende molekyle H = p 1 m 1 + p Hamilton, 1 m + V r r part Transformation i CM-bevægelse og relativ bevægelse 7.9: Giver M = m 1 + m P = p 1 + p s = r r 1 R = m 1r 1 + m r M p = m 1p m p 1 M m = m 1m M H = P M + p m + V s = H T + H i Approksimation af V til. orden giver harmonisk oscillator potential. Desuden opskrivning i sfæriske koordinater: H i p s m + mω s s 0 + V s 0 + L ms 0 Rotationsdelen: H r = L I l + 1. med egenværdier ɛ l = ll + 1 I 7.30 med udartning, rotation Z = β l=0 l + 1e ll+1 I For lav temperatur: Z 1 + 3e β I For høj temperatur: Z I, U T, C 1. β, U 3 β e I, C 3 I e β I p.119 β I
10 8 FERMIONER OG BOSONER 10 8 Fermioner og bosoner Definition Pauliprincip Fermioner: Antisymmetrisk bølgefunktion, dvs. Ψr 1, r = Ψr, r 1. Bosoner: symmetrisk bølgefunktion, dvs. Ψr 1, r = Ψr, r 1. To identiske fermioner kan ikke eksistere i samme tilstand Baggrundsmodel: Ikke-vekselvirkende fermioner H = N i=1 H 1r i, p i med f.eks. H 1 = p + V r, og V r = V m 0r + e ρs 4πɛ 0 r s d3 s for elektroner 8.1, 8., 8.3 Løsning til en-partikelproblem: H 1 φr = εφr 8.4 Løsning til mange-partikelproblem: HΨr 1,..., r N = EΨr 1,..., r N med Ψr 1,..., r N = φ i1 r φ in r N og E = ε ε N 8.5, 8.6, 8.7 Slater-determinant 8.8: Ψr 1,..., r N = 1 N! φ i1 r 1 φ in r φ i1 r N φ in r N Egenskaber: Normeret, har korrekt energi, antisymmetrisk, opfylder Pauli-pricippet. Tilsvarende for bosoner: Bose-permanent. Besættelsestal Energiegentilstande n 1, n,... hvor n i er besættelsestallet for i te energitilstand. Energien er da E = i n iε i og samlet antalpartikler N = i n i 8.9, 8.10, For fermioner er n i = 0, 1, for bosoner er n i 0 p.16 NB! Bemærk: Bundne tilstande af elementarpartikel-fermioner kan være fermion ulige antal elementarpartikler eller bosoner for lave energier. Ex. p +, n er 3 quarks, dvs. fermioner. Ex. Kerner med ulige antal nukleoner er fermioner, men kerner med lige antal nukleoner kan være bosoner, f.eks. He 4 kerne eller -atom. p.141. Klassen af bosoner er i praksis meget større end af fermioner. Slaterdeterminant Elementarpartikler 8.1 Fermioner νe e, νµ µ farver r, g, b, ντ τ, u d, c s t, b p antipartikler og
11 8 FERMIONER OG BOSONER 11 Model Middelbesættelsestal Fermi-fordeling HOMO LUMO Model: Store kanoniske ensemble: i n i = N, i n iε i = E, med n i = 0, 1 8.1, 8.13 Z = e βe µn = i 1 + e βεi µ 8.14, ln Z β = U µ N = i ε 1 i µ 8.16 e βε i µ +1 n i = 1 e βε i µ n F ɛ = Giver antal fermioner i en en-partikeltilstand med energi e βɛ µ +1 ɛ i system med kemisk potential µ. Kan tænke på den som step-funktion fuld besættelse for T µ og tomme tilstande for T µ p.18 Den højest besatte molekylære orbital Highest Occupied Molecular Orbital med energi ɛ H p Atomer, molekyler, halvledere, isolatorer Generelt Den laveste ubesatte molekylære orbital Lowest Unoccupied Molecular Orbital med energi ɛ L p.18 Kemisk potential med udartning d.o. varmefylde Konklusion Betragter elektroner i situationer, hvor der er energigab ɛ L ɛ H 1 ev Molekyle med HOMO-energiniveau-udartning g H, LUMO-energiniveau-udartning g L giver kemisk potential µt = ɛ H+ɛ L + T ln gh g L for T ɛ L ɛ H Opg. 8. For samme molekyle er varmefylden for T ɛ L ɛ H C µ = g L ɛ L g H ɛ H ɛ L ɛ H T Opg. 8.3 e ɛl ɛ H T Elektronernes bidrag til varmefylden for T ɛ L ɛ H er eksponentielt undertrykt p Metaller, tunge kerner, Fermi-energi, -gas og -tryk Model Tilstandstæthed En-partikeleergier meget tætliggende, ikke noget energigab - så se på partikel i en kasse med sidelængde L. Det giver en-partikel-spektrum ɛ k = k med m k = k x, k y, k z = n x, n y, n z π og n L x, n y, n z Z For L stor haves spektrum med tilstandstæthed ρɛ. Den findes ved at betragte funktion Rɛ, som angiver antal tilstande med energi mindre end ɛ. Da er ρɛ = R ɛ. Tilstande med samme energi ɛ er kugle med radius k = mɛ 8.5. R-funktionen bliver lig med rumfanget af den positive oktant af en kugle
12 8 FERMIONER OG BOSONER 1 med radius k, divideret med størrelsen af en tilstand, dvs. Rɛ = Udregning giver Rɛ = V k3 6π = V m 3/ 6π ɛ 3/ og ρɛ = 3 V m 6π 3 πk3 π 3 L 3 3/ ɛ 8.6, 8.7 Fermi-energi Partikeltal og - tæthed Degenereret Fermi-gas Partikeltal Fermi-energien ɛ F er det kemiske potential for T = 0, som adskiller fyldte fra tomme tilstande p.131,133 Der gælder N = Rɛ F og n = N V = 1 6π m 3/ ɛ 3/ F 8.8, 8.9 Fermigas ved T ɛ F p.133 Rækkeudvikling i T/ɛ F, som er lille for T ɛ F. Ser på energi-integral If = fɛn F ɛdɛ. Stamfunktion for fɛ kaldes F ɛ. Rækkeudvikling af F ɛ omkring µ til anden orden giver If = F µ + π 6 f µt 8.30, 8.31, 8.3, 8.33 For degenereret Fermi-gas givet ved N = ρɛn F εdɛ. Sommerfeld giver N = Rµ + π 6 ρ µt 8.35, 8.36 Sommerfeldudvikling Kemisk potential π 6 - for fri partikel For degenereret Fermi-gas givet ved rækkeudvikling omkring µ = ɛ F : µ = ɛ F ρ ɛ F T ρɛ F 8.37, 8.38, 8.39 µ = ɛ F 1 π 1 T ɛ F Konklusioner: Kemisk potential afviger kun lang- somt fra ɛ F, og korrektion afhænger kun tilstandstætheden omkring ɛ F p.134 Fermitryk C = π π T ρµt = N 3 ɛ F 8.41,8.4. Gælder frie urelativistiske partikler. Konklusion: Elektroner bidrager ikke til varmefylde i et metal. proportional med T/ɛ F 10 N ved stuetemperatur p.135 p = N ɛ 5 V F 1 + 5π T 8.43, 8.44, 8.45, Konklusion: Fermitryk meget 1 ɛ F højere end klassisk tryk. Der gælder p p kl = ɛ FT 180 ved stuetemperatur Skyldes Fermi-princippet, som giver høj elektronimpuls også ved lav temperatur p Hvide dværge og neutronstjerner Se p
13 8 FERMIONER OG BOSONER 13 Elementarpartikler Model 8. Bosoner γ, W ±, Z, g p.141 Partikeltal N = i n i, E = i ɛ in i, Z = i Z i med Z i = n i e βɛ i µn i = , 8.70, 8.71, 8.7, 8.73, e βɛ i µ Bose-funktion n B ɛ = n i = 1 ln Z i 1 = 8.75 β µ e βɛ i µ 1 1/3 Karakteristisk T B = e l π 4/3 med e l = V l = ml N 8.81, 8.8. Jo større tæthed, n, desto temperatur kortere afstand l, desto højere karakteristisk temperatur T B. T c = g 1/ 1 / T B med g 1/ e βµ = 0 C = N 8.90, g 3/ z 9 g 1/ z g 1/ z g 1/ z x dx 8.79, 8.86 e βµ e x 1 for T > T c og C = N 5 3/ T g3/ 1 for T < T T c g 1/ 1 c 8..1 Fotongas Model Tilstandstæthed Kritisk temperatur Kemisk potential Temodynamisk potential Fotonantal Tryk ɛ = pc = ck relativistisk partikel, 8.9 Rɛ = 1 8 µ = 0 4π 3 c ɛ 3 = V π ɛ 3, ρɛ = V π ɛ 8.93, 8.94 π L 3 3 hc 3 hc 3 Ω = pv = 1 β ln Z = V π 3 1 π 4 T 4 = at hc 3 15 n = N V = π hc 3 ζ 3 T 3 med ζ = p = 90ζ 3 nt = 3.49nT svarende til klassisk. π 3 Stefan- Boltzmans lov u = U V = 1 V ln Z β = β p β = T p T = σt
Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen
Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen Sebastian B. Simonsen og Lykke Pedersen 18. januar 2006 Indhold 1 Kapitel 1 - Indledning 2 2 Kapitel 2 - Sandsynlighedsfordelinger 3 2.1 Binomial fordeling........................
Læs mereBenyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007.
Formelsamling Noter til Fysik 3 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look at the
Læs mereFormelsamling og noter. Statistisk fysik
Formelsamling og noter. Statistisk fysik 19. juni 01 Dennis Hansen P A BI P B AI P B I P A I ρλ BI P B λi P B I ρλ I ρλ BI ρb λi ρb I ρλ I P AB I P A BIP B I P A + B I P A I + P B I P AB I P A I 1 P A
Læs mereSkriftlig eksamen i Statistisk Mekanik den fra 9.00 til Alle hjælpemidler er tilladte. Undtaget er dog net-opkoblede computere.
Skriftlig eksamen i Statistisk Mekanik den 18-01-2007 fra 900 til 1300 lle hjælpemidler er tilladte Undtaget er dog net-opkoblede computere Opgave 1: I en beholder med volumen V er der rgon-atomer i gasfasen,
Læs mereTermodynamikkens første hovedsætning
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 13 Termodynamikkens første hovedsætning Inden for termodynamikken kan energi overføres på to måder: I form af varme Q: Overførsel af atomar/molekylær bevægelsesenergi på
Læs mereKvant 2. Notesamling....Of doom!
Kvant 2 Notesamling...Of doom! Indhold 1 To-partikelsystemer 1 2 Brint 1 3 Perturbation 2 3.1 Udartet perturbationsteori...................... 3 3.2 Zeeman-effekt............................. 4 3.3 Tidsafhængig
Læs mereKOMPENDIUM TIL STATISTISK FYSIK
KOMPENDIUM TIL STATISTISK FYSIK 3. UDGAVE REVIDERET: 18. APRIL 2011 UDARBEJDET AF SØREN RIIS AARHUS SCHOOL OF ENGINEERING Ö Ô Ý º Ùº DETTE VÆRK ER TRYKT MED ADOBE UTOPIA 10PT LAYOUT OG TYPOGRAFI AF FORFATTEREN
Læs mereTilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5.
Statistisk mekanik 5 Side 1 af 10 ilstandssummen Ifølge udtryk (4.28) kan M-fordelingen skrives og da er μ N e e k = N g ε k, (5.1) N = N, (5.2) μ k N Ne g = e ε k. (5.3) Indføres tilstandssummen 1 Z g
Læs mereTermodynamik. Esben Mølgaard. 5. april N! (N t)!t! Når to systemer sættes sammen bliver fordelingsfunktionen for det samlede system
Termodynamik Esben Mølgaard 5. april 2006 1 Statistik Hvis man har N elementer hvoraf t er defekte, eller N elementer i to grupper hvor forskydningen fra 50/50 (spin excess) er 2s, vil antallet af mulige
Læs mereStatistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi Entropi er en tilstandsvariabel 1, der løst formuleret udtrykker graden af uorden. Entropien er det centrale begreb i termodynamikkens anden hovedsætning (TII):
Læs mereStatistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi Entropi er en tilstandsvariabel 1, der løst formuleret udtrykker graden af uorden i et system. Da der er mange flere uordnede (tilfældigt ordnede) mikrotilstande
Læs mereFørste og anden hovedsætning kombineret
Statistisk mekanik 3 Side 1 af 12 Første og anden hovedsætning kombineret I dette afsnit udledes ved kombination af I og II en række udtryk, som senere skal vise sig nyttige. Ved at kombinere udtryk (2.27)
Læs mereNoter til fysik 3: Statistisk fysik
Noter tl fysk 3: Statstsk fysk Martn Sparre www.logx.dk August 27 Bemærk, at log x denne note er den naturlge logartme. Denne verson er fra d. 16 November, hvor flere trykfejl er blevet rettet. 1 Entrop
Læs mereNanotermodynamik formelsamling
Nanotermodynamik formelsamling Af Asmus Ougaard Dohn & Sune Klamer Jørgensen 2. november 2005 ndhold 1 Kombinatorik 2 2 Termodynamik 3 3 deal gasser: 5 4 Entropi og temp.: 7 5 Kemisk potential: 7 6 Gibbs
Læs mereAtomers elektronstruktur I
Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet E-mail: hjj@chem.sdu.dk 8. februar 2000 Orbitaler Kvalitativ beskrivelse af molekylære
Læs mereRektangulær potentialbarriere
Kvantemekanik 5 Side 1 af 8 ektangulær potentialbarriere Med udgangspunkt i det KM begrebsapparat udviklet i KM1-4 beskrives i denne lektion flg. to systemer, idet system gennemgås, og system behandles
Læs mereStatistisk mekanik 12 Side 1 af 9 Van der Waals-gas
Statistisk mekanik Side af 9 Ideale gasmolekyler har pr. definition ingen udstrækning og påirker ikke hinanden med kræfter. En an der Waals-gas, hor der tages højde for såel molekylær udstrækning som er-molekylære
Læs mereNoget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger. Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet
Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet E-mail: hjj@chem.sdu.dk 8. februar 2000 Orbitaler Kvalitativ beskrivelse af molekylære
Læs mereStatistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de EM svingninger i en sortlegeme-kavitet som
Læs mereStatistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de M svingninger i en sortlegeme-kavitet som fotoner.
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereIndhold. Noter til statistisk fysik II. 3. januar 2012. Jens Egebjerg Bækhøj & Christian Kraglund Andersen
Noter til statistisk fysik II 3. januar 2012 Jens Egebjerg Bækhøj & Christian Kraglund Andersen Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet, Denmark Indhold Indhold i 1 Termodynamik 1 1.1 Systemet
Læs mereStatistisk mekanik 5 Side 1 af 11 Hastighedsfordeling for ideal gas. Enatomig ideal gas
Statistisk ekanik 5 Side 1 af 11 Enatoig ideal gas etragt en enatoig ideal gas bestående af N uskelnelige olekyler ed asse, der befinder sig i en beholder ed rufang V. For at kunne bestee tilstandssuen
Læs mereStatistisk mekanik 6 Side 1 af 11 Hastighedsfordeling for ideal gas. Enatomig ideal gas
Statistisk ekanik 6 Side 1 af 11 Enatoig ideal gas etragt en enatoig ideal gas bestående af N uskelnelige olekyler ed asse, der befinder sig i en beholder ed rufang V. For at kunne bestee tilstandssuen
Læs mereAtomare elektroners kvantetilstande
Stoffers opbygning og egenskaber 4 Side 1 af 12 Sidste gang: Naturens byggesten, elementarpartikler. Elektroner bevæger sig ikke i fastlagte baner, men er i stedet kendetegnet ved opholdssandsynligheder/
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 Skriftlig prøve, torsdag den 8 maj, 009, kl 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr 100 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt "Vægtning": Besvarelsen
Læs mereUskelnelige kvantepartikler
Kvantemekanik 3 Side af 4 Inden for den klassiske determinisme kan man med kendskab til de kræfter, der virker på et partikelsystem, samt begyndelsesbetingelserne for position og hastighed, vha. Newtons
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereAtomare kvantegasser. Michael Budde. Institut for Fysik og Astronomi og QUANTOP: Danmarks Grundforskningsfonds Center for Kvanteoptik
Atomare kvantegasser Når ultrakoldt bliver hot Michael Budde Institut for Fysik og Astronomi og QUANTOP: Danmarks Grundforskningsfonds Center for Kvanteoptik Aarhus Universitet Plan for foredraget Hvad
Læs mere1. Beregn sandsynligheden for at samtlige 9 klatter lander i felter med lige numre.
NATURVIDENSKABELIG GRUNDUDDANNELSE Københavns Universitet, 6. april, 2011, Skriftlig prøve Fysik 3 / Termodynamik Benyttelse af medbragt litteratur, noter, lommeregner og computer uden internetadgang er
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereLærebogen i laboratoriet
Lærebogen i laboratoriet Januar, 2010 Klaus Mølmer v k e l p Sim t s y s e t n a r e em Lærebogens favoritsystemer Atomer Diskrete energier Elektromagnetiske overgange (+ spontant henfald) Sandsynligheder,
Læs mereIndhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...
Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereFysik 12. Sebastian B. Simonsen. June 13, 2004
Fysik 12 Sebastian B. Simonsen June 13, 2004 Contents 1 Vigtige formler til Fysik 12 3 1.1 Relativitets teori......................... 3 1.1.1 Einsteins postulater.................... 3 1.1.2 Fomler...........................
Læs mereKolde atomare gasser Skræddersyet kvantemekanik. Georg M. Bruun Fysiklærerdag 2011
Kolde atomare gasser Skræddersyet kvantemekanik Georg M. Bruun Fysiklærerdag Wednesday, January 6, Hovedbudskaber Bose-Einstein Kondensation = Identitetskrise for kvantepartikler BEC i atomare ultrakolde
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereNOTER & OPGAVER STATISTISK FYSIK
NOTER & OPGAVER I STATISTISK FYSIK Henrik Smith og Jens Jensen Ørsted Laboratoriet. September 1995 Indhold 1 Entropi og temperatur 1 1.1 Ligevægt og temperatur......................... 1 1.2 Entropi og
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereStatistisk mekanik 12 Side 1 af 9 Van der Waals-gas
Statistisk mekanik Side af 9 Ideale gasmolekyler har pr. definition ingen udstrækning og påirker ikke hinanden med kræfter. En an der Waals-gas, hor der tages højde for såel molekylær udstrækning som er-molekylære
Læs mereKvantemekanik 8 Side 2 af 10 Observable og operatorer. Grundlæggende egenskaber ved operatorrepræsentanter ( ) O= O. (8.4)
Kvantemekanik 8 Side 1 af 10 Opsummering Egenskaber ved operatorrepræsentanter Det blev i KM3-4 vist, at enhver målbar bevægelsesegenskab (observabel) er repræsenteret ved en operator, som for position,
Læs mereKernefysik og dannelse af grundstoffer. Fysik A - Note. Kerneprocesser. Gunnar Gunnarsson, april 2012 Side 1 af 14
Kerneprocesser Side 1 af 14 1. Kerneprocesser Radioaktivitet Fission Kerneproces Fusion Kollisioner Radioaktivitet: Spontant henfald ( af en ustabil kerne. Fission: Sønderdeling af en meget tung kerne.
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereStjernernes død De lette
Stjernernes død De lette Fra hovedserie til kæmpefase pp-proces ophørt. Kernen trækker sig sammen, opvarmes og trykket stiger. Stjernen udvider sig pga. det massive tryk indefra. Samtidig afkøles overfladen
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBetingede sandsynligheder Aase D. Madsen
1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereKvantecomputing. Maj, Klaus Mølmer
Kvantecomputing Maj, 2009 Klaus Mølmer Virkelighed Drøm: Intel Pentium Dual Core T4200-processor, 2,0 GHz, 3072 MB SDRAM. (250 GB harddisk) 5.060 kr Kvantecomputer Ukendt processor 1 khz er fint, 100 Hz
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereØvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR)
14 Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR) 3.1 Spin og magnetisk moment Spin er en partikel-egenskab med dimension af angulært moment. For en elektron har spinnets projektion på en akse netop
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereAtomets bestanddele. Indledning. Atomer. Atomets bestanddele
Atomets bestanddele Indledning Mennesket har i tusinder af år interesseret sig for, hvordan forskellige stoffer er sammensat I oldtiden mente man, at alle stoffer kunne deles i blot fire elementer eller
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereFormelsamling til. Kvantemekanik. 27. marts Dennis Hansen 1
Formelsamling til Kvantemekanik 7. marts 1 Dennis Hansen 1 Indhold 1 Grundlæggende ligninger 4 1.1 Generelt...................................... 4 1. Postulater i kvantemekanik............................
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Fredag d. 2. juni 2017 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Fredag d. 2. juni 2017 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereLys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision
Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Metrologidag, 18. maj, 2015, Industriens Hus Lys og Bohrs atomteori, 1913 Kvantemekanikken, 1925-26 Tilfældigheder, usikkerhedsprincippet Kampen mellem
Læs merePreben Blæsild og Jens Ledet Jensen
χ 2 Test Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen Institut for Matematisk Fag Aarhus Universitet Egå Gymnasium, December 2010 Program 8.15-10.00 Forelæsning 10.15-12.00 Statlab: I arbejder, vi cirkler rundt
Læs mereDen klassiske oscillatormodel
Kvantemekanik 6 Side af 8 n meget central model inden for KM er den såkaldte harmoniske oscillatormodel, som historisk set spillede en afgørende rolle i de banebrydende beskrivelser af bla. sortlegemestråling
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereBinomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.
Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereBJB 06012-0018 5. T e l: 050-35 4 0 61 - E-m a il: in fo @ n ie u w la n d.b e - W e b s it e : - Fa x :
D a t a b a n k m r in g R a p p o r t M A a n g e m a a k t o p 17 /09/2007 o m 17 : 4 3 u u r I d e n t if ic a t ie v a n d e m S e c t o r BJB V o lg n r. 06012-0018 5 V o o r z ie n in g N ie u w
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 27. maj 2014 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 27. maj 2014 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Læs mereFYSIK 3 / TERMODYNAMIK Københavns Universitet, 13. april, 2016, Skriftlig prøve
FYSIK 3 / TERMODYNAMIK Københavns Universitet, 13. april, 2016, Skriftlig prøve Benyttelse af medbragt litteratur, noter, lommeregner og computer uden internetadgang er tilladt. Der må skrives med blyant.
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereStatistisk mekanik 1 Side 1 af 11 Introduktion. Indledning
Statistis meani Side af Indledning Statisti er et uundværligt matematis redsab til besrivelsen af et system med uoversueligt mange bestanddele. F.es. er der så mange luftmoleyler i blot mm 3 luft, at det
Læs mereNaturkræfter Man skelner traditionelt set mellem fire forskellige naturkræfter: 1) Tyngdekraften Den svageste af de fire naturkræfter.
Atomer, molekyler og tilstande 3 Side 1 af 7 Sidste gang: Elektronkonfiguration og båndstruktur. I dag: Bindinger mellem atomer og molekyler, idet vi starter med at se på de fire naturkræfter, som ligger
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereBM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47
BM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47 Morten Källberg (kallberg@imada.sdu.dk) 22/11-2005 1 Probabilistiske modeller Vi vil i det følgende betragte to forskellige måder at evaluerer en given model
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereA B C D E Hjemmeværnmuseet's arkiv/depot Søgaard Distrikter - LMD. Reol/hylde Region/distrikt/m.m. Kasse nr. Indhold 2C3 Flyverhjemmeværne 1
0 A B C D E Hjemmeværnmuseet's arkiv/depot Søgaard LMK Distrikter - LMD. Reol/hylde Region/distrikt/m.m. Kasse nr. Indhold C Flyverhjemmeværne Flyverhjemmeværnet LMD Odense Nyt fra stabseskadrillen -.
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereHeisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1
Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1 Werner Heisenberg (1901-76) viste i 1927, at partiklers bølgenatur har den vidtrækkende konsekvens, at det ikke på samme tid lader sig gøre, at fastlægge
Læs mereAtomer er betegnelsen for de kemisk mindste dele af grundstofferne.
Atomets opbygning Atomer er betegnelsen for de kemisk mindste dele af grundstofferne. Guldatomet (kemiske betegnelse: Au) er f.eks. det mindst stykke metal, der stadig bærer navnet guld, det kan ikke yderlige
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mere) ( 75,5 ( -75,5 ) ( 95,4 ( -1 ) (, 1 1. Vand, saltvand og negativt tryk. 60 LMFK-bladet, nr. 4, september 2010. Matematik. Kemi
Vand, saltvand og negativt tryk Jens Skak-Nielsen, Marselisborg Gymnasium I bogen Viden om Vand, redigeret af Inge Kaufmann og Søren Rud Keiding, vil jeg kommentere 2 bemærkninger i henholdsvis kapitel
Læs mereDensitet (også kendt som massefylde og vægtfylde) hvor
Nogle begreber: Densitet (også kendt som massefylde og vægtfylde) Molekylerne er tæt pakket: høj densitet Molekylerne er langt fra hinanden: lav densitet ρ = m V hvor ρ er densiteten m er massen Ver volumen
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 11. august 2015 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 11. august 2015 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer
Læs mereAtomer, molekyler og tilstande 1 Side 1 af 7 Naturens byggesten
Atomer, molekyler og tilstande 1 Side 1 af 7 I dag: Hvad er det for byggesten, som alt stof i naturen er opbygget af? [Elektrondiffraktion] Atomet O. 400 fvt. (Demokrit): Hvis stof sønderdeles i mindre
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereSkriftlig Eksamen i Moderne Fysik
Moderne Fysik 10 Side 1 af 7 Navn: Storgruppe: i Moderne Fysik Spørgsmål 1 Er følgende udsagn sandt eller falsk? Ifølge Einsteins specielle relativitetsteori er energi og masse udtryk for det samme grundlæggende
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 4 sider Skriftlig prøve, den 29. maj 2006 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle "Vægtning": Eksamenssættet vurderes samlet. Alle svar
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mere