Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej"

Transkript

1 Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej

2 ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale til ikke-kommercielle undervisningsformål.

3 Forord Disse noter er skrevet som supplement til bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe Thue Poulsen. Noterne er skrevet til brug på kurset Matematik 1 Grundkursus B ved Københavns Universitet. Dette er 3. version af noterne. Der er kun mindre ændringer i forhold til 2. version der hed Supplement De fleste af disse ændringer kan ses på hjemmesiden Første version udkom i marts 2001 og hed Noter til Mat1GB forår Der var en del ændringer i 2. version i forhold til 1. version. Specielt refereres nu til bogen Funktioner af en og flere variable. Desuden er teksten flere steder blevet revideret og Eksempel 2.1.1, Opgave 2.2, Opgave 2.3 og Opgave 2.4 er blevet ændret. Store dele af Kapitlerne 2, 4 og 5 er en bearbejdning af tilsvarende kapitler i Indledning til Matematisk Analyse II af Henrik Stetkær, Klaus Thomsen og Christina Tønnesen-Friedman, der ved Aarhus Universitet bruges som supplement til Funktioner af en og flere variable. Tak til Henrik Stetkær, Klaus Thomsen og Christina Tønnesen-Friedman for tilladelse til at bruge deres materiale. Ansvaret for materialet i disse noter ligger dog udelukkende hos undertegnede. Tak også til Henrik Schlichtkrull for værdifulde kommentarer til Kapitlerne 1 og 6. Jan Philip Solovej København 16. december 2002 Noternes indhold I disse noter vil vi behandle en del forskellige emner, der sammen udgør sidste del af pensum for Mat1GB. Kapitlernes rækkefølge svarer til den rækkefølge, emnerne vil blive gennemgået i. iii

4 iv FORORD Noterne skal opfattes som en første indføring i emnerne og materialet er flere steder behandlet noget overfladiskt. Mange af emnerne tages op i større detalje i senere matematikkurser ved Københavns Universitet. Vi nævner her nogle af de kurser på Bacheloruddannelsen, hvor emnerne tages op igen. De geometriske objekter kurver og flader og de tilhørende integrationsbegreber, der behandles i Kapitlerne 1 og 6, tages op igen i kurset Mat3GE (Geometri). En mere fuldstændig integrationsteori, dog uden det store geometriske indhold, kommer på kurset Mat3MI (Mål og Integralteori). Potensrækker og deres konvergens fra Kapitel 5 er et af hovedemnerne i kurset Mat2KF (Kompleksfunktionsteori). Andre rækker, hvis led er funktioner, de såkaldte Fourierrækker, tages op i kurset Mat2AN (Analyse). Ekstremum under bibetingelse og Lagranges metode fra Kapitel 3 tages op på kurset Mat2OK (Optimering og konveksitet). Differentialligninger tages op i kurserne Mat2AN og Mat2DD (Differential og differensligninger).

5 Indhold Forord Indhold iii viii 1 Kurver og flader Kurver Definition. Kurveparametrisering Definition. Reparametrisering Definition. Parametriserede og orienterede kurver Definition. Glatte punkter og hastighedsvektoren Lemma. Reparametriseringer og hastighedsvektorer Definition. Tangentlinie for en glat parametriseret kurve Definition. Simpel kurveparametrisering Lemma. Simpel kurveparametrisering har kontinuert invers Sætning. Simpel kurve er karakteriseret ved sit spor Sætning. Kontinuitet af enhedstangentvektorer Definition. Glatte simple kurver og enhedstangentfelter Flader Definition. Fladeparametrisering Definition. Reparametriseringer og parametriseret flade Definition. Glatte punkter og normalvektoren Lemma. Reparametriseringer og normalvektorer Definition. Tangentplan for glat parametriseret flade Definition. Elementære domæner i planen Bemærkning. Randen af et elementært domæne Definition. Glat orienteret flade Lemma. Kontinuert invers af fladeparametrisering Sætning. Kontinuitet af enhedsnormalvektorer Bemærkning. Rand af flade og lukket flade Grafer for funktioner af en og to variable Definition. Niveaumængder, -kurver og -flader Sætning. Gradienten er vinkelret på niveaumængder Opgaver til Kapitel v

6 vi INDHOLD 2 Implicit givne og inverse funktioner Implicit givne funktioner Sætning. Implicit givne funktioner generel version Sætning. Tilfældet m = 1 og implicit differentiation Bemærkning. Niveaukurver/flader er kurver/flader Inverse funktioner Sætning. Sætningen om inverse (omvendte) funktioner Opgaver til Kapitel Ekstremum under bibetingelser Lagranges Metode Sætning. Lagranges metode Opgaver til Kapitel Differentialligninger Generelle betragtninger og sprogbrug Definition. Et m te ordens begyndelsesværdiproblem Definition. Lokale løsninger Definition. Maksimale løsninger Definition. Globale løsninger Sætning. Generel eksistens og éntydighedssætning Definition. Lineære differentialligninger Sætning. De homogene løsninger udgør et underrum Sætning. Partikulær og generel løsning Definition. Den komplekse eksponentialfunktion Første ordens separable ligninger Definition. Separable ligninger Sætning. Eksistens og éntydighed for separable ligninger Første ordens lineære ligninger Sætning. Løsning til 1. ordens lineære homogene ligningner Sætning. Løsning til 1. ordens lineære inhomogene ligninger Sætning. Eksistens- og éntydighedssætningen Korollar. 1. ordens lineær ligning med konstant koefficient Anden og højere ordens ligninger Sætning. Løsning til 2. ordens homogen ligning Sætning. Lineære n. ordens homogene ligninger Sætning. Løsnings til 2. ordens lineær inhomogen ligning Sætning. Eksistens- og éntydighedssætningen Gættemetoden (ukendte koefficienters metode) Opgaver til Kapitel

7 INDHOLD vii 5 Taylorrækker og potensrækker Taylorpolynomier Definition. Taylorpolynomium Sætning. Karakterisering af Taylorpolynomium Sætning. Taylors formel med restled Korollar. Vurdering på restleddet Definition og konvergens af potensrækker Definition. Potensrække Sætning. Konvergensradius Sætning. Kvotient- og rodkriterie for konvergensradius Definition. Sumfunktion for potensrække Sætning. Kontinuitet og differentiabilitet af sumfunktion Sætning. Ledvis differentiation og integration Sætning. Regning med potensrækker Taylorrækker og deres konvergens Definition. Taylorrækken for funktion af en variabel Sætning. Potensrække er Taylorrække for sin sumfunktion Sætning. Taylorrækker for kendte funktioner Bemærkning. Om at bestemme Taylorrækken for en funktion Bemærkning. Om at finde sumfunktionen for en potensrække Bemærkning. Om at finde summen af uendelige rækker Opgaver til Kapitel Integration i flere variable Plan og rumintegraler Definition. Elementære domæner Sætning. Itereret integral Sætning. Transformationssætningen Definition. Polære koordinater i planen Definition. Sfæriske koordinater i rummet Kurveintegral Definition. Kurveintegral og kurvelængde Sætning. Reparametriseringer og kurveintegraler Definition. Arbejdsintegral Sætning. Reparametriseringer og arbejdsintegraler Sætning. Arbejdsintegraler for simple kurver Sætning. Analysens fundamentalsætning flervariabel version Definition. Regulære domæner Bemærkning. Randen af et regulært domæne Sætning. Greens formel

8 viii INDHOLD Bemærkning. Konservative vektorfelter Fladeintegraler Definition. Fladeintegral og fladeareal Definition. Fluksintegral Sætning. Fluksintegraler for glat orienteret flade Definition. Divergens og rotation Sætning. Gauss formel, Divergenssætningen Sætning. Stokes formel Opgaver til Kapitel

9 Kapitel 1 Kurver og flader 1.1 Kurver Vi skal i dette og det følgende afsnit beskrive de geometriske objekter kurver og flader. Selvom alle nok har en opfattelse af, hvad en kurve eller flade er, er det ikke helt nemt at give præcise matematiske definitioner af disse objekter. Den matematiske litteratur er også fyldt med ikke helt identiske definitioner. Man kan tænke på kurver eller flader som specielle delmængder f.eks. af rummet R 3. Men når det drejer sig om kurver, kan man også tænke på bevægelsen langs kurven eller blot, hvordan kurven bliver gennemløbet. Et til kurver og flader nært beslægtet geometriskt objekt er grafen for en reel funktion. Vi vil sammenligne disse begreber i Afsnit Definition (Kurveparametrisering) En kurveparametrisering er en kontinuert afbildning r : I R n, defineret på et interval I R. Hvis I er et lukket interval [a, b] kalder vi r(a) og r(b) for endepunkterne for kurveparametriseringen. Vi siger at parametriseringen er lukket, hvis r(a) = r(b). Vi vil kalde billedmængden (værdimængden) C = r(i) R n for sporet af kurveparametriseringen. Bemærk at forskellige parametriseringer kan have samme spor. F.eks. er r 1 (t) = (cos(t), sin(t)), t [0, 2π] og r 2 (t) = (cos(2t), sin(2t)), t [0, π] begge parametriseringer af enhedscirklen. Man vil ofte benytte en sprogbrug, hvor man opfatter parametriseringen r som værende en funktion af tiden. De to parametriseringer af enhedscirklen gennemløber cirklen på forskellig tid. I stedet for blot at identificere en kurve som en punktmængde, altså som sporet af parametriseringen, er det bedre at huske på, hvordan kurven er blevet gennemløbet uden dog at tage hensyn til hvor hurtigt. Mere præcist vil man identificere parametriseringer, der fremkommer af hinanden ved, hvad vi vil kalde reparametriseringer. 1

10 2 KAPITEL 1. KURVER OG FLADER Definition (Reparametrisering) En reparametrisering af en kurveparametrisering r : I R n er en ny kurveparametrisering givet som en sammensat funktion r h : I R n, hvor reparametriseringsfunktionen h : I I er en strengt monoton, kontinuert funktion på et interval a I, som opfylder h(i ) = I. Vi kalder reparametriseringsfunktionen h glat, hvis h er kontinuert differentiabel på det indre af I og h (t) 0 for alle indre punkter t. b Vi siger at reparametriseringen er orienteringsbevarende, hvis h er strengt voksende og orienteringsvendende hvis h er strengt aftagende. a Vi ved så fra Funktioner af en og flere variable Sætning 5.23 at den inverse (omvendte) funktion til h har de samme egenskaber. b Vi ved så igen fra Funktioner af en og flere variable Sætning 7.8 at den inverse har de samme egenskaber. Det er klart, at reparametriseringer ikke ændrer billedmængden Definition (Parametriserede og orienterede kurver ) Vi siger, at parametriseringer, der fremkommer af hinanden ved reparametriseringer, repræsenterer samme parametriserede kurve. Parametriseringer, der fremkommer af hinanden ved orienteringsbevarende reparametriseringer, siges at repræsentere samme orienterede kurve. Den anden parametrisering af enhedscirklen ovenfor fremkommer af den første ved reparametriseringsfunktionen [0, π] t 2t [0, 2π]. De to kurveparametriseringer [ 2π, 2π] t (cos(t), sin(t)) (1.1) [ 2π, 2π] t (cos t, sin t ) (1.2) har også begge enhedscirklen som billedmængde, men fremkommer ikke af de tidligere eller af hinanden ved reparametriseringer. Parametriseringen (1.1) beskriver cirklen gennemløbet to gange imod urets retning. Parametriseringen (1.2) beskriver cirklen gennemløbet to gange, første gang med uret og anden gang mod uret. Vi vil generelt sige at parametriseringer, som ikke fremkommer af hinanden ved reparametriseringer repræsenterer forskellige parametriserede kurver, også selvom de har samme spor altså gennemløber samme punktmængde. Enhedscirklen kan selvfølgelig også beskrives, som mængden af punkter (x, y) der løser ligningen x 2 + y 2 = 1. Dette er helt analogt til, at en linie i planen kan beskrives enten ved en parametrisering eller ved en ligning. Vi vender tilbage til beskrivelsen af kurver i planen ved ligninger i Definition Givet en kurveparametrisering er der, som vi skal se, en lang række størrelser man kan beregne. Et afgørende spørgsmål er, hvilke af disse størrelser der kun

11 1.1. KURVER 3 afhænger af den parametriserede kurve eller mere præcist, hvilke størrelser der ikke ændrer sig, hvis vi reparametriserer kurven. Vi begynder med at definere begrebet hastighedsvektor Definition (Glatte punkter og hastighedsvektoren) Lad r : I R n være en kurveparametrisering, som skrevet i koordinater har formen r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)). Hvis t 0 er et indre punkt i I og r er differentiabel i t 0, d.v.s., hvis hver af koordinaterne x 1,..., x n er differentiable i t 0, da kaldes vektoren x 1(t 0 ) r (t 0 ) =. x n (t 0) for hastighedsvektoren for kurveparametriseringen i t 0. Vi kalder længden af hastighedsvektoren for farten af kurveparametriseringen i t 0. En kurveparametrisering r : I R n siges at være glat i et indre punkt t 0, hvis den er kontinuert differentiabel i et åbent interval indeholdende t 0 og hvis r (t 0 ) 0. Vi siger, at en kurveparametrisering er glat, hvis den er glat i alle punkter. Bemærk, at hvis vi tænker på hastighedsvektoren som en n 1-matrix så er den præcis Jacobi-matricen for afbildningen r. Parametriseringen (1.2) er glat i alle indre punkter undtagen punktet t = 0. De øvrige parametriseringer af cirklen, vi betragtede, er glatte i alle indre punkter. Et eksempel på en parametriseringen af cirklen, der er differentiabel, men ikke glat i punktet t = 0, er givet ved [ 2π, 2π] t (cos(t 2 ), sin(t 2 )). Denne parametrisering fremkommer i øvrigt af parametriseringen (1.2) ved reparametriseringsfunktionen [ 2π, 2π] t t t [ 2π, 2π]. Det bør være klart, at hastighedsvektoren ikke blot afhænger af kurven, men af selve parametriseringen. Den samme kurve kan jo gennemløbes hurtigt eller langsomt. På den anden side, bør det være intuitivt forståeligt, at den linie, der udgår fra et givet punkt på kurven og har hastighedsvektoren som tangentvektor, faktisk kun afhænger af kurven. Det er indholdet af den næste sætning Lemma (Reparametriseringer og hastighedsvektorer) Lad r h : I R n være en reparametrisering af kurveparametriseringen r : I R n, fremkommet ved en glat reparametrisering h. Da vil r h være glat i et indre punkt t af I, hvis og kun hvis r er glat i punktet h(t). I bekræftende fald vil hastighedsvektoren for r h i t være parallel med hastighedsvektoren for r i h(t).

12 4 KAPITEL 1. KURVER OG FLADER Bevis. Bemærk først, at h afbilder indre punkter i indre punkter (fordi intervalendepunkter afbildes i endepunkter). Lemmaet er en simpel konsekvens af kædereglen. 1 Antag først at r er glat i h(t). Da vil (r h) (t) = r (h(t))h (t). Altså er hastighedsvektoren for reparametriseringen blot ganget med skalaren h (t), som vi har antaget forskellig fra nul. Derfor er r h glat i t og hastighedsvektorerne er parallelle. Hvis omvendt r h er glat i t bruger vi blot, at h 1, har de samme egenskaber, som h og at r = (r h) h Definition (Tangentlinie for en glat parametriseret kurve) Hvis kurveparametrisering r : I R n er glat i et punkt t 0, hvor r(t 0 ) = p, siger vi, at den parametriserede kurve i punktet p har en tangentlinie givet ved parametriseringen L(t) = r(t 0 ) + r (t 0 )(t t 0 ), L : R R n. (1.3) Den givne parametrisering for tangentlinien afhænger af, den kurveparametrisering vi starter fra, men som konsekvens af Lemma giver reparametriseringer af kurveparametriseringen samme tangentlinie L(R). Bemærk at tangentlinien her er givet ved en parametrisering defineret på hele R Figur 1.1: (a) Kurve med glat parametrisering og tangentlinie, (b) Kurve med to ikkeglatte punkter En mulig reparametrisering af (1.3) er givet ved L (t) = r(t 0 ) + r (t 0 )t, L : R R n. (1.4) 1 Kædereglen 2. udgave Sætning 9.14 i Funktioner af en og flere variable

13 1.1. KURVER 5 Eksempel Figur 1.1a viser kurven (x(t), y(t)) = (2 t + sin(2 π t), t + cos(2 π t)), t ]0, 2[ samt tangentlinien i punktet (x(1), y(1)) = (2, 2) som er givet ved parametriseringen (fra (1.4)), R t (2 + t (2 + 2 π), 2 + t). Læseren bør checke resultatet. Bemærk at denne kurve skærer sig selv. I disse skæringspunkter er der to tangentlinier, men hver af disse hører til forskellige parameterværdier. Figur 1.1b viser kurven (x(t), y(t)) = ( 2π t + sin(2 π t), 2π t + cos(2 π t) ), t ]0, 2[. Kurveparametriseringen er differentiabel, men ikke glat i t = 3/8 og t = 11/8 svarende til de markerede punkter på figuren. Man ser klart, at kurven heller ikke har en tangentlinie i disse punkter. De sidste begreber vi skal indføre er simple kurver og simple lukkede kurver Definition (Simpel kurveparametrisering) En kurveparametrisering r : [a, b] R n kaldes simpel, hvis den er injektiv på intervallet [a, b]. Den kaldes simpel lukket, hvis den er injektiv på [a, b[ og r(a) = r(b). Den første parametrisering i Eksempel er ikke simpel, men det er den anden. For simple ikke-lukkede kurveparametriseringer r vil vi identificere kurven med sporet, altså punktmængden r([a, b]). Det giver mening fordi, som vi skal se i Sætning 1.1.9, er alle simple kurveparametriseringer med samme spor faktisk reparametriseringer af hinanden. For simple lukkede parametriseringer vil vi også identificere kurven med sporet, men startpunktet (de sammenfaldende endepunkter) vil være et specielt punkt på kurven Lemma (Simpel kurveparametrisering har kontinuert invers) Hvis r : [a, b] R n er en simpel kurveparametrisering, vil den inverse (omvendte) funktion r 1 : r([a, b]) [a, b] være kontinuert. Hvis r : [a, b] R n er en simpel lukket kurveparametrisering, vil restriktionen af parametriseringen til ]a, b[ have en invers a r 1 : r(]a, b[) ]a, b[, som er kontinuert. a Vi tillader os at kalde den inverse r 1, selvom den kun er defineret på r(]a, b[).

14 6 KAPITEL 1. KURVER OG FLADER Bevis. Beviset er næsten identiskt i de to tilfælde. Vi giver det her for en simpel lukket kurveparametrisering og overlader det til læseren at gennemføre beviset for en simpel kurveparametrisering. Lad os kalde C = r(]a, b[). Bemærk at da r er injektiv på [a, b[, vil r(b) = r(a) C. Vi giver et indirekte bevis for kontinuiteten af r 1. Vi antager, at r 1 ikke er kontinuert i p C. Det betyder, at ε > 0 δ > 0 q C : p q < δ og r 1 (p) r 1 (q) > ε. Altså kan vi finde ɛ > 0, så vi for alle n N kan vælge en følge {p n } n=1 i C, så p n p < 1/n og r 1 (p) r 1 (p n ) > ε. (1.5) Vi sætter t = r 1 (p) og t n = r 1 (p n ), for n = 1, 2,.... Da vil t ]a, b[ og t n ]a, b[ for n = 1, 2,.... Vi vil nu vise, at der findes en delfølge {t nk } k=1, så t n k t når n, hvilket jo er i modstrid med (1.5), som giver at t t nk > ε for alle k. For at vise eksistensen af en delfølge som angivet benytter vi os af Bolzano- Weierstrass Sætning. 2 Den giver os, at der ihvertfald findes en konvergent delfølge {t nk } k=1. Der må gælde, at lim k t nk = t [a, b]. Vi skal blot vise, at t = t. Da r er kontinuert, vil lim k r(t nk ) = r(t ). På den anden side ved vi, at lim r(t n) = lim p n = p. n n Vi konkluderer derfor, at r(t ) = p = r(t). Da p C og r(a) = r(b) C, ser vi, at t hverken kan være a eller b og derfor er t ]a, b[. Injektiviteten af r giver derfor, at t = t og vi har vist, at t nk t når k som påstået Sætning (Simpel kurve er karakteriseret ved sit spor) Hvis r 1 : [a 1, b 1 ] R n og r 2 : [a 2, b 2 ] R n er simple kurveparametriseringer med samme spor, findes der en reparametrisering h : [a 2, b 2 ] [a 1, b 1 ], så r 2 = r 1 h. Hvis r 1 : [a 1, b 1 ] R n og r 2 : [a 2, b 2 ] R n er simple lukkede kurveparametriseringer med samme spor, som har samme startpunkt r 1 (a 1 ) = r 2 (a 2 ), findes der en reparametrisering h : [a 2, b 2 ] [a 1, b 1 ], så r 2 = r 1 h. Bevis. Vi betragter først simple kurveparametriseringer. Vi sætter simpelthen h = r 1 1 r 2. Fra Lemma er h en kontinuert injektiv funktion og den opfylder, at h([a 2, b 2 ]) = [a 1, b 1 ]. Det er ikke svært at konkludere fra mellemværdisætningen, 3 at h så er strengt monoton (se opgave 1.7). 2 Se Sætning 4.29 i Funktioner af en og flere variable 3 Mellemværdisætningen er Sætning 5.16 i Funktioner af en og flere variable

15 1.1. KURVER 7 For simple lukkede parametriseringer sikrer vores antagelse r 1 (a 1 ) = r 2 (a 2 ), at r 1 (]a 1, b 1 [) = r 2 (]a 2, b 2 [). Vi kan derfor igen definere h = r 1 1 r 2, hvilket giver en kontinuert injektiv funktion på ]a 2, b 2 [ med billede ]a 1, b 1 [. Igen kan vi fra mellemværdisætningen konkludere, at h er strengt monoton og yderligere at vi kan udvide h til en kontinuert funktion fra [a 2, b 2 ] på [a 1, b 1 ]. Vi burde også have vist, at hvis r 1 og r 2 er glatte i alle indre punkter, så er reparametriseringsfunktionen h glat. Det er desværre lidt mere indviklet, så vi udelader det her. Vi skal nu se, hvordan man for simple kurver, kan give en alternativ beskrivelse af orienteringen Sætning (Kontinuitet af enhedstangentvektorer) Hvis r : [a, b] R n er simpel eller simpel lukket og glat i alle indre punkter ]a, b[, definerer vi en afbildning T r : C R n, hvor C = r(]a, b[), på følgende måde. Hvis p = r(t), sætter vi T r (p) = r (t) r (t). Denne afbildning er da kontinuert. Hvis r 1 fremkommer fra r ved en glat orienteringsbevarende reparametrisering, har vi T r1 = T r. På den anden side, hvis r 1 fremkommer fra r ved en glat orienteringsvendende reparametrisering, har vi T r1 = T r. Bevis. Da kurveparametriseringen er simpel er r injektiv på ]a, b[, derfor vil der til ethvert punkt p C findes et entydigt t ]a, b[ så p = r(t). Forskriften for T r giver derfor mening. Vi kan også skrive T r = r r 1 r r 1. Kontinuiteten af T følger derfor af Lemma Vi mangler at vise, hvordan T r ændrer sig, hvis vi reparametriserer r. Lad r 1 = r h, hvor h er en glat reparametrisering. Da vil r 1 (t) = r (h(t))h (t). Lad p = r 1 (t) = r(h(t)). Da vil T r (p) = r (h(t)) r (h(t)) = r 1(t) h (t) r 1(t) h (t). Den sidste påstand i sætningen følger da umiddelbart af, at h (t) > 0 for en orienteringsbevarende glat reparametrisering og h (t) < 0 for en orienteringsvendende glat reparametrisering.

16 8 KAPITEL 1. KURVER OG FLADER Definition (Glatte simple kurver og enhedstangentfelter) Lad C = r([a, b]) være billedmængden for en simpel eller simpel lukket kurveparametrisering r, som er glat på ]a, b[. Hvis der findes en kontinuert afbildning T : C R n, så T(p) = T r (p) for alle p C = r(]a, b[), kalder vi kurven C for en glat simpel eller glat simpel lukket kurve. Vi kalder afbildningen T for et enhedstangentfelt for kurven. Bemærk at Lemma kun sikrer eksistensen af et kontinuert enhedstangentfelt på C = r(]a, b[). En simpel kurve er altså glat, hvis enhedstangentfeltet kan udvides kontinuert til endepunkterne. Det er ikke altid muligt, som det næste eksempel viser. Eksempel Betragt kurveparametriseringen r(t) = (cos(t), sin(2t)), t [ π/2, π/2]. Kurven er vist på Figur 1.2. Kurven er simpel lukket (Læseren bør overbevise sig om dette). Der kan ikke findes et kontinuert enhedstangentfelt på hele kurven For r ( π/2) = (1, 2) og r (π/2) = ( 1, 2) er ikke parallelle r(a) = r(b) Figur 1.2: Kurven er simpel lukket, men ikke glat. Enhedstangentfelterne for en glat simpel kurve er altså præcis afbildningerne beskrevet i Lemma bortset fra, at de er udvidet til endepunkterne. Bemærk at vi kan karakterisere orienteringen af en glat simpel kurve ved enhedstangentfelter. Vi vil bruge en analogi til dette for flader i næste afsnit.

17 1.2. FLADER Flader Vi studerer flader meget analogt til vores behandling af kurver, men vi vil ikke gå i lige så stor detalje her. Vi betragter kun flader indeholdt i R Definition (Fladeparametrisering) En fladeparametrisering er en kontinuert afbildning r : D R 3, defineret på en delmængde D R 2. Vi kalder billedmængden r(d) for sporet af fladeparametriseringen. Bemærk at vi for kurver betragtede afbildninger defineret på intervaller, mens vi her tillader afbildninger på enhver delmængde af R 2. For at få en bedre definition, burde man have specificeret egenskaber ved definitionsmængden D, men det springer vi over her, men vender tilbage til det, når vi diskuterer glatte orienterede flader nedenfor Definition (Reparametriseringer og parametriseret flade) En reparametrisering af en fladeparametrisering r : D R 3 er en ny fladeparametrisering givet som en sammensat funktion r T : D R 3, hvor T : D D er en kontinuert funktion med kontinuert invers T 1 : D D. Vi siger, at reparametriseringsfunktionen T er glat, hvis den er kontinuert differentiabel i alle indre punkter og dens Jacobi-matrix DT i alle indre punkter er invertibel. a Vi siger, at fladeparametriseringer, der fremkommer af hinanden ved reparametriseringer, repræsenterer samme parametriserede flade. a Det følger da fra den nedenfor anførte Sætning om inverse funktioner, at det samme gælder for den inverse funktion. Som for kurver vil vi generelt sige, at fladeparametriseringer, der ikke fremkommer af hinanden ved reparametrisering, repræsenterer forskellige parametriserede flader, også selvom de måtte have samme spor.

18 10 KAPITEL 1. KURVER OG FLADER Definition (Glatte punkter og normalvektoren) Lad r : D R 3 være en fladeparametrisering, som skrevet i koordinater har formen r(u, v) = (x 1 (u, v), x 2 (u, v), x 3 (u, v)). Hvis (u 0, v 0 ) er et indre punkt i D og r er differentiabel i (u 0, v 0 ), d.v.s., hvis hver af koordinaterne x 1, x 2, x 3 er differentiable i (u 0, v 0 ) da kaldes krydsproduktet x 1 u (u x 1 0, v 0 ) v (u 0, v 0 ) x N(u 0, v 0 ) = 2 u (u x 0, v 0 ) 2 v (u 0, v 0 ) x 3 u (u x 3 0, v 0 ) v (u 0, v 0 ) for normalvektoren for fladeparametriseringen i (u 0, v 0 ). En fladeparametrisering r : D R n siges at være glat i et indre punkt (u 0, v 0 ), hvis den er kontinuert differentiabel i en åben kugle med centrum i (u 0, v 0 ) og hvis N(u 0, v 0 ) 0. Vi siger, at en fladeparametrisering er glat, hvis den er glat i alle punkter. Bemærk at 3 2 matricen x 1 u (u 0, v 0 ) x 2 u (u 0, v 0 ) x 3 u (u 0, v 0 ) x 1 v (u 0, v 0 ) x 2 v (u 0, v 0 ) x 3 v (u 0, v 0 ) præcis er Jacobi-matricen Dr(u 0, v 0 ) for afbildningen r i punktet (u 0, v 0 ). Hvis normalvektoren N(u 0, v 0 ) 0, vil søjlerne i Dr(u 0, v 0 ) være lineært uafhængige og billedrummet (søjlerummet for matricen) er en plan, hvis normalvektor netop er N(u 0, v 0 ) Lemma (Reparametriseringer og normalvektorer) Lad r T : D R 3 være en reparametrisering af fladeparametriseringen r : D R 3 fremkommet ved en glat reparametrisering T. Da vil r T være glat i et indre punkt (u, v) af D, hvis og kun hvis r er glat i punktet T (u, v). I bekræftende fald vil normalvektoren for r T i (u, v) være parallel med normalvektoren for r i T (u, v). Bevis. Vi vil ikke her bevise, at T (u, v) er et indre punkt i D. Det vil faktisk være en konsekvens af Sætning om inverse funktioner. Resten af lemmaet følger af Kædereglen. 4 4 Kædereglen 3. udgave Sætning 9.36 i Funktioner af en og flere variable

19 1.2. FLADER 11 Antag først at r er glat i T (u, v). Da vil D(r T )(u, v) = Dr(T (u, v))dt (u, v). Vi vil først benytte denne identitet til at konkludere, at billedrummet (søjlerummet) for 3 2 matricen D(r T )(u, v) er lig med billedrummet for 3 2 matricen Dr(T (u, v)). En vektor U R 3 ligger i billedrummet for D(r T )(u, v), hvis der findes en vektor V R 2 så U = D(r T )(u, v)v. Det følger da af identiteten ovenfor, at U = Dr(T (u, v)) (DT (u, v)v) og derfor er U også i billedrummet for Dr(T (u, v)). Hvis omvendt U R 3 ligger i billedrummet for Dr(T (u, v)), findes der en vektor V R 2 så U = Dr(T (u, v))v. Da DT (u, v) er invertibel, har vi D(r T )(u, v) ( DT (u, v) 1 V ) = Dr(T (u, v))dt (u, v)dt (u, v) 1 V = Dr(T (u, v))v = U. Derfor er U også i billedrummet for D(r T )(u, v) og vi har vist at de to billedrum stemmer overens. Normalvektoren for r i punktet T (u, v) er krydsproduktet af de to søjler i Dr(T (u, v)). Derfor er normalvektoren forskellig fra nul, hvis og kun hvis søjlerne er lineært uafhængige d.v.s., hvis og kun hvis billedrummet har dimension 2. Desuden er retningen af normalvektoren for r i T (u, v) entydigt givet ved, at normalvektoren er ortogonal på billedrummet for Dr(T (u, v)). Retningen af normalvektoren for r T kan karakteriseres på samme måde ud fra denne matrix billedrum. Derfor konkluderer vi, da de to billedrum er ens, at r T er glat i (u, v) med en normalvektor parallel med normalvektoren for r. Hvis omvendt r T er glat i (u, v), benytter vi blot at T 1 har de samme egenskaber som T. Vi ved fra diskussionen af differentiabilitet af vektorfunktioner, at afbildningen, ( ) u u0 L(u, v) = r(u 0, v 0 ) + Dr(u 0, v 0 ), (u, v) R 2 (1.6) v v 0 er en god tilnærmelse til funktionen r nær punktet (u, v). Vi ved præcis, at ingen anden lineær afbildning, kan være en bedre approksimation til r nær (u 0, v 0 ) end L. Vi kalder derfor L(R 2 ) tangentplanen i punktet r(u 0, v 0 ) Definition (Tangentplan for glat parametriseret flade) Lad r : D R 3 være en fladeparametrisering, der er glat i et indre punkt (u 0, v 0 ), hvor r(u 0, v 0 ) = p. Vi siger da, at den parametriserede flade i punktet p har en tangentplan givet ved parametriseringen (1.6) eller ækvivalent givet som planen gennem p med normalvektor N(u 0, v 0 ). Den givne parametrisering for tangentplanen afhænger af, den fladeparametrisering vi starter fra, men som konsekvens af Lemma giver reparametriseringer af fladeparametriseringen samme tangentplan L(R 2 ).

20 12 KAPITEL 1. KURVER OG FLADER Vi kommer nu til begrebet en glat orienteret flade. Definitionen af dette begreb er i høj grad motiveret af definitionen af en glat simpel kurve i Definition Først definerer vi, hvilke mængder D de pågældende fladeparametriseringer er defineret på Definition (Elementære domæner i planen) Vi kalder en mængde D R 2 for et elementært domæne, a hvis den kan skrives på en af de følgende to måder. eller D = {(x, y) a x b, u(x) y o(x)} (1.7) D = {(x, y) c y d, v(y) x h(y)} (1.8) hvor v, h : [c, d] R eller u, o : [a, b] R er kontinuerte funktioner, der opfylder v < h på ]c, d[ eller u < o på ]a, b[. (Her står v, h, u, o for henholdsvis venstre, højre, under og over.) b a Betegnelsen elementært domæne er ikke standard i litteraturen. b Disse mængder optræder også i Sætning og Korollar i Funktioner af en og flere variable. Disse elementære domæner er også vigtige for vores diskussion af flervariabel integration i Kapitel 6. y O o(x) V D H U u(x) a b x Figur 1.3: Et elementært domæne af typen (1.7)

21 1.2. FLADER Bemærkning (Randen af et elementært domæne) Randen D af et elementært domæne 5 er foreningsmængden af de mængder, der kan skrives på samme måde som D, men med et af ulighedstegnene erstattet af et lighedstegn. F.eks. for D af typen (1.7) får vi hvor D = V H U O, (1.9) V = {(x, y) x = a, u(a) y o(a)} U = {(x, y) a x b, y = u(x)} H = {(x, y) x = b, u(b) y o(b)} O = {(x, y) a x b, y = o(x)}. Her refererer V, H, U og O til henholdsvis venstre-, højre-, under- og oversiden af randen Definition (Glat orienteret flade) En glat orienteret flade er en delmængde S R 3, som er billedmængden S = r(d) af en fladeparametrisering r : D R 3 med følgende egenskaber: fladeparametriseringen er defineret på et elementært domæne D. fladeparametriseringen er glat i alle indre punkter af D, d.v.s., på D \ D. Parametriseringen r er injektiv på det indre af D og r( D) r (D \ D) =. (1.10) Der findes en kontinuert afbildning n : S R 3 kaldet et enhedsnormalfelt, så n(r(u, v)) = N(u, v)/ N(u, v) i alle indre punkter (u, v) af D. Her er N(u, v) normalvektoren for parametriseringen r. Vi siger at enhedsnormalfeltet definerer en orientering af fladen. Denne definition kan være ret svær at forstå, men den kan motiveres ved at tænke på en flade som formet ved at folde et stykke papir og lime det sammen langs kanten. Det flade papir er mængden D i planen og måden den bliver foldet på, er givet ved afbildningen r. Det stykke, der bliver limet, er en del af randen D. Derfor er afbildningen ikke injektiv på randen. At et kantstykke limes fast til et andet kantstykke og altså ikke til det indre udtrykkes i betingelsen (1.10). 5 Generelt er randen af en mængde, den mængde af punkter der hverken er indre punkter i mængden eller dens komplementær mængde.

22 14 KAPITEL 1. KURVER OG FLADER Lemma (Kontinuert invers af fladeparametrisering) Hvis r : D R 3 er en fladeparametrisering, med egenskaberne givet i Definition 1.2.8, vil restriktionen af r til D \ D have en kontinuert invers r 1 : r(d \ D) D \ D. Bevis. Beviset er identiskt med beviset for Lemma Sætning (Kontinuitet af enhedsnormalvektorer) Hvis r : D R 3 er en fladeparametrisering, med egenskaberne givet i Definition Definerer vi en afbildning n r : r(d \ D) R 3, på følgende måde. Hvis p = r(u, v), sætter vi n r (p) = N(u, v) N(u, v), hvor N er normalvektoren hørende til r. Afbildningen n r er da kontinuert. Bevis. Beviset følger af Lemma 1.2.9, da n r (p) = N(r 1 (p)) N(r 1 (p)) Hvilke reparametriseringer, der bevarer retningen af n r, altså orienteringen, er diskuteret i Opgave Kravet om eksistensen af funktionen n i Definition 1.2.8, er altså et spørgsmål om, hvorvidt n r kan udvides til r( D) Bemærkning (Rand af flade og lukket flade) Hvis parametriseringen r i Definition er injektiv på hele D, kalder vi S = r( D) for fladens rand. Man kan vise, at denne definition ikke afhænger af parametriseringen. Hvis altså r : D R 3 er en anden parametrisering af S med egenskaberne i Definition 1.2.8, som er injektiv på hele D, vil r( D) = r( D). I den helt modsatte situation, hvor vi til ethvert punkt p på fladen altid kan finde en parametrisering r : D R 3, med egenskaberne i Definition 1.2.8, så p ikke ligger på billedet af randen D af D, d.v.s. p r( D), siger vi, at fladen er lukket. Vi afslutter med, at betragte et par eksempler.

23 1.2. FLADER z x y Figur 1.4: Kugle med tangentplan Eksempel (Kuglefladen) Kuglefladen med radius 1 kan parametriseres ved cos(v) sin(u) r(u, v) = sin(v) sin(u), cos(u) hvor (u, v) [0, π] [0, 2π]. Se også Definition af sfæriske koordinater. Den givne parametrisering af kuglefladen er injektiv på det indre af definitionsmængden. Billedet af randen D giver en halv storcirkel, som er vist på Figur 1.4. Det er klart, at vi ved at vælge en roteret parametrisering kan flytte billedet af randen til et helt andet sted på kuglen. Det passer med vores definition, af at denne kugleflade er lukket. Bemærk at man kan vælge et kontinuert enhedsnormalfelt f.eks. det udadrettede enhedsnormalfelt, så kuglefladen bliver en glat orienteret flade. Det udadrettede enhedsnormalfelt er givet ved afbildningen n(x, y, z) = restringeret til kuglefladen. Lad os beregne normalvektoren til parametriseringen N(u, v) = r u r v = x y z sin(u) 2 cos(v) sin(u) 2 sin(v) cos(u) sin(u) = sin(u)r(u, v). Da N(u, v) = sin(u)r(u, v) = sin(u)n(r(u, v)) i indre punkter (u, v) og sin(u) > 0 her, er n(r(u, v)) = N(u, v)/ N(u, v).

24 16 KAPITEL 1. KURVER OG FLADER Den indadrettede enhedsnormal definerer også et enhedsnormalfelt, hvilket giver den anden mulige orientering af fladen. På Fig.1.4 viser vi tangentplanen i punktet r(π/4, π/2) = (0, 2/2, 2/2). For at finde dens parametrisering udregner vi r (π/4, π/2) = 2/2 0 r, (π/4, π/2) = v u 0 Vi får da, at parametriseringen for tangentplanen er 0 L(u, v) = 2/2 + 2/2 0 (v π/2) + 2/ /2 2/2 0 2/2 2/2. (u π/4). Vi kan nemt finde ligningen for tangentplanen, da vi kender normalvektoren, som jo er lig med r. Ligningen er altså ( ) ( ) y + z = Læseren bør checke resultaterne. Ikke alle flader kan orienteres. De mest berømte eksempler på dette er Möbius bånd. På Figur 1.5 viser vi et Möbius bånd med parametriseringen r(u, v) = (cos(u)(1 + v cos(u/2)), sin(u)(1 + v cos(u/2)), v sin(u/2)), defineret for (u, v) [0, 2π] [ 1/2, 1/2]. Læseren bør ved at betragte figuren forsøge at overbevise sig om, at man ikke kan definere et kontinuert enhedsnormalfelt for denne flade. Denne flade er ikke en glat orienteret flade. Man vil normalt kalde den en glat flade, men det er lidt mere indviklet at definere, så vi vil undlade dette her.

25 1.2. FLADER Figur 1.5: Möbius bånd Grafer for funktioner af en og to variable Vi skal nu se, at grafer for funktioner af en og to variable, som man skulle forvente, virkelig er henholdsvis kurver i R 2 og flader i R 3. Grafen for en kontinuert funktion f : I R defineret på et lukket interval I, er et eksempel på en simpel kurve i R 2. Husk, 6 at grafen er defineret som mængden {(x, f(x)) x I}. Det er klart, at dette er en simpel kurve parametriseret ved r(t) = (t, f(t)), t I. Bemærk at hvis f er kontinuert differentiabel i et åbent interval omkring et punkt t, så er kurveparametriseringen glat i punktet t. Betingelsen r (t) 0 er nemlig automatisk opfyldt, da r (t) = (1, f (t)). Tangentlinien til kurven i et punkt (a, f(a)) har parametriseringen L : t (a, f(a)) + (t a)(1, f (a)), men denne linie har jo netop ligningen y = f(a) + f (a)(x a), svarende til tangenten for grafen. 7 Hvis f : U R er en kontinuert differentiabel funktion defineret på en åben mængde U R 2 og D U er et elementært domæne, vil grafen 8 {(x, y, f(x, y)) (x, y) D} være en glat orienteret flade parametriseret ved r(u, v) = (u, v, f(u, v)), (u, v) D. 6 Se Definition 9.2 og Eksempel 7.2 i Funktioner af en og flere variable 7 Se Eksempel 7.2 i Funktioner af en og flere variable 8 Se Definition 9.2 i Funktioner af en og flere variable

26 18 KAPITEL 1. KURVER OG FLADER Tangentplanen til grafen 9 i et punkt (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) er planen gennem punktet (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) udspændt af vektorerne r u (x 0, y 0 ) = Normalvektoren 10 bliver 1 0 f x (x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ), 0 1 f y (x 0, y 0 ) r v (x 0, y 0 ) = = f y (x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) y0 0.5 Figur 1.6: Grafen for f(x, y) = punktet (6/5, 0, f(6/5, 0)) 0x ((x + 1) 2 + y 2 ) ((x 1) 2 + y 2 ) og tangentplanen i Grafen for en funktion er ikke den eneste geometriske repræsentation af funktionen. En anden mulighed er niveaumængderne Definition (Niveaumængder, -kurver og -flader) Hvis f : A R og A R n, definerer vi niveaumængden L c R n for f hørende til værdien c R ved L c (f) = {x A f(x) = c}. I tilfældet n = 2, taler vi om en niveaukurve og i tilfældet n = 3 om en niveauflade. 9 Tangentplanen er defineret i Definition 9.3 i Funktioner af en og flere variable 10 I Definition 9.4 i Funktioner af en og flere variable har normalvektoren modsat fortegn af normalvektoren givet her.

27 1.2. FLADER y x Figur 1.7: Niveaukurver Man kan spørge sig selv, om niveaukurver og niveauflader er kurver og flader i den forstand, vi har defineret dem ovenfor. Svaret er, at der, til ethvert punkt x 0 L c, hvor gradienten f(x 0 ) 0, findes en åben mængde indholdende x 0, således at den del af niveaumængden, der ligger indenfor denne åbne mængde, er en kurve, hvis dimensionen er n = 2 eller en flade, hvis dimensionen er n = 3 og i begge tilfælde er der glathed i punktet x 0. Dette resultat er en konsekvens af sætningen om implicit givne funktioner, som vi kommer til i næste kapitel, se Bemærkning Figur 1.7 viser samtidig grafen og nogle niveaukurver for funktionen f(x, y) = ( (x + 1) 2 + y 2) ( (x 1) 2 + y 2) Sætning (Gradienten er vinkelret på niveaumængder) Lad f : A R, A R n. Hvis r : I R n er en kurveparametrisering, som er glat i et indre punkt t og hvis spor r(i) er helt indeholdt i en niveaumængde for f, da vil hastighedsvektoren r (t) være ortogonal på gradienten f(r(t)), hvis f er differentiabel i r(t). Man udtrykker ofte dette ved at sige, at gradienten er vinkelret på niveaumængder. Bevis. Beviset er ganske simpelt. Da r(i) er indeholdt i en niveaumængde for f, er funktionen I t f(r(t)) konstant. Den har derfor afledet 0. Fra Kædereglen 11 konkluderer vi, at f(r(t)) r (t) = Sætning 9.14 i Funktioner af en og flere variable

28 20 KAPITEL 1. KURVER OG FLADER 1.3 Opgaver til Kapitel Opgave For følgende kurveparametriseringer skal man tegne sporet, vise, at parametriseringen er glat i det givne punkt t 0 og finde en parametrisering for tangentlinien i det tilsvarende punkt på sporet. (a) Cycloide: r(t) = (t sin(t), 1 cos(t)), t [0, 4π], t 0 = π/4. (b) Archimedes spiral: r(t) = (t cos(t), t sin(t)), t [0, 2π], t 0 = π. (c) Logaritmisk spiral: r(t) = (e t cos(t), e t sin(t)), t [0, 2π], t 0 = π. (d) Helix: r(t) = (cos(t), sin(t), t), t [0, 2π], t 0 = π/ Opgave Bestem i hvilke indre punkter parametriseringen for Cycloiden, r(t) = (t sin(t), 1 cos(t)) t [0, 4π], ikke er glat. 1.3 Opgave Lad a, b > 0. Find en parametrisering for ellipsen } {(x, y) x2 a + y2 2 b = 1. 2 Argumenter for at det er en glat simpel lukket kurve og giv en forskrift for de mulige enhedstangentfelter. 1.4 Opgave Tegn niveaukurver for følgende funktioner (a) f(x, y) = x + y (c) f(x, y) = xy (b) f(x, y) = x 2 + y Opgave For følgende funktioner skal man bestemme samtlige kritiske punkter, klassificere dem og beskrive opførslen af niveaukurverne i nærheden af de kritiske punkter.

29 1.3. OPGAVER TIL KAPITEL 1 21 (a) f(x, y) = x 2 y 2 (b) f(x, y) = 2x 2 + 3y 2 (c) f(x, y) = ( (x + 1) 2 + y 2) ( (x 1) 2 + y 2) (se Figur 1.6 og 1.7). 1.6 Opgave Vis ved et eksempel, at der kan findes lukkede simple parametriseringer r 1 : [a 1, b 1 ] R 2 og r 2 : [a 2, b 2 ] R 2 af enhedscirklen, som ikke er reparametriseringer af hinanden. Vink: vælg dem så r 1 (a 1 ) r 2 (a 2 ). 1.7 Opgave Vis at en kontinuert injektiv afbildning h : [a, b] R er strengt monoton. Vink: Der må enten gælde h(a) < h(b) eller h(a) > h(b). Antag det første tilfælde. Lad a x 1 < x 2 b. Man skal vise, at h(x 1 ) < h(x 2 ). Antag modsat at h(x 1 ) > h(x 2 ) (man kan ikke have h(x 1 ) = h(x 2 ), da h er injektiv). Benyt nu mellemværdisætningen til at vise, at dette er i modstrid med injektiviteten. 1.8 Opgave Find en parametrisering af cylinderen {(x, y, z) x 2 + y 2 = 1, 0 z 1} og find en ligning for tangentplanen i punktet ( 2/2, 2/2, 1/2). Argumenter for, at man kan finde et enhedsnormalfelt, så fladen bliver en orienteret glat flade. 1.9 Opgave Fladen parametriseret ved r(u, v) = (cos(u)(2 + cos(v)), sin(u)(2 + cos(v)), sin(v)), (u, v) [0, 2π] [0, 2π] er et eksempel på en torus. (a) Tegn fladen f.eks. ved brug af Maple. (b) Argumenter for, at man kan vælge et kontinuert enhedsnormalfelt, så fladen bliver en glat orienteret flade. (c) Vis at fladen er lukket.

30 22 KAPITEL 1. KURVER OG FLADER 1.10 Opgave Lad a, b, c > 0. Find en parametrisering af ellipsoiden } {(x, y, z) x2 a + y2 2 b + z2 2 c = 1 2 b 3, c 3 ). og find en parametrisering og en ligning for tangentplanen i punktet ( a 3, Find et udtryk for det udadrettede normalfelt og argumenter for at fladen er en orienteret glat lukket flade Opgave (a) Lad A være en 3 2-matrix og B en 2 2-matrix. Lad v 1, v 2 være søjlevektorerne i A og w 1, w 2 være søjlevektorerne i AB. Vis at w 1 w 2 = det(b)v 1 v 2. (b) Benyt formlen i (a) til at vise, at reparametriseringer T med det DT (u, v) < 0 i et indre punkt (u, v) har den effekt, at normalvektoren hørende til den nye parametriseringen i dette punkt har modsat retning af den oprindelige normalvektor, mens reparametriseringer T med det DT (u, v) > 0 ikke ændrer retningen af normalvektoren.

31 Kapitel 2 Implicit givne og inverse funktioner 2.1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden. Specielt ved vi, at hvis vi har flere ubekendte end ligninger vil visse at disse ubekendte variable kunne betragtes som frie og de øvrige, ofte kaldt de ledende variable, kan udtrykkes ved de frie variable. Vi skal nu se, hvordan man i en vis meget begrænset udstrækning kan generalisere dette billede til et generelt ikke-lineært ligningssystem. Vi skal betragte m ligninger i m + n variable. Givet m funktioner f 1, f 2,, f m : R n+m R og en løsning til ligningerne (a 1, a 2,, a n, b 1, b 2,, b m ) R n+m f 1 (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m ) = 0, f 2 (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m ) = 0, f 3 (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m ) = 0, f m (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m ) = 0. Under hvilke omstændigheder kan vi finde funktioner h 1, h 2,, h m af de n variable x 1, x 2,, x n således at og h i (a 1, a 2,, a n ) = b i f i (x 1, x 2,, x n, h 1 (x 1,, x n ), h 2 (x 1,, x n ),, h m (x 1,, x n )) = 0 23.

32 24 KAPITEL 2. IMPLICIT GIVNE OG INVERSE FUNKTIONER for alle i = 1, 2,, m, og for alle (x 1, x 2,, x n ) i en omegn af (a 1, a 2,, a n )? Vi har jo m ligninger, og hvis vi betragter x i erne som kendte, kan vi jo have begrundet håb om, ved hjælp af ligningerne at kunne fastlægge de sidste m variable som kontinuerte funktioner af x 1, x 2,, x n. En mere komprimeret måde at formulere dette spørgsmål på er flg. : Givet en funktion F : R n+m R m (svarende til F (x 1,, y m ) = (f 1 (x 1,, y m ), f 2 (x 1,, y m ),, f m (x 1,, y m ))), og vektorer a R n og b R m, som opfylder at F (a, b) = 0 (svarende til a = (a 1, a 2,, a n ) og b = (b 1, b 2,, b m )), hvornår kan man finde en kontinuert funktion h, defineret i en lille kugle omkring a, således at h(a) = b, og F (x, h(x)) = 0 for alle x i denne lille kugle? Det er præcist denne situation den generelle version af sætningen om implicit givne funktioner udtaler sig om Sætning (Implicit givne funktioner generel version) Lad U R n+m være en åben mængde og F : U R m være en kontinuert differentiabel funktion med koordinatfunktionerne F (x, y) = (F 1 (x, y), F 2 (x, y),, F m (x, y)), x R n, y R m. Antag at a R n, b R m opfylder (a, b) U, F (a, b) = 0 og at determinanten F 1 F 1 F 1 F 1 (a, b) (a, b) (a, b) (a, b) y 1 y 2 y 3 y m F 2 F 2 F 2 F 2 (a, b) (a, b) (a, b) (a, b) y 1 y 2 y 3 y m F m F m F m F m (a, b) (a, b) (a, b) (a, b) y 1 y 2 y 3 y m Så findes en åben kugle, B δ1 (a) R n med radius δ 1 > 0 og centrum i a og en åben kugle, B δ2 (b) R m med radius δ 2 > 0 og centrum i b samt en kontinuert differentiabel funktion H : B δ1 (a) B δ2 (b), så vi for alle x B δ1 (a) har Specielt er H(a) = b. y B δ2 (b), F (x, y) = 0 y = H(x).

33 2.1. IMPLICIT GIVNE FUNKTIONER 25 Vi skal ikke give beviset for denne sætning her. Fra lineær algebra vides at kravet i sætningen om, at determinanten af F 1 F 1 F 1 F 1 (a, b) (a, b) (a, b) (a, b) y 1 y 2 y 3 y m F 2 F 2 F 2 F 2 (a, b) (a, b) (a, b) (a, b) y 1 y 2 y 3 y m F m F m F m F m (a, b) (a, b) (a, b) (a, b) y 1 y 2 y 3 y m skal være forskellig fra 0, er ækvivalent med at forlange, at denne m m-matrix er invertibel. Vi overlader det til læseren at overbevise sig om, at det i tilfældet, hvor F er en lineær funktion, præcis betyder, at x 1,..., x n er frie variable og y 1,..., y m er ledende variable i ligningssystemet F (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = Sætning (Tilfældet m = 1 og implicit differentiation) Lad U R n+1 være en åben mængde og lad f : U R være en kontinuert differentiabel funktion, som vi skriver f(x 1,..., x n, y). Antag at (a 1,..., a n, b) U, f(a 1,..., a n, b) = 0 og at den partielt afledte y f(a 1,..., a n, b) 0. Da findes en åben kugle, B δ1 (a) R n med radius δ 1 > 0 og centrum i a og et åbent interval, ]b δ 2, b + δ 2 [ af længde 2δ 2 > 0 med centrum i b samt en kontinuert differentiabel funktion h : B δ1 (a) ]b δ 2, b + δ 2 [, så vi for alle (x 1,..., x n ) B δ1 (a) har y ]b δ 2, b + δ 2 [, f(x 1,..., x n, y) = 0 y = h(x 1,..., x n ). Specielt er h(a 1,..., a n ) = b. Desuden gælder for (x 1,..., x n ) B δ1 (a), at f (x 1,..., x n, h(x 1,..., x n )) h x j (x 1,..., x n ) =. (2.1) x j f y (x 1,..., x n, h(x 1,..., x n )) Bevis. Eksistensen af h følger fra Sætning Vi mangler blot at vise (2.1). Hvis vi benytter at f(x 1,..., x n, h((x 1,..., x n ))) = 0 for alle (x 1,..., x n ) B δ1 (a) får vi fra Kædereglen, 1 at 0 = ( ) f(x 1,..., x n, h(x 1,..., x n )) x j 1 Se Funktioner af en og flere variable Sætning 9.14.

34 26 KAPITEL 2. IMPLICIT GIVNE OG INVERSE FUNKTIONER = f (x 1,..., x n, h (x 1,..., x n )) + x j f y (x 1,..., x n, h(x 1,..., x n )) h (x 1,..., x n ). x j Ligning (2.1) følger ved at løse for h x j ovenfor. Bemærk, at man kan antage, at kuglen B δ1 (a) er valgt så nævneren i (2.1) ikke er 0. Det er fordi nævneren er kontinuert, da f er kontinuert differentiabel og h er kontinuert, og nævneren per antagelse ikke er 0, når (x 1,..., x n ) = (a 1,..., a n ). Bemærk at man kan benytte (2.1) til at bestemme h x j (a 1,..., a n ) da man ved, at h(a 1,..., a n ) = b. Man finder altså de partielt afledte af h, selvom man faktisk ikke kender funktionen fuldstændigt nær a. Man taler derfor om implicit differentiation. Man benytter ofte en notation, hvor man udelader h og skriver y = y(x 1,..., x n ). Beviset for implicit differentiation følger da fra den mere kompakte udregning 0 = x j (f(x 1,..., x n, y)) = f x j (x 1,..., x n, y) + f y (x 1,..., x n, y) y x j. y b+δ 2 b b δ 2 y=h(x) (a,b) f(x,y)=c a δ 1 a a+δ 1 x Figur 2.1: Illustration af sætningen om implicit givne funktioner. Niveaukurven for f(x, y) er identisk med grafen for h indenfor mængden ]a δ 1, a + δ 1 [ ]b δ 2, b + δ 2 [, (a, b) 0. hvis f y Bemærkning (Niveaukurver/flader er kurver/flader) Lad a L c (f) R n være et punkt på en niveaumængde for en kontinuert differentiabel funktion f af n variable, hvor f(a) 0. Da vil mindst en af de partielt afledte x j f(a), j = 1,..., n være forskellig fra nul. Vi kan for nemheds

Implicit givne og inverse funktioner

Implicit givne og inverse funktioner Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Kurve- og plan-integraler

Kurve- og plan-integraler enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009 MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,

Læs mere

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1 Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Kurver i planen og rummet

Kurver i planen og rummet Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet

Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet Formelsamling til MatIntro kurset på Københavns Universitet af Michael Flemming Hansen Version 1.0 1. februar 2012 Indhold 1 Funktioner af en variabel 4 1.1 Komplekse tal........................... 4 1.1.1

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere