Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold maj Definitioner 2

Transkript

1 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v Begrænsethed, åben/lukket Differentition Differentilligninger Diverse Ekstremum Følger og rækker Grænseværdi og konvergens Implicit funktion Integrtion Kontinuitet Kurver og flder Lineær lgebr Mellemværdi, middelværdi Monotoni Kriterier Kriterier for ekstremum Konvergenskriterier Tricks Kogebog Besværgelser De n bud Resumé ADVARSEL - dette er livsfrligt t bruge ukritisk. Der er næsten sikkert grverende fejl. Jeg påtger mig intet nsvr overhovedet for noget som helst. Fktisk vil jeg for en sikkerheds skyld frråde brug f det følgende... Ved referencer til lærebøgerne bruges (P) for Poulsen, (M) for Messer og (S) for supplementet. (T) står for theorem, (S) for sætning, (L) for lemm, (K) for korollr, (D) for definition. Sidste fsnit, tricks, er meget uformel og ment som en hurtig hjælp til t foretge beregninger og undgå lt for åbenlyse fælder. Der er her normlt ikke referencer. 1

2 1 DEFINITIONER 2 1 Definitioner Arcus-funktioner sin x, x [ π/2, π/2] er injektiv og strengt voksende. Dens inverse funktion rcsin er defineret på [ 1, 1] og er strengt voksende. (P.D.5.24) cos x, x [0, π] er injektiv og strengt ftgende. Dens inverse funktion rccos er defineret på [ 1, 1] og er strengt ftgende. (P.D.5.25) tn x, x ] π/2, π/2[ er injektiv og strengt voksende. Dens inverse funktion rctn er defineret på R og er strengt voksende. (P.D.5.26) Arbejdsintegrl Begrænset mængde Begrænset punktfølge Begyndelsesværdiproblem Billede Ld C være en orienteret kurve i R n repræsenteret ved en kurveprmetrisering r : I R n, der er glt på hele det indre f I. Hvis F : r(i) R n er et kontinuert vektorfelt, defineres rbejdsintegrlet (eller strømintegrlet) f F lngs C ved F ds = F(r(t)) r (t)dt C I Bemærk prikproduktet, og t der ikke er tle om bsolutværdi. Venstresiden er blot en skrivemåde. ds = r (t)dt kldes kurveelementet. (S.D.6.2.3) En delmængde M R n er begrænset når der findes r > 0 så x r for lle x M, dvs. når der findes r > 0 så M B r (0) (P.D.6.14) En punktfølge {x k } k=1 siges t være begrænset hvis der eksisterer et positivt reelt tl M så x k M k N (P.D.6.3). Differentilligningen u (m) (t) = F (t, u(t), u (t),..., u (m 1) (t)), t I (I åbent intervl) smmen med ngivelse f begyndelsesbetingelser (u(t 0 ), u (t 0 ),..., u (m 1) (t 0 )) kldes et m te ordens begyndelsesværdiproblem. (S.D.4.1.1) Hvis K D f kldes f(k) = {f(x) x K} for K s billede under fbildningen f. (P.D.5.1) Digonl mtrix En digonl mtrix (M.D.8.10) hr kun indgnge forskelligt fr nul på hoveddigonlen. Digonliserbr mtrix Definitionsmængde En mtrix A siges t være digonliserbr hviss der findes en digonl mtrix D, der er similær med A. (M.D.8.11) Mængden f lle de x, for hvilke funktionsværdien f(x) er defineret kldes f s definitionsmængde. Den betegnes D f. (P.D.5.1)

3 1 DEFINITIONER 3 Differentibilitet i n dimensioner Ld U være åben delmængde f R n og f : U R. Ld x 0 U. Vi siger, t f er differentibel i x 0 hvis der findes en lineær fbildning L : R n R og en o-funktion ϕ : B r (0) R, så f(x 0 + h) = f(x 0 ) + L(h) + ϕ(h) h for lle h B r (0). (De to første led på højresiden udgør tngentplnet til f i x 0 ). Hvis f er differentibel i lle punkter i U siger vi, t f er differentibel i U. (P.D.9.8) Mere generelt: Ld U R n være åben og F : U R m en funktion. Ld x 0 U. Vi siger, t F er differentibel i x 0, hvis der findes en lineær fbildning L : R n R m og en o-funktion Φ så F (x 0 + h) = F (x 0 ) + L(h) + Φ(h) h for lle h B r (0). Vi siger, t F er differentibel, når F er differentibel i lle punkter i U (P.D.9.28) Differentibilitet og differentilkvotient Ld A R og f : A R og A. 1. f siges t være differentibel i hvis er indre punkt i A og differenskvotienten f(x) f() x hr en endelig grænseværdi for x gående mod. I f(x) f() så fld kldes grænseværdien lim x x for f s differentilkvotient i og mn skriver f f(x) f() () = lim x x 2. Hvis U er en åben delmængde f A (typisk et åbent intervl) siges f t være differentibel i U hvis f er differentibel i ethvert punkt f U 3. Hvis U er åben delmængde f A og f er differentibel i U siges f t være to gnge differentibel i U, hvis f er differentibel. I så fld betegnes differentilkvotienten f f med f. Den kldes f s differentilkvotient f nden orden eller f s ndenordens fledte. Differentibilitet f k te (k N) orden defineres nlogt. (P.D.7.1) Mn kn bruge betegnelserne f df (), dx () eller Df() for det første-ordens fledte og f (k) (), dk f (), D k f() for de k te ordens fledte. (P. Bem. til 7.1) dx k For Feinschmeckere: Kn definere differentilkvotient i endepunkt : Hvis grænseværdien lim f(x) f() x + x eksisterer og er lig b, d er f () = b, og tilsvrende for højre endepunkt.

4 1 DEFINITIONER 4 Divergens og rottion Ld F = (F 1, F 2, F 3 ) være et differentibelt vektorfelt. Divergensen f F er sklrfunktionen divf = F = F 1 x + F 2 y + F 3 z De to venstresider er blot skrivemåder. Rottionen f F er vektorfeltet rotf = curlf = F = De tre venstresider er blot skrivemåder. (S.D.6.3.4) ( F3 y F 2 z, F 1 z F 3 x, F 2 x F ) 1 y Bemærk: Divergensen måler, hvor meget vektorfeltet udvider sig (eller skrumper) i punktet. Rottionen er et mål for, hvor meget feltet drejer i punktet. Huskeregel: Tænk på som ( / x, / y, / z), dvs. f som ( f/ x, f/ y, f/ z), og så henholdsvis prik- eller krydsprodukt. Domæne, elementært En delmængde D R 2 kldes for et elementært domæne (elementært område) i plnen hvis den kn skrives som D = {(x, y) x b, u(x) y o(x)} (u er under, o er over, u, o : [, b] R kontinuerte funktioner med u < o på ], b[) eller som D = {(x, y) c y d, v(y) x h(y)} (v venstre, h højre,v, h : [c, d] R kontinuerte funktioner med v < h på ]c, d[). (S.D.1.2.6) I rummet er et elementært domæne f formen R = {(x, y, z) x b, u(x) y o(x), b(x, y) z t(x, y)} og de tilsvrende med x, y, z ombyttet (b, t bund og top). (S.D.6.1.1) Domæne, regulært En mængde D R 2 kldes for et regulært domæne (regulært område) hvis det kn skrive på følgende to måder: D = m i=1 D i og D = k i=1 D i, hvor D i, i = 1,..., m er elementære domæner med x begrænset f lodrette linjer, og D i, i = 1,..., k er elementære domæner med y begrænset f vndrette linjer, og hvor de indgående funktioner er kontinuert differentible på det indre f deres definitionsintervller. Desuden må hverken D i -erne eller D i -erne hve indre punkter tilfælles, dvs. D i D j D i D j og nlogt for D. (S.D.6.2.7)

5 1 DEFINITIONER 5 Integrlet over et regulært domæne kn skrives D fda = m i=1 D i fda = k i=1 D i fda Egenrum, lineær opertor Egenrum, mtrix Egenværdi og egenvektor, lineær opertor Egenværdi og egenvektor, mtrix Ekstremum, mksimum, minimum Flde, glt orienteret Hvis λ er egenværdi for en lineær opertor: T kldes E T (λ) = {v V T (v) = λv} for egenrummet hørende til egenværdien λ(m.d.8.1). NB E T (λ) er et underrum f V. Hvis λ er egenværdi for en mtrix: A M(n, n) kldes E A (λ) = {v R n (λi )v = 0} for A s egenrum hørende til egenværdien λ (M.D.8.3). Givet en lineær opertor: T : V V. En vektor v 0 kldes en egenvektor med egenværdi λ R hvis T (v) = λv(m.d.8.1) Givet en mtrix A M(n, n). Reelle rødder i det krkteristiske polynomium (dvs. reelle løsninger til det(λi A) = 0) kldes egenværdier for A. En vektor v 0 kldes en egenvektor for A hvis (λi A)v = 0 (M.D.8.3) Ld f være en funktion med reelle værdier. Hvis der findes et største tl i V f kldes det for f s mksimum. Et punkt x D f hvor f(x) er lig med f s mksimum kldes et mksimumspunkt for f. For minimum bruges tilsvrende sprogbrug. Ekstremum nvendes som fællesbetegnelse for mksimum og minimum. (P.D.5.2) En glt orienteret flde er en delmængde S R 3 som er billedmængden S = r(d) f en fldeprmetrisering r : D R 3 som opfylder 1. Fldeprmetriseringen er defineret på et elementært domæne D 2. Fldeprmetriseringen er glt på lle indre punkter f D, dvs. på D\ D 3. Prmetriseringen r er injektiv på det indre f D og r( D) r(d\ D) = 4. Der findes en kontinuert fbildning n : S R 3 kldet et enhedsnormlfelt så n((r(u, v)) = N(u,v) N(u,v) i lle indre punkter (u, v) D. Her er N(u, v) enhedsnormlvektoren for prmetriseringen r. Vi siger, t enhedsnormlfeltet definerer en orientering f flden. (S.D.1.2.8) Flde, prmetriseret Fldeprmetriseringer, der fremkommer f hinnden ved reprmetriseringer repræsenterer den smme prmetriserede flde. (S.D.1.2.2)

6 1 DEFINITIONER 6 Flderel Ld S være en prmetriseret flde repræsenteret ved en fldeprmetrisering r : D R 3 som er glt på det indre f D. Arelet f flden er d defineret ved Arel(S) = 1dS = r u r v da = N(u, v) da S D D Her er N normlvektoren i punktet (u, v). (S.D.6.3.1) Fldeintegrl Ld S være en prmetriseret flde repræsenteret ved en fldeprmetrisering r : D R 3 som er glt på det indre f D. Hvis f er en kontinuert funktion på r(d) definerer vi fldeintegrlet f f over S ved fds = f(r(u, v)) r u r v da = f(r(u, v)) N(u, v) da S D D Her er N normlvektoren i punktet (u, v). Venstresiden er blot en skrivemåde. Et fldeintegrl er ltså et plnintegrl over definitionsmængden. (S.D.6.3.1) En fldeprmetrisering er en kontinuert fbildning r : D R 3 D R 2. (S.D.1.2.1) defineret på Fldeprmetrisering Fldeprmetrisering, glt En fldeprmetrisering r : D R 3, r(u, v) = (x 1 (u, v), x 2 (u, v), x 3 (u, v)) siges t være glt i et indre punkt (u 0, v 0 ), hvis den er kontinuert differentibel i en åben kugle med centrum i (u 0, v 0 ) og hvis dens normlvektor i punktet 0. Fldeprmetriseringen kldes glt, hvis den er glt i lle punkter. (S.D.1.2.3) Fldeprmetrisering,Billedmængden f en fldeprmetrisering, r(d) kldes for dens spor. (S.D.1.2.1) sporet Fluksintegrl Ld S være en prmetriseret flde repræsenteret ved en fldeprmetrisering r : D R 3 som er glt på det indre f D. Hvis F er et kontinuert vektorfelt på r(d) defineres fluksintegrlet f F over S ved F ds = F(r(u, v)) N(u, v)da S D Her er N normlvektoren i punktet (u, v). Venstresiden er blot en skrivemåde. Bemærk prikproduktet. (S.D.6.3.2) Følgekontinuitet Ld A R n, f : A R være en reel funktion på A og A. f siges t være følgekontinuert i hvis der for enhver tlfølge {x n } n=1 i A gælder (P.D.5.6, P.D.6.17) x n, n f(x n ) f(), n for n = 1 x k, k f(x k ) f(), k for n > 1

7 1 DEFINITIONER 7 Globl løsning En funktion u defineret på åben intervl I og m gnge differentibel herpå kldes en globl løsning til differentilligningen u (m) (t) = F (t, u(t), u (t),..., u (m 1) (t)), t I hvis den opfylder ligningen på hele I. (S.D.4.1.4) Grdient Ld U være en åben delmængde f R n og f : U R. Hvis lle de prtielt fledte f x j (x), j = 1,..., n f f eksisterer i x U, klder vi vektoren ( f grdf(x) = f(x) = (x),..., f ) (x) R n x 1 x n for grdienten f f i punktet x. (P.D.9.11) Grf for funktion Ved grfen for en funktion f : U R med U R n forstås mængden (P.D.9.2) G f = {(x, t) U R t = f(x)} R n+1 Grænseværdi, fr højre eller venstre Ld A R, f : A R, b, c R. Vi siger, t f hr grænseværdien c for x gående mod b fr højre, hvis 1. f er defineret i et intervl ]b, b + r[ til højre for b, og 2. ɛ > 0 δ > 0 : 0 < x b < δ f(x) c < ɛ I så fld skriver vi, f(x) c for x b + eller lim x b + f(x) = c. Definitionen f f(x) c for x b er helt nlog (P.D.6.41) Grænseværdi, uendelig Ld A R n, f : A R, b R n. Vi siger, t f hr grænseværdien for x gående mod b, hvis 1. f er defineret i nærheden f b, og 2. M R δ > 0 : 0 < x b < δ f(x) > M I så fld skriver vi, f(x) for x b eller lim x b f(x) =. Definitionen f f(x) for x b er helt nlog (P.D.6.38) Grænseværdi, x mod uendelig Ld A R n, f : A R, c R. Vi siger, t f hr grænseværdien c for x gående mod, hvis 1. der eksisterer et tl R > 0 så A indeholder {x R n x > R} (f er defineret i nærheden f ) og 2. ɛ > 0 K R : x > K f(x) c < ɛ I så fld skriver vi, f(x) c for x eller lim x f(x) = c. Tilsvrende siger vi, t f hr grænseværdien for x gående mod hvis

8 1 DEFINITIONER 8 1. f er defineret i nærheden f og 2. M R K R : x > K f(x) > M. I så fld skriver vi f(x) for x eller lim x f(x) =. Definitionen f f(x) for x er helt nlog (P.D.6.40) Ld A R, f : A R, c R. Vi siger, t f hr grænseværdien c for x gående mod, hvis 1. der eksisterer et tl R > 0 så A indeholder {x R x > R} (f er defineret i nærheden f ) og 2. ɛ > 0 K R : x > K f(x) c < ɛ I så fld skriver vi, f(x) c for x eller lim x f(x) = c. Definitionen f f(x) c for x er helt nlog og det smme gælder tilfældene c = ± (P.D.6.43) Hstighedsvektor Hoveddigonl Inddeling Indre punkt Injektiv funktion Integrbel funktion Ld r : I R n være en kurveprmetrisering, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)). Hvis t 0 I er indre punkt og r er differentibel i t 0 (lle koordintfunktioner differentible), d kldes r (t 0 ) = (x 1 (t 0),..., x n(t 0 )) for kurveprmetriseringens hstighedsvektor i t 0. Dens længde kldes frten i t 0. (S.D.1.1.4) Hoveddigonlen i A M(n, n) er indgngene ii for i = 1, n (M.D.8.6) Ved en inddeling f et intervl [, b] forstås en endelig mængde D = {x 0,..., x n } f tl x i i intervllet, så = x 0 < < x n = b. Intervllet [x i 1, x i ] kldes det i te delintervl ved inddelingen D.(P.D.8.1) Ld A R n og R n. Vi siger, t er et indre punkt i A hvis der eksisterer et r > 0 så hele den åbne kugle B r () er indeholdt i A. Mængden f indre punkter i A kldes det indre f A (P.D.6.10) En funktion f : A R, A R siges t være injektiv, hvis der for x 1, x 2 A gælder x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). (P.D.5.19) En funktion f : [, b] R (begrænset på begrænset lukket intervl) siges t være integrbel over [, b] hviss det nedre og det øvre integrl er ens, b f(x)dx = b f(x)dx, og i så fld defineres integrlet b f(x)dx ved b f(x)dx = b f(x)dx = b f(x)dx (P.D.8.3) Integrtion over negtive intervller Ld [, b] være lukket begrænset intervl. Hvis f : [, b] R defineres f(x)dx = 0, b f(x)dx = b f(x)dx. (P.D.8.12) er integrbel

9 1 DEFINITIONER 9 Invers funktion Jcobint, Jcobimtrix Krkteristisk polynomium Krkteristisk polynomium, lineær opertor Ld funktionen f : A R, A R være injektiv, ld y V f og betrgt f(x) = y. Den entydigt bestemte løsning x A hertil skrives f 1 (y), og funktionen f 1 : V f D f kldes den inverse (omvendte) funktion til f (P.D.5.20) Den lineære fbildning, L i F (x 0 + h) = F (x 0 ) + L(h) + Φ(h) h kldes for Jcobinten for F i punktet x 0. Mtricen for L mht. stndrdbserne i R n, R m kldes for Jcobimtricen for F i x 0. Den betegnes med symbolet DF (x 0 ). (P.D.9.31) Ld A M(n, n). n-te grdspolynomiet i λ givet ved det(λi A) er det krkteristiske polynomium. Reelle rødder heri løser den tilhørende krkteristiske ligning, det(λi A) = 0. (M.D.8.3) Ld T : V V være lineær opertor og V hve endelig dimension. T s krkteristiske polynomium er det krkteristiske polynomium for en mtrix, der repræsenterer T for en given bsis for V (M.D.8.9) Kompkt mængde En delmængde M R n er kompkt, hviss den er begrænset og lukket. Kompleks eksponentilfunktion Kontinuert differentibel Hvis, b R defineres e +ib = e (cos b + i sin b). (S.D.4.1.9) Ld U R n være åben og f : U R. Mn siger, t f er kontinuert differentibel på U hvis f hr prtielt fledte overlt i U og funktionerne x f x j (x) er kontinuerte i U. (P.D.9.13). Mere generelt: Ld U R n (åben) og F : U R m. Vi siger, t F er kontinuert differentibel når F er differentibel på U og de prtielt fledte F j x i : U R, i = 1,..., n, j = 1,..., m f F s koordintfunktioner lle er kontinuerte. (P.D.9.35) Bemærk: Kontinuert differentibel differentibel kontinuitet. Tilsvrende: kontinuert differentibel differentibel prtielt differentibel, mens prtielt differentibel ikke medfører kontinuitet. Kontinuitet Kontinuitet i punkt Ld A R n og f : A R m (m 1) være reel eller vektor-funktion defineret på A. f siges t være kontinuert hvis f er kontinuert i ethvert punkt f A (P.D.5.8,P.D.6.19, P.D.6.46). Ld A R n og f : A R være reel funktion defineret på A, og A. f siges t være kontinuert i hvis ɛ > 0 δ > 0 x A : x < δ f(x) f() < ɛ for n = 1 ɛ > 0 δ > 0 x A : x < δ f(x) f() < ɛ for n > 1 Hvis denne betingelse ikke er opfyldt siges f t være diskontinuert i. (P.D.5.3, P.D.6.16) (forts.)

10 1 DEFINITIONER 10 Ld F : A R m være en vektorfunktion. Vi siger t F er kontinuert i punktet A når der gælder (P.D.6.45) ɛ > 0 δ > 0 x A : x < δ F (x) F () < ɛ Konvergens f funktion Ld A R n, f : A R reel og defineret på A, b R n og c R. Vi siger, t f hr grænseværdien c for x gående mod b hvis 1. f er defineret i nærheden f b og 2. ɛ > 0 δ > 0 : 0 < x b < δ f(x) c < ɛ I så fld siger vi, t f(x) konvergerer mod c når x går mod b og skriver f(x) cforx b eller lim x b f(x) = c (P.D.6.32) Konvergens f punktfølge Kritisk punkt Kugle Kugle, udprikket Kurve, orienteret Kurve, glt simpel En punktfølge {x k } k=1 i Rn punkt x R n så siges t være konvergent, hvis der eksisterer et lim x k xk = 0 I så fld kldes x for følgens grænsepunkt, grænsevektor eller grænseværdi. Vi siger t punktfølgen konvergerer mod x og skriver x k x for k eller lim k x k = x. En ikke-konvergent punktfølge kldes divergent. (P.D.6.2) Ld D R 2 og f : D R. Ved et kritisk punkt for f forstås et indre punkt z 0 D, hvor grdienten f(z 0 ) = 0 (P.D.9.22) Hvis x R n og r > 0 kldes mængden {y R n y x < r} for den åbne kugle med centrum x og rdius r og betegnes med B r (x). Mængden {y R n y x r} kldes den lukkede kugle og betegnes B r (x) (P.D.6.9). Ld x R n og r > 0. Ved en udprikket kugle med centrum x forstås en mængde Ḃ r (x) = {y R n 0 < y x < r} (P.D.6.31). Prmetriseringer, der fremkommer f hinnden ved orienteringsbevrende reprmetrisering siges t repræsentere smme orienterede kurve (S.D.1.1.3) Ld C = r([, b]) være billedmængden for en simpel kurveprmetrisering r, der er glt på ], b[. Hvis der findes en kontinuert fbildning T : C R n så T(p) = T r (p) = r (t) r (t) hvor p = r(t) for lle p C = r(], b[), klder vi kurven C for glt simpel. Hvis kurveprmetriseringen er glt lukket og betingelsen er opfyldt, klder vi kurven for glt simpel lukket. T kldes for et enhedstngentfelt for kurven (S.D )

11 1 DEFINITIONER 11 Kurveintegrl Kurve, længde Kurve, prmetriseret Ld C være en prmetriseret kurve i R n repræsenteret ved en kurveprmetrisering r : I R n, der er glt på hele det indre f I. Længden f kurven er d l(c) = I r (t) dt (S.D.6.2.1) Kurveprmetrisering Kurveprmetrisering, endepunkter Kurveprmetrisering, glt Ld C være en prmetriseret kurve i R n repræsenteret ved en kurveprmetrisering r : I R n, der er glt (r (t) 0) på hele det indre f I. Hvis f er en kontinuert funktion på sporet r(i) (eller defineret på U, der rummer kurven), definerer vi kurveintegrlet f f lngs C ved fds = f(r(t)) r (t) dt C I Venstresiden er blot en skrivemåde. ds = r (t) dt kldes længdeelementet (S.D.6.2.1) Prmetriseringer, der fremkommer f hinnden ved reprmetrisering siges t repræsentere smme prmetriserede kurve (S.D.1.1.3) En kurveprmetrisering er en kontinuert fbildning r : I R n defineret på et intervl I R. (S.D.1.1.1) Hvis r : I R n er en kurveprmetrisering og I er et lukket intervl [, b] kldes r() og r(b) for kurveprmetriseringens endepunkter (S.D.1.1.1) En kurveprmetrisering r : I R n siges t være glt i et indre punkt t 0, hvis den er kontinuert differentibel i et åbent intervl om t 0 og hvis r (t 0 ) 0. Kurveprmetriseringen kldes glt, hvis den er glt i lle punkter. (S.D.1.1.4) Kurveprmetrisering, simpel kldes simpel lukket hvis den er injek- Kurveprmetrisering, simpel lukket En kurveprmetrisering r : [, b] R n [, b]. (S.D.1.1.7) En kurveprmetrisering r : [, b] R n tiv på [, b[ og r() = r(b). (S.D.1.1.7) kldes simpel hvis den er injektiv på Kurveprmetrisering, sporet Lineær differentilligning Sporet en kurveprmetrisering r : I R n er dens billedmængde (værdimængde) C = r(i) R n (S.D.1.1.1) Vi klder differentilligningen u (m) (t) = F (t, u(t), u (t),..., u (m 1) (t)), t I lineær, hvis F er på formen m 1 F (t, v 0,..., v m 1 ) = f(t) i (t)v i i=0

12 1 DEFINITIONER 12 hvor i, i = 0,..., m 1 og f er funktioner på intervllet I. Med ndre ord er differentilligningen på formen m 1 u (m) (t) + i (t)u (i) (t) = f(t) i=0 Hvis i erne er konstnte siges ligningen t hve konstnte koefficienter. Hvis f = 0 kldes ligningen homogen. Ellers kldes den inhomogen. (S.D.4.1.6) Lineær opertor Lokl løsning En lineær opertor er en lineær fbildning T : V V, ltså fr vektorrummet V ind i sig selv. En funktion u defineret på åbent intervl I I og m gnge differentibel herpå kldes en lokl løsning til differentilligningen u (m) (t) = F (t, u(t), u (t),..., u (m 1) (t)), t I hvis den opfylder ligningen for lle punkter t I. En lokl løsning behøver således ikke t være en løsning i hele I. (S.D.4.1.2) Loklt ekstremum Ld A R n og f : A R kontinuert. Ld A. Vi siger, t f hr et loklt mksimum i og t er et loklt mksimumspunkt for f hvis der eksisterer et r > 0 så x A, x < r f(x) f() Hvis der eksisterer r > 0 så x A, x < r f(x) < f() tler vi om et strengt loklt mksimumspunkt. En tilsvrende sprogbrug nvendes om minimum og ekstremum (P.D.7.15) Lukket mængde Mksiml løsning En delmængde U R n kldes lukket (fsluttet) hvis komplementærmængden R n \U = {x R n x / U} er åben. (P.D.6.12) En funktion u defineret på åbent intervl I I og m gnge differentibel herpå kldes en mksiml løsning til differentilligningen u (m) (t) = F (t, u(t), u (t),..., u (m 1) (t)), t I hvis den opfylder ligningen for lle punkter t I og ikke kn udvides til t være en løsning på et strengt større åbent intervl I. (S.D.4.1.3) Monoton funktion En funktion f : A R, A R siges t være voksende, hvis der for x 1, x 2 A gælder x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) og den er strengt voksende hvis f(x 1 ) < f(x 2 ). Aftgende og strengt ftgende defineres nlogt. f siges t være (strengt) monoton, hvis den er enten (strengt) voksende eller (strengt) ftgende. (P.D.5.21)

13 1 DEFINITIONER 13 Niveumængde, -kurve, -flde Normlvektor Hvis f : A R og A R n defineres niveumængden L c R n for f hørende til værdien c ved L c (f) = {x A f(x) = c}. For n = 2 nvendes niveukurve, for n = 3 niveuflde. (S.D ) Ved en normlvektor for f s grf i punktet (x 0, y 0, f(x 0 ), y 0 )) forstås krydsproduktet mellem de to vektorer, der udspænder tngentrummet, nemlig = (1, 0, f x (x 0, y0)) og b = (0, 1, f y (x 0, y0)), dvs. (P.D.9.4) ( f n = b = x (x 0, y 0 ), f ) y (x 0, y 0 ), 1 Ld r : D R 3 være en fldeprmetrisering (r(u, v) = (x 1 (u, v), x 2 (u, v), x 3 (u, v))). Hvis (u 0, v 0 ) D er et indre punkt og r er differentibel i (u 0, v 0 ) (dvs. lle koordintfunktioner differentible), d kldes krydsproduktet mellem = ( x 1 u (u 0, v 0 ), x 2 u (u 0, v 0 ), x 3 u (u 0, v 0 )) og b = ( x 1 v (u 0, v 0 ), x 2 v (u 0, v 0 ), x 3 v (u 0, v 0 )) N(u 0, v 0 ) = b = r u (u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ) for fldeprmetriseringens normlvektor i (u 0, v 0 ). (S.D.1.2.3) o-funktion Ved en o-funktion forstås en reel funktion ϕ, der er defineret i et intervl ] r, r[ og som opfylder (P.D.7.3) 1. ϕ(0) = 0 2. ϕ er kontinuert i 0 Mere generelt: Ved en o-funktion forstås en reel funktion ϕ : B r (0) R defineret på en kugle B r (0) R n der opfylder de to betingelser ovenfor. (P.D.9.7) Endnu mere generelt: Ved en o-funktion fr R n til R m forstås en funktion ϕ med værdier i R m, der er defineret på en kugle B r (0) R n og som opfylder de to betingelser ovenfor. (P.D.9.27) Originlmængde Ortogonl mtrix Oversum, undersum Hvis M B, og B er den mængde, f s værdier tilhører, kldes mængden f 1 (M) = {f(x) A x M} for M s urbillede eller originlmængde ved fbildninging f. (P.D.5.1) En mtrix P er ortogonl hviss P T P = I, dvs. hvis søjlerne i P er ortonormle. (M.D.8.22). Der gælder, t hvis søjlerne i P er ortonormle, er rækkerne det også (P P T = I). Hvis f : [, b] R er en begrænset funktion på [, b] defineres oversummen O(D) og undersummen U(D) hørende til f og inddelingen D ved (P.D.8.1) (idet G i = sup{f(x) x [x i 1, x i ]}, g i = inf{f(x) x [x i 1, x i ]}) O(D) = n G i (x i x i 1 ), U(D) = i=1 n g i (x i x i 1 ) i=1

14 1 DEFINITIONER 14 Prtielt fledte Ld f : R 2 R være en funktion f to vrible (x, y). Hvis funktionen x f(x, y 0 ) er differentibel i punktet x 0 R kldes den differentilkvotient for den prtielt fledte f f med hensyn til x i punktet (x 0, y 0 ). Den betegnes med symbolet f x (x 0, y 0 ). Tilsvrende gælder for y-koordinten (P.D.9.1) Mere generelt: Ld j {1, 2,..., n}. Vi siger, t den prtielt fledte f f med hensyn til x j (den j te vribel) eksisterer i punktet x = (x 1, x 2,..., x n ) U (U åben) hvis funktionen t f(x 1,..., x j 1, t,..., n) er differentibel i punktet t = x j, dvs. hvis grænseværdien f(x 1,..., x j + h,..., x n ) f(x 1,..., x j,..., x n ) lim h 0 h eksisterer. Grænseværdien kldes i så fld for den prtielt fledte f f med hensyn til x j i punktet x og vi betegner den med f x j (x). (P.D.9.5) Polære koordinter Potensrække Potensrække, sumfunktion for Punktfølge Rndpunkt Rnd, elementært domæne Den kontinuert differentible fbildning (r, θ) R 2 (r cos θ, r sin θ) R 2 kldes polære koordinter i plnen. Den er injektiv på {(r, θ) 0 < r 0 < θ 2π}. Absolutværdien for dens Jcobimtrix er givet ved (S.D.6.1.4) ( ) cos θ r sin θ det = r = r sin θ r cos θ En potensrække er en uendelig række f formen n=0 n(z b) n hvor i C, i = 0, 1,... og b C er givne komplekse tl, og z C er en kompleks vribel (S.D.5.2.1) Hvis potensrækken n=0 n(z b) n hr konvergensrdius R > 0 klder vi funktionen f(z) = n=0 n(z b) n for potensrækkens sumfunktion. Med mindre ndet ngives er definitionsmængden den åbne cirkelskive {z C : z b < R}. (S.D.5.2.4) En punktfølge består f uendeligt mnge nummererede elementer i R n, ngivet ved toptegn: x 1, x 2,... (P.D.6.1) Ld D R 2. Ved et rndpunkt for D forstås et punkt i D som ikke er et indre punkt i D (P.D.9.20) Rnden D f et elementært domæne er foreningsmængden f de mængder, der kn skrives som det elementære domæne men med lighedstegn i stedet for uligheder. (S.Bem , S.D.6.1.1) Reprmetrisering, En reprmetrisering f en fldeprmetrisering r : D R 3 er en ny fldeflde prmetrisering givet som en smmenst funktion r T : D R 3, hvor T : D D er kontinuert med kontinuert invers T 1 : D D. (S.D.1.2.2)

15 1 DEFINITIONER 15 Reprmetrisering, kurve Reprmetrisering, glt Reprmetrisering, orienteringsbevrende Retningsfledet Sddelpunkt Seprbel differentilligning Sfæriske koordinter En reprmetrisering f en kurveprmetrisering r : I R n er en ny kurveprmetrisering givet som en smmenst funktion r h : I R n, hvor h : I I er strengt monoton og kontinuert på intervllet I og h(i ) = I (S.D.1.1.2) En reprmetriseringsfunktion h : I I kldes glt hvis h er kontinuert differentibel på det indre f I og h (t) 0 for lle indre punkter t I (S.D.1.1.2) For en fldeprmetrisering kræves yderligere, t reprmetriseringensfunktionens Jcobi-mtrix er invertibel i lle indre punkter (S.D.1.2.2) En reprmetrisering h : I I kldes orienteringsbevrende hvis h er strengt voksende og orienteringsvendende, hvis h er strengt ftgende (S.D.1.1.2) Ld U R n være åben, ld u U, ld v være en enhedsvektor i R n, og ld f : U R. Idet hvert punkt på linjen {u + tv t R} svrer til en prmeterværdi t kn f s restriktion til denne linje opfttes som en funktion F f t, nemlig F (t) = f(u + tv) hvor t gennemløber mængden {t R u + tv U}. Hvis F er differentibel i t = 0 kldes dens fledte for den retningsfledte f f i v s retning i punktet u U. Den betegnes D v (f)(u) = F (0). (P.D.9.15) Ld D R 2 og f : D R. Ved et sddelpunkt for f forstås et kritisk punkt for f, som ikke er loklt ekstremumspunkt (P.D.9.24) En seprbel differentilligning er en første ordens differentilligning på formen u (t) = f(t)g(u(t)) hvor f, g er kontinuerte på intervller I (åbent) hhv. J (S.D.4.2.1) Den kontinuert differentible fbildning (ρ, θ, ϕ) R 3 (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ) R 3 kldes sfæriske koordinter i rummet. Den er injektiv på {(ρ, θ, ϕ) 0 < ρ 0 < θ 2π 0 < ϕ < π} Absolutværdien f dens Jcobideterminnt er (S.D.6.1.5) sin ϕ cos θ ρ sin ϕ sin θ ρ cos ϕ cos θ det sin ϕ sin θ ρ sin ϕ cos θ ρ cos ϕ sin θ cos ϕ 0 ρ sin ϕ = ρ2 sin ϕ Similritet Sporet, tr En n n mtrix A er similær med en n n mtrix B hviss A = P 1 BP for en ikke-singulær n n mtrix P. Vi skriver d, t A B. (M.D.8.4) Sporet for A M(n, n) er summen f elementerne i A s hoveddigonl. Skrives tra. (M.D.8.6)

16 1 DEFINITIONER 16 Stmfunktion Symmetrisk lineær opertor Symmetrisk mtrix Tngentlinje Ld I R være et åbent intervl og ld f : I R. Ved en stmfunktion for f forstås en funktion F : I R der opfylder F (x) = f(x) for lle x I. (P.D.8.16) En lineær opertor T : V V hvor V er et indre produktrum er symmetrisk hviss T (v), w = v, T (w) for lle vektorer v, w V (M.D.8.20) En mtrix A er symmetrisk hviss A T = A(M.D.8.17) Hvis kurveprmetriseringen r : I R n er glt i t 0, r(t 0 ) = p siger vi, t kurven hr en tngentlinje i p, givet ved prmetriseringen L : R R n : L(t) = r(t 0 ) + r (t 0 )(t t 0 ) Reprmetriseringer giver smme tngentlinje L(R). (S.D.1.1.6) Tngentpln Det 2-dimensionle tngentpln for f s grf i (x 0, y 0 ) er delmængden f R 3 givet ved (P.Bem til D.9.3) ( {(x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) + s, t, s f x (x 0, y 0 ) + t f ) y (x 0, y 0 ) s, t R} Ld r : D R 3 være en fldeprmetrisering, der er glt i et indre punkt (u 0, v 0 ), r(u 0, v 0 ) = p. Vi siger d, t den prmetriserede flde hr en tngentpln i p givet ved [ ] u u0 L(u, v) = r(u 0, v 0 ) + Dr(u 0, v 0 ), (u, v) R 2 v v 0 Ækvivlent hermed er tngentplnet givet ved plnen gennem p med normlvektor N(u 0, v 0 ). Reprmetriseringer f fldeprmetriseringen giver smme tngentpln. (S.D.1.2.5) Tngentrum Det 2-dimensionle underrum f R 3 som udspændes f vektorerne (1, 0, f x (x 0, y 0 )) og (0, 1, f y (x 0, y 0 )) kldes for tngentrummet for f s grf i punktet (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). (P.D.9.3) Tylorpolynomium Antg f reel funktion f en reel vribel og n gnge differentibel i. nomiet n f (k) () T n f(x) = (x ) k k! k=0 kldes Tylorpolynomiet for f f n te grd i. (S.D.5.1.1) Poly- Tylorrække Antg f reel funktion f en reel vribel og uendeligt ofte differentibel i R. Potensrækken f (k) () (x ) k k! k=0

17 1 DEFINITIONER 17 kldes Tylorrækken for f i. (S.D.5.3.1). Ubestemt integrl Uegentligt integrl er Ld I være et åbent intervl, f kontinuert på I. Så bruges udtrykket f(x)dx som betegnelse for en vilkårlig stmfunktion for f. Udtrykket kldes det ubestemte integrl f f. (P.D.8.19) Ld f : [, [ R være kontinuert. Vi siger, t det uegentlige integrl f(x)dx konvergent, hvis funktionen F (b) = b f(x)dx hr en grænseværdi for b, og i så fld tilskriver vi det uegentlige integrler denne grænseværdi, og skriver f(x)dx = lim b F (b) = lim b b f(x)dx Hvis F (b) divergerer for b siges det uegentlige integrl t være divergent, og det tillægges ikke nogen værdi. (P.D.8.24) Ld f :], b] R være kontinuert. Vi siger, t det uegentlige integrl b f(x)dx er konvergent, hvis funktionen F (c) = b c f(x)dx hr en grænseværdi for c gående mod fr højre. I så fld tilskrives det uegentlige integrle denne grænseværdi, og vi skriver b f(x)dx = lim F (c) = lim c + c + b c f(x)dx Hvis F (c) divergerer for c + siges det uegentlige integrl t være divergent, og det tillægges ikke nogen værdi. (P.D.8.31) Vektorfelt En vektorfunktion, F : U R n R n kldes et vektorfelt. (S.side 93) der fbilder fr delmængder f R n til R n Værdimængde Øvre og nedre integrl Åben mængde Mængden {f(x) x D f } f lle funktionsværdier f f kldes f s værdimængde og betegnes V f (P.D.5.1) Ld [, b] være et lukket begrænset intervl funktion på [, b]. Det øvre integrl b f(x)dx f f defineres ved b inf{o(d) D inddeling f [, b]} og det nedre integrl b ved b f(x)dx = inf{u(d) D inddeling f [, b]} (P.D.8.3). og f være en begrænset reel f(x)dx = f(x)dx f f defineres En delmængde U R n kldes åben hvis ethvert punkt i U er et indre punkt, dvs. hvis x U r > 0 : B r (x) U (P.D.6.11)

18 2 SÆTNINGER M.V Sætninger m.v. 2.1 Begrænsethed, åben/lukket Begrænsethed Hvis en funktion f : A R er kontinuert i punktet A eksisterer et r > 0 så f er begrænset på mængden ] r, + r[ A (P.L.5.10). Ld A R n og f : A R kontinuert, og ld K A være lukket og begrænset i R n. Så er f begrænset på K (P.S.6.27) Hvis funktionen f : [, b] R er kontinuert, så er den begrænset. (P.S.5.13) Hvis f : [, b] R er kontinuert, så er V f begrænset intervl [m, s] (P.L.5.17) = {f(x) x [, b]} et lukket og Kontinuitet og åben/lukket mængde, ugeseddelversion Kontinuitet og åben/lukket mængde Kontinuerte funktioner og kompkte mængder Lukkede mængder Hvis f i, i = 1,..., m er kontinuerte funktioner defineret på R n og i, i = 1,..., m er relle tl (eller ), og b i, i = 1,..., m er reelle tl (eller + ), d er mængden {x 1 < f 1 (x) < b 1,..., m < f m (x) < b m } åben. Hvis de skrpe ulighedstegn erstttes f er mængden lukket. (Ugeseddel 6). Ld A R n være en åben mængde og f : A R en kontinuert funktion. Så er mængden U = {x A f(x) > 0} åben (P.S.6.25). Hvis B R n er en lukket mængde og f : B R er kontinuert, så er F = {x B f(x) 0} lukket (P.S.6.26). Ld A R n, F : A R m, K A være kompkt (lukket og begrænset). Så er F (K) kompkt delmængde f R m (P.S.6.48). En delmængde F R n er lukket hviss lle konvergente følger i F konvergerer mod et punkt i F, dvs.: For enhver punktfølge {x k } k=1 i F gælder, t hvis den er konvergent, så er grænsepunktet lim k x k = x F - dvs. (P.S.6.13) 2.2 Differentition Blndede prtielt fledte Ld U R 2 være åben og x 0 U. Ld f : U R være differentibel. Antg t de prtielt fledte f f f nden orden eksisterer i lle punkter f U og t 2 f x y og 2 f y x begge er kontinuerte i x 0. Så er (P.S.9.18) 2 f x y (x 0) = 2 f y x (x 0) Mere generelt: Ld U R n være åben og z U. Ld f : U R være differentibel. Antg t de prtielt fledte f f f nden orden eksisterer i lle punkter f U og er kontinuerte funktioner. D er 2 f x i x j (z) = 2 f x j x i (z)

19 2 SÆTNINGER M.V. 19 for lle i, j {1, 2,..., n} og lle z U. (P.K. 9.19) Differentibilitetssætningen Differentibilitet og koordintfunktioner Differentibilitet, prtielt fledte og Jcobint Ld f : U R (U åben) og ld x 0 U. Antg, t de prtielt fledte f f eksisterer i lle punkter i en åben kugle B r (x 0 ) U og t de derved fremkomne f funktioner, x j : B r (x 0 ) R, j = 1,..., n lle er kontinuerte i x 0. Så er f differentibel i x 0. (P.S.9.12) Ld U være en åben delmængde f R n og F : U R m, og ld x 0 U. Så er F differentibel i x 0 hviss lle F s koordintfunktioner er det. (P.S.9.30) Ld F : U R m og x 0 U. Antg, t de prtielt fledte f F s koordintfunktioner eksisterer i lle punkter i en åben kugle B r (x 0 ) U og t de derved fremkomne funktioner F j x i : B r (x 0 ) R, i = 1,..., n, j = 1,..., m lle er kontinuerte i x 0. Så er F differentibel i x 0. (P.S.9.34) Ld U være en åben delmængde f R n og f : U R. Hvis f er differentibel i x 0 U så eksisterer de prtielt fledte f x j (x 0 ) og for enhver vektor h = (h 1,..., h n ) R n er Jcobinten (P.S.9.10) L(h) = n j=1 f x j (x 0 )h j Differentition, regneregler Ld A R, A og f, g : A R differentible i. Så gælder (P.S.7.6): 1. f + g differentibel i med (f + g) () = f () + g () 2. f g differentibel i med (f g) () = f ()g() + f()g () 3. Hvis g() 0 er 1/g differentibel i med (1/g) () = g ()/(g()) 2 Differentition, Arcusfunktionerner Jcobimtrix 4. Hvis g() 0 er f/g differentibel i med (f/g) () = f ()g() f()g () (g()) 2 (P.S.7.9) 1. rcsin er differentibel i ] 1, 1[ med rcsin (x) = 1 1 x 2 2. rccos er differentibel i ] 1, 1[ med rccos (x) = 1 1 x 2 3. rctn er differentibel på R med rctn (x) = 1 1+x 2 Ld U R n (åben) og F : U R. Hvis F er differentibel i x 0 U så eksisterer de prtielt fledte f F s koordintfunktioner, og Jcobimtricen for F i x 0 er givet ved (P.S.9.33) F 1 F x 1 (x 0 ) 1 x n (x 0 ) DF (x 0 ) =..... F m F x 1 (x 0 ) m x n (x 0 )

20 2 SÆTNINGER M.V. 20 Kædereglen Ld f : A R og g : B R være to givne reelle funktioner. Ld A og f() B, og ntg f differentibel i og g differentibel i f(). Så er den smmenstte funktion g f differentibel i og (g f) () = g (f())f (). (P.S.7.7) Ld U R n og V R m (begge åbne), f : U R og g i : V R, i = 1,..., n med (g 1 (x),..., g n (x)) U for lle x V. Ld x 0 V og j {1,..., m}. Antg, t f differentibel i y 0 = (g 1 (x 0 ),..., g n (x 0 )) og t g i x j (x 0 ) eksisterer for lle i = 1,..., n. Så eksisterer den prtielt fledte f f(g 1,..., g n ) med hensyn til den j te koordint i x 0 og (P.S.9.14) f(g 1,..., g n ) x j (x 0 ) = n i=1 f y i (y 0 ) g i x j (x 0 ) Ld U R n og V R m (begge åbne), F : U R m og G : V R k være to funktioner, så F (U) V. Ld u U være et punkt hvor F er differentibel, og ntg t G er differentibel i F (u) V. Så er den smmenstte funktion G F : U R k differentibel i u og (P.S.9.36) D(G F )(u) = DG(F (u))df (u) (dvs. hvis DG repræsenterer L G og DF repræsenterer L F, d vil (DG)(DF ) repræsentere L G L F ). o-funktion og differentibilitet Ld A R, f : A R, A. (P.L.7.4) 1. Hvis f er differentibel i, findes der en o-funktion ϕ så f( + h) = f() + f ()h + ϕ(h)h for lle h ] r, r[ 2. Hvis f( + h) = b + αh + ϕ(h)h for lle h ] r, r[ og b, α R og ϕ er en o-funktion, så er f differentibel i og f () = α o-funktion og koordintfunktioner (P.L.9.29) 1. Hvis Φ : B r (0) R m er en o-funktion, så er lle Φ s koordinter Φ j, j = 1,..., n o-funktioner 2. Ld Φ 1,..., Φ m være reelle funktioner, hvor Φ j er defineret på en kugle B rj (0) R n, og ld funktionen Φ være defineret ved Φ(x) = (Φ 1 (x),..., Φ m (x)). Hvis lle Φ j er o-funktioner, så er Φ en o-funktion. Omvendt funktion og differentibilitet, generelt Ld F : U R n være kontinuert differentibel på U R n Invers funktion!differentibilitet. Antg, t Jcobimtricen er invertibel i U, dvs. DF () 0. Så findes δ 1, δ 2 > 0 og en kontinuert differentibel funktion G : B δ1 (F ()) B δ2 () så der for lle y B δ1 (F ()) gælder (x B δ2 () y = F (x)) x = G(y) og vi siger, t F i nærheden f hr en invers funktion G defineret nær F (). Desuden er Jcobimtricen for G givet ved (S.S.2.2.1) DG(F ()) = (DF ()) 1

21 2 SÆTNINGER M.V. 21 Omvendt funktion og differentibilitet Prtielt fledte, regneregler Retningsfledet Ld f være strengt monoton og kontinuert funktion fr et intervl I ind i R og ld g = f 1 være f s omvendte funktion. Hvis f er differentibel i I og f () 0 så er g differentibel i f() og g (f()) = 1/f () (P.S.7.8) Ld f, g : U R (U åben), ld x 0 U og r R. Hvis f og g hr prtielt fledte med hensyn til x j i punktet x 0, så gælder (P.S.9.6) (rf) (x 0 ) = r f (x 0 ) x j x j (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) x j x j x j (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ) x j x j x j Ld U R n være åben, ld u U, ld v være en enhedsvektor i R n og ld f : U R. Hvis f er differentibel i u eksisterer den retningsfledte f f i u i enhver retning v og den er givet ved prikproduktet (P.S.9.16) D v (f)(u) = f(u), u Den numeriske værdi f den retningsfledte ntger sin største værdi i den retning som grdienten bestemmer (P.K.9.17) 2.3 Differentilligninger Eksistens og entydighed f løsning Hvis funktionen F er kontinuert differentibel i en åben kugle omkring punktet (t 0, v 0, v 1,..., v m 1 ) I A, d findes et åbent intervl omkring t 0 så der i dette intervl er præcis en løsning til (S.S.4.1.5) u (m) (t) = F (t, u(t), u (t),..., u (m 1) (t)), t I Homogene løsninger er underrum Løsning f 1.ordens lineær homogen Løsning f 1.ordens lineær inhomogen Mængden f funktioner, der løser en homogen lineær differentilligning på hele intervllet I, er et underrum f det komplekse vektorrum f lle komplekse funktioner defineret på intervllet. (S.S.4.1.7) For en første ordens lineær homogen differentilligning u (t) = (t)u(t) er løsningen givet som følger. Ld være kontinuert (kompleks) funktion og definer A(t) = t t 0 (s)ds hvor t I. D er enhver løsning givet ved Ce A(t), hvor C C er en konstnt. Når C gennemløber C fås smtlige løsninger. (S.S.4.3.1) For en første ordens lineær inhomogen differentilligning u (t) (t)u(t) = f(t) er løsningen givet som følger. Ld være kontinuert (kompleks) funktion og definer A(t) = t t 0 (s)ds hvor t I. Ld f være kontinuert (kompleks) funktion. D er enhver løsning givet ved u(t) = e A(t) t t 0 e A(s) f(s)ds + Ce A(t)

22 2 SÆTNINGER M.V. 22 hvor C C er en konstnt. Når C gennemløber C fås smtlige løsninger. (S.S.4.3.2) Givet v 0 C findes præcis en løsning u defineret på I, så u(t 0 ) = v 0. (S.S.4.3.3) Løsning f 1.ordens lineær med konstnte koefficienter u(t) = e t t t 0 e s f(s)ds + Ce t hvor C C er en konstnt. Når C gennemløber C fås smtlige løsninger. (S.K.4.3.4) Løsning f seprbel For en første ordens seprbel differentilligning (S.S.4.2.2) u (t) = f(t)g(u(t)) gælder 1. Ld t 0 I og v 0 J. Hvis g(v 0 ) 0 findes ɛ > 0 så ligningen hr præcis en løsning u(t) defineret på ]t 0 ɛ, t 0 + ɛ[. Funktionsværdien u(t) er entydigt givet som løsningen til u(t) 1 t v 0 g(y) dy = f(s)ds t 0 2. Hvis g(v 0 ) = 0 er u givet ved u(t) = v 0 for lle t I en løsning. Hvis g er kontinuert differentibel i v 0 er der ikke ndre løsninger. Ellers kn der være ndre med u(t 0 ) = v 0. Løsning f 2.ordens lineær homogen med konstnte koefficienter For en første ordens lineær inhomogen differentilligning med konstnte koefficienter u (t) u(t) = f(t) er løsningen givet ved For en nden ordens lineær homogen differentilligning med konstnte koefficienter u + 1 u + 0 u = 0 med 0, 1 C er løsningen givet som følger. Ld λ 1, λ 2 C være rødderne i det krkteristiske polynomium z z + 0. (S.S.4.4.1) 1. λ 1 λ 2. For lle C 1, C 2 C er u(t) = C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t, t I en løsning, og enhver løsning hr denne form for pssende C 1, C 2 2. λ 1 = λ 2 = λ. For lle C 1, C 2 C er u(t) = C 1 e λt + C 2 te λt, t I en løsning, og enhver løsning hr denne form for pssende C 1, C 2 Løsning f 2.ordens lineær inhomogen med konstnte koefficienter Ld λ 1, λ 2 C være rødderne i det krkteristiske polynomium for den 2. ordens lineære homogene differentilligning med konstnte koefficienter u + 1 u + 0 u = f(t). D er en prtikulær løsning givet ved (S.S.4.4.3) u 0 (t) = t t 0 e λ1(t s) e λ2(t s) λ 1 λ 2 f(s)ds, t I for λ 1 λ 2 u 0 (t) = t t 0 e λ(t s) (t s)f(s)ds for λ 1 = λ 2 = λ Ld f være kontinuert (kompleks) funktion. Givet v 0, v 1 C findes der præcis en løsning u, så u(t 0 ) = v 0, u (t 0 ) = v 1. (S.S.4.4.4)

23 2 SÆTNINGER M.V. 23 Løsning f n.ordens lineær homogen med konstnte koefficienter Betrgt den n te ordens lineære homogene differentilligning med konstnte koeffivcienter u (n) + n 1 i=0 iu (i) = 0, i C, i = 0,..., n 1. Ld λ j, j = 1,..., s være rødderne i det krkteristiske polynomium z n + n 1 i=0 iz i og n j N, j = 1,..., s betegne røddernes multiplicitet. En bsis for vektorrummet f de n gnge differentible funktioner u, der opfylder differentilligningen udgøres funktionerne f t e λ jt, te λ jt,..., t n j 1 e λ jt, j = 1,..., s Hvis det krkteristiske polynomium hr n forskellige rødder, er de n funktioner givet ved t e λ it, i = 1,..., n en bsis for løsningsrummet (S.S.4.4.2) Prtikulær og generel løsning Hvis u 1 og u 2 : I R er to løsninger til den inhomogene lineære differentilligning, d er w = u 1 u 2 en løsning til den tilsvrende homogene ligning. Hvis u er en særlig løsning til den inhomogene ligning, og w er en løsning til den homogene ligning, d er u + w en løsning til den inhomogene ligning. Den generelle løsning fremkommer således ved t lægge smtlige homogene løsninger til en prtikulær løsning (S.S.4.1.8) 2.4 Diverse Kvdrtiske former Ld, b, c R (P.L.9.25) 1. Hvis b 2 < c og > 0 så er h 2 +2bhk +ck 2 > 0 for lle egentlige vektorer (h, k) R 2 2. Hvis b 2 > c så ntger h 2 +2bhk+ck 2 både positive og negtive værdier Uligheder, nyttige Ld x R n. Så er (P.S.6.49) 1. x j x for lle j {1,..., n} og 2. x n mx n j=1 x j Ld x, y R n. Så gælder Cuchy-Schwrtz-uligheden x, y x y og trekntsuligheden x + y x + y og x y x y 2.5 Ekstremum ABC-kriteriet Ld D R 2 og f : D R. Antg t z 0 = (x 0, y 0 ) D er et kritisk punkt for f, dvs. z 0 ligger i det indre f D og f(z 0 ) = 0. Antg yderligere, t de prtielt fledte f f f nden orden eksisterer og er kontinuerte i en åben kugle B r (z 0 ). Sæt (P.S.9.26) A = 2 f x 2 (z 0), B = 2 f x y (z 0), C = 2 f y 2 (z 0)

24 2 SÆTNINGER M.V Hvis B 2 > AC hr f et sddelpunkt i z 0 2. Hvis B 2 < AC hr f et strengt loklt ekstremum i z 0. Hvis A > 0, C > 0 er det et strengt loklt minimum. Hvis A < 0, C < 0 er det et strengt loklt mksimum 3. Hvis B 2 = AC giver ABC-kriteriet ingen oplysning om f s opførsel nær z 0. Ekstremum og kontinuitet Hvis f : [, b] R er kontinuert så hr den et mksimum og et minimum (P.S.5.14). Ld A R n, f : A R kontinuert og K A, K være lukket og begrænset i R n. Så hr f et mksimum og et minimum på K (P.S.6.28) Ekstremum og differentilkvotient Ld I R og f : I R være kontinuert på I og differentibel i lle indre punkter i I, og ld være et indre punkt i I. Hvis f (x) 0 for x < og f (x) 0 for x > så er et globlt mksimumspunkt for f, og hvis f (x) > 0 for x < og f (x) < 0 for x > så er et strengt globlt mksimumspunkt for f. Anlogt gælder for minimum. (P.K.7.16) Ld A R, f : A R og A (P.K.7.17). 1. Hvis f er kontinuert i og differentibel i nærheden f med f (x) 0 i et intervl til venstre for og f (x) 0 i et intervl til højre for, så er et loklt mksimumspunkt for f. 2. Hvis f er kontinuert i og differentibel i et intervl til venstre for med f (x) 0 mens f slet ikke er defineret i intervl til højre for, så er et loklt mksimumspunkt for f 3. Tilsvrende gælder for strengt loklt mksimum (skrpe uligheder) og minimum Ld I R være et intervl og f : I R være kontinuert på I og to gnge differentibel i lle indre punkter f I. Ld være et indre punkt i I med f () = 0. Hvis f (x) 0 for lle indre x I, så er et globlt mksimumspunkt for f. Tilsvrende gælder og strengt globlt mksimum og minimum. (P.K.7.18) Ld A R og f : A R. Ld være indre punkt i A og ntg f to gnge differentibel i nærheden f med f () = 0, f () 0. Så er et loklt ekstremumspunkt for f, endd et strengt lokl mksimumspunkt, hvis f () < 0 og et strengt loklt minimumspunkt hvis f () > 0 (P.K.7.19) Ekstremum og grdient Ld D R 2 og f : D R. Ld z 0 D være et indre punkt f D og ntg, t begge de prtielt fledte f f eksisterer i z 0. Hvis z 0 er et loklt ekstremumspunkt for f, er grdienten for f nul i z 0 (NB, kun nødvendig betingelse, ikke tilstrækkelig), dvs. f(z 0 ) = 0 (P.S.9.21)

25 2 SÆTNINGER M.V. 25 Ekstremumspunkter Ld D R 2 og f : D R. De lokle (og dermed også globle) ekstremumspunkter for f skl findes blndt følgende punkter i D (P.S.9.23): 1. kritiske punkter for f 2. indre punkter i, hvor en f de prtielt fledte f f (eller begge) ikke eksisterer (singulære punkter) 3. rndpunkter i D. Lgrnges metode Ld U R n være åben. Antg t f, g : U R er kontinuert differentible. Hvis = ( 1,..., n ) er et lokl ekstremumspunkt for f på niveumængden L c (g) = {x U g(x) = c} og hvis g() 0, så findes λ R så f() = λ g() λ kldes for Lgrngemultipliktoren (S.S.3.1.1). Mere generelt og ikke i pensum opstilles Lgrngefunktionen L(x, λ 1,..., λ m ) = f(x) m λ i g i (x) hvor g i (x) = 0 er bibetingelser, i = 1,..., m og λ i R (Lgrngemultipliktorerne). Hvis x er loklt ekstremum, gælder, t i=1 L x j (x, λ 1,..., λ m ) = 0, j = 1,..., n L λ i (x, λ 1,..., λ m ) = 0, i = 1,..., m Det ses, t for m = 1 reducerer udtrykket til det ovenfor givne. (Det er ngivet i (S) på side 34, t betingelsen for flere bibetingelser er f(x) = m i=1 λ i g i (x) - nøjgtig som ovenfor) 2.6 Følger og rækker Bolzno- Weierstrss III Potensrække, kontinuitet og differentibilitet f sumfunktion Potensrække, konvergensrdius Enhver begrænset punktfølge hr en konvergent delfølge (P.S.6.8) Givet en potensrække n=0 n(z b) n med reelle koefficienter og positiv konvergensrdius R. D er den reelle funktion f :]b R, b + R[ R givet ved f(x) = n=0 n(x b) n kontinuert og uendelig mnge gnge differentibel. (S.S.5.2.5) Givet en potensrække n=0 n(z b) n. Der findes 0 R så rækken er bsolut konvergent for z b < R og divergent for z b > R. R kldes konvergensrdius for potensrækken (S.S.5.2.2). Bemærk, der siges intet om konvergens for z b = R.

26 2 SÆTNINGER M.V. 26 Potensrække, kriterier for konvergensrdius Givet en potensrække n=0 n(z b) n, n, b C, hvor der findes et N N, så n 0 for n N. 1. Hvis grænseværdien R = lim n n n+1 eksisterer, d er R konvergensrdius for potensrækken. (Kvotientkriteriet) 2. Hvis grænseværdien R = lim n n 1/n eksisterer, d er R konvergensrdius for potensrækken (Rodkriteriet). Bemærk i begge tilfælde kn R godt være. (S.S.5.2.3) Potensrække, ledvis differentition og integrtion Hvis potensrækken n=0 n(x b) n, n, b, x R hr konvergensrdius R > 0, vil potensrækkerne n=0 n n+1 (x b)n+1 (fr ledvis integrtion) og n=1 n n(x b) n 1 (fr ledvis differentition) begge hve konvergensrdius R. Desuden vil sumfunktionen f(x) = n=0 n(x b) n hve stmfunktionen F (x) = n=0 n n+1 (x b)n+1 (blot ledvis integreret) og fledt f (x) = n=1 n n(x b) n 1 (ledvis differentieret). Disse funktioner er lle defineret for x ]b R, b + R[. (S.S.5.2.6) Potensrække, regneregler Potensrække, Tylorrække og sumfunktion Tylorpolynomium, krkterisering Tylors formel med restled Ld f(x) = n=0 n(x c) n, g(x) = n=0 b n(x c) n defineret for x ]R c, R+ c[ være sumfunktioner for givne potensrækker med konvergensrdius (mindst) R. For x ]R c, R + c[ gælder d (S.S.5.2.7) f(x) ± g(x) = f(x)g(x) = ( n ± b n )(x c) n n=0 ( n ) m b n m (x c) n n=0 m=0 Ld f(x) = n=0 n(x b) n være en reel potensrække med positiv konvergensrdius R. D er sumfunktionen f :]R b, R+b[ R uendeligt ofte differentibel i b og for lle n 0 er n = f (n) (b) n!. Med ndre ord er potensrækken Tylorrække for sin sumfunktion i b. (S.S.5.3.2) Antg, t f er n gnge differentibel i R. D er Tylorpolynomiet T n f det eneste polynomium f grd n, som hr smme funktionsværdi og n første fledte som f i. (S.S.5.1.2) Antg, t f er n + 1 gnge kontinuert differentibel på åbent intervl I. Hvis, b I gælder, t f(b) = T n f(b) + 1 n! b f (n+1) (t)(b t) n dt hvor T n f(b) er Tylorpolynomiet for f i b. (S.S.5.1.3). Restleddet er givet ved R n f(b) = f(b) T n f(b).

27 2 SÆTNINGER M.V. 27 Tylors formel, vurdering f restled Tylorrækker Antg, t f er n + 1 gnge kontinuert differentibel på åbent intervl I. Hvis, b I og M er et tl, så f (n+1) (t) M for lle t mellem og b, gælder, t (S.K.5.1.4) R n f(b) M b n+1 (n + 1)! Med konvergensrdius som ngivet i de enkelte intervller hves følgende eksempler på Tylorrækker (se også Schum el. lign.) (S.S og bemærkninger) x = n=0 xn, x ] 1, 1[ 2. e x = n=0 xn n!, x R 3. sin x = n=0 4. cos x = n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n+1)!, x R ( 1) n x 2n (2n)!, x R 5. ln(1 + x) = ( 1) n+1 x n n=1 n, x ] 1, 1[ 6. (1 + x) s = 1 + s(s 1)(s 2) (s n+1) n=1 n! x n, x ] 1, 1[, s R 7. cos x + i sin x = (ix) n n=0 n!, x R 8. rctn x = ( 1) n x 2n+1 n=0 2n+1, x ]1, 1[ (fktisk x [ 1, 1]) 2.7 Grænseværdi og konvergens Entydig grænseværdi Grænseværdi, lemm En funktion kn højst hve en enkelt grænseværdi for x b (P.S.6.33). (P.L.6.34) 1. Hvis f : A R hr grænseværdi for x b er den begrænset i nærheden f b 2. Hvis f : A R hr grænseværdi c > 0 for x b eksisterer et reelt tl k > 0 så f(x) k i nærheden f b. Fktisk kn k vælges vilkårligt i intervllet ]0, c[. Grænseværdi, højre og venstre Grænseværdier, regneregler Ld A R, f : A R defineret på A og b R. Hvis de to grænseværdier lim x b f(x) og lim x b + f(x) eksisterer og er ens, så eksisterer lim x b f(x) og den er lig med lim x b f(x) (P.S.6.42) (P.S.6.5) 1. Hvis punktfølgen {x k } k=1 er konvergent, så er tlfølgen { xk } k=1 konvergent og lim k xk = lim k xk