01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides"

Transkript

1 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis... Definition. Mængden af formler i udsagnslogik defineres som følger: 1. Enhver propositionsvariabel er en formel. 2. Hvis A er en formel, er A også en formel. 3. Hvis A og B begge er formler, er (A B) også en formel. 4. Hvis A og B begge er formler, er (A B) også en formel. 5. Hvis A og B begge er formler, er (A B) også en formel. 6. Hvis A og B begge er formler, er (A B) også en formel. binder stærkere end, binder stærkere end,. formel læses kaldes A ikke A negationen af A A B A og B konjunktionen af A og B A B A eller B disjunktionen af A og B A B A medfører B implikationen fra A til B A B A ensbetydende med B biimplikationen mellem A og B Sandhedstildeling for en formel: At give en sandhedsværdi, sand eller falsk, til alle propositionsvariable i formlen. 1

2 1.2 Sandhedstabeller Sandhedstabel for p q p q T T T T F T F T T F F F Sandhedstabel for p q p q T T T T F F F T F F F F Sandhedstabel for p p T F F T Sandhedstabel for p q p q T T T T F F F T F F F T Sandhedstabel for p q p q T T T T F F F T T F F T 2

3 1.3 Opfyldelighed, gyldighed, logisk ækvivalens, osv. Definition. En formel kaldes opfyldelig (eng.: satisfiable) hvis den er sand i mindst én sandhedstildeling. Ækvivalent: Formlen er sand i mindst én af rækkerne i dens sandhedstabel. Definition. En formel kaldes gyldig (eng.: valid) eller en tautologi (eng.: tautology) hvis den er sand i alle sandhedstildelinger. Ækvivalent: Formlen er sand i alle rækkerne i dens sandhedstabel. Definition. En formel kaldes en modstrid eller en kontradiktion (eng.: contradiction) hvis den er falsk i alle sandhedstildelinger. Ækvivalent: Formlen er falsk i alle rækkerne i dens sandhedstabel. Implikationer p q optræder i mange forklædninger i naturligt sprog: 1. q følger af p. 2. Hvis p så q. 3. q hvis p. 4. p kun hvis q. 5. p er en tilstrækkelig betingelse for q. 6. q er en nødvendig betingelse for p. Disse udtrykker alle præcist det samme, nemlig p q. Definition. En formel B kaldes en logisk konsekvens af formlerne A 1,..., A n hvis B altid er sand når alle A 1,..., A n er sande. Mere præcist: Enhver sandhedstildeling som gør alle A 1,..., A n sande, gør også B sand. Når B er en logisk konsekvens af A 1,..., A n skriver vi A 1,..., A n = B. En metode til at afgøre logisk konsekvens. Man kan afgøre A 1,..., A n = B med følgende metode: 1. Opskriv en sandhedstabel som omfatter samtlige af formlerne A 1,..., A n, B. 2. Tjek at der i enhver række hvor alle A 1,..., A n får værdien T også gælder at B får værdien T. Definition. Følgeslutning eller blot slutning (eng.: inference): Når man fra en række præmisser ledes frem til en konklusion. Definition. En slutning kaldes logisk korrekt hvis dens logiske form er således, at konklusionen er en logisk konsekvens af præmisserne. 3

4 Definition. En slutning hvor både præmisser og konklusioner er formler i udsagnslogik kaldes en slutningsregel. Hvis slutningen er logisk korrekt (konklusionen er logisk konsekvens af præmisserne) siger vi også den er sund (eng.: sound). Definition. To formler A og B kaldes logisk ækvivalente hvis de altid har samme sandhedsværdi (i enhver sandhedstildeling). Når A og B er logisk ækvivalente skriver vi A B. En metode til at afgøre logisk ækvivalens. Man kan afgøre A B med følgende metode: 1. Opskriv en sandhedstabel som omfatter A og B. 2. Tjek at A og B får samme sandhedsværdi i hver af rækkerne. Nogle vigtige logiske ækvivalenser: p q q p p q q p p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) (p q) p q (p q) p q kommutativitet af kommutativitet af associativitet af associativitet af distributivitet af over distributivitet af over De Morgan-lov De Morgan-lov p p Elimination af p q (p q) (q p) Elimination af p q p q Elimination af To metoder til at vise logisk ækvivalens: 1. Sandhedstabel. 2. En række omskrivninger via kendte logiske ækvivalenser (som f.eks. dem på foregående slide). 4

5 1.4 Tableau-metoden disjunktion A A konjunktion A A implikation A A biimplikation A A negation Bemærk: Til enhver ikke-atomar markeret formel hører netop én tilhørende dekompositionsregel, og når denne er anvendt én gang på hver gren kan vi ikke få noget nyt ud af at anvende den igen. Vi markerer da formlen med et flueben ( ). Lukket gren (eng.: closed branch): En gren som indeholder både og for en formel A. Lukkede grene markeres med kryds ( ) og der anvendes ikke yderligere regler på dem. Åben gren (eng.: open branch): En gren som ikke er lukket. Mættet gren (eng.: saturated branch): En gren hvor alle regler som kan anvendes er blevet anvendt (alle ikke-atomare formler på grenen er markeret med ). Hvis en gren er både åben og mættet, markeres den med en cirkel ( ). 5

6 Algoritme for at afgøre gyldighed af en formel A via tableau-metoden. 1. Start med rodformlen. 2. Anvend dekompositionsreglerne gentagne gange indtil en af følgende er opfyldt: Der findes en åben, mættet gren ( ). Alle grene er lukket ( ). 3. Hvis alle grene er lukket er formlen A gyldig. Ellers er den ikke gyldig. Samtlige egenskaber betragtet kan reduceres til gyldighed: Problem: Er B en logisk konsekvens af A 1,..., A n? Ækvivalent problem: Er formlen A 1 A n B gyldig? Problem: Er A og B logisk ækvivalente? Ækvivalent problem: Er formlen A B gyldig? Problem: Er A opfyldelig? Ækvivalent problem: Er A ikke gyldig? Problem: Er A en kontradiktion? Ækvivalent problem: Er A gyldig? Konklusion: Tableau-metoden kan også benyttes til at afgøre logisk konsekvens, logisk ækvivalens, opfyldelig og kontradiktion. 6

7 2 Prædikatlogik 2.1 Formler og fortolkninger Egenskaber ved objekter, såsom at have to ben, kaldes også prædikater. Konkrete objekter såsom morlille kaldes også konstanter. Dermed: Prædikatsymboler betegner prædikater. Konstantsymboler betegner konstanter. Et funktionssymbol betegner en funktion, dvs. noget som afbilder objekter på andre objekter. Prædikatsymboler som kun tager ét argument kaldes unære (eller 1-ære). Eksempler: M(x), T (x), F (x), S(x). n-ært prædikatsymbol: Prædikatsymbol som tager n argumenter. Prædikatsymboler: Betegner egenskaber ved og relationer mellem objekter. P (x 1,..., x n ) betyder at x 1,..., x n står i den relation til hinanden som P udtrykker. Hvis c 1,..., c n er konstanter, betegner P (c 1,..., c n ) et konkret udsagn (sandt eller falsk). Funktionssymboler: Betegner funktioner og afbildninger fra objekter på andre objekter. f(x 1,..., x n ) betegner værdien af funktionen f på argumenterne x 1,..., x n. Hvis c 1,..., c n er konstanter, betegner f(c 1,..., c n ) et konkret objekt (en funktionsværdi). Samtlige ingredienser i prædikatlogik: Konstantsymboler. Betegnes oftest med symboler som a, b, c,.... Funktionssymboler. Betegnes oftest med symboler som f, g, h,.... Et funktionssymbol er n-ært for et n 1. Variable. Betegnes oftest med symboler som x, y, z,.... Prædikatsymboler. Betegnes oftest med symboler som P, Q, R,.... Et prædikatsymbol er n-ært for et n 1. Kvantorer: og. Udsagnslogiske konnektiver:,,,,. 7

8 Definition. Mængden af termer i prædikatlogik defineres som følger: 1. Ethvert konstantsymbol er en term. 2. Enhver variabel er en term. 3. Hvis f er et n-plads funktionssymbol og t 1,..., t n er termer, da er f(t 1,..., t n ) en term. Definition. En atomar formel er et udtryk på formen P (t 1,..., t n ), hvor P er et n-ært prædikatsymbol og t 1,..., t n er termer. Definition. Mængden af formler i prædikatlogik defineres som følger: 1. Enhver atomar formel er en formel. 2. Hvis A er en formel, er A også en formel. 3. Hvis A og B begge er formler, er (A B), (A B), (A B), (A B) også formler. 4. Hvis A er en formel og x en variabel, så er xa og xa formler. Notation. Hvis P er et prædikatsymbol og F en fortolkning, betegner vi fortolkningen af P i F med P F. Definition. Et prædikatlogisk sprog (eller første-ordens sprog) L består af en mængde af konstantsymboler, funktionssymboler og prædikatsymboler. Formlerne i L er da alle de som kan opbygges af de givne konstantsymboler, funktionssymboler og prædikatsymboler. Definition. En fortolkning F af et prædikatlogisk sprog L består af følgende komponenter: 1. En ikke-tom mængde kaldet et domæne. Ofte betegnet dom(f). 2. En konstant c F for hvert konstantsymbol c i L. 3. En funktion f F for hvert funktionssymbol f i L. 4. Et prædikat P F for hvert prædikatsymbol P i L. 8

9 2.2 Frie og bundne variable, åbne og lukkede formler, m.m. Begrænsning af kvantificering til de elementer af domænet som opfylder egenskaben P foregår ved: For eksistenskvantor: x(p (x) ) For alkvantor: x(p (x) ) Frie variable benyttes til at betegne ukendte eller uspecificerede objekter: x > 2 x < 5. Bundne variable benyttes til kvantificering: x(x > 2 x < 5) eller x(x > 2 x < 5). Definition. En variabeltildeling hørende til en fortolkning F er en afbilding, som knytter et element fra dom(f) til enhver variabel. Når en formel A er sand i en fortolkning F under en variabeltildeling v, skriver vi: F, v = A. Definition. Antag en formel A indeholder en kvantor x eller x. Ved virkefeltet (eng.: the scope) af kvantoren forstår vi den del af formlen, som består af kvantoren og den parantes som følger den. Definition. En forekomst af en variabel x i en formel kaldes bundet, hvis den ligger indenfor virkefeltet af en kvantor x eller x. Ellers kaldes den fri. Definition. En formel kaldes lukket hvis alle variable udelukkende har bundne forekomster. En formel kaldes åben hvis alle variable udelukkende har frie forekomster (dvs. formlen er uden kvantorer). Hvis A er en lukket formel som er sand i en fortolkning F (uafhængigt af variabeltildeling), kan vi derfor blot skrive: F = A. Vi siger da også at F er en model af formlen A. Hvis A er falsk i fortolkningen F, kalder vi F for en modmodel (eng.: countermodel) af A og skriver: F = A. Definition. Lad der være givet en formel A, en variabel x og en term t. Vi skriver A[t/x] for resultatet af at erstatte alle frie forekomster af x i A med t. Vi siger også at vi substituerer x med t i A. Definition. Lad A være en formel, x en variabel og t en term. Vi siger at t er fri for x i A hvis ingen af variablene i t bliver bundne ved at substituere x med t i A. 9

10 2.3 Opfyldelighed, gyldighed, logisk konsekvens og logisk ækvivalens Definition. En lukket formel A kaldes opfyldelig hvis den er sand i mindst én fortolkning. En lukket formel A kaldes gyldig hvis den er sand i enhver fortolkning. Vi skriver da ofte: = A. En metode til at vise opfyldelighed af en lukket formel: Find en konkret fortolkning som gør den sand. En metode til at vise gyldighed af en lukket formel: Vise at den er sand i enhver fortolkning. Strategi til at bevise at en formel A holder i enhver fortolkning: Lad F betegne en vilkårlig fortolkning. Vis at A holder i denne fortolkning. Hvis dette lykkes, har vi vist at A holder i en vilkårlig fortolkning, og dermed i enhver fortolkning. For at vise at en formel A ikke er gyldig, er det nok at finde en modmodel af A. Definition. Lad A 1,..., A n, B være lukkede formler i prædikatlogik. Vi siger at B er en logisk konsekvens af A 1,..., A n hvis alle fortolkninger som gør A 1,..., A n sande også gør B sand. Ækvivalent formulering. For enhver fortolkning F gælder: F = A 1 A n medfører F = B. Når B er en logisk konsekvens af A 1,..., A n skriver vi A 1,..., A n = B. Bemærk: Samme notation som i udsagnslogik. Lemma. For alle lukkede formler A 1,..., A n, B i prædikatlogik gælder: A 1,..., A n = B hvis og kun hvis = A 1 A n B. Metoder til at bevise om en logisk konsekvens A 1,..., A n = B holder: Bevise at den holder: Lad F betegne en vilkårlig fortolkning for hvilken der gælder F = A 1 A n. Vis så at der også må gælde F = B. Bevise at den ikke holder: Find en modmodel, dvs. en fortolkning F, så der gælder F = A 1 A n men F = B. 10

11 Definition. To lukkede formler A og B i prædikatlogik kaldes logisk ækvivalente hvis de er sande i de samme fortolkninger. Ækvivalent formulering. For enhver fortolkning F gælder: Når A og B er logisk ækvivalente skriver vi F = A hvis og kun hvis F = B. A B. Bemærk: Samme notation som i udsagnslogik. Lemma 1. For alle lukkede formler A og B i prædikatlogik gælder: A B hvis og kun hvis = A B. Lemma 2. For alle lukkede formler A og B i prædikatlogik gælder: A B hvis og kun hvis A = B og B = A. Metoder til at bevise om en logisk ækvivalens A B holder: Bevise at den holder: Vise at der gælder både A = B og B = A (jvf. Lemma 2 på foregående slide). Bevise at den ikke holder: Find en modmodel, dvs. en fortolkning F, så A er sand og B falsk i F, eller omvendt. Lemma. Lad A være en lukket formel hvori x forekommer bundet. Lad y betegne en variabel som slet ikke optræder i A. Lad B betegne resultatet af at erstatte alle forekomster af x indenfor virkefeltet af en kvantor x eller x med y. Da gælder: A B. Nogle vigtige logiske ækvivalenser: 1. xa x A 2. xa x A 3. xa x A Elimination af 4. xa x A Elimination af 5. x ya y xa Ombytning af to -kvantorer 6. x ya y xa Ombytning af to -kvantorer 7. x(a B) xa xb Distribution af over 8. x(a B) xa xb Distribution af over 11

12 2.4 Tableau-metoden for prædikatlogik negation disjunktion A A konjunktion A A implikation A A biimplikation A A x x alkvantor A[c/x] : F hvor c er et nyt konstantsymbol som ikke optræder andre steder på grenen. A[t/x] : T hvor t er en term som: 1) er fri for x i A. 2) allerede optræder på grenen. 12

13 eksistenskvantor x A[t/x] : F hvor t er en term som: 1) er fri for x i A. 2) allerede optræder på grenen. x A[c/x] : T hvor c er et nyt konstantsymbol som ikke optræder andre steder på grenen. Vi har de samme begreber som for udsagnslogiske tableauer: Lukket gren (eng.: closed branch): En gren som indeholder både og for en formel A. Lukkede grene markeres med kryds ( ) og der anvendes ikke yderligere regler på dem. Åben gren (eng.: open branch): En gren som ikke er lukket. Mættet gren (eng.: saturated branch): En gren hvor alle regler som kan anvendes er blevet anvendt (alle ikke-atomare formler på grenen er markeret med ). Hvis en gren er både åben og mættet, markeres den med en cirkel ( ). Markering af en formel x eller x med. Så snart en regel er blevet anvendt på den (som med A, A B, osv.). Markering af en formel x eller x med. Først når: 1. Alle formler af typen x og x er allerede markeret med flueben. 2. Der kan ikke anvendes flere dekompositionsregler på formlen, dvs. alle termer på grenen som kan substitueres ind på x s plads er allerede blevet det. Algoritme for at afgøre gyldighed af en formel A via tableau-metoden: 1. Start med rodformlen. 2. Anvend dekompositionsreglerne gentagne gange indtil en af følgende er opfyldt: Der findes en åben, satureret gren ( ). Alle grene er lukket ( ). 3. Hvis alle grene er lukket er formlen A gyldig. Ellers er den ikke gyldig. Som i udsagnslogik har vi også i prædikatlogik at vi kan afgøre logisk konsekvens og logisk ækvivalens via tableauer: Problem: Er B en logisk konsekvens af A 1,..., A n? Ækvivalent problem: Er formlen A 1 A n B gyldig? Problem: Er A og B logisk ækvivalente? Ækvivalent problem: Er formlen A B gyldig? 13

14 3 Mængder og relationer Mængde: En samling af objekter. Elementer: Objekterne indeholdt i en mængde kaldes dens elementer. Den tomme mængde: Mængden uden elementer, betegnet. x A betyder: x er element i mængden A. x A betyder: x er ikke element i A. Definition. En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B hvis ethvert element i A også er element i B. Når A er en delmængde af B skriver vi A B. Udtrykket A B kaldes en mængdeinklusion. Definition. To mængder A og B er identiske hvis de har de samme elementer. Når A og B er identiske skriver vi A = B. Udtrykket A = B kaldes en mængde-lighed. Sætning. For alle mængder A og B gælder A = B hvis og kun hvis A B og B A. Tuborg-notation. At definere en mængde ved et udtryk på følgende form: A = {x... x... }. Udtrykket til højre for den lodrette streg er et prædikat, som fortæller hvilke egenskaber x skal have for at være med i mængden. Definition. Lad A og B betegne mængder. Foreningsmængden af A og B, betegnet A B er defineret ved: A B = {x x A x B}. Fællesmængden af A og B, betegnet A B, er defineret ved: A B = {x A x B}. Mængdedifferensen mellem A og B, betegnet A B eller A\B, er defineret ved: A B = {x A x B}. En metode til at vise M N for et par af mængder M, N: 1. Antag x M (vi vælger et vilkårligt x som opfylder x M). 2. Vis at så må også gælde x N. 14

15 En metode til at vise M = N for et par af mængder M, N: 1. Vis M N. 2. Vis N M. Sætning. Lad M og N være mængdeudtryk benyttende, og. Lad M og N være oversættelserne af hhv. M og N til udsagnslogiske formler. Da gælder M = N hvis og kun hvis M N. To forskellige metoder til at vise ligheden mellem to mængdeudtryk M og N: 1. Giv et rent sprogligt bevis for hver af påstandene M N og N N. 2. Oversæt M og N til udsagnslogiske formler M og N og vis M N (ved brug af tableau-metoden, sandhedstabel eller omskrivning gennem logiske ækvivalenser). Som alternativ til endelige mængder har vi tupler: Udtryk på formen (a 1,..., a n ). Udtrykket (a 1,..., a n ) kaldes en n-tuppel (et par hvis n = 2). Definition. Lad A og B være mængder. Da er krydsproduktet af A og B følgende mængde af par: {(x, y) x A y B}. Denne mængde betegnes med A B. Definition. Lad A 1,..., A n betegne mængder. Da er krydsproduktet af A 1,..., A n følgende mængde: {(a 1,..., a n ) a 1 A 1 a n A n }. Denne mængde betegnes med A 1 A n. Definition. Lad n være et heltal større end 0. Ved en n-ær relation forstås en mængde af n-tupler. Antag R er en relation og A 1,..., A n er mængder således at: Da siges R at være en relation på A 1,..., A n. R A 1 A n. 15

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Introduktion til prædikatlogik

Introduktion til prædikatlogik Introduktion til prædikatlogik Torben Braüner Datalogisk Afdeling Roskilde Universitetscenter 1 Plan Symbolisering af sætninger Syntaks Semantik 2 Udsagnslogik Sætningen er den mindste syntaktiske enhed

Læs mere

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2

Læs mere

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn

Læs mere

Henrik Bulskov Styltsvig

Henrik Bulskov Styltsvig Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Disposition

Læs mere

Udsagnslogik. Anker Mørk Thomsen. 6. december 2013

Udsagnslogik. Anker Mørk Thomsen. 6. december 2013 Udsagnslogik Anker Mørk Thomsen 6. december 2013 Logiske Udsagn Sætningstyper Spørgende (interrogative): Hvor længe bliver du i byen? Befalinger (imperative): Gå tilvenstre efter næste sving? Ønsker (optative):

Læs mere

BOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik

BOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik ( p q) p q February 1, 2011 Sandhedsværdier og udsagnsvariable I dag handler det om logiske udsagn. Mere præcist om de logiske udsagn vi kan bygge ud fra sandhedsværdier, udsagnsvariable og logiske konnektiver.

Læs mere

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang 16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret

Læs mere

16. december. Resume sidste gang

16. december. Resume sidste gang 16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

Matematisk Metode Notesamling

Matematisk Metode Notesamling Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Selvreference i begrænsningsresultaterne

Selvreference i begrænsningsresultaterne Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.

Læs mere

Gödels ufuldstændighedssætninger

Gödels ufuldstændighedssætninger Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning

Læs mere

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem Aalborg University Department of Computer Science. Fredrik Bajers Vej 7E, 9220 Aalborg Ø. Titel: Traveling Salesman Problem Projektperiode: 16. maj 2003 til 20. juni 2003 Semester: BOS03 Gruppebetegnelse:

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Regulære udtryk og endelige automater

Regulære udtryk og endelige automater Regulære udtryk og endelige automater Regulære udtryk: deklarative dvs. ofte velegnede til at specificere regulære sprog Endelige automater: operationelle dvs. bedre egnet til at afgøre om en given streng

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Om matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen

Om matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen Om matematisk logik Henning Christiansen, Troels Andreasen Contents 1 Indledning 3 2 Propositionel logik 5 2.1 Propositionelle logiksprog..................... 5 2.1.1 Syntaks...........................

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Matematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming

Matematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte

Læs mere

Introduktion til abstrakt matematik

Introduktion til abstrakt matematik Matematik Y Introduktion til abstrakt matematik Flemming Topsøe 2002 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-11-2 c Matematisk Afdeling 2002 Indhold Indhold Forord 5 BML:

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 23. august, 2016, 9.00-13.00 Dette eksamenssæt består af 11 nummerede sider med 16 opgaver. Alle opgaver er multiple

Læs mere

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Epistemisk logik og kunstig intelligens

Epistemisk logik og kunstig intelligens Epistemisk logik og kunstig intelligens Thomas Bolander, DTU Informatik Gæsteforelæsning i Kognitionsforskning II, CST, KU, efteråret 2009 Thomas Bolander, Kognitionsforskning II 09 s. 1/22 Logik Logik

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Matematikkens fundament i krise

Matematikkens fundament i krise Matematikkens fundament i krise Videnskabsfagprojekt ved IMFUFA, RUC David Hilbert 1862-1943 Gottlob Frege Georg Cantor 1845-1918 Gottlob Frege Henri Poincaré 1854-1912 Gottlob Frege Bertrand Russell 1872-1970

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Sidste

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

Gödels ufuldstændighedssætninger

Gödels ufuldstændighedssætninger Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Gödels første ufuldstændighedssætning

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Funktionel afhængighed

Funktionel afhængighed Databaser, efterår 2002 Funktionel afhængighed Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk

Læs mere

DM72 Diskret matematik med anvendelser

DM72 Diskret matematik med anvendelser DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504) Gamle eksamensopgaver Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM54) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet, Odense Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504) For et givent positivt heltal n og en given mængde af familier, antages at sandsynligheden for at familien har i børn, for 1 i n, er p i, således at n i=1 p i = 1. Endvidere er de 2 i mulige måder at få

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Ækvivalensrelationer i Logiweb. Frederik Eriksen

Ækvivalensrelationer i Logiweb. Frederik Eriksen Ækvivalensrelationer i Logiweb Frederik Eriksen (eriksen@diku.dk) 22. juni 2006 Indhold 1 Indledning 4 2 Lidt om Logiweb 4 2.1 Formelle konstruktioner....................... 4 2.2 Særlige definitioner

Læs mere

Ækvivalensrelationer i Logiweb. Frederik Eriksen

Ækvivalensrelationer i Logiweb. Frederik Eriksen Ækvivalensrelationer i Logiweb Frederik Eriksen (eriksen@diku.dk) 22. juni 2006 Indhold 1 Indledning 4 2 Lidt om Logiweb 4 2.1 Formelle konstruktioner....................... 4 2.2 Særlige definitioner

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

[Skriv dokumentets titel]

[Skriv dokumentets titel] [Skriv dokumentets titel] Opgaveformulering: Med entydigt fokus på den semantiske del, ønskes en indføring i moderne elementær domslogik. På udsagnsniveau skal begreber som konnektivernes semantik, tautologi,

Læs mere

3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper.

3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper. 3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper. Specifikation kontra program. Bestanddele af en algebraisk specifikation. Klassificering af funktioner i en ADT. Systematisk definition af ligninger.

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Den sproglige vending i filosofien

Den sproglige vending i filosofien ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,

Læs mere

Logaritmiske Transformationer

Logaritmiske Transformationer Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

1 Beregnelighed. 1.1 Disposition. 1.2 Præsentation. Def. TM. Def. RE/R. Def. 5 egenskaber for RE/R. Def. NSA. Bevis. NSA!RE. Def. SA. Bevis. SA!

1 Beregnelighed. 1.1 Disposition. 1.2 Præsentation. Def. TM. Def. RE/R. Def. 5 egenskaber for RE/R. Def. NSA. Bevis. NSA!RE. Def. SA. Bevis. SA! 1 Beregnelighed 1.1 Disposition Def. TM Def. RE/R Def. 5 egenskaber for RE/R Def. NSA Bevis. NSA!RE Def. SA Bevis. SA!R Bevis. SA RE Def. Beslutningsproblem Arg. Self-Accepting er uløselig 1.2 Præsentation

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Hvad er formel logik?

Hvad er formel logik? Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Oversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007

Oversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007 Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen Oversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007 Eksamenstiden er to timer. Opgavernes vægt i procent er angivet ved hver opgave. Den skriftlige

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere