Matematik 2 AN. Hilbert rum. med anvendelser. Bergfinnur Durhuus

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik 2 AN. Hilbert rum. med anvendelser. Bergfinnur Durhuus"

Transkript

1 Matematik 2 AN Hilbert rum med anvendelser Bergfinnur Durhuus 1997

2 Matematisk Afdeling Universitetsparken København Ø c Matematisk Afdeling 1997

3 Forord Sammen med hæftet Metriske rum ved Christian Berg udgør nærværende hæfte om Hilbert rum med anvendelser lærebogsmaterialet i kurset Matematik 2AN. Pånær mindre ændringer falder indholdet i dette hæfte sammen med indholdet i de tilsvarende hæfter fra efteråret Henvisninger til hæftet Metriske rum er forsynet med et I foran. Eksempelvis henviser Sætning I.3.1 til Sætning 3.1 og (I.1.4) til formel (4) i 1 i nævnte hæfte. Begrebet Hilbert rum blev først formaliseret af John von Neumann i 1927 (Mathematische Begründung der Quantenmechanik, Göttinger Nachrichten (1927) p.1-57). Konkrete Hilbert rum optræder dog i adskillige tidligere matematiske arbejder. Således indgår rummet l 2 (N) (defineret i Eksempel 1.9) i David Hilberts undersøgelser af integralligninger kort efter århundredskiftet (D.Hilbert: Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Leipzig, 1912), og rummet L 2 ([a, b]) af kvadratisk integrable funktioner på et interval (defineret i Appendiks A) blev undersøgt af Frederic Riesz og Ernst Fischer omkring Herved blev Fourier række teorien, som blev indført af Joseph Fourier omkring hundrede år tidligere, sat ind i en ny ramme med vidtrækkende generaliseringer til følge. Sidenhen har Hilbert rummene fundet vej til adskillige discipliner indenfor matematisk analyse og dens anvendelsesområder. At de indgår som en vigtig del af den kvantemekaniske formalisme (se de to klassikere P.A.M.Dirac: The Principles of Quantum Mechanics (1930) og J. von Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (1932)) er blot et af mange eksempler. I disse noter omhandler 1 den generelle Hilbert rums teori og 4 elementer af teorien for lineære afbildninger mellem Hilbert rum. Disse afsnit, samt 5 om diagonalisering af visse lineære afbildninger, kan ses som en fortsættelse og udvidelse af den lineære algebra fra Matematik 1. De anvendelsesområder for Hilbert rums teori, der indgår i disse noter, er følgende: Fourier række teori ( 2) og dennes anvendelser til løsning af visse partielle differentialligninger ( 3). Den såkaldte Fourier transformation på R og dens vigtigste egenskaber behandles i 6. Endelig anvendes resultaterne om diagonalisering fra 5 på randværdiproblemer for sædvanlige anden ordens differentialligninger i 7. København, august 1997 Bergfinnur Durhuus 1

4 2

5 Indhold Matematik 2 AN Matematisk Analyse 1997 Hilbert rum med anvendelser 1. Hilbertrum 1.1 Indre produkt rum Ortogonalitet Kontinuitet af indre produkt Hilbert rum Ortonormaludvikling 1.13 Opgaver til Fourier rækker 2.1 Fourier rækker i én variabel Punktvis konvergens Uniform konvergens Multiple Fourier rækker 2.12 Opgaver til Nogle partielle differentialligninger 3.1 Bølgeligningen i to dimensioner Varmeledningsligningen Dirichlet problemet 3.14 Opgaver til Operatorer på Hilbert rum 4.1 Operatorer på endeligdimensionale reelle Hilbert rum Operatorer på endeligdimensionale komplekse Hilbert rum Operatorer på Hilbert rum. Adjungeret operator Diagonaliserbare operatorer og selvadjungerede operatorer på Hilbert rum 4.19 Opgaver til Diagonalisering af Hilbert-Schmidt operatorer 5.1 Hilbert-Schmidt operatorer Diagonalisering 5.4 Opgaver til

6 6. Unitære operatorer på Hilbert rum og Fourier transformationen 6.1 Unitære operatorer Fourier transformationen på R Fourier transformationen på R n 6.16 Opgaver til Sturm-Liouville teori 7.1 Begyndelsesværdiproblemer i én variabel Randværdiproblemer i én variabel Sturm-Liouville teori Det regulære Sturm-Liouville problem 7.11 Appendiks A Resultater fra mål- og integralteori A.1 Definition af integral A.1 A.2 Integralets egenskaber A.6 A.3 Rummene L p (B) og L p (B) A.9 A.4 Multiple integraler A.11 Appendiks B Majorantkriteriet Appendiks C Ledvis integration og differentiation af rækker 4

7 Hilbert rum 1.1 Indre produkt rum. I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E udstyret med en addition, dvs. en afbildning (x, y) x+y fra E E ind i E, og en multiplikation med skalarer fra L, dvs. en afbildning (λ, x) λx fra L E ind i E, som opfylder vektorrumsbetingelserne i Definition 1.1 i Messers bog (som vi herefter vil betegne med [M]), hvor blot R erstattes med L. Det understreges, at samtlige definitioner og resultater fra Matematik 1, der vedrører generelle reelle vektorrum også er gældende for komplekse vektorrum, idet de reelle tal blot overalt erstattes med de komplekse tal. Beviserne i det reelle tilfælde kan overføres direkte til det komplekse tilfælde, idet de alene bygger på vektorrumsaksiomerne og de fælles regneregler for reelle og komplekse tal. Eksempler på reelle vektorrum er velkendte fra Matematik 1, f.eks. R k samt mængden F(M, R) af reelle funktioner defineret på en mængde M med punktvis addition og multiplikation med reelle tal. Oplagte eksempler på komplekse vektorrum er mængden C k bestående af talsæt med k komplekse koordinater med koordinatvis addition og multiplikation med komplekse tal (i lighed med R k ), samt mængden F(M, C) af komplekse funktioner defineret på en mængde M med punktvis addition og multiplikation med komplekse tal. Såfremt M er et metrisk rum er mængden C(M, C) bestående af alle kontinuerte komplekse funktioner på M et underrum af F(M, C) ifølge Sætning I Vi skal i det følgende se en hel del andre interessante eksempler på underrum af vektorrum af formen F(M, C). Indre produkt rum er indført i Matematik 1, jvf. side 136 i [M]. Den følgende definition generaliserer dette begreb til også at omfatte komplekse vektorrum. Definition 1.1. Lad E være et vektorrum over L (= R eller C). Et indre produkt (også kaldet skalarprodukt) på E er en afbildning (, ) : E E L, der opfylder følgende betingelser (hvor 0 betegner nulvektoren i E): i) x E \ {0} : (x, x) > 0, ii) x, y E : (x, y) = (y, x), iii) x, y, z E : (x + y, z) = (x, z) + (y, z), iv) λ L x, y E : (λx, y) = λ(x, y). Hvis (, ) er et indre produkt på E kaldes parret (E, (, )) et indre produkt rum. 5

8 1.2 Bemærk, at der ved (x, x) > 0 i i) forstås, at (x, x) er et reelt positivt tal. Såfremt L = R, er kompleks konjugering i ii) naturligvis overflødig, og ovenstående definition falder da sammen med Definition 4.1 i [M]. De sidste to af ovenstående betingelser udtrykker, at afbildningen x (x, y) fra E ind i L er lineær for hvert fast y E. Kombineres dette med ii) finder vi, at (x, y + z) = (x, y) + (x, z), (1) (x, λy) = λ(x, y), (2) for samtlige x, y, z E og λ L, hvilket udtrykkes ved at sige, at det indre produkt er konjugeret lineært i anden variabel. I tilfældet L = C kaldes en afbildning fra E E C, der er lineær i første variabel og konjugeret lineær i anden variabel tit en sesquilinearform på E. Vi har altså indset, at et indre produkt på et komplekst vektor rum er en sesquilinearform på E. Omvendt gælder, at en sesquilinearform, der opfylder i), i hvilket tilfælde den siges at være positiv definit, er et indre produkt. Hertil skal vi blot indse, at ii) gælder. Lad os først bemærke, at lineariteten i første variabel medfører, at (0, x) = 0 for alle x E. Specielt følger, at (0, 0) = 0, således at i) giver x E : (x, x) = 0 x = 0. (3) Sammen med i) viser dette, at (x, x) R for alle x E. Benyttes (x + y, x + y) = (x, x) + (y, y) + (x, y) + (y, x) fås derfor, at (x, y) + (y, x) R, d.v.s. at Im(x, y) = Im(y, x) for alle x, y E. Erstattes heri x med ix og benyttes sesquilineariteten fås i(x, y) i(y, x) R, d.v.s. Re(x, y) = Re(y, x), hvormed det ønskede er vist. Vi skal nedenfor se, at det indre produkt ved fastsættelsen x = (x, x), x E, definerer en norm på E. Vi kan allerede her bemærke, at betingelsen (N1) i Definition I.1.2 følger af i) og (3), og at (N2) følger af iv) og (2), idet λx 2 = (λx, λx) = λλ(x, x) = λ 2 x 2. I ethvert indre produkt rum gælder endvidere paralellogramidentiteten x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2, 6

9 1.3 som vises ved udregning af venstresiden. (Overvej, hvorledes størrelserne i denne identitet kan knyttes til et paralellogram.) I tilfældet L = C gælder også polariseringsidentiteten (x, y) = i ν x + i ν y 2, ν=0 som kan indses ved udregning af højresiden under brug af sesquilineariteten af det indre produkt (se Opg.1.2). Denne identitet viser specielt, at det indre produkt er entydigt bestemt ved den tilhørende norm. Eksempel ) Det naturlige indre produkt på C k (svarende til det sædvanlige indre produkt på R k ) defineres ved ((x 1,..., x k ), (y 1,..., y k )) = x 1 y x k y k. Det overlades til læseren at eftervise, at betingelserne i) iv) er opfyldt. 2) På vektorrummet C([a, b]) af kontinuerte komplekse funktioner på intervallet [a, b] defineres et indre produkt ved (f, g) = b a f(x)g(x)dx (4) for f, g C([a, b]). Mere generelt fås for enhver positiv kontinuert funktion ρ : [a, b] R + =]0, + [ et indre produkt (, ) ρ ved at sætte (f, g) ρ = b a f(x)g(x)ρ(x)dx. (5) Vi erindrer om, at integralet af en kontinuert kompleks funktion fås ved at integrere real- og imaginærdel hver for sig, dvs. for f = Re f + i Im f er b a f(x)dx = b a Re f(x)dx + i b a Im f(x)dx. (6) Herved er f b f(x)dx en lineær afbildning fra C([a, b]) ind i C, hvilket a umiddelbart medfører, at (, ) ρ tilfredsstiller iii) og iv) i Definition 1.1. Egenskaben ii) følger af, at b a f(x)dx = b f(x)dx, og i) følger af, at når f a er kontinuert og f 0, da er b f(x)dx = 0 netop hvis f = 0. a Bemærk, at hvis ρ og ρ betegner henoldsvis minimum og maksimum af den positive kontinuerte funktion ρ på det kompakte interval [a, b], således at 0 < ρ ρ ρ < +, følger det at ρ f f ρ ρ f 7

10 1.4 for f C([a, b]), hvilket viser at og ρ er ækvivalente normer på C([a, b]), hvor, h.h.v. ρ, betegner normen givet ved det indre produkt (4), h.h.v. (5). 3) Lad l 0 (N) betegne mængden af komplekse talfølger (x n ) n N som er lig med 0 fra et vist trin, altså med kun endelig mange elementer forskellige fra 0. l 0 (N) er da et underrum af vektorrummet af alle komplekse talfølger, som jo er lig med F(N, C). På l 0 (N) defineres et indre produkt ved ((x n ), (y n )) = x n y n, hvor summen på højresiden kun har endelig mange led forskellige fra 0 (og derfor selvfølgelig er konvergent). At der herved defineres et indre produkt på l 0 (N) ses på samme vis som for C k. n=1 1.2 Ortogonalitet. Lad nu (E, (, )) være et indre produkt rum. Som bekendt siges to vektorer x, y E at være ortogonale, og vi skriver da x y, såfremt der gælder, at (x, y) = 0. Mere generelt siges en vektor x E at stå vinkelret på en delmængde A E, og vi skriver da x A, såfremt x står vinkelret på samtlige vektorer i A. Det ortogonale komplement A til A defineres som mængden af alle vektorer, der står vinkelret på A, altså A = {x E (x, y) = 0 for alle y A}. (7) Det bemærkes, at på grund af iii) og iv) i Definition 1.1 er A et underrum af E for enhver mængde A E og af samme grund gælder, at A = (span A), (8) hvor span A som sædvanlig betegner underrummet af E udspændt af A, som består af samtlige (endelige) linearkombinationer af vektorer fra A. En familie (x i ) i I af vektorer fra E, hvor I er en vilkårlig indeksmængde, siges at være et ortogonalsystem, såfremt der gælder at (x i, x j ) = 0, når i j, altså såfremt systemets vektorer er parvis ortogonale. Hvis også x i = 1 for hvert i I, taler vi om et ortonormalsystem. Idet en familie (x i ) i I af vektorer fra E siges at være en lineært uafhængig familie, hvis ethvert endeligt delsæt af (x i ) i I er lineært uafhængigt, har vi følgende. 8

11 1.5 Lemma 1.3. Lad (x i ) i I være et ortogonalsystem i E, således at x i 0 for alle i I. Da er (x i ) i I et lineært uafhængigt system. Bevis. Lad (x i1,..., x in ) være et endeligt delsæt af (x i ) i I og antag at skalarerne λ 1,..., λ n opfylder λ 1 x i λ n x in = 0. Ved at tage det indre produkt med x ij for ethvert j {1,..., n} på begge sider af denne ligning, fås under udnyttelse af det indre produkts linearitetsegenskaber, at λ 1 (x i1, x ij ) λ n (x in, x ij ) = 0. Men ifølge antagelsen er (x ik, x ij ) = 0 for k j, således at λ j (x ij, x ij ) = 0. Men så er λ j = 0 eftersom (x ij, x ij ) 0, da x ij 0. Endvidere noterer vi følgende generalisering af Pythagoras sætning. Sætning 1.4. Lad (x 1,..., x n ) være et endeligt ortogonalsystem. Da er n x i 2 = i=1 n x i 2. i=1 Bevis. Vi har n n x i 2 = x i, i=1 n i=1 j=1 x j i=1 i=1 = n (x i, x j ) i,j=1 n n = (x i, x i ) = x i 2, hvor vi ved tredie lighedstegn har benyttet, at kun diagonalleddene svarende til i = j bidrager til summen på grund af ortogonalitetsantagelsen. Herefter minder vi om følgende sætning, som også er kendt fra Matematik 1, jvf. Theorem 4.19 side 164 i [M]. Sætning 1.5. Lad (e 1,..., e n ) være et endeligt ortonormalsystem i E. For enhver vektor x E findes en entydig vektor u span{e 1,..., e n }, således at x u {e 1,..., e n } og den er givet ved u = n (x, e i )e i. (9) i=1 9

12 Endvidere gælder Bessels ulighed for alle x E. 1.6 n (x, e i ) 2 x 2 (10) i=1 Bevis. Enhver vektor u span{e 1,..., e n } kan skrives på formen u = λ 1 e λ n e n, hvor λ 1,..., λ n L. Ved at tage det indre produkt med e i på begge sider af denne ligning fås, at (u, e i ) = λ i (e i, e i ) = λ i, da (e i, e i ) = 1. Altså har vi n u = (u, e i )e i (11) i=1 for u span{e 1,..., e n }. Men x u {e 1,..., e n } er ensbetydende med, at (x u, e i ) = 0 for hvert i = 1,..., n, hvilket igen er ækvivalent med, at (x, e i ) = (u, e i ) for i = 1,..., n. Sammen med (11) viser dette første del af sætningen. Bessels ulighed følger nu af Sætning 1.4 ved at bemærke at x = u+(x u), hvor u (x u), således at x 2 = u 2 + x u 2 u 2 = n (x, e i ) 2. i=1 I sidste skridt har vi benyttet, at (x, e i )e i 2 = (x, e i ) 2. Vektoren u givet ved (9) kaldes den ortogonale projektion af x på underrummet span{e 1,..., e n }. Blandt vektorerne i span{e 1,..., e n } har den mindst afstand til x m.h.t. normen og er entydigt bestemt herved. Hvis nemlig v span{e 1,..., e n } er vilkårlig, er x v = (x u) + (u v), hvor (x u) (u v), således at x v 2 = x u 2 + u v 2 x u 2, og der gælder lighedstegn til sidst, hvis og kun hvis u = v. (Se figuren.) x u e 2 span{e 1, e 2 } e 1 10

13 1.7 Af Bessels ulighed følger nu nemt Cauchy-Schwarz ulighed: (x, y) x y (12) for alle x, y E. Hvis nemlig y = 0, står der 0 på begge sider af uligheden, og hvis y 0, er 1 y y = 1, og det følger af (10) med I = {1} og e 1 = 1 y y, at ( ) 1 x, y y x, hvilket giver (12) efter multiplikation med y på begge sider. Som tidligere påstået har vi nu Sætning 1.6. Der gælder, at (E, ), hvor x = (x, x) for x E, er et normeret vektorrum. Bevis. Vi har ovenfor set, at (N1) og (N2) i Definition I.1.2 er opfyldt. Ved brug af Cauchy-Schwarz ulighed fås x + y 2 = (x + y, x + y) = x 2 + (x, y) + (y, x) + y 2 = x Re(x, y) + y 2 x (x, y) + y 2 x x y + y 2 = ( x + y ) 2. hvilket viser (N3). Når vi i det følgende omtaler et indre produkt rum som et normeret vektorrum, er det underforstået, at der er tale om normen givet ved Sætning Kontinuitet af indre produkt. I det følgende skal vi gentagne gange benytte os af, at det indre produkt (, ) : E E L er kontinuert (m.h.t. produktmetrikken givet ved normen på E). Dette indses som følger. Lad x 0, y 0 E være givne og vælg x, y E, således at x x 0 δ og y y 0 δ, hvor δ > 0 er givet. Da er (x, y) (x 0, y 0 ) = (x, y y 0 ) + (x x 0, y 0 ) (x, y y 0 ) + (x x 0, y 0 ) x y y 0 + x x 0 y 0 δ( x + y 0 ) δ( x 0 + δ + y 0 ), (13) 11

14 1.8 hvor vi har benyttet Cauchy-Schwarz s ulighed samt x = (x x 0 )+x 0 x x 0 + x 0 x 0 +δ. Da det sidste udtryk i (13) går imod 0 for δ 0, sluttes at der for givet ε > 0 findes δ > 0 således at (x, y) (x 0, y 0 ) < ε for x x 0 δ og y y 0 δ. Dette viser det ønskede. Ækvivalent hermed er, at for vilkårlige følger (x n ) og (y n ) i E gælder, at (x n, y n ) (x 0, y 0 ) for n, (14) hvis x n x 0 og y n y 0 for n, jvf. Sætning I.3.1 og Sætning I.4.3 (d). Definition 1.7. En række n=1 E, siges at være konvergent med sum x = (s k ) k N defineret ved konvergerer imod x for k. x n, hvis led tilhører et normeret vektorrum s k = n=1 x n i E, såfremt afsnitsfølgen k x n (15) n=1 Af (14) og iii) i Definition 1.1 følger, at ( ) ( k ) x n, y = lim x n, y = lim k n=1 og tilsvarende ( n=1 y, ) x n = n=1 for enhver konvergent række n=1 k n=1 k (x n, y) = (x n, y) (16) n=1 (y, x n ) (17) n=1 x n i E, og alle y E. En yderligere konsekvens af kontinuiteten af det indre produkt er, at A = (A) for enhver mængde A E. Hvis nemlig x A og y A findes ifølge Sætning I.2.10 en følge (y n ) i A så y = lim y n, hvoraf følger at (x, y) = lim(x, y n ) = 0, altså at x y. Da y A var vilkårligt valgt sluttes, at A (A). Den omvendte inklusion følger umiddelbart af, at A A. Sammen med (8) giver dette, at A = (span A) = (span A). (18) Vi kalder span A for det afsluttede underrum udspændt af A. Tilsvarende vises (se Opg.1.3), at A er et afsluttet underrum af E for enhver mængde A E. 12

15 Hilbert rum. Som bekendt fra Matematik 1 har ethvert endeligdimensionalt indre produkt rum E ortonormale baser. Lader vi (e 1,..., e n ) betegne en sådan basis, og betegner vi med x = (x 1,..., x n ) L n koordinatsættet for vektoren x E m.h.t. denne basis, dvs. da er ifølge Sætning 1.4 x = x 1 e x n e n, x = ( x x n 2 ) 1/2. Det følger, at afbildningen (x 1,..., x n ) x 1 e x n e n er en isomorfi og isometri af L n på E, med omvendt afbildning x ((x, e 1 ),..., (x, e n )). Da vektorrummet L n vides at være fuldstændigt m.h.t. den euklidiske metrik (se I.5) følger heraf, at E også er fuldstændigt. Det viser sig, at kravet om fuldstændighed sikrer, at en hel række af de vigtigste resultater vedrørende endeligdimensionale indre produkt rum kan overføres til det uendeligdimensionale tilfælde, som vi skal se i det følgende. Definition 1.8. Et Hilbert rum er et fuldstændigt indre produkt rum. Eksempel ) Ovenfor er vist, at ethvert endelig-dimensionalt indre produkt rum er et Hilbert rum. Dette gælder specielt R k og C k. 2) Rummet l 0 (N) (se Eksempel 1.2) er ikke fuldstændigt. Lader vi f.eks. x n l 0 (N) være givet ved har vi for m n at x n = (1, 1 2, 1 3,..., 1 n, 0, 0,... ) x n x m 2 = n k=m+1 hvilket viser at (x n ) n N er en Cauchy følge i l 0 (N), eftersom rækken er konvergent. Følgen (x n ) n N er dog oplagt ikke konvergent i l 0 (N). Lad os i stedet betragte det større underrum l 2 (N) af F(N, C) bestående af kvadratisk summable følger, altså af komplekse talfølger (a n ) n N for hvilke a n 2 < +. n= k 2 k=1 1 k 2

16 1.10 At l 2 (N) er et underrum af F(N, C) følger af den velkendte ulighed a+b 2 2( a 2 + b 2 ), som iøvrigt er Cauchy-Schwarz ulighed for vektorerne (1, 1) og (a, b) i C 2. For to følger (a n ) og (b n ) i l 2 (N) giver denne a n + b n 2 2 a n b n 2 < +, n=1 n=1 altså at (a n ) + (b n ) l 2 (N). Da det desuden er klart, at λ(a n ) = (λa n ) l 2 (N) for λ C og (a n ) l 2 (N), er l 2 (N) et underrum af F(N, C). Benyttes uligheden ab 1 2 ( a 2 + b 2 ) for a, b C fås, at der ved ((a n ), (b n )) = n=1 a n b n defineres en afbildning (, ) : l 2 (N) l 2 (N) C, idet rækken på højresiden er absolut konvergent. At der herved defineres et indre produkt på l 2 (N) ses herefter umiddelbart. Lad os vise, at l 2 (N) med dette indre produkt er et Hilbert rum. Antag således, at (x n ) n N er en Cauchy følge i l 2 (N), hvor x n = (a n 1, a n 2,... ). Da der for hvert k N gælder, at a n k am k xn x m, er følgen (a n k ) n N for hvert k N en Cauchy følge i C og derfor konvergent, idet C er fuldstændigt. Vi kalder grænseværdien a k, altså a k = lim n an k, og sætter x = (a 1, a 2,... ). Vi viser nu, at x l 2 (N) og at x n x for n. Givet ε > 0 findes et N N, således at K a n k a m k 2 k=1 n=1 a n k a m k 2 = x n x m 2 ε 2 k=1 for n, m N og samtlige K N. For m fås heraf at K a n k a k 2 ε 2 for n N og alle K N. For K fås så, at x n x 2 = a n k a k 2 ε 2 k=1 for n N. Dette viser dels, at x N x l 2 (N) og derfor x = x N (x N x) l 2 (N), og dels at x n x for n som ønsket. 3) Rummet C([a, b]) med indre produkt givet ved (5) er ikke fuldstændigt. Normen på dette rum er givet ved f 2 ρ = b a f(x) 2 ρ(x)dx. 14 k=1

17 1.11 Lader vi f.eks. f n betegne funktionen på [0, 2], hvis graf er givet på figuren nedenfor, y 1 f n n 2 x er det let at indse, at (f n ) er en Cauchy følge i C([0, 2]) m.h.t. ρ, men at den ikke har en grænseværdi i C([0, 2]). Rummet C([a, b]) har en fuldstændiggørelse L 2 ([a, b], ρ), der er et Hilbert rum bestående af kvadratisk integrable funktioner i en generaliseret forstand. Hilbert rum af denne art spiller en vigtig rolle i mange anvendelser af teorien og er nærmere beskrevet i Appendiks A. I det følgende betegner H et Hilbert rum med indre produkt (, ). Ethvert underrum X af H er et indre produkt rum, hvis indre produkt er defineret som restriktionen af (, ) til X X. Ifølge Sætning I.5.3 er X H et Hilbert rum netop hvis X er et afsluttet underrum af H. Specielt er alle endeligdimensionale underrum af H afsluttede. Vi får brug for følgende vigtige udvidelse af Pythagoras sætning. Sætning Lad (x i ) i N være et ortogonalsystem i H. Da er x i konvergent i H hvis og kun hvis x i 2 < +, i=1 i=1 og der gælder da at x i 2 = i=1 x i 2. (19) i=1 Bevis. Da H er fuldstændigt, er x i i=1 konvergent i H, hvis og kun hvis afsnitsfølgen s n er en Cauchy følge. Dette betyder, at der for ethvert ε > 0 findes et N N, således at s n s m 2 = n i=m+1 x i 2 = 15 n i=m+1 x i 2 ε 2 (20)

18 1.12 for n > m N, hvor vi har benyttet Sætning 1.4. Da R er fuldstændigt, haves på den anden side, at i=1 x i 2 er konvergent, hvis og kun hvis afsnitsfølgen (r n ) givet ved r n = n x i 2 i=1 er en Cauchy følge i R. Men dette betyder, at der for ethvert ε > 0 findes N N, således at n r n r m = x i 2 < ε 2 (21) i=m+1 for n > m N. Ved sammenligning af (20) og (21) følger den første påstand. Endelig fås ved brug af kontinuiteten af x x og Sætning 1.4 i=1 x i 2 = lim n hvilket viser (19). n x i 2 = lim n x i 2 = lim n n i=1 i=1 n x i 2 = i=1 x i 2, i=1 Idet en ortonormalbasis for et endeligdimensionalt indre produkt rum H kan karakteriseres som et ortonormalsystem, der udspænder H, og da ethvert endeligdimensionalt underrum af et normeret vektorrum er afsluttet (jvf. side I.6.8), giver følgende definition en udvidelse af begrebet ortonormalbasis til vilkårlige Hilbert rum. Definition En ortonormalbasis for H er et ortonormalsystem (e i ) i I i H således at span{e i i I} = H. Da H = {0} følger det af (18), at {e i i I} = {0}. for enhver ortonormalbasis (e i ) i I for H. Dette betyder, at enhver ortonormalbasis er et maksimalt ortonormalsystem i H, d.v.s. at der ikke findes nogen vektor e H med e = 1, således at e sammen med (e i ) i I udgør et ortonormalsystem. At der omvendt gælder, at ethvert maksimalt ortonormalsystem i H er en ortonormalbasis vises i Sætning 1.14 nedenfor. Bemærk, at det af Definition 1.11 følger, at et ortonormalsystem (e i ) i I er ortonormalbasis for det af (e i ) i I udspændte afsluttede underrum. Ethvert Hilbert rum har en ortonormalbasis. Et bevis for denne påstand bygger på det såkaldte udvalgsaksiom, hvilket vi ikke skal komme ind på her. 16

19 1.13 I det følgende indskrænker vi os til at betragte separable Hilbert rum, d.v.s. Hilbert rum, der som metrisk rum betragtet er separable. Der gælder, at disse er karakteriseret ved enten at være endeligdimensionale eller at have en numerabel ortonormalbasis svarende til, at indeksmængden I er endelig eller lig med N. Vi udskyder beviset for denne påstand til slutningen af denne (se Sætning 1.16). Eksempel For rummet l 2 (N) indført i Eksempel 1.9 fås en ortonormalbasis (e i ) i N ved at lade følgen e i være givet ved, at alle dens elementer er 0 pånær det i te, som sættes til 1, altså { 1 for j = i (e i ) j = 0 for j i. At der herved fås en ortonormalbasis følger ved at bemærke, at (e i ) i N oplagt er et ortonormalsystem, og at span{e i i N} = l 0 (N), som er en tæt delmængde af l 2 (N) ifølge definitionen af normen på l 2 (N) (jvf. Opg.I.2.8). Vi kalder (e i ) i N for den naturlige ortonormalbasis for l 2 (N). I næste paragraf skal vi bestemme ortonormalbaser for Hilbert rummet L 2 ([ π, π], 1 2π ). Det vil i dette tilfælde vise sig naturligt at benytte mængden af hele tal Z som indeksmængde. Denne er naturligvis også tællelig, d.v.s. der findes en bijektiv afbildning ϕ : N Z. F.eks. kan ϕ defineres ved at stille de hele tal op i rækkefølgen 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,... og sætte ϕ(n) til at være det n te element i denne følge, for n N, eller m.a.o. ϕ(n) = 1 2 (n 1), hvis n er ulige, og ϕ(n) = 1 2n, hvis n er lige. Til senere brug bør det bemærkes, at tilsvarende kan, for en given tællelig mængde I, hver bijektiv afbildning ϕ : N I opfattes som en opstilling af I s elementer i en rækkefølge i 1, i 2, i 3,.... Vektorerne i et ortogonalsystem (e i ) i I bliver herved tilsvarende ordnet i rækkefølgen e i1, e i2, e i3, Ortonormaludvikling. Vi sigter nu bl.a. imod at generalisere udviklingen af vektorer m.h.t. ortonormalbaser i endeligdimensionale indre produkt rum (jvf. afsnit 4.5 i [M]) til uendelig-dimensionale Hilbert rum. H antages altså i det følgende at være uendeligdimensionalt og separabelt. Samtlige resultater, der vises i dette afsnit, kan dog udvides til vilkårlige Hilbert rum. Lad (e i ) i N være et ortonormalsystem i H (som antages at være uendeligdimensionalt) og betragt en vektor x H. Ifølge Bessels ulighed (10) har vi da, at n (x, e i ) 2 x 2 for hvert n N. Heraf følger den generaliserede i=1 Bessels ulighed (x, e i ) 2 x 2. (22) i=1 17

20 1.14 Benyttes Sætning 1.10 sammen med (22) fås, at rækken (x, e i )e i er konvergent i H, og vi sætter u = i=1 (x, e i )e i. (23) i=1 Vektoren u tilhører klart span{e i i N}. Den kan i princippet afhænge af summationsrækkefølgen, d.v.s. af den valgte rækkefølge e 1, e 2, e 3,... af ortonormalsystemets vektorer, der indgår i definitionen af summen i (23), jvf. Definition 1.7. Følgende udvidelse af Sætning 1.5 medfører imidlertid, at dette ikke er tilfældet. Sætning Lad (e i ) i N være et ortonormalsystem i H. For enhver vektor x H findes en entydig vektor u span{e i i N}, således at x u {e i i N}, og den er givet ved (23). Specielt afhænger u ikke af summationsrækkefølgen, og vi skriver derfor også u = i N(x, e i )e i. Bevis. Vektoren u givet ved (23) opfylder for hvert j N følgende: ( ) (u, e j ) = (x, e i )e i, e j = i=1 (x, e i )(e i, e j ) = (x, e j ). i=1 Altså er (x u, e j ) = 0 for alle j N og dermed x u {e j j N}. Antag, at v span{e i i N} således at x v {e i i N}. Da er u v span{e i i N} og u v = (x v) (x u) {e i i N} = (span{e i i N}). Specielt er (u v, u v) = 0, hvilket viser at u = v. Hermed er sætningen vist. Vi kan nu vise følgende vigtige resultat. Sætning For et ortonormalsystem (e i ) i N i H er følgende fire udsagn ensbetydende. (i) (e i ) i N er en ortonormalbasis for H. (ii) {e i i N} = {0}. (iii) Ortonormaludviklingen x = i N(x, e i )e i 18

21 1.15 gælder for alle x H. (iv) Parsevals ligning x 2 = (x, e i ) 2 (24) i=1 gælder for alle x H. Bevis. Vi har tidligere indset at (i) (ii). At (ii) (iii) følger af Sætning 1.13, idet vi med samme betegnelser som der får, at x = u. At (iii) (iv) følger umiddelbart af (19). Antages endelig, at (iv) er gyldig, haves x n (x, e i )e i 2 = x 2 i=1 n (x, e i ) 2 0 for n. i=1 Da dette gælder for hvert x H følger det, at span{e i i I} er tæt i H. Dette viser, at (iv) (i). Som en yderligere følge af Sætning 1.13 har vi projektionssætningen: Sætning Lad X være et afsluttet underrum af H. Da findes for hver vektor x H entydige vektorer u X og v X, således at x = u + v. (25) Bevis. Da X er et afsluttet underrum af H, er X et Hilbert rum, som også er separabelt (se Opg.1.13). Vælges en ortonormalbasis (e i ) i I for X, hvor I er endelig eller lig med N, har vi, at X = span{e i i I}. Påstanden følger herefter umiddelbart af Sætningerne 1.5 og Det bemærkes, at vektoren u i (25) også kan karakteriseres som den entydige vektor i X, som har mindst afstand til x. Argumentet herfor er det samme som givet efter beviset for Sætning 1.5. Vi siger, at de to underrum X og X er komplementære og skriver H = X X som udtryk for udsagnet i Sætning Vektoren u i (25) kaldes den ortogonale projektion af x på X og er altså givet ved u = i I (x, e i )e i, 19

22 1.16 hvor (e i ) i I er en ortonormalbasis for X. Da X også er et afsluttet underrum af H har vi også at H = X X. Da X X sluttes heraf, at X = X for ethvert afsluttet underrum X af H. Det følger så, at v i (25) er den ortogonale projektion af x på X. Vælges en ortonormalbasis (e j ) j J for X, da udgør denne sammen med (e i ) i I en ortonormalbasis (e i ) i I J for H (overvej dette!) Vi afslutter dette afsnit med følgende tidligere nævnte resultat. Sætning Et Hilbert rum H er separabelt netop hvis det har en endelig eller tællelig ortonormalbasis. Bevis. Antag at (e i ) i I er en endelig eller tællelig ortonormalbasis for H (altså at I er endelig eller tællelig). Det følger da, at mængden S af linearkombinationer af vektorer fra (e i ) i I med rationale koefficienter er tællelig og tæt i span{e i i I}. (Vi siger, at et komplekst tal er rationalt hvis både real- og imaginærdel er rationale). Men da span{e i i I} er tæt i H ifølge Definition 1.11, er S det også, hvilket viser at H er separabelt. Antag omvendt, at {x 1, x 2,... } er en tællelig tæt delmængde af H. Sæt y 1 = x i1, hvor i 1 er det mindste indeks i, for hvilket x i 0. Lad y 2 = x i2, hvor i 2 er det mindste indeks i > i 1, således at sættet (x i1, x i ) er lineært uafhængigt. Lad y 3 = x i3, hvor i 3 er det mindste indeks i > i 2, således at sættet (x i1, x i2, x i ) er lineært uafhængigt. Fortsættes hermed fås ved induktion et lineært uafhængigt system (y 1, y 2,... ) (eventuelt endeligt) af vektorer, der opfylder span{y 1, y 2,... } = span{x i i I}. Ved anvendelse af Gram- Schmidts ortonormaliseringsprocedure (jvf. side 159 i [M]) på (y 1, y 2,... ), fås et ortonormalsystem (e 1, e 2,... ), således at span{e 1, e 2,... } = span{y 1, y 2,... } = span{x i i I}. Da sidstnævnte mængde er tæt i H, følger af Definition 1.11, at (e 1, e 2,... ) er en ortonormalbasis for H. 20

23 1.17 Opgaver til Betragt det endeligdimensionale komplekse Hilbert rum H = C k, med indre produkt som angivet i Eksempel 1.2 1). Vis, at ((1, 0,..., 0), (0, 1, 0..., 0),..., (0,..., 0, 1)) er en ortonormalbasis for H Vis, at det indre produkt på et komplekst Hilbert rum tilfredsstiller polariseringsidentiteten (x, y) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2 ) Lad H være et Hilbert rum. Vis, at for enhver delmængde A H er A et afsluttet underrum af H Vis, at (sin nθ) n N er et ortogonalsystem i C([0, π]) med indre produkt givet ved (4) Bestem a 1, a 2, a 3 C, således at π 0 cos θ antager den mindst mulige værdi. 3 a n sin nθ 2 dθ n= Lad polynomierne p 0 (x), p 1 (x),... være defineret ved, at p n (x) er et polynomium af grad n i den variable x, således at koefficienten til x n er 1 og (p 0 (x), p 1 (x),... ) er et ortogonalsystem i L 2 ([0, 1]). Find p 0 (x), p 1 (x) og p 2 (x) Vis, at (sin(n 1 2 )θ) n N er et ortogonalsystem i C([0, π]) med indre produkt givet ved (4) Lad H være et uendeligdimensionalt separabelt Hilbert rum og lad (e n ) n N være et ortonormalsystem i H. 1) Vis, at rækken 1 n=1 n e n er konvergent i H, og afgør for hvilke α R rækken n=1 nα e n er konvergent i H. 2) Bestem den ortogonale projektion af vektorerne e 1 ±2e 2 på (underrummet udspændt af) vektoren n=1 n 1 e n. (Man kan benytte, at n=1, hvilket vises i Opg.2.5) 1 n 2 = π2 6 21

24 1.18 π 1.9. Vis, at lim n log θ sin nθdθ = 0. 0 Vink. Dette kan fås som et korollar til Bessels ulighed (22) i forbindelse med ortogonalsystemet i Opg Lad (e i ) i N være en ortonormalbasis for Hilbert rummet H. Vis, at følgende generalisering af Parsevals ligning gælder for alle x, y H: (x, y) = (x, e i )(y, e i ). i= Betragt indre produkt rummet l 0 (N) som defineret i Eksempel 1.2 3) og sæt 1 X = {(x n ) n N l 0 (N) x n n = 0}. n=1 Vis, at X er et afsluttet underrum af l 0 (N), og at X X l 0 (N) Lad H være et komplekst Hilbert rum og lad n N, a C således at a n = 1 og a 2 1. Vis den generaliserede polariseringsidentitet (x, y) = 1 n 1 a ν x + a ν y 2. n ν= Lad M være et separabelt metrisk rum. Vis, at ethvert metrisk delrum M af M er separabelt. Vink. Lad {x i i N} være en tællelig tæt delmængde af M. For i, n N lader vi x i,n betegne et vilkårligt valgt punkt i K(x i, 1 n ) M forudsat denne mængde er. Ellers sættes x i,n til at være et vilkårligt valgt punkt i M. Vis så, at mængden {x i,n i, n N} er en tællelig tæt delmængde af M. 22

25 Fourier rækker 2.1 Fourier rækker i én variabel. Vi skal i dette og i de følgende to afsnit beskæftige os med Hilbert rummet L 2 ([ π, π], 1 2π ) bestående af (klasser af) kvadratisk integrable komplelse funktioner på [ π, π] (se Appendiks A) og med indre produkt givet ved (f, g) = 1 π f(x)g(x)dx, f, g L 2 ([ π, π]). (1) 2π π Husk, at som vektorrum betragtet er L 2 ([ π, π], 1 2π ) og L 2([ π, π]) identiske. Den valgte normalisering af det indre produkt er alene gjort af praktiske grunde. I det følgende betegnes normen svarende til det indre produkt (1) med. Lad os straks konstatere, at hvis vi sætter e n (x) = e inx, x [ π, π], (2) da er (e n ) n Z et ortonormalsystem i L 2 ([ π, π]), idet e n er kontinuert på det kompakte interval [ π, π] og derfor tilhører L 2 ([ π, π]), og der gælder at Benyttes at (e n, e m ) = 1 π 2π = 1 2π = cos nx = 1 2 fås heraf, at systemet π π 1 2π π [ e n (x)e m (x)dx e i(n m)x dx 1 i(n m) ei(n m)x ] π π = 0 for n m 1 2π [x]π π = 1 for n = m. ( e inx + e inx), sin nx = 1 2i ( e inx e inx) (1, 2 cos x, 2 sin x, 2 cos 2x, 2 sin 2x,... ) (3) ligeledes er et ortonormalsystem i L 2 ([ π, π]) (jvf. afsnit 4.5 i [M], hvor dog en anden normalisering af det indre produkt er benyttet). 23

26 2.2 Et af hovedresultaterne i denne paragraf er, at disse to ortonormalsystemer begge er ortonormalbaser for L 2 ([ π, π]). Da der gælder, at span {e N, e N+1,..., e N 1, e N } =span {1, 2 cos x, 2 sin x,..., 2 cos Nx, 2 sin Nx}, udspænder de to systemer samme underrum af L 2 ([ π, π]), og det er derfor i henhold til Definition 1.11 nok at vise, at systemet (e n ) n Z, som i mange henseender er mere praktisk at arbejde med, er en ortonormalbasis for L 2 ([ π, π]), dvs. at det afsluttede underrum udspændt af {e n n Z} udgør hele L 2 ([ π, π]). Dette gøres i afsnit 2.3. Som forberedelse hertil vises først nogle resultater, som er af vigtighed i sig selv i forbindelse med anvendelser i teorien for differentialligninger, som omtales i næste paragraf. Inden vi går i gang, skal det bemærkes, at valget af intervallet [ π, π] fremfor et hvilket som helst andet kompakt interval [a, b] alene er gjort, fordi det indebærer en notationsmæssig forenkling. Ved et lineært skift af variabel givet ved y = a + b a (x + π) 2π kan resultaterne i afsnittene umiddelbart overføres til tilsvarende resultater for intervallet [a, b] (se begyndelsen af afsnit 6.2). Givet ortonormalsystemet (e n ) n Z som ovenfor og f L 2 ([ π, π]) eller f L 2 ([ π, π]) kaldes rækken n Z(f, e n )e n for Fourier rækken for f (somme tider også kaldt den trigonometriske Fourier række for f). Vi kalder (f, e n ) for den n te Fourier koefficient for f og betegner den også med c n (f). Altså c n (f) = (f, e n ) = 1 π f(x)e inx dx. (4) 2π π Det sidste udtryk i (4) giver mening for f L 1 ([ π, π]), idet f(x)e inx = f(x), således at x f(x)e inx er integrabel på [ π, π], hvis f er det. Vi taler derfor også om Fourier rækken c n (f)e inx (5) n Z for f L 1 ([ π, π]), hvor c n (f) er givet ved det sidste udtryk i (4), og man skriver tit f(x) n Z c n (f)e inx (6) 24

27 2.3 som udtryk herfor. At L 1 ([ π, π]) er et større rum end L 2 ([ π, π]) følger af Cauchy-Schwarz ulighed, idet den konstante funktion 1 på [ π, π] jo tilhører L 2 ([ π, π]), således at vi for f L 2 ([ π, π]) kan slutte, at 1 2π π π f(x) dx = ( f, 1) f 1 = f < +, hvilket viser, at f L 1 ([ π, π]). Bemærk, at to funktioner i L 1 ([ π, π]), der stemmer overens næsten overalt i [ π, π], har samme Fourier række, så vi kan med god ret også tale om Fourier rækken for f L 1 ([ π, π]). Ifølge Sætning 1.13 er Fourier rækken for f L 2 ([ π, π]) konvergent i L 2 ([ π, π]). Kaldes summen for g gælder altså, at π lim N π N n= N hvor vi som afsnitsfølge har benyttet (s N ) N N med s N = c n (f)e inx g(x) 2 dx = 0, (7) N n= N c n (f)e n, (8) svarende til rækkefølgen 0, 1, 1, 2, 2,... af de hele tal (og vi husker, at summen g er uafhængig af summationsrækkefølgen). Når vi har vist, at (e n ) n Z er en ortonormalbasis for L 2 ([ π, π]), kan vi af Sætning 1.14 slutte, at g = f for hvert f L 2 ([ π, π]). Det er vigtigt at bemærke, at konvergensen af Fourier rækken for f L 2 ([ π, π]) i L 2 ([ π, π]) ikke medfører punktvis konvergens endsige uniform konvergens af den tilsvarende funktionsrække. Nærmere bestemt kan vi for et givet x [ π, π] betragte rækken c n (f)e inx (9) n Z i C. Vi siger, at Fourier rækken for f er konvergent i x, såfremt afsnitsfølgen (s N (x)) N N givet ved s N (x) = N n= N c n (f)e inx (10) er konvergent (i C). I givet fald betegnes grænseværdien med n Z c n (f)e inx eller c n (f)e inx, og den kaldes Fourier rækkens sum i x. Tilsvarende siges 25

28 2.4 Fourier rækken for f at konvergere punktvis, hhv. uniformt, imod funktionen g på [ π, π], såfremt funktionsfølgen (s N ) N N konvergerer punktvis, hhv. uniformt, imod g på [ π, π]. Hovedformålet i næste afsnit er at give en tilstrækkelig betingelse for konvergens af Fourier rækken for en funktion f i et punkt x, som specielt indebærer, at hvis f er differentiabel i x, da er Fourier rækken for f konvergent i x med sum f(x) (se Sætning 2.2). Det er vigtigt at bemærke, at da funktionerne e n (x) = e inx, n Z, opfattet som funktioner på R, er periodiske med periode 2π, så gælder det samme om afsnitssummerne s N (x), N N, givet ved (8). Hvis derfor Fourier rækken for en funktion f er punktvis konvergent på intervallet [ π, π[ med sumfunktion g, da er den konvergent for alle x R, og summen er givet ved den entydigt bestemte periodiske udvidelse af g til R. I det følgende betegner L 1,per, h.h.v. L 2,per, vektorrummet bestående af komplekse funktioner på R, der er periodiske med periode 2π, og som er integrable, h.h.v. kvadratisk integrable, over intervallet [ π, π]. Ved Fourier rækken for f L 1,per forstås da naturligvis Fourier rækken for restriktionen af f til [ π, π], og vi betegner de tilsvarende Fourier koefficienter med c n (f), altså c n (f) = c n (f [ π,π] ). Ligeledes vil vi med C per betegne vektorrummet af kontinuerte, komplekse funktioner på R, der er periodiske med periode 2π, og med Cper n, n = 1, 2, 3,...,, vektorrummet af komplekse n gange kontinuert differentiable funktioner på R, der er periodiske med periode 2π. Idet Lebesgue målet på R er translationsinvariant, d.v.s. m 1 (B) = m 1 (α + B), α R, B B 1, hvor α+b = {α+θ θ B}, følger det af definitionen af Lebesgue integralet, at hvis f L 1,per, da er f integrabel over ethvert interval af længde 2π med samme værdi af integralet. Vi har altså (overvej dette!) π π f(θ)dθ = for f L 1,per og α R. 2.2 Punktvis konvergens. π+α π+α f(θ)dθ = π π f(θ + α)dθ, (11) For at etablere det førnævnte kriterium for konvergens af en Fourier række i et punkt θ 0 R (se Sætning 2.2 nedenfor) har vi brug for følgende resultat. Sætning 2.1 (Riemann-Lebesgues lemma). Lad f L 1 ([ π, π]). Da gælder, at c n (f) 0 for n ±. Bevis. Antag først, at f L 2 ([ π, π]). Da gælder ifølge Bessels ulighed (1.22), at c n (f) 2 f 2 < +. n Z 26

29 2.5 Heraf følger specielt, at c n (f) 0 for n ±. Antag nu, at f L 1 ([ π, π]) og definer f N for N N ved { f(x) hvis f(x) N f N (x) = 0 hvis f(x) > N. Da er f N målelig og begrænset og tilhører derfor L 2 ([ π, π]). Endvidere gælder at f(x) f N (x) 0 for N + for hvert x [ π, π] samt at f f N f. Af Lebesgues majorantsætning (Sætning A.9) følger derfor, at π π f(x) f N(x) dx 0 for N. Vælg nu for givet ε > 0 først et N N, således at π π f(x) f N (x) dx < ε 2 og derefter et N 0 N, således at c n (f N ) < ε 2 for n N 0. Det sidste er muligt ifølge det tidligere viste, da f N L 2 ([ π, π]). Benytter vi nu, at c n (f) = c n (f f N ) + c n (f N ), samt at følger det, at c n (f f N ) 1 π f(x) f N (x) dx 2π π c n (f) c n (f f N ) + c n (f N ) ε 2 + ε 2 = ε for n N 0, hvorved det ønskede er vist. Vi er nu klar til at vise følgende vigtige sætning. Sætning 2.2 (Dinis test). Lad f L 1,per. Da er Fourier rækken for f konvergent i punktet θ 0 R med sum s, såfremt funktionen g(θ) = f(θ 0 + θ) + f(θ 0 θ) 2s θ er integrabel over intervallet ]0, δ] for et δ > 0., θ ]0, + [ (12) Bemærkning 2.3. Funktionen g givet ved (12) er integrabel over ethvert kompakt interval [a, b], hvor a > 0, idet der for θ [a, b] gælder, at g(θ) a 1 ( f(θ 0 + θ) + f(θ 0 θ) + 2 s ), hvor højresiden er integrabel over [a, b], eftersom f er integrabel over ethvert kompakt interval (da den er integrabel over [ π, π[ og er periodisk). Dette viser, at hvis g er integrabel over ]0, δ] for et givet δ > 0, da er den integrabel over ]0, δ] for alle δ > 0. 27

30 2.6 Bevis for Sætning 2.2. Vi betragter afsnitssummen s N (θ 0 ) givet ved (10) for x = θ 0 og skal under de givne forudsætninger vise, at s N (θ 0 ) s for N. Indsættes udtrykket (4) for Fourier koefficienterne c n (f) i (10) fås, at s N (θ 0 ) = 1 π 2π π = 1 2π π π N n= N e in(θ 0 θ) f(θ)dθ D N (θ 0 θ)f(θ)dθ, (13) hvor vi har indført den N te Dirichlet kerne D N (θ) defineret ved D N (θ) = N n= N e inθ. Da højresiden her er en endelig geometrisk række, kan dens sum udregnes (se Adams p.530). Vi får D N (θ) = e inθ 2N n=0 e inθ { e i(2n+1)θ = e inθ 1 for θ / 2πZ e iθ 1 2N + 1 for θ 2πZ { sin(n+ 1 2 )θ for θ / 2πZ = sin 1 2 θ 2N + 1 for θ 2πZ. (14) Ifølge definitionen er funktionen D N kontinuert og periodisk med periode 2π og dertil lige. Da også f er periodisk med periode 2π, fås af (11) π π D N (θ 0 θ)f(θ)dθ = π π D N (θ)f(θ 0 + θ)dθ. (15) Benyttes endvidere, at Lebesgue målet er invariant under x x, dvs. at m 1 (B) = m 1 ( B), B B 1, hvor B = { x x B}, fås 0 π D N (θ)f(θ 0 + θ)dθ = = 28 π 0 π 0 D N ( θ)f(θ 0 θ)dθ D N (θ)f(θ 0 θ)dθ, (16)

31 2.7 hvor vi i sidste skridt har benyttet, at D N (θ) er en lige funktion. Af (13), (15) og (16) kan vi slutte, at s N (θ 0 ) = 1 2π π 0 (f(θ 0 + θ) + f(θ 0 θ))d N (θ)dθ. Udnyttes endelig at 1 π 2π π D N(θ)dθ = 1 π π 0 D N (θ)dθ = 1 ifølge definitionen af D N (θ) fås under udnyttelse af (14) s N (θ 0 ) s = 1 2π = 1 2π π 0 π 0 (f(θ 0 + θ) + f(θ 0 θ) 2s)D N (θ)dθ f(θ 0 + θ) + f(θ 0 θ) 2s sin 1 2 θ sin(n )θ dθ. (17) Vi observerer nu, at funktionen θ f(θ 0+θ)+f(θ 0 θ) 2s, som optræder i (17), sin 1 2 θ er integrabel over ]0, π] under de givne forudsætninger, eftersom den er lig θ med g(θ) hvor g er givet ved (12), og funktionen θ θ er kontinuert sin 1 2 θ sin 1 2 θ og begrænset på ]0, π] (den har grænseværdi 2 for θ 0; se Adams p.116). Sætter vi derfor h(θ) = { f(θ0 +θ)+f(θ 0 θ) 2s sin 1 2 θ hvis 0 < θ < π 0 hvis π θ 0, så er h L 1 ([ π, π]), og det fremgår af (17), at s N (θ 0 ) s = 1 π 2π = 1 2π π π π h(θ) sin(n )θ dθ 1 2i e i 2 θ h(θ)e inθ dθ 1 π 2π π 1 2i e i 2 θ h(θ)e inθ dθ. Dette viser, at s N (θ 0 ) s = c N (h + ) c N (h ), hvor de to funktioner h ± er givet på [ π, π] ved h ± (θ) = 1 2i e± i 2 θ h(θ) og tilhører L 1 ([ π, π]), da h L 1 ([ π, π]). Ifølge Riemann-Lebesgues lemma gælder derfor, at s N (θ 0 ) s 0 for N, hvilket viser det ønskede. I de følgende to korollarer ses på to vigtige tilfælde, hvor forudsætningerne i Sætning 2.2 er opfyldt. Lad os først genkalde, at en (reel eller kompleks) funktion f defineret på et kompakt interval [a, b] siges at være stykkevis kontinuert, såfremt der findes en inddeling a = t 0 < t 1 < t 2 < < t m = b, 29

32 2.8 således at f på hvert interval ]t i, t i+1 [, i = 0,..., m 1 stemmer overens med en kontinuert funktion f i defineret på [t i, t i+1 ], jvf. Adams p Bemærk, at dette er ækvivalent med, at f er kontinuert på hvert af intervallerne ]t i, t i+1 [, i = 0,..., m 1, og at den har endelige grænseværdier f(t i +) fra højre, i = 0,..., m 1, og f(t i ) fra venstre, i = 1,..., m. Specielt er selve funktionsværdierne f(t 0 ),..., f(t m ) i delepunkterne uden betydning for, hvorvidt f er stykkevis kontinuert. En periodisk funktion f på R siges at være stykkevis kontinuert, hvis dens restriktion til et periodeinterval (og dermed til ethvert kompakt interval) er stykkevis kontinuert. Korollar 2.4. Lad f : R C være en periodisk, stykkevis kontinuert funktion med periode 2π, og lad θ 0 R. Hvis grænseværdierne og f + (θ f(θ 0 + θ) f(θ 0 +) 0) = lim θ 0+ θ f (θ f(θ 0 + θ) f(θ 0 ) 0) = lim θ 0 θ eksisterer, da er Fourier rækken for f konvergent i θ 0 med sum s = 1 2 (f(θ 0+) + f(θ 0 )). Hvis specielt f også er kontinuert i θ 0, da er Fourier rækken for f konvergent i θ 0 med sum f(θ 0 ). Bevis. Vi konstaterer først, at funktionen f tilhører L 1,per, da den er kontinuert og begrænset på hvert af delintervallerne ] π, t 1 [, ]t 1, t 2 [,..., ]t m, π[. Indsættes s = 1 2 (f(θ 0+) + f(θ 0 )) i (12) fås, at g(θ) = f(θ 0 + θ) f(θ 0 +) θ + f(θ 0 θ) f(θ 0 ) θ som ifølge antagelsen har en endelig grænseværdi (nemlig f + (θ 0) f (θ 0)) for θ 0+. Tillægges g en vilkårlig værdi i 0 giver dette, at g er stykkevis kontinuert og dermed integrabel på [0, π], og påstanden følger af Sætning 2.2. Korollar 2.5. Lad f : R C være en periodisk, stykkevis kontinuert funktion med periode 2π, og lad θ 0 R. 30

33 2.9 Hvis f er Hölder kontinuert af orden α > 0 i θ 0, dvs. der findes en konstant M 0 og et δ > 0, således at f(θ) f(θ 0 ) M θ θ 0 α for θ θ 0 δ, da er Fourier rækken for f konvergent i θ 0 med sum f(θ 0 ). Bevis. Indsættes s = f(θ 0 ) i (12) fås, at g(θ) = f(θ 0 + θ) f(θ 0 ) θ + f(θ 0 θ) f(θ 0 ) θ hvoraf g(θ) f(θ 0 + θ) f(θ 0 ) + f(θ 0 θ) f(θ 0 ) θ θ 2M θ α 1 for 0 < θ δ. Heraf følger ved brug af Eksempel A.11 2), at g er integrabel på ]0, δ] for α > 0, hvorefter påstanden følger af Sætning 2.2. Eksempel 2.6. Lad funktionen f være givet på [ π, π[ ved { 1 hvis θ [0, π[ f(θ) = 0 hvis θ [ π, 0[. Den periodisk udvidede funktion, som vi også kalder f, er da stykkevis kontinuert og er kun diskontinuert i punkterne pπ, p Z. Endvidere opfylder f forudsætningerne i Korollar 2.4 i alle punkter med f +(θ) = f (θ) = 0 for alle θ R. Ved udregning fås, at c n (f) = 1 iπn, hvis n er ulige, mens c 0 (f) = 1 2 og c n(f) = 0, hvis n er lige og 0. Heraf fås, at Fourier rækken for f er π in (einθ e inθ ) = π n=1 n ulige k=0 sin(2k + 1)θ 2k

34 2.10 Af Korollar 2.4 fås derfor, idet 1 2 (f(pπ+)+f(pπ )) = 1 for p Z, at Fourier 2 rækken er punktvis konvergent i [ π, π[ og at sin(2k + 1)θ 0 hvis π < θ < 0 = 1 hvis 0 < θ < π π 2k + 1 k=0 1 2 hvis θ = π eller θ = 0. For θ = π eller θ = 0 verificeres dette også umiddelbart. θ = π 2 fås, da sin(2k + 1) π 2 = ( 1)k, at k=0 ( 1) k 2k + 1 = = π 4. Indsættes 2.3 Uniform konvergens. Af Korollar 2.4 følger specielt, at hvis f C per er differentiabel fra venstre og højre i alle punkter, så er Fourier rækken for f punktvis konvergent med sum f. Vi skal nu se, at hvis vi yderligere kræver, at f er kontinuert differentiabel, så er Fourier rækken endda uniformt konvergent. Derefter skal vi se, hvorledes dette resultat kan anvendes til at vise, at (e n ) n Z er en ortonormalbasis for L 2 ([ π, π]). Vi siger, at en periodisk funktion på R med periode 2π er stykkevis glat (eller stykkevis C 1 ), hvis f er differentiabel i alle punkter af [ π, π] pånær muligvis i endelig mange punkter, således at den afledede f er stykkevis kontinuert (idet f tillægges vilkårlige værdier i de punkter, hvor f ikke er differentiabel). Lemma 2.7. Hvis f C per er stykkevis glat, så gælder at c n (f ) = inc n (f) (18) Bevis. Da f er stykkevis kontinuert er f integrabel over [ π, π] så c n (f ) er veldefineret. Ved brug af partiel integration fås, at π c n (f ) = 1 f (θ)e inθ dθ 2π π [ ] π 1 = 2π f(θ)e inθ + 1 π inf(θ)e inθ dθ π 2π π = inc n (f), hvor vi også har benyttet, at f er periodisk. Bemærk, at det for ovenstående udregning er vigtigt, at f er kontinuert (og ikke blot stykkevis kontinuert). 32

35 2.11 Sætning 2.8. Antag, at f C per er stykkevis glat. Da er Fourier rækken for f uniformt konvergent på R med sum f. Bevis. Af Lemma 2.7 fås c n (f) = c 0 (f) + c n (f) + c n (f) n Z n N n N = c 0 (f) + 1 n c n(f ) + 1 n c n(f ). n N n N (19) Da f er kvadratisk integrabel over [ π, π] giver Bessels ulighed (1.22), at n N c n(f ) 2 < + og n N c n(f ) 2 < +. Altså tilhører følgerne ( c n (f ) ) n N og ( c n (f ) ) n N Hilbert rummet l 2 (N). Da også (n 1 ) n N l 2 (N) er 1 ) n c n(f ) = (( c n (f ) ) n N, (n 1 ) n N < + n N og tilsvarende n N 1 n c n(f ) < +. Sammen med (19) viser dette, at c n (f) < +, n Z således at n Z c n(f) er en konvergent majorantrække for Fourier rækken for f. Ifølge majorantkriteriet (se Appendiks B) er sidstnævnte derfor uniformt (og absolut) konvergent. At sumfunktionen er f følger af Korollar 2.4. Ved hjælp af Sætning 2.8 kan vi nu vise Sætning 2.9. Ortonormalsystemerne (e inx ) n Z og (1, 2 cos x, 2 sin x, 2 cos 2x, 2 sin 2x,... ) er ortonormalbaser for L 2 ([ π, π]). Bevis. Som tidligere nævnt er det nok at vise, at L 2 ([ π, π]) = span {e n n Z}. Da { π, π} er en nulmængde, kan L 2 ([ π, π]) naturligt identificeres med L 2 (] π, π[). Da C0 (] π, π[) er tæt i L 2 (] π, π[) ifølge Sætning A.14, er det nok at vise, at C0 (] π, π[) span {e n n Z}, d.v.s. at der for hvert f C0 (] π, π[) findes en følge (f N ) N N i span {e n n Z}, således at f N f 0 for N. Vi sætter f N = s N, hvor s N er den N te 33

36 2.12 afsnitssum for f s Fourier række givet ved (8), og bemærker at s N tilhører span{e n n Z}. Eftersom f C0 (] π, π[) på entydig vis kan udvides ved periodicitet til en funktion f Cper (overvej dette!) følger af Sætning 2.8, at s N f uniformt på R. Derfor haves også at s N f uniformt på ] π, π[. For givet ε > 0 findes altså et N 0 N, således at f(θ) s N (θ) ε for N N 0 og alle θ ] π, π[. Heraf følger, at f s N 2 = 1 π 2π 1 2π π π π f(θ) s N (θ) 2 dθ ε 2 dθ = ε 2 for N N 0. Dette viser, at f s N 0 for N som ønsket. Bemærk, at vi af Sætning 2.9 og Sætning 1.14 opnår Parsevals ligning på formen 1 π f(θ) 2 dθ = c n (f) 2 (20) 2π π n Z for f L 2 ([ π, π]). Eksempel Ved benyttelse af udtrykket for Fourier koefficienterne for funktionen f i Eksempel 2.6 i (20) fås π 2 hvilket kan omskrives til n=1 n ulige k=0 1 n 2 = 1 π 1dθ = 1 2π 0 2, 1 (2k + 1) 2 = π Multiple Fourier rækker. Vi skal i dette afsnit kort betragte Fourier rækker i flere variable. Hertil betragtes Hilbert rummet L 2 ([ π, π] k ), k = 2, 3,..., med indre produkt givet ved (f, g) = 1 f(x)g(x)dx, (2π) k [ π,π] k 34

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

2. Fourierrækker i en variabel

2. Fourierrækker i en variabel .1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner

Læs mere

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen 2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.

Læs mere

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1 1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som

Læs mere

Matematik 2 MA Matematisk Analyse. Gerd Grubb

Matematik 2 MA Matematisk Analyse. Gerd Grubb 1 Matematik 2 MA Matematisk Analyse 1994 95 Kapitel IV. Fourier Analyse Gerd Grubb 1 1 Matematik 2. Matematisk Analyse 1994-95 Kapitel IV. Fourier analyse 0. Indledning 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 5

ANALYSE 1, 2014, Uge 5 ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

3. Operatorer i Hilbert rum

3. Operatorer i Hilbert rum 3.1 3. Operatorer i Hilbert rum 3.1. Riesz repræsentationssætning og den adjungerede operator. Vi vil nu se mere systematisk på lineære afbildninger mellem Hilbert rum. Der er en tradition for at afbildninger

Læs mere

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1 1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007 ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.

Læs mere

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1

Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1 Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Mat2AN Minilex. Indhold. Henrik Dahl 6. januar Definitioner 2. 2 Sætninger Uligheder 28

Mat2AN Minilex. Indhold. Henrik Dahl 6. januar Definitioner 2. 2 Sætninger Uligheder 28 Mat2AN Minilex Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dk 6. januar 2004 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende fejl.

Læs mere

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 6

ANALYSE 1, 2014, Uge 6 ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført

Læs mere

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed

Læs mere

Eksamen 2014/2015 Mål- og integralteori

Eksamen 2014/2015 Mål- og integralteori Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Eksamensnoter til Analyse 1

Eksamensnoter til Analyse 1 ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

Affine og konvekse mængder

Affine og konvekse mængder Kapitel 3 Affine og konvekse mængder 3.1 Affine mænger Definition 3.1 LadXvære et vektorrum. En delmængde A Xer affin hvis λ 1 x 1 +λ 2 x 2 A for alle x 1, x 2 A og λ 1,λ 2 R med λ 1 +λ 2 = 1. (3.1) Udtrykket

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

MATEMATIK 4 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 4 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [P] Functional analysis in applied mathematics and engineering, CRC Press 1999. Jeg regner med at vi gennemgår kapitel 1 6 med tillæg

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji

Læs mere

Konvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm

Konvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar) 1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Lineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable

Lineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt

Læs mere

Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Udarbejdet af Arne Jensen 1 Indledning I forbindelse med kurset Matematisk Analyse 2 på Mat 2 afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang af 3 ECTS.

Læs mere

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.

Læs mere

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Indhold. Litteratur 11

Indhold. Litteratur 11 Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

4. Differentialligninger i højere dimension, Dirichlet problemet

4. Differentialligninger i højere dimension, Dirichlet problemet 4.1 4. Differentialligninger i højere dimension, Dirichlet problemet 4.1. Indledning, de forskellige typer. Der er tre hovedeksempler på partielle differentialligninger, som har særlig betydning i fysik:

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Eksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet

Eksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Førsteordens lineære differentialligninger

Førsteordens lineære differentialligninger enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere