Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9"

Transkript

1 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger mod eksponentialfunktionen Calculus Uge

2 En potensrække [S] 8.5 Power series Definition En potensrække med centrum i a er et udtryk af form c 0 + c 1 (x a) 1 + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) c n erne kaldes rækkens koefficienter. Calculus Uge

3 En potensrække [S] 8.5 Power series Definition En potensrække med centrum i a er et udtryk af form c 0 + c 1 (x a) 1 + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) c n erne kaldes rækkens koefficienter. Skrives også 2 n=0 c n (x a) n Calculus Uge

4 En potensrække [S] 8.5 Power series Definition En potensrække med centrum i a er et udtryk af form c 0 + c 1 (x a) 1 + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) c n erne kaldes rækkens koefficienter. Skrives også 2 n=0 c n (x a) n Bemærk c 0 (x a) 0 = c 0, da (x a) 0 = 1. Calculus Uge

5 Konvergens [S] 8.5 Power series Definition For en potensrække er konvergensradius (i) R = 0 (ii) R = + (iii) R > 0 Konvergensradius skiller konvergens og divergens. er konvergensintervallet. (a R,a + R) Calculus Uge

6 Konvergens [S] 8.5 Power series Definition For en potensrække er konvergensradius (i) R = 0 (ii) R = + (iii) R > 0 Konvergensradius skiller konvergens og divergens. er konvergensintervallet. (a R,a + R) a R a a + R x Calculus Uge

7 Koefficienter [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series 5 Sætning Hvis en potensrœkke med centrum i a har konvergensradius R > 0, så har sumfunktionen f(x) = n=0 c n (x a) n koefficienter c n = f(n) (a) n! Calculus Uge

8 Taylorrække [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Definition En vilkårlig ofte differentiabel funktion f(x) har Taylorrække om a 6 f(x) = n=0 f (n) (a) (x a) n n! og Maclaurinrække, a = 0, 7 f(x) = n=0 f (n) (0) x n n! Calculus Uge

9 Opgave Calculus 2, januar 2004 Opgave 4 Angiv en potensrække i x, der fremstiller en stamfunktion til Arctan(x) (= tan 1 (x)) i intervallet ( 1, 1). Det er nok at angive så mange led, at mønsteret træder frem. Calculus Uge

10 Opgave Calculus 2, januar 2004 Opgave 4 Angiv en potensrække i x, der fremstiller en stamfunktion til Arctan(x) (= tan 1 (x)) i intervallet ( 1, 1). Det er nok at angive så mange led, at mønsteret træder frem. Opgave 4 - Løsning Man har ([S] 8.6 Example 7) og Arctan(x) = x 2 dx x 2 = 1 x2 + x 4 x 6 + x Calculus Uge

11 Opgave Calculus 2, januar 2004 Opgave 4 - Løsning fortsat Heraf ved ledvis integration (eller: direkte fra [S] 8.7 side 618) Arctan(x) = 1 1 x 1 3 x x5 1 7 x x9... og fortsat integration giver den søgte stamfunktion Arctan(x) dx = x x x x x10... ( 1) n+1 = (2n 1)2n x2n. n=1 Calculus Uge

12 Opgave Calculus 2, august 2004 Opgave 4 Betragt funktionen f(x) = sin( x2 2 ). 1) Angiv nogle af de første led i en potensrække i x, der på hele den reelle akse fremstiller funktionen f(x). (Det er tilstrækkeligt at angive leddene af grad 6.) 2) Beregn tallet f (4) (0) (hvor f (4) betegner den 4. afledede af f). Calculus Uge

13 Opgave Calculus 2, august 2004 Opgave 4 - Løsning 1) Fra [S] haves Indsæt y = x2 2 sin y = y 1 3! y ! y5... sin( x2 2 ) = x ! (x2 2 ) ! (x2 2 )5... Altså sin( x2 2 ) = 1 2 x x Calculus Uge

14 Opgave Calculus 2, august 2004 Opgave 4 - Løsning 2) I en potensrække f(x) = a n x n gælder Heraf f (4) (0) = 0. f (n) (0) = n!a n. Calculus Uge

15 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a ab + b 2 Calculus Uge

16 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a ab + b 2 (a + b) 3 = a a 2 b + 3 ab 2 + b 3 Calculus Uge

17 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a ab + b 2 (a + b) 3 = a a 2 b + 3 ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a a 3 b + 6 a 2 b ab 3 + b 4 Calculus Uge

18 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a ab + b 2 (a + b) 3 = a a 2 b + 3 ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a a 3 b + 6 a 2 b ab 3 + b 4 (a + b) k = k n=0 ( ) k n a k n b n, Calculus Uge

19 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series hvor ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n (n faktorer i tælleren, nedstigende fra k n faktorer i nævneren, opstigende fra 1). Calculus Uge

20 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series hvor ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n (n faktorer i tælleren, nedstigende fra k n faktorer i nævneren, opstigende fra 1). ( ) 4 = = 12 2 = 6 Calculus Uge

21 Binomialformler ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n giver mening selv om k ikke er et positivt helt tal. [S] 8.8 The binomial series Calculus Uge

22 Binomialformler ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n [S] 8.8 The binomial series giver mening selv om k ikke er et positivt helt tal. ( ) ( 0.4) = = = Calculus Uge

23 Binomialformler ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n [S] 8.8 The binomial series giver mening selv om k ikke er et positivt helt tal. ( ) ( 0.4) = = = Hvis k er et positivt helt tal, så ( ) k = 1 og 0 ( ) k k = 1 Calculus Uge

24 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series Hvis k er positivt helt tal, så ( ) ( ) k k (a + b) k =a k + ka k 1 b + a k 2 b 2 + a k 3 b ( ) k... + a 2 b k 2 + kab k 1 + b k k 2 Calculus Uge

25 Binomialformler [S] 8.8 The binomial series Hvis k er positivt helt tal, så ( ) ( ) k k (a + b) k =a k + ka k 1 b + a k 2 b 2 + a k 3 b ( ) k... + a 2 b k 2 + kab k 1 + b k k 2 Specielt (sæt a = 1 og b = x) ( ) k (1 + x) k = 1 + k x + x ( ) k x x k 3 Calculus Uge

26 Maclaurin række for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series For vilkårlig k f(x) = (1 + x) k f (x) = k(1 + x) k 1 f (x) = k(k 1)(1 + x) k 2 f (x) = k(k 1)(k 2)(1 + x) k 3 Calculus Uge

27 Maclaurin række for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series For vilkårlig k f(x) = (1 + x) k f (x) = k(1 + x) k 1 f (x) = k(k 1)(1 + x) k 2 f (x) = k(k 1)(k 2)(1 + x) k 3 f(0) = 1 f (0) = k f (0) = k(k 1) f (0) = k(k 1)(k 2) Calculus Uge

28 Maclaurinrække for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series f (n) (x) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1)(1 + x) k n f (n) (0) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) Calculus Uge

29 Maclaurinrække for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series f (n) (x) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1)(1 + x) k n f (n) (0) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) Koefficienter i Maclaurin rækken: c n = f(n) (0) n! = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n! = ( ) k n Calculus Uge

30 Maclaurinrække for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series f (n) (x) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1)(1 + x) k n f (n) (0) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) Koefficienter i Maclaurin rækken: c n = f(n) (0) n! = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n! = ( ) k n Maclaurinrække for (1 + x) k kaldes binomialrækken, [S] 8.8. Calculus Uge

31 Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin rækken for (1 + x) k = binomialrækken hørende til tallet k ser altså sådan ud: ( ) ( ) k k 1 + kx + x 2 + x Calculus Uge

32 Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin rækken for (1 + x) k = binomialrækken hørende til tallet k ser altså sådan ud: ( ) ( ) k k 1 + kx + x 2 + x Ex. 1: Maclaurin række for 1 = (1 + x) 2 (1 + x) 2 Calculus Uge

33 Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin rækken for (1 + x) k = binomialrækken hørende til tallet k ser altså sådan ud: ( ) ( ) k k 1 + kx + x 2 + x Ex. 1: Maclaurin række for 1 = (1 + x) 2 (1 + x) 2 ikke at forveksle med (jvf. Ex. 1 i [S] 6.6.) x 2 = 1 x2 + x 4 x Calculus Uge

34 Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin række for 1 = (1 + x) 2 (1 + x) 2 Binomialrække med k = 2. (Konvergensradius 1) ( ) ( ) 2 2 = 1, = 2, 0 1 ( ) 2 2 ( ) 2 3 = ( 2)( 3) 2! = ( 2)( 3)( 4) 3! = 3 = 4 Calculus Uge

35 Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series altså begynder rækken: 1 2x + 3x 2 4x Calculus Uge

36 Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series altså begynder rækken: 1 2x + 3x 2 4x F.eks. (med x = 0.1) (1.1) 2 = Calculus Uge

37 Taylor-polynomier (centrum a) [S] 8.8 The binomial series f(a) + f (a) (x a) }{{ 1! } T 1 (x) + f (a) 2! (x a) 2 }{{} T 2 (x) + f (a) 3! (x a) 3 } {{ } T 3 (x) +... Calculus Uge

38 Taylor-polynomier (centrum a) [S] 8.8 The binomial series f(a) + f (a) (x a) }{{ 1! } T 1 (x) + f (a) 2! (x a) 2 }{{} T 2 (x) + f (a) 3! (x a) 3 } {{ } T 3 (x) T 1 (x) er den lineære approximation til f i a; +... Calculus Uge

39 Taylor-polynomier (centrum a) [S] 8.8 The binomial series f(a) + f (a) (x a) }{{ 1! } T 1 (x) + f (a) 2! (x a) 2 }{{} T 2 (x) + f (a) 3! (x a) 3 } {{ } T 3 (x) T 1 (x) er den lineære approximation til f i a; T 2 (x) kaldes det approximerende 2.grads polynomium, eller Taylor-polynomiet af grad 2 for f i a Calculus Uge

40 Taylor-polynomier [S] 8.8 The binomial series T 1 (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) Calculus Uge

41 Taylor-polynomier [S] 8.8 The binomial series T 1 (x) = f(a) + f (a) 1! T 2 (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) (x a) + f (a) (x a) 2 2! Calculus Uge

42 Taylor-polynomier [S] 8.8 The binomial series T 1 (x) = f(a) + f (a) 1! T 2 (x) = f(a) + f (a) 1! T 3 (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) (x a) + f (a) (x a) 2 2! (x a) + f (a) (x a) 2 + f (a) (x a) 3 2! 3! Calculus Uge

43 Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. Calculus Uge

44 Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. f(x) = x 1 3 ;f(8) = = 2 Calculus Uge

45 Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. f(x) = x 1 3 ;f(8) = = 2 f (x) = 1 3 x 2 3 ;f (8) = 1 12 Calculus Uge

46 Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. f(x) = x 1 3 ;f(8) = = 2 f (x) = 1 3 x 2 3 ;f (8) = 1 12 f (x) = 2 9 x 5 3 ;f (8) = Calculus Uge

47 Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 - fortsat T 2 (x) = f(8) + f (8) (x 8) + f (8) (x 8) 2 1! 2! Calculus Uge

48 Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 - fortsat T 2 (x) = f(8) + f (8) (x 8) + f (8) (x 8) 2 1! 2! = 2 + 1/12 1! (x 8) + 1/144 (x 8) 2 2! Calculus Uge

49 Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 - fortsat T 2 (x) = f(8) + f (8) (x 8) + f (8) (x 8) 2 1! 2! = 2 + 1/12 1! (x 8) + 1/144 (x 8) 2 2! = (x 8) (x 8) Calculus Uge

50 Restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Hvor god en approximation til f(x) er Taylor polynomiet T n (x)? Specielt: hvor god er den lineære approximation T 1 (x)? Hvor stor er fejlen (restleddet) R n (x) := f(x) T n (x)? Calculus Uge

51 Restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Hvor god en approximation til f(x) er Taylor polynomiet T n (x)? Specielt: hvor god er den lineære approximation T 1 (x)? Hvor stor er fejlen (restleddet) R n (x) := f(x) T n (x)? Hvis f (k) (a) f(x) = (x a) k k! så er R n (x) = k=0 k=n+1 f (k) (a) k! (x a) k Calculus Uge

52 Restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Hvor god en approximation til f(x) er Taylor polynomiet T n (x)? Specielt: hvor god er den lineære approximation T 1 (x)? Hvor stor er fejlen (restleddet) R n (x) := f(x) T n (x)? Hvis f (k) (a) f(x) = (x a) k k! så er R n (x) = k=0 k=n+1 f (k) (a) k! (x a) k - men det siger ikke noget om hvor stor den er Calculus Uge

53 Taylor s restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series 9 Sætning Hvis f (n+1) (x) M for alle x med x a d, så for alle med x a d. R n (x) M (x a) n+1 (n + 1)! Calculus Uge

54 Taylor s restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series 9 Sætning Hvis f (n+1) (x) M for alle x med x a d, så for alle med x a d. R n (x) M (x a) n+1 (n + 1)! Sammenlign udtrykket i vurderingen med det næste led i Taylor-rækken, som jo er f (n+1) (a) (n + 1)! (x a)n+1 Calculus Uge

55 Hvor god er den lineære approximation? [S] 8.7 Taylor and Mac... f(x) T 1 (x) M 2! x a 2 hvor f (x) M for all x i det berørte interval om a. Calculus Uge

56 Hvor god er den lineære approximation? [S] 8.7 Taylor and Mac... f(x) T 1 (x) M 2! x a 2 hvor f (x) M for all x i det berørte interval om a. Eksempel. Lad f(x) = sin x. Da f(0) = 0 og f (0) = cos(0) = 1, er den lineære approximation til sin i a = 0 givet ved T 1 (x) = x = x Calculus Uge

57 Hvor god er den lineære approximation? [S] 8.7 Taylor and Mac... f(x) T 1 (x) M 2! x a 2 hvor f (x) M for all x i det berørte interval om a. Eksempel. Lad f(x) = sin x. Da f(0) = 0 og f (0) = cos(0) = 1, er den lineære approximation til sin i a = 0 givet ved T 1 (x) = x = x Da f (x) = sin(x) er numerisk 1 for alle x, har vi for alle x fejlvurderingen R 1 (x) 1 2! x2 Calculus Uge

58 Taylors restled som itereret integral [S] 8.7 Taylor and Mac... Hovedsætning i Calculus: F(x) = F(a) + x a F (s) ds; Calculus Uge

59 Taylors restled som itereret integral [S] 8.7 Taylor and Mac... Hovedsætning i Calculus: F(x) = F(a) + anvend på F = f f(x) = f(a) + x a x a F (s) ds; f (s) ds Calculus Uge

60 Taylors restled som itereret integral [S] 8.7 Taylor and Mac... Hovedsætning i Calculus: F(x) = F(a) + anvend på F = f f(x) = f(a) + x a x a F (s) ds; f (s) ds anvend på F = f inden under integraltegnet: = f(a) + x a (f (a) + s a f (t) dt) ds Calculus Uge

61 Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series = f(a) + x a (f (a) + s a f (t) dt) ds Calculus Uge

62 Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series = f(a) + x a (f (a) + s a f (t) dt) ds = f(a) + (x a)f (a) + x a s a f (t) dt ds. Calculus Uge

63 Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series f(x) = f(a) + (x a)f (a) + x a s a f (t) dt ds. Calculus Uge

64 Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series f(x) = f(a) + (x a)f (a) + x a s a f (t) dt ds. De to første led er Taylor-polynomiet T 1 (x) for f, og det sidste led er derfor en formel for restleddet R 1 (x). Calculus Uge

65 Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series f(x) = f(a) + (x a)f (a) + x a s a f (t) dt ds. De to første led er Taylor-polynomiet T 1 (x) for f, og det sidste led er derfor en formel for restleddet R 1 (x). t a a x s Calculus Uge

66 Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Vi kan genkende dette itererede integral som et udtryk for (plus/minus) dobbeltintegralet af f (t) over trekanten D i (s, t)-planen, afgrænset af t = a (vandret linie), s = x (lodret linie) og linien s = t Calculus Uge

67 Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Vi kan genkende dette itererede integral som et udtryk for (plus/minus) dobbeltintegralet af f (t) over trekanten D i (s, t)-planen, afgrænset af t = a (vandret linie), s = x (lodret linie) og linien s = t Trekanten D har areal 1 (x 2! a)2. Da f (t) M for alle punkter i D, er 1 2! (x a)2 M = M (x a)2 2! D Calculus Uge

68 Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. Calculus Uge

69 Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. For hvilke x gælder T n (x) e x for n? Calculus Uge

70 Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. For hvilke x gælder T n (x) e x for n? For hvilke x gælder R n (x) 0 for n? Calculus Uge

71 Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. For hvilke x gælder T n (x) e x for n? For hvilke x gælder R n (x) 0 for n? For alle x! THI: Calculus Uge

72 Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er f (n+1) (x) = e x e d Calculus Uge

73 Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Calculus Uge

74 Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Men x n+1 (n+1)! 0 for n. Calculus Uge

75 Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Men x n+1 0 for n. (n+1)! Altså R n (x) 0 for n Calculus Uge

76 Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Men x n+1 0 for n. (n+1)! Altså R n (x) 0 for n Altså T n (x) f(x) = e x for n. Calculus Uge

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger mod eksponentialfunktionen

Læs mere

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomilformlen Binomilkoefficienter Binomilrækken Tylor polynomier Vurdering f Tylor s restled Eksponentilrækken konvereger mod eksponentilfunktionen Clculus

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1

Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1 Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil

Læs mere

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.

Læs mere

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1 1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2. Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007 ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Taylor-polynomier. John V Petersen

Taylor-polynomier. John V Petersen Taylor-polynomier John V Petersen Taylor-polynomier 2018 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning... 4 2. Udledning af Sætning om Taylor polynomiet... 4 3. Sætning og Definition af Taylor

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Indhold. Litteratur 11

Indhold. Litteratur 11 Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det

Læs mere

Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Udarbejdet af Arne Jensen 1 Indledning I forbindelse med kurset Matematisk Analyse 2 på Mat 2 afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang af 3 ECTS.

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Eksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet

Eksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Numeriske metoder i matlab

Numeriske metoder i matlab NMM minimodul 6 p. 1/2 Numeriske metoder i matlab Lektion 6 Tom Søndergaard Pedersen Palle Andersen Aalborg University NMM minimodul 6 p. 2/2 Interpolation Polynomium, splines, mindste kvadraters metode.

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

er en n n-matrix af funktioner

er en n n-matrix af funktioner Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet

Læs mere

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.

(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene. MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 5

ANALYSE 1, 2014, Uge 5 ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.

Læs mere

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver

Læs mere

Reeksamen i Calculus

Reeksamen i Calculus Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2018

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2018 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2018 25. maj 2018: Delprøven UDEN hjælpemidler 2 Opgave 1: 2 2 12 0 Man kan løse andengradsligningen med diskriminantmetoden, men man kan også som her forkorte

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( ) Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Iterativ beregning af Rodapproximationer.

Iterativ beregning af Rodapproximationer. Iterativ beregning af Rodapproximationer. Jacob Nielsen I det følgende forklares med udgangspunkt i binomialformlen algoritmer til beregning af approxomationer til kvadratrødder og kubikrødder. Grund ideen

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,

Læs mere

Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014

Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Taylorpolynomier. Preben Alsholm. 17. april 2008. Taylorpolynomier. Funktion af ere variable. Preben Alsholm. Taylorpolynomier

Taylorpolynomier. Preben Alsholm. 17. april 2008. Taylorpolynomier. Funktion af ere variable. Preben Alsholm. Taylorpolynomier . 17. april 008 for I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet x 0.. for I Givet

Læs mere

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.

Læs mere

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk

Læs mere

Eksamensspørgsma l Mat B

Eksamensspørgsma l Mat B Eksamensspørgsma l Mat B 1. Lineære funktioner og tangentligningen Gør rede for de lineære funktioner og deres grafiske billeder, herunder betydning og bestemmelse af de konstanter, som indgår i regneforskriften.

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens

Læs mere

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2. Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 09 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det

Læs mere

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 i Forord Denne opgavesamling skal bruges med den forståelse, at pensumbeskrivelsen for kurset har undergået en række

Læs mere

MATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1 MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds

Læs mere