Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10"

Transkript

1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger PDE er. En ligning i en ukendt funktion u af flere variable kaldes en partiel differentialligning PDE, hvis ligningen afhænger af én eller flere partielt afledede af u. Ordenen af den højest partielt afledede kaldes ordenen af PDE en. Den ukendte funktion vil normal blive betragtet som en funktion af en eller flere rumlige variable og ofte en tidsvariabel. Ligesom det var tilfældet for ODE er, er de vigtigste PDE er, som optræder i anvendelser, af anden orden. = c u for alle konstanter c,, osv.. På denne baggrund er følgende definition naturlig. Vi minder om, at partiel afledning er lineær i funktionen dvs. cu hvis u = u 1 + u 2, så er u = u 1 + u 2 Definition 1.2 Lineære PDE er, homogenitet. En PDE i variablene x 1,... x n af orden k kaldes lineær hvis den kan bringes på formen F x 1,..., x n, u, u,..., u,..., k u k u,...,,..., k u = rx 1 n 1 2 n k 1,..., x n, n k 1 hvor F er lineær i alle variable, undtagen de n første, og r er en funktion af de uafhængige variable x 1,..., x n. Hvis en PDE kan bringes på ovenstående form med r 0, så kaldes PDE en homogen. Ellers kaldes den ikke-homogen. Vi bemærker, at i definitionen benyttede vi blot navnene x 1,..., x n for de uafhængige variable for at have noget at referere til. De behøver således ikke være rumlige variable, og hvis en specifik PDE afhænger af tiden t, så skal denne variable også inkluderes i listen over uafhængige variable og bruges til partielt afledede. Specielt er en lineær PDE af orden to med én rumlig variabel x og én tidsvariabel t på formen: F x, t, u, u, u t, 2 u, 2 u 2 t, 2 u = rx, t, t 2 1

2 hvor F er lineær i alle variable evt. undtagen x og t og r er en funktion. Sådanne PDE er kaldes ofte en-dimensionelle til trods for, at den ukendte funktion afhænger af to variable, da den afhænger af én rumlig variabel. Eksempel 1.3. De følgende seks eksempler på andenordens lineære PDE er er vigtige i mange anvendelser. t = 2 u 2 c2 2 en-dimensionel bølgeligning 1 u t = 2 u c2 2 en-dimensionel varmeligning u = 0 2 y2 to-dimensionel Laplace-ligning u = f to-dimensionel Poisson-ligning 4 2 y2 2 t = u 2 c2 + 2 u to-dimensionel bølgeligning 5 2 y u 2 y + 2 u = 0 2 z2 tre-dimensionel Laplace-ligning 6 Alle er lineære, alle undtagen Poisson-ligningen 4 er homogene, alle nævnte dimensioner er rumlige, bølge- og varmeligningerne 1, 2, 5 afhænger også af tiden t, mens Laplace- og Poisson-ligningerne er rent rumlige og tidsuafhængige. Definition 1.4 Løsning til en PDE. En løsning til en PDE i et åbent domæne R af rummet af uafhængige variable inkl. den eventuelle tidslige variabel t er en funktion u, for hvilken alle de partielt afledede, som optræder i PDE en, eksisterer i et område 1, som indeholder R, således at u opfylder PDE en i R. Som med begyndelsesværdiproblemer i ODE er, hvor vi behøvede begyndelsesværdibetingelser for at være sikker på, at vores løsning var den rette, skal vi bruge yderligere betingelser for PDE er. Disse er typisk givet ved randværdier løsningen kræves at have bestemte værdier på randen af området R og/eller hvis tiden t indgår som en uafhængig variabel begyndelsesværdibetingelser værdien af u til tiden t = 0 og/eller en eller flere af de partielt afledede af u mht. t til tid t = 0 kræves at have bestemte værdier. Disse yderligere betingelser er endog endnu vigtigere for PDE er end for ODE er, da den øgede kompleksitet af PDE er i forhold til ODE er forstørrer rummet af løsninger dramatisk. En relativt simpel andenordens PDE såsom den todimensionelle Laplace-ligning 3 har eksempelvis følgende meget forskellige løsninger: ux, y = x 2 y 2, ux, y = e x cosy, ux, y = sinx coshy, og ux, y = lnx 2 + y 2. Da 3 tydeligvis er homogen, så har du sikkert allerede gættet, at linearkombinationer af disse løsninger også er løsninger, som postuleret i følgende sætning: 1 et område er en sammenhængende, åben mængde 2

3 Sætning 1.5. Mængden af løsninger til en lineær, homogen PDE i et område R er lukket under linearkombinationer, dvs. hvis u 1 og u 2 er løsninger på R, så er også u = c 1 u 1 + c 2 u 2 en løsning, for ethvert valg af c 1 og c 2. Løsningsmængden udgør med andre ord et vektorrum. Beviset for denne påstand er ikke grundlæggende forskellig fra beviset for ODE er. Vi vil nu betragte nogle meget simple PDE er, som kan løses ved ODE-metoder. Men først en kommentar om notation. Det kan være meget trættende at skrive alle disse er. For at afhjælpe dette, er der opfundet en nemmere notation for partielt afledede. Lad u være en funktion og x en uafhængig variabel. Vi vil nu lade u x betegne u s partielt afledede mht. x. Da 2 u = 2 u hvis én y y og derfor begge af disse udtryk er kontinuerte, så kan vi benytte denne notationsregel successivt og skrive eksempelvis u xy = u yx eller u xx. Eksempel 1.6. Vi betragter PDE en u xx x, y ux, y = 0. Havde det ikke været for y-afhængigheden, så ville det blot være u u = 0, og løsningen ville være ux = ae x + be x for ethvert valg af a og b. Dette betyder, at for ethvert fast valg af y 0, a = a y0 og b = b y0 opfylder funktionen ux, y 0 = a y0 e x + b y0 e x PDE en men er ikke en løsning, da mængden {x, y 0 x R} ikke er en åben mængde. Dette betyder, at for vilkårlige funktioner a, b: R R er ux, y = aye x + bye x en løsning til PDE en. Eksempel 1.7. Vi betragter PDE en u xy = u x. Lad nu px, y = u x x, y. Så kan PDE en skrives som p y = p. 7 Havde det ikke været for x-afhængigheden, så ville der blot stå p = p, og løsningen ville have været py = ce y for enhver konstant c. Dette betyder, at for ethvert fast valg af x 0 og c = c x0 opfylder funktionen f givet ved fx 0, y = c x0 e y 7. Som før betyder dette, at for en vilkårlig funktion c: R R opfylder funktionen v givet ved vx, y = cxe y 7. For at få u, skal vi blot integrere mht. x: ux, y = fxe y + gy, hvor f = cx dx, og g er en integrationskonstant, som kan afhænge af y. Da cx og gy kan vælges frit, så kan f også så længe, den er differentiabel, og løsningen er blot for vilkårlige men differentiable f og g. ux, y = fxe y + gy Eftervis løsningerne ovenfor ved direkte udregning. 3

4 1.2 Udledning af bølgeligningen I det foregående afsnit så vi et par såkaldte bølgeligninger. Vi vil nu udlede den én-dimensionelle bølgeligning som en model for en vibrerende streng. Setuppet er som følger. Vi har en streng langs x-aksen udstrukket til længden L og fikseret i endepunkterne x = 0 og x = L. strengen forvrides og slippes til tiden t = 0, hvorefter den vibrerer frit. Vi vil modellere dens udsving ux, t i ethert punkt x [0, L] og til enhver tid t 0. Som forudsætning for udledningen vil vi gøre følgende antagelser. 1. Strengen har en uniform masse langs x-aksen; vi lader ρ betegne massen per længdeenhed. 2. Strengen er perfekt elastisk og yder ikke modstand mod at blive bøjet. 3. Tyngdekraftens indvirkning på strengen kan negligeres. 4. Hver partikel af strengen bevæger sig kun parallelt med y-aksen, vinkelret på x-aksen, som den en udstrukket langs. Vi betragter de kræfter, som virker på en lille del af strengen. Lad x være et punkt og x + x et nærliggende punkt på x-aksen, og lad P og Q betegne endepunkterne af den fordrejne streng mellem x og x + x. Pga. antagelserne er det kun de tangentiale trækkræfter i hvert punkt, der påvirker strengen. Lad T 1 og T 2 betenge størrelserne af trækkræfterne i hhv. P og Q. Lad α og β betegne vinklerne mellem tangenterne i P hhv. Q og x-aksen. Da der ingen bevægelse er i x- aksens retning, må de to kræfter i denne retning være af samme størrelse: T 1 cosα = T 2 cosβ = T. I y-retningen har vi to kræfter, nemlig T 1 sinα og T 2 sinβ, hvor det negative fortegn optræder, fordi kraften i P er i den negative y-retning. Newtons anden lov og mellemværdisætningen giver nu, at den resulterende kraft er ρ x 2 u t 2 x, t for et eller andet x [x, x + x]. Derfor er Hvis vi dividerer 8 med T, fås T 2 sinβ T 1 sinα = ρ x 2 u t 2 x, t. 8 T 2 sinβ T 2 cosβ T 1 sinα T 1 cosα Hvis vi bemærker, at tanα = u ρ x = tanβ tanα = T t 2 x, t. u x, t og tanβ = x + x, t, og vi dividerer med x, ser vi at 1 u u x + x, t x x, t = ρ T t 2 x, t, hvor venstre side går mod 2 ux, t, mens højre side går mod c 2 2 ux, t, hvor vi har skrevet c 2 = T 2 t 2 ρ som et kvadreret tal for at indikere, at det er ikke-negativt hvilket er afgørende for klassen af løsninger. Vi har således udledt den én-dimensionelle bølgeligning som er en homogen andenordens PDE. x, t = 2 u 2 c2 x, t 9 t2 4

5 1.3 Løsning af bølgeligningen Problemet med den vibrerende streng er ikke fuldstændigt specificeret ved 9 uden de følgende to yderligere betingelser. Vores streng er fikseret i endepunkterne, så til enhver tid t 0, har vi randbetingelserne u0, t = 0 og ul, t = Da vi forvred og slap strengen, gjorde vi det på en bestemt måde. Mere præcist havde strengen en begyndelsesværdibetingelse for alle x [0, L] på formen ux, 0 = fx og u t x, 0 = gx, 11 hvor f er begyndelsesudsvinget og g er begyndelseshastigheden af strengen. Vi vil nu løse PDE en 9 under antagelse af de yderligere betingelser 10 og 11. Dette gøres i tre trin. Trin 1: Metoden separation af de variable eller produktmetoden Vi antager, at løsningen kan skrives på formen ux, t = F xgt for nogle funktioner F og G. Hvis dette er tilfældet, så er t 2 = F G og 2 = F G. Hvis vi indsætter dette i bølgeligningen og dividerer med c 2 F G, fås G c 2 G = F G c 2 F G = c2 F G c 2 F G = F F, hvor udtrykket yderst til venstre kun afhænger af t, mens udtrykket yderst til højre kun afhænger af x. De må derfor være konstante. Hvis vi sætter begge udtryk lig konstanten k og omskriver, fås som er to ODE er. F kf = 0 og G c 2 kg = 0, Trin 2: At finde løsninger, som opfylder randbetingelserne Hvis G 0, så skal vi bruge F 0 = 0 og F L = 0 for at opfylde 10. Vi bruger nu vores viden om ODE er til at konkludere, at k må være negativ: Ellers er k = 0 og F derfor givet ved F x = ax+b, eller også er k > 0, og så er F x = ae kx + be kx, men i begge tilfælde medfører formen på disse løsninger og betingelsen F 0 = F L = 0 at F 0. Dvs. hvis u 0, så er k < 0 og F x = a cospx + b sinpx, hvor p er givet ved k = p 2. Men F 0 = F L = 0 medfører at a = 0 og b sinpl = 0, så sinpl = 0, da b = 0 ville betyde, at F u 0. Med andre ord er p = nπ L, for n Z. 5

6 Hvis vi sætter b = 1, har vi således tælleligt uendeligt mange lineært uafhængige løsninger F n x = sin L x for n N F 0 0 og for Z n < 0 er F n = F n, som svarer til at vælge b = 1, da sin x = sinx. Dette var F. Vi løser nu for G, idet vi husker at k = p 2 = L 2, så Fra vor viden om ODE er genkalder vi at G + λ 2 ng = 0, hvor λ n = cp = cnπ L. G n t = b n cosλ n t + b n sinλ n t er en generel løsning. Vi har således fundet løsninger til det oprindelige problem: u n x, t = b n cosλ n t + b n sinλ n t sin L x. Disse kaldes egenfunktioner med egenværdier λ n for den vibrerende streng. Mængden af egenværdier kaldes spektrummet. Vibrationen associeret med den n te egenværdi og givet ved den n te egenfunktion kaldes den n te normaltilstand og har frekvensen λn. Den første normaltilstand kaldes fundamentaltilstanden og de andre kaldes overtoner. 2π Da x sin L = 0 i x = L n, 2L n,..., n 1 n L, har den n te normaltilstand n 1 knudepunkter, dvs. punkter x 0, L som konstant er lig 0. Vi har også at frekvensen λn L. = cn T = ρ n 2π 2L 2L af u n vokser med trækkræften T og aftager med længden Trin 3: At finde løsninger, som også opfylder begyndelsesværdibetingelserne Indtil videre har vi konstrueret løsninger, som opfylder PDE en 9 og randbetingelserne 10. Vi har ikke fundet løsninger, som opfylder begyndelsesværdibetingelserne 11, bortset fra for visse helt specielle valg. Idéen er nu at finde linearkombinationer af u n erne på en sådan måde, at den resulterende funktion opfylder begyndelsesværdibetingelserne. Vi ved fra Sætning 1.5 at vi må tage endelige linearkombinationer af løsninger. Vi tager nu chancen og forsøger os med en uendelig linearkombination : ux, t = u n x, t = b n cosλ n t + b n sinλ n t sin L x. 12 For at vores oprindelige forvridning f 11 stemmer overens med vores gæt 12, må ux, 0 = b n sin L x = fx. Dette betyder at b n erne skal være Fourierkoefficienterne til den halvsidige udvikling af f, b n = 2 L L 0 fx sin L x dx. 6

7 Under antagelse af, at vi kan differentiere ledvist i den uendelige sum, får vi tilsvarende for g at Dette svarer til at sætte u t x, 0 = b n = 2 cnπ L 0 b nλ n sin L x = gx. gx sin L x dx. Alt i alt, hvis rækken konvergerer og vi kan differentiere ledvist, så har vi netop fundet en løsning, som opfylder de yderligere betingelser 10 og 11. Vi vil nu i tilfældet, hvor g 0 dvs. vi ikke behøver at differentiere den uendelige sum ledvist argumentere for, at rækken rent faktisk konvergerer for tilpas pæne f. Under denne antagelse er vores kandidat givet ved ux, t = b n cosλ n t sin L x, hvor λ n = cnπ L. Vi bruger nu den trigonometriske identitet cnπ cos L t sin L x = 1 nπ sin 2 L x ct + sin L x + ct. Så fås ux, t = 1 nπ b n sin 2 L x ct + sin L x + ct. Skriv f for den ulige, 2L-periodiske udvidelse af f. For tilpas pæne f er f x ± ct = b n sin L x ± ct punktvis. Man kan vise igen for tilpas pæne f, at man kan omarrangere ledene i summen sådan at ux, t = 1 2 f x ct + f x + ct. 13 En meget naturlig antagelse er, at f er kontinuert ellers er strengen rykket over til tiden t = 0, og dette er en mere end rigelig betingelse for, at f er tilpas pæn. Se også Sætning 1.7 i noterne til Lektion 8. Hvis vi nu antager, at f er to gange differentiabel på 0, L, og har ensidigt afledede i x = 0 og x = L som er 0, så kan 13 vises at opfylde 9, 10 og 11 for g 0 ved direkte udregning. Hvis f og f blot er stykkevist kontinuerte, eller hvis de ensidigt afledede ikke er 0, så vil der være endeligt mange x, hvor de andenordensafledede i 9 ikke eksisterer. Ikke desto mindre gælder bølgeligningen stadig i alle andre punkter. I dette tilfælde kaldes løsningen 13 en generaliseret løsning. 7

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder. Metoder Matematisk modellering numeriske metoder Metoder Morten Grud Rasmussen 29. december 2015 Indhold 1 Analytiske metoder 3 1.1 Metoder til ODE er af første orden............................ 3 1.1.1 Separation

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Eksempelsamling

Matematisk modellering og numeriske metoder. Eksempelsamling Matematisk modellering og numeriske metoder Eksempelsamling Morten Grud Rasmussen 2. december 206 Indhold Analytiske metoder 3. Metoder til ODE er af første orden............................ 3.. Separation

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk

Læs mere

Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Udarbejdet af Arne Jensen 1 Indledning I forbindelse med kurset Matematisk Analyse 2 på Mat 2 afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang af 3 ECTS.

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009 MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses

Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Jeppe Trøst Nielsen 11. april 21 Denne samling af ligninger og løsninger er udarbejdet efter det princip, at eksamenssættene ikke ændrer sig specielt meget

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning

Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke

Læs mere

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 14

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 14 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 3 november 6 Numeriske metoder til løsning af differentialligninger Bevarelseslove I det følgende vil vi skrive p for et punkt

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J. Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Fourier transformationen

Fourier transformationen MODUL 6 Fourier transformationen Forfattere: Øistein WIND-WILLASSEN & Michael ELMEGÅRD 4. juni 4 Indhold Fourier transformationen 5. Definition og oprindelse.............................. 5.. Funktioner

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse

Læs mere

Note om Laplace-transformationen

Note om Laplace-transformationen Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 14. september 016 1 Numerisk analyse 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse om at bringe matematiske problemer på

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Implicit givne og inverse funktioner

Implicit givne og inverse funktioner Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1

Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1 Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere