Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul"

Transkript

1 Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul

2 Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1. Hvordn ser grfen ud for en potenssmmenhæng? Opgver hvor vi skl udregne eller y i y = b Hvordn kn vi udregne ændringer i y og for en potenssmmenhæng? Proportionle vrible Omvendt proportionle vrible Potensregression... 1 Potenssmmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible. udgve Krsten Juul Dette hæfte kn downlodes fr Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det smme sender en e-mil til som dels oplyser t dette hæfte benyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole.

3 1. Hvd er en potenssmmenhæng? Øvelse 1.1 På lommeregner eller computer (med mtemtikprogrm) kn vi tste en potens ved hjælp f eller potensskbelon.,1 0,5 1 3,1 = = 9 = 4 = ^ Øvelse 1. 1,5 1,5 4,8 3 Vi kn udregne rumfnget f en ksse ved t bruge reglen rumfng = længde bredde højde For kssen til højre er () rumfng = = 4 For kssen til venstre er (b) rumfng = = Vi hr nogle ksser hvor grundflden er et kvdrt. Højden er 4 gnge siden i grundflden. (c) Når siden i grundflden er, er rumfng = = (d) Når siden i grundflden er 5, er rumfng = = (e) Når siden i grundflden er, er rumfng = = (f ) Udfyld tbellen: En bestemt type orm vokser sådn t når tykkelsen er 1, er rumfnget 4. Hvis denne orm bevrer sin fcon når den vokser, så vil der gælde: når tykkelsen er, så er rumfnget 4 3, men det viser sig t ormen efterhånden får en mere flng fcon. Mn hr målt følgende længder og rumfng (med en pssende enhed): længde rumfng (g) Prøv dig frem med ndre eksponenter end 3, og find en eksponent som psser med de målte tl (tllene er frundet til hele tl). Eksponenten skl være. (h) Når = tykkelse og y = rumfng, er y = b hvor = og b =. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

4 Øvelse 1.3 Vi hr 600 kr. til t købe bær. () Hvis prisen pr. kg er 4 kr., så kn vi købe (b) Hvis prisen pr. kg er 30 kr., så kn vi købe (c) Hvis prisen pr. kg er kr., så kn vi købe (d) Udfyld tbellen: kg. kg. kg ,5 600 (e) Udfyld tbellen: , (f ) Når = kg-pris og y = ntl kg vi kn købe, er y = b hvor = og b =. Øvelse 1.4 Et rektngel på en skærm hr den egenskb t når vi ændrer dets størrelse, så vedbliver bredden t være 4 gnge højden. Rektnglet kn ltså deles op i 4 kvdrter hvis side er højden i rektnglet. () Når rektnglets relet er 4, så er højden. (b) Når rektnglets relet er 16, så er højden. (c) Når rektnglets relet er 36, så er højden. (d) Når = 4, så er 0,5 =. (e) Når = 16, så er 0,5 =. (f) Når = 36, så er 0,5 =. 0,5 (g) Der gælder y = 0.5 hvor = rektnglets og y = rektnglets. (h) y = b hvor = og b =. 0,5 0,5 0,5 DEFINITION 1.5 Hvd er en potenssmmenhæng? Vi klder en smmenhæng for en potenssmmenhæng hvis vi kn beskrive den med en ligning som vi kn få ved t indsætte bestemte tl for og b i ligningen (1) y = b hvor b skl være positiv. Bemærkning 1.6 I øvelse er der fire eksempler på nvendelse f potenssmmenhænge. Potenssmmenhænge, udgve Side 010 Krsten Juul

5 Eksempel 1.7 Spørgsmål: Ligningen,6 () y = 1, 4 viser en smmenhæng mellem to vrible y og. Hvilke tl skl vi indsætte for og b i ligningen y = b for t få smmenhængen ()? Svr: Vi skl sætte =,6 og b = 1, 4 for når vi gør det, får vi ligningen y = 1,4,6 som kn omskrives til ligningen (). Bemærkning: Ovenfor viste vi t ligningen () kn fås ved t sætte bestemte tl ind for og b i ligning (1) i definition 1.5, dvs. vi viste t () er en potenssmmenhæng. Øvelse 1.8 Hver f følgende smmenhænge kn vi få ved t sætte tl ind for og b i ligningen Angiv i hvert tilfælde hvd der skl indsættes for og b. 3 (1) y = 4 () = 4 0,4 y 3 (3) y = (4) y = 3. y = b. Eksempel 1.9 Spørgsmål: Et kvdrtisk område dækkes med kvdrtiske kkler der hver vejer 38 enheder. () Hvilken udregning skl vi foretge for t beregne vægten f kklerne hvis området er kkler bredt (og højt)? (b) Hvilken udregning skl vi foretge for t beregne vægten f kklerne hvis området er 3 kkler bredt? (c) Hvilken udregning skl vi foretge for t beregne vægten f kklerne hvis området er 8 kkler bredt? (d) Opskriv en ligning til beregning f vægten y når bredden er kendt. Svr: () 38. (b) (c) (d) y = 38. Bemærkning: Smmenhængen y = 38 er en potenssmmenhæng. Dette følger f definition 1.5 d vi får ligningen y = 38 når vi i y = b indsætter = og b = 38. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

6 Eksempel 1.10 Spørgsmålene drejer sig om smmenhængen fr eksempel 1.9, ltså y = 38 hvor y er vægten f kklerne (i en pssende enhed) og er områdets bredde (målt i ntl kkler). Spørgsmål: () Hvd er vægten når bredden er t? (b) Hvd er vægten når bredden er t? (c) Hvd skl vi gnge fcit i () med for t få fcit i (b)? Svr: () Når bredden er t, er vægten y = 38 t. (b) Vi får Nspire til t udregne 38 når er t og får: Når bredden er t, er vægten y = 95 t. 95 t (c) = 4, så vi skl gnge fcit i () med 4 for t få fcit i (b), 38 t dvs. vægten firedobles når bredden fordobles. Bemærkning: Når bredden er t, er vægten y = 38 ( t ) = 38 t = 38 t 4. Øvelse 1.11 Om nogle ksser gælder: Bredden er 3 gnge højden. Længden er 5 gnge højden. () Når højden er, hvd er så bredden? og længden? og rumfnget? (b) Opskriv en ligning til beregning f rumfnget y når højden er kendt. (c) Når højden er t, hvd er så rumfnget? (d) Når højden er t, hvd er så rumfnget? (e) Hvd sker der med rumfnget når højden fordobles? Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

7 . Hvordn ser grfen ud for en potenssmmenhæng? Eksempel.1: Spørgsmål: Følgende tre smmenhænge er lle potenssmmenhænge (ifølge definition 1.5). 1, 9 I: y = 0,5 II: y = 0,4 0.8 III: y = Tegn grferne for de tre smmenhænge. Svr: Ved hjælp f et elektronisk hjælpemiddel eller ved t udregne støttepunkter kn vi tegne grferne. I II III Bemærkning: Af grferne ses t de to smmenhænge hvor er positiv, er voksende, og den smmenhæng hvor er negtiv, er ftgende. SÆTNING. Eksponenten fortæller om en potenssmmenhæng er voksende eller ftgende. En potenssmmenhæng y = b er ftgende hvis er negtiv og voksende hvis er positiv. Øvelse.3 () Smmenhængen (b) Smmenhængen (c) Smmenhængen (d) Smmenhængen (e) Smmenhængen y = 15 er voksende d d eksponenten er er positiv. 0, y = 3 er d. y = er d. 4 0,11 y = er d. 8 y = 0,1 er d. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

8 Eksempel.4 Dobbeltlogritmisk koordintsystem I koordintsystemet nedenfor til højre er hver f kserne en speciel type der kldes en logritmisk kse. Et koordintsystem kldes et dobbeltlogritmisk koordintsystem hvis begge kser er logritmiske. Spørgsmål: Svr: Tegn grfen for smmenhængen ovenfor. y = i begge koordintsystemerne 5 1,16 Vi udregner nogle støttepunkter og fsætter de fundne punkter i begge koordintsystemer. y = 5 1,16 y = 5 1,16 Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

9 SÆTNING.5 Grfen for en potenssmmenhæng er en ret linje i et dobbeltlogritmisk koordintsystem. Bemærkning.6 Når vi ser koordintsystemer i viser, tidsskrifter og lærebøger i forskellige fg, skl vi se efter om kserne er sædvnlige, så vi ikke tror t en smmenhæng er lineær når grfen er en ret linje i et dobbeltlogritmisk (eller enkeltlogritmisk) koordintsystem. Øvelse.7 Grfen viser smmenhængen mellem to vrible og y. Der er tle om en potenssmmenhæng. I et sædvnligt koordintsystem ville grfen være en krum kurve. () Når = 1, er y =. (b) Når =, er y =. (c) Når ændres fr 1 til, så vil y blive enheder større. (d) Når ændres fr til 3, så vil y blive enheder større. (e) Når ændres fr 3 til 4, så vil y blive enheder større. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

10 3. Opgver hvor vi skl udregne eller y i y = b Eksempel 3.1 For nogle dyr gælder (1) y = 0,4,8 hvor y er vægten, målt i grm, og er længden, målt i cm. Spørgsmål (): Hvd er vægten f et dyr hvis længde er 3 cm? Spørgsmål (b): Hvd er længden f et dyr hvis vægt er 0,5 g? Svr på (): Under ligningen (1) står t er længden, så d det oplyste tl 3 er længden, skl 3 indsættes på 's plds: y = 0,4 3,8 Ved t udregne dette får vi y = 5, Under ligningen (1) står t y er vægten, så et 3 cm lngt dyr vejer 5, g. Svr på (b): Under ligningen (1) står t y er vægten, så d det oplyste tl 0,5 er vægten, skl 0,5 Uden solve indsættes på y's plds: 0,5 = 0,4,8 For t løse denne ligning mht. strter vi med t dividere begge sider med 0,4:,8 0,5 0,4 = 0,4 0,4 Vi forkorter brøken på højre side og får 0,5,8 = 0,4 Denne ligning hr løsningen =,8 0,5 0,4 Ved t udregne dette får vi = 1,3 Under ligningen (1) står t er længden, så et dyr hvis vægt er 0,5 g, hr længden 1,3 cm. Svr på (b): Med solve Se næste side! Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

11 Svr på (b): Under ligningen (1) står t y er vægten, så d det oplyste tl 0,5 er vægten, skl 0,5 Med solve indsættes på y's plds: 0,5 = 0,4,8 Vi får Nspire til t løse denne ligning mht. og får = 1,997. Under ligningen (1) står t er længden, så et dyr hvis vægt er 0,5 g, hr længden 1,3 cm. Øvelse 3. Antllet f dyr i en indhegning fhænger f dyrenes længde. Der gælder,3 y = 5800 hvor y er ntl dyr i indhegningen, og er dyrenes længde, målt i cm. () Hvor mnge dyr er der i indhegningen, hvis dyrenes længde er 6 cm? (b) Hvd er dyrenes længde når der er 19 dyr i indhegningen? Øvelse 3.3 Smmenhængen mellem tykkelse og længde for visse stængler kn beskrives ved ligningen y = 13 0,7 hvor y er længden i cm, og er tykkelsen i mm. Hvor tyk er en 100 cm lng stængel? Øvelse 3.4 Prisen for nogle figurer er fstlgt ved y = 0 3,5 hvor y er prisen i kr. og er højden i cm. En gul figur er 3 cm høj, en rød figur er 5 cm høj, og en blå figur er 7 cm høj. () Hvor mnge kroner er den røde dyrere end den gule? (b) Hvor mnge kroner er den blå dyrere end den røde? (c) Hvor mnge procent er den røde dyrere end den gule? (d) Hvor mnge procent er den blå dyrere end den røde? Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

12 4. Hvordn kn vi udregne ændringer i y og for en potenssmmenhæng? Eksempel 4.1 For en bestemt bolig kn vi udregne det årlige vrmetb gennem loftet ved hjælp f ligningen 0,75 y = 5400 hvor y er vrmetbet i kwh og er tykkelsen i cm f isoleringen. Spørgsmål (): Nu er tykkelsen 10 cm. Hvor mnge procent vil vrmetbet nedsættes hvis tykkelsen øges med 85 %? Spørgsmål (b): Nu er tykkelsen 8 cm. Hvor mnge procent skl tykkelsen øges for t vrmetbet bliver nedst med 37 %? Svr på (): Det tl der er 85 % større end 10, er 10 1,85 = 18,5 0,75 Det tl der er 85 % større end 10, er det tl der er 185 % f 10, dvs. det tl der er 1, 85 gnge 10. Når = 10 er y = = 960, % 0,75 Når = 18, 5 er y = ,5 = 605, ,5 Vi udregner hvor mnge procent y er blevet ændret: y 960,7 605,36 605,36 960,7 37% = 0, % 960,7 Vrmetbet nedsættes 37% når tykkelsen på 10 cm øges med 85 %. 0,75 Svr på (b): Når = 8 er y = = 1135, 1. Det tl der er 37 % mindre end 1135, 1, er 1135,1 0,63 = 715,18 Et tl er 37 % mindre end et ndet hvis det er 63 % f det ndet. Vi finder nu ud f hvd er, når y er 715,18: + 85 % 0,75 Vi løser ligningen 715,18 = ,81 og får = 14, 81. y 1135,1 715,18 Vi udregner hvor mnge procent er blevet ændret: 37% 14,81 8 = 0, %. 8 Når tykkelsen på 8 cm øges 85%, så nedsættes vrmetbet 37 %. Bemærkning: Af svrene på de to spørgsmål ser vi t unset om tykkelsen er 8 cm eller 10 cm, gælder: Når tykkelsen øges 85 %, så nedsættes vrmetbet 37 %. Dette kn også udtrykkes sådn: Når tykkelsen gnges med 1,85, så gnges vrmetbet med 0,63. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

13 Øvelse 4. Et dyr vokser sådn t 1,6 y =,7 hvor y er vægten i grm, og er længden i cm. () Længden blev målt tre gnge. Første gng vr længden cm, og nden gng vr længden 3 cm. Hvd vr vægten d dyrets længde første gng blev målt, og hvd vr vægten nden gng. (b) Hvor mnge procent er længden vokset fr første til nden måling, og hvor mnge procent er vægten vokset i smme periode? (c) Fr nden til tredje måling er vægten vokset 30%. Hvor mnge procent er længden vokset i smme periode? Eksempel 4.3 Bevis for 4.4 I denne opgve står både, b, k og t for tl som endnu ikke er oplyst. Ligningen (1) y = b viser smmenhængen mellem to vrible y og. Spørgsmål: Hvilken ændring sker i værdien f y, når ændrer værdi fr t til t k? Svr: Når = t er Når = t k er y = b t y = b ( t k) Vi ser t når værdien f ændres fr t til fr b t til Dvs. værdien f y k b t. bliver gnget med = b t k t k, så ændres værdien f y Af potensregel får vi ( t k) k når værdien f bliver gnget med k. = t k Bemærkning: D t ikke indgår i svret, gælder ltså t ligegyldig hvilken værdi strter med t hve, så vil y blive gnget med k når bliver gnget med k : k y k 0,94 Hvis = 0, 94 og k = 1, 7, er k = 1,7 = 1, 5 så hver gng bliver gnget med 1,7, så bliver y gnget med 1,5 dvs. hver gng øges 7 %, så bliver y øget med 5, %. Med udregningerne i svret på opgve 4.3 hr vi gjort rede for t følgende regel gælder: SÆTNING 4.4 Om en potenssmmenhæng y = b gælder for et positivt tl k: Hver gng bliver gnget med k, så bliver y gnget med k. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

14 Eksempel 4.5 For en cylinder hvor højden er lig dimeteren, gælder y = π 3 4 hvor y er rumfnget og er dimeteren. Spørgsmål (): Hvd sker der med rumfnget f sådn en cylinder når vi fordobler dimeteren? Spørgsmål (b): Hvor mnge procent større bliver rumfnget når vi gør dimeteren 0 % større? Svr på (): Når vi gnger med, så vil y blive gnget med 3 = 8 ifølge sætning 4.4. Dvs. rumfnget ottedobles når vi fordobler dimeteren. Svr på (b): Vi skl gnge dimeteren med 1,0 for t øge den 0 %. Når vi gnger med 1,0, så bliver y gnget med 1,0 3 = 1, 78 ifølge sætning 4.4. At y bliver gnget med 1,78, er det smme som t y bliver 7,8 % større. Dvs. rumfnget bliver 7,8% større når vi gør dimeteren 0 % større. Øvelse 4.6 Hvis vi sætter en vres pris op, så sælger vi mindre f den. For en bestemt vre gælder,11 y = , 10 9 hvor y er det beløb vi sælger for på én dg, og er prisen pr. pkke. (Enheden for og y er kr.). () Hvor mnge procent flder det beløb vi sælger for på én dg, hvis vi sætter prisen 0 % op? (b) Hvor mnge procent flder det beløb vi sælger for på én dg, hvis vi sætter prisen 40 % op? (c) Hvor mnge procent flder det beløb vi sælger for på én dg, hvis vi sætter prisen op fr 10 kr. til 0 kr.? Øvelse 4.7 Om nogle ksser gælder t højden er gnge bredden, og længden er 3 gnge bredden. () Hvis bredden er 5, hvd er så kssens overflde? (b) Skriv en ligning der viser smmenhængen mellem overflden y og bredden. (c) Hvd sker der med overflden når bredden fordobles? Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

15 5. Proportionle vrible Øvelse 5.1 På figuren kn du se hvd og y står for, og du kn flæse priser. () Vi udregner hvd vi i 00 skl gnge A's pris med for t få B's pris: : =. (b) 0 ( fcit fr ( ) ) =. (c) I 00 er y = (d) I 003 er y = (e) I 004 er y = (f) I 005 er y = (g) I 006 er y = Øvelse 5. () I 00 er = (b) I 00 er y = (c) I 00 er y = (d) I 003 er y = (e) I 004 er y = (f) I 005 er y = (g) I 006 er y = DEFINITION 5.3 Hvd er proportionle vrible? Om to vrible og y siger vi t y er proportionl med hvis y = k og k er det smme tl for lle værdier f. Bemærkning 5.4 Rmmen oplyser hvd ordet proportionl betyder. En oplysning om hvd et bestemt ord skl betyde, klder mn en DEFINITION. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

16 Øvelse 5.5 () Gælder for den viste årrække i øvelse 5.1 t y er proportionel med? Svr:. (b) Begrundelse for svret på (): Øvelse 5.6 () Gælder for den viste årrække i øvelse 5. t y er proportionel med? Svr:. (b) Begrundelse for svret på (): Øvelse 5.7 Smmenhængen mellem y og i øvelse 5.1 kn beskrives med ligningen y =. Øvelse 5.8 En vre fås i pkker f forskellig størrelse. Figuren viser priserne. 1 kg kg 5 kg 1 kg 30 kr. 60 kr. 150 kr. 360 kr. () Undersøg om prisen er proportionl med mængden. (b) Skriv en ligning der viser smmenhængen mellem pris og mængde. Husk t ligningen ikke giver nogen mening hvis du glemmer t skrive nogle ord om hvd y og står for. Øvelse 5.9 De vrible og y er proportionle y Vis hvordn mn kn udregne de mnglende tl i tbellen. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

17 Eksempel 5.10 Spørgsmål: Om to vrible og y er oplyst følgende: og y er proportionle. Desuden er oplyst følgende smmenhørende værdier f og y: Hvd er y når er 10? Hvd er når y er 15? y Svr: Bestemme k : D og y er proportionle, er der et tl k så (1) y = k. Vi strter med t finde ud f hvd k er for et tl. Så kn vi bruge dette tl til t besvre de to spørgsmål. I tbellen ser vi t når = 4 er y = 18. Dette indsætter vi i (1): 18 = 4 k Vi dividerer begge ligningens sider med 4: 18 4 = k 4 4 Herf får vi: 0,75 = k Der gælder ltså: () y = 0, 75 Bestemme y : For t finde y når er 10, sætter vi til 10 i (): y = 0,75 10 Herf får vi y = 7, 5 så y er 7,5 når er 10 Bestemme : For t finde når y er 15, sætter vi y til 15 i (): 15 = 0, 75 Vi dividerer begge ligningens sider med 0,75: 15 0,75 = 0,75 0,75 Herf får vi 0 = så er 0 når y er 15 Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

18 Øvelse 5.11 Om to proportionle vrible og y er oplyst t når er 1, så er y lig 719,40. () Hvd er y når er 19? (b) Hvd er når y er 1858,48? (c) Hvor mnge enheder bliver y større når ændres fr 1 til 13? Øvelse 5.1 De vrible og y er proportionle y Hvd skl der stå i de tomme pldser i tbellen? (Husk t skrive hvordn du regner dig frem til tllene). Øvelse 5.13 Figuren viser en stor og en lille firknt Hvis kn være enhver f siderne i den lille firknt, og y betegner den tilsvrende side i den store firknt, så er og y proportionle. Gør rede for dette, og skriv en ligning der viser smmenhængen mellem og y. Øvelse 5.14 En type fliser fås i fem størrelser. Bredde og længde er i mm, og pris er i kr.: b: 100 mm b: 10 mm b: 150 mm b: 10 mm b: 80 mm l: 140 mm l: 168 mm l: 10 mm l: 94 mm l: 39 mm 96,50 kr. 17,30 kr. 184,00 kr. 335,0 kr. 575,30 kr. () Er længden proportionl med bredden? (b) Er prisen proportionl med relet? Øvelse 5.15 I et computerspil regner mn den smlede gevinst ud ved t lægge den fste gevinst smmen med den vrible gevinst. Den fste gevinst er 30. Den vrible gevinst er proportionl med ntllet f krydser, og hvis ntllet f krydser er 5, er den vrible gevinst 8. () Hvd er den vrible gevinst når ntllet f krydser er 1? (b) Hvd er ntllet f krydser når den smlede gevinst er 47,6? Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

19 6. Omvendt proportionle vrible Øvelse 6.1 Vi hr 4 mønter til t købe te for. y = ntl enheder vi kn købe. () Hvis prisen pr. enhed er mønter, er y = =. Skriv hvd der skl stå over og under brøkstregen. (b) Hvis prisen pr. enhed er 3 mønter, er y = =. (c) Hvis prisen pr. enhed er 8 mønter, er y = =. (d) Hvis prisen pr. enhed er mønter, er y =. Øvelse 6. Vi kn ændre et rektngel, men relet bliver ved med t være 8. = rektnglets bredde y = rektnglets højde () Når = 4, er y = =. (b) Når =, er y = =. (c) Når = 1, er y = =. (d) Når = 0, 5, er y = =. DEFINITION 6.3 Om to vrible og y siger vi t hvis Hvd er omvendt proportionle vrible? y er omvendt proportionl med k y = og k er det smme tl for lle værdier f. Øvelse 6.4 () Hvilke f følgende smmenhænge hr smme y-tbel? 1 1 (1) y = 0 () y = (3) y = 0, 05 (4) y = 0 0 (b) I hvilke f disse smmenhænge gælder: y er omvendt proportionl med, og i hvilke f smmenhængene gælder: y er proportionl med? (5) 0 y =. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

20 Øvelse 6.5 En bestemt type flise fås i følgende fire udgver: 576 mm 576 mm 576 mm 576 mm 48 mm 36 mm 3 mm 4 mm Vi ser på følgende to vrible: = bredde (i mm) y = højde (i mm) () For lle fliserne gælder t y = og y = Brøkstreg (b) Hvis vi vælger en mindre bredde, så får vi en højde y. (c) Udfyld tbellen: y Øvelse 6.6 Den tid det tger t stille et skur op, fhænger f hvor mnge rbejdere der er: Hvis der er 4 rbejdere, tger det 3 timer. Hvis der er 3 rbejdere, tger det 4 timer. Hvis der er rbejdere, tger det 6 timer. Hvis der er 1 rbejder, tger det 14 timer. Find ud f om tid og ntl rbejdere er omvendt proportionle. Øvelse 6.7 En type rør fås i fem længder. Tbellen viser længde og dimeter for disse. Længde i mm Dimeter i mm ,5 Er længde og dimeter omvendt proportionle? Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

21 Eksempel 6.8 Spørgsmål: De vrible og y er omvendt proportionle. Hvd skl der stå på de tomme pldser i tbellen? 1 36 y Svr: Bestemme k : D og y er omvendt proportionle, er der et tl k så k (1) y =. Vi strter med t finde k så kn vi bruge dette tl til t finde de tre tl. I tbellen ser vi t når = 1 er y = 6. Dette indsætter vi i (1): k 6 = 1 Vi gnger begge ligningens sider med 1: k 6 1 = 1 1 Herf får vi: 7 = k Der gælder ltså: 7 () y = Bestemme y : For t finde y når er 36, sætter vi til 36 i (): 7 y = 36 Herf får vi y = så y er når er 36 Bestemme : For t finde når y er 9, sætter vi y til 9 i (): 7 9 = Vi gnger begge ligningens sider med : 7 9 = Vi forkorter nævneren væk: 9 = 7 Vi dividerer begge ligningens sider med 9: 9 7 = 9 9 Herf får vi = 8 så er 8 når y er 9 På tilsvrende måde får vi: er 4 når y er 3 Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

22 Øvelse 6.9 To vrible og y er omvendt proportionle. Når = 30 er y = 0. (1) Hvd er y når = 48? () Hvd er når y = 50? Øvelse 6.10 De vrible og y er omvendt proportionle y 45 Find ud f hvd der skl stå på de tomme pldser. Øvelse 6.11 På en skærm kn vi ændre et rektngel ved t trække i et punkt. Ligningen 1 y = viser smmenhængen mellem følgende vrible: = bredde y = højde () Hvd er højden når bredden er? (b) Hvor meget mindre bliver højden hvis vi ændrer bredden fr til 3? (c) Mn kn spørge om højden ftger lige meget hver gng bredden bliver 1 enhed større. Undersøg sgen og giv en nærmere beskrivelse f hvordn det forholder sig. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

23 7. Potensregression Eksempel 7.1 Spørgsmål: De målte tl i tbellen viser for et bestemt dyr smmenhængen mellem lder i døgn og længde i mm. Alder i døgn Længde i mm Bestem den potenssmmenhæng der psser bedst med de målte tl, og undersøg om denne smmenhæng er en god beskrivelse f de målte tl. Svr: Øvelse 7. En bestemt fisk vokser sådn t der med god tilnærmelse gælder y = b hvor er længden i cm, og y er vægten i grm. Mn hr målt følgende: Længde i cm 11, 1,7 14,4 17,5 0,8 Vægt i grm 16,3 3, 3,9 56,5 91,3 () Bestem og b så ligningen psser bedst muligt med de målte tl. (b) Brug ligningen til t udregne hvor mnge procent tungere fisken bliver når den bliver 0 % længere. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

24 Eksempel 7.3 Spørgsmål: Grfen for smmenhængen y = b går gennem punkterne ( 0,4, 7) og (, 1,1 ). Udregn og b. Svr: Øvelse 7.4 For en lyskilde gælder t (1) y = b hvor y er lysstyrken (målt i W/m ) og er fstnden til lyskilden (målt i cm). Vi måler t 4 cm fr lyskilden er lysstyrken 0,075 W/m 10 cm fr lyskilden er lysstyrken 0,01 W/m. () Hvilke f disse fire målte tl er -værdier, og hvilke er y-værdier? (b) Disse målte tl viser t grfen for smmenhængen (1) går gennem punkterne (, ) og (, ). (c) Udregn tllene og b i (1). Øvelse 7.5 Et bløddyr vokser sådn t y = b hvor y er overflden (målt i mm ) og er tykkelsen (målt i mm). Overflden er 54 mm når tykkelsen er,1 mm. Overflden er 890 mm når tykkelsen er 7,1 mm. () Udregn tllene og b. (b) Hvd er tykkelsen når overflden er 00 mm? (c) Hvd er overflden når tykkelsen er 10 mm? (d) Hvor mnge procent større bliver overflden større når tykkelsen bliver dobbelt så stor? Potenssmmenhænge, udgve Side 010 Krsten Juul

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning , i 1. Honningpriser Skemet viser vregt og priser pi dnsk og udenlndsk honning. o Hvor stor er prisen i lt for 2 brgre lynghonning og 3 bregre okologisk honning. o Hvor stor er forskellen i pris pi den

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf 013 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde.... 1 LineÄr väkst. LineÄr funktion... 3. LineÄr väkst... 4. Skriv

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Udgve 016 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst. LineÄr

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine.

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine. l. l(rb f dtmskine Pi overvejer t ksbe en dtmskine. Hvor meget ville Pi komme til t betle for dtmskinen PC 386, nar der betles 295 kr. pr. maned i36 maneder? Hvor meget ville hun spre ved t kobe kontnt?

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Måling. Omkreds Areal Rumfang Enheder Regnehistorier. 1 Mål og omskriv Mål trælisterne i centimeter, og omskriv til decimeter og centimeter.

Måling. Omkreds Areal Rumfang Enheder Regnehistorier. 1 Mål og omskriv Mål trælisterne i centimeter, og omskriv til decimeter og centimeter. Måling Omkreds Arel Rumfng Enheder Regnehistorier Milli =. 000 Centi = Dei = = 0,00 00 = 0,0 0 = 0, entimeter m kvdrtentimeter m 2 kuikentimeter m I det 8. århundrede lev måleenheden meter opfundet i Frnkrig.

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 Ligninger 1 3 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 2 c d e f 6 æg + 5 høns. 1 æle + 13 pærer. 5 myg + 1 flue. 6x + 5y + 13 3x + 5y 3 4 Gælder i nogle tilfælde. Gælder ltid. c Gælder

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal Tl Prisen på g uld tog tors d stte ny re kord i Lon g et stort spring op d og don med rende til.,, kron er per ounce dollr sv.000 (, grm )..00.000 Guld.00.000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 00 m Tlsyste Brøk

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Algebra, ligninger og uligheder

Algebra, ligninger og uligheder Alger, ligninger og uligheder I dette kpitel skl du rejde med ligninger og uligheder. Et esøg på Bkken kn give nledning til mnge overvejelser over priser. Det kunne fx være den smlede pris for turen og

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner

Læs mere

6 +15 4 = 17 3 + 30 2 = 31 11 + 15 12 7 = 13 7 13,57 S F. a : 2 b : 2 c : 2 d : 2 e : 2 f : 3. 1 Hvor mange led er der. a 2 + 5 + 11 5 + 22

6 +15 4 = 17 3 + 30 2 = 31 11 + 15 12 7 = 13 7 13,57 S F. a : 2 b : 2 c : 2 d : 2 e : 2 f : 3. 1 Hvor mange led er der. a 2 + 5 + 11 5 + 22 Hvor mnge led er der i hvert f disse regneudtryk? Beregn værdien f udtrykkene. ANTAL LED + 5 + 5 + 5 5 5 + + 9 5 c + 5 6 +5 = 7 d + 5 + 0 = e 5 5 8 5 6 = 800 6 = 78 f + 6,5 87 : 7 + 5 7 = 7,57 Forind udtrykkene

Læs mere

Alternative metoder til køling af løg

Alternative metoder til køling af løg inspire demoprojekt Alterntive metoder til køling f løg Af Merete Edelenbos, Arhus Universitet Anne Drre-Østergrd og Bstin Junker, AgroTech November 2013 1 Energiforbruget ved lngtidslgring f løg er højt,

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2 geometri exempler 4 m 3 m rel: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m 5 m 5 m rel: 5 5 = 25 m 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 m 8 dm 5 dm rel: 8 5 = 40 dm 2 8 dm 5 mm 4 mm 1 2 rel: 4 (5+9) = 28 mm 2 9 mm 7 km rel:

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R = Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Forskønnelsesplanen Det Nye Furesølund

Forskønnelsesplanen Det Nye Furesølund Forskønnelsesplnen Det Nye Furesølund Furesølund er trods sine mere end 40 år stdig et ttrktivt område. Men dmen er lidt slidt. Legepldserne flder smmen. Rækværket flmer, og grønne områder står gemt og

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere