Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul"

Transkript

1 Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul

2 Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1. Hvordn ser grfen ud for en potenssmmenhæng? Opgver hvor vi skl udregne eller y i y = b Hvordn kn vi udregne ændringer i y og for en potenssmmenhæng? Proportionle vrible Omvendt proportionle vrible Potensregression... 1 Potenssmmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible. udgve Krsten Juul Dette hæfte kn downlodes fr Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det smme sender en e-mil til som dels oplyser t dette hæfte benyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole.

3 1. Hvd er en potenssmmenhæng? Øvelse 1.1 På lommeregner eller computer (med mtemtikprogrm) kn vi tste en potens ved hjælp f eller potensskbelon.,1 0,5 1 3,1 = = 9 = 4 = ^ Øvelse 1. 1,5 1,5 4,8 3 Vi kn udregne rumfnget f en ksse ved t bruge reglen rumfng = længde bredde højde For kssen til højre er () rumfng = = 4 For kssen til venstre er (b) rumfng = = Vi hr nogle ksser hvor grundflden er et kvdrt. Højden er 4 gnge siden i grundflden. (c) Når siden i grundflden er, er rumfng = = (d) Når siden i grundflden er 5, er rumfng = = (e) Når siden i grundflden er, er rumfng = = (f ) Udfyld tbellen: En bestemt type orm vokser sådn t når tykkelsen er 1, er rumfnget 4. Hvis denne orm bevrer sin fcon når den vokser, så vil der gælde: når tykkelsen er, så er rumfnget 4 3, men det viser sig t ormen efterhånden får en mere flng fcon. Mn hr målt følgende længder og rumfng (med en pssende enhed): længde rumfng (g) Prøv dig frem med ndre eksponenter end 3, og find en eksponent som psser med de målte tl (tllene er frundet til hele tl). Eksponenten skl være. (h) Når = tykkelse og y = rumfng, er y = b hvor = og b =. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

4 Øvelse 1.3 Vi hr 600 kr. til t købe bær. () Hvis prisen pr. kg er 4 kr., så kn vi købe (b) Hvis prisen pr. kg er 30 kr., så kn vi købe (c) Hvis prisen pr. kg er kr., så kn vi købe (d) Udfyld tbellen: kg. kg. kg ,5 600 (e) Udfyld tbellen: , (f ) Når = kg-pris og y = ntl kg vi kn købe, er y = b hvor = og b =. Øvelse 1.4 Et rektngel på en skærm hr den egenskb t når vi ændrer dets størrelse, så vedbliver bredden t være 4 gnge højden. Rektnglet kn ltså deles op i 4 kvdrter hvis side er højden i rektnglet. () Når rektnglets relet er 4, så er højden. (b) Når rektnglets relet er 16, så er højden. (c) Når rektnglets relet er 36, så er højden. (d) Når = 4, så er 0,5 =. (e) Når = 16, så er 0,5 =. (f) Når = 36, så er 0,5 =. 0,5 (g) Der gælder y = 0.5 hvor = rektnglets og y = rektnglets. (h) y = b hvor = og b =. 0,5 0,5 0,5 DEFINITION 1.5 Hvd er en potenssmmenhæng? Vi klder en smmenhæng for en potenssmmenhæng hvis vi kn beskrive den med en ligning som vi kn få ved t indsætte bestemte tl for og b i ligningen (1) y = b hvor b skl være positiv. Bemærkning 1.6 I øvelse er der fire eksempler på nvendelse f potenssmmenhænge. Potenssmmenhænge, udgve Side 010 Krsten Juul

5 Eksempel 1.7 Spørgsmål: Ligningen,6 () y = 1, 4 viser en smmenhæng mellem to vrible y og. Hvilke tl skl vi indsætte for og b i ligningen y = b for t få smmenhængen ()? Svr: Vi skl sætte =,6 og b = 1, 4 for når vi gør det, får vi ligningen y = 1,4,6 som kn omskrives til ligningen (). Bemærkning: Ovenfor viste vi t ligningen () kn fås ved t sætte bestemte tl ind for og b i ligning (1) i definition 1.5, dvs. vi viste t () er en potenssmmenhæng. Øvelse 1.8 Hver f følgende smmenhænge kn vi få ved t sætte tl ind for og b i ligningen Angiv i hvert tilfælde hvd der skl indsættes for og b. 3 (1) y = 4 () = 4 0,4 y 3 (3) y = (4) y = 3. y = b. Eksempel 1.9 Spørgsmål: Et kvdrtisk område dækkes med kvdrtiske kkler der hver vejer 38 enheder. () Hvilken udregning skl vi foretge for t beregne vægten f kklerne hvis området er kkler bredt (og højt)? (b) Hvilken udregning skl vi foretge for t beregne vægten f kklerne hvis området er 3 kkler bredt? (c) Hvilken udregning skl vi foretge for t beregne vægten f kklerne hvis området er 8 kkler bredt? (d) Opskriv en ligning til beregning f vægten y når bredden er kendt. Svr: () 38. (b) (c) (d) y = 38. Bemærkning: Smmenhængen y = 38 er en potenssmmenhæng. Dette følger f definition 1.5 d vi får ligningen y = 38 når vi i y = b indsætter = og b = 38. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

6 Eksempel 1.10 Spørgsmålene drejer sig om smmenhængen fr eksempel 1.9, ltså y = 38 hvor y er vægten f kklerne (i en pssende enhed) og er områdets bredde (målt i ntl kkler). Spørgsmål: () Hvd er vægten når bredden er t? (b) Hvd er vægten når bredden er t? (c) Hvd skl vi gnge fcit i () med for t få fcit i (b)? Svr: () Når bredden er t, er vægten y = 38 t. (b) Vi får Nspire til t udregne 38 når er t og får: Når bredden er t, er vægten y = 95 t. 95 t (c) = 4, så vi skl gnge fcit i () med 4 for t få fcit i (b), 38 t dvs. vægten firedobles når bredden fordobles. Bemærkning: Når bredden er t, er vægten y = 38 ( t ) = 38 t = 38 t 4. Øvelse 1.11 Om nogle ksser gælder: Bredden er 3 gnge højden. Længden er 5 gnge højden. () Når højden er, hvd er så bredden? og længden? og rumfnget? (b) Opskriv en ligning til beregning f rumfnget y når højden er kendt. (c) Når højden er t, hvd er så rumfnget? (d) Når højden er t, hvd er så rumfnget? (e) Hvd sker der med rumfnget når højden fordobles? Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

7 . Hvordn ser grfen ud for en potenssmmenhæng? Eksempel.1: Spørgsmål: Følgende tre smmenhænge er lle potenssmmenhænge (ifølge definition 1.5). 1, 9 I: y = 0,5 II: y = 0,4 0.8 III: y = Tegn grferne for de tre smmenhænge. Svr: Ved hjælp f et elektronisk hjælpemiddel eller ved t udregne støttepunkter kn vi tegne grferne. I II III Bemærkning: Af grferne ses t de to smmenhænge hvor er positiv, er voksende, og den smmenhæng hvor er negtiv, er ftgende. SÆTNING. Eksponenten fortæller om en potenssmmenhæng er voksende eller ftgende. En potenssmmenhæng y = b er ftgende hvis er negtiv og voksende hvis er positiv. Øvelse.3 () Smmenhængen (b) Smmenhængen (c) Smmenhængen (d) Smmenhængen (e) Smmenhængen y = 15 er voksende d d eksponenten er er positiv. 0, y = 3 er d. y = er d. 4 0,11 y = er d. 8 y = 0,1 er d. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

8 Eksempel.4 Dobbeltlogritmisk koordintsystem I koordintsystemet nedenfor til højre er hver f kserne en speciel type der kldes en logritmisk kse. Et koordintsystem kldes et dobbeltlogritmisk koordintsystem hvis begge kser er logritmiske. Spørgsmål: Svr: Tegn grfen for smmenhængen ovenfor. y = i begge koordintsystemerne 5 1,16 Vi udregner nogle støttepunkter og fsætter de fundne punkter i begge koordintsystemer. y = 5 1,16 y = 5 1,16 Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

9 SÆTNING.5 Grfen for en potenssmmenhæng er en ret linje i et dobbeltlogritmisk koordintsystem. Bemærkning.6 Når vi ser koordintsystemer i viser, tidsskrifter og lærebøger i forskellige fg, skl vi se efter om kserne er sædvnlige, så vi ikke tror t en smmenhæng er lineær når grfen er en ret linje i et dobbeltlogritmisk (eller enkeltlogritmisk) koordintsystem. Øvelse.7 Grfen viser smmenhængen mellem to vrible og y. Der er tle om en potenssmmenhæng. I et sædvnligt koordintsystem ville grfen være en krum kurve. () Når = 1, er y =. (b) Når =, er y =. (c) Når ændres fr 1 til, så vil y blive enheder større. (d) Når ændres fr til 3, så vil y blive enheder større. (e) Når ændres fr 3 til 4, så vil y blive enheder større. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

10 3. Opgver hvor vi skl udregne eller y i y = b Eksempel 3.1 For nogle dyr gælder (1) y = 0,4,8 hvor y er vægten, målt i grm, og er længden, målt i cm. Spørgsmål (): Hvd er vægten f et dyr hvis længde er 3 cm? Spørgsmål (b): Hvd er længden f et dyr hvis vægt er 0,5 g? Svr på (): Under ligningen (1) står t er længden, så d det oplyste tl 3 er længden, skl 3 indsættes på 's plds: y = 0,4 3,8 Ved t udregne dette får vi y = 5, Under ligningen (1) står t y er vægten, så et 3 cm lngt dyr vejer 5, g. Svr på (b): Under ligningen (1) står t y er vægten, så d det oplyste tl 0,5 er vægten, skl 0,5 Uden solve indsættes på y's plds: 0,5 = 0,4,8 For t løse denne ligning mht. strter vi med t dividere begge sider med 0,4:,8 0,5 0,4 = 0,4 0,4 Vi forkorter brøken på højre side og får 0,5,8 = 0,4 Denne ligning hr løsningen =,8 0,5 0,4 Ved t udregne dette får vi = 1,3 Under ligningen (1) står t er længden, så et dyr hvis vægt er 0,5 g, hr længden 1,3 cm. Svr på (b): Med solve Se næste side! Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

11 Svr på (b): Under ligningen (1) står t y er vægten, så d det oplyste tl 0,5 er vægten, skl 0,5 Med solve indsættes på y's plds: 0,5 = 0,4,8 Vi får Nspire til t løse denne ligning mht. og får = 1,997. Under ligningen (1) står t er længden, så et dyr hvis vægt er 0,5 g, hr længden 1,3 cm. Øvelse 3. Antllet f dyr i en indhegning fhænger f dyrenes længde. Der gælder,3 y = 5800 hvor y er ntl dyr i indhegningen, og er dyrenes længde, målt i cm. () Hvor mnge dyr er der i indhegningen, hvis dyrenes længde er 6 cm? (b) Hvd er dyrenes længde når der er 19 dyr i indhegningen? Øvelse 3.3 Smmenhængen mellem tykkelse og længde for visse stængler kn beskrives ved ligningen y = 13 0,7 hvor y er længden i cm, og er tykkelsen i mm. Hvor tyk er en 100 cm lng stængel? Øvelse 3.4 Prisen for nogle figurer er fstlgt ved y = 0 3,5 hvor y er prisen i kr. og er højden i cm. En gul figur er 3 cm høj, en rød figur er 5 cm høj, og en blå figur er 7 cm høj. () Hvor mnge kroner er den røde dyrere end den gule? (b) Hvor mnge kroner er den blå dyrere end den røde? (c) Hvor mnge procent er den røde dyrere end den gule? (d) Hvor mnge procent er den blå dyrere end den røde? Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

12 4. Hvordn kn vi udregne ændringer i y og for en potenssmmenhæng? Eksempel 4.1 For en bestemt bolig kn vi udregne det årlige vrmetb gennem loftet ved hjælp f ligningen 0,75 y = 5400 hvor y er vrmetbet i kwh og er tykkelsen i cm f isoleringen. Spørgsmål (): Nu er tykkelsen 10 cm. Hvor mnge procent vil vrmetbet nedsættes hvis tykkelsen øges med 85 %? Spørgsmål (b): Nu er tykkelsen 8 cm. Hvor mnge procent skl tykkelsen øges for t vrmetbet bliver nedst med 37 %? Svr på (): Det tl der er 85 % større end 10, er 10 1,85 = 18,5 0,75 Det tl der er 85 % større end 10, er det tl der er 185 % f 10, dvs. det tl der er 1, 85 gnge 10. Når = 10 er y = = 960, % 0,75 Når = 18, 5 er y = ,5 = 605, ,5 Vi udregner hvor mnge procent y er blevet ændret: y 960,7 605,36 605,36 960,7 37% = 0, % 960,7 Vrmetbet nedsættes 37% når tykkelsen på 10 cm øges med 85 %. 0,75 Svr på (b): Når = 8 er y = = 1135, 1. Det tl der er 37 % mindre end 1135, 1, er 1135,1 0,63 = 715,18 Et tl er 37 % mindre end et ndet hvis det er 63 % f det ndet. Vi finder nu ud f hvd er, når y er 715,18: + 85 % 0,75 Vi løser ligningen 715,18 = ,81 og får = 14, 81. y 1135,1 715,18 Vi udregner hvor mnge procent er blevet ændret: 37% 14,81 8 = 0, %. 8 Når tykkelsen på 8 cm øges 85%, så nedsættes vrmetbet 37 %. Bemærkning: Af svrene på de to spørgsmål ser vi t unset om tykkelsen er 8 cm eller 10 cm, gælder: Når tykkelsen øges 85 %, så nedsættes vrmetbet 37 %. Dette kn også udtrykkes sådn: Når tykkelsen gnges med 1,85, så gnges vrmetbet med 0,63. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

13 Øvelse 4. Et dyr vokser sådn t 1,6 y =,7 hvor y er vægten i grm, og er længden i cm. () Længden blev målt tre gnge. Første gng vr længden cm, og nden gng vr længden 3 cm. Hvd vr vægten d dyrets længde første gng blev målt, og hvd vr vægten nden gng. (b) Hvor mnge procent er længden vokset fr første til nden måling, og hvor mnge procent er vægten vokset i smme periode? (c) Fr nden til tredje måling er vægten vokset 30%. Hvor mnge procent er længden vokset i smme periode? Eksempel 4.3 Bevis for 4.4 I denne opgve står både, b, k og t for tl som endnu ikke er oplyst. Ligningen (1) y = b viser smmenhængen mellem to vrible y og. Spørgsmål: Hvilken ændring sker i værdien f y, når ændrer værdi fr t til t k? Svr: Når = t er Når = t k er y = b t y = b ( t k) Vi ser t når værdien f ændres fr t til fr b t til Dvs. værdien f y k b t. bliver gnget med = b t k t k, så ændres værdien f y Af potensregel får vi ( t k) k når værdien f bliver gnget med k. = t k Bemærkning: D t ikke indgår i svret, gælder ltså t ligegyldig hvilken værdi strter med t hve, så vil y blive gnget med k når bliver gnget med k : k y k 0,94 Hvis = 0, 94 og k = 1, 7, er k = 1,7 = 1, 5 så hver gng bliver gnget med 1,7, så bliver y gnget med 1,5 dvs. hver gng øges 7 %, så bliver y øget med 5, %. Med udregningerne i svret på opgve 4.3 hr vi gjort rede for t følgende regel gælder: SÆTNING 4.4 Om en potenssmmenhæng y = b gælder for et positivt tl k: Hver gng bliver gnget med k, så bliver y gnget med k. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

14 Eksempel 4.5 For en cylinder hvor højden er lig dimeteren, gælder y = π 3 4 hvor y er rumfnget og er dimeteren. Spørgsmål (): Hvd sker der med rumfnget f sådn en cylinder når vi fordobler dimeteren? Spørgsmål (b): Hvor mnge procent større bliver rumfnget når vi gør dimeteren 0 % større? Svr på (): Når vi gnger med, så vil y blive gnget med 3 = 8 ifølge sætning 4.4. Dvs. rumfnget ottedobles når vi fordobler dimeteren. Svr på (b): Vi skl gnge dimeteren med 1,0 for t øge den 0 %. Når vi gnger med 1,0, så bliver y gnget med 1,0 3 = 1, 78 ifølge sætning 4.4. At y bliver gnget med 1,78, er det smme som t y bliver 7,8 % større. Dvs. rumfnget bliver 7,8% større når vi gør dimeteren 0 % større. Øvelse 4.6 Hvis vi sætter en vres pris op, så sælger vi mindre f den. For en bestemt vre gælder,11 y = , 10 9 hvor y er det beløb vi sælger for på én dg, og er prisen pr. pkke. (Enheden for og y er kr.). () Hvor mnge procent flder det beløb vi sælger for på én dg, hvis vi sætter prisen 0 % op? (b) Hvor mnge procent flder det beløb vi sælger for på én dg, hvis vi sætter prisen 40 % op? (c) Hvor mnge procent flder det beløb vi sælger for på én dg, hvis vi sætter prisen op fr 10 kr. til 0 kr.? Øvelse 4.7 Om nogle ksser gælder t højden er gnge bredden, og længden er 3 gnge bredden. () Hvis bredden er 5, hvd er så kssens overflde? (b) Skriv en ligning der viser smmenhængen mellem overflden y og bredden. (c) Hvd sker der med overflden når bredden fordobles? Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

15 5. Proportionle vrible Øvelse 5.1 På figuren kn du se hvd og y står for, og du kn flæse priser. () Vi udregner hvd vi i 00 skl gnge A's pris med for t få B's pris: : =. (b) 0 ( fcit fr ( ) ) =. (c) I 00 er y = (d) I 003 er y = (e) I 004 er y = (f) I 005 er y = (g) I 006 er y = Øvelse 5. () I 00 er = (b) I 00 er y = (c) I 00 er y = (d) I 003 er y = (e) I 004 er y = (f) I 005 er y = (g) I 006 er y = DEFINITION 5.3 Hvd er proportionle vrible? Om to vrible og y siger vi t y er proportionl med hvis y = k og k er det smme tl for lle værdier f. Bemærkning 5.4 Rmmen oplyser hvd ordet proportionl betyder. En oplysning om hvd et bestemt ord skl betyde, klder mn en DEFINITION. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

16 Øvelse 5.5 () Gælder for den viste årrække i øvelse 5.1 t y er proportionel med? Svr:. (b) Begrundelse for svret på (): Øvelse 5.6 () Gælder for den viste årrække i øvelse 5. t y er proportionel med? Svr:. (b) Begrundelse for svret på (): Øvelse 5.7 Smmenhængen mellem y og i øvelse 5.1 kn beskrives med ligningen y =. Øvelse 5.8 En vre fås i pkker f forskellig størrelse. Figuren viser priserne. 1 kg kg 5 kg 1 kg 30 kr. 60 kr. 150 kr. 360 kr. () Undersøg om prisen er proportionl med mængden. (b) Skriv en ligning der viser smmenhængen mellem pris og mængde. Husk t ligningen ikke giver nogen mening hvis du glemmer t skrive nogle ord om hvd y og står for. Øvelse 5.9 De vrible og y er proportionle y Vis hvordn mn kn udregne de mnglende tl i tbellen. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

17 Eksempel 5.10 Spørgsmål: Om to vrible og y er oplyst følgende: og y er proportionle. Desuden er oplyst følgende smmenhørende værdier f og y: Hvd er y når er 10? Hvd er når y er 15? y Svr: Bestemme k : D og y er proportionle, er der et tl k så (1) y = k. Vi strter med t finde ud f hvd k er for et tl. Så kn vi bruge dette tl til t besvre de to spørgsmål. I tbellen ser vi t når = 4 er y = 18. Dette indsætter vi i (1): 18 = 4 k Vi dividerer begge ligningens sider med 4: 18 4 = k 4 4 Herf får vi: 0,75 = k Der gælder ltså: () y = 0, 75 Bestemme y : For t finde y når er 10, sætter vi til 10 i (): y = 0,75 10 Herf får vi y = 7, 5 så y er 7,5 når er 10 Bestemme : For t finde når y er 15, sætter vi y til 15 i (): 15 = 0, 75 Vi dividerer begge ligningens sider med 0,75: 15 0,75 = 0,75 0,75 Herf får vi 0 = så er 0 når y er 15 Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

18 Øvelse 5.11 Om to proportionle vrible og y er oplyst t når er 1, så er y lig 719,40. () Hvd er y når er 19? (b) Hvd er når y er 1858,48? (c) Hvor mnge enheder bliver y større når ændres fr 1 til 13? Øvelse 5.1 De vrible og y er proportionle y Hvd skl der stå i de tomme pldser i tbellen? (Husk t skrive hvordn du regner dig frem til tllene). Øvelse 5.13 Figuren viser en stor og en lille firknt Hvis kn være enhver f siderne i den lille firknt, og y betegner den tilsvrende side i den store firknt, så er og y proportionle. Gør rede for dette, og skriv en ligning der viser smmenhængen mellem og y. Øvelse 5.14 En type fliser fås i fem størrelser. Bredde og længde er i mm, og pris er i kr.: b: 100 mm b: 10 mm b: 150 mm b: 10 mm b: 80 mm l: 140 mm l: 168 mm l: 10 mm l: 94 mm l: 39 mm 96,50 kr. 17,30 kr. 184,00 kr. 335,0 kr. 575,30 kr. () Er længden proportionl med bredden? (b) Er prisen proportionl med relet? Øvelse 5.15 I et computerspil regner mn den smlede gevinst ud ved t lægge den fste gevinst smmen med den vrible gevinst. Den fste gevinst er 30. Den vrible gevinst er proportionl med ntllet f krydser, og hvis ntllet f krydser er 5, er den vrible gevinst 8. () Hvd er den vrible gevinst når ntllet f krydser er 1? (b) Hvd er ntllet f krydser når den smlede gevinst er 47,6? Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

19 6. Omvendt proportionle vrible Øvelse 6.1 Vi hr 4 mønter til t købe te for. y = ntl enheder vi kn købe. () Hvis prisen pr. enhed er mønter, er y = =. Skriv hvd der skl stå over og under brøkstregen. (b) Hvis prisen pr. enhed er 3 mønter, er y = =. (c) Hvis prisen pr. enhed er 8 mønter, er y = =. (d) Hvis prisen pr. enhed er mønter, er y =. Øvelse 6. Vi kn ændre et rektngel, men relet bliver ved med t være 8. = rektnglets bredde y = rektnglets højde () Når = 4, er y = =. (b) Når =, er y = =. (c) Når = 1, er y = =. (d) Når = 0, 5, er y = =. DEFINITION 6.3 Om to vrible og y siger vi t hvis Hvd er omvendt proportionle vrible? y er omvendt proportionl med k y = og k er det smme tl for lle værdier f. Øvelse 6.4 () Hvilke f følgende smmenhænge hr smme y-tbel? 1 1 (1) y = 0 () y = (3) y = 0, 05 (4) y = 0 0 (b) I hvilke f disse smmenhænge gælder: y er omvendt proportionl med, og i hvilke f smmenhængene gælder: y er proportionl med? (5) 0 y =. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

20 Øvelse 6.5 En bestemt type flise fås i følgende fire udgver: 576 mm 576 mm 576 mm 576 mm 48 mm 36 mm 3 mm 4 mm Vi ser på følgende to vrible: = bredde (i mm) y = højde (i mm) () For lle fliserne gælder t y = og y = Brøkstreg (b) Hvis vi vælger en mindre bredde, så får vi en højde y. (c) Udfyld tbellen: y Øvelse 6.6 Den tid det tger t stille et skur op, fhænger f hvor mnge rbejdere der er: Hvis der er 4 rbejdere, tger det 3 timer. Hvis der er 3 rbejdere, tger det 4 timer. Hvis der er rbejdere, tger det 6 timer. Hvis der er 1 rbejder, tger det 14 timer. Find ud f om tid og ntl rbejdere er omvendt proportionle. Øvelse 6.7 En type rør fås i fem længder. Tbellen viser længde og dimeter for disse. Længde i mm Dimeter i mm ,5 Er længde og dimeter omvendt proportionle? Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

21 Eksempel 6.8 Spørgsmål: De vrible og y er omvendt proportionle. Hvd skl der stå på de tomme pldser i tbellen? 1 36 y Svr: Bestemme k : D og y er omvendt proportionle, er der et tl k så k (1) y =. Vi strter med t finde k så kn vi bruge dette tl til t finde de tre tl. I tbellen ser vi t når = 1 er y = 6. Dette indsætter vi i (1): k 6 = 1 Vi gnger begge ligningens sider med 1: k 6 1 = 1 1 Herf får vi: 7 = k Der gælder ltså: 7 () y = Bestemme y : For t finde y når er 36, sætter vi til 36 i (): 7 y = 36 Herf får vi y = så y er når er 36 Bestemme : For t finde når y er 9, sætter vi y til 9 i (): 7 9 = Vi gnger begge ligningens sider med : 7 9 = Vi forkorter nævneren væk: 9 = 7 Vi dividerer begge ligningens sider med 9: 9 7 = 9 9 Herf får vi = 8 så er 8 når y er 9 På tilsvrende måde får vi: er 4 når y er 3 Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

22 Øvelse 6.9 To vrible og y er omvendt proportionle. Når = 30 er y = 0. (1) Hvd er y når = 48? () Hvd er når y = 50? Øvelse 6.10 De vrible og y er omvendt proportionle y 45 Find ud f hvd der skl stå på de tomme pldser. Øvelse 6.11 På en skærm kn vi ændre et rektngel ved t trække i et punkt. Ligningen 1 y = viser smmenhængen mellem følgende vrible: = bredde y = højde () Hvd er højden når bredden er? (b) Hvor meget mindre bliver højden hvis vi ændrer bredden fr til 3? (c) Mn kn spørge om højden ftger lige meget hver gng bredden bliver 1 enhed større. Undersøg sgen og giv en nærmere beskrivelse f hvordn det forholder sig. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

23 7. Potensregression Eksempel 7.1 Spørgsmål: De målte tl i tbellen viser for et bestemt dyr smmenhængen mellem lder i døgn og længde i mm. Alder i døgn Længde i mm Bestem den potenssmmenhæng der psser bedst med de målte tl, og undersøg om denne smmenhæng er en god beskrivelse f de målte tl. Svr: Øvelse 7. En bestemt fisk vokser sådn t der med god tilnærmelse gælder y = b hvor er længden i cm, og y er vægten i grm. Mn hr målt følgende: Længde i cm 11, 1,7 14,4 17,5 0,8 Vægt i grm 16,3 3, 3,9 56,5 91,3 () Bestem og b så ligningen psser bedst muligt med de målte tl. (b) Brug ligningen til t udregne hvor mnge procent tungere fisken bliver når den bliver 0 % længere. Potenssmmenhænge, udgve Side Krsten Juul

24 Eksempel 7.3 Spørgsmål: Grfen for smmenhængen y = b går gennem punkterne ( 0,4, 7) og (, 1,1 ). Udregn og b. Svr: Øvelse 7.4 For en lyskilde gælder t (1) y = b hvor y er lysstyrken (målt i W/m ) og er fstnden til lyskilden (målt i cm). Vi måler t 4 cm fr lyskilden er lysstyrken 0,075 W/m 10 cm fr lyskilden er lysstyrken 0,01 W/m. () Hvilke f disse fire målte tl er -værdier, og hvilke er y-værdier? (b) Disse målte tl viser t grfen for smmenhængen (1) går gennem punkterne (, ) og (, ). (c) Udregn tllene og b i (1). Øvelse 7.5 Et bløddyr vokser sådn t y = b hvor y er overflden (målt i mm ) og er tykkelsen (målt i mm). Overflden er 54 mm når tykkelsen er,1 mm. Overflden er 890 mm når tykkelsen er 7,1 mm. () Udregn tllene og b. (b) Hvd er tykkelsen når overflden er 00 mm? (c) Hvd er overflden når tykkelsen er 10 mm? (d) Hvor mnge procent større bliver overflden større når tykkelsen bliver dobbelt så stor? Potenssmmenhænge, udgve Side 010 Krsten Juul

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND Cross Boule 1 Forord Cross Boule når som helst og hvor som helst Dnsk Arejder Idrætsforund er glde for t kunne præsentere Cross Boule - et oldspil, hvor lle kn være med. Spillet

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS INTERNATIONAL KLASSIFIKATION AF FUNKTIONSEVNE, FUNKTIONSEVNENEDSÆTTELSE OG HELBREDSTILSTAND Udrbejdet f MrselisborgCentret, 2005 En spørgeskemundersøgelse

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

BIH FOREBYGGELSE AF REVNER. Notat. Vejledningen omfatter: Konstruktive forhold...side 3-6. Svind i letbeton og beton...side 7. Udtørring...

BIH FOREBYGGELSE AF REVNER. Notat. Vejledningen omfatter: Konstruktive forhold...side 3-6. Svind i letbeton og beton...side 7. Udtørring... Nott FOREBYGGELSE AF REVNER Vejledningen omftter: Konstruktive forhold...side 3-6 Svind i letbeton og beton...side 7 Udtørring...side 8-9 Fugtmåling...side 10 Mlerbehndling...side 11 Fliseopsætning...side

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

gratis magasin Opskrifter på lækker og hurtig mad Friske frosne grøntsager & frugt hele året rundt n u m m e r 01 / 2 012

gratis magasin Opskrifter på lækker og hurtig mad Friske frosne grøntsager & frugt hele året rundt n u m m e r 01 / 2 012 minus 18 grtis mgsin o Opskrifter på lækker og hurtig md Friske frosne grøntsger & frugt hele året rundt n u m m e r 01 / 2 012 En frisk verden på frost 2 Let middgsmden med frosne grøntsger Md med mnge

Læs mere

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne?

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne? Pleje f fugtige vedvrende græsreler ved komintion f græssende kvæg og mskiner Hvd sker der med plnterne? Liseth Nielsen og Ann Bodil Hld, Ntur & Lndrug ApS www.ntln.dk I det følgende eskrives: Opsummering

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Brandsikring af ventilationskanaler

Brandsikring af ventilationskanaler Brndsikring f ventiltionsknler Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 November 2 010 Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 3. udgve, 2009 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Runde knler

Læs mere

Exitforløb for kriminalitetstruede unge

Exitforløb for kriminalitetstruede unge Exitforløb for kriminlitetstruede unge Exit Nu tilbyder et exitforløb til kriminlitetstruede unge i lderen 15-29 år. Vi rbejder indenfor lovgivningen omkring fst kontktperson, efterværn, bostøtte og mentorstøtte

Læs mere

Hva ka jeg bruge mine fødder til? 2. oplag

Hva ka jeg bruge mine fødder til? 2. oplag Rytmik Grete Downlodversion i Den Dynmiske Trio Grete Møller Andersen Vivi Grøn Sune Slminen Hv k jeg bruge mine fødder til? 2. oplg Rytmik Grete i Den Dynmiske Trio Grete Møller Andersen Vivi Grøn Sune

Læs mere

Projektstyring. Dag 5

Projektstyring. Dag 5 Akdemifget Projektstyring Dg 5 m/u PRINCE2 Foundtion certificering i smrbejde med PRINCE2 is Registered Trde Mrk of the Office of Government Commerce in the United Kingdom nd other countries. Humn fctor

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP... 2 1.Bggrund... 2 2.Køekrftpritet hvd er det?... 2 3.Formål og orgnistion... 3 4.Brugere og nvendelsesområder... 3

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

VIESMANN. VITOPLEX 100-LS Lavtryksdampkedel Dampydelse 0,26 til 2,2 t/h Nominel varmeydelse 170 til 1450 kw. Datablad. VITOPLEX 100-LS Type SXD

VIESMANN. VITOPLEX 100-LS Lavtryksdampkedel Dampydelse 0,26 til 2,2 t/h Nominel varmeydelse 170 til 1450 kw. Datablad. VITOPLEX 100-LS Type SXD VIESMANN VITOPLEX 100-LS Lvtryksdmpkedel Dmpydelse 0,26 til 2,2 t/h Nominel vrmeydelse 170 til 1450 kw Dtbld Best.nr.: se prislisten, priser oplyses på forespørgsel VITOPLEX 100-LS Type SXD Olie-/gs-tretrækskedel

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 4. udgve, 2011 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 1 2013 Runde

Læs mere

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Blowerdoor test med Termograferingsrapport

Blowerdoor test med Termograferingsrapport Blowerdoor test med Termogrferingsrpport For Skætterivej 53 4300 Holbæk. Udført d. 6.2 & 12.2.12008 Af Ole Lentz Hnsen Sknsehgevej 5, 4581 Rørvig. Tlf.: 59 91 94 80 & 61 60 43 86 www.olelentz.dk mil@olelentz.dk

Læs mere

Forfatterhåndbog. 72214_forfatterhaand_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17

Forfatterhåndbog. 72214_forfatterhaand_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17 Forftterhåndbog 72214_forftterhnd_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17 Er mnuskriptet klr til indlevering? Alle niveuer i teksten er mrkeret klrt med smme skriftstørrelse og skrifttype for hvert niveu. Evt. tl-

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

LQ hl&itqi,ie. AlaN(JHaqs.en 19.ÅRGANG. Så er det tid til betaling af kontingent.

LQ hl&itqi,ie. AlaN(JHaqs.en 19.ÅRGANG. Så er det tid til betaling af kontingent. Reserveret Post nmrk Så er det tid til betling f kontingent. Hvidovre LQ hl&itqi,ie 19.ÅRGANG AlN(JHqs.en A ') te1re rt EBRUAR 21 265 Hvidovre Medlemmerne hr i læsende stund fået tilsendt opkrævningen.

Læs mere

Grafisk Design give-aways 2

Grafisk Design give-aways 2 Grfk Degn k f r G Degn y w e v g 2 Grfk Degn ntore 3 Grfk Degn outdoor 4 k f r G Degn onlne 5 Grfk Degn Redegørele Opgven Jeg kulle mmen med en f vore AD'ere - Rmu, lve et oplæg tl Skorngen hvor v vlgte

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Elementær Matematik. Rumgeometri

Elementær Matematik. Rumgeometri Elementær Mtemtik Rumgeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gmnsium 8 Inhol. Koorintsstem i rummet.... Vektorer i rummet.... Sklrproukt.... Prmeterfremstilling for en linie i rummet...5. Krsproukt f to vektorer...6.

Læs mere

abc Resultat af foranalysen vedrørende en reduktion af den danske stats aktiepost i Post Danmark A/S

abc Resultat af foranalysen vedrørende en reduktion af den danske stats aktiepost i Post Danmark A/S bc Resultt f fornlysen vedrørende en reduktion f den dnske stts ktiepost i Post Dnmrk A/S Mj 2003 Vigtigt Oplysningerne i dette dokument er uddrg fr eller bseret på oplysninger, som NM Rothschild & Sons

Læs mere

AIRCONDITIONANLÆG Til almindelig brug

AIRCONDITIONANLÆG Til almindelig brug OWNER S MANUAL BRUGERVEJLEDNING AIRCONDITIONANLÆG Til lmindelig brug (SPLIT TYPE) DANSK DN Indendørs enhed RAS-07PKVP-E RAS-10PKVP-E RAS-13PKVP-E RAS-16PKVP-E RAS-18PKVP-E RAS-07PKVP-ND RAS-10PKVP-ND RAS-13PKVP-ND

Læs mere

japm MEl) l'nderstottelse AF DEN HJELMSTJERNE-ROSENKRONESKE STIFTELSE.

japm MEl) l'nderstottelse AF DEN HJELMSTJERNE-ROSENKRONESKE STIFTELSE. LIBER CENSUS DANIÆ. KONG VALDEMAR DEN ANDENS JORDEBOG, UDGIVET OG OPLYST AK O. NIELSEN, Rr. phil, Arkivr. japm MEl) l'nderstottelse AF DEN HJELMSTJERNE-ROSENKRONESKE STIFTELSE. KUBEN RAVN. C). E. C. G

Læs mere

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún Interntionl hndel og vndel - WTO fr Mrrkesh til Cncún DIIS - Københvn - 2004 1 Efter gennemførelsen f ftlen om tekstil og beklædning (ATC) Fr MFA til ATC Beklædningsindustrien hr spillet en fgørende rolle

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger Eksamensspørgsmål 11q sommer 01. Gør rede for omformningsreglerne for ligninger. Spørgsmål 1: Ligninger Giv eksempler på hvordan forskellige ligninger løses. Du bør her komme ind på flere forskellige ligningstyper,

Læs mere

netsikker nu! Alder ingen hindring

netsikker nu! Alder ingen hindring netsikker nu! O k t o e r 2 0 0 7 Alder ingen hindring Flere og flere seniorer tger internettet til sig. De hr nemlig opdget, t internettet yder på et utl f muligheder. Derfor sætter denne udgve f netsikker

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Èn samlet leasingløsning

Èn samlet leasingløsning Vi smler din håndtering f IT Vi hr kombineret vores kompetencer med hrdwre og softwre således, t du kun skl bruge et enkelt telefonnummer når du skl hve styr på din IT. For et fst beløb pr. måned kn du

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. FORELØBIGE eksamensspørgsmål mac7100 og mac710 dec 01 og maj/juni 013. Spørgsmål 1: Ligninger Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Giv eksempler

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

KIRKEBLAD. Der. var en. 14. oktober 1917-14. oktober 2007. Gud Faders Ånd! Kom til os ned med himlens ild: Guds kærlighed!

KIRKEBLAD. Der. var en. 14. oktober 1917-14. oktober 2007. Gud Faders Ånd! Kom til os ned med himlens ild: Guds kærlighed! Der KIRKEBLAD vr en FOR KJELLERUP OG OMEGNS VALGMENIGHED Nummer,sfnældksfn123k39843948 3 September 2007 22. Årgng 14. oktober 1917-14. oktober 2007 Gud Fders Ånd! Kom til os ned med himlens ild: Guds kærlighed!

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING hvor a INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Introduktion... side 1 Renters rente på 4 måder... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2c Anvendelse af kapitalfremskrivningsformlen

Læs mere

Brug og anerkendelse af dansksprogede dokumenter ved forvaltningsmyndigheder og domstole

Brug og anerkendelse af dansksprogede dokumenter ved forvaltningsmyndigheder og domstole Jørgen Kühl Brug og nerkendelse f dnsksprogede dokumenter ved forvltningsmyndigheder og domstole Bggrund Det dnske mindretl i Sydslesvig er et nerkendt ntionlt mindretl i Forundsrepulikken Tysklnd og Slesvig-Holsten.

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Tredimensional grafik

Tredimensional grafik Teimensionl gfi 6 Ksten Juul Inhol I Homogene oointsæt og gngning f mtie sie Vi vil fose og eje figue i ummet og æne ees støelse Defo inføe vi homogene oointsæt og gngning f mtie II th sie Et olsninge

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere