Brugen af R 2 i gymnasiet

Transkript

1 Bruge af R gymaset Per Bruu Brockhoff, DTU Compute, Erst Hase, KU Matematk og Claus Thor Ekstrøm, KU Bostatstk Der lader tl at være e vs forvrrg bladt og ueghed mellem forskellge faggrupper omkrg R værde, også kaldet "forklargsgrade" eller "determatoskoeffcete". Ueghede omkrg bruge og ytte af R som et mål tl at bekrve e statstsk model optræder kke ku gymaset: globalt set skaber bruge af R tlsvarede gdger. De avedes rgtg meget vsse mljøer. Ma ka mdlertd fde e del fagstatstkere, der vl tæde advarselslampe overfor forskellge over og fejlfortolkger af R værde, som det er let at lade sg besære af, og som mage mljøer ude tvvl gør sg skyldge egag mellem. For e fagstatstker ka det derfor være frstede smpelthe at fraråde bruge af R det hele taget for at udgå, at folk fejlfortolker resultatet og/eller msbruger størrelse. Med dette dspark håber v at kue bdrage tl de fælles forståelse for hvad R ka og kke ka gøre for os, og pege på et alteratv, der mage faglge sammehæge kue være e mere drekte størrelse at berege. Et eksempel: Ascombes data Et klasssk eksempel, der vser, hvorfor R sg selv er problematsk, er Ascombes fre datasæt vst edefor (Ascombe 973). Det er de samme bedste rette lje, der går geem puktere alle fre fgurer (hældg 0,5 og skærg 3). Desude har alle 4 datasæt samme R = 0,667 = 66,7 %, me det er klart, at de modeller, der er gvet ved de fre rette ljer kke beskrver data lge godt. I de øverste højre fgur er sammehæge mellem x og y åbelyst kke-leær, og sammehæge fgure ederste højre hjøre gver det slet kke meg at modellere som e ret lje. Fra dette smple eksempel burde det være åbelyst, at det kke gver meg at bruge værde af R alee tl at vurdere om e model er god tl at beskrve data. Helt kort og overordet: R ka være OK som et led at sætte tal på værde af e statstsk model, me vær varsom! R ka vsse stuatoer fortælle oget relevat om data/stuatoe magel af e bedre betegelse, så vl v det efterfølgede referere tl sådae stuatoer som "relevate tlfælde" Der er vgtge og cetrale begræsger hvad ma ka uddrage alee af e R værd, selv de for de relevate stuatoer E R værd bør aldrg stå helt alee komber altd med vsualserg/plot af data. Ma ka huske og dprete sg matrae: "Ma skal tege før ma må rege" Det sdste pukt er måske det vgtgste. Hvs ma vælger at bruge R som et led at vurdere e model, så skal ma vde for det første vde, at det kke er ok blot at udrege værde. Der skal oget mere eller oget adet tl. Hvad er R? Deftoe af R værde fremgår de fleste lærebøger, og er også udførlg beskrevet på eksempelvs Wkpeda, og v y y x x Matematk y x3 Fra dette LMFK-bladet smple eksempel /07 burde det være åbelyst, at det kke gver meg at bruge værde y x4

2 vl kke gegve formle her. Flere tekske detaljer er præseteret Brockhoff, Ekstrøm, ad Hase (07). For det første ka e R værd bereges for såvel de mest smple leære model med e y varabel og etop ee x varabel som for mere geerelle modeller med flere x put, de såkaldte multple leære regressosmodeller, og heruder således også de såkaldte polyomelle regressosmodeller, hvor e kke leær sammesstruktur mellem y og x ka hådteres. Bemærk, at ma således godt ka modellere e kke leær relato mellem x og y med e leær model. Der fdes aturlgvs også egetlg kke lære modeller, me selvom R ka deferes for sådae kke leære regressosmodeller, så har de kke lægere s sædvalge fortolkg som "forklargsgrad''. Der er yderlgere matematske furlgheder forbudet med såvel beregge og fortolkge af sådae størrelser forbdelse med egetlg kke leære modeller, altså fx modeller, hvor klassske kke leære fuktoer som logartme, ekspoetal, sus og cosus fuktoer dgår, og/eller hvor evetuelt flere ukedte elemeter af modelfuktoe dgår på e kke leær måde. Det afholder kke ødvedgvs statstsk software af forskellge slags at aføre e eller ade varat af e R værd for sådae modeller. Der er faktsk mage eksempler på, at de fulde dsgt forskellge statstske metoders betydg og begræsg kke har forplatet sg helt ud alle hjører af verde (se Ekstrøm, Hase, ad Brockhoff 07). V vl formulergere fokusere på det første smple setup dette otat, altså etop e x varabel og y varabel me vl d mellem påpege, hvorda mage af betragtgere ete ka avedes drekte eller tlpasset form tl de multple leære setups.. R er et relatvt mål for hvor tæt puktere geemstlg lgger på de bedste rette lje et plot af data fra to varable, x og y (målt ved lodrette y afstade). R gver e værd mellem 0 (eller 0 %) og (svarede tl 00%), hvor 0 svarer tl stuatoe, hvor der kke er oge form for leær sammehæg mellem x og y, og værde opås, år alle puktere lgger præcst på e ret lje.. R er også de kvadrerede (Pearso) korrelatoskoeffcet mellem x og y (set som e procet), der også bruges statstk tl at beskrve, hvor tæt/ stramt puktere et plot lgger omkrg de bedste rette lje. På hjemmesde guessthecorrelato.com ka ma splle sg tl e forståelse af, hvad forskellge puktskyer svarer tl korrelato. Kvadrerer ma korrelatoskoeffcetere spllet får ma således "forklargsgrader" og det ka ses som et R spl stedet. (Alle puktskyer spllet svarer tl "relevate stuatoer"). 3. Når e R aturlgvs aldrg prakss atager værde 00% (vrkelge data vl kke falde eksakt på e le), skyldes det faktsk to tg: De leære model vl prakss aldrg være e 00 % korrekt model for de vrkelghed ma forsøger at modellere Selv hvs de var, så er der varato mellem dvduelle y værder flere observatoer med samme x værd vl varere (fx vl forskellge persoer med samme højde (x) typsk have forskellge vægte (y)) 4. R er et samlet mål for (summe af) de to slags afvgelser svarede tl de to etop ævte fæomeer, me skeler kke mellem de to, se eksemplet med Ascombes data ovefor. 5. Hvs ma har skret sg at es data stuatoe kke er for "mærkelge" og også har skret sg at kke leartete ete overhovedet kke ka ses eller er så llle, at de blver rrelevat, så ka ma ft fortolke på R værde. (Der er dog stadg græser for hvad de ka bruges tl). 6. Når de så er relevat, ka ma fortolke tallet som de del af y varatoe som x va de statstske model (de rette lje) ka "forklare" fx vl e vs procetdel af vores vægtforskellghed kue forklares af vores højdeforskellgheder. 7. For leære modeller med flere x'er: Alle pukter ovefor gælder stadg med følgede tlpasger. Geerelt: Erstat "lje" med "hyperpla". I pukt : R er de kvadrerede korrelatoskoeffcet mellem de estmerede modelværder og y. Hvad er R så IKKE? Forude problemet vst Ascombes eksempel ovefor er der adre pukter, ma skal være opmærksom på, hvs ma har tækt sg at bruge R :. R er kke et mål for de drekte kvattatve sammehæg mellem x og y. R sger altså tet om ljes skærg og hældg, som er de værder, der beskrver de aktuelle sammehæg de relevate kotekst.. Ordet "forklarg" "forklargsgrad" ka kke forstås som "kausaltet"/"årsags sammehæg" det er alee et mål for de kvattatve sammehæg. Det kræver helt adre overvejelser omkrg de pågældede stuato at forsøge at fortolke et resultat kausalt. 3. R tallet ka sg selv kke fortælle om e leær model er "korrekt": E llle R ka godt være udtryk for e korrekt leær geemstssammehæg, der beskrver et system med e stor varato E høj R ka godt stadgvæk leve rum for at der vlle være e statstsk edu højere R værd, hvs ma fk fat de "korrekte" kke leære sammehæg e stuato Matematk LMFK-bladet /07 3

3 Matematk 4. Der fdes ge megsfulde globale krterer for hvad der er "acceptable" R værder på tværs af fagområder. E R værd på 0,65 ka være tlfredsstllede ogle stuatoer, mes e R værd på 0,95 ka være de øskede græse et kokret tlfælde for et adet fagområde. Ige betyder det, at talværde alee kke gver os tlstrækkelg formato tl at vurdere kvaltete af e model. 5. R er trasformatos afhægg: hvs ma eksempelvs aveder e logtrasformato på y værdere vl leartete og derved parameterfortolkge samt R værde ædre sg. 6. R er kke e sadhed skåret grat: R er, som alt adet ma bereger, behæftet med statstsk uskkerhed, som der dog for etop R s vedkommede kke er så stor tradto for at kgge på. Som alle adre sammehæge gælder der, at uskkerhede vl være større jo mdre datamægder, der er tl rådghed. 7. Ma ka skele mellem stuatoer hvor ma selv har bestemt x værdere, fx et doss respos forsøg kem, og så e stuato hvor såvel x som y er tlfældge udfald, fx højde vægt eksemplet, hvor ma vlle udtage meesker tlfældgt, og deræst måle såvel højde (x) som vægt (y). Leær regresso ka gve f meg begge stuatoer, me R værde (eller tlsvarede korrelatoskoeffcete, r) ka have e mere fudametal fortolkg det sdste tlfælde ed det første. I det sdste ka det (hvs alt ellers er orde) fortolkes som e grudlæggede bologsk størrelse. I det første ka ma faktsk selv lagt he ad veje bestemme R værde de valg af x værder ma gør: Jo større forskellghed og afstad mellem de selvvalgte x værder jo større vl R blve, hvlket betyder, at de perso, der laver forsøget ka gøre R større smpelthe ved at sprede x værdere ud! Ma ka kke sge at R værde blver decderet "forkert" det er et tal, der er e tl e relato med adre gaske foruftge bereggsstørrelser blot er fortolkge stuatosafhægg. 8. For leære modeller med flere x'er: Alle pukter ovefor gælder ude ade tlpasg ed at x skal læses og forstås flertal. R er et problematsk værktøj forbdelse med modellerg geerelt, altså valget mellem forskellge multple modeller e R værd vl altd stge, hvs e model gøres mere uaceret (et matematsk faktum), så e stgg alee ka kke bruges tl oget. Ku år e såda sammelgg komberes med adre statstske værktøjer ka det bruges tl oget relevat. Se også blogge sadsylgvs.dk for flere detaljer om dette (det er skrevet af statstkere, så "e god model" = "e tlstrækkelg korrekt model", uaset hvor stor varatoe er, se dskussoe edefor). Et godt alteratv tl R : spredge σ R er som fortalt et relatv mål for hvor tæt modelle lgger på data. Dette avedes ofte stuatoer, hvor skalae på varablee sg selv kke betyder så meget, fx samfudsfag, socolog, psykolog, og så vdere, hvor det ka være forskellge spørgeskemaskalaer, der er brug. Taler v om avedelser de for tekk og aturvdeskab, vl der ofte være ret kokrete skalaer for såvel x som y. I sådae tlfælde ka det være et godt alteratv at kgge specfkt på de mere drekte eller absolutte forskel mellem modelle og data, også kaldet "restspredge" eller "resdualspredge", σ, der udtrykker de geemstlge (lodrette) afstad mellem datapuktere og modellje. Bereggere vl v kke vse her, me ka fdes mage steder, fx (Brockhoff, Ekstrøm, ad Hase 07). Tallet vl også have e drekte fudametal fortolkg de avedte leære regressosmodel: højde vægt eksemplet, hvor vægte modelleres som e leær fukto af højde, vl σ udtrykke vægtspredge for meesker med samme fastholdte højde. Dette tal vl typsk være oget mdre ed vægtspredge populatoe som helhed på tværs af alle højder. I Ascombes eksempel ovefor blver σ,37, som således ka fortolkes på samme skala og med samme fysske ehed som y data kommer med. Værde for σ er øvrgt præcs som for R det samme tal alle fre tlfælde! Tallet σ er således hverke mere eller mdre "rgtgt" eller "forkert" at berege ed R, og det ka hverke mere eller mdre beyttes tl alle de tg, som v berører ovefor. Tl gegæld har tallet e fortolkg, der ka være drekte relateret tl de kokrete problemstllg, hvlket passer bedre forhold tl pukt 7 ovefor, og så ka ma modsætg tl R kke såda lge påvrke σ tallet bare ved at ædre på x værdere. Måske vl σ for mage være et tal ma lettere ka forholde sg tl, og måske ma ldt mdre grad vl være frstet tl at drage forhastede koklusoer, hvs ma beytter σ som hvs ma bruger R. Ma ka sge, at det absolutte mål σ såda set dgår det relatve mål, som R faktsk er. Omed der faktsk er e llle furlg me ydelg krølle på dette ræsoemet, se Brockhoff, Ekstrøm, ad Hase (07). Det er øvrgt så også et drekte eksempel på det fudametale begreb varas og/eller spredg, som ok fortjeer ldt større bevågehed uddaelsessystemet, heruder på gymaseveau (Ekstrøm, Hase, ad Brockhoff 07). "Omvedt" regresso? Der ka kokrete tlfælde med to varable u og v opstå e overvejelse omkrg, hvlke der skal tage rolle som x og hvlke som y. De ysgerrge studerede kue spørge sg selv og/eller s lærer: "hvad sker der egetlg, hvs ma veder det om, og ombytter rollere for de to varable?" Ma ka forholde sg tl dee overvejelse på to veauer: hvad der sker ret bereggsmæssgt, og hvad der 4 LMFK-bladet /07

4 Matematk forhold tl de kotekstspecfkke avedelse er det mest relevate. R værde, og tlsvarede korrelatoskoeffcete afhæger kke af hvorda tgee veder, me selve estmatet for de bedste rette lje og σ beregge vl gve to forskellge tg. Det kræver mulgvs ldt forståelsesmæssg tlvæg, me det gver faktsk god meg: Det er to forskellge tg at fde de bedste rette lje som beskrver vægt som e leær fukto af højde, hvor ma mmerer vægtafvgelser, og så at fde de bedste rette lje, som beskrver højde som fukto af vægt, hvor ma mmerer højdeafvgelser. Der er præcse matematske relatoer mellem de to løsger. Folk med matematsk baggrud keder skkert tl mulghede for at fde e helt tredje bereggsvarat, der lgger præcs mdt mellem de to adre, og som mmerer de vkelrette afstade tl de rette lje. Dee kommer som e kosekves af e aalysemetode, der også kaldes prcpal kompoet aalyss (PCA), som faktsk bruges stor stl tl eksploratv aalyse af højdmesoale data og tl dmesosredukto. Me PCA er faktsk kke sg selv e regressosmetode, og de PCA baserede lje er kke det korrekte svar på oge af de to oplagte fagspecfkke spørgsmål: Hvad er modelle for u som fukto af v eller hvad er modelle for v som fukto af u? Det korrekte svar på hvert af dsse spørgsmål er det tlsvarede valg af de "asymmetrske" beregg, hvor de ee får y-rolle, og de ade x-rolle. Dee dskusso skal ses forhold tl pukt 7 ovefor. Hvs ma selv har bestemt x værdere, så har R, som beskrevet, kke så god e fortolkg, og de kotekstspecfkke problemstllg, altså hvad der er x og hvad der er y er deferet fra starte. I de ade mere symmetrske (x, y) stuato, ka begge veje gve teoretsk lge god meg, og det er således alee de kotekstspecfkke betragtg, der skal afgøre hvlket spørgsmål ma vl besvare, og så lave bereggere og koklusoere derefter. Hvorda skrer ma sg, at ma er et "relevat tlfælde"? Der fdes desværre kke et og ku et tal, ma ka berege, der ka besvare dette spørgsmål med et klart ja eller ej. Det er e del af de komplekstet ma må væe sg tl omkrg bruge af "statstsk ræssoerg", se Ekstrøm, Hase, ad Brockhoff (07). Der er mage redskaber, der forsøger at belyse forskellge aspekter af om e model er god, og på gymaseveau skal ma fde e passede smpel måde at hådtere dette. Det prmære værktøj er vsualserg af selve (x, y) relatoe: ser puktskye ogelude leær og "samlet" ud? Hvorda ser modelafvgelsere ud, år de plottes mod de forvetede værder, og/eller mod x puts: Er de tlstrækkelg ude struktur? Er der ge ekeltafvgelser, der er helt ekstreme? Og ser de ellers ud tl at følge e ormalfordelg? Det sdste kue vurderes boxplots og hstogrammer af afvgelsere. Det er kke emt pædagogsk og præcst at dkredse dee del af de statstske proces. Hvad agår udersøgelse af om de leære model er tlstrækkelg korrekt ka ma også avede modellerg med mere komplekse modeller for helt kokret at vurdere om de mere komplekse modeller faktsk er ødvedge. Hvs kke, ka ma med mere ro sdet avede de leære. Helt kokret kue ma tlpasse e mere geerel fukto tl data, og så plotte dee tlpasg samme med ogle kofdesgræser for sammehæge, og derefter vurdere, om ma med rmelghed ka atage, at de rette le er at fde defor kofdesbådee. V er med på, at dette kke lgger de for almdelg gymasepesum, me hvs ma udvdede pesum tl at omfatte multpel regressosaalyse vlle dette falde defor. Kommukatosudfordrg V tror, at e del af forklarge på de gdger, der måske opstår mellem faggrupper, ka være af kommukatosmæssg karakter. Måske forskellge folk lægger forskellge tg ord som "e god model" versus "e dårlg model", og tlsvarede et begreb som e "korrekt model". Model, som begreb og som ord, ka aturlgvs også betyde vdt forskellge tg afhægg af sammehæge det dgår. Ma ma forestlle sg, at e matematker/statstker aturlgt vl sætte lghedsteg mellem "e god model" og e "tlstrækkelg korrekt model", mes avedere de faglge mljøer, fx samfudsfag eller adet ka forestlles at mee, at "e god model" er lg med e model, der både er tlstrækkelg korrekt og har e llle varato, så de lgger kokret tæt på data. Begge betragtger gver på s vs gaske god meg! Idet R måler begge dele et samlet mål, så er det på de ee sde et foruftgt mål for avedere, me på de ade sde skeler målet kke mellem de to bdrag, og matematkere/statstkere har dermed helt ret, at R kke er oget godt mål for "korrekthede" af modelle, og at der dermed ka gemme sg uacer edeuder, som ma ka overse ude dee uacerg. At tale om e "tlstrækkelg korrekt model" er e typsk fagstatstsk termolog og takegag, hvor udgagspuktet ofte er at alle modeller er forkerte, me oge er brugbare (Box ad Draper 987, 44). Det er e takegag, der mulgvs hos ogle aturvdeskabsfolk, der søger de "sade mekasmer" = "korrekte modeller" ka være ldt fremmed. Me det afspejler ok, at rgtg mage af de komplekse problemstllger, som søges løst med statstske og matematske modeller samfudsmæssge, dustrelle og forskgsmæssge sammehæge kke lader sg løse med e ekelt uversel, kedt og veldeferet sad/korrekt model. Der behøver dog kke være oge rgtg modstrd de to takegage. Det ka være særdeles foruftgt at søge at beskrve fæomeer med kedte modeller, hvad ete det er fysske, kemske, bologsk eller adre typer modeller. Ma ka oge gage beskrve e del af strukturere et fæome med 30 LMFK-bladet /07

5 kedte og veluderbyggede modeller, og lade reste modelleres af mere emprsk baserede modeller for resterede struktur og varato. Så læge ma kke lader sg "teorforblæde" af modeller, der alee på grud af dverse hstorske årsager og begræset formato har tlkæmpet sg uretmæssge forskgsmæssge postoer. Det er vgtgt at fortælle de samme hstore Det vgtgste må være, at de studerede lærer oget, som ) de forstår hvad måler, og som de ) har kompetece tl at bruge (og vde, hvorår ma kke ka bruge). Det bør derfor tlstræbes, at de forskellge fagmljøer hvs ma fortsat vælger at bruge R som et led statstkudervsge gymaset fortæller de samme hstore omkrg R. Desværre fdes der kke e smpel, objektv måde at vurdere korrekthede af e statstsk model på, me det uderstreger blot vgtghede af, at alle faggrupper er stad tl at formdle alle de fordele og ulemper, der måtte være, ved de valgte metode. Referecer Ascombe, F. J Graphs Statstcal Aalyss. Amerca Statstca 7: 7. Box, G. E. P., ad N. R. Draper Emprcal Model-Buldg ad Respose Surfaces. Joh Wley; Sos. Brockhoff, Per Bruu, Claus Thor Ekstrøm, ad Erst Hase. 07. Leær Regresso: Ldt Mere Tekske Betragtger Om R Og et Godt Alteratv. LMFK bladet. Ekstrøm, Claus Thor, Erst Hase, ad Per Bruu Brockhoff. 07. Statstk I Gymaset. LMFK bladet. Leær regresso ldt mere tekske betragtger om R og et godt alteratv Per Bruu Brockhoff, DTU Compute, Claus Thor Ekstrøm, KU Bostatstk og Erst Hase, KU Matematk Dette ekstra llle otat om de såkaldte R værd, som ka bereges forbdelse med leær regresso, skal ses sammehæg med vores kke tekske otat om samme eme. Ud over at få deferet tgee matematsk præcst, vl v foreslå spredge σ som et godt alteratv. De to hæger ært samme, måler for så vdt det samme, R på e relatv måde og σ på e absolut måde. Spredge σ ka ses ret drekte sammehæg med uskkerhedsbetragtger mere geerelt, som v det store bllede meer er ret vgtge. Defto af R de smple leære regressosstuato Lad os lge mde om hvad v overhovedet taler om. De smpleste forekomst af R optræder de leære regressosmodel y = α + βx + ε, =,,. Tl hver målg y er der kyttet e kovarat x, og ma ka øske at udsøger om kovarate har e leær påvrkg af målge og gvet fald at kvatfcere og fortolke sammehæge og måske at beytte de tl at forudsge y værde for ye x værder. Parametree α og β er ukedte, og aalyse af regressosmodelle fokuserer ormalt på at estmere dem. De tlbageværede størrelser ε,..., ε er såkaldte støjvarable, der skal redde modelle fra at kollapse mødet med vrkelghede, hvor parree (x, y ) jo aldrg lgger præcs på e matematsk ret lje. De sædvalge atagelse om støjvarablee er, at de er uafhægge, og at de er ormalfordelte med mddelværd 0 og samme varas σ (edu e parameter modelle). I dee ramme deferes R ved formle R SSxy = SS SS xx yy, () hvor SS xy, SS xx og SS yy er ogle af de stadard bereggsstørrelser, ma allgevel ofte reger ud forbdelse med estmato af de tre parametre α, β og σ : β α hvor SSxy = SSxx = y βx SS = ( x x) xx = SS = ( y y) yy SS = ( x x) y y xy = () (3) (4) (5) (6) LMFK-bladet /07 3 = ( ) Dsse resultater er også velkedte fra mdste kvadraters metode, og gver modelles estmerede hældg og skærg (på baggrud af de tlgægelge data). Med de estmerede parametre ka v bruge modelle tl at udrege de forvetede værder, y, der beskrver, hvad v geemst forveter at observere for e gve x værd: y = α + βx Matematk