En algebra opsamling INDLEDNING. Indhold. Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008
|
|
- Rune Winther
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 En algebra osamling Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008 INDLEDNING Her har jeg samlet forskellige ting, der relaterer til algebra. Dokumentet er en osamling til Concrete Abstract Algebra (1) af Niels Lauritzen og de sulerende noter af Jens Carsten Jantzen anvendt i kurset Algebra ved Institut for Matematiske Fag, Århus Universitet i efteråret Dokumentet består af de este sætninger (for overblikkets skyld uden beviser, her henvises til (1)) samt forskellige bemærkninger fra bogen, forelæsninger, ogaver eller egen observation. Jeg har samlet tingene som en del af min eksamenslæsning, så det er muligt, at det ikke er brugbart til andet end rocessen :) Jeg vil å ingen måde ofordre til, at man sringer beviserne i bogen over, men dette burde give et bedre overblik. Af coyright mæssige årsager (der er jo meget fra (1)) ligger noten ikke å nettet i øjeblikket. Hvis jeg ændrer mening kommer den nok å jkbj06 og Kommentarer, rettelser og tilføjelser er velkomne! Hvor intet andet er nævnt benyttes bogstaver i deres normale betydning; G betegner en grue, R en ring, I et ideal osv. Indhold 1 Tal gcd og indbyrdes rimisk Den kinesiske rest-sætning Eulers ϕ - funktion Primtal RSA, lille Fermat og seudorimtal Kvadratiske rester modulo et rimtal Gruer Denition Undergruer og sideklasser Normale undergruer Gruehomomorer Isomor-sætningen Ordenen af et grueelement Cykliske gruer Gruer og tal Symmetriske og alternerende gruer
2 2.10 Gruevirkninger Ringe Denitioner Idealer Kvotientringe Kvotientringe af Z Primidealer Maksimale idealer Ringhomomorer Den entydige ringhomomor fra Z Russens drøm aka Freshman's dream Fields of fractions - oversrunget Entydig faktorisering Divisibilitet og største fælles divisor Irreducible elementer Primelementer Euklidiske ringe Primtal og rimelementer i Z[i] Osamling af ring-tyer Referencer 14 1 Tal 1.5 gcd og indbyrdes rimisk Euklids udvidede algoritme For m, n Z λ, µ Z : λm + µn = gcd(m, n). Bemærkning (1.5.9). λ, µ Z : λa + µb = 1 gcd(a, b) = 1 Korollar ( m udv fra noter). Lad a i, b, c Z. (i) Hvis a bc hvor a og b er indbyrdes rimiske, så a c. (ii) Hvis a 1,..., a n arvis indbyrdes rimiske og i : a i c, så a 1 a n c (iii) Hvis a i og c arvis indbyrdes rimisike for alle i, så er a i a n indb.rim. med c 1.6 Den kinesiske rest-sætning Sætning (1.6.4 Den kinesiske rest-sætning). Antag N = n 1 n t med n 1,..., n t Z \ 0 og gcd(n i, n j ) = 1 for i j. Så gælder for systemet af kongurenser (hvor a 1,..., a t Z) (i) Systemet har en løsning X Z. X a 1 (mod n 1 ),. X a t (mod n t ), 2
3 (ii) Hvis X, Y Z er løsninger, så er X Y (mod N). (iii) Hvis X er en løsning og Y X (mod N), så er Y også en løsning. Beviset giver også en metode til at nde løsninger. 1.7 Eulers ϕ - funktion Proosition (1.7.1). Lad m og n være indb. rimiske. Så er ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) Sætning (1.7.2 (Euler)). Lad a, n Z være indb. rimiske og n 0, så er a ϕ(n) 1 (mod n). 1.8 Primtal Lemma (1.8.3). Lad være et rimtal og antag ab, a, b Z. Så a eller b. En tal kan faktoriseres entydigt til et rodukt af rimtal, så fra roosition får vi ) ) ϕ(n) = ( r1 1 r1 1 1 ) ( rs s rs 1 s ) = n (1 11 (1 1s 1.9 RSA, lille Fermat og seudorimtal Korollar (1.9.2 (Fermat's lille sætning)). Lad være et rimtal og a et helt tal med gcd(a, )=1. Så a 1 1 (mod ). Desuden ndes her denitionen å sedurimtal relativ til en basis, stærke ditto, Carmichael tal samt et ar tester for rimtal. B.la Lemma (1.9.4). Lad være et rimtal og x Z. Vi har så x 2 1 (mod ) x ±1 (mod ) 1.11 Kvadratiske rester modulo et rimtal Denition. Lad være et rimtal. Hvis a kaldes a en kvadratisk rest modulo hvis der eksisterer x Z så a x 2 (mod ). I modsat fald kaldes a en kvadratisk ikke-rest modulo. Hvis a er a hverken en kvadratisk rest eller en kvadratiske ikke-rest. For at holde styr å dette indfører vi Legendre symbolet ( ) a = 0 hvis a, 1 hvis a er en kvadratisk rest modulo, 1 hvis a er en kvadratisk ikke-rest modulo. 3
4 Hvis a x 2 (mod ), kan vi nde 0 y < så a y 2 (mod ) ved at sætte y = [x]. Så givet et rimtal er de kvadriske rester (a'erne) neto resterne af tallene fra 1 til 1 kvadreret: [1 2 ],..., [( 1) 2 ]. De handler om at reducere til et af de tilfælde, vi kender. Vi har nemlig fra ro ( ) 1 = { 1 hvis 1 (mod 4), 1 hvis 3 (mod 4), og fra kor ( ) 2 = 1 hvis 1 (mod 8), 1 hvis 3 (mod 8), 1 hvis 5 (mod 8), 1 hvis 7 (mod 8). Vi kan regne med g. regler: Legendre symbolet ofylder for k Z ( ) ( ) a a + k =. For ulige rimtal gælder ( ) ab = ( a ) ( ) b. Hvis og q er ulige rimtal gælder for vending ( ) ( ) q hvis q 3 (mod 4), = ( ) q q ellers. 2 Gruer 2.1 Denition Indeholder denitionen af en grue samt ere indledende eksemler å abelske og ikke abelske gruer. Her er også et ar resultater: Entydighed af neutralt element og invers til et element, den sædvanlige sammensætning af afbildninger å mængden af afbildninger fra en mængde til sig selv er associativ, multilikation (vilkårlig komos.) med et element er bijektiv. 2.2 Undergruer og sideklasser Denition (Sideklasse). Lad H være en undergrue af G og g G. Så er gh = {gh h H} G en venstre sideklasse af H. Mængden af venstre sideklasser kaldes G/H mens mængden af højre sk kaldes H\G (Huskeregel: Den øverste del af skråstregen eger å undergruen). Lemma. (2.2.6) Lad H være en undergrue af G og lad x, y G. Så (i) x xh (ii) xh = yh x 1 y H 4
5 (iii) Hvis xh yh så er de disjunkte: xh yh = (iv) Afbildningen ϕ : H xh givet ved ϕ(h) = xh er bijektiv. Sætning (2.2.8 (Lagrange)). Hvis H G er en undergrue af en endelig grue G, så går ordenen af undergruen o i grueordenen og secielt G = G/H H Denition (2.2.9 Indeks). Antallet af sideklasser G/H kaldes indekset af H i G og skrives [G : H]. Og 2.15 giver, at G/H = H\G. 2.3 Normale undergruer Standard komositionen af to delmængder X, Y G er XY = {xy x X, y Y }. Komositionen er associativ, men det er ikke nødvendigvis en komosition å (venstre) sideklasser. Vi indfører derfor Denition (2.3.2). En undergrue N G kaldes normal hvis for ethvert g G. gng 1 = {gng 1 n N} = N Bemærkning. Det er nok at vise gng 1 N for alle g G \ N (det gælder automatisk for g N). Så har vi nemlig g G N gng 1 : Lad n N givet så er g 1 ng N r antagelse så gng 1 g(g 1 ng)g 1 = n. Vi har også, at N ofylder gn = Ng for alle g G r og Proosition (2.3.1). Lad H være en undergrue af en grue G. Hvis gh = Hg, g G så er (xh)(yh) = (xy)h x, y G Korollar (2.3.3). Lad N G være en normal undergrue. Komositionen af delmængder gør G/N til en (kvotient)grue og (g 1 N)(g 2 N) = (g 1 g 2 )N, g 1 N, g 2 N G/N Bemærkning. Hvis G er en abelsk grue, er enhver undergrue normal. Hvis en undergrue har indeks 2 er den normal r og Gruehomomorer Denition (2.4.1). Lad G og K være gruer. En afbildning f : G K er en gruehomomor hvis f(xy) = f(x)f(y), x, y G. Bemærkning. Vi har f(e G ) = e K og f(g 1 ) = (f(g)) 1. Denition (2.4.5). Kernen for en gruehomomor er ker f = {g G f(g) = e K }. 5
6 Bemærkning. En bijektiv gruehomomor kaldes en grueisomor og skrives f : G K og hvis en sådan eksisterer er G og K isomorfe: G = K. Isomorfe gruer er ens, idet de for alle raktiske formål har samme komositionstabel. Proosition (2.4.9). Lad f : G K være en gruehomomor. (i) Billedet f(g) K er en undergrue af K. (ii) Kernen ker f G er en normal undergrue af G. (iii) f er injektiv hvis og kun hvis ker(f) = {e G }. 2.5 Isomor-sætningen Hvis N G er en normal undergrue, kan vi nde ud af mere om G/N ved at nde en kendt grue K så G/N = K. Sætning (2.5.1 Isomor-sætningen). Lad G og K være gruer og f : G K være en grue homor med kernen ker f = N. Så er f : G/N f(g) givet ved f(gn) = f(g) en veldeneret afbildning og en grueisomor. Bemærkning. Vi kan altså forstå en kvotientgrue G/N ved at nde en (kendt) grue K og en surjektiv (så f(g) = K) gruehomomor f : G K med N som kerne, således at G/N = K af sætningen. 2.6 Ordenen af et grueelement Ordenen af en element g G er antallet af elementer i g = f g (Z), hvor f g : Z G er grue homoren givet ved f g (n) = g n. ord(g) er også den mindste ositive otens så g n = e. De sulerende noter s. 1-2 indeholder lidt ekstra om f g. Proosition (2.6.3). Lad G være en endelig grue og g G (i) Ordenen af g går o i G. (ii) g G = e. (iii) Hvis g n = e for et n > 0 så ord(g) n. Dette gælder også for en uendelig grue (bevis: ker f g = n g Z) 2.7 Cykliske gruer For n 0 er Z/nZ cyklisk. Lad G = g være en cyklisk grue. Det gælder altid, at ker f g = n g Z for et entydigt n g N. Nu er G cyklisk, så billedet f g (Z) = G, og af isomorsætningen får vi Z/n g Z = g = G. Proosition (2.7.2). En grue af rim-orden G = er isomorf til den cykliske grue Z/Z. 6
7 Bemærkning. Cykliske gruer er abelske, idet alle elementer kan udtrykkes som otenser af frembringeren. Proosition (2.7.4). Lad G være en cyklisk grue (i) Enhver undergrue af G er cyklisk. (ii) Antag at G er endelig og at d G. Så indeholder G en entydig undergrue H af orden d. (iii) Der er ϕ(d) elementer af orden d i G. Dette er frembringerne for H. 2.8 Gruer og tal Produktgruer G = G 1 G n (n-tuler) og lidt om gruehomomorer herå. Proosition (2.8.2). Lad n 1,..., n r Z være arvis indb. rimiske og lad N = n 1 n r. Så er afbildning obygget af kanoniske gruehomomorer ϕ : Z/NZ (Z/n 1 Z,..., Z/n r Z) givet ved ϕ(x + NZ) = ( ϕ 1 (x),..., ϕ r (x)) en grueisomor. Bemærkning. Vi har faktisk vist, at hvis n 1,..., n r Z er arvis indb. rimiske og N = n 1 n r, så er Z/n 1 Z Z/n r Z = Z/NZ (cyklisk) 2.9 Symmetriske og alternerende gruer Af en mængde M n med n elementer kan vi lave den symmetriske grue S n af bijektive afbildninger fra M n til sig selv. S n er en grue med sammensætning af afbildninger som komosition og n! elementer. Elementerne σ S n kaldes ermutationer. Generelt er S n ikke abelske. Denition. Lad σ S n. Så er M σ = {x M n σ(x) x} dvs de elemter, der ændres. Vi bemærker, at σ(m σ ) = M σ. Permutationerne σ og τ kaldes disjunkte hvis M σ M τ =. Proosition (2.9.2+Sunote). Lad σ, τ være disjunkte ermutationer i S n. Så kommuterer de στ = τσ. Desuden er M στ = M σ M τ. Denition (Cykler). Antag at vi har k forskellige elementer x 1,..., x k M n. En ermutation σ S n som ofylder σ(x 1 ) = x 2, σ(x 2 ) = x 3,..., σ(x k 1 ) = x k, σ(x k ) = x 1 og σ(x) = x for x / {x 1,..., x k } kaldes en k - cykel og skrives σ = (x 1 x 2 x k ). Bemærk at en k - cykel kan skrives å k forskellige måder, M σ = {x 1,..., x k }, og ordenen af σ i S n er k. 7
8 Denition ((Simel)transosition). En 2-cykel kaldes en transosition og er sin egen inverse i S n. Hvis en transosition har formen s i = (i i+1), i = 1,..., n 1, kaldes s i en simel transosition. Proosition (2.9.6). Enhver ermutation σ S n kan skrives entydigt (ånær rækkefølge) som et rodukt af disjunkte cykler. Proosition (2.9.5). Lad σ S n være skrevet som et rodukt af disjunkte cykler σ 1 σ r. Ordenen af σ i S n er lcm(ord(σ 1 ),..., ord(σ 1 )). Beviset giver også, at M σ m = M σ m 1 M σ m r. Lemma (2.9.8). Antag at τ = (i 1... i k ) er en k - cykel og σ er en ermutation i S n. Så er σ(i 1... i k )σ 1 = (σ(i 1 )... σ(i k )) Denition (2.9.10). Lad σ S n være en ermutation. Et ar af indices (i, j), med 1 i < j n, kaldes en inversion (af σ) hvis σ(i) > σ(j). Vi lader I σ = {(i, j) 1 i < j n og σ(i) > σ(j)} betegne mængden af inversioner og n(σ) = I σ være antallet af inversioner af σ. Vi bemærker (ro ), at σ er identitetsafbildningen hvis og kun hvis n(σ) = 0. Lemma (2.9.13). Lad s i S n være en simel transosition og σ S n. Så er { n(σ) + 1 hvis σ(i) < σ(i + 1), n(σs i ) = n(σ) 1 hvis σ(i) > σ(i + 1). Proosition (2.9.14). Lad σ S n. Så (i) σ er et rodukt af n(σ) simle transositioner. (ii) n(σ) er det minimale antal simle transositioner, der kan bruges for at skrive σ. Denition (2.9.15). Fortegnet for en ermutation σ S n er sgn(σ) = ( 1) n(σ). Hvis sgn(σ) = 1 kaldes σ lige ellers ulige (svarende til n(σ) lige hhv ulige). Proosition (2.9.16). Fortegns-afbildningen sgn : S n {±1} er en gruehomomor, hvor komositionen å {±1} er gange. Mængden af lige ermutationer A n S n kaldes den alternerende grue og er en normal undergrue af S n (som kerne for sgn). S n /A n = {±1} af isomorsætningen, så A n = S n /2 = n!/2 af Lagrange. Bemærkning. sgn er en gruehomomor, så for at udregne sgn(σ) kan vi nøjes med at kende oskrivningen i disjunkte cykler og sgn af disse. Proosition (2.9.17). Lad n 2. Fortegnet å en r - cykel σ S n er ( 1) r 1. En simel grue er en grue G, hvor de eneste normale undergruer er {e} og G. Se nere i afs
9 2.10 Gruevirkninger Denition (2.10.1). Lad G være en grue og S en mængde. Vi siger, at G virker (fra venstre) å S, hvis der eksisterer en afbildning α : G S S, som ofylder (i) e s = s for alle s S. (ii) (g h) s = g (h s) for alle g, h G og alle s S. Denition (2.10.2). Lad α : G S S være en gruevirkning af G å S, X S en delmængde af S og s S. (i) G s = Gs = {gs g G} kaldes banen af s (under virkningen fra G). (ii) Mængden af baner {Gs s S} betegnes S/G. (iii) Lad g X = gx = {gx x X}, hvor g G. Så er G X = {g G gx = X} stabilisatoren for X. Hvis X = {x} skriver vi G x. (iv) Et ksunkt for virkningen er et element s S således at gs = s for alle g G. Mængden af ksunkter betegnes S G. Proosition (2.10.5). Lad α : G S S være en gruevirkning. (i) Lad X S. Så er G X en undegrue af G (ii) S er foreningen af G-baner S = s S Gs, hvor Gt Gs Gs Gt = for s, t S (iii) Lad x S. Så er f : G/G x Gx givet ved f(gg x ) = gx en veldeneret og bijektiv afbildning mellem de venstre sideklasser til G x og banen Gx. Så secielt er G/G x = Gx Eksemel giver en metode til at nde ordenen af en stabilisator. Afsnit introducerer konjugens klasser og giver nye navne til stabilisator o.lign. Noternes s. 4 giver, at konjugationsafbildningen for et fast g er en grueisomor. I den symmetriske grue ser vi, at konjugensklasserne består af ermutationerne med samme cykeltye. Denition (-grue). En -grue er en grue af orden r, hvor er et rimtal og r N. Pro giver resultater om ordenen af stabilisatoren for S og centralisatoren for G ved konjugation. Proosition ( ). Lad være et rimtal. En grue af orden G = 2 er abelsk. Se denitionen af en Sylow -grue og Sylows sætninger å s samt eksemel Bemærkning. Hvis en endelig grueg har P som den eneste Sylow -grue for et rimtal, er P en normal undergrue af G. Der er nogle æne egenskaber for to Sylow, q-gruer å noternes s. 5. 9
10 3 Ringe 3.1 Denitioner Bemærkning. Multilikationen i R gør (R, ) til en grue. Hvis R {0} er 0 / R. Hvis R er en kommutativ ring, er R en abelsk grue Proosition (3.1.3). Lad R være et integritetsområde og lad a, x, y R. Hvis a 0 og ax = yx så er x = y Proosition (3.1.4). Lad F være et legeme, så er F et integritetsområde Eksemel. De Gaussiske heltal Z[i] har følgende egenskaber (a) z Z[i] er en enhed N(z) = 1. (b) Z[i] er integritetsområde. (c) Z[i] er en Euklidisk ring og dermed et hovedidealområde og dermed en faktorialring. Eksemel. Normfunktionen N : Z[i] N givet ved N(a + ib) = a 2 + b 2 siller en vigtig rolle ifbm Z[i]. N ofylder N(z 1 )N(z 2 ) = N(z 1 z 2 ). Eksemel. Z[ 5] er en ring med ere atologiske egenskaber: (a) Z[ 5] indeholder idealer, der ikke er hovedidealer. (b) Z[ 5] er ikke en faktorialring. Idealer Bemærkning. Hvis I er et ideal, er I en undergrue af (R,+), så I da 0 I. For r 1,..., r n I r 1,..., r n I og r 1,..., r n er det mindste ideal indeholdende r 1,..., r n, (1, og 3.6) Et ideal er hele R 1 I. Secielt er et ideal i et legeme enten {0} eller hele legemet. 3.2 Kvotientringe R/I kaldes en kvotientring af R modulo I. Bemærkning. [x] = 0 i R/I hvis og kun hvis x I. Kvotientringe af Z Proosition (3.2.2). Antag d N \ {0}. Gruen af enheder (Z/dZ) er en abelsk grue (mht addition) med ϕ(d) elementer. Proosition (3.2.3). Lad n N. Så er Z/nZ et legeme hvis og kun hvis n er et rimtal. I så fald skriver vi for =n F = Z/Z. Hvis n er et sammensat tal, er Z/nZ ikke et integritetsområde. 10
11 Primidealer Denition. I er et rimideal hvis I R og xy I x I eller y I. Proosition (3.2.6). Et ideal I R er et rimideal hvis og kun hvis R/I er et integritetsområde. Maksimale idealer Denition. Et ideal I kaldes maksimalt hvis I J J = R hvor J er et ideal i R. Proosition (3.2.7). Et ideal I R er maksimalt hvis og kun hvis R/I er et legeme. Bemærkning (3.2.8). Et maksimalt ideal er et rimideal (fordi et legeme er et integritetsområde) Bemærkning. De maksimale idealer i Z er, hvor er et rimtal. Dette følger af ro nedenfor. 3.3 Ringhomomorer Bemærkning. Lad f : R S være en ringhomomor Kernen ker f = {r R f(r) = 0} er et ideal i R og billedet f(r) er et delring af S (1, og 3.11). Som for gruer har vi ringhomomorsætningen (1, Proosition 3.3.2). Den entydige ringhomomor fra Z Lemma (3.3.3). For enhver ring R eksisterer der en entydig ringhomomor f : Z R. For n 0 er f(n) = 1 R R, summen af n eksemlarer af 1-elementet i R. På denne måde kan vi se heltal som elementer i en vilkårlig ring, idet vi så referer til f(n) Denition (charr). Lad ord(1) betegne ordenen af 1 i (R,+). Hvis ord(1) er uendelig, siger vi, at R har karakteristik 0. Hvis ord(1) er endelig, siger vi, at R har (den endelige) karakteristik ord(1). Bemærkning. charr er det laveste antal gange, man skal lægge 1 sammen for at få 0 i R. Vi har charz/nz = n og charr = 1 R = {0}. Lemma (3.3.5). Lad R være en ring med charr = n. Der eksisterer en injektiv ringhomomor Z/nZ R Vi siger at Z/nZ er indeholdt i R, da den er isomorf til en delring af R. Proosition (3.3.7). Lad R være et integritetsområde. Så er charr enten 0 eller et rimtal. Hvis R er endelig, er R et legeme og charr er et rimtal. Bemærkning. Alle endelige integritetsområder er altså legemer (det kommer egentlig af (1, øvelse 3.23)). 11
12 Russens drøm aka Freshman's dream Sætning (3.3.9 (Freshmans's Dream)). Lad R være en ring med rim karakteristik (dvs charr =, hvor er et rimtal). Så er for alle x, y R og r N (x + y) r = x r + y r Bemærkning (3.3.10). Dette giver nemt at Frobenius' mor F : RtoR givet ved F (x) = x er en ringhomomor, hvis R har rim karakteristik. 3.4 Fields of fractions - oversrunget Fields of fractions er ikke en del af ensum i AlgE07, så det oversringes. 3.5 Entydig faktorisering Vi antager i det følgende, at R er et integritetsområde Divisibilitet og største fælles divisor I det generelle integritetsområde ser tingene lidt anderledes ud end i Z, så vi starter med at få styr å de generaliserede denitioner fra (1, s. 126). Denition. Antag x, y R (a) Hvis r R så rx = y, siger vi, at x går o i y og skriver x y. Bemærk x y x y (b) Hvis u R så ux = y, siger vi, at x og y er associerede elementer. Bemærk at x = y x og y er associerede. (c) Et element d R kaldes en største fælles divisor (gcd) for x og y hvis d er en fælles divisor for x og y (dvs d x og d x) samt hvis c er en fælles divisor medfører at c d. Bemærk at hvis d er en gcd for x og y og u R, så er ud en gcd for x og y. Bemærkning. Lad R være et hovedidealområde. For alle a, b R d R så a, b = d. Vi har så at d er en gcd for a og b. Vi har nemlig a, b d, og derfor for c en fælles divisor for a og b er secielt af bemærkningen ovenfor c a d og altså c d hvilken giver c d. Irreducible elementer Denition. Et element r R \ R kaldes irreducibelt hvis r = ab a R eller b R Bemærk hvis r er irreducibelt og u R så er ru irreducibelt. Bemærk desuden at legemer ikke indeholder nogle irreducible elementer. Denition. Faktoriseringer (a) Et element x R\R siges at have en faktorisering til irreducible elementer hvis 1,..., r irreducible så x = 1... r 12
13 (b) Et element x R\R siges at have en entydig faktorisering til irreducible elementer hvis q 1,..., q s irreducible så x = q 1... q s medfører at for i = 1... r j så i q j (dvs ethvert i skal være associeret til et q j ). Secielt har vi så r = s (R er et integritetsområde, så vi kan forkorte). Denition. Et integritetsområde som ofylder at ethvert ikke-nul element i R\ R har en entydig faktorisering til irreducible elementer kaldes en faktorial ring eller et entydigt faktoriseringsområde Primelementer Denition. Et ikke-nul element R\R kaldes et rimelement hvis xy x eller y for x, y R. Proosition (3.5.2). Et rimelement er irreducibelt. Proosition (3.5.3). Lad R være en ring hvori ethvert hvert ikke-nul element x R \ R har en faktorisering til irreducible elementer. Ethvert irreducibelt element er et rimelement i R hvis og kun hvis R er en faktorial ring. ( er det mest interessante resultat her.) Bemærkning. I en faktorial ring er rimelementer altså det samme som irreducible elementer. Z er en faktorialring (de irreducible elementer er altså neto ±). Proosition (3.5.6). Antag at R er hovedidealområde, der ikke er et legeme. Et ideal x R er maksimalt hvis og kun hvis x er et irreducibelt element. Proosition (3.5.7). Et hovedidealområde er en faktorialring. Bemærkning. (1, s. 130) giver en ikke videre brugbar metode til at udregne en gcd ud fra faktoriseringer i en faktorial ring. Euklidiske ringe Denition. Et integritetsområde kaldes en Euklidisk ring hvis der eksisterer en Euklidisk funktion N : R \ {0} N hvor der for alle x R, d R \ {0} eksisterer q, r R så x = qd + r og enten r = 0 eller N(r) < N(d). Proosition (3.5.9). En Euklidisk ring er et hovedidealområde. Se også beviset for ro Efter roositionen står den generelle euklidiske algoritme. De Gaussiske heltal er en Euklidisk ring. Primtal og rimelementer i Z[i] Proosition (3.5.11,.14 og.18). Resultater vdr. rimelementer i de Gaussiske heltal. (i) Hvis π Z[i] ofylder N(π) =, hvor er et rimtal, er π et rimelement i Z[i]. (ii) Et rimtal 1 (mod 4) er ikke et rimelement i Z[i]. 13
14 (iii) Et rimtal 3 (mod 4) er et rimelement i Z[i]. Lemma (3.5.12). Lad være et rimtal så 1 (mod 4). Kongurensen x 2 1 (mod ) kan løses ved x = (2n)! hvor = 4n + 1. Sætning (3.5.15). Et rimtal 1 (mod 4) er en sum af to entydigt bestemte kvadrater. 3.6 Osamling af ring-tyer Som osamling er her et skema over forskellige egenskaber en ring kan have og hvordan de er forbundet. Litteratur 4 Referencer [1] Concrete abstract algebra: from numbers to Gröbner bases, Lauritzen, Niels. c Cambridge University Press Rerint with corrections
Matematik 2AL, vinteren
EO 1 Matematik 2AL, vinteren 2002 03 Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales
Læs mereMM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007
MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereFacitliste 1 MAT 2AL. 5. f (x) er irreducibel i Z 5 [X].
Facitliste 1 Facitliste til eksamensopgaver Facit til de første 14 opgavesæt er blevet til paa basis af Jonas B. Rasmusssens facitliste. Han regnede størstedelen af opgaverne, medens han fulgte kurset,
Læs mereFacitliste til nyere eksamensopgaver
Facitliste Facitliste til nyere eksamensopgaver Listen indeholder facit (eller vink) til eksamensopgaverne (i MatAL, Alg og ) fra sommeren 003 og fremefter. Bemærk, at de facitter, der står på listen,
Læs mereAlgebra2 Obligatorisk opgave
Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)
Læs mere1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle
1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet
Læs mereRinge og Primfaktorisering
Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal
Læs mereMinilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16
Minilex Mat 2AL.. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ.. Mangler 3.10-3.16 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereOversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger
Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.
Læs mere2. Gruppen af primiske restklasser.
Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs meresætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb.
sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. lemma: Hvis a, b og c er heltal så gcd(a, b) = 1 og a bc da vil a c. lemma: Hvis p er et primtal og p a 1 a 2 a n hvor hvert
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereTalteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik
Talteori: r, modulær aritmetik Videregående algoritmik Cormen et al. 31.1 31.4 Tirsdag den 6. januar 2009 1 1 2 Restklasseringene modulo n Grupper og undergrupper Modulær division Divisorer De hele tal
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mereMatematik og Statistik. Rubiks terning. Symmetri. Gruppe G3-106 23. Maj 2014
Matematik og Statistik Rubiks terning Symmetri Gruppe G3-106 23. Maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske Fag
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereDM72 Diskret matematik med anvendelser
DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mere6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur
6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereEuler-karakteristik for fusionskategorier
Euler-karakteristik for fusionskategorier Martin Wedel Jacobsen 17. april 2010 Indledning Der findes mange forskellige metoder til delvis klassifikation af endelige grupper. En af de mest velkendte er
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereEulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem
Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering
Læs mereEn gruppeteoretisk undersøgelse af Rubik s Cube en
Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereKommutativ algebra, 2005
Kommutativ algebra, 2005 Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Kommutativ algebra, 2005 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København
Læs mere10. Nogle diofantiske ligninger.
Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne
Læs mereInteger Factorization
Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereForedrag i Eulers Venner 30. nov. 2004
BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk
Læs mereMATEMATIK 3 AL. Klassisk Algebra. Christian U. Jensen. Typeset by AMS-TEX
MATEMATIK 3 AL Klassisk Algebra Christian U. Jensen 2004 Typeset by AMS-TEX Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c 2004 Matematisk Afdeling FORORD TIL 1998-UDGAVEN At lære og at tilegne
Læs mereLINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.
LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer
Læs mereDis1 2008-09 Ugeopgave 1
Dis1 2008-09 Ugeopgave 1 Rasmus Sylvester Bryder 20. februar 2009 1 F08 opgave 1 (i) Der skal gøres rede for at [2] er en primisk restklasse i Z/49, og den inverse dertil skal ndes. Altså skal gælde, at
Læs mereSymmetri. - i tapetmønstre
Symmetri - i tapetmønstre MAT 4. SEMESTER PROJEKT GRUPPE G3-114 MATEMATIK & STATISTIK AALBORG UNIVERSITET DEN 23. MAJ 2012 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Telefon 99
Læs mere6. Fokale undergrupper, Grün s sætninger, Z grupper G version
6. Fokale undergrupper, Grün s sætninger, Z grupper G6-2004-version Vi starter med et par generelle bemærkninger. Som sædvanligt betegner G =[G, G] kommutatorundergruppen i gruppen G. (6A) Lemma: Lad H
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereInvarianter og kombinatoriske beviser
Invarianter og kombinatoriske beviser Anders Nedergaard Jensen Institut for Matematik, Aarhus Universitet Matematiklærerdag, Aarhus, 24. Marts 2017 En invariant er en værdi/udsagn der forbliver konstant
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereKRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi)
KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) 1. Klassiske krypteringsmetoder 1.1 Terminologi klartekst kryptotekst kryptering dekryptering 1.2 Monoalfabetiske kryptosystemer 1.3 Additive
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereF.1. Mat 2AL. n Z n a Z n = gcd = ±gcd = lcm = ±lcm d l sinα)+(cosβ sinα)(cosβ N N {id}
F. Fejl i bogen. F.1 Herunder flger en liste over nogen af de mere meningsforstyrrende fejl i [J]. 18 2 partition equivalence class 18 3 class relation 18 4 partition equivalence class 28 8 r t [Erstat
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereMatematisk Metode Notesamling
Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok
Læs meret a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54
Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereRSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard
RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning
Læs mere6. RSA, og andre public key systemer.
RSA 6.1 6. RSA, og andre public key systemer. (6.1). A skal sende en meddelelse til B. Denne situation forekommer naturligvis utallige gange i vores dagligdag: vi kommunikerer, vi signalerer, vi meddeler
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereKommutativ algebra II, 2005
Kommutativ algebra II, 2005 Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Kommutativ algebra II, 2005 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København
Læs mereTØ-opgaver til uge 45
TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.
Læs mereForside. Matematik og Statistik. Symmetri. Tapetmønstre. Gruppe G maj 2014
Forside Matematik og Statistik Symmetri Tapetmønstre Gruppe G3-110 23. maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereDEN ØVRE GRÆNSE SÆTNING FOR SIMPLICIALE SFÆRER. n 2 v 1. n 1. v 2. n 1 3(n 0 2) n 2 2(n 0 2)
DEN ØVRE GRÆNSE SÆTNING FOR SIMPLICIALE SFÆRER ISABELLE LAUDE = {, n 0 {}}{ {v 0 },..., n 1 {}}{ {v 1, v 1},..., n 2 {}}{ {v 2, v 2, v 2 },..., } v 1 v 2 v 2 v 0 v 1 v 2 = S 1 = = n 1 n 0 = S 2 = =. n
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereEndnu et dokument om L A T E X-dokumenter
Endnu et dokument om L A T E X-dokumenter mig 11. november 2014 Indhold 1 LaTeX-kursus 2014 1 1.1 Inden kursusstart (læs her!)................... 2 1.1.1 Længere nede på siden,.................. 2 2 Links
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs merePolynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen
Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både
Læs mereLogik. Af Peter Harremoës Niels Brock
Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereKomplekse tal og polynomier
Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereNoter til Matematik 3AG Algebra og geometri
Pakke Mat 3AG 1994 Noter til Matematik 3AG Algebra og geometri Anders Thorup 1 Noter til Matematik 3AG, 1994 Om ringe og moduler. 1. Nogle grundbegreber, s. 1 8 2. Kerne og kokerne. Exakte følger, s. 1
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mere