Marius tanker. Af Hans Marius Kjærsgaard. - I et vektorfelt

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Marius tanker. Af Hans Marius Kjærsgaard. - I et vektorfelt"

Transkript

1 Marius tanker Af Hans Marius Kjærsgaar - I et vektorfelt 1

2 Inholfortegnelse Introuktion... 2 Problemformulering... 2 Introuktion til funktionsmænger... 3 Grafisk repræsentation og samlingspunkter... 3 Sti-optimering i ikke-konservative vektorfæler... 4 Eksempel... 5 Anvenelse m.h.t. ruter for fragtskibe... 7 Eksempel... Fejl! Bogmærke er ikke efineret. Funktionsmængers anre anvenelses muligheer... 9 Konklusion og viereuvikling... 9 Kileliste... 1 Introuktion 9% af verens varer transporteres me skib. Skibene bruger i alt ca. 2 millioner ton bræntof om året. Dette tal forventes ena at stige til omkring 35 millioner ton om år, i år 22. Bræntoffet er båe yrt for skibsreerierne, og uleer mellem 6 millioner og 8 millioner ton CO 2 om året, et svare til omkring 4% af en globale CO 2 ulening. il sammenligning uleer flybranchen kun et halve, ca. 2% af en globale CO 2 ulening. 1 I ag planlægger fragtskib hoveageligt eres ruter u fra en korteste istance, og nogle skibe planlægger eres ruter for at ungå storme, høje bølger osv. for a gøre rejsen mere sikker og behagelig for pasagere. 2 Før i tien var et et kent princip, hvis man skulle fra USA til Europa, at følge Golfstrømmen langs USA s kyst for at komme hurtigere frem. I ag tager e store fragtskibe næsten ingen hensyn til e kraftige havstrømme. Forskning i planlægning af fragtskibes ruter så e unytter havstrømmene optimalt, er et områe me aktiv forskning. 3 Et af problemerne ve at unytte havstrømmene er, at fine en optimale rute igennem vanet, såan at strømmene hjælper skibet mest i en rigtige retning. Hvis man ser strømmene i havet som et vektorfelt, går min ie u på, at bruge et princip jeg kaler funktionsmænger, til at fine en mest bræntofs besparene rute gennem vektorfeltet. Problemformulering At beskrive princippet om funktionsmænger, og u fra ette princip bevise en metoe til sti-optimering i ikke-konservative vektorfelter. Herefter vil jeg teste enne metoes anvenelses muligheer, til at fine en mest bræntofs besparene rute for fragtskibe igennem et strømfylt farvan, for i site ene at reucere et globale CO 2 ulip Sonaljit Mukherjee, Ph.. Oceangeografi 2

3 Introuktion til funktionsmænger Måen jeg vil løse problemet me at finer en optimale rute for fragtskibene, bygger på en ie, som jeg kaler funktionsmænger. Funktionsmænger går u på at fine en måe, er gør et muligt at beskrive ueneligt mange funktioner, ve brug af kun en funktionsforskrift. Dette er smart, a et gør et muligt at sammenligne e uenelig mange funktioner i funktionsmængen. Hvilket ikke ville være muligt, hvis man så på e ueneligt mange funktioner, som hver eres funktionsforskrift. For at lave en såan funktionsmænge er min ie, at lave en funktion er tager en skalar som input og som output giver en parameterfremstillingen for en tilsvarene funktion i funktionsmængen. Den mest praktiske måe at repræsentere en såan funktion, er ve brug af lineær algebra. I en såan repræsentation består funktionsmængen af en transformationsmatrix, som er en funktion af funktionsmængens inputs parameter. Og en grunfunktion er er en parameterfremstilling, som er en funktion af en parameter som funktionsmængens output funktion er en funktion af. = M(t)g(s) Her er M(t) transformationsmatrixen, og g(s) er grunfunktionen. Det vil sige at hver t giver en ny transformationsmatrix, og funktionsmængens output for hver t bliver altså enne transformationsmatrices matrixprouct me grunfunktionen. Grafisk repræsentation og samlingspunkter Funktionsmænger har en meget brugbar grafisk repræsentation, er hjælper me at give en go forklaring af hva en funktionsmænge er. Man vælger en samling af skalare og finer eres tilsvarene transformationsmatrix. Herefter fines isse transformationsmatricers matrixproukt me grunfunktionen, isse parameterfremstillinger integnes i et koorinatsystem. (Dette svare til at fine hver af e valgte skalares tilsvarene parameterfremstilling i funktionsmængen) Her ses en grafiske repræsentation for funktionsmængen = ( 1 t ) ( s s 2 1 skalare er {t N 8 < x < 8}, tegnet i et kartesisk koorinatsystem. 4 ), hvor samlingen af Når man ser på en grafiske repræsentation, er et tyeligt at er er to punkter er har en særlig egenskab, nemlig e to punkter hvor alle funktionerne i funktionsmængen møes (-1,) og (1,). Denne slags punkter kaler jeg samlingspunkter. 3

4 Grunen til at samlingspunkter er interessante, er at hvis et fragtskib skal fra A til B kan man fine en funktionsmænge er har et samlingspunkt i båe A og i B, og på en måe fine funktionsmængen er beskriver alle ruter fra A til B. En mere formel efinition på samlingspunkter er, at et er punkter er ikke ænre sig når transformationsmatrixens inputs parameter ænre sig. Hvis man laer et samlingspunkt være et ornee par (x s, y s ) og laer s s være en væri af s, såan så M(t)g(s s ) = ( x s y s ), vil efinitionen på et samlingspunkt me mængenotation være følgene {(x s, y s ) R, t R t M(t)g(s s) = } Sti-optimering i ikke-konservative vektorfæler La V (x, y) være et ikke konservativt vektorfæl, og være en funktionsmænge me samlingspunkter i A og B. Forstil ig at u er placeret i punktet A og skal til B, alt efter hvilken vej u vælger vil vektorfælet påvirke ig på forskellige måer. Den samlee inflyelse vektorfælet har på ig, kan beskrives ve brug af et kurveintegral. Værien af s som funktionsmængen forbiner me A og B er henholvis S A og S B. (Disse er ikke afhængige af t a e er samlingspunkter) A(x, y) r C Hvor A er vektorfeltet, er et prikproukt, og r er stien man følger. Hvis kurveintegralet laves langs ens funktionsmænge i steet for stien man følger, vil man få en funktion er tager transformationsmatrixen fra funktionsmængens input som input. Som output giver en nye funktion en samlee inflyelse, vektorfeltet ville have på en tilsvarene sti til en parameter i funktionsmængen. S B V () S A U fra enne funktion er et muligt at fine en mest optimale sti, ve at fine funktionens ifferentiale i forhol til t og lae tangentens hælning være lig. Det giver S B t V () = S A Når man har funet værierne af t er giver et ekstreme, er et vigtigt at unersøge funktionens monotoniforholene, for at sikre sig at et er maksima, og at et ikke et lokalt minimum eller venetangent man har funet. 4

5 Eksempel La vektorfeltet V (x, y) repræsentere en kræft en havstrøm påvirker skibet me, som en funktion af skibets placering, og la forskriften for V (x, y) = ( y(4 (x2 + y 2 )) x(4 (x 2 + y 2 )) ). Et skib befiner sig i punktet (-1,-1), og skal til punktet (1,1). Skibet følger en af ruterne i funktionsmængen = ( 1 1 t ) ( s s 2 ), hvor 3 < x < 4. Funktionen har samlingspunkter i 1 punktere (-1,-1) og (1,1), og eres værier i parameterfremstillingen er henholvis s = 1 og s = 1. Hvilken af ruterne i funktionsmængen skal skibet følge for at unytte havstrømmen mest muligt? Dette kan som før vist fines ve brug af integralet 1 t V () = 1 Ve brug af oplysningerne omkring vektorfeltet, og funktionsmængen for e ruter skibet kan følge, kan vi begyne at løse formlen. Først kan eles op i parameterfremstillinger U fra ette kan man se at = ( 1 1 t ) ( s s 2 1 ) = ( s s 2 t + s t ) x = s og y = ts2 t + s V () = ( (s2 t + s t)(4 (s 2 + (s 2 t + s t) 2 )) s(4 (s 2 + (s 2 t + s t) 2 ) )) Ve at erstatte x og y me henholvis s og ts 2 t + s. Det næste er at fine ifferentialet af funktionsmængen me hensyn til s. Dette kan gøres ve at fine ifferentialet af grunfunktionen me hensyn til s ( 1 1 t ) ( s s 2 1 ) = (1 1 t ) ( 1 2s ) ve at gange matricerne u, kan man bevise, at ifferentialet af funktionsmængen me hensyn til grunfunktionens parameter, er lig me transformationsmatrixens proukt me ifferentialet af grunfunktionen. (grunfunktionen er en parameterfremstilling, så er er som at tage ifferentialet af en normal parameterfremstilling.) hvis man sætter ette i integralet får man 1 t t + s t)(4 (s 2 + (s 2 t + s t) 2 )) ((s2 s(4 (s 2 + (s 2 t + s t) 2 ) ( 1 )) 1 t ) ( 1 2s ) = 1 Herefter ganges parenteserne og matricerne u, et giver 1 t t 3 + 3s 4 t 3 3s 2 t 3 + t 3 3s 5 t 2 + 6s 3 t 2 3st 2 4s 4 t + 8s 2 t 4t 2s 3 + 4s 1 ( s6 s 3 t st + s 3 + s 2 ) ( 4s 2st + 1 ) = 1 Nu tages prikprouktet mellem e to vektor funktioner, og integralet uvies. Det resultere i 5

6 1 t 1 s 6 t 3 + 3s 4 t 3 + s 4 t 2 3s 2 t 3 2s 2 t 2 + t 3 3s 5 t 2 + 6s 3 t 2 + 3s 3 t 3st 2 6s 4 t st 4t s 3 + s 2 = t [ s7 t s5 t 3 5 Det giver + s5 t 2 5 s3 t 3 2s3 t 2 + st 3 s6 t s4 t s4 t 4 3s2 t 2 6s5 t 2 5 s2 t 2 t3 ( t 7 + 3t3 5 + t2 5 t3 2t2 3 + t3 t t t 4 3t2 2 6t 5 t 2 4t Dette kan reuceres yerligere til ( t3 7 3t3 5 t t3 + t 2 3 t3 t t t 4 3t t t (32t t t ) = Hvis man nu ifferentiere ette trejegrapolynomium får man 96t t = 72t2 49t 273 = Vi kan nu isolere t, ve brug af løsningsformlen for anengraligningen t = 49 ± t 2,32 eller t 1,64 4st s4 4 + s3 3 ] 1 1 = 5 t 2 + 4t )) = For at fine u af om et er to maksima, minima eller venetangenter vi har funet, ifferentiere vi 72t 2 49t 273 = ennu en gang me hensyn til t. Det giver Man kan nu starte me at lae t = 2,32 144t 49 = 144 2,32 49 = 285,8 > t = 2,32 er altså et minimum, a et 2. ifferentiale er positivt. Hvis man i steet laer t = 1,64 får man 144 ( 1,64) 49 = < t = 1,64 er altså et maksimum og en bete sti i funktionsmængen for at komme fra et ene samlingspunkt til et anet hvor 3 < x < 4. Det vil altså sige at en optimale rute gennem vektorfeltet s er en me parameterfremstillingen f(s) = ( 1.64s 2 + s + 1,64 ). 6

7 Illustrationen viser en grafiske repræsentation for funktionsmængen i problemet, me vektorfeltet i baggrunen i rø, og en optimale rute repræsenteret i orange. Problemet ve at fine en optimale sti på enne måe, er at er at en ikke tager hensyn til stiens længe. Den viser kun at et er en rute, hvor kræfterne hjælper skibet mest i en rigtige retning. Dette kan være fint i nogle sammenhænge hvor stiens længe er ligegylig, men hvis man skal beregne en optimale rute for et fragtskib, er et et problem. Anvenelse m.h.t. ruter for fragtskibe Hvis man ønsker at fine en optimale rute for et fragtskib, er ovenståene integral ikke så anveneligt, a et som før nævnt ikke tager hensyn til rutens længe. (𝑥, 𝑦) være vanets hastighe repræsenteret som et vektorfelt, 𝑉 𝑀𝑜𝑡𝑜𝑟 er hastigheen skibet ville La 𝑉 bevæge sig me, hvis et kun var motoren er rev et frem, 𝐷 er længen af ruten, 𝑇 er tien skibet har til at færiggøre sin rejse, og 𝑓(𝑠, 𝑡) er funktionsmængen for e ruter skibet kan følge (s er tien og t er parameteren for funktionsmængens transformationsmatrixen). 𝑀𝑜𝑡𝑜𝑟. Hvis vi antager at skibets hastighe over grunen, er hastigheen af strømmen plus 𝑉 (𝑓(𝑠, 𝑡)) + 𝑉 𝑀𝑜𝑡𝑜𝑟 𝑉 (𝑓(𝑠, 𝑡)) er skubber skibet For at skibet kan nå frem til sit mål til tien, skal integralet af en el af 𝑉 𝑀𝑜𝑡𝑜𝑟, integreret fra til være lig rutens længe. frem langs ruten plus 𝑉 (𝑓(𝑠, 𝑡)) er skubber skibet i rutens retning, er som En måe man kan beregne en el af 𝑉 (𝑓(𝑠, 𝑡)). prikprouktet af funktionens enhe tangentvektor me 𝑉 𝑑 𝑓(𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠 (𝑓(𝑠, 𝑡)) 𝑉 𝑑 𝑑𝑠 𝑓(𝑠, 𝑡) * er prikprouktet. 7

8 Alt i alt får man V () + V Motor = D Længen af ruten skibet følger, er selvfølgelig afhængig af hvilken funktion i funktionsmængen man vælger at følge. Derfor kan D også skrives ve brug af formlen for længen af en graf D = ( x ) 2 + ( y ) 2 Hvor x og y er henholvis x- og y komponenten, af funktionsmængens output parameterfremstilling ( x y ) =. Dette kan nu sættes sammen til V () + V Motor = ( x ) 2 + ( y ) 2 Hvis vi antager at V Motor er konstant uner hele turen, kan venstre sie omskrives til Det hele kan nu omskrives til V () V Motor = ( x ) 2 + ( y ) 2 + V Motor V () V Motor kan nu isoleres, og integralerne på højre sie kan lægges sammen V Motor = 1 ( x 2 ) + ( y 2 ) V () Man har altså nu en funktion, er viser hvor stor en hastighe vi skal skubbe skibet frem me, for at nå vores estination til tien. For at fine u af hvilken af funktionerne i funktionsmængen er er en optimale, skal vi fine en rute hvor V Motor er mint. Vi skal altså fine funktionens minimum. Dette kan gøres ve at ifferentiere utrykket me hensyn til transformationsmatrixens parameter t. Det give 1 t ( x 2 ) + ( y ) 2 V () = 8

9 Ve at gange begge sier me, kan ette simplificeres til t ( x 2 ) + ( y ) 2 V () = Når man har funet værierne af t er giver et ekstreme, er et vigtigt at unersøge funktionens monotoniforholene, for at sikre sig at et er minima, og at et ikke et lokalt maksimum eller venetangent man har funet. Funktionsmængers anre anvenelses muligheer Unervejs mens jeg har arbejet me funktionsmænger og sti-optimering, har jeg funet u af, at stioptimering og planlægning af fragtskibes ruter, langt fra er e eneste anvenelses muligheer for funktionsmænger. Funktionsmænger er brugbart e fleste steer hvor man ønsker at sammenligne en stor samling af funktioner. Funktionerne behøver ikke at være to imensionale, for eksempel ville et også være muligt at lave en funktionsmænge for et vektorfelt, eller en multivariabel funktion. Et par af e områer hvor jeg har funet u af at funktionsmænger måske kunne anvenes er: Væskeynamik Klassisk ynamik Beskrivelse af bakterie vækst Der u over har funktionsmænger en interessant matematisk generalisering, som jeg arbejer på. Generaliseringen af funktionsmænger gør et muligt at have funktionsmænger for funktioner i flere imensioner samt flere slags funktioner, skalarfelter, vektorfelter og multivariable funktioner. Konklusion og viereuvikling Funktionsmænger har helt klart et potentiale til at løse problemer er hanler om sti optimering. Der er og et par problemer. Det første problem er, at et ikke er lykkees mig at lave funktionsmænger, er ineholer funktioner af forskellige typer som polynomier, eksponentielle funktioner, sinus bølger, osv. Dette er vigtigt, fori hvis man skal lave mere præcise beregninger, skal man bruge en funktionsmænge er ineholer alle mulige ruter mellem to punkter. Dette kan ikke lae sig gøre hvis man ikke kan få funktionsmængerne til at inehole funktioner af forskellige typer. Princippet om funktionsmænger til sti optimering ville staig kunne lae sig gøre, et ville bare blive mere upræcist. Jeg tror løsningen til ette problem er aylor approksimation, a et gør et muligt at approksimere funktioner af alle typer, me et polynomium. Dette gør, at man ikke behøver at lave en funktionsmænge er ineholer funktioner af forskellige typer. Det site problem er, at for at sti optimere fragtskibes ruter, er man nø til at fine funktionsforskriften for et vektorfelt er beskriver en tilnærmelse af havstrømmene som et vektorfelt. Havstrømmene er kortlagt, men problemet er at et kræver en el computer kræft, at fine en tilnærmet funktionsforskrift for em. Jeg er i gang me at uvikle en mere præcis moel, for sti optimering, er også tager hensyn til en kræft skibet skal bruge for at hole sig på ruten. Min ie for at gøre ette er ve brug af formlen for funktionens enhe normal vektor, til at fine en sit komponent af vektoren er repræsentere skibet hastighe. 9

10 Når jeg er færig me enne moel, kunne et være sjovt at prøve at få fat på informationen, er skal bruges for at uføre beregningerne på et rigtigt fragtskib. Kileliste besøgt en 19. januar besøgt en 19. januar Sonaljit Mukherjee, Ph.. Oceangeografi, university of virgin islan Nynne Afzelius, can.scient. i fysik og matematik, talent chef science talenter 1

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Grafregner-projekt om differentiation.

Grafregner-projekt om differentiation. Grafregner-projekt om ifferentiation. Motivation: Når nu ifferentieret giver, og e ifferentieret giver e, hvorfor får man så ikke e når man ifferentiere e? Formål: ) At opnå kenskab til, og forståelse

Læs mere

Koblede svingninger. Thomas Dan Nielsen Troels Færgen-Bakmar Mads Sørensen juni 2005

Koblede svingninger. Thomas Dan Nielsen Troels Færgen-Bakmar Mads Sørensen juni 2005 Koblee svingninger Thomas Dan Nielsen 20041151 Troels Færgen-Bakmar 20041116 Mas Sørensen 20040795 1. juni 2005 Institut for Fysik og Astronomi Det Naturvienskabelige Fakultet Aarhus Universitet Inhol

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette okument må kun anvenes til unervisning i klasser som aonnerer på MatBog.k. Se yerligere etingelser for rug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

Kursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition

Kursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition Kursusgang 5 Repetition - froberg@math.aau.k http://people.math.aau.k/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 30. september 2008 1/15 Differenskvotient og Differentialkvotient

Læs mere

Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaard Andreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi

Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaard Andreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaar Anreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi Inhol 1 Foror 2 2 Potensregneregler 3 3 Kvaratsætninger

Læs mere

Matematik - September 2001 Afleveret d. 27/4-2006

Matematik - September 2001 Afleveret d. 27/4-2006 Matematik - September Afleveret. 7/ - 6 Opgave For at lave en paremeterfremstilling for en ret linje, så skal jeg bruge et punkt på linjen, og en retningsvektor. Punktet kener jeg a jeg får opgivet to

Læs mere

Fagplan og mål for matematik 7-9 klasse

Fagplan og mål for matematik 7-9 klasse Fagplan og mål for matematik 7-9 klasse På Slotsparkens Friskole følger vi Undervisningsministeriets mål for de fag. Kompetencemål se link : http://ffm.emu.dk Fagets kompetenceområder: Matematiske kompetencer

Læs mere

Hjemmeopgavesæt 01.02.10

Hjemmeopgavesæt 01.02.10 Rami Kaoura Matematik A Dato 01.0.010 Hjemmeopgavesæt 01.0.10 Navn: Rami Kaoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Vejleer: Jørn Christian Bentsen Skole: Roskile tekniske gymnasium, Htx Dato: 01.0.010 1 Rami

Læs mere

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleor og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afleee i flere variable Notation og regneregler for partielle afleee Test partielle afleee Grafisk afleee

Læs mere

Referat. Plan- og Boligudvalget. Møde nr.: 13/2012 Dannet den: Torsdag den 06-12-2012 Mødedato: Tirsdag den 04-12-2012 Mødetidspunkt: 17:00-18:30

Referat. Plan- og Boligudvalget. Møde nr.: 13/2012 Dannet den: Torsdag den 06-12-2012 Mødedato: Tirsdag den 04-12-2012 Mødetidspunkt: 17:00-18:30 Referat Plan- og Boliguvalget Møe nr.: 13/2012 Dannet en: Torsag en 06-12-2012 Møeato: Tirsag en 04-12-2012 Møetispunkt: 17:00-18:30 Møeste: Harhoff Melemmer Thorkil Mølgaar (TM) (PEN) O Kisser Franciska

Læs mere

Energitæthed i et elektrostatisk felt

Energitæthed i et elektrostatisk felt Elektromagnetisme 6 ie af 5 Elektrostatisk energi Energitæthe i et ektrostatisk ft I utryk (5.0) er en ektrostatiske energi E af en laningsforing utrykt ve ennes laningstæthe ρ, σ og tilhørene ektrostatiske

Læs mere

Introduktion til Modelanalyse Note til Økonomiske Principper B

Introduktion til Modelanalyse Note til Økonomiske Principper B Introuktion til Moelanalyse Note til Økonomiske Principper B ve Claus Thustrup Kreiner Gitte Ying Michaelsen Hans Jørgen Whitta-Jacobsen Introuktion til moelanalyse Claus Thustrup Kreiner Gitte Ying Michaelsen

Læs mere

REGULARITET AF LØSNINGER M.M.

REGULARITET AF LØSNINGER M.M. REGULARITET AF LØSNINGER M.M. E. SKIBSTED Inhol 1. Plan og forusætninger 1 2. Generalisering af [B, Theorem 3.8] 1 3. Autonomt tilfæle 3 3.1. Mængen D er åben 3 3.2. Strømmen er kontinuert på D 4 4. Tisafhængige

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Matematik Kursusopgave Kran Lastning 01-06-2006. Kran Lastning. Lavet af Morten Kvist & Benjamin Jensen Htx 3.2 Side 1 af 8

Matematik Kursusopgave Kran Lastning 01-06-2006. Kran Lastning. Lavet af Morten Kvist & Benjamin Jensen Htx 3.2 Side 1 af 8 Kran Lastning Lavet af Morten Kvist & Benjamin Jensen Htx 3.2 Sie 1 af 8 En kran kørere på et skinnesystem i x-aksens retning me en jævn hastighe på 0,8 meter/sekun. Samtiig svinger kranens ulægger vinklen

Læs mere

Elementære funktioner

Elementære funktioner enote 14 1 enote 14 Elementære funktioner I enne enote vil vi els repetere nogle af e basale egenskaber for et uvalg af e (fra gymnasiet) velkente funktioner f (x) af én reel variabel x, og els introucere

Læs mere

2x MA skr. årsprøve

2x MA skr. årsprøve MA skr. årsprøve 8.0.08 Prøven uen hjælpemiler Opg. + = 0 ( ) + = 0 I parentesen står et anengraspolynomium. Det har = = 9 + og erme røerne = = og = = Af nulregelen ses at også 0 er en løsning, så

Læs mere

Rapport fra arbejdsgruppen vedr. Netv rksanbringelser:

Rapport fra arbejdsgruppen vedr. Netv rksanbringelser: Rapport fra arbejdsgruppen vedr. Netv rksanbringelser: Udarbejdet af: Peter Br gge Birgitte R. Lydolf Annette B rnholdt Dorte Broberg Lone Munksgaard Sylvia Mortensen Eva Kloster 1 Indledning: P baggrund

Læs mere

Nøgletal til resultatdokumentation

Nøgletal til resultatdokumentation Nøgletal til resultatdokumentation Vejledningsmateriale til opgørelse og anvendelse Netværksinddragende metoder Indholdsfortegnelse Introduktion til nøgletal... 3 Om nøgletallene... 3 Metodiske overvejelser...

Læs mere

Forbrug hos Danmarks befolkning. Forbrug hos Danmarks befolkning

Forbrug hos Danmarks befolkning. Forbrug hos Danmarks befolkning DEL 8 BILAG 8. BILAG Bilag 1: Årstal 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Digitalt Tv 27 38 53 60 74 3D-tv 4 14 17 17 Smart-tv 24 34 Bærbar computer, lap-top 72 78 81 81 86 Tablet pc, mini computer

Læs mere

Opgave 1 ( Toppunktsformlen )

Opgave 1 ( Toppunktsformlen ) Opgve 1 ( Toppunktsformlen ) Et nengrspolynomium er givet ve f x x 2 b x c. For t fine toppunktet vil vi først ifferentiere f x Derefter løser vi ligningen f ' x x b f ' x 0 x b 0 x b D f ' x x b er en

Læs mere

Marianne Gudnor (2063) Efterår 2007

Marianne Gudnor (2063) Efterår 2007 Marianne Gunor (063) Efterår 007 Inholsfortegnelse: Forimensionering af aksler:... 3 Ingangsakslen til maskinenhe B... 3 Ingangsakslen til maskinenhe A... 4 Valg af gear... 4 Uligningskobling,B.... 5 Dimensionering

Læs mere

Tilslutningsvejledning

Tilslutningsvejledning Sie 1 af 6 Tilslutningsvejlening Unerstøttee operativsystemer Ve hjælp af software-'en kan u installere printersoftwaren på følgene operativsystemer:.1 Winows Server 2012 R2 Winows 7 SP1 Winows Server

Læs mere

Vejledning til kommunerne om kontrol af elever indskrevet på en fri grundskole 5. september 2017

Vejledning til kommunerne om kontrol af elever indskrevet på en fri grundskole 5. september 2017 Vejledning til kommunerne om kontrol af elever indskrevet på en fri grundskole 5. september 2017 Indholdsfortegnelse Navigation mellem skærmbilleder og på skærmbillede... 3 Godkendelse af eleverne i skema

Læs mere

Grafisk design. Workflow. Hvordan blev det lavet?

Grafisk design. Workflow. Hvordan blev det lavet? Grafisk esign Workflow Hvoran blev et lavet? Workflow af forsie For at påbegyne en kreative process best muligt startee jeg me at lave en brainstorm. Det gjore jeg for at få et overblik over hvilket slags

Læs mere

It i fagene - Helsingør. Det faglige digitale penalhus WORKSHOPS 2012-2013 SFO

It i fagene - Helsingør. Det faglige digitale penalhus WORKSHOPS 2012-2013 SFO It i fagene - Helsingør Det faglige igitale penalhus WORKSHOPS 2012-2013 SFO SFO leere og personale I skoleåret 2012-2013 er er tilrettelagt et it- kompetenceløft for Helsingørs kommunes SFO ansatte. Der

Læs mere

Uddannelsesordning for uddannelsen til CNC Tekniker

Uddannelsesordning for uddannelsen til CNC Tekniker Uannelsesorning for uannelsen til CNC Tekniker 1. Ikrafttræelsesato: 1. august 2015 Ustet af et faglige uvalg for Metalinustriens Uannelser i henhol til bekentgørelse nr. 437 af 13/04/2015 om uannelsen

Læs mere

Lokalafdeling. Viborg. Nyhedsbrev. Her kommer et nyhedsbrev til jer, efter general forsamlingen har vi nu konstitueret os følgende:

Lokalafdeling. Viborg. Nyhedsbrev. Her kommer et nyhedsbrev til jer, efter general forsamlingen har vi nu konstitueret os følgende: Lokalafdeling Viborg Nyhedsbrev Her kommer et nyhedsbrev til jer, efter general forsamlingen har vi nu konstitueret os følgende: Formand: Jacob Vestergaard ansvarlig for nørkleklub og vius Næstformand:

Læs mere

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk

Læs mere

Kommunale patientuddannelseskurser Kræftens Bekæmpelse. Kommunale patientuddannelseskurser Lær at leve med en kronisk sygdom

Kommunale patientuddannelseskurser Kræftens Bekæmpelse. Kommunale patientuddannelseskurser Lær at leve med en kronisk sygdom Kommunale patientuannelseskurser Kræftens Bekæmpelse Kommunale patientuannelseskurser Lær at leve me en kronisk sygom Kommunale patientuannelseskurser Lær at leve me en kronisk sygom Fori mange kræftpatienter

Læs mere

Sådan kommer du i gang!

Sådan kommer du i gang! Sådan kommer du i gang! - en Conteco-guide for begyndere Indhold Det skal du bruge.. 2 Opnå det rigtige look...2 Systemopbygning..2 Blanding af farve... 2 Blanding af Conteco... 3 Blanding af Conteco Beton

Læs mere

Skabelon og vejledning til udfærdigelse af handlingsplan

Skabelon og vejledning til udfærdigelse af handlingsplan Skabelon og vejledning til udfærdigelse af handlingsplan Når skolen bliver opmærksom på mobning eller lignende er den forpligtet til at udarbejde en handlingsplan for den konkrete situation. Dansk Center

Læs mere

Matematik D. Almen voksenuddannelse. Skriftlig prøve. Torsdag den 18. maj 2017 kl AVU172-MAT/D. (4 timer)

Matematik D. Almen voksenuddannelse. Skriftlig prøve. Torsdag den 18. maj 2017 kl AVU172-MAT/D. (4 timer) Matematik D Almen voksenuannelse Skriftlig prøve (4 timer) AVU172-MAT/D Torsag en 18. maj 2017 kl. 9.00-13.00 Opgaver fra erhvervsuannelserne Matematik niveau D Skriftlig matematik Opgavesættet består

Læs mere

Ret og vrang om patientcentreret behandling

Ret og vrang om patientcentreret behandling Ret og vrang om patientcentreret behanling Professor Kirsten Lomborg, PhD, MScN Det nye sunhesvæsen Patienter og pårørene er samfunsaktiver Sunhesfremme og forebyggelse Borgernære sunhesyelser - telemeicinske

Læs mere

3.a søger ud i det blå

3.a søger ud i det blå 3.a søger ud i det blå I 10.000 meters højde sidder jeg og tænker tilbage på de sidste to uger. Jeg må ærligt indrømme, de har været fyldt med nogle af de vildeste ting, jeg har oplevet, og sådan tror

Læs mere

Historisk lav ventetid blandt flygtninge

Historisk lav ventetid blandt flygtninge OKTOBER 217 NYT RA R Historisk lav ventetid blandt flygtninge lygtninge, der fik opholdstilladelse i i perioden 213-2, ventede i gennemsnit under 6 måneder på at få deres asylsag afgjort. Dermed var flygtninges

Læs mere

Facilitators guide til cyberdilemmaøvelse

Facilitators guide til cyberdilemmaøvelse s guide til cyberdilemmaøvelse Øvelsen er udarbejdet af Beredskabsstyrelsens Center for Uddannelse i samarbejde med Center for Cybersikkerhed Guide til dilemmaøvelse Cybersikkerhed Velkommen til Beredskabsstyrelsens

Læs mere

Notat. Kvalitetsprocedure for forsøg med helhedsorienteret bygge- og anlægstilsyn. Indhold

Notat. Kvalitetsprocedure for forsøg med helhedsorienteret bygge- og anlægstilsyn. Indhold Notat Metoder og virkemidler Postboks 1228 0900 København C Tlf. 70 12 12 88 Fax 70 12 12 89 at@at.dk www.at.dk Kvalitetsprocedure for forsøg med helhedsorienteret bygge- og anlægstilsyn Indhold Formål...

Læs mere

Skolevejsanalyse Hjørring Kommune Samlet rapport

Skolevejsanalyse Hjørring Kommune Samlet rapport Skolevejsanalyse Hjørring Kommune 2016 Samlet rapport Hjørring Kommune Skolevejsanalyse 2016 Udarbejdet af Hjørring Kommune i samarbejde med Sweco A/S Kontaktoplysninger: Teknik og Miljøområdet Park og

Læs mere

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives.

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives. Eksamensspørgsmål - maj/juni 2016 1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning

Læs mere

LÆRINGSKORT ELEKTRISK HEGN TEAMBUILDING GENNEM FRILUFTSLIV - TB 01 AKTIVITET LÆRINGSMÅL. Støttet af udlodningsmidler til friluftsliv

LÆRINGSKORT ELEKTRISK HEGN TEAMBUILDING GENNEM FRILUFTSLIV - TB 01 AKTIVITET LÆRINGSMÅL. Støttet af udlodningsmidler til friluftsliv LÆRINGSKORT TEAMBUILDING GENNEM FRILUFTSLIV - TB 01 ELEKTRISK HEGN AKTIVITET Få hele gruppen over/under eller igennem det Elektriske hegn Lokalitet: Skolegård, bypark eller skov Tid: 10-45 minutter Antal

Læs mere

Aftale om overførsel af ferie i henhold til ferieaftalen af 21. juni 2012

Aftale om overførsel af ferie i henhold til ferieaftalen af 21. juni 2012 Aftale om overførsel af ferie i henhol til ferieaftalen af 21. juni 2012 Arbejsgiver CVR-nummer 54 P-nummer 4 Navn 54 Vejnavn 54 Husnummer Etage 4 Sie/Dør Postnummer By Mearbejer Uenlansk aresse Fornavn(e)

Læs mere

Faktureret elsalg (GWh)

Faktureret elsalg (GWh) Notat Elprisstatistik første halvår 217 I nærværende notat gives en kort beskrivelse af Energistyrelsens elprisstatistik for erhvervskunder for første halvår 217. Denne statistik er baseret på indberetninger

Læs mere

Befordring af skoleelever Regler og principper. Administrativ vejledning

Befordring af skoleelever Regler og principper. Administrativ vejledning Befordring af skoleelever Regler og principper Administrativ vejledning 15. august 017 Indhold 1. Indledning.... Betingelser... 3.Begrebet hjemmets nærhed... 4 4. Opsummering... 4 1 1. Indledning 1.1.Formålet

Læs mere

Vejledning til ældre- og handicapråd vedr. høring af udbudsmaterialet i forbindelse med udbud af Bleer med bevilling

Vejledning til ældre- og handicapråd vedr. høring af udbudsmaterialet i forbindelse med udbud af Bleer med bevilling Vejledning til ældre- og handicapråd vedr. høring af udbudsmaterialet i forbindelse med udbud af 50.96 Bleer med bevilling Indholdsfortegnelse Hvem er SKI?... 2 Udbud af bleer... 2 Inddragelse af repræsentanter

Læs mere

1-5, ved ikke EA-reolen, strukturen, konceptet 1.Sammenhængende it, 2.Genbrug, 3.Byg til forandring, 4.Flere leverandører, 5.

1-5, ved ikke EA-reolen, strukturen, konceptet 1.Sammenhængende it, 2.Genbrug, 3.Byg til forandring, 4.Flere leverandører, 5. Bilag 9 Punkt 13 Målepunkt Emne Spm. # Udsagn Svar type Svarmuligheder Kommentar Hjælpetekst Bedre betingelser for datadeling Nytteværdi 1 Den fælleskommunale rammearkitektur skaber bedre muligheder for

Læs mere

At kende din grund vil styrke dig til handling, trække dig gennem svære øjeblikke og inspirere til personlig vækst.

At kende din grund vil styrke dig til handling, trække dig gennem svære øjeblikke og inspirere til personlig vækst. byg naturligt at finde din RUND At kende din grund vil styrke dig til handling, trække dig gennem svære øjeblikke og inspirere til personlig vækst. TIP TIL AT FINDE DIN RUND pørg dig selv; hvad er min

Læs mere

Hłringssvar ang. omorganisering af stłtteomr det 0-5 r.

Hłringssvar ang. omorganisering af stłtteomr det 0-5 r. Hłringssvar ang. omorganisering af stłtteomr det 0-5 r. Vi synes, det er en god ide med differentieret tilbud til błrn med s rlige behov, b de i.f.t. det enkelte barns behov, familiens łnsker samt i.f.t.

Læs mere

BRUGERUNDERSØGELSE 2014 PLEJEBOLIG. Ørestad Plejecenter. Sundheds- og Omsorgsforvaltningen - Brugerundersøgelse 2014: Plejebolig 1

BRUGERUNDERSØGELSE 2014 PLEJEBOLIG. Ørestad Plejecenter. Sundheds- og Omsorgsforvaltningen - Brugerundersøgelse 2014: Plejebolig 1 BRUGERUNDERSØGELSE 2014 PLEJEBOLIG Sunhes- og Omsorgsforvaltningen - Brugerunersøgelse 2014: Plejebolig 1 Brugerunersøgelse 2014 Plejebolig Brugerunersøgelsen er uarbejet af Epinion P/S og Afeling for

Læs mere

Herning Kommunalbestyrelse Torvet 1 7400 Herning. Vedrørende Herning Kommunes sagsnr. 27.00.00 -G01-1935-12

Herning Kommunalbestyrelse Torvet 1 7400 Herning. Vedrørende Herning Kommunes sagsnr. 27.00.00 -G01-1935-12 Herning Kommunalbestyrelse Torvet 1 7400 Herning 21-0 6-2 0 1 2 T I L S Y N E T Vedrørende Herning Kommunes sagsnr. 27.00.00 -G01-1935-12 A og B har den 20. november 2011 rettet henvendelse til Statsforvaltningen

Læs mere

BESKÆFTIGELSESREGION MIDTJYLLAND MIDTJYLLAND OM 6 MÅNEDER. Den private sektors beskæftigelsesforventninger i Midtjylland

BESKÆFTIGELSESREGION MIDTJYLLAND MIDTJYLLAND OM 6 MÅNEDER. Den private sektors beskæftigelsesforventninger i Midtjylland BESKÆFTIGELSESREGION MIDTJYLLAND MIDTJYLLAND OM 6 MÅNEDER Den private sektors beskæftigelsesforventninger i Mitjyllan Februar 2009 INDHOLDSFORTEGNELSE BESKRIVELSE AF UNDERSØGELSEN 3 OVERORDNET OM VIRKSOMHEDERNE

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Hanne Hegers bog er en gave til alle vi, der på et tidspunkt har gjort noget i vores liv, der var dårligt for os. Været i de forkerte parforhold.

Hanne Hegers bog er en gave til alle vi, der på et tidspunkt har gjort noget i vores liv, der var dårligt for os. Været i de forkerte parforhold. Min vej ud af medmisbruget af Hanne Heger En bog om misbrug for os alle... Hanne Heger Min vej ud af medmisbruget 20 år med en alkoholiker 142 sider Kr. 199 Borgens Forlag Hanne Hegers bog er en gave til

Læs mere

er peak hastighedstrykket regnet uden årstids variation og c

er peak hastighedstrykket regnet uden årstids variation og c Anneks A:last å teltkonstruktioner A.1 Baggrun Eter ugivelsen a Vejlening om certiiceringsorning og byggesagsbeanling a transortable telte og konstruktioner, august 014 ar røtelser me e involveree arter

Læs mere

RISIKOVURDERING. μg l = K 5,2. / l 20.417l

RISIKOVURDERING. μg l = K 5,2. / l 20.417l RISIKOVURDERING Til vurering af om tungmetaller og PAHér kan ugøre en risiko for grunvanet er er i et følgene gennemført beregninger af inholet af stoffer, er teoretisk kan uvaskes af klasse 2 og 3 jor

Læs mere

Interferens og gitterformlen

Interferens og gitterformlen Interferens og gitterformlen Vi skal stuere fænomenet interferens og senere bruge enne vien til at sige noget om hva er sker, når man sener monokromatisk lys, altså lys me én bestemt bølgelænge, igennem

Læs mere

Informationsmøde om SFI

Informationsmøde om SFI Informationsmøde om SFI Informationsmøde om statens udpegning af SFIsprøjtemiddelfølsomme indvindingsområder i Billund den 24. marts 2015 & Odense den 25. marts 2015 Dagsorden Velkomst Præsentation af

Læs mere

7. Ideer til udvikling af idrætsfaciliteterne på Bornholm

7. Ideer til udvikling af idrætsfaciliteterne på Bornholm 7. Ideer til udvikling af idrætsfaciliteterne på Bornholm På baggrund af de fire undersøgelser og andre relevante undersøgelser skal vi her i det sidste afsnit give forslag til, hvordan idrætsfaciliteterne

Læs mere

Bilag 1 - Indsatsområder for dagtilbudsområdet

Bilag 1 - Indsatsområder for dagtilbudsområdet Bilag 1 - Indsatsområder for dagtilbudsområdet 2018-2020 Indledning Dagtilbud i Ringsted Kommune bygger både et lovmæssigt og værdimæssigt grundlag. Det betyder konkret, at den pædagogiske praksis sker

Læs mere

FRIAPHON 2015. Katalog - 1 Januar 2015-1. Udgave SCANDINAVIA

FRIAPHON 2015. Katalog - 1 Januar 2015-1. Udgave SCANDINAVIA FRIAPHON 2015 Katalog - 1 Januar 2015-1. Ugave SCANDINAVIA 1 SCANDINAVIA FRIAPHON - Støjæmpene afløb i bygninger FRIAPHON er et lyæmpene afløbssystem i ualteknik. Og er et af e få afløbssystemer er er

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Pakke 3. Euronorm. 2 med 70 (47+23) 4 12 år 331

Pakke 3. Euronorm. 2 med 70 (47+23) 4 12 år 331 Pakke 3 Ruter Strækning Timer Busser i alt Stationering Busser til overtagelse 331 Skanerborg-Oer 4.380 2 Oer 2 2 Busser til overtagelse Overtagelsen af e anførte busser sker efter bestemmelserne i e nugælene

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

1. Tal. Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2

1. Tal. Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis,

Læs mere

Lektion ordens lineære differentialligninger

Lektion ordens lineære differentialligninger Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante

Læs mere

MIDTVEJSRAPPORT Projekt Peer-støtte i Region Hovedstaden PIXI-UDGAVE

MIDTVEJSRAPPORT Projekt Peer-støtte i Region Hovedstaden PIXI-UDGAVE MIDTVEJSRAPPORT Projekt Peer-støtte i Region Hovedstaden PIXI-UDGAVE 2017 1. INDLEDNING Denne Pixi-udgave indeholder en kort beskrivelse af de nyeste erfaringer med ansættelse af peer-støttemedarbejdere

Læs mere

over, hvordan man gør. På sarr.:-. :-=--e teagerer vi i forhold til de emotionelle påvirkninger. gruii.-.::z:..a: i oerioden: vore iølelsesmæssige

over, hvordan man gør. På sarr.:-. :-=--e teagerer vi i forhold til de emotionelle påvirkninger. gruii.-.::z:..a: i oerioden: vore iølelsesmæssige TEKSTELSEBADEN,]ENSEN WWWELSEBADEN]ENSEND(//FOTOI/ARIANNELANE WWW]\4ARANNEIANED(/WWWKERNEIEATNG,DK arianne Lane, 43 år. er norjye me en ertil hørene norjysk accent. Hun or ue på lanet ve Freerikshavn me

Læs mere

SIDDER DU GODT? En brugerhåndbog for kørestolsbrugere Af Helle Dreier

SIDDER DU GODT? En brugerhåndbog for kørestolsbrugere Af Helle Dreier En brugerhånbog for kørestolsbrugere En brugerhånbog for kørestolsbrugere INDHOLDSFORTEGNELSE FORORD FORMÅL SKADER PÅ KROPPEN 03 04 05 Skaer på bevægeapparatet(vs skelet, muskler og le) Skaer på eller

Læs mere

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller 1 Ligninger a. Fortæl om algebraisk og grafisk løsning af ligninger ud fra ét eller flere eksempler. b. Gør rede for algebraisk løsning af andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0. 2 Ligninger a. Fortæl om

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

FÆLLESSKAB GIVER MULIGHEDER EKSTRAORDINÆR KONGRES 2003 FORSLAG TIL KONGRESVEDTAGELSE: LO S LEDELSES- OG BESLUTNINGSSTRUKTUR

FÆLLESSKAB GIVER MULIGHEDER EKSTRAORDINÆR KONGRES 2003 FORSLAG TIL KONGRESVEDTAGELSE: LO S LEDELSES- OG BESLUTNINGSSTRUKTUR FÆLLESSKAB GIVER MULIGHEDER EKSTRAORDINÆR KONGRES 0 FORSLAG TIL KONGRESVEDTAGELSE: LO S LEDELSES- OG BESLUTNINGSSTRUKTUR LO S EKSTRAORDINÆRE KONGRES 0 / FORSLAG TIL KONGRESVEDTAGELSE Forslag til kongresvedtagelse:

Læs mere

Poul Nordemann Jensen, DCE

Poul Nordemann Jensen, DCE Energi-, Forsynings- og Klimaudvalget 2016-17 EFK Alm.del Bilag 84 Offentligt Poul Nordemann Jensen, DCE Mulige påvirkninger af jord og overfladevand ved frakturering. AARHUS Karakteristik af overfladevand

Læs mere

Mange flere EU-borgere kan stemme til kommunalvalget

Mange flere EU-borgere kan stemme til kommunalvalget Mange flere EU-borgere kan stemme til kommunalvalget Siden kommunalvalget i 2013 er antallet af EU-borgere, der kan stemme, steget med 32 procent, men der er store forskelle på udviklingens hast kommunerne

Læs mere

sningsopgave 1 afsløsningsopgave Kommentarer til resultaterne konomi Svar påp Brug af statistiske databaser af data

sningsopgave 1 afsløsningsopgave Kommentarer til resultaterne konomi Svar påp Brug af statistiske databaser af data HD 2009: Mikroøkonomi konomi Svar påp afløsningsopgave Esben Sloth Anersen esa@business.aau.k www.business.aau.k/evolution/esa/ Generel værktøjsinlæring i afsløsningsopgave sningsopgave Brug af statistiske

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 15/16, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2-årig

Læs mere

Fri søjlelængder for rammekonstruktioner.

Fri søjlelængder for rammekonstruktioner. Fri søjlelænger for rammekonstruktioner. maj 013, LC I litteratur som eksempelvist Teknisk Ståbi kan man fine e frie søjlelænger for en række stanarstilfæle. For søjler gæler Eulers søjleformel, som kan

Læs mere

Deltagere: Kirsten Ægidius (KÆ), Kirsten Thoke (KT), Lisbet Jensen, (LJ), Charlotte Larsen (CL), Lene Lebech (LL) og Lise Hansen (LH) (HB)

Deltagere: Kirsten Ægidius (KÆ), Kirsten Thoke (KT), Lisbet Jensen, (LJ), Charlotte Larsen (CL), Lene Lebech (LL) og Lise Hansen (LH) (HB) Referat af møde i: Dato for møde: TR-rådet 01. september 2016 For referat: Dato for Karen Fischer-Nielsen udarbejdelse: 19. september 2016 Deltagere: Kirsten Ægidius (KÆ), Kirsten Thoke (KT), Lisbet Jensen,

Læs mere

Uddannelsesplan 1. praktikniveau. Vestermarkskolen Odder

Uddannelsesplan 1. praktikniveau. Vestermarkskolen Odder Uddannelsesplan 1. praktikniveau Vestermarkskolen Odder Sidst redigeret september 2015 Dokumentnr.: 727-2014-108798 side 1 Uddannelsesplan 1. niveau Vestermarkskolen - Odder Kultur og særkende: Odder Kommune

Læs mere

Center for Plan & Miljø

Center for Plan & Miljø Center for Plan & Miljø LE34 Att: Tommy Steen Nielsen Energivej 34 2750 Ballerup Postadresse: Plan Frederiksgade 9-4690 Haslev Telefon: 56 20 30 00 Telefax : 56 20 30 01 www.faxekommune.dk Kontoradresse:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2011-2012 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik B Bente Madsen 1e mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Fremme af en cirkulær økonomi i Nordjylland - genbrug af affald skal understøtte skabelsen af arbejdspladser.

Fremme af en cirkulær økonomi i Nordjylland - genbrug af affald skal understøtte skabelsen af arbejdspladser. Fremme af en cirkulær økonomi i Nordjylland - genbrug af affald skal understøtte skabelsen af arbejdspladser. August 2017 NBE er i dag støttet af BRN med 1,65 mio. kr. pr. år til og med 2018. Med dette

Læs mere

Louise Amalie Rasmussen Designteknolog 2015 Det afsluttende projekt, 4.semester

Louise Amalie Rasmussen Designteknolog 2015 Det afsluttende projekt, 4.semester Bilag Bilag 1: Transskribering af telefon interview med Patricia Winkel-Pedersen d.22.05.17 kl.12.00 X: Louise (interviewer/mig) Y: Patricia Winkel-Pedersen, Marketing Coordinator, Nespresso Denmark X

Læs mere

Kortfattet vejledning Gallery 100

Kortfattet vejledning Gallery 100 Kortfttet vejlening Gllery 100 75517500 04.01 OFF ON Beskrivelse f ispenserens komponenter Venstre ør Låg til ingreienseholer Ingreienseholer Sikkerheskontkt Sipleholer Uløstu Grumseholer Kneholer (= rist

Læs mere

SKOLEÅRET 2018/2019 AARHUS KOMMUNE, BØRN OG UNGE, ERHVERVSSKOLERNE & PRIVATSKOLERNE I AARHUS

SKOLEÅRET 2018/2019 AARHUS KOMMUNE, BØRN OG UNGE, ERHVERVSSKOLERNE & PRIVATSKOLERNE I AARHUS 10.klasse SKOLEÅRET 2018/2019 AARHUS KOMMUNE, BØRN OG UNGE, ERHVERVSSKOLERNE & PRIVATSKOLERNE I AARHUS 10. KLASSE I ÅRHUS 10. klassehæftet for skoleåret 2018/2019 udgives af Aarhus Kommune, Børn og Unge

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 10-juni 11 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B2 Klavs Skjold

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Hold Vinter 2016/17 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

rdiget af: Lars Bo Jensen Vedrłrende: Vurdering af konsekvenserne ved indfłrelse af krav om lavenergiklasse 1 byggeri fra 2012 jf Klimaplan 2030

rdiget af: Lars Bo Jensen Vedrłrende: Vurdering af konsekvenserne ved indfłrelse af krav om lavenergiklasse 1 byggeri fra 2012 jf Klimaplan 2030 Notat Forvaltning: Miljł og Teknik Dato: J.nr.: Br.nr.: 4. maj 2010 Udf rdiget af: Lars Bo Jensen Vedrłrende: Vurdering af konsekvenserne ved indfłrelse af krav om lavenergiklasse 1 byggeri fra 2012 jf

Læs mere

1g- Opgaven DHO. Middelfart Gymnasium & HF. 1g

1g- Opgaven DHO. Middelfart Gymnasium & HF. 1g 1g- Opgaven DHO Middelfart Gymnasium & HF 1g 2016-17 1 Indholdsfortegnelse HVAD ER EN DHO?... 3 HVAD ER FORMÅLET MED DHO?... 3 VEJLEDNING OG RESPONS... 4 TIDSPLAN OG OMFANG - OVERSIGT... 5 FORM OG STRUKTUR

Læs mere

Der er brug for at du...

Der er brug for at du... Der er brug for at du... betaler kirkeskat - nu. Jeg betaler kirkeskat af den simple grund at jeg gerne vil have den katolske kirke i Danmark skal bestå. Jeg ville være ked af det, hvis kirker skulle rives

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Notat. Udviklingen i hjemmeplejen.

Notat. Udviklingen i hjemmeplejen. SOCIAL OG SUNDHED Dato: 2. oktober 2015 Tlf. dir.: 4477 3495 Fax. dir.: 4477 2711 E-mail: Pension@balk.dk Kontakt: Pernille Hvilsted Udviklingen i hjemmeplejen. Notat Hjemmeplejen gennemførte 1. februar

Læs mere

Matematik B 2F Mundtlig eksamen Juni - 2011

Matematik B 2F Mundtlig eksamen Juni - 2011 1. Lineære funktioner Du skal vælge dele af dine emneopgave med ovenstående titel og redegøre nærmere herfor Redegør for a og b s betydning for udseendet af grafen for den lineære funktion og bestemmelse

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Stormøde. dagsorden. Forslag om bevilling af øl og vand. valg af ordstyrer. valg af referent. godkendelse af sidste stormødes referat.

Stormøde. dagsorden. Forslag om bevilling af øl og vand. valg af ordstyrer. valg af referent. godkendelse af sidste stormødes referat. Stormøe agsoren Til stee: Anne (11), Anne Kathrine (18), Rikke (19), Sille (104), Fie (107), Janus (117), Ditte (121), Pernille (122), Lau (204), Anne (209), Tanja (212), Lars (218), Aam (222), Freerikke

Læs mere