Marius tanker. Af Hans Marius Kjærsgaard. - I et vektorfelt
|
|
- Ellen Berg
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Marius tanker Af Hans Marius Kjærsgaar - I et vektorfelt 1
2 Inholfortegnelse Introuktion... 2 Problemformulering... 2 Introuktion til funktionsmænger... 3 Grafisk repræsentation og samlingspunkter... 3 Sti-optimering i ikke-konservative vektorfæler... 4 Eksempel... 5 Anvenelse m.h.t. ruter for fragtskibe... 7 Eksempel... Fejl! Bogmærke er ikke efineret. Funktionsmængers anre anvenelses muligheer... 9 Konklusion og viereuvikling... 9 Kileliste... 1 Introuktion 9% af verens varer transporteres me skib. Skibene bruger i alt ca. 2 millioner ton bræntof om året. Dette tal forventes ena at stige til omkring 35 millioner ton om år, i år 22. Bræntoffet er båe yrt for skibsreerierne, og uleer mellem 6 millioner og 8 millioner ton CO 2 om året, et svare til omkring 4% af en globale CO 2 ulening. il sammenligning uleer flybranchen kun et halve, ca. 2% af en globale CO 2 ulening. 1 I ag planlægger fragtskib hoveageligt eres ruter u fra en korteste istance, og nogle skibe planlægger eres ruter for at ungå storme, høje bølger osv. for a gøre rejsen mere sikker og behagelig for pasagere. 2 Før i tien var et et kent princip, hvis man skulle fra USA til Europa, at følge Golfstrømmen langs USA s kyst for at komme hurtigere frem. I ag tager e store fragtskibe næsten ingen hensyn til e kraftige havstrømme. Forskning i planlægning af fragtskibes ruter så e unytter havstrømmene optimalt, er et områe me aktiv forskning. 3 Et af problemerne ve at unytte havstrømmene er, at fine en optimale rute igennem vanet, såan at strømmene hjælper skibet mest i en rigtige retning. Hvis man ser strømmene i havet som et vektorfelt, går min ie u på, at bruge et princip jeg kaler funktionsmænger, til at fine en mest bræntofs besparene rute gennem vektorfeltet. Problemformulering At beskrive princippet om funktionsmænger, og u fra ette princip bevise en metoe til sti-optimering i ikke-konservative vektorfelter. Herefter vil jeg teste enne metoes anvenelses muligheer, til at fine en mest bræntofs besparene rute for fragtskibe igennem et strømfylt farvan, for i site ene at reucere et globale CO 2 ulip Sonaljit Mukherjee, Ph.. Oceangeografi 2
3 Introuktion til funktionsmænger Måen jeg vil løse problemet me at finer en optimale rute for fragtskibene, bygger på en ie, som jeg kaler funktionsmænger. Funktionsmænger går u på at fine en måe, er gør et muligt at beskrive ueneligt mange funktioner, ve brug af kun en funktionsforskrift. Dette er smart, a et gør et muligt at sammenligne e uenelig mange funktioner i funktionsmængen. Hvilket ikke ville være muligt, hvis man så på e ueneligt mange funktioner, som hver eres funktionsforskrift. For at lave en såan funktionsmænge er min ie, at lave en funktion er tager en skalar som input og som output giver en parameterfremstillingen for en tilsvarene funktion i funktionsmængen. Den mest praktiske måe at repræsentere en såan funktion, er ve brug af lineær algebra. I en såan repræsentation består funktionsmængen af en transformationsmatrix, som er en funktion af funktionsmængens inputs parameter. Og en grunfunktion er er en parameterfremstilling, som er en funktion af en parameter som funktionsmængens output funktion er en funktion af. = M(t)g(s) Her er M(t) transformationsmatrixen, og g(s) er grunfunktionen. Det vil sige at hver t giver en ny transformationsmatrix, og funktionsmængens output for hver t bliver altså enne transformationsmatrices matrixprouct me grunfunktionen. Grafisk repræsentation og samlingspunkter Funktionsmænger har en meget brugbar grafisk repræsentation, er hjælper me at give en go forklaring af hva en funktionsmænge er. Man vælger en samling af skalare og finer eres tilsvarene transformationsmatrix. Herefter fines isse transformationsmatricers matrixproukt me grunfunktionen, isse parameterfremstillinger integnes i et koorinatsystem. (Dette svare til at fine hver af e valgte skalares tilsvarene parameterfremstilling i funktionsmængen) Her ses en grafiske repræsentation for funktionsmængen = ( 1 t ) ( s s 2 1 skalare er {t N 8 < x < 8}, tegnet i et kartesisk koorinatsystem. 4 ), hvor samlingen af Når man ser på en grafiske repræsentation, er et tyeligt at er er to punkter er har en særlig egenskab, nemlig e to punkter hvor alle funktionerne i funktionsmængen møes (-1,) og (1,). Denne slags punkter kaler jeg samlingspunkter. 3
4 Grunen til at samlingspunkter er interessante, er at hvis et fragtskib skal fra A til B kan man fine en funktionsmænge er har et samlingspunkt i båe A og i B, og på en måe fine funktionsmængen er beskriver alle ruter fra A til B. En mere formel efinition på samlingspunkter er, at et er punkter er ikke ænre sig når transformationsmatrixens inputs parameter ænre sig. Hvis man laer et samlingspunkt være et ornee par (x s, y s ) og laer s s være en væri af s, såan så M(t)g(s s ) = ( x s y s ), vil efinitionen på et samlingspunkt me mængenotation være følgene {(x s, y s ) R, t R t M(t)g(s s) = } Sti-optimering i ikke-konservative vektorfæler La V (x, y) være et ikke konservativt vektorfæl, og være en funktionsmænge me samlingspunkter i A og B. Forstil ig at u er placeret i punktet A og skal til B, alt efter hvilken vej u vælger vil vektorfælet påvirke ig på forskellige måer. Den samlee inflyelse vektorfælet har på ig, kan beskrives ve brug af et kurveintegral. Værien af s som funktionsmængen forbiner me A og B er henholvis S A og S B. (Disse er ikke afhængige af t a e er samlingspunkter) A(x, y) r C Hvor A er vektorfeltet, er et prikproukt, og r er stien man følger. Hvis kurveintegralet laves langs ens funktionsmænge i steet for stien man følger, vil man få en funktion er tager transformationsmatrixen fra funktionsmængens input som input. Som output giver en nye funktion en samlee inflyelse, vektorfeltet ville have på en tilsvarene sti til en parameter i funktionsmængen. S B V () S A U fra enne funktion er et muligt at fine en mest optimale sti, ve at fine funktionens ifferentiale i forhol til t og lae tangentens hælning være lig. Det giver S B t V () = S A Når man har funet værierne af t er giver et ekstreme, er et vigtigt at unersøge funktionens monotoniforholene, for at sikre sig at et er maksima, og at et ikke et lokalt minimum eller venetangent man har funet. 4
5 Eksempel La vektorfeltet V (x, y) repræsentere en kræft en havstrøm påvirker skibet me, som en funktion af skibets placering, og la forskriften for V (x, y) = ( y(4 (x2 + y 2 )) x(4 (x 2 + y 2 )) ). Et skib befiner sig i punktet (-1,-1), og skal til punktet (1,1). Skibet følger en af ruterne i funktionsmængen = ( 1 1 t ) ( s s 2 ), hvor 3 < x < 4. Funktionen har samlingspunkter i 1 punktere (-1,-1) og (1,1), og eres værier i parameterfremstillingen er henholvis s = 1 og s = 1. Hvilken af ruterne i funktionsmængen skal skibet følge for at unytte havstrømmen mest muligt? Dette kan som før vist fines ve brug af integralet 1 t V () = 1 Ve brug af oplysningerne omkring vektorfeltet, og funktionsmængen for e ruter skibet kan følge, kan vi begyne at løse formlen. Først kan eles op i parameterfremstillinger U fra ette kan man se at = ( 1 1 t ) ( s s 2 1 ) = ( s s 2 t + s t ) x = s og y = ts2 t + s V () = ( (s2 t + s t)(4 (s 2 + (s 2 t + s t) 2 )) s(4 (s 2 + (s 2 t + s t) 2 ) )) Ve at erstatte x og y me henholvis s og ts 2 t + s. Det næste er at fine ifferentialet af funktionsmængen me hensyn til s. Dette kan gøres ve at fine ifferentialet af grunfunktionen me hensyn til s ( 1 1 t ) ( s s 2 1 ) = (1 1 t ) ( 1 2s ) ve at gange matricerne u, kan man bevise, at ifferentialet af funktionsmængen me hensyn til grunfunktionens parameter, er lig me transformationsmatrixens proukt me ifferentialet af grunfunktionen. (grunfunktionen er en parameterfremstilling, så er er som at tage ifferentialet af en normal parameterfremstilling.) hvis man sætter ette i integralet får man 1 t t + s t)(4 (s 2 + (s 2 t + s t) 2 )) ((s2 s(4 (s 2 + (s 2 t + s t) 2 ) ( 1 )) 1 t ) ( 1 2s ) = 1 Herefter ganges parenteserne og matricerne u, et giver 1 t t 3 + 3s 4 t 3 3s 2 t 3 + t 3 3s 5 t 2 + 6s 3 t 2 3st 2 4s 4 t + 8s 2 t 4t 2s 3 + 4s 1 ( s6 s 3 t st + s 3 + s 2 ) ( 4s 2st + 1 ) = 1 Nu tages prikprouktet mellem e to vektor funktioner, og integralet uvies. Det resultere i 5
6 1 t 1 s 6 t 3 + 3s 4 t 3 + s 4 t 2 3s 2 t 3 2s 2 t 2 + t 3 3s 5 t 2 + 6s 3 t 2 + 3s 3 t 3st 2 6s 4 t st 4t s 3 + s 2 = t [ s7 t s5 t 3 5 Det giver + s5 t 2 5 s3 t 3 2s3 t 2 + st 3 s6 t s4 t s4 t 4 3s2 t 2 6s5 t 2 5 s2 t 2 t3 ( t 7 + 3t3 5 + t2 5 t3 2t2 3 + t3 t t t 4 3t2 2 6t 5 t 2 4t Dette kan reuceres yerligere til ( t3 7 3t3 5 t t3 + t 2 3 t3 t t t 4 3t t t (32t t t ) = Hvis man nu ifferentiere ette trejegrapolynomium får man 96t t = 72t2 49t 273 = Vi kan nu isolere t, ve brug af løsningsformlen for anengraligningen t = 49 ± t 2,32 eller t 1,64 4st s4 4 + s3 3 ] 1 1 = 5 t 2 + 4t )) = For at fine u af om et er to maksima, minima eller venetangenter vi har funet, ifferentiere vi 72t 2 49t 273 = ennu en gang me hensyn til t. Det giver Man kan nu starte me at lae t = 2,32 144t 49 = 144 2,32 49 = 285,8 > t = 2,32 er altså et minimum, a et 2. ifferentiale er positivt. Hvis man i steet laer t = 1,64 får man 144 ( 1,64) 49 = < t = 1,64 er altså et maksimum og en bete sti i funktionsmængen for at komme fra et ene samlingspunkt til et anet hvor 3 < x < 4. Det vil altså sige at en optimale rute gennem vektorfeltet s er en me parameterfremstillingen f(s) = ( 1.64s 2 + s + 1,64 ). 6
7 Illustrationen viser en grafiske repræsentation for funktionsmængen i problemet, me vektorfeltet i baggrunen i rø, og en optimale rute repræsenteret i orange. Problemet ve at fine en optimale sti på enne måe, er at er at en ikke tager hensyn til stiens længe. Den viser kun at et er en rute, hvor kræfterne hjælper skibet mest i en rigtige retning. Dette kan være fint i nogle sammenhænge hvor stiens længe er ligegylig, men hvis man skal beregne en optimale rute for et fragtskib, er et et problem. Anvenelse m.h.t. ruter for fragtskibe Hvis man ønsker at fine en optimale rute for et fragtskib, er ovenståene integral ikke så anveneligt, a et som før nævnt ikke tager hensyn til rutens længe. (𝑥, 𝑦) være vanets hastighe repræsenteret som et vektorfelt, 𝑉 𝑀𝑜𝑡𝑜𝑟 er hastigheen skibet ville La 𝑉 bevæge sig me, hvis et kun var motoren er rev et frem, 𝐷 er længen af ruten, 𝑇 er tien skibet har til at færiggøre sin rejse, og 𝑓(𝑠, 𝑡) er funktionsmængen for e ruter skibet kan følge (s er tien og t er parameteren for funktionsmængens transformationsmatrixen). 𝑀𝑜𝑡𝑜𝑟. Hvis vi antager at skibets hastighe over grunen, er hastigheen af strømmen plus 𝑉 (𝑓(𝑠, 𝑡)) + 𝑉 𝑀𝑜𝑡𝑜𝑟 𝑉 (𝑓(𝑠, 𝑡)) er skubber skibet For at skibet kan nå frem til sit mål til tien, skal integralet af en el af 𝑉 𝑀𝑜𝑡𝑜𝑟, integreret fra til være lig rutens længe. frem langs ruten plus 𝑉 (𝑓(𝑠, 𝑡)) er skubber skibet i rutens retning, er som En måe man kan beregne en el af 𝑉 (𝑓(𝑠, 𝑡)). prikprouktet af funktionens enhe tangentvektor me 𝑉 𝑑 𝑓(𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠 (𝑓(𝑠, 𝑡)) 𝑉 𝑑 𝑑𝑠 𝑓(𝑠, 𝑡) * er prikprouktet. 7
8 Alt i alt får man V () + V Motor = D Længen af ruten skibet følger, er selvfølgelig afhængig af hvilken funktion i funktionsmængen man vælger at følge. Derfor kan D også skrives ve brug af formlen for længen af en graf D = ( x ) 2 + ( y ) 2 Hvor x og y er henholvis x- og y komponenten, af funktionsmængens output parameterfremstilling ( x y ) =. Dette kan nu sættes sammen til V () + V Motor = ( x ) 2 + ( y ) 2 Hvis vi antager at V Motor er konstant uner hele turen, kan venstre sie omskrives til Det hele kan nu omskrives til V () V Motor = ( x ) 2 + ( y ) 2 + V Motor V () V Motor kan nu isoleres, og integralerne på højre sie kan lægges sammen V Motor = 1 ( x 2 ) + ( y 2 ) V () Man har altså nu en funktion, er viser hvor stor en hastighe vi skal skubbe skibet frem me, for at nå vores estination til tien. For at fine u af hvilken af funktionerne i funktionsmængen er er en optimale, skal vi fine en rute hvor V Motor er mint. Vi skal altså fine funktionens minimum. Dette kan gøres ve at ifferentiere utrykket me hensyn til transformationsmatrixens parameter t. Det give 1 t ( x 2 ) + ( y ) 2 V () = 8
9 Ve at gange begge sier me, kan ette simplificeres til t ( x 2 ) + ( y ) 2 V () = Når man har funet værierne af t er giver et ekstreme, er et vigtigt at unersøge funktionens monotoniforholene, for at sikre sig at et er minima, og at et ikke et lokalt maksimum eller venetangent man har funet. Funktionsmængers anre anvenelses muligheer Unervejs mens jeg har arbejet me funktionsmænger og sti-optimering, har jeg funet u af, at stioptimering og planlægning af fragtskibes ruter, langt fra er e eneste anvenelses muligheer for funktionsmænger. Funktionsmænger er brugbart e fleste steer hvor man ønsker at sammenligne en stor samling af funktioner. Funktionerne behøver ikke at være to imensionale, for eksempel ville et også være muligt at lave en funktionsmænge for et vektorfelt, eller en multivariabel funktion. Et par af e områer hvor jeg har funet u af at funktionsmænger måske kunne anvenes er: Væskeynamik Klassisk ynamik Beskrivelse af bakterie vækst Der u over har funktionsmænger en interessant matematisk generalisering, som jeg arbejer på. Generaliseringen af funktionsmænger gør et muligt at have funktionsmænger for funktioner i flere imensioner samt flere slags funktioner, skalarfelter, vektorfelter og multivariable funktioner. Konklusion og viereuvikling Funktionsmænger har helt klart et potentiale til at løse problemer er hanler om sti optimering. Der er og et par problemer. Det første problem er, at et ikke er lykkees mig at lave funktionsmænger, er ineholer funktioner af forskellige typer som polynomier, eksponentielle funktioner, sinus bølger, osv. Dette er vigtigt, fori hvis man skal lave mere præcise beregninger, skal man bruge en funktionsmænge er ineholer alle mulige ruter mellem to punkter. Dette kan ikke lae sig gøre hvis man ikke kan få funktionsmængerne til at inehole funktioner af forskellige typer. Princippet om funktionsmænger til sti optimering ville staig kunne lae sig gøre, et ville bare blive mere upræcist. Jeg tror løsningen til ette problem er aylor approksimation, a et gør et muligt at approksimere funktioner af alle typer, me et polynomium. Dette gør, at man ikke behøver at lave en funktionsmænge er ineholer funktioner af forskellige typer. Det site problem er, at for at sti optimere fragtskibes ruter, er man nø til at fine funktionsforskriften for et vektorfelt er beskriver en tilnærmelse af havstrømmene som et vektorfelt. Havstrømmene er kortlagt, men problemet er at et kræver en el computer kræft, at fine en tilnærmet funktionsforskrift for em. Jeg er i gang me at uvikle en mere præcis moel, for sti optimering, er også tager hensyn til en kræft skibet skal bruge for at hole sig på ruten. Min ie for at gøre ette er ve brug af formlen for funktionens enhe normal vektor, til at fine en sit komponent af vektoren er repræsentere skibet hastighe. 9
10 Når jeg er færig me enne moel, kunne et være sjovt at prøve at få fat på informationen, er skal bruges for at uføre beregningerne på et rigtigt fragtskib. Kileliste besøgt en 19. januar besøgt en 19. januar Sonaljit Mukherjee, Ph.. Oceangeografi, university of virgin islan Nynne Afzelius, can.scient. i fysik og matematik, talent chef science talenter 1
Marius tanker. Af Hans Marius Kjærsgaard. - I et vektorfelt
Marius tanker Af Hans Marius Kjærsgaar - I et vektorfelt Inholfortegnelse Introuktion... Problemformulering... Introuktion til funktionsmænger... 3 Grafisk repræsentation og samlingspunkter... 3 Sti-optimering
Læs mereKort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul
Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...
Læs mereGrafregner-projekt om differentiation.
Grafregner-projekt om ifferentiation. Motivation: Når nu ifferentieret giver, og e ifferentieret giver e, hvorfor får man så ikke e når man ifferentiere e? Formål: ) At opnå kenskab til, og forståelse
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette okument må kun anvenes til unervisning i klasser som aonnerer på MatBog.k. Se yerligere etingelser for rug her. Bemærk: Dette er en arkiveret
Læs mereKoblede svingninger. Thomas Dan Nielsen Troels Færgen-Bakmar Mads Sørensen juni 2005
Koblee svingninger Thomas Dan Nielsen 20041151 Troels Færgen-Bakmar 20041116 Mas Sørensen 20040795 1. juni 2005 Institut for Fysik og Astronomi Det Naturvienskabelige Fakultet Aarhus Universitet Inhol
Læs mereMatematik - September 2001 Afleveret d. 27/4-2006
Matematik - September Afleveret. 7/ - 6 Opgave For at lave en paremeterfremstilling for en ret linje, så skal jeg bruge et punkt på linjen, og en retningsvektor. Punktet kener jeg a jeg får opgivet to
Læs mereKursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition
Kursusgang 5 Repetition - froberg@math.aau.k http://people.math.aau.k/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 30. september 2008 1/15 Differenskvotient og Differentialkvotient
Læs mereFormelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaard Andreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi
Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaar Anreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi Inhol 1 Foror 2 2 Potensregneregler 3 3 Kvaratsætninger
Læs mereFagplan og mål for matematik 7-9 klasse
Fagplan og mål for matematik 7-9 klasse På Slotsparkens Friskole følger vi Undervisningsministeriets mål for de fag. Kompetencemål se link : http://ffm.emu.dk Fagets kompetenceområder: Matematiske kompetencer
Læs mereHjemmeopgavesæt 01.02.10
Rami Kaoura Matematik A Dato 01.0.010 Hjemmeopgavesæt 01.0.10 Navn: Rami Kaoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Vejleer: Jørn Christian Bentsen Skole: Roskile tekniske gymnasium, Htx Dato: 01.0.010 1 Rami
Læs mereTest grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleor og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afleee i flere variable Notation og regneregler for partielle afleee Test partielle afleee Grafisk afleee
Læs mereMat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler
Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel
Læs mereEnergitæthed i et elektrostatisk felt
Elektromagnetisme 6 ie af 5 Elektrostatisk energi Energitæthe i et ektrostatisk ft I utryk (5.0) er en ektrostatiske energi E af en laningsforing utrykt ve ennes laningstæthe ρ, σ og tilhørene ektrostatiske
Læs mereMatematik Kursusopgave Kran Lastning 01-06-2006. Kran Lastning. Lavet af Morten Kvist & Benjamin Jensen Htx 3.2 Side 1 af 8
Kran Lastning Lavet af Morten Kvist & Benjamin Jensen Htx 3.2 Sie 1 af 8 En kran kørere på et skinnesystem i x-aksens retning me en jævn hastighe på 0,8 meter/sekun. Samtiig svinger kranens ulægger vinklen
Læs mereREGULARITET AF LØSNINGER M.M.
REGULARITET AF LØSNINGER M.M. E. SKIBSTED Inhol 1. Plan og forusætninger 1 2. Generalisering af [B, Theorem 3.8] 1 3. Autonomt tilfæle 3 3.1. Mængen D er åben 3 3.2. Strømmen er kontinuert på D 4 4. Tisafhængige
Læs mereReferat. Plan- og Boligudvalget. Møde nr.: 13/2012 Dannet den: Torsdag den 06-12-2012 Mødedato: Tirsdag den 04-12-2012 Mødetidspunkt: 17:00-18:30
Referat Plan- og Boliguvalget Møe nr.: 13/2012 Dannet en: Torsag en 06-12-2012 Møeato: Tirsag en 04-12-2012 Møetispunkt: 17:00-18:30 Møeste: Harhoff Melemmer Thorkil Mølgaar (TM) (PEN) O Kisser Franciska
Læs mereIntroduktion til Modelanalyse Note til Økonomiske Principper B
Introuktion til Moelanalyse Note til Økonomiske Principper B ve Claus Thustrup Kreiner Gitte Ying Michaelsen Hans Jørgen Whitta-Jacobsen Introuktion til moelanalyse Claus Thustrup Kreiner Gitte Ying Michaelsen
Læs mere2x MA skr. årsprøve
MA skr. årsprøve 8.0.08 Prøven uen hjælpemiler Opg. + = 0 ( ) + = 0 I parentesen står et anengraspolynomium. Det har = = 9 + og erme røerne = = og = = Af nulregelen ses at også 0 er en løsning, så
Læs mereElementære funktioner
enote 3 1 enote 3 Elementære funktioner I enne enote vil vi els repetere nogle af e basale egenskaber for et uvalg af e (fra gymnasiet) velkente funktioner f (x) af én reel variabel x, og els introucere
Læs mereElementære funktioner
enote 14 1 enote 14 Elementære funktioner I enne enote vil vi els repetere nogle af e basale egenskaber for et uvalg af e (fra gymnasiet) velkente funktioner f (x) af én reel variabel x, og els introucere
Læs mereOpgave 1 ( Toppunktsformlen )
Opgve 1 ( Toppunktsformlen ) Et nengrspolynomium er givet ve f x x 2 b x c. For t fine toppunktet vil vi først ifferentiere f x Derefter løser vi ligningen f ' x x b f ' x 0 x b 0 x b D f ' x x b er en
Læs mereGrafisk design. Workflow. Hvordan blev det lavet?
Grafisk esign Workflow Hvoran blev et lavet? Workflow af forsie For at påbegyne en kreative process best muligt startee jeg me at lave en brainstorm. Det gjore jeg for at få et overblik over hvilket slags
Læs mereNøgletal til resultatdokumentation
Nøgletal til resultatdokumentation Vejledningsmateriale til opgørelse og anvendelse Netværksinddragende metoder Indholdsfortegnelse Introduktion til nøgletal... 3 Om nøgletallene... 3 Metodiske overvejelser...
Læs mereTilslutningsvejledning
Sie 1 af 6 Tilslutningsvejlening Unerstøttee operativsystemer Ve hjælp af software-'en kan u installere printersoftwaren på følgene operativsystemer:.1 Winows Server 2012 R2 Winows 7 SP1 Winows Server
Læs mereForbrug hos Danmarks befolkning. Forbrug hos Danmarks befolkning
DEL 8 BILAG 8. BILAG Bilag 1: Årstal 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Digitalt Tv 27 38 53 60 74 3D-tv 4 14 17 17 Smart-tv 24 34 Bærbar computer, lap-top 72 78 81 81 86 Tablet pc, mini computer
Læs mereSTOMI INFO. Motion og livsstil
04 STOMI INFO Motion og livsstil Tips og råd om motion og livsstil efter en stomioperation Efter operation, er målet at forsøge at genoptage en normal og sund livsstil. En normal genoptræningsperiode er
Læs mereMatematik D. Almen voksenuddannelse. Skriftlig prøve. Torsdag den 18. maj 2017 kl AVU172-MAT/D. (4 timer)
Matematik D Almen voksenuannelse Skriftlig prøve (4 timer) AVU172-MAT/D Torsag en 18. maj 2017 kl. 9.00-13.00 Opgaver fra erhvervsuannelserne Matematik niveau D Skriftlig matematik Opgavesættet består
Læs mereRapport fra arbejdsgruppen vedr. Netv rksanbringelser:
Rapport fra arbejdsgruppen vedr. Netv rksanbringelser: Udarbejdet af: Peter Br gge Birgitte R. Lydolf Annette B rnholdt Dorte Broberg Lone Munksgaard Sylvia Mortensen Eva Kloster 1 Indledning: P baggrund
Læs mereFrivillig musikundervisning. Sct. Ibs Skole
Frivillig musikundervisning Sct. Ibs Skole 2019-2020 Til forældrene Hermed information om frivillig musikundervisning på Sct. Ibs Skole for skoleåret 2019-2020. Undervisningen i alle instrumenter foregår
Læs mereMatematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august
Læs mereDesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner
DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk
Læs mereSådan kommer du i gang!
Sådan kommer du i gang! - en Conteco-guide for begyndere Indhold Det skal du bruge.. 2 Opnå det rigtige look...2 Systemopbygning..2 Blanding af farve... 2 Blanding af Conteco... 3 Blanding af Conteco Beton
Læs mereLokalafdeling. Viborg. Nyhedsbrev. Her kommer et nyhedsbrev til jer, efter general forsamlingen har vi nu konstitueret os følgende:
Lokalafdeling Viborg Nyhedsbrev Her kommer et nyhedsbrev til jer, efter general forsamlingen har vi nu konstitueret os følgende: Formand: Jacob Vestergaard ansvarlig for nørkleklub og vius Næstformand:
Læs mereVejledning til kommunerne om kontrol af elever indskrevet på en fri grundskole 5. september 2017
Vejledning til kommunerne om kontrol af elever indskrevet på en fri grundskole 5. september 2017 Indholdsfortegnelse Navigation mellem skærmbilleder og på skærmbillede... 3 Godkendelse af eleverne i skema
Læs mereMarianne Gudnor (2063) Efterår 2007
Marianne Gunor (063) Efterår 007 Inholsfortegnelse: Forimensionering af aksler:... 3 Ingangsakslen til maskinenhe B... 3 Ingangsakslen til maskinenhe A... 4 Valg af gear... 4 Uligningskobling,B.... 5 Dimensionering
Læs mereIt i fagene - Helsingør. Det faglige digitale penalhus WORKSHOPS 2012-2013 SFO
It i fagene - Helsingør Det faglige igitale penalhus WORKSHOPS 2012-2013 SFO SFO leere og personale I skoleåret 2012-2013 er er tilrettelagt et it- kompetenceløft for Helsingørs kommunes SFO ansatte. Der
Læs mereUddannelsesordning for uddannelsen til CNC Tekniker
Uannelsesorning for uannelsen til CNC Tekniker 1. Ikrafttræelsesato: 1. august 2015 Ustet af et faglige uvalg for Metalinustriens Uannelser i henhol til bekentgørelse nr. 437 af 13/04/2015 om uannelsen
Læs mereKommunale patientuddannelseskurser Kræftens Bekæmpelse. Kommunale patientuddannelseskurser Lær at leve med en kronisk sygdom
Kommunale patientuannelseskurser Kræftens Bekæmpelse Kommunale patientuannelseskurser Lær at leve me en kronisk sygom Kommunale patientuannelseskurser Lær at leve me en kronisk sygom Fori mange kræftpatienter
Læs mere3.a søger ud i det blå
3.a søger ud i det blå I 10.000 meters højde sidder jeg og tænker tilbage på de sidste to uger. Jeg må ærligt indrømme, de har været fyldt med nogle af de vildeste ting, jeg har oplevet, og sådan tror
Læs mereAnkestyrelsens brev til Læsø Kommune. Kommunalbestyrelsens beslutning den 25. juni 2018
Ankestyrelsens brev til Læsø Kommune Kommunalbestyrelsens beslutning den 25. juni 2018 15. maj 2019 A (borgmester i Læsø Kommune og medlem af bestyrelsen i Færgeselskabet Læsø K/S), B (medlem af kommunalbestyrelsen
Læs merePOLITIKERSPØRGSMÅL. Spørgsmål nr.: Dato: 6. juni 2017 Stillet af: Anna Ehrenreich (V) Besvarelse udsendt den: 10. juli 2017
Center for Økonomi Budget og Analyse Kongens Vænge 2 DK - 3400 Hillerød POLITIKERSPØRGSMÅL Opgang Blok C Afsnit 1. sal Telefon 38 66 50 00 Direkte 3866 5998 Mail oekonomi@regionh.dk Web www.regionh.dk
Læs mereRådet for Den Europæiske Union Bruxelles, den 23. oktober 2017 (OR. en)
Rådet for Den Europæiske Union Bruxelles, den 23. oktober 2017 (OR. en) Interinstitutionel sag: 2017/0267 (NLE) 13535/17 UD 238 CID 5 TRANS 425 FORSLAG fra: modtaget: 20. oktober 2017 til: Komm. dok. nr.:
Læs mereHanne Hegers bog er en gave til alle vi, der på et tidspunkt har gjort noget i vores liv, der var dårligt for os. Været i de forkerte parforhold.
Min vej ud af medmisbruget af Hanne Heger En bog om misbrug for os alle... Hanne Heger Min vej ud af medmisbruget 20 år med en alkoholiker 142 sider Kr. 199 Borgens Forlag Hanne Hegers bog er en gave til
Læs mereFjernelse af livmoderen
Forundersøgelse er et større indgreb, der kræver nøje overvejelse, derfor er det nødvendigt at foretage en forundersøgelse før operationen. Ved forundersøgelsen orienteres om metoden, og det aftales, om
Læs mereSkabelon og vejledning til udfærdigelse af handlingsplan
Skabelon og vejledning til udfærdigelse af handlingsplan Når skolen bliver opmærksom på mobning eller lignende er den forpligtet til at udarbejde en handlingsplan for den konkrete situation. Dansk Center
Læs mere1-5, ved ikke EA-reolen, strukturen, konceptet 1.Sammenhængende it, 2.Genbrug, 3.Byg til forandring, 4.Flere leverandører, 5.
Bilag 9 Punkt 13 Målepunkt Emne Spm. # Udsagn Svar type Svarmuligheder Kommentar Hjælpetekst Bedre betingelser for datadeling Nytteværdi 1 Den fælleskommunale rammearkitektur skaber bedre muligheder for
Læs mereisosteelpress
H isosteelpress A www.isoplus.k Systemet Samlingerne i isosteelpress-systemet består af rent stål mo stål på røret som uføres ve brug af en eneståene konisk konstruktion. Rør Det specielle rørsamlingssystem
Læs mereUdkast til revideret Vedtægt for Mandøforeningen. Ændringer i forhold til gældende vedtægter er anført i understreget kursiv tekst
Udkast til revideret Vedtægt for Mandøforeningen. Ændringer i forhold til gældende vedtægter er anført i understreget kursiv tekst Nedennævnte vedtægt erstatter Love for Mandøforeningen underskrevet 28.7.
Læs mereBetons elasticitetsmodul. Lasse Frølich Betonteknolog, M.Sc.
Betons elasticitetsmodul Lasse Frølich Betonteknolog, M.Sc. 1 Agenda 1. Hvad er elasticitetsmodul? 2. Typiske værdier for elasticitetsmodul 3. Indflydelse af forskellige parametre 4. Styring af elasticitetsmodul
Læs merePakke 3. Euronorm. 2 med 70 (47+23) 4 12 år 331
Pakke 3 Ruter Strækning Timer Busser i alt Stationering Busser til overtagelse 331 Skanerborg-Oer 4.380 2 Oer 2 2 Busser til overtagelse Overtagelsen af e anførte busser sker efter bestemmelserne i e nugælene
Læs mereHistorisk lav ventetid blandt flygtninge
OKTOBER 217 NYT RA R Historisk lav ventetid blandt flygtninge lygtninge, der fik opholdstilladelse i i perioden 213-2, ventede i gennemsnit under 6 måneder på at få deres asylsag afgjort. Dermed var flygtninges
Læs mereFacilitators guide til cyberdilemmaøvelse
s guide til cyberdilemmaøvelse Øvelsen er udarbejdet af Beredskabsstyrelsens Center for Uddannelse i samarbejde med Center for Cybersikkerhed Guide til dilemmaøvelse Cybersikkerhed Velkommen til Beredskabsstyrelsens
Læs mereNotat. Kvalitetsprocedure for forsøg med helhedsorienteret bygge- og anlægstilsyn. Indhold
Notat Metoder og virkemidler Postboks 1228 0900 København C Tlf. 70 12 12 88 Fax 70 12 12 89 at@at.dk www.at.dk Kvalitetsprocedure for forsøg med helhedsorienteret bygge- og anlægstilsyn Indhold Formål...
Læs merex + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives.
Eksamensspørgsmål - maj/juni 2016 1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereBRUGERUNDERSØGELSE 2014 PLEJEBOLIG. Ørestad Plejecenter. Sundheds- og Omsorgsforvaltningen - Brugerundersøgelse 2014: Plejebolig 1
BRUGERUNDERSØGELSE 2014 PLEJEBOLIG Sunhes- og Omsorgsforvaltningen - Brugerunersøgelse 2014: Plejebolig 1 Brugerunersøgelse 2014 Plejebolig Brugerunersøgelsen er uarbejet af Epinion P/S og Afeling for
Læs mereBefordring af skoleelever Regler og principper. Administrativ vejledning
Befordring af skoleelever Regler og principper Administrativ vejledning 15. august 017 Indhold 1. Indledning.... Betingelser... 3.Begrebet hjemmets nærhed... 4 4. Opsummering... 4 1 1. Indledning 1.1.Formålet
Læs mereRet og vrang om patientcentreret behandling
Ret og vrang om patientcentreret behanling Professor Kirsten Lomborg, PhD, MScN Det nye sunhesvæsen Patienter og pårørene er samfunsaktiver Sunhesfremme og forebyggelse Borgernære sunhesyelser - telemeicinske
Læs mereFRIAPHON 2015. Katalog - 1 Januar 2015-1. Udgave SCANDINAVIA
FRIAPHON 2015 Katalog - 1 Januar 2015-1. Ugave SCANDINAVIA 1 SCANDINAVIA FRIAPHON - Støjæmpene afløb i bygninger FRIAPHON er et lyæmpene afløbssystem i ualteknik. Og er et af e få afløbssystemer er er
Læs mereAt kende din grund vil styrke dig til handling, trække dig gennem svære øjeblikke og inspirere til personlig vækst.
byg naturligt at finde din RUND At kende din grund vil styrke dig til handling, trække dig gennem svære øjeblikke og inspirere til personlig vækst. TIP TIL AT FINDE DIN RUND pørg dig selv; hvad er min
Læs mereLÆRINGSKORT ELEKTRISK HEGN TEAMBUILDING GENNEM FRILUFTSLIV - TB 01 AKTIVITET LÆRINGSMÅL. Støttet af udlodningsmidler til friluftsliv
LÆRINGSKORT TEAMBUILDING GENNEM FRILUFTSLIV - TB 01 ELEKTRISK HEGN AKTIVITET Få hele gruppen over/under eller igennem det Elektriske hegn Lokalitet: Skolegård, bypark eller skov Tid: 10-45 minutter Antal
Læs mereer peak hastighedstrykket regnet uden årstids variation og c
Anneks A:last å teltkonstruktioner A.1 Baggrun Eter ugivelsen a Vejlening om certiiceringsorning og byggesagsbeanling a transortable telte og konstruktioner, august 014 ar røtelser me e involveree arter
Læs mereKOMMISSIONENS FORORDNING (EU)
L 55/4 KOMMISSIONENS FORORDNING (EU) 2016/293 af 1. marts 2016 om ændring af Europa-Parlamentets og Rådets forordning (EF) nr. 850/2004 om persistente organiske miljøgifte for så vidt angår bilag I (EØS-relevant
Læs mereOpgave 2 è20èè Det er velkendt, at f lgende algoritme er gyldig og korrekt. Algoritme: Heltalskvadratr Stimulans: n: nç0 Respons: r: r 2 ç n é èr +1è
Opgave 1 è20èè Et bin rt tr med heltal i knuderne kan repr senteres som en v rdi af f lgende rekursive type: Type Tree = Prèval: Int, left, right: Treeè hvor det tomme tr angives som?-tree. Vi er interesserede
Læs mereHłringssvar ang. omorganisering af stłtteomr det 0-5 r.
Hłringssvar ang. omorganisering af stłtteomr det 0-5 r. Vi synes, det er en god ide med differentieret tilbud til błrn med s rlige behov, b de i.f.t. det enkelte barns behov, familiens łnsker samt i.f.t.
Læs mereBruttoliste med forslag til indsatser der kan nedbringe den kommunale medfinansiering (KMF)
Bilag 1 Bruttoliste med forslag til indsatser der kan nedbringe den kommunale medfinansiering (KMF) Nr. Forslag Område Bemærkning 1. Ansættelse af diætist med henblik på at undgå indlæggelser som følge
Læs mereAftale om overførsel af ferie i henhold til ferieaftalen af 21. juni 2012
Aftale om overførsel af ferie i henhol til ferieaftalen af 21. juni 2012 Arbejsgiver CVR-nummer 54 P-nummer 4 Navn 54 Vejnavn 54 Husnummer Etage 4 Sie/Dør Postnummer By Mearbejer Uenlansk aresse Fornavn(e)
Læs mereVAFOS Plasson fittings
El-fittings VFOS Plasson fittings Muffer i båe SR11 og SR17 - Fleksible bøjninger VISION Ulefos NV /S vil være et stærkeste bran inenfor vores forretningsområe i et geografiske områe, vi opererer. MISSION
Læs mereRISIKOVURDERING. μg l = K 5,2. / l 20.417l
RISIKOVURDERING Til vurering af om tungmetaller og PAHér kan ugøre en risiko for grunvanet er er i et følgene gennemført beregninger af inholet af stoffer, er teoretisk kan uvaskes af klasse 2 og 3 jor
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereBESKÆFTIGELSESREGION MIDTJYLLAND MIDTJYLLAND OM 6 MÅNEDER. Den private sektors beskæftigelsesforventninger i Midtjylland
BESKÆFTIGELSESREGION MIDTJYLLAND MIDTJYLLAND OM 6 MÅNEDER Den private sektors beskæftigelsesforventninger i Mitjyllan Februar 2009 INDHOLDSFORTEGNELSE BESKRIVELSE AF UNDERSØGELSEN 3 OVERORDNET OM VIRKSOMHEDERNE
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereInformationsmøde om SFI
Informationsmøde om SFI Informationsmøde om statens udpegning af SFIsprøjtemiddelfølsomme indvindingsområder i Billund den 24. marts 2015 & Odense den 25. marts 2015 Dagsorden Velkomst Præsentation af
Læs mereSkolevejsanalyse Hjørring Kommune Samlet rapport
Skolevejsanalyse Hjørring Kommune 2016 Samlet rapport Hjørring Kommune Skolevejsanalyse 2016 Udarbejdet af Hjørring Kommune i samarbejde med Sweco A/S Kontaktoplysninger: Teknik og Miljøområdet Park og
Læs mereVejledning til ældre- og handicapråd vedr. høring af udbudsmaterialet i forbindelse med udbud af Bleer med bevilling
Vejledning til ældre- og handicapråd vedr. høring af udbudsmaterialet i forbindelse med udbud af 50.96 Bleer med bevilling Indholdsfortegnelse Hvem er SKI?... 2 Udbud af bleer... 2 Inddragelse af repræsentanter
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereFaktureret elsalg (GWh)
Notat Elprisstatistik første halvår 217 I nærværende notat gives en kort beskrivelse af Energistyrelsens elprisstatistik for erhvervskunder for første halvår 217. Denne statistik er baseret på indberetninger
Læs mereTjek mayonnaisen! Hvordan virker en emulsion?
Side: 1/11 Tjek mayonnaisen! Hvordan virker en emulsion? Forfattere: Morten Christensen Redaktør: Thomas Brahe Faglige temaer: Olie, Vand, Hydrofil, Hydrofob, Emulgator, Emulsion Kompetenceområder: Introduktion:
Læs mere7. Ideer til udvikling af idrætsfaciliteterne på Bornholm
7. Ideer til udvikling af idrætsfaciliteterne på Bornholm På baggrund af de fire undersøgelser og andre relevante undersøgelser skal vi her i det sidste afsnit give forslag til, hvordan idrætsfaciliteterne
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereLektion ordens lineære differentialligninger
Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante
Læs mere1. Tal. Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2
1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis,
Læs mereRente- og valutamarkedet
2. september 2010 Rente- og valutamarkedet Markedskommentarer og prognose Fokus Selv om gældskrisen i euroområdet har lagt sig har renterne fortsat ned. Fornyet frygt for et double dip i verdensøkonomien
Læs mereBilag 1 - Indsatsområder for dagtilbudsområdet
Bilag 1 - Indsatsområder for dagtilbudsområdet 2018-2020 Indledning Dagtilbud i Ringsted Kommune bygger både et lovmæssigt og værdimæssigt grundlag. Det betyder konkret, at den pædagogiske praksis sker
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereFremme af en cirkulær økonomi i Nordjylland - genbrug af affald skal understøtte skabelsen af arbejdspladser.
Fremme af en cirkulær økonomi i Nordjylland - genbrug af affald skal understøtte skabelsen af arbejdspladser. August 2017 NBE er i dag støttet af BRN med 1,65 mio. kr. pr. år til og med 2018. Med dette
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommerkursus 2018. Institution HF & VUC København Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold GSK-hold A-B
Læs mereios og Android Vejledning
ios og Android Vejledning 1. Opret konto side 2 2. Log ind, log ud og homeskærm side 4 3. Stamoplysninger side 7 4. Profil side 10 5. Sådan opretter du en historie side 15 6. Historie oversigt side 24
Læs mereNavision Stat 9.3. Kvikguide for håndtering af Peppol dokumenter. Overblik. Side 1 af 12. ØSY/kkp Dato
Side 1 af 12 Navision Stat 9.3 ØSY/kkp Dato 22.02.2019 Kvikguide for håndtering af Peppol dokumenter Overblik Formål Dokumentet supplerer Elektronisk fakturering manualerne for hhv. køb og opsætning med
Læs mereTeknisk datablad. Type oversigt. Tekniske data. Sædeventil, 2-vejs, med flange PN 16 Til lukkede varmtvands- og dampsystemer
Teknisk atabla Sæeventil, 2-vejs, me flange PN 16 Til lukkee varmtvans- og ampsystemer Til moulerene regulering af van-sien på luftaggregater og opvarmningssystemer Type oversigt Type k vs [m 3 /h] Slaglænge
Læs mereover, hvordan man gør. På sarr.:-. :-=--e teagerer vi i forhold til de emotionelle påvirkninger. gruii.-.::z:..a: i oerioden: vore iølelsesmæssige
TEKSTELSEBADEN,]ENSEN WWWELSEBADEN]ENSEND(//FOTOI/ARIANNELANE WWW]\4ARANNEIANED(/WWWKERNEIEATNG,DK arianne Lane, 43 år. er norjye me en ertil hørene norjysk accent. Hun or ue på lanet ve Freerikshavn me
Læs mereMIDTVEJSRAPPORT Projekt Peer-støtte i Region Hovedstaden PIXI-UDGAVE
MIDTVEJSRAPPORT Projekt Peer-støtte i Region Hovedstaden PIXI-UDGAVE 2017 1. INDLEDNING Denne Pixi-udgave indeholder en kort beskrivelse af de nyeste erfaringer med ansættelse af peer-støttemedarbejdere
Læs mereInterferens og gitterformlen
Interferens og gitterformlen Vi skal stuere fænomenet interferens og senere bruge enne vien til at sige noget om hva er sker, når man sener monokromatisk lys, altså lys me én bestemt bølgelænge, igennem
Læs mereSIDDER DU GODT? En brugerhåndbog for kørestolsbrugere Af Helle Dreier
En brugerhånbog for kørestolsbrugere En brugerhånbog for kørestolsbrugere INDHOLDSFORTEGNELSE FORORD FORMÅL SKADER PÅ KROPPEN 03 04 05 Skaer på bevægeapparatet(vs skelet, muskler og le) Skaer på eller
Læs merePoul Nordemann Jensen, DCE
Energi-, Forsynings- og Klimaudvalget 2016-17 EFK Alm.del Bilag 84 Offentligt Poul Nordemann Jensen, DCE Mulige påvirkninger af jord og overfladevand ved frakturering. AARHUS Karakteristik af overfladevand
Læs mereFÆLLESSKAB GIVER MULIGHEDER EKSTRAORDINÆR KONGRES 2003 FORSLAG TIL KONGRESVEDTAGELSE: LO S LEDELSES- OG BESLUTNINGSSTRUKTUR
FÆLLESSKAB GIVER MULIGHEDER EKSTRAORDINÆR KONGRES 0 FORSLAG TIL KONGRESVEDTAGELSE: LO S LEDELSES- OG BESLUTNINGSSTRUKTUR LO S EKSTRAORDINÆRE KONGRES 0 / FORSLAG TIL KONGRESVEDTAGELSE Forslag til kongresvedtagelse:
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 15/16, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2-årig
Læs mereTeknisk datablad. Type oversigt. Tekniske data
Teknisk atabla 7N Sæeventil, 3-vejs, me flange PN 16 til åbne og lukkee kolt- og varmtvanssystemer til moulerene regulering af vansien på luftaggregater og varmesystemer Type oversigt Type k vs [m 3 /h]
Læs mere