Samtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Samtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=."

Transkript

1 Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=. Det betyder, at de kan beskrives grafisk i termer af et netværk. Et netværk K består af et sæt af noder a og et sæt af kanter T -> K( a, T) Enhver kant forbinder 2 noder. Kanter kan være orienterede eller ikke-orienterede. Kanter har i nogle applikationer en tilknyttet parameter, f.eks. længde, kapacitet eller omkostning pr. transporteret enhed. Sættet af parametre for alle kanter i netværket kan samles i vektoren G. Netværket er dermed defineret ved K( a, T, G) Æ

2 Transportproblem: Netværket består her af 2 typer noder 1) udbydere 3é1,..., M 2) efterspørgere 4é1,..., N Enhver kant svarer til en forbindelse mellem en udbyder 3 og en efterspørger 4. Enhver udbyder har et kendt udbud s 3 og enhver efterspørger en kendt efterspørgsel d 4. Omkostningerne ved at sende en vareenhed fra udbyder 3 til efterspørger 4 langs kanten fra 3 til 4 betegnes c. Problemet består nu i at bestemme det omkostningsminimerende transportskema, så samlet flow ud fra enhver udbyder er mindre end eller lig med pågældende udbud, og så samlet flow ind til enhver efterspørger er lig med pågældende efterspørgsel. Eksempel: 3é1,..., 3 4é1,..., s é 6000 ¹ ¹, d é», G é ¹ º º 1500 º Model p. 297! 34

3 Generel formulering for problemet i standardform, M d.v.s. med! s é! d : 3é" N 3 4 4é" min M N!! c x 3é"4é" N s.t.! x é s, 3 é 1,..., M 4é" M 34 3!x é d, 4 é 1,..., N 3é" 34 4 x34 ˆ 0, 3 é 1,..., M, 4 é 1,..., N Her måler x 34 flow fra udbyder 3til efterspørger 4. Observation: s- og d-vektorerne heltallige -> heltallige basis løsninger Variationer:! s! d M 3é" N 3 4 4é" maximering af kriteriefunktion øvre og nedre bånd på flows langs kanter ikke tilladte flows

4 Assignmentproblem: Netværket består af 2 typer noder 1) udbudsnoder 3é1,..., O 2) efterspørgselsnoder 4é1,..., O Enhver udbudsnode er udbyder af en enhed, og enhver efterspørgselsnode er efterspørger af en enhed. Omkostningerne ved at assigne udbyder 3 til efterspørger betegnes c Problemet består nu i at bestemme det omkostningsminimerende assignment, så enhver udbyder assignes til netop en efterspørger. Bemærk: Problemet er et specialtilfælde af transportproblemet. Eksempel: 3é1,..., 3 4é1,..., 3 Gé ¹ º Model p. 304!

5 Generel formulering: min O O!! c x 3é"4é" O s.t.! x34 é 1, 3 é 1,..., O 4é" O!x34 é 1, 4 é 1,..., O 3é" x34 é 0 ", 3, 4 é 1,..., O Her er x 34 principielt en binær variablel, der antager værdien 1 hvis og kun hvis udbyder 3 assignes til efterspørger 4. Observation: RHSs heltalige netværskstruktur -> heltallige basis løsninger -> x34 é 0 " kan skrives x34 ˆ 0 Variationer: # udbydere # efterspørgere maximering af kriteriefunktion ikke tilladte assignments multiple assignments

6 Kvadratisk assignment problem: O O O O O O -> min!! c x!!!! f d x x é"4é" 3é" 4é" 5é" 6é" s.t. assignment betingelser Det kvadratiske assignment problem opstår f.eks. ved lokalisering af butikker i et stort varehus. Nogle butikker besøges oftere af de samme kunder end andre. Det er derfor hensigtsmæssigt at placere sådanne butikker tæt ved hinanden, så deres kunder ikke tvinges til at gå fra den ene ende af varehuset til den anden. Lad c 34 betegne de direkte omkostninger ved placering af butik 3 på plads 4 i varehuset. Lad f 35 betegne det forventede antal kunder, der på en bestemt dag både skal besøge butik 3 og butik 5, og lad d46 betegne gangafstanden mellem plads 4og plads 6 i varehuset. Så måler f35d 46 den samlede gangafstand for disse kunder hvis butik 3 placeres på plads 4og butik 5 på plads 6. Denne gangafstand realiseres kun hvis både x 34 og x 56 antager værdien 1.

7 Transshipmentproblem: Netværket består her af 3 typer noder 1) udbydere 3é1,..., M 2) efterspørgere 4é1,..., N 3) intermediate noder eller depoter 5é1,..., O Enhver kant svarer til en forbindelse mellem  w en anden udbyder 3, 1) en udbyder 3 og à en efterspørger 4, eller Ä en intermediate node 5  en udbyder 3, 2) en intermediate 5 ogã en efterspørger 4, eller Ä en anden intermediate 5'  en udbyder 3, 2) en efterspørger 4 ogã en anden efterspørger 4', eller Ä en intermediate 5 Enhver udbyder har et kendt udbud s 3 og enhver efterspørger en kendt efterspørgsel d 4. Omkostningerne ved at sende en vareenhed fra node 6 til node 6' betegnes c 66. Problemet består nu i at bestemme det omkostningsminimerende transportskema, så samlet flow ud fra enhver udbyder er mindre end eller lig med pågældende udbud, samlet flow ind til enhver efterspørger er lig med pågældende efterspørgsel, og så samlet flow ind er lig med samlet flow ud for enhver intermediate node.

8 Eksempel: 3é1, 2 4é1,..., 4 5é1, ¹ s é è, d é, 400» º Géè 2 3, Héè x 35 måler flow fra udbyder 3 til intermediate 5 y54 måler flow fra intermediate 5 til efterspørger 4 Modelformulering afviger lidt fra p. 310, fordi det ofte er fordelagtigt i en dokumentation af modellen at skelne mellem de forskellige typer af flows, her altså fra udbydere til intermediates og fra intermediates til efterspørgere.

9 Generel formulering for problemet i standardform, d.v.s. alene med forbindelser mellem udbydere og intermediates og mellem intermediates og efterspørgere M og med! s é! d : 3é" N 3 4 4é" M O O N min!! c x!! d y é" 5é" 5é" 4é" O s.t.! x é s, 3 é 1,..., M 5é" O 35 3!y é d, 4 é 1,..., N 5é" M 54 4 N! x! y é 0, 5 é 1,..., O é" 4é" x35 ˆ 0, 3 é 1,..., M, 5 é 1,..., O y54 ˆ 0, 4 é 1,..., N, 5 é 1,..., O Observation: s- og d-vektorerne heltallige netværksstruktur-> heltallige basis løsninger Variationer:! s! d M 3é" N 3 4 4é" maximering af kriteriefunktion øvre og nedre bånd på flows langs kanter ikke tilladte flows flow principielt tilladt mellem ethvert par af noder

10 Algoritme til løsning af transportproblemet i standardform: min M N!! c x 3é"4é" N s.t.! x é s, 3 é 1,..., M 4é" M 34 3!x é d, 4 é 1,..., N 3é" 34 4 x34 ˆ 0, 3 é 1,..., M, 4 é 1,..., N Bemærk: Lineær afhængighed mellem sættet af begrænsninger. Adder først alle udbudsbegrænsninger. Adder dernæst alle efterspørgselsbegrænsninger. Træk sidste sum fra første. Resultatet er 0 é 0, fordi samlet udbud summerer til samlet efterspørgsel, og fordi ethvert x 34 alene indgår i den 3'te udbudsbegrænsning og den 4'te efterspørgselsbegrænsning begge steder med koefficient 1. En vilkårlig begrænsning kan derfor udelades - hvis de resterende er opfyldt holder den sidste pr. konstruktion. En basisløsning i simplexforstand består derfor af M N 1 basis variable.

11 Identificer en initial basisløsning v.h.a. min-cost metoden med udgangspunkt i det såkaldte transportarray: s d Her svarer hver række til en udbudsbegrænsning og hver søjle til en efterspørgselsbegrænsning. Hver celle i rækkerne mærket 1, 2 og 3 og søjlerne mærket 1, 2, 3 og 4 svarer til en variabel x. 34 Min cost algoritme: 1) Send så meget som muligt i celle med laveste omkostningskoefficient. Vælg celle med maximalt tilladt flow ved ties. 2) Reducer udbud i modsvarende række og efterspørgsel i modsvarende søjle med dette flow. Slet række/søjle, med residual udbud/efterspørgsel lig 0 (slet kun den ene eller den anden, hvis begge går i 0!). 3) Hvis alle rækker og søjler er slettede, STOP; initial basis løsning er fundet. Ellers gå til 1). Bemærk: Vi finder en løsning med M N 1 allokerede celler svarende til det krævede antal basis variable. Til en given basisløsning beregnes den modsvarende kriteriefunktionsværdi let ved addition af basisvariablenes værdier ganget med deres kriteriekoefficienter. Anvendelse af algoritmen på eksemplet resulterer i Tabel 7.14!

12 Optimalitetstest: Dualitetsrelationerne fra Chapter 6 viste, at en optimal primal basis løsning korresponderer til en optimal dual basis løsning. Hvis aktuel basis for transportproblemet er optimal, så skal modsvarende duale løsning være optimal i det duale problem, d.v.s. brugbar og med samme kriteriefunktionsværdi. Lad os se på det duale LP for et transportproblem: M max! d u! s v N é" 4é" s.t. u3 v4 ì c 34, 3 é 1,..., M, 4 é 1,..., N hvor u og v er frie variable, fordi de primale begrænsninger er ligheder. Dualitetsteorien viste også, at en primal basis variabel korresponderer til en bindende dual begrænsning. Vi kender den primale basis løsning, for den er defineret ved de allokerede celler i transportarrayet (se Tabel 7.14). x B é (x 11, x 12, x 21, x 23, x 24, x 31)

13 Det modsvarende sæt af bindende duale uligheder er derfor: u 1 v 1 é 3 u 1 v 2 é 2 u 2 v 1 é 7 u 2 v 3 é 2 u 2 v 4 é 3 u3 v 1 é 2 Vi har her 6 ligninger med 7 ubekendte, d.v.s. i princippet uendeligt mange løsninger. Men 'en dual variabel kan vælges frit, fordi der er lineær afhængighed i sættet af primale begrænsninger. Vi vælger at sætte u1 é 0. Herefter trævles ligningssystemet op: u é 0 ² 1 v é 3 ² 1 u é 4 ² 2 v1 é 3 é v2 é 2 u2 é 4 é u3 é 1 v3 é 2 é v é 1 4 Vi har beregnet den duale løsning med udgangspunkt i et sæt bindende duale uligheder. Hvis løsningen skal være dualt brugbar, skal de resterende uligheder være opfyldt. Lad os se på disse:

14 u1 v3 ì c13 ² 0 2 ì 7 r u1 v4 ì c14 ² 0 1 ì 6 r u2 v2 ì c22 ² 4 2 ì 5 u3 v2 ì c32 ² 1 2 ì 5 r u3 v3 ì c33 ² 1 2 ì 4 r u3 v4 ì c34 ² 1 1 ì 5 r Den duale ulighed svarende til variabel x er brudt. 22 Den intuitive fortolkning er, at værdien af at sende en enhed fra udbyder 2 til efterspørger 2 er 6, mens de hermed forbundne omkostninger er 5. Idet marginalværdien er højere end marginalomkostningerne, kan en billigere transportløsning findes ved at ved at bruge kanten fra udbyder 2 til efterspørger 2. I termer af simplexalgoritmen er x p.t. ikke-basis 22 variabel (aktuel værdi 0), som ønskes løftet. Det betyder at en aktuel basis variabel skal reduceres til 0, d.v.s. gører til en ikke-basis variabel. Hvordan kan den operation udføres i vort transportarray? Lad os se på den aktuelle løsning: v u s d 'et i cellen i række 2 og søjle 2 indikerer, at flowet i denne celle ønskes løftet.

15 Husk nu, 1) at hver celle i arrayet korresponderer til en variabel, 2) at hver række korresponderer til udbudsbegrænsning og hver søjle til en efterspørgselsbegrænsning, og 3) at vi i simplex baseret LP altid bevæger os fra en basis til en nabobasis. 3) betyder, at alle øvrige aktuelle ikke-basis variable bortset fra x skal vedblive at antage værdi ) betyder derfor, at flow i cellerne (1, 3), (1, 4), (3, 2), (3, 3) og (3, 4), der alle er mærket (-), skal forblive på nivau 0. 2) betyder, at vi ikke kan ændre flow i en celle placeret i en række eller en søjle, hvor flow i pågældende celle er det eneste, der kan ændres. 6nGDQQHU NNHURJV MOHUNDQGHUIRURYHUVWUHJHV *HQWDJQXRYHUVWUHJQLQJVSURFHGXUHQLGHWVnOHGHV UHGXFHUHGHDUUD\9LHQGHUGDLHQVLWXDWLRQKYRU GHULHQKYHULNNHRYHUVWUHJHWU NNHHOOHUV MOHHU SU FLVWRFHOOHUPHGHWIORZGHUNDQ QGUHV2JFHOOHQ P UNHW YLODOGULJY UHRYHUVWUHJHW Bruges den procedure på eksemplet ovenfor kan søjlerne 3 og 4 samt rækken 3 overstreges. Det reducerede array består herefter af cellerne (1, 1), (1, 2), (2, 1) og (2, 2).

16 Skal flow i celle (2, 2) løftes må flow i celle (1,2) nødvendigvis reduceres, skal flow i (1, 2) reduceres må flow i (1, 1) øges, skal flow i (1, 1) øges må flow i (2, 1) reduceres, og dette kræver, at flow i (2, 2) øges. Dette er den basale ide i den såkaldte stepping stone algoritme. Stepping Stone Algoritme: 1) Mærk indgående celle i array og lad 4 betegne dennes søjle index. Gå til 2). 2) Mærk den eneste anden celle i søjle 4 hvori flow kan ændres med og lad 3 betegne dennes række index. Gå til 3). 3) Mærk den eneste anden celle i række 3 hvori flow kan ændres med og lad 4 betegne dennes søjle index. STOP hvis 4 er søjleindex for indgående celle; opdateringsloop er identificeret. Ellers gå til 2). Flowet i cellerne skiftevis mærket og skal nu opdateres. Vi ønsker at øge flowet mest muligt i indgående celle. Hver gang det øges med en enhed, skal flowet i efterfølgende celler mærket reduceres med en enhed, og flowet i efterfølgende celler mærket øges med en enhed. Den maximale flowtilvækst i indgående celle findes derfor som det minimale aktuelle flow i celler mærket. betegne denne mindsteværdi. Den ny basis løsning fremkommer da ved at øge flow i alle celler mærket med og reducere flow i alle celler mærket

17 Vi skal nu undersøge om den nye basis løsning er optimal. Det sker ved at beregne de duale priser svarende til den nye basis løsning og teste, om en dual ulighed for en primal ikke-basis variabel er brudt. Er dette ikke tilfældet, er aktuel basis løsning optimal. Er det tilfældet vælges den aktuelle ikke-basis variabel svarende til den 'mest brudte' duale ulighed som indgående, og Stepping Stone Algoritmen anvendes til identifikation af ny basis løsning.

18 Transportalgoritmen: Specialalgoritme er hensigtsmæssig, fordi problemets helt specielle struktur kan udnyttes til simpel udregning af dualpriser. Og fordi problemet ofte er karakteriseret ved et meget stort antal variable og antal begrænsninger. Specialalgoritmen er baseret pa simplex metoden. Alle beregninger er relateret til det såkaldte transport array: 1) Find en brugbar initial basisløsning. -> brug min cost metoden 2) Beregn dualpriser svarende til aktuel basisløsning. -> løs dualt ligningssystem for sættet af aktuelle basis variable/allokerede celler 3) Beregn reducerede omkostninger (svarende til elementer i 0'te række i simplextableauet) for aktuelle ikke-basisvariable T T T T " " -> c B A ( c ) -> c c B A F F -> c u v for alle ikke-basis/ikke-allokerede celler i transportarray Hvis min (c34 u3 v 4) < 0 (hvor der minimeres over ( 3, 4) kombinationer for ikke allokerede celler), sa pivoter ( 34, )'te p.t. ikke-basisvariabel til basis. Ellers STOP. Aktuel løsning er optimal. 4) Find udgaende variabel (den p.t. basisvariabel, der først antager værdien 0, nar den indgaende p.t. ikke-basisvariabel bringes til at stige. Her bruges stepping stone algoritmen. 5) Opdater transportarray (find ny basisløsning). Ga til 2).

19 Metoder til bestemmelse af initial brugbar basisløsning: 1) 0LQFRVWPHWRGH: 1) Find billigste kant (i', j') og send sa meget som muligt langs denne. 2) Reducer udbud i række i' og efterspørgsel i søjle j' med mængden allokeret til celle (i', j'). 3) Hvis ethvert række udbud / søjle efterspørgsel er dækket, sa STOP. Aktuel allokering udgør en BFS. Ellers ga til 4). 4) Hvis reduceret udbud i en række er lig 0, sa slet rækken. Hvis efterspørgsel i en søjle er lig 0, sa slet søjlen. Hvis flere rækker/søjler har reduceret udbud/efterspørgsel lig 0 slettes kun 'en af disse; slettet række/søjle vælges i den situation vilkarligt. 5) Ga til 1) og gentag for ikke slettede rækker og søjler. 'HHIWHUI OJHQGHPHWRGHUHULNNHJHQQHPJnHWLO UHERJHQ 2) 1RUGYHVWPHWRGHQ: 1) Find den celle (i', j') i transportarrayet, der er placeret længst mod retningen nord-vest og send sa meget som muligt langs den modsvarende kant. 2) Reducer udbud i række i' og efterspørgsel i søjle j' med mængden allokeret til celle (i', j'). 3) Hvis ethvert række udbud / søjle efterspørgsel er dækket, sa STOP. Aktuel allokering udgør en BFS. Ellers ga til 4). 4) Hvis reduceret udbud i en række er lig 0, sa slet rækken. Hvis efterspørgsel i en søjle er lig 0, sa slet søjlen. Hvis flere rækker/søjler har reduceret udbud/efterspørgsel lig 0 slettes kun 'en af disse; slettet række/søjle vælges i den situation vilkarligt. 5) Ga til 1) og gentag for ikke slettede rækker og søjler.

20 3) 9RJHOPHWRGH: 1) Bestem i hver række og søjle differens mellem omkostninger i billigste og næstbilligste celle. Find den række eller søjle, hvor denne differens er størst. Send sa meget som muligt i den billigste (ikke slettede) celle i pågældende række eller søjle, d.v.s. langs kanten (i', j'). 2) Reducer udbud i række i' og efterspørgsel i søjle j' med mængden allokeret til celle (i', j'). 3) Hvis ethvert række udbud / søjle efterspørgsel er dækket, sa STOP. Aktuel allokering udgør en BFS. Ellers ga til 4). 4) Hvis reduceret udbud i en række er lig 0, sa slet rækken. Hvis efterspørgsel i en søjle er lig 0, sa slet søjlen. Hvis flere rækker/søjler har reduceret udbud/efterspørgsel lig 0 slettes kun 'en af disse; slettet række/søjle vælges i den situation vilkarligt. 5) Ga til 1) og gentag for ikke slettede rækker og søjler. 4) 5XVVHOOPHWRGH: 1) Find i enhver række maximal c 34; definer max c34 4 œ u 3, a3. Find i enhver søjle maximal c 34; definer max c34 3 œ v 4, a4. Beregn for enhver ikke-allokeret celle c u v Bestem celle (i', j') med minimal værdi af c u v og send sa meget som muligt langs den modsvarende kant. 2) Reducer udbud i række i' og efterspørgsel i søjle j' med mængden allokeret til celle (i', j'). 3) Hvis ethvert række udbud / søjle efterspørgsel er dækket, sa STOP. Aktuel allokering udgør en BFS. Ellers ga til 4). 4) Hvis reduceret udbud i en række er lig 0, sa slet rækken. Hvis efterspørgsel i en søjle er lig 0, sa slet søjlen. Hvis flere rækker/søjler har reduceret udbud/efterspørgsel lig 0 slettes kun 'en af disse; slettet række/søjle vælges i den situation vilkarligt. 5) Ga til 1) og gentag for ikke slettede rækker og søjler.

21 6WHSSLQJVWRQHDOJRULWPHQ: 1) Bestem celle (i', j') med minimal værdi af c 34 œ c u v STOP hvis c ga til 2). 34 ˆ 0; aktuel løsning er optimal. Ellers 2) Slet rækker ( i') og søjler ( j') hvori indgar en og kun en basisvariabel. Gentag dette i det saledes reducerede transportarray indtil der i enhver tilbageværende række og søjle er netop 2 basisceller (i række i' og søjle j' en basiscelle og celle (i', j')). 3) Celle (i', j') mærkes +. Den ikke slettede basiscelle (i', j ") i række i' mærkes. Den resterende ikke slettede basiscelle i søjle j " (i", j ") mærkes +. Den resterende ikke slettede basiscelle i række i (i, j ) mærkes +. " " # Den resterende ikke slettede basiscelle i søjle j # (i", j ") mærkes +. Der fortsættes pa denne made til en celle i søjle j' mærkes, hvorefter den initiale celle (i',j') nas. 4) Herefter øges flowet sa meget som muligt i celle (i', j'). Den maximale flowtilvækst er den minimale værdi af flowstørrelserne i de celler, der ovenfor er mærket. Denne mindsteværdi adderes i cellerne mærket + (svarende til tilvækster i p.t. basisvariable) og subtraheres fra cellerne mærket (svarende til reduktion af p.t. basisvariable). Det resulterende flow vil herefter være 0 i mindst 'en af cellerne mærket. Dette svarer til, at en hidtidig basisvariable er pivoteret ud af basen og nu antager værdien 0.

22 Den ungarnske assignment algoritme: Betragt følgende assignmentproblem: person\job I II III I II III Ideen i algoritmen er at finde et assignment til cost 0 i et array med manipulerede omkostningskoefficienter. Det fundne 0 assignment er identisk med et optimalt assignment i de oprindelige data. 1) Reducer initiale data, så enhver række og søjle indeholder mindst et 0-element: a) Subtraher i hver række det mindste element fra ethvert element i rækken. b) Subtraher i hver søjle i det reducerede array det mindste element fra ethvert element i søjlen. 2) Find det mindste antal vertikale/horisontale linier i array, der indebærer overstregning af samtlige 0-elementer. STOP Hvis antallet er lig med antallet af rækker (eller søjler), så eksisterer der et 0-assignment, og optimum er fundet. Ellers må der etableres en ny celle med 0-cost blandt de resterende celler i ikke-overstregede rækker eller søjler (disse må alle aktuelt have strengt positive omkostninger - ellers var de overstreget!). Gå til 3). 3) Identificer det mindste element blandt de ikke overstregede elementer. Subtraher dette element fra ethvert element i enhver ikke-overstreget række. Der etableres herved bland alle ikke-overstregede elementer mindst en ny 0-cost celle. Overstregede søjler får negative celler. Derfor adderes elementet til ethvert element i enhver overstreget søjle. Gå til 2).

23 Anvendelse af algoritme på exempel: 1) person\job I II III I II III rækkereredultion med ialt é é 17 person\job I II III I II III søjlereduktion med ialt é 1 6 é 7 Bemærk: Minimalt assignment mindst med omkostninger é 7 17! Optimal assignment uændret, fordi omkostninger er reduceret på samme måde række- og søjlevis, og fordi enhver person og ethvert job skal assignes! 2) 2 linier dækker samtlige 0-celler - en linie gennem række I og en gennem søjle III. 3) Etabler nyt 0-element blandt cellerne (II, I), (II, II), (III, I) og (III, II) ved subtraktion af 2 fra ethvert element række II og III: person\job I II III I II III  ŠNegative celler i søjle III elimineres ved addition à Šmed 2. Samlet reduktion Ä é 26

24 person\job I II III I II III ) Mindste antal linier krævet for overstregning af 0'er er nu 3 -> brugbart 0-assignment fundet -> optimalt assignment til opr. problem er fundet. Optimalt assignment er (I til II), (II til III) og (III til I). De minimale assignment omkostninger er derfor svarende til den foretagne reduktion.

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle

Læs mere

Simplex metoden til løsning af LP

Simplex metoden til løsning af LP Chapter : Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen Ÿ alle

Læs mere

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP ) Følsomhedsanalyse -> kriteriekoeffricienter -> RHSs ) Dualitet -> økonomisk fortolkning af dualvariable -> anvendelse af dual løsning til identifikation

Læs mere

Kapitel 9: Netværksmodeller

Kapitel 9: Netværksmodeller Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en graf bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2 Operationsanalyse Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen. juni Opgave (i) Vi tilføjer først slack-variable til (P ): Minimize Z = x + x + x subject to x + x + x x 4 = x x + x x 5 = x + x x x =

Læs mere

Projekt Planlægning: PERT/CPM

Projekt Planlægning: PERT/CPM Chapter 10: Projekt Planlægning: PERT/CPM -> Planlægning og koordinering af aktiviteter, der tilsammen definerer et helt projekt, så projektet færdiggøres indenfor en planlagt tidsramme. Aktiviteterne

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Operationsanalyse. Hans Keiding

Operationsanalyse. Hans Keiding Operationsanalyse Hans Keiding Forord 7 Kapitel 1. Hvad er Operationsanalyse? 9 1. Indledning 9 2. Operationsanalysens historie 10 3. Operationsanalytiske problemer og metode 10 4. Litteratur 12 Kapitel

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Fagets IT Introduktion til MATLAB

Fagets IT Introduktion til MATLAB Fagets IT Introduktion til MATLAB Mads G. Christensen mgc@kom.auc.dk Afdeling for Kommunikationsteknologi, Aalborg Universitet. MATLAB 2002 p.1/28 Kursusoversigt 1. Introduktion, matrix-indeksering, -operationer

Læs mere

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers

Læs mere

Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye

Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye OPERATIONSANALYSE - EK SAMENSNOTER Konvertering til standard-form...2 Løsning af LP-problemer via simplex...2 Tilføjelser til simplex...3 Sensitivitetsanalyser...3 Dualitet...5.DSLWDO Transportproblemer...6

Læs mere

Sommeren 2001, opgave 1

Sommeren 2001, opgave 1 Sommeren 2001, opgave 1 Vi antager at k 3, da det ellers er uklart hvordan trekanterne kan sættes sammen i en kreds. Vi ser nu at for hver trekant er der en knude i kredsen, og en spids. Derfor er n =

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Økonometri 1. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 18. september 2006

Økonometri 1. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 18. september 2006 Dagens program Økonometri Den multiple regressionsmodel 8. september 006 Opsamling af statistiske resultater om den simple lineære regressionsmodel (W kap..5). Den multiple lineære regressionsmodel (W

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Module 3: Statistiske modeller

Module 3: Statistiske modeller Department of Statistics ST502: Statistisk modellering Pia Veldt Larsen Module 3: Statistiske modeller 31 ANOVA 1 32 Variabelselektion 4 321 Multipel determinationskoefficient 5 322 Variabelselektion med

Læs mere

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Side 1 af 5 Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Når flyselskaberne opdeler flysæderne i flere klasser og sælger billetterne til flysæderne med forskellige restriktioner, er det 2.

Læs mere

Optimering af New Zealands økonomi. Gruppe G3-115

Optimering af New Zealands økonomi. Gruppe G3-115 Optimering af New Zealands økonomi Gruppe G3-115 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Matematik og Matematik-Økonomi Frederik bajersvej 7G Telefon 99409940 http://math.aau.dk Titel: Tema: Optimering

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet)

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Simpel aritmetik på maskinniveau I SCO, appendix A, er det beskrevet, hvordan man adderer ikke-negative heltal

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

Basale forudsætninger. Sortering ved fletning med tre bånd, i to faser.

Basale forudsætninger. Sortering ved fletning med tre bånd, i to faser. 25 Sortering III. Basale forudsætninger. Sortering ved fletning med tre bånd, i to faser. Sortering ved fletning, med fire bånd, i én fase (balanceret fletning). Polyfase fletning med tre bånd. Generaliseret

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Nummeriske Metoder. 1 Indledning. 2 Davidson metoden. Bo Thomsen, juni 2009

Nummeriske Metoder. 1 Indledning. 2 Davidson metoden. Bo Thomsen, juni 2009 Nummeriske Metoder Bo Thomsen, 20050885 25. juni 2009 1 Indledning I denne opgave søges løsninger på et relativt stort egenværdiproblem. I mit tilfælde er dette fremkommet ved at konstruere hamilton matricen

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A eksamen med hjælpemidler 25. maj 2016

Peter Harremoës Matematik A eksamen med hjælpemidler 25. maj 2016 Opgave 6 Se bilag 2! Idet f (x) kun har rod x = 1, kan funktionens monotoniforhold bestemmes ved at indsætte passende valgte værdier. Da f ( 1 /4) = 4 2 = 2 > 0, vokser funktionen i ]0; 1]. Da f (4) =

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Simpel Lineær Regression: Model

Simpel Lineær Regression: Model Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 + β 1 x + u, hvor fejlledet u, har egenskaben E[u x] = 0. Dette betyder bl.a. E[y x]

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Opgaver til Kapitel 6 MatB

Opgaver til Kapitel 6 MatB Opgave 1 En funktion i to variable er givet ved f (, ) = + 5 + 0 Indtegn niveauliner svarende til N(0), N(200) og N(400) og illustrér ved hjælp af en pil på niveaulinjerne den retning, hvori niveauet bliver

Læs mere

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet og specielt anvendelser af matematisk programmering Esben Høg Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Oktober 2012 EH (Institut for Matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden d. 6.10.2016 De Økonomiske Råds Sekretariat Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden Dette notat redegør for de stabilitetstest af forskellige tidsserier vedrørende investeringsadfærden i

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2016 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2016 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange

Læs mere

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse . september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression

Læs mere

Tilgang til data. To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (også kaldet key, nøgle) for dataelementer.

Tilgang til data. To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (også kaldet key, nøgle) for dataelementer. Merging og Hashing Tilgang til data To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (også kaldet key, nøgle) for dataelementer. API for sekventiel tilgang (API =

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Profitten i det første år kan da beregnes som (i kr.)

Profitten i det første år kan da beregnes som (i kr.) Chapter 13: Simulation Simulation er en kvantitativ metode til bestemmelse af et real life systems basale karakteristika under usikkerhed v.h.a. eksperimenter indenfor en modelramme, der repræsenterer

Læs mere

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Mål for ansøgningsscoremodel Rating af nye udlånskunder som beskrives vha. en række variable: alder, boligform,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation: Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 +β 1 x +u, hvor fejlledet u,

Læs mere

I dag. Kursus Data matrice. Formål med PCA. Statistik. Principal komponent analyse, PCA, Esbensen kapitel 3. Splus. Anna Helga Jónsdóttir

I dag. Kursus Data matrice. Formål med PCA. Statistik. Principal komponent analyse, PCA, Esbensen kapitel 3. Splus. Anna Helga Jónsdóttir I dag Kursus 02593 Statistik Anna Helga Jónsdóttir Principal komponent analyse, PCA, Esbensen kapitel 3. Splus ahj@imm.dtu.dk 18. november 2008 Anna Helga Jónsdóttir (ahj@imm.dtu.dk) Kursus 02593 18. november

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

19 Hashtabeller. Noter. PS1 -- Hashtabeller. Hashing problemet. Hashfunktioner. Kollision. Søgning og indsættelse.

19 Hashtabeller. Noter. PS1 -- Hashtabeller. Hashing problemet. Hashfunktioner. Kollision. Søgning og indsættelse. 19 Hashtabeller. Hashing problemet. Hashfunktioner. Kollision. Søgning og indsættelse. Sammenligning af hashtabeller og søgetræer. 281 Hashing-problemet (1). Vi ønsker at afbilde n objekter på en tabel

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere