Stikprøvekontrol af billetter: Hvordan optimeres dette?

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Stikprøvekontrol af billetter: Hvordan optimeres dette?"

Transkript

1 Stikprøvekontrol af billetter: Hvordan optimeres dette? En introduk tion til fire optimeringsmodeller for stik prøvek ontrol af billetter Artik el til Trafik dage på Aalborg Universitet, August 2008 Af Per Thorlacius, Civilingeniør, Operationsanalytik er, DSB S-tog A/S Indholdsfortegnelse 1 Indledning 2 Optimeringsmodeller for stik prøvek ontrol af billetter 2.1 Optimeringsmodel A Overblik Inddata Modellens parametre og variable Objek tfunk tion Modelbetingelser Uddata 2.2 Optimeringsmodel B Overblik Inddata Uddata 2.3 Optimeringsmodel C Overblik Modelleringsprincip 2.4 Optimeringsmodel D Overblik Model Visualisering Foreløbige resultater 3 Disk ussion 4 Kildefortegnelse Indledning Den k øbenhavnsk e S-bane drives efter princippet egenk ontrol: Det er den enk elte passagers eget ansvar at sørge for gyldig billet. For at sik re, at så mange som muligt har gyldig billet, og dermed sik re tilstræk k elige billetindtægter fra driften af S-banen, gennemføres regelmæssig stik prøvek ontrol af billetter i tog og på stationer. Stik prøvek ontrollen af billetter udføres af revisorerne fra DSB S-togs togrevisork orps. Ved optimering af stik prøvek ontrol af billetter forstås her at opnå så store indtægter som det er prak tisk muligt for det samlede transportsystem. Indtægternes størrelse afhænger af hvornår, hvor, med hvor meget k ontrolpersonale og hvordan stik prøvek ontrollen udføres. Til bestemmelse af, hvilk en k ombination af de nævnte k riterier, der giver de størst mulige samlede indtægter, er DSB S-tog i øjeblik k et i gang med at udvik le fire optimeringsmodeller: 1

2 Model A: En tak tisk/strategisk planlægningsmodel til bestemmelse af hvornår der sk al gennemføres stik prøvek ontrol Model B: En tak tisk disponeringsmodel til bestemmelse af hvor der sk al k ontrolleres billetter Model C: En strategisk model for hvor meget k ontrolpersonale det k an svare sig at have ansat Model D: En strategisk simuleringsmodel for hvorledes billetk ontrollen sk al foregå i og omk ring toget Model A er færdigudviklet og taget i brug og hovedvægten i beskrivelsen er på denne. De øvrige modeller behandles overordnet. Optimeringsmodeller for stikprøvekontrol af billetter Optimeringsmodel A Overblik Sigtet med optimeringsmodel A er at bestemme hvornår der sk al gennemføres stik prøvek ontrol. Modellen er formuleret som en blandet heltalsprogrammeringsmodel med dertil hørende variable, parametre, objektfunktion og betingelser, som den k endes fra litteraturen, se fx [1] og [2]. Modellens variable, også k aldet beslutningsvariable, repræsenterer de beslutninger modellen tager, dvs. de variable modellen anvender til at beslutte noget om. I dette tilfælde angiver beslutningsvariablene hvor mange S-togsrevisorer, der sk al møde på arbejde på et Optimeringsmål Modelsynopsis Hvornår skal der k ontrolleres? Planlægningshorisont Tak tisk/strategisk Modeltype Udvik lingsstatus Blandet heltalsmodel (MIP) Taget i brug bestemt tidspunk t. Modellens parametre besk river de forhold som ligger udenfor modellen, dvs. hvordan omverdenen ser ud. Et ek sempel på en parameter k unne fx være revisorernes lønomk ostninger. Parametrene udgør således inddata til modellen og variablene uddata fra modellen. At modellen er en såk aldt blandet heltalsprogrammeringsmodel indebærer, at nogle af modellens variable og parametre antager heltalsværdier medens andre antager reelle værdier. I dette tilfælde er det modellens beslutningsvariable der antager heltalsværdier, idet man k un k an have et helt antal S-togsrevisorer på arbejde. Modellens objektfunktion (dvs. det udtryk i modellen, som siger noget om, hvor god en given beslutning er) angiver hvilk e indtægter man k an forvente af, at have et bestemt antal S-togsrevsiorer til at møde på arbejde til et bestemt tidspunk t. Videre siger modellens betingelser noget om sammenhængen mellem beslutningsvariablene og den virk elige verden, fx at der ik k e k an være flere revisorer på arbejde end der er revisorer ansat. Modellens inddata (parametre), variable, objek tfunk tion, betingelser og uddata gennemgås i detaljer i afsnittene nedenfor. Model A har visse ligheder til k endte modeller for mandsk absplanlægning, se fx [3]. Den datamæssige platform for modellen udgøres af open source-databasen MySQL [4], den modelleringsmæssige platform af softwarepak k en General Algebraic Modeling System (GAMS) [5, 6], og den visualiseringsmæssige platform af graftegningspak k en GnuPlot [7], der også er open source. Inddata 2

3 Model A tager udgangspunk t i data om tidligere udsk revne k ontrolafgifter (figur 1). Disse data sammenholdes med data for, hvornår og i hvilk et omfang der er gennemført stik prøvek ontrol, dvs. hvor mange revisorer, der har arbejdet med billettering fordelt over tid (figur 4). Tallene for hvornår der er gennemført stikprøvekontrol (figur 4) er fremkommet ved at trække tallene fra revisorernes pauser (figur 3) fra tallene for, hvor mange revisorer der er på vagt (figur 2). Ved at dividere tallene for udsk revne k ontrolafgifter (figur 1) med tallene for hvornår der er gennemført stik prøvek ontrol (figur 4) fås afgiftsintensiteten (figur 5) opgjort som afgiftsk roner pr. time pr. revisor på billettering. Afgiftsintensiteten er et udtryk for, hvor mange afgiftsk roner en revisor k an forvente at udsk rive pr. time. På udgiftssiden anvender modellen data for hvilk e omk ostninger, der er forbundet med at have en revisor på arbejde på forsk ellige tidspunk ter på døgnet og ugen (figur 6). Figur 1: Afgiftskroner pr. time Figur 2: Revisorer på vagt Figur 3: Revisorer til pause, se note 1 Figur 4: Revisorer på billettering, se note 2 3

4 Figur 5: Afgiftskroner pr. time pr. revisor på billettering, jf. g(t) nedenfor Figur 6: Lønsatser, jf. l(t) nedenfor Noter Der foreligger p.t. ingen data for, præcis hvornår den enk elte revisor holder pause. Tallene for revisorer, der holder pause er derfor p.t. udregnet på baggrund af antagelsen om, at halvdelen af revisorerne holder 1 times pause 3 timer inde i vagten og den øvrige halvdel 4 timer inde i vagten. Ved begrebet pause forstås her pause i billetteringen, ik k e den overensk omstbestemte pause. Revisorer, der billetterer, er p.t. udregnet som revisorer på vagt fratruk k et revisorer der holder pause. Det antages, at øvrige opgaver end billettering er jævnt fordelt over tid, hvorfor der p.t. ik k e foretages k orrek tion for dette. Modellens parametre og variable Parametre Modellen er bygget op vha. af følgende parametre (der bestemmes af forhold, der ligger udenfor modellen): er mængden af tidsintervaller over døgnet, indek s for denne mængde: er mængden af mulige tidsintervaller for tilmelding (dvs. start af vagt), mængde: indek s for denne Mængden af mulige tidsintervaller for tilmelding er en ægte delmængde af mængden af tidsintervaller over døgnet: En vagtskabelon besk river, hvornår i vagten der billetteres og holdes pause. Vagtsk abelonen er uafhængig af hvornår vagten påbegyndes. er mængden af vagtsk abeloner, indek s for denne mængde: 4

5 er mængden af tidsintervaller i den enkelte vagtskabelon, indeks for denne mængde: er afgiftsintensiteten pr. revisor til tiden, opgjort som afgiftsk roner pr. revisor på billettering. Vagtsk abelonernes tidsintervalindek s begynder med intervallet for tilmelding. Der gælder således følgende sammenhæng til tidsintervalindek s over døgnet : er bruttobilletteringsintensiteten i vagtsk abelon til vagtsk abelonenens tidsinterval. Bruttobilleteringsintensiteten angiver for hvert interval, hvor stor en andel af tiden, der der anvendes til billettering (før evt. pauser er truk k et fra). er pauseintensiteten i vagtsk abelon til vagtsk abelonenens tidsinterval. Pauseintensiteten angiver for hvert interval, hvor stor en andel af tiden, der der anvendes til at holde pause. er nettobilletteringsintensiteten i vagtsk abelon til vagtsk abelonenens tidsinterval. Nettobilletteringsintensiteten angiver for hvert interval, hvor stor en andel af tiden, der anvendes til billettering fratruk k et pauser: er indtægterne pr. revisor ved k ontrolafgifter i intervallet i vagtsk abelon for revisorer, der tilmelder sig i intervallet. Indtægterne opgøres som produk tet af afgiftsintensiteten pr. revisor (hvor mange afgiftsk roner k an vi få ind pr. billetterende revisor) og billetteringsintensiteten (hvor stor en andel af intervallet revisoren anvender til billettering): er lønsatsen pr. revisor i tidsintervallet. Lønsatsen udgøres af en grundløn med tillæg for tidlige og sene arbejdstider, samt arbejde i week enden. er lønudgifterne pr. revisor i tidsintervallet når der foretages tilmelding i interval med vagtsk abelon. Lønudgifterne bestemmes ved variabelsubstitution i fht. tidsintervalindek s over døgnet som: er mødetillægget pr. tjeneste som revisoren får udbetalt med lønnen. Var iable Modellen anvender følgende variable: der angiver antallet revisorer med vagtsk abelon der sk al tilmelde sig til tiden. Objektfunktion Modellens objek tfunk tion er: Objektfunktionen er således et udtryk for summen af indtægter fraregnet udgifter og fraregnet mødetillæg for alle revisorer over alle mulige k ombinationer af vagtsk abeloner, tilmeldingsintervaller og tidsintervaller. Objek tfunk tionen mak simeres i optimeringen. 5

6 Modelbetingelser Nedenfor er listet de syv betingelser som modellen k an tage højde for: Antal samtidige revisorer til rådighed Antal revisortimer til rådighed (pr. uge) Antal revisortjenester til rådighed (pr. uge) Mindstebemanding udtryk t i forhold til samtidige revisorer på vagt Størstebemanding analogt til mindstebemanding ovenfor Antal revisorer der holder pause samtidig Antal revisorer der tilmelder sig (dvs. starter deres vagt) samtidig Betingelse 4 til 7 kan differentieres over tid således, at der til en given tid kan defineres en given mindstebemanding, størstebemanding eller øvre grænse for antal revisorer, der holder pause eller tilmelder sig samtidig. Modelbetingelserne formuleres matematisk som følger: hvor er størrelsen af k ontrolk orpset, dvs. maximalt antal revisorer til rådighed samtidigt. er størrelsen af den tilgængelige revisortid, dvs. antal revisortimer pr. uge. er antallet af tilgængelige revisortjenester pr. uge. er en hjælpefunk tion der antager værdien 1 hvis et tidsinterval falder indenfor vagtsk abelonen, med tilhørende varighed, når der tilmeldes i intervallet, og 0 ellers: er den ønsk ede minimumsbemanding til tiden. er den ønsk ede maximumsbemanding til tiden. er pauseintensiteten til tidspunk tet i vagtsk abelon (som defineret ovenfor, udtryk t ved anvendelse af variablesubstitution ligeledes som besk revet ovenfor). er det ønsk ede maximum for antallet af revisorer til samtidig pause til tiden. 6

7 er det ønsk ede maximum for antallet af tilmeldinger til tiden. Uddata Modellens uddata er en såk aldt optimeringsrapport indeholdende tabeldata og grafer for den beregnede, optimale bemandingsplan og en opgørelse over forventede indtægter og udgifter. Modellens beregninger håndteres i scenarier, dvs. i sæt af variable, parametre og modelbetingelser. Et scenario kunne fx være med den betingelse, at der hver dag fra kl. 04 til kl. 02 skal være mindst 15 revisorer på arbejde. Et andet scenario k unne være som nedenstående, illustreret ved figur 7 til 10, der viser ek sempler på modellens uddata i grafform. Figur 7: Eksisterende og optimeret bemandingsplan beregnet med modellen Figur 8: Opgørelse over revisorernes pausemønster før og efter optimering Figur 9: Opgørelse over revisorernes tilmeldingsmønster før og efter optimering Figur 10: Visualisering af vagtskabeloner anvendt i optimeringen: T re fuldtidsvagter med hhv. pausen i midten, mod starten og mod slutningen af vagten, og en deltidsvagt uden pause I dette scenario må der mak simalt må være 65 revisorer på arbejde af gangen i hverdagen og 55 i week enden (jf. gråt område, figur 7). Videre sk al der mindst være 10 revisorer på arbejde fra k l. 04 til k l. 02 (igen jf. gråt område, figur 7). Der må ik k e tilmelde sig mere end 30 revisorer samtidigt (brun k urve, figur 9), og der må mak simalt være 15 revisorer til pause samtidigt (orange k urve, figur 8). Det 7

8 viste scenario tillader ligeledes, at revisorernes pause lægges til et forsk elligt tidspunk t efter tilmeldingen, samt at nogle af revisorerne arbejder deltid (figur 10). Det ses af figur 7, at modellen i det givne scenario optimerer ved at lægge flere tjenester (gul k urve) i morgen- og eftermiddagsmyldretiden, samt tillige i aftentimerne i forhold til, hvorledes bemandingen er i dag (grøn kurve). Modellen k an p.t. gennemføre en beregning af et scenario på under 2 sek under. Optimeringsmodel B Overblik Model B tjener til bestemmelse af, hvor der skal gennemføres stik prøvek ontrol. Modellen er en geografisk orienteret, statistisk realtids-model, der viser den forventede intensitet af passagerer uden billet, fx for de næste to timer. Modellen tænk es anvendt i disponeringsmæssig sammenhæng, således at k ontrolpersonalet k an dirigeres derhen, hvor den største afgiftsintensitet pr. revisor forventes. Inddata Optimeringsmål Modelsynopsis Hvor skal der k ontrolleres? Planlægningshorisont Tak tisk Modeltype Udvik lingsstatus Statistisk, realtid Under udvik ling Til modellen sk al anvendes nøjagtige, geografisk e data om, hvor og hvornår der har fundet k ontrol sted, og hvor og hvornår der er blevet udsk revet k ontrolafgifter. Sidstnævnte data foreligger i dag, men datamaterialet for hvor og hvornår der har fundet k ontrol sted er p.t. mangelfuldt. Dette sk yldes, at GPS-modtageren i k ontrolpersonalets ek sisterende Tetra-radioer (figur 12) ik k e er følsom nok. Nye radioer (figur 13) med mere følsom GPS-modtager er under indførelse. Når et tilstræk k eligt datamateriale er tilvejebragt med de nye Tetra-radioer, k an modellen k alibreres og tages i anvendelse. Model B opbygges på samme dataplatform som model A. Uddata Grafen i figur 11 er et ek sempel på, hvorledes output fra modellen tænk es udformet. Grafen viser den forventede andel af passagerer uden billet i % for et givet tidsrum. Det er tank en, at model B sk al visualisere modellens resultater i realtid på k ontrolpersonalets nye Tetra-radioer (figur 13). 8

9 Figur 11: Forventet andel af gratister i % for de næste to timer Figur 12: Kontrolpersonalets gamle T etra-radio Figur 13: Kontrolpersonalets nye T etra-radio Optimeringsmodel C Overblik Model C tjener til bestemmelse af, hvor mange revisorer det k an svare sig at have ansat. Modellen er en statistisk orienteret beslutningsstøttemodel til at beregne forventede indtægter og udgifter i forbindelse med stik prøvek ontrollen og dermed den optimale størrelse af k ontrolk orpset. Optimeringsmål Modelsynopsis Planlægningshorisont Strategisk Hvor stort skal k ontrolk orpset være? Modelleringsprincip Modeltype Statistisk Udvik lingsstatus Under udvik ling Modellen tager udgangspunk t i sammenhængen mellem k ontrolgraden og andelen af passagerer uden billet, analogt til [8] og til dels også [9]. Ved k ontrolgraden forstås andelen af alle passagerer, der bliver k ontrolleret af togrevisork orpset. På baggrund af sammenhængen mellem k ontrolgraden og andelen af passagerer uden billet (gratistandelen) beregnes indtægter og udgifter som vist på nedenstående figurer 14 og 15. Idet modellen endnu ik k e er k alibreret, er figurerne vist uden sk alær angivelse. 9

10 Figur 14: Visualisering af sammenhængen mellem parametre i model C: Gratistandel, tabte billetindtægter, lønomkostninger til revision, samt værdi af udskrevne kontrolafgifter Figur 15: Visualisering af sammenhængen mellem parametre i model C: Gratistandel, antal nødvendige revisorer, samt balance På figur 14 vises gratistandelen (mørk eblå) som funk tion af k ontrolgraden. Gratistandelen antages omvendt proportional eller ek sponentielt aftagende med k ontrolgraden. Kalibreringen af modellen vil vise, hvilk en k urveform der passer bedst til de fak tisk e forhold. De tabte billetindtægter er proportionale til andelen af gratister, hvorfor k urven for de tabte billetindtægter (rød) vil have samme form som k urven for gratistandelen (mørk eblå). Lønomk ostningerne (grønne) til revisionen stiger lineært med k ontrolgraden. Værdien af de udsk revne k ontrolafgifter (gul) stiger først med stigende k ontrolgrad for dernæst at aftage. Dette fork lares med, at der til lave værdier for k ontrolgraden er mange gratister for hver revisor, medens der for højere værdier af k ontrolgraden er færre gratister for hver revisor. Figur 15 viser foruden gratistandelen (mørk eblå) også antallet af nødvendige revisorer til en given k ontrolgrad (lyseblå). Denne er tillige proportional med k ontrolgraden. Kurven for balance (bordeaux) er opgjort som indtægter fraregnet udgifter, dvs. summen af indtægterne fra salg af billetter og udstedelse af k ontrolafgifter fratruk k et udgifterne til billetk ontrol og tabte billetindtægter begrundet i gratistandelen. Det øk onomisk e optimum sk al således findes på k urven for balance (bordeaux). Til dette optimum hører en given k ontrolgrad og af k ontrolgraden følger det optimale antal ansatte s-togsrevisorer. Optimeringsmodel D Overblik Model D tjener til bestemmelse af, hvordan stik prøvek ontrollen sk al gennemføres i og omk ring toget. Formålet med løsningsmodellen er at undersøge forsk ellige fysisk e måder at k ontrollere toget på mhp. at beregne, hvor stor en andel af gratisterne vi kan regne med at tage. Grundidéen er at k ontrollere toget på en sådan måde, at gratisterne ikke kan undslippe. Formålet er også at udvide repertoiret af kontrolmuligheder, bla. mhp. at tage flere af de såkaldte bevidste gratister. Optimeringsmål Modelsynopsis Planlægningshorisont Strategisk Modeltype Hvordan sk al k ontrollen foretages i toget? Agentbaseret simulering på 10

11 Model Model D tager udgangspunkt i en analytisk undersøgelse af billetteringsprocessen. På baggrund heraf tænk es der udført agentbaserede simuleringer [10] i Java [11], dette vha. simuleringspak k en Repast [12], der er open source. Visualisering Udviklingsstatus baggrund af analytisk model I idéfase Modellen anvender animering til visualisering af resultaterne af simuleringen. Nedenstående figur 17 viser et stillbillede af en animeret visualisering af en k ontrol med to revisorer (blå), der bevæger sig parallelt blandt betalende passagerer (grønne). Gratisten (rød) opdager revisorerne og slipper væk. En tilsvarende animation viser en k ontrol med to revisorer, der bevæger sig mod hinanden. Gratisten opdager revisorerne, men kan ikke slippe væk. De viste animationer er fremstillet vha. værk tøjet Synfig [13], der er open source. Figur 17: Stillbillede fra den animerede visualisering i model D Foreløbige resultater Animationen (jf. figur 17) er blevet vist for udvalgte S-togsrevisorer og deres ledere. Bla. som følge heraf, er der nu en langt større bevidsthed i k ontrolk orpset omk ring hvorledes k ontrollen sk al udformes i og omkring toget. Der er således tale om, at model D har haft synlig, positiv effekt i organisationen allerede inden egentlige modelberegninger har fundet sted. Diskussion Resultaterne af arbejdet indtil nu viser et stort optimeringspotentiale indenfor stik prøvek ontrollen af billetter hos DSB S-tog. Den største udfordring i forbindelse med opstillingen at optimeringsmodellerne udgøres i dag af det til dels mangelfulde datagrundlag. Der er mange tiltag i gang for at forbedre datagrundlaget for hele virk somheden DSB S-tog. Der arbejdes bla. på et elek tronisk system til nøjagtigt at registrere, hvornår den enk elte revisor udfører billetk ontrollen. Dette system sk al også lette revisorernes daglige rapportering, hvorfor en højere datak valitet og bedre dæk ning forventes. Datagrundlaget for optimeringsmodellerne vil få endnu et løft, når rejsek ortet tages i brug (se ort.dk). Til denne tid vil der være detaljerede oplysninger om, hvornår den enk elte billet er blevet k ontrolleret. Dette vil k unne forbedre nøjagtigheden af modellerne betydeligt. 11

12 En anden stor udfordring i forhold til anvendelsen af optimeringsmodellerne udgøres af samspillet mellem tek nik og mennesk er. Det er af afgørende vigtighed, at de løsninger, som optimeringsmodellerne producerer, også er gennemførlige i virk elighedens verden, endsige, at de implicerede parter betragter dem som ønsk elige. Der er under udvik lingen af modellerne derfor lagt stor vægt på en tæt dialog mellem medarbejdere, analytik ere og ledelse. Ved anvendelsen af de nævnte optimeringsmodeller for stik prøvek ontrol af billetter sik rer DSB S-tog, at virk somheden er indtægtsgivende og dermed fortsat k an være en velfungerende arbejdsplads for sine ansatte og fortsat k an tilbyde byen København effek tiv, k ollek tiv transport. Kildefortegnelse 1. Wolsey, Laurence A.: "Integer Programming", Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization, ISBN , New York, Taha, Hamdy A.: "Operations Research", Prentice-Hall, ISBN , New Jersey, Folk mann, Michael; Jespersen, Julie; Nielsen, Morten: "Estimates on Rolling Stock and Crew in DSB S-tog Based on Timetables", DSB S-tog, Produk tionsplanlægning, Kalvebod Brygge 32, 1560 København V; i: Lecture Notes in Computer Science, Springer, ISSN (Print) (Online), Berlin, MySQL: Se 5. GAMS: Se 6. McCarl, Bruce A.: "GAMS User Guide", Version 22.7, Texas A&M University, College Station, Texas, GnuPlot: Se 8. Verband Deutscher Verk ehrsunternehmen: "Maßnahmen zur Einnahmensicherung, Teil II: Kennzahlen der Fahrausweisprüfung und optimaler Kontrollgrad", VDV Mitteilung Nr. 9708, Köln, Schuler, Patrick: "Schwarzfahren: Eine ök onomische Betrachtung", Lehrstuhl für Industrieök onomik, Sozialök onomisches Institut, Universität Zürich, Zürich Wik ipedia: Se ipedia.org/wik i/agent-based_model 11. Java: Se 12. Repast: Se 13. Synfig: Se 12

Stikprøvekontrol af billetter: Hvordan optimeres dette?

Stikprøvekontrol af billetter: Hvordan optimeres dette? Stikprøvekontrol af billetter: Hvordan optimeres dette? Fra AnalyseWiki En introduk tion til fire optimeringsmodeller for stik prøvek ontrol af billetter Artik el til Trafik dage på Aalborg Universitet,

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Kontrolafgift på 750 kr. grundet manglende zone. Fejlstempling i Movia bus. Bjarne Lindberg Bak Ingrid Dissing Torben Steenberg (2 stemmer)

Kontrolafgift på 750 kr. grundet manglende zone. Fejlstempling i Movia bus. Bjarne Lindberg Bak Ingrid Dissing Torben Steenberg (2 stemmer) 1 AFGØRELSE FRA ANKENÆVNET FOR BUS, TOG OG METRO Journalnummer: 2012-0003 Klageren: Indklagede: XX 2300 København S DSB S-tog Klagen vedrører: Ankenævnets sammensætning: Kontrolafgift på 750 kr. grundet

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Mathias Turac 01-12-2008

Mathias Turac 01-12-2008 ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Eksponentiel Tværfagligt tema Matematik og informationsteknologi Mathias Turac 01-12-2008 Indhold 1.Opgaveanalyse... 3 1.1.indledning... 3 1.2.De konkrete krav til opgaven...

Læs mere

Principperne for takstfastsættelse af tillægsydelser

Principperne for takstfastsættelse af tillægsydelser Principperne for takstfastsættelse af tillægsydelser Styringsaftalen anviser de almindelige principper for beregning af takster for hovedydelser. I nedenstående beskrives de aftalte principperne for takstfastsættelse

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

KL s personaleøkonomiske beregner

KL s personaleøkonomiske beregner KL s personaleøkonomiske beregner Vejledning: Her kan du beregne konsekvenserne af at ændre ved sygefraværet, personaleomsætningen, afgangsmønstret, demografi samt andelen af deltidsansatte for 11 udvalgte

Læs mere

Abonnement. Bus tog metro HovedstadsomrAdet 2013. Få månedskortet bragt til døren. Mange fordele. Inden du tilmelder dig. Indhold

Abonnement. Bus tog metro HovedstadsomrAdet 2013. Få månedskortet bragt til døren. Mange fordele. Inden du tilmelder dig. Indhold Abonnement Bus tog metro HovedstadsomrAdet 2013 Indhold Få månedskortet bragt til døren Inden du tilmelder dig Du kan tilmelde dig på tre måder Online stationer Specielt for kort til voksne og unge under

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Opgave 1: Omprøve 12. august 2003. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Omprøve 12. august 2003. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Omprøve. august 003 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen 2. juni 1997. Spørgsmål 1.1: Spørgsmål 1.2: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen 2. juni 1997. Spørgsmål 1.1: Spørgsmål 1.2: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 2. juni 1997 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor

Læs mere

Bilag 4: Service Level Agreement for rå kobber og delt rå kobber

Bilag 4: Service Level Agreement for rå kobber og delt rå kobber Bilag 4: Service Level Agreement for rå kobber og delt rå kobber Bilag 4 gældende pr. 1. marts 2015. 1 Indhold 1 INDHOLD... 1 2 INDLEDNING... 1 3 KVALITET... 2 4 LEVERINGSPRÆCISION... 3 5 LEVERINGSTID...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen 29. maj 2001. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen 29. maj 2001. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 29. maj 2001 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor

Læs mere

www.sas-forum.dk Lav bedre rapporter Online feedback/dialog: f Se password på dit navneskilt Alan Hjemsted, Seniorkonsulent SAS Institute

www.sas-forum.dk Lav bedre rapporter Online feedback/dialog: f Se password på dit navneskilt Alan Hjemsted, Seniorkonsulent SAS Institute make connections share ideas be inspired Online feedback/dialog: f www.sas-forum.dk f Se password på dit navneskilt Lav bedre rapporter Alan Hjemsted, Seniorkonsulent SAS Institute Hvorfor tale om rapportdesign?

Læs mere

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2013

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2013 Til DANSKE ARK Dokumenttype Rapport Dato Februar 2014 LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2013 LØN- OG PERSONALESTATISTIKKEN 2013 INDHOLD 1. Indledning 1 2. De deltagende medarbejdere 3 3. Månedsløn og uddannelsesretning

Læs mere

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Teknisk dokumentation og brugervejledning 100.0 Regionalt estimat 68% konfidensgrænser Intensitet [µm/s] 10.0 1.0 T = 100 T = 10 T =

Læs mere

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi Målsætning Økonomiske beregninger som baggrund for vurdering af konkrete problemstillinger. Målsætningen for temaet Hvordan får jeg råd? er, at eleverne gennem arbejde med scenariet udvikler matematiske

Læs mere

Strategisk ressourcestyring i staten - elementer og udfordringer

Strategisk ressourcestyring i staten - elementer og udfordringer Strategisk ressourcestyring i staten - elementer og udfordringer Carsten Rohde E-mail cr.acc@cbs.dk SAS Institute 5. maj 2011 Agenda: 1. Økonomistyringsudfordringen i statens virksomheder? 2. Økonomistyringsopgaver

Læs mere

Bilag 3: Løn- og omkostningsfordeling

Bilag 3: Løn- og omkostningsfordeling Bilag 3: Løn- og omkostningsfordeling August 205 INDLEDNING Potentiale for større gennemsigtighed Gennemsigtighed i økonomien opnås ved, at der er bedre kendskab til de samlede omkostninger ved den faglige

Læs mere

Seniorordninger i samspillet med offentlige ydelser 2015

Seniorordninger i samspillet med offentlige ydelser 2015 Seniorordninger i samspillet med offentlige ydelser 2015 Seniorordninger i samspillet med offentlige ydelser. Vælger du at gå på nedsat tid, påvirker det naturligvis din økonomi. Din løn bliver mindre,

Læs mere

Rejsekort A/S Borgergade 14, 3. sal DK-1300 København K. Rejsekort rejseregler Gældende fra den 1. juli 2012

Rejsekort A/S Borgergade 14, 3. sal DK-1300 København K. Rejsekort rejseregler Gældende fra den 1. juli 2012 Rejsekort A/S Borgergade 14, 3. sal DK-1300 København K Rejsekort rejseregler Gældende fra den 1. juli 2012 Indholdsfortegnelse 1. Hvad er rejsereglerne?...2 2. Hvad er rejsekort?...2 3. Hvad skal du vide

Læs mere

Logistikkens dag 2. december 2013

Logistikkens dag 2. december 2013 Logistikkens dag 2. december 2013 Simuleringsmodeller til optimering af produktion og logistik Poul Mose Johansen Kort om Integrate Vi er et kompetent team bestående af 6 konsulenter med lang uddannelsesmæssig

Læs mere

Beregn den optimale pris- og mængdekombination og illustrer løsningen grafisk.

Beregn den optimale pris- og mængdekombination og illustrer løsningen grafisk. Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen juni 999 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen 24. maj 2004. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen 24. maj 2004. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 4 Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 24. maj 4 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver,

Læs mere

Disposition for kursus i Excel2007

Disposition for kursus i Excel2007 Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Overordnede resultater Side 4. Metode Side 29. Sammenfatning Side 3

Indholdsfortegnelse. Overordnede resultater Side 4. Metode Side 29. Sammenfatning Side 3 Indholdsfortegnelse Sammenfatning Side 3 Overordnede resultater Side 4 Prioritering af indsatsområderne Side 8 Internt benchmark Side 21 Eksternt benchmark: Offentligt ansatte Side 23 Metode Side 29 2

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Den gamle togkonduktør

Den gamle togkonduktør SANDSYNLIGHEDSREGNING OG LOGIK SVÆR Den gamle togkonduktør Grubleren En pensioneret togkonduktør går en gang i døgnet en tur med sin hund. Han kommer altid forbi broen over banen og altid på et tilfældigt

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

GPS data til undersøgelse af trængsel

GPS data til undersøgelse af trængsel GPS data til undersøgelse af trængsel Ove Andersen Benjamin B. Krogh Kristian Torp Institut for Datalogi, Aalborg Universitet {xcalibur, bkrogh, torp}@cs.aau.dk Introduktion GPS data fra køretøjer er i

Læs mere

Simulering af dynamiske systemer

Simulering af dynamiske systemer 04-04-01/SG Simulering af dynamiske systemer 1 Simulering af dynamiske systemer - er ikke længere forbeholdt eksperter Søren Gundtoft er ansat som lektor ved Ingeniørhøjskolen i Århus men er for tiden

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Eksempel på årsafslutning i en produktionsvirksomhed (Der ses overalt bort fra moms og skat)

Eksempel på årsafslutning i en produktionsvirksomhed (Der ses overalt bort fra moms og skat) Side 1 af 9 Eksempel på årsafslutning i en produktionsvirksomhed (Der ses overalt bort fra moms og skat) A/S NUTS har netop ansat Claus Konto som bogholder i deres maskinfabrik. A/S NUTS producerer specialkomponenter

Læs mere

Metroen binder byen sammen døgnet rundt, alle ugens dage. Med Metroen har københavnerne og byens besøgende en mulighed for at komme nemt og hurtigt

Metroen binder byen sammen døgnet rundt, alle ugens dage. Med Metroen har københavnerne og byens besøgende en mulighed for at komme nemt og hurtigt Velkommen i Metroen Metroen binder byen sammen døgnet rundt, alle ugens dage. Med Metroen har københavnerne og byens besøgende en mulighed for at komme nemt og hurtigt rundt på en bæredygtig måde. Billetter

Læs mere

Social Media Rapport for VIRKSOMHED A/S af Bach & McKenzie

Social Media Rapport for VIRKSOMHED A/S af Bach & McKenzie Social Media Rapport for VIRKSOMHED A/S af Bach & McKenzie Dato: 22-08-2014 Copyright af Bach & McKenzie 2014 Introduktion Indholdsfortegnelse 03 Hovedtal Kære VIRKSOMHED A/S Tillykke med jeres nye Social

Læs mere

Brugen af RiBAY er typisk en iterativ proces, hvor trin 4-6 gentages et antal gange for at kortlægge og forstå risiko.

Brugen af RiBAY er typisk en iterativ proces, hvor trin 4-6 gentages et antal gange for at kortlægge og forstå risiko. Kom godt i gang med RiBAY Risikostyring ved hjælp af RiBAY består af følgende seks trin: 1. Indtastning af systemvariable og budgettal 2. Indtastning af Køb og salg 3. Kalibrering af udgangspunktet for

Læs mere

Kom i gang med. Find på Programmér Del

Kom i gang med. Find på Programmér Del Kom i gang med Find på Programmér Del version 1.3 SCRATCH er et nyt programmeringssprog. Med Scratch kan du lave dine egne interaktive animationer, spil og musik. Scratch er gratis og "open source". Du

Læs mere

Sagens omstændigheder: Klageren rejste den 15. april 2011 med S-tog linje E, der ikke standser mellem Lyngby og Hellerup.

Sagens omstændigheder: Klageren rejste den 15. april 2011 med S-tog linje E, der ikke standser mellem Lyngby og Hellerup. AFGØRELSE FRA ANKENÆVNET FOR BUS, TOG OG METRO Journalnummer: 2011-0122 Klageren: XX 2850 Nærum Indklagede: DSB S-tog A/S Klagen vedrører: Kontrolafgift på 750 kr. for manglende zoner Ankenævnets sammensætning:

Læs mere

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Middelværdi for grupperede observationer... Summeret frekvens og sumkurver... Indekstal... Lektion 9s Side 1 Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål,

Læs mere

Hospitalsstandardiseret Mortalitetsratio (HSMR) Mortalitets audit 50 seneste dødsfald

Hospitalsstandardiseret Mortalitetsratio (HSMR) Mortalitets audit 50 seneste dødsfald Hospitalsstandardiseret Mortalitetsratio (HSMR) Steffen Christensen, MD, Malene Engebjerg Msc Jacob Jacobsen Msc Mette Nørgaard, MD, Phd Pr ogram Få generelle betragtninger HSMR Baggrund for HSMR Styrker

Læs mere

Tilgængelighed i Danmark

Tilgængelighed i Danmark Institut for Veje, Trafik og Byplan Danmarks Tekniske Universitet Tilgængelighed i Danmark Af Civilingeniør, Ph.D.-stud. Jacob Kronbak INDLEDNING I forbindelse med den nye landsplanredegørelse har Miljø-

Læs mere

St y r egr uppen er ov er or dnet ansv ar lig for at over v åge, at der sk er en hensigtsm æssig gennem før else af k ont r ak t en.

St y r egr uppen er ov er or dnet ansv ar lig for at over v åge, at der sk er en hensigtsm æssig gennem før else af k ont r ak t en. BILAG 11 SAM ARBEJD SORGAN I SATI ON 1 Sa m a r be j dsor ga n isa t ion e n s st r u k t u r Med henblik på at sik r e en hensigt sm æssig gennem før else af k ont r ak t en et abler es den i det t e

Læs mere

ProMark workforce management ProJob

ProMark workforce management ProJob ProMark workforce management er løsningen til optimering af virksomhedens produktionsprocesser og -omkostninger gennem oversigter, indsamling af produktionskritiske jobdata, effektiv rapportering og integration

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Start af nyt schematic projekt i Quartus II

Start af nyt schematic projekt i Quartus II Start af nyt schematic projekt i Quartus II Det følgende er ikke fremstillet som en brugsanvisning der gennemgår alle de muligheder der er omkring oprettelse af et Schematic projekt i Quartus II men kun

Læs mere

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Horsens Kommune! Endelave Overfarten! Tonnage optimering! 02 maj 2014!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Horsens Kommune! Endelave Overfarten! Tonnage optimering! 02 maj 2014! Horsens Kommune Endelave Overfarten Tonnage optimering 02 maj 2014 A/S JØRGEN PETERSEN - RÅDGIVENDE SKIBSINGENIØRER - 8700 HORSENS INDHOLDSFORTEGNELSE Baggrund... 1 Konklusion... 2 Beskrivelse af metode...

Læs mere

FraværsStatistik dokumentation 12. september 2008

FraværsStatistik dokumentation 12. september 2008 FraværsStatistik dokumentation 12. september 2008 Formål Kun det uregelmæssige fravær belyses Formålet med FraværsStatistikken er at belyse mønstre i fraværets sammensætning og udvikling indenfor DA-området.

Læs mere

Drift, hosting, vedligeholdelse, support og servicemål

Drift, hosting, vedligeholdelse, support og servicemål Bilag 5 Drift, hosting, vedligeholdelse, support og servicemål 1. Drift Leverandøren skal levere driftsafvikling af webstatistikløsningen (systemet) i produktionsmiljøet, herunder sikre korrekt eksekvering

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen 28. maj 2003. Spørgsmål 1.1: Dette er et løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen 28. maj 2003. Spørgsmål 1.1: Dette er et løsningsforslag til opgavesættet: Dette er et løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 28. maj 2003 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der skal findes

Læs mere

Placeringsstatistik 18 årige

Placeringsstatistik 18 årige Ungdommens Uddannelsesvejledning Region Sjælland UU Lolland Falster UUV Køge Bugt UU Nordvest- Sjælland UU Vestsjælland UU Sjælland Syd Placeringsstatistik 18 årige 1 Placeringsstatistik for 18 årige i

Læs mere

Regnskabsregler og datastrukturer

Regnskabsregler og datastrukturer APPENDIKS 12 : Regnskabsregler og datastrukturer Version 1.0.1 Regnskabsregler og datastrukturer Revision kontrol: Version Dato Beskrivelse af ændringer Leveret til 1.0.0 23/03/07 1.0.1 01/01/09 Revision

Læs mere

Vejledning til Google Analytics rapporter

Vejledning til Google Analytics rapporter Vejledning til Google Analytics rapporter Internet statistik kan godt være svært at forstå specielt hvis man ikke er vant til at arbejde med sådanne ting. For at gøre det nemmere for vores kunder at forstå

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Følgetekst til menukurset: Kredsens udviklingsplan Del 1. Visionen

Følgetekst til menukurset: Kredsens udviklingsplan Del 1. Visionen Følgetekst til menukurset: Kredsens udviklingsplan Del 1. Visionen Du er den heldige oplægsholder på Kredsens udviklingsplan Del 1. Visionen. Læs alle slides grundigt igennem, og ligeså dette papir. Du

Læs mere

Simuleringsmodel for livsforløb

Simuleringsmodel for livsforløb Simuleringsmodel for livsforløb Implementering af indkomststokastik i modellen 9. november 2009 Sune Sabiers sep@dreammodel.dk Indledning I forbindelse med EPRN projektet Livsforløbsanalyse for karakteristiske

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

MVT380 Vejledning. Forord. Website: www.smartgps.dk Kontakt: salg@smartgps.dk. Tillykke med din nye GPS tracker MVT380.

MVT380 Vejledning. Forord. Website: www.smartgps.dk Kontakt: salg@smartgps.dk. Tillykke med din nye GPS tracker MVT380. MVT380 Vejledning Forord Tillykke med din nye GPS tracker MVT380. Denne manual viser hvordan du installerer enheden korrekt. Sørg for at læse denne manual grundigt, før du bruger dette produkt. Brugermanualen

Læs mere

ANSØGNINGSSKEMA FÆLLES PULJE

ANSØGNINGSSKEMA FÆLLES PULJE ANSØGNINGSSKEMA FÆLLES PULJE INITIATIVETS TITEL: Sociale medier som platform for borgerinvolvering 1. ANSØGERE OG SAMARBEJDSPARTNERE Ansøger (projektansvarlig): Navn: Hanne Lund Steffensen E-mail: hlst@aarhus.dk

Læs mere

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P

Læs mere

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2012

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2012 Til Danske Ark Dokumenttype Rapport Dato Januar 2013 LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2012 LØN- OG PERSONALESTATISTIKKEN 2012 INDHOLD 1. Indledning 1 2. De deltagende medarbejdere 2 3. Månedsløn og uddannelsesretning

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

BILLEDKUNSTNERISK GRUNDKURSUS MIDT VEST

BILLEDKUNSTNERISK GRUNDKURSUS MIDT VEST BILLEDKUNSTNERISK GRUNDKURSUS MIDT VEST & Kulturregion Midt- og Vestsjælland ER DU SERIØST INTERESSERET I AT ARBEJDE MED BILLEDKUNSTNERISKE UDTRYKSFORMER? Er du mellem 15 og 25 år, og tæn ker du på at

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Flowmålingsmæssige udfordringer i regn- og spildevandssystemer Temadag om Flowmåling i udvikling Teknologisk Institut den 19.

Flowmålingsmæssige udfordringer i regn- og spildevandssystemer Temadag om Flowmåling i udvikling Teknologisk Institut den 19. Flowmålingsmæssige udfordringer i regn- og spildevandssystemer Temadag om Flowmåling i udvikling Teknologisk Institut den 19. november 2009 23-11-2009 Dias nr. 1 Hvem er jeg? Mads Uggerby - uddannelse

Læs mere

REGLEN: Et SÆT er tre terninger, hvor den enkelte egenskab er den samme på alle tre ELLER egenskaberne er forskellige på alle tre terninger.

REGLEN: Et SÆT er tre terninger, hvor den enkelte egenskab er den samme på alle tre ELLER egenskaberne er forskellige på alle tre terninger. SET CUBED A Curious Game of Clever Connections Spilleregler Para instrucciones en Español por favor visiten www.setgame.com Pour des instructions en Français veuillez visiter www.setgame.com Für Spielanleitungen

Læs mere

Indledning til vejledning for intern overvågning...2. Aftaleprogram...3. Hvilke aftaler er omfattet af overvågningsprogrammet?...3

Indledning til vejledning for intern overvågning...2. Aftaleprogram...3. Hvilke aftaler er omfattet af overvågningsprogrammet?...3 FVD vejledning 09/2010 Indholdsfortegnelse Indledning til vejledning for intern overvågning...2 Praktisk vejledning til internovervågnings program....3 Aftaleprogram...3 Hvilke aftaler er omfattet af overvågningsprogrammet?...3

Læs mere

Guide til lønforhandling for mejeriingeniører

Guide til lønforhandling for mejeriingeniører Side 1 af 6 Hovedpunkter Bemærkninger til de enkelte trin Forhandling én gang årligt? ger) De fleste privatansatte mejeriingeniører har anført i deres ansættelseskontrakt, at de forhandler løn én gang

Læs mere

at bestyrelsen tager status for anvendelsen af de 5 mio.kr. afsat i 2012 til tværgående trafikinformation til efterretning.

at bestyrelsen tager status for anvendelsen af de 5 mio.kr. afsat i 2012 til tværgående trafikinformation til efterretning. Politisk dokument uden resume Sagsnummer ThecaSag-107178 Movit-2507809 Bestyrelsen 6. december 2012 Pernille Jørgensen 14 Status vedr. pulje på 5 mio.kr. til trafikinformation Indstilling: Administrationen

Læs mere

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag SPAM-mails Køber varer via spam-mails Læser spam-mails Modtager over 40 spam-mails pr. dag Modtager spam hver dag 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010 Datapræsentation: lav flotte

Læs mere

Opgaverne, der er afleveret er rettet med den udsendte rettevejlednings vejledende vægtning af de enkelte spørgsmål.

Opgaverne, der er afleveret er rettet med den udsendte rettevejlednings vejledende vægtning af de enkelte spørgsmål. Omprøve 1997 Løsningsforslag Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Omprøve 8. august 1997 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene

Læs mere

mobiletelefon (eller modem indbygget i en anden enhed) kan sende og modtage emails eller browse på Internettet via mobiletelefon.

mobiletelefon (eller modem indbygget i en anden enhed) kan sende og modtage emails eller browse på Internettet via mobiletelefon. GPS baseret tracking af mobile objekter Christian S. Jensen, Aalborg Universitet og & Kristian Torp, Aalborg Universitet Denne artikel beskriver hvorledes man med eksisterende teknologi, herunder Global

Læs mere

Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken

Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken - 1 - Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken Introduktion Input-output tabellerne er konsistente med nationalregnskabet og udarbejdes i tilknytning hertil. De opdateres årligt i december

Læs mere

Udbud af offentlige opgaver giver økonomiske gevinster

Udbud af offentlige opgaver giver økonomiske gevinster Udbud af offentlige opgaver giver økonomiske gevinster AF MARKEDSCHEF JAKOB SCHARFF, CAND. SCIENT. ADM. OG ANALYSECHEF GEERT LAIER CHRISTENSEN, CAND. SCIENT. POL. RESUMÉ Dansk Erhverv kan på baggrund af

Læs mere

TEKNISK NOTE. Emne: Nye registreringsarter i AXP 4.0 Kontakt: AXP Gruppen Dato: 10-01-2006 Rev.: Af: Lars Lamp Udskr.: 10-01-2006

TEKNISK NOTE. Emne: Nye registreringsarter i AXP 4.0 Kontakt: AXP Gruppen Dato: 10-01-2006 Rev.: Af: Lars Lamp Udskr.: 10-01-2006 TEKNISK NOTE Emne: Nye registreringsarter i AXP 4.0 Kontakt: AXP Gruppen Dato: 10-01-2006 Rev.: Af: Lars Lamp Udskr.: 10-01-2006 Informationen i dette dokument må ikke fortolkes som nogen forpligtelse

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

Regneark LibreOffice. Øvelseshæfte. Version: September 2013

Regneark LibreOffice. Øvelseshæfte. Version: September 2013 Regneark LibreOffice Øvelseshæfte Version: September 2013 Indholdsfortegnelse Øvelserne...4 Øvelse 1 Gem en kopi...4 Øvelse 2 Omdøb faneblad + lav en kopi...4 Øvelse 3 - tekstombrydning...5 Øvelse 4 Sorter

Læs mere

Model til fremkommelighedsprognose på veje

Model til fremkommelighedsprognose på veje Model til fremkommelighedsprognose på veje Henning Sørensen, Vejdirektoratet 1. Baggrund Ved trafikinvesteringer og i andre tilfælde hvor fremtidige forhold ønskes kortlagt, gennemføres en trafikprognose

Læs mere

Hvad kendetegner økologiske mælkeproduktion med høj jordrente?

Hvad kendetegner økologiske mælkeproduktion med høj jordrente? Hvad kendetegner økologiske mælkeproduktion med høj jordrente? Noget tyder på at økologiske mælkeproducenter med god jord bør i højere grad gå efter synergienerne mellem mælkeproduktion og salgsafgrøder

Læs mere

3D matriklen i et fremtidsperspektiv

3D matriklen i et fremtidsperspektiv 3D matriklen i et fremtidsperspektiv Lars Bodum Center for 3D GeoInformation Aalborg Universitet Esben Munk Sørensen Land Management Aalborg Universitet Hvad er problemet? Vi diskuterer mange gange løsninger

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Det er forskellige behov, der afgør, hvad der betragtes som tilgængelighed før og under rejsen, men helt adskilles kan behovene ikke.

Det er forskellige behov, der afgør, hvad der betragtes som tilgængelighed før og under rejsen, men helt adskilles kan behovene ikke. TILGÆNGELIGHED FØR OG UNDER REJSEN af Mogens Kjøller, HT Manglende viden og negativ holdning er væsentlige årsager til, at mange ikke bruger den kollektive trafik. De vælger andre måder at transportere

Læs mere

Hvad siger medarbejderne? Spørg dem!

Hvad siger medarbejderne? Spørg dem! Hvad siger medarbejderne? eller kunderne, medlemmerne... Spørg dem! S l 50 personer fra 5 grupper 50 spørgsmål indenfor 5 emner for kun kr. 3.500, ex. moms og få svar på 5 dage! FLOT rapportering med grafik

Læs mere

Denne vejledning giver dig et overblik over hvilke betingelser, du skal opfylde, for at du kan gå på efterløn.

Denne vejledning giver dig et overblik over hvilke betingelser, du skal opfylde, for at du kan gå på efterløn. Om at få efterløn Denne vejledning giver dig et overblik over hvilke betingelser, du skal opfylde, for at du kan gå på efterløn. Vejledningen beskriver også, hvordan reglerne er, mens du er på efterløn

Læs mere

Variabelt budget Indirekte omkostninger. 16.000 timer 960.000 18.000 timer 980.000 20.000 timer 1.000.000 22.000 timer 1.020.000

Variabelt budget Indirekte omkostninger. 16.000 timer 960.000 18.000 timer 980.000 20.000 timer 1.000.000 22.000 timer 1.020.000 OPGAVE 34 I 1992 havde en ny afdeling af NIMBUS A/S specialiseret sig i at producere en speciel komponent til motorcykler. De oprindelige estimater fra udviklingsafdelingen havde resulteret i følgende

Læs mere

SERVICEMÅL OG BOD. Christian Sandbeck, Bid Excellence Executive

SERVICEMÅL OG BOD. Christian Sandbeck, Bid Excellence Executive SERVICEMÅL OG BOD Christian Sandbeck, Bid Excellence Executive MIN BAGGRUND Uddannelse : cand.merc.jur 2 3 DISKUSSIONSSPØRGSMÅL 1 Hvorfor har vi Servicemål? 4 ITIL S SVAR: SLA ER SKAL UNDERSTØTTE KUNDENS

Læs mere

Registrering af arbejdstid på EUD og kursusområdet på CPH WEST

Registrering af arbejdstid på EUD og kursusområdet på CPH WEST Registrering af arbejdstid på EUD og kursusområdet på CPH WEST Indhold 1 Baggrund... 2 1.1 Formål med tidsregistreringen... 2 1.2 Overordnede principper for tidsregistrering på CPH WEST... 2 1.3 Øvrige

Læs mere

Velkommen til Jobcenter Københavns karrierecenter

Velkommen til Jobcenter Københavns karrierecenter Velkommen til Jobcenter Københavns karrierecenter Generelle informationer Tilmelding på Jobnet.dk Som ledig skal du være tilmeldt Jobnet.dk med et godkendt CV. Indenfor de første fi re uger af din ledighedsperiode

Læs mere

Planlægning af arbejdsplaner for togrevisorer i S-toge

Planlægning af arbejdsplaner for togrevisorer i S-toge Planlægning af arbejdsplaner for togrevisorer i S-toge Specialerapport af Lars Kjær Nielsen Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet - Odense 1 Forord Dette speciale er skrevet i perioden

Læs mere