Stikprøvekontrol af billetter: Hvordan optimeres dette?

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Stikprøvekontrol af billetter: Hvordan optimeres dette?"

Transkript

1 Stikprøvekontrol af billetter: Hvordan optimeres dette? En introduk tion til fire optimeringsmodeller for stik prøvek ontrol af billetter Artik el til Trafik dage på Aalborg Universitet, August 2008 Af Per Thorlacius, Civilingeniør, Operationsanalytik er, DSB S-tog A/S Indholdsfortegnelse 1 Indledning 2 Optimeringsmodeller for stik prøvek ontrol af billetter 2.1 Optimeringsmodel A Overblik Inddata Modellens parametre og variable Objek tfunk tion Modelbetingelser Uddata 2.2 Optimeringsmodel B Overblik Inddata Uddata 2.3 Optimeringsmodel C Overblik Modelleringsprincip 2.4 Optimeringsmodel D Overblik Model Visualisering Foreløbige resultater 3 Disk ussion 4 Kildefortegnelse Indledning Den k øbenhavnsk e S-bane drives efter princippet egenk ontrol: Det er den enk elte passagers eget ansvar at sørge for gyldig billet. For at sik re, at så mange som muligt har gyldig billet, og dermed sik re tilstræk k elige billetindtægter fra driften af S-banen, gennemføres regelmæssig stik prøvek ontrol af billetter i tog og på stationer. Stik prøvek ontrollen af billetter udføres af revisorerne fra DSB S-togs togrevisork orps. Ved optimering af stik prøvek ontrol af billetter forstås her at opnå så store indtægter som det er prak tisk muligt for det samlede transportsystem. Indtægternes størrelse afhænger af hvornår, hvor, med hvor meget k ontrolpersonale og hvordan stik prøvek ontrollen udføres. Til bestemmelse af, hvilk en k ombination af de nævnte k riterier, der giver de størst mulige samlede indtægter, er DSB S-tog i øjeblik k et i gang med at udvik le fire optimeringsmodeller: 1

2 Model A: En tak tisk/strategisk planlægningsmodel til bestemmelse af hvornår der sk al gennemføres stik prøvek ontrol Model B: En tak tisk disponeringsmodel til bestemmelse af hvor der sk al k ontrolleres billetter Model C: En strategisk model for hvor meget k ontrolpersonale det k an svare sig at have ansat Model D: En strategisk simuleringsmodel for hvorledes billetk ontrollen sk al foregå i og omk ring toget Model A er færdigudviklet og taget i brug og hovedvægten i beskrivelsen er på denne. De øvrige modeller behandles overordnet. Optimeringsmodeller for stikprøvekontrol af billetter Optimeringsmodel A Overblik Sigtet med optimeringsmodel A er at bestemme hvornår der sk al gennemføres stik prøvek ontrol. Modellen er formuleret som en blandet heltalsprogrammeringsmodel med dertil hørende variable, parametre, objektfunktion og betingelser, som den k endes fra litteraturen, se fx [1] og [2]. Modellens variable, også k aldet beslutningsvariable, repræsenterer de beslutninger modellen tager, dvs. de variable modellen anvender til at beslutte noget om. I dette tilfælde angiver beslutningsvariablene hvor mange S-togsrevisorer, der sk al møde på arbejde på et Optimeringsmål Modelsynopsis Hvornår skal der k ontrolleres? Planlægningshorisont Tak tisk/strategisk Modeltype Udvik lingsstatus Blandet heltalsmodel (MIP) Taget i brug bestemt tidspunk t. Modellens parametre besk river de forhold som ligger udenfor modellen, dvs. hvordan omverdenen ser ud. Et ek sempel på en parameter k unne fx være revisorernes lønomk ostninger. Parametrene udgør således inddata til modellen og variablene uddata fra modellen. At modellen er en såk aldt blandet heltalsprogrammeringsmodel indebærer, at nogle af modellens variable og parametre antager heltalsværdier medens andre antager reelle værdier. I dette tilfælde er det modellens beslutningsvariable der antager heltalsværdier, idet man k un k an have et helt antal S-togsrevisorer på arbejde. Modellens objektfunktion (dvs. det udtryk i modellen, som siger noget om, hvor god en given beslutning er) angiver hvilk e indtægter man k an forvente af, at have et bestemt antal S-togsrevsiorer til at møde på arbejde til et bestemt tidspunk t. Videre siger modellens betingelser noget om sammenhængen mellem beslutningsvariablene og den virk elige verden, fx at der ik k e k an være flere revisorer på arbejde end der er revisorer ansat. Modellens inddata (parametre), variable, objek tfunk tion, betingelser og uddata gennemgås i detaljer i afsnittene nedenfor. Model A har visse ligheder til k endte modeller for mandsk absplanlægning, se fx [3]. Den datamæssige platform for modellen udgøres af open source-databasen MySQL [4], den modelleringsmæssige platform af softwarepak k en General Algebraic Modeling System (GAMS) [5, 6], og den visualiseringsmæssige platform af graftegningspak k en GnuPlot [7], der også er open source. Inddata 2

3 Model A tager udgangspunk t i data om tidligere udsk revne k ontrolafgifter (figur 1). Disse data sammenholdes med data for, hvornår og i hvilk et omfang der er gennemført stik prøvek ontrol, dvs. hvor mange revisorer, der har arbejdet med billettering fordelt over tid (figur 4). Tallene for hvornår der er gennemført stikprøvekontrol (figur 4) er fremkommet ved at trække tallene fra revisorernes pauser (figur 3) fra tallene for, hvor mange revisorer der er på vagt (figur 2). Ved at dividere tallene for udsk revne k ontrolafgifter (figur 1) med tallene for hvornår der er gennemført stik prøvek ontrol (figur 4) fås afgiftsintensiteten (figur 5) opgjort som afgiftsk roner pr. time pr. revisor på billettering. Afgiftsintensiteten er et udtryk for, hvor mange afgiftsk roner en revisor k an forvente at udsk rive pr. time. På udgiftssiden anvender modellen data for hvilk e omk ostninger, der er forbundet med at have en revisor på arbejde på forsk ellige tidspunk ter på døgnet og ugen (figur 6). Figur 1: Afgiftskroner pr. time Figur 2: Revisorer på vagt Figur 3: Revisorer til pause, se note 1 Figur 4: Revisorer på billettering, se note 2 3

4 Figur 5: Afgiftskroner pr. time pr. revisor på billettering, jf. g(t) nedenfor Figur 6: Lønsatser, jf. l(t) nedenfor Noter Der foreligger p.t. ingen data for, præcis hvornår den enk elte revisor holder pause. Tallene for revisorer, der holder pause er derfor p.t. udregnet på baggrund af antagelsen om, at halvdelen af revisorerne holder 1 times pause 3 timer inde i vagten og den øvrige halvdel 4 timer inde i vagten. Ved begrebet pause forstås her pause i billetteringen, ik k e den overensk omstbestemte pause. Revisorer, der billetterer, er p.t. udregnet som revisorer på vagt fratruk k et revisorer der holder pause. Det antages, at øvrige opgaver end billettering er jævnt fordelt over tid, hvorfor der p.t. ik k e foretages k orrek tion for dette. Modellens parametre og variable Parametre Modellen er bygget op vha. af følgende parametre (der bestemmes af forhold, der ligger udenfor modellen): er mængden af tidsintervaller over døgnet, indek s for denne mængde: er mængden af mulige tidsintervaller for tilmelding (dvs. start af vagt), mængde: indek s for denne Mængden af mulige tidsintervaller for tilmelding er en ægte delmængde af mængden af tidsintervaller over døgnet: En vagtskabelon besk river, hvornår i vagten der billetteres og holdes pause. Vagtsk abelonen er uafhængig af hvornår vagten påbegyndes. er mængden af vagtsk abeloner, indek s for denne mængde: 4

5 er mængden af tidsintervaller i den enkelte vagtskabelon, indeks for denne mængde: er afgiftsintensiteten pr. revisor til tiden, opgjort som afgiftsk roner pr. revisor på billettering. Vagtsk abelonernes tidsintervalindek s begynder med intervallet for tilmelding. Der gælder således følgende sammenhæng til tidsintervalindek s over døgnet : er bruttobilletteringsintensiteten i vagtsk abelon til vagtsk abelonenens tidsinterval. Bruttobilleteringsintensiteten angiver for hvert interval, hvor stor en andel af tiden, der der anvendes til billettering (før evt. pauser er truk k et fra). er pauseintensiteten i vagtsk abelon til vagtsk abelonenens tidsinterval. Pauseintensiteten angiver for hvert interval, hvor stor en andel af tiden, der der anvendes til at holde pause. er nettobilletteringsintensiteten i vagtsk abelon til vagtsk abelonenens tidsinterval. Nettobilletteringsintensiteten angiver for hvert interval, hvor stor en andel af tiden, der anvendes til billettering fratruk k et pauser: er indtægterne pr. revisor ved k ontrolafgifter i intervallet i vagtsk abelon for revisorer, der tilmelder sig i intervallet. Indtægterne opgøres som produk tet af afgiftsintensiteten pr. revisor (hvor mange afgiftsk roner k an vi få ind pr. billetterende revisor) og billetteringsintensiteten (hvor stor en andel af intervallet revisoren anvender til billettering): er lønsatsen pr. revisor i tidsintervallet. Lønsatsen udgøres af en grundløn med tillæg for tidlige og sene arbejdstider, samt arbejde i week enden. er lønudgifterne pr. revisor i tidsintervallet når der foretages tilmelding i interval med vagtsk abelon. Lønudgifterne bestemmes ved variabelsubstitution i fht. tidsintervalindek s over døgnet som: er mødetillægget pr. tjeneste som revisoren får udbetalt med lønnen. Var iable Modellen anvender følgende variable: der angiver antallet revisorer med vagtsk abelon der sk al tilmelde sig til tiden. Objektfunktion Modellens objek tfunk tion er: Objektfunktionen er således et udtryk for summen af indtægter fraregnet udgifter og fraregnet mødetillæg for alle revisorer over alle mulige k ombinationer af vagtsk abeloner, tilmeldingsintervaller og tidsintervaller. Objek tfunk tionen mak simeres i optimeringen. 5

6 Modelbetingelser Nedenfor er listet de syv betingelser som modellen k an tage højde for: Antal samtidige revisorer til rådighed Antal revisortimer til rådighed (pr. uge) Antal revisortjenester til rådighed (pr. uge) Mindstebemanding udtryk t i forhold til samtidige revisorer på vagt Størstebemanding analogt til mindstebemanding ovenfor Antal revisorer der holder pause samtidig Antal revisorer der tilmelder sig (dvs. starter deres vagt) samtidig Betingelse 4 til 7 kan differentieres over tid således, at der til en given tid kan defineres en given mindstebemanding, størstebemanding eller øvre grænse for antal revisorer, der holder pause eller tilmelder sig samtidig. Modelbetingelserne formuleres matematisk som følger: hvor er størrelsen af k ontrolk orpset, dvs. maximalt antal revisorer til rådighed samtidigt. er størrelsen af den tilgængelige revisortid, dvs. antal revisortimer pr. uge. er antallet af tilgængelige revisortjenester pr. uge. er en hjælpefunk tion der antager værdien 1 hvis et tidsinterval falder indenfor vagtsk abelonen, med tilhørende varighed, når der tilmeldes i intervallet, og 0 ellers: er den ønsk ede minimumsbemanding til tiden. er den ønsk ede maximumsbemanding til tiden. er pauseintensiteten til tidspunk tet i vagtsk abelon (som defineret ovenfor, udtryk t ved anvendelse af variablesubstitution ligeledes som besk revet ovenfor). er det ønsk ede maximum for antallet af revisorer til samtidig pause til tiden. 6

7 er det ønsk ede maximum for antallet af tilmeldinger til tiden. Uddata Modellens uddata er en såk aldt optimeringsrapport indeholdende tabeldata og grafer for den beregnede, optimale bemandingsplan og en opgørelse over forventede indtægter og udgifter. Modellens beregninger håndteres i scenarier, dvs. i sæt af variable, parametre og modelbetingelser. Et scenario kunne fx være med den betingelse, at der hver dag fra kl. 04 til kl. 02 skal være mindst 15 revisorer på arbejde. Et andet scenario k unne være som nedenstående, illustreret ved figur 7 til 10, der viser ek sempler på modellens uddata i grafform. Figur 7: Eksisterende og optimeret bemandingsplan beregnet med modellen Figur 8: Opgørelse over revisorernes pausemønster før og efter optimering Figur 9: Opgørelse over revisorernes tilmeldingsmønster før og efter optimering Figur 10: Visualisering af vagtskabeloner anvendt i optimeringen: T re fuldtidsvagter med hhv. pausen i midten, mod starten og mod slutningen af vagten, og en deltidsvagt uden pause I dette scenario må der mak simalt må være 65 revisorer på arbejde af gangen i hverdagen og 55 i week enden (jf. gråt område, figur 7). Videre sk al der mindst være 10 revisorer på arbejde fra k l. 04 til k l. 02 (igen jf. gråt område, figur 7). Der må ik k e tilmelde sig mere end 30 revisorer samtidigt (brun k urve, figur 9), og der må mak simalt være 15 revisorer til pause samtidigt (orange k urve, figur 8). Det 7

8 viste scenario tillader ligeledes, at revisorernes pause lægges til et forsk elligt tidspunk t efter tilmeldingen, samt at nogle af revisorerne arbejder deltid (figur 10). Det ses af figur 7, at modellen i det givne scenario optimerer ved at lægge flere tjenester (gul k urve) i morgen- og eftermiddagsmyldretiden, samt tillige i aftentimerne i forhold til, hvorledes bemandingen er i dag (grøn kurve). Modellen k an p.t. gennemføre en beregning af et scenario på under 2 sek under. Optimeringsmodel B Overblik Model B tjener til bestemmelse af, hvor der skal gennemføres stik prøvek ontrol. Modellen er en geografisk orienteret, statistisk realtids-model, der viser den forventede intensitet af passagerer uden billet, fx for de næste to timer. Modellen tænk es anvendt i disponeringsmæssig sammenhæng, således at k ontrolpersonalet k an dirigeres derhen, hvor den største afgiftsintensitet pr. revisor forventes. Inddata Optimeringsmål Modelsynopsis Hvor skal der k ontrolleres? Planlægningshorisont Tak tisk Modeltype Udvik lingsstatus Statistisk, realtid Under udvik ling Til modellen sk al anvendes nøjagtige, geografisk e data om, hvor og hvornår der har fundet k ontrol sted, og hvor og hvornår der er blevet udsk revet k ontrolafgifter. Sidstnævnte data foreligger i dag, men datamaterialet for hvor og hvornår der har fundet k ontrol sted er p.t. mangelfuldt. Dette sk yldes, at GPS-modtageren i k ontrolpersonalets ek sisterende Tetra-radioer (figur 12) ik k e er følsom nok. Nye radioer (figur 13) med mere følsom GPS-modtager er under indførelse. Når et tilstræk k eligt datamateriale er tilvejebragt med de nye Tetra-radioer, k an modellen k alibreres og tages i anvendelse. Model B opbygges på samme dataplatform som model A. Uddata Grafen i figur 11 er et ek sempel på, hvorledes output fra modellen tænk es udformet. Grafen viser den forventede andel af passagerer uden billet i % for et givet tidsrum. Det er tank en, at model B sk al visualisere modellens resultater i realtid på k ontrolpersonalets nye Tetra-radioer (figur 13). 8

9 Figur 11: Forventet andel af gratister i % for de næste to timer Figur 12: Kontrolpersonalets gamle T etra-radio Figur 13: Kontrolpersonalets nye T etra-radio Optimeringsmodel C Overblik Model C tjener til bestemmelse af, hvor mange revisorer det k an svare sig at have ansat. Modellen er en statistisk orienteret beslutningsstøttemodel til at beregne forventede indtægter og udgifter i forbindelse med stik prøvek ontrollen og dermed den optimale størrelse af k ontrolk orpset. Optimeringsmål Modelsynopsis Planlægningshorisont Strategisk Hvor stort skal k ontrolk orpset være? Modelleringsprincip Modeltype Statistisk Udvik lingsstatus Under udvik ling Modellen tager udgangspunk t i sammenhængen mellem k ontrolgraden og andelen af passagerer uden billet, analogt til [8] og til dels også [9]. Ved k ontrolgraden forstås andelen af alle passagerer, der bliver k ontrolleret af togrevisork orpset. På baggrund af sammenhængen mellem k ontrolgraden og andelen af passagerer uden billet (gratistandelen) beregnes indtægter og udgifter som vist på nedenstående figurer 14 og 15. Idet modellen endnu ik k e er k alibreret, er figurerne vist uden sk alær angivelse. 9

10 Figur 14: Visualisering af sammenhængen mellem parametre i model C: Gratistandel, tabte billetindtægter, lønomkostninger til revision, samt værdi af udskrevne kontrolafgifter Figur 15: Visualisering af sammenhængen mellem parametre i model C: Gratistandel, antal nødvendige revisorer, samt balance På figur 14 vises gratistandelen (mørk eblå) som funk tion af k ontrolgraden. Gratistandelen antages omvendt proportional eller ek sponentielt aftagende med k ontrolgraden. Kalibreringen af modellen vil vise, hvilk en k urveform der passer bedst til de fak tisk e forhold. De tabte billetindtægter er proportionale til andelen af gratister, hvorfor k urven for de tabte billetindtægter (rød) vil have samme form som k urven for gratistandelen (mørk eblå). Lønomk ostningerne (grønne) til revisionen stiger lineært med k ontrolgraden. Værdien af de udsk revne k ontrolafgifter (gul) stiger først med stigende k ontrolgrad for dernæst at aftage. Dette fork lares med, at der til lave værdier for k ontrolgraden er mange gratister for hver revisor, medens der for højere værdier af k ontrolgraden er færre gratister for hver revisor. Figur 15 viser foruden gratistandelen (mørk eblå) også antallet af nødvendige revisorer til en given k ontrolgrad (lyseblå). Denne er tillige proportional med k ontrolgraden. Kurven for balance (bordeaux) er opgjort som indtægter fraregnet udgifter, dvs. summen af indtægterne fra salg af billetter og udstedelse af k ontrolafgifter fratruk k et udgifterne til billetk ontrol og tabte billetindtægter begrundet i gratistandelen. Det øk onomisk e optimum sk al således findes på k urven for balance (bordeaux). Til dette optimum hører en given k ontrolgrad og af k ontrolgraden følger det optimale antal ansatte s-togsrevisorer. Optimeringsmodel D Overblik Model D tjener til bestemmelse af, hvordan stik prøvek ontrollen sk al gennemføres i og omk ring toget. Formålet med løsningsmodellen er at undersøge forsk ellige fysisk e måder at k ontrollere toget på mhp. at beregne, hvor stor en andel af gratisterne vi kan regne med at tage. Grundidéen er at k ontrollere toget på en sådan måde, at gratisterne ikke kan undslippe. Formålet er også at udvide repertoiret af kontrolmuligheder, bla. mhp. at tage flere af de såkaldte bevidste gratister. Optimeringsmål Modelsynopsis Planlægningshorisont Strategisk Modeltype Hvordan sk al k ontrollen foretages i toget? Agentbaseret simulering på 10

11 Model Model D tager udgangspunkt i en analytisk undersøgelse af billetteringsprocessen. På baggrund heraf tænk es der udført agentbaserede simuleringer [10] i Java [11], dette vha. simuleringspak k en Repast [12], der er open source. Visualisering Udviklingsstatus baggrund af analytisk model I idéfase Modellen anvender animering til visualisering af resultaterne af simuleringen. Nedenstående figur 17 viser et stillbillede af en animeret visualisering af en k ontrol med to revisorer (blå), der bevæger sig parallelt blandt betalende passagerer (grønne). Gratisten (rød) opdager revisorerne og slipper væk. En tilsvarende animation viser en k ontrol med to revisorer, der bevæger sig mod hinanden. Gratisten opdager revisorerne, men kan ikke slippe væk. De viste animationer er fremstillet vha. værk tøjet Synfig [13], der er open source. Figur 17: Stillbillede fra den animerede visualisering i model D Foreløbige resultater Animationen (jf. figur 17) er blevet vist for udvalgte S-togsrevisorer og deres ledere. Bla. som følge heraf, er der nu en langt større bevidsthed i k ontrolk orpset omk ring hvorledes k ontrollen sk al udformes i og omkring toget. Der er således tale om, at model D har haft synlig, positiv effekt i organisationen allerede inden egentlige modelberegninger har fundet sted. Diskussion Resultaterne af arbejdet indtil nu viser et stort optimeringspotentiale indenfor stik prøvek ontrollen af billetter hos DSB S-tog. Den største udfordring i forbindelse med opstillingen at optimeringsmodellerne udgøres i dag af det til dels mangelfulde datagrundlag. Der er mange tiltag i gang for at forbedre datagrundlaget for hele virk somheden DSB S-tog. Der arbejdes bla. på et elek tronisk system til nøjagtigt at registrere, hvornår den enk elte revisor udfører billetk ontrollen. Dette system sk al også lette revisorernes daglige rapportering, hvorfor en højere datak valitet og bedre dæk ning forventes. Datagrundlaget for optimeringsmodellerne vil få endnu et løft, når rejsek ortet tages i brug (se ort.dk). Til denne tid vil der være detaljerede oplysninger om, hvornår den enk elte billet er blevet k ontrolleret. Dette vil k unne forbedre nøjagtigheden af modellerne betydeligt. 11

12 En anden stor udfordring i forhold til anvendelsen af optimeringsmodellerne udgøres af samspillet mellem tek nik og mennesk er. Det er af afgørende vigtighed, at de løsninger, som optimeringsmodellerne producerer, også er gennemførlige i virk elighedens verden, endsige, at de implicerede parter betragter dem som ønsk elige. Der er under udvik lingen af modellerne derfor lagt stor vægt på en tæt dialog mellem medarbejdere, analytik ere og ledelse. Ved anvendelsen af de nævnte optimeringsmodeller for stik prøvek ontrol af billetter sik rer DSB S-tog, at virk somheden er indtægtsgivende og dermed fortsat k an være en velfungerende arbejdsplads for sine ansatte og fortsat k an tilbyde byen København effek tiv, k ollek tiv transport. Kildefortegnelse 1. Wolsey, Laurence A.: "Integer Programming", Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization, ISBN , New York, Taha, Hamdy A.: "Operations Research", Prentice-Hall, ISBN , New Jersey, Folk mann, Michael; Jespersen, Julie; Nielsen, Morten: "Estimates on Rolling Stock and Crew in DSB S-tog Based on Timetables", DSB S-tog, Produk tionsplanlægning, Kalvebod Brygge 32, 1560 København V; i: Lecture Notes in Computer Science, Springer, ISSN (Print) (Online), Berlin, MySQL: Se 5. GAMS: Se 6. McCarl, Bruce A.: "GAMS User Guide", Version 22.7, Texas A&M University, College Station, Texas, GnuPlot: Se 8. Verband Deutscher Verk ehrsunternehmen: "Maßnahmen zur Einnahmensicherung, Teil II: Kennzahlen der Fahrausweisprüfung und optimaler Kontrollgrad", VDV Mitteilung Nr. 9708, Köln, Schuler, Patrick: "Schwarzfahren: Eine ök onomische Betrachtung", Lehrstuhl für Industrieök onomik, Sozialök onomisches Institut, Universität Zürich, Zürich Wik ipedia: Se ipedia.org/wik i/agent-based_model 11. Java: Se 12. Repast: Se 13. Synfig: Se 12

Stikprøvekontrol af billetter: Hvordan optimeres dette?

Stikprøvekontrol af billetter: Hvordan optimeres dette? Stikprøvekontrol af billetter: Hvordan optimeres dette? Fra AnalyseWiki En introduk tion til fire optimeringsmodeller for stik prøvek ontrol af billetter Artik el til Trafik dage på Aalborg Universitet,

Læs mere

05 Forslag om forsøg med øget billetkontrol i busserne

05 Forslag om forsøg med øget billetkontrol i busserne Trafikselskabet Movia DIR Politisk dokument med resume 05 Forslag om forsøg med øget billetkontrol i busserne Indstilling: Direktionen indstiller, Bestyrelsen 15. november 2007 Forslag om forsøg med øget

Læs mere

Principperne for takstfastsættelse af tillægsydelser

Principperne for takstfastsættelse af tillægsydelser Principperne for takstfastsættelse af tillægsydelser Styringsaftalen anviser de almindelige principper for beregning af takster for hovedydelser. I nedenstående beskrives de aftalte principperne for takstfastsættelse

Læs mere

Beregning af licens for elbybiler

Beregning af licens for elbybiler Beregning af licens for elbybiler Rapport Teknik- og Miljøforvaltningen, Københavns Kommune Indholdsfortegnelse 1 Baggrund 3 2 Resultater 3 3 Metode 3 3.1 Datagrundlag 4 3.2 Generelle antagelser 4 3.3

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Fordeling af midler til specialundervisning

Fordeling af midler til specialundervisning NOTAT Fordeling af midler til specialundervisning Model for Norddjurs Kommune Søren Teglgaard Jakobsen December 2012 Købmagergade 22. 1150 København K. tlf. 444 555 00. kora@kora.dk. www.kora.dk Indholdsfortegnelse

Læs mere

Bilag 7. SFA-modellen

Bilag 7. SFA-modellen Bilag 7 SFA-modellen November 2016 Bilag 7 Konkurrence- og Forbrugerstyrelsen Forsyningssekretariatet Carl Jacobsens Vej 35 2500 Valby Tlf.: +45 41 71 50 00 E-mail: kfst@kfst.dk Online ISBN 978-87-7029-650-2

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Formålet med dette notat er at danne grundlag for denne beslutning. Notatet består af følgende 4 afsnit:

Formålet med dette notat er at danne grundlag for denne beslutning. Notatet består af følgende 4 afsnit: Notat Vedrørende: Notat om valg mellem statsgaranti og selvbudgettering i 2017 Sagsnavn: Budget 2017-20 Sagsnummer: 00.01.00-S00-5-15 Skrevet af: Brian Hansen E-mail: brian.hansen@randers.dk Forvaltning:

Læs mere

Strategisk planlægning af reinvesteringer i infrastrukturen

Strategisk planlægning af reinvesteringer i infrastrukturen Denne artikel er publiceret i det elektroniske tidsskrift Artikler fra Trafikdage på Aalborg Universitet (Proceedings from the Annual Transport Conference at Aalborg University) ISSN 1603-9696 www.trafikdage.dk/artikelarkiv

Læs mere

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/

Læs mere

Evaluering af Soltimer

Evaluering af Soltimer DANMARKS METEOROLOGISKE INSTITUT TEKNISK RAPPORT 01-16 Evaluering af Soltimer Maja Kjørup Nielsen Juni 2001 København 2001 ISSN 0906-897X (Online 1399-1388) Indholdsfortegnelse Indledning... 1 Beregning

Læs mere

Øvelse 2 - Samfundsøkonomi

Øvelse 2 - Samfundsøkonomi Øvelse 2 - Samfundsøkonomi Nationalregnskab II Sidste gang... Vi så på...hvordan kan BNP udregnes vha. input-output tabeller...bnp kan opgøres fra forskellige tilgange: anvendelse, indkomst og produktion...3

Læs mere

NOTAT Den 11. november 2011 hmd

NOTAT Den 11. november 2011 hmd NOTAT Den 11. november 2011 hmd Økonomiprincipper i fællesordning for virksomheders betaling for adgang til genbrugsstationerne - Tilmeldeordningen Dette notat beskriver de økonomiske principper i den

Læs mere

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen.

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari jerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Formål: Formålet med denne øvelse er at anvende Ohms lov på en såkaldt spændingsdeler,

Læs mere

VÆRKTØJ TIL KOMMUNERNE ANALYSE AF DE ØKONOMISKE KONSEKVENSER PÅ OMRÅDET FOR UDSATTE BØRN OG UNGE

VÆRKTØJ TIL KOMMUNERNE ANALYSE AF DE ØKONOMISKE KONSEKVENSER PÅ OMRÅDET FOR UDSATTE BØRN OG UNGE Til Social- og Integrationsministeriet Dokumenttype Vejledning til kommuneværktøj Dato Februar 2011 VÆRKTØJ TIL KOMMUNERNE ANALYSE AF DE ØKONOMISKE KONSEKVENSER PÅ OMRÅDET FOR UDSATTE BØRN OG UNGE INDLEDNING

Læs mere

Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS

Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Formål Formålet med modellering af stoftransport i GMS MT3DMS er, at undersøge modellens evne til at beskrive den målte stoftransport gennem sandkassen ved anvendelse

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative

Læs mere

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej Roskilde Tekniske Gymnasium Teknologi Projekt Trafik - Optimal Vej Af Nikolaj Seistrup, Henrik Breddam, Rasmus Vad og Dennis Glindhart Roskilde Tekniske Gynasium Klasse 1.3 7. december 2006 Indhold 1 Forord

Læs mere

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet og specielt anvendelser af matematisk programmering Esben Høg Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Oktober 2012 EH (Institut for Matematiske

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

Logistikkens dag 2. december 2013

Logistikkens dag 2. december 2013 Logistikkens dag 2. december 2013 Simuleringsmodeller til optimering af produktion og logistik Poul Mose Johansen Kort om Integrate Vi er et kompetent team bestående af 6 konsulenter med lang uddannelsesmæssig

Læs mere

Modeller for ankomstprocesser

Modeller for ankomstprocesser Modeller for ankomstprocesser Eric Bentzen Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Handelshøjskolen i København November 2007 1 . Afsnit Indhold Side 1 Indledning 3 2 Ankomstprocessen 3 3 Servicesystemet

Læs mere

Investeringer i SKAT kan styrke de offentlige finanser med flere milliarder kroner

Investeringer i SKAT kan styrke de offentlige finanser med flere milliarder kroner Fakta om økonomi November 216 Investeringer i SKAT kan styrke de offentlige finanser med flere milliarder kroner Over de seneste ti år er ressourcerne i SKAT faldet markant, hvilket har medført, at der

Læs mere

Notat: Overslag over gratis kørsel i Tønder Kommune

Notat: Overslag over gratis kørsel i Tønder Kommune Notat: Overslag over gratis kørsel i Tønder Kommune Den 14. januar blev der afholdt møde mellem Sydtrafik og Tønder Kommune vedr. gratis kørsel for skolesøgende elever under 18 år. På mødet blev det besluttet

Læs mere

KL s personaleøkonomiske beregner

KL s personaleøkonomiske beregner KL s personaleøkonomiske beregner Vejledning: Her kan du beregne konsekvenserne af at ændre ved sygefraværet, personaleomsætningen, afgangsmønstret, demografi samt andelen af deltidsansatte for 11 udvalgte

Læs mere

Supplerende notat om kommunale kontrakter

Supplerende notat om kommunale kontrakter Supplerende notat om kommunale kontrakter En sammenligning af kommunernes brug af forvaltningskontrakter og institutionskontrakter KREVI Dette notat indeholder en kortlægning af kommunernes brug af forvaltningskontrakter

Læs mere

Orientering om rejsekortet 27 august 2012 Trafikdage i Aalborg. Bjørn Wahlsten, adm. direktør i Rejsekort A/S

Orientering om rejsekortet 27 august 2012 Trafikdage i Aalborg. Bjørn Wahlsten, adm. direktør i Rejsekort A/S Orientering om rejsekortet 27 august 2012 Trafikdage i Aalborg Bjørn Wahlsten, adm. direktør i Rejsekort A/S Rejsekortsystemet - fakta Rejsekort A/S er ejet af trafikvirksomheder i Danmark og kravene til

Læs mere

GPS data til undersøgelse af trængsel

GPS data til undersøgelse af trængsel GPS data til undersøgelse af trængsel Ove Andersen Benjamin B. Krogh Kristian Torp Institut for Datalogi, Aalborg Universitet {xcalibur, bkrogh, torp}@cs.aau.dk Introduktion GPS data fra køretøjer er i

Læs mere

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Middelværdi for grupperede observationer... Summeret frekvens og sumkurver... Indekstal... Lektion 9s Side 1 Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål,

Læs mere

Stokastisk simulering til studie af robusthed i DSB S-tog

Stokastisk simulering til studie af robusthed i DSB S-tog Stokastisk simulering til studie af robusthed i DSB S-tog Michael Folkmann, datalog, cand. scient., operationsanalytiker Torben Christensen, ingeniør, ph.d., senioranalytiker Produktionsplanlægning, DSB

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Bilag 4: Service Level Agreement for rå kobber og delt rå kobber

Bilag 4: Service Level Agreement for rå kobber og delt rå kobber Bilag 4: Service Level Agreement for rå kobber og delt rå kobber Bilag 4 gældende pr. 1. marts 2015. 1 Indhold 1 INDHOLD... 1 2 INDLEDNING... 1 3 KVALITET... 2 4 LEVERINGSPRÆCISION... 3 5 LEVERINGSTID...

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Genoptræningsplaner til personer med psykisk sygdom

Genoptræningsplaner til personer med psykisk sygdom Sundheds- og Forebyggelsesudvalget 2013-14 SUU Alm.del Bilag 237 Offentligt Genoptræningsplaner til personer med psykisk sygdom Analyse Danske Fysioterapeuter Indholdsfortegnelse 1 Resumé 3 2 Økonomiske

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Visualisering af data

Visualisering af data Visualisering af data For at se flashanimationen der knytter sig til projektet skal man åbne vis_print.html Interaktiv infografik til Tænks Mærkebank Tænk er forbrugerrådets blad og website, som med udgangspunkt

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen 2. juni 1997. Spørgsmål 1.1: Spørgsmål 1.2: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen 2. juni 1997. Spørgsmål 1.1: Spørgsmål 1.2: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 2. juni 1997 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor

Læs mere

Brugen af RiBAY er typisk en iterativ proces, hvor trin 4-6 gentages et antal gange for at kortlægge og forstå risiko.

Brugen af RiBAY er typisk en iterativ proces, hvor trin 4-6 gentages et antal gange for at kortlægge og forstå risiko. Kom godt i gang med RiBAY Risikostyring ved hjælp af RiBAY består af følgende seks trin: 1. Indtastning af systemvariable og budgettal 2. Indtastning af Køb og salg 3. Kalibrering af udgangspunktet for

Læs mere

3D matriklen i et fremtidsperspektiv

3D matriklen i et fremtidsperspektiv 3D matriklen i et fremtidsperspektiv Lars Bodum Center for 3D GeoInformation Aalborg Universitet Esben Munk Sørensen Land Management Aalborg Universitet Hvad er problemet? Vi diskuterer mange gange løsninger

Læs mere

LØNSPREDNINGSOPGØRELSER NU TILGÆNGELIG I LOPAKS

LØNSPREDNINGSOPGØRELSER NU TILGÆNGELIG I LOPAKS LØNSPREDNINGSOPGØRELSER NU TILGÆNGELIG I LOPAKS INDHOLD 2 Formål 2 LOPAKS 3 Begreber 6 Eksempler 6. december 2010 LOPAKS er nu udvidet med en ny tabel, der giver mulighed for at opgøre lønspredning på

Læs mere

RAPPORT UDVIDET PRISSTATISTIK PR. 1. DECEMBER 2016 UDARBEJDET AF SEKRETARIATET FOR ENERGITILSYNET

RAPPORT UDVIDET PRISSTATISTIK PR. 1. DECEMBER 2016 UDARBEJDET AF SEKRETARIATET FOR ENERGITILSYNET RAPPORT UDVIDET PRISSTATISTIK PR. 1. DECEMBER 2016 UDARBEJDET AF SEKRETARIATET FOR ENERGITILSYNET Side 2/14 ENERGITILSYNET INDHOLD UDVIDET PRISSTATISTIK PR. 1 DECEMBER 2016... 3 ENERGITILSYNETS STATISTIK

Læs mere

Læring af test. Rapport for. Aarhus Analyse Skoleåret

Læring af test. Rapport for. Aarhus Analyse  Skoleåret Læring af test Rapport for Skoleåret 2016 2017 Aarhus Analyse www.aarhus-analyse.dk Introduktion Skoleledere har adgang til masser af data på deres elever. Udfordringen er derfor ikke at skaffe adgang

Læs mere

Regneark til bestemmelse af CDS- regn

Regneark til bestemmelse af CDS- regn Regneark til bestemmelse af CDS- regn Teknisk dokumentation og brugervejledning Version 2.0 Henrik Madsen August 2002 Miljø & Ressourcer DTU Danmark Tekniske Universitet Dette er en netpublikation, der

Læs mere

Kontrolafgift på 750 kr. grundet manglende zone. Fejlstempling i Movia bus. Bjarne Lindberg Bak Ingrid Dissing Torben Steenberg (2 stemmer)

Kontrolafgift på 750 kr. grundet manglende zone. Fejlstempling i Movia bus. Bjarne Lindberg Bak Ingrid Dissing Torben Steenberg (2 stemmer) 1 AFGØRELSE FRA ANKENÆVNET FOR BUS, TOG OG METRO Journalnummer: 2012-0003 Klageren: Indklagede: XX 2300 København S DSB S-tog Klagen vedrører: Ankenævnets sammensætning: Kontrolafgift på 750 kr. grundet

Læs mere

NOTAT. Økonomisk status på bankpakkerne - Marts 2016

NOTAT. Økonomisk status på bankpakkerne - Marts 2016 NOTAT Marts 2016 Økonomisk status på bankpakkerne - Marts 2016 Den økonomiske status for bankpakkerne viser aktuelt et afrundet overskud på 18 mia. kr. Beregningen bygger på allerede realiserede udgifter

Læs mere

OVERENSKOMSTSTATISTIK I PRÆSTERET TID

OVERENSKOMSTSTATISTIK I PRÆSTERET TID OVERENSKOMSTSTATISTIK I PRÆSTERET TID Kommuner og regioner Formålet med overenskomststatistikken i præsteret tid Formålet med overenskomststatistikken i præsteret tid er, at belyse kommunernes og regionernes

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Vestegnens Brandvæsen Oktober 2010

Vestegnens Brandvæsen Oktober 2010 BilagKB_110426_pkt.18_02 Tillæg af december 2010 til notat vedrørende Beregning og afdækning af besparelsesforslag samt redegørelse vedrørende vagtcentral Vestegnens Brandvæsen Oktober 2010 Udarbejdet

Læs mere

Dansk Erhvervs gymnasieeffekt - sådan gjorde vi

Dansk Erhvervs gymnasieeffekt - sådan gjorde vi Dansk Erhvervs gymnasieeffekt - sådan gjorde vi INDHOLD Formålet har været at undersøge, hvor dygtige de enkelte gymnasier er til at løfte elevernes faglige niveau. Dette kan man ikke undersøge blot ved

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Rapport Udnyttelse af detaljeret råvareviden WP3. Optimering af råvarebrug til kødprodukter Status for 2016 Chris Claudi-Magnussen

Rapport Udnyttelse af detaljeret råvareviden WP3. Optimering af råvarebrug til kødprodukter Status for 2016 Chris Claudi-Magnussen Rapport Udnyttelse af detaljeret råvareviden WP3. Optimering af råvarebrug til kødprodukter Status for 2016 Chris Claudi-Magnussen 19. januar 2017 Proj.nr. 2004279 Version 1 Indledning Råvaren er den største

Læs mere

FraværsStatistik dokumentation 12. september 2008

FraværsStatistik dokumentation 12. september 2008 FraværsStatistik dokumentation 12. september 2008 Formål Kun det uregelmæssige fravær belyses Formålet med FraværsStatistikken er at belyse mønstre i fraværets sammensætning og udvikling indenfor DA-området.

Læs mere

Opgave 1: Omprøve 12. august 2003. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Omprøve 12. august 2003. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Omprøve. august 003 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Fabrikken Eithtsde A/S fremstiller køkkenarmaturer, som den primært sælger til VVS-installatører og til store forretningskæder.

Fabrikken Eithtsde A/S fremstiller køkkenarmaturer, som den primært sælger til VVS-installatører og til store forretningskæder. Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgaverne: Stedprøve April 2000 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der skal

Læs mere

OPTIMERING AF SIGNALANLÆG I KØBENHAVN

OPTIMERING AF SIGNALANLÆG I KØBENHAVN OPTIMERING AF SIGNALANLÆG I KØBENHAVN DTU Transport Danmarks Tekniske Universitet Jakob Tønnesen og Morten Hedelund BAGGRUND 2 Trafiksignaler er en nødvendighed i byens infrastruktur Kapacitetsfordeler

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

På rejser, der foretages inden for et amt, anvendes det amtslige trafikselskabs takst- og billetsystem.

På rejser, der foretages inden for et amt, anvendes det amtslige trafikselskabs takst- og billetsystem. Indlæg på Trafikdage på AAU, 24. aug. 1998 Af Jens Elsbo, COWI DSB og de regionale kollektive trafikselskaber uden for hovedstadsområdet indledte pr. 28. september 1997 et takstsamarbejde, der gør det

Læs mere

NOTAT. Økonomisk status på bankpakkerne - Marts 2015

NOTAT. Økonomisk status på bankpakkerne - Marts 2015 NOTAT Marts 2015 Økonomisk status på bankpakkerne - Marts 2015 Den økonomiske status på bankpakkerne er aktuelt et overskud på ca. 16 mia. kr. Beregningen bygger på allerede realiserede udgifter og indtægter

Læs mere

Opgaver til Kapitel 6 MatB

Opgaver til Kapitel 6 MatB Opgave 1 En funktion i to variable er givet ved f (, ) = + 5 + 0 Indtegn niveauliner svarende til N(0), N(200) og N(400) og illustrér ved hjælp af en pil på niveaulinjerne den retning, hvori niveauet bliver

Læs mere

Kreativ digital matematik II efteruddannelse, klare mål og faglig udvikling i kreativt samspil

Kreativ digital matematik II efteruddannelse, klare mål og faglig udvikling i kreativt samspil Kreativ digital matematik II efteruddannelse, klare mål og faglig udvikling i kreativt samspil Udgangspunkt: Kreativ digital matematik I skoleåret 2012 0g 2013 har en større gruppe indskolingslærere i

Læs mere

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2013

LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2013 Til DANSKE ARK Dokumenttype Rapport Dato Februar 2014 LØN- OG PERSONALE- STATISTIKKEN 2013 LØN- OG PERSONALESTATISTIKKEN 2013 INDHOLD 1. Indledning 1 2. De deltagende medarbejdere 3 3. Månedsløn og uddannelsesretning

Læs mere

Nordjysk Konjunkturbarometer RESUMÉ 1. KVARTAL 2005

Nordjysk Konjunkturbarometer RESUMÉ 1. KVARTAL 2005 Nordjysk Konjunkturbarometer RESUMÉ KVARTAL 25 Konjunkturanalysegruppen Institut for Erhvervsstudier, Aalborg Universitet Jesper Lindgaard Christensen Bent Dalum Morten Berg Jensen Carsten Stig Poulsen

Læs mere

Omeksamen. ERHVERVSØKONOMI 8.. august 2002 Eksamen (4 timer) Alle skriftlige hjælpemidler er tilladte

Omeksamen. ERHVERVSØKONOMI 8.. august 2002 Eksamen (4 timer) Alle skriftlige hjælpemidler er tilladte Aalborg Universitet HD-studiet l.del l 139 Omeksamen ERHVERVSØKONOMI 8.. august 2002 Eksamen (4 timer) Alle skriftlige hjælpemidler er tilladte Dette opgavesæt består af 4 opgaver, der vejledende forventes

Læs mere

Kontanthjælpsloftet sætter tryk på fattigdomsudviklingen

Kontanthjælpsloftet sætter tryk på fattigdomsudviklingen Kontanthjælpsloftet sætter tryk på fattigdomsudviklingen Kontanthjælpsloftet og integrationsydelsen vil kraftigt øge antallet af fattige i Danmark og vil næsten fordoble antallet af fattige børn. Det skyldes,

Læs mere

Bilag 2: Beslutningsoplæg om justering af parkeringstakster, pris på beboerlicenser samt rød betalingszones grænse

Bilag 2: Beslutningsoplæg om justering af parkeringstakster, pris på beboerlicenser samt rød betalingszones grænse KØBENHAVNS KOMMUNE Teknik- og Miljøforvaltningen Byens Anvendelse BILAG 2 Bilag 2: Beslutningsoplæg om justering af parkeringstakster, pris på beboerlicenser samt rød betalingszones grænse Dette notat

Læs mere

2012 Elevtrivselsundersøgelsen December 2012

2012 Elevtrivselsundersøgelsen December 2012 12 Elevtrivselsundersøgelsen December 12 For erhvervsuddannelserne Social- og Sundhedsskolen Esbjerg Svarprocent: 91% (59 besvarelser ud af 646 mulige) Skolerapport Velkommen til Elevtrivselsundersøgelsen

Læs mere

Integralregning og topskat

Integralregning og topskat Indledning Integralregning og topskat Integralregning kan bruges til at beregne et areal mellem grafen og x-aksen i et koordinatsystem mellem to x-værdier, mens topskatten er det provenu (indtægt) som

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2006I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2006I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2006I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En inferiør vare er defineret som en vare, man efterspørger

Læs mere

Salt 2. ovenfor. x = Tid (minutter) y = gram salt i vandet

Salt 2. ovenfor. x = Tid (minutter) y = gram salt i vandet Projekt om medicindosering Fra http://www.ruc.dk/imfufa/matematik/deltidsudd_mat/sidefagssupplering_mat/rap_medicinering.pdf/ Lav mindst side 1-4 t.o.m. Med 7 Ar b ejd ssed d el 0 Salt 1 Forestil Jer at

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Regionsresultaterne i oversigtsform...4. Bilagstabeller - hospitalsvise...14

Regionsresultaterne i oversigtsform...4. Bilagstabeller - hospitalsvise...14 Indhold Regionsresultaterne i oversigtsform...4 Datamateriale...4 Triagering...6 Tid fra ankomst til triagering...6 Ventetid fra triagering til behandling...7 Tid fra behandlingsstart til afslutning...1

Læs mere

Wavelet Analyse. Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet

Wavelet Analyse. Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Wavelet Analyse Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 Introduktion Numb3rs episoden on pengeforfalskning brugte wavelet analyse. Wavelet analyse er en relativt ny opdagelse, som

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

DECEMBER JANUAR UGE 1* UDREDNINGSTID GENNEMSNIT

DECEMBER JANUAR UGE 1* UDREDNINGSTID GENNEMSNIT UDREDNINGSRET Udredningsretten måler retrospektivt den tid der går fra en patient henvises til udredning og til patienten er færdigudredt (patientens behandlingsbehov er afklaret). Nedenstående tabel opgør

Læs mere

Beskrivelse af kvælstofregnskab i landbrugspakken

Beskrivelse af kvælstofregnskab i landbrugspakken Beskrivelse af kvælstofregnskab i landbrugspakken Brian H. Jacobsen 2016 / 2 IFRO Dokumentation 2016 / 2 Beskrivelse af kvælstofregnskab i landbrugspakken Forfatter: Brian H. Jacobsen Udarbejdet som dokumentation

Læs mere

Analyse 25. januar 2013

Analyse 25. januar 2013 2. januar 213. Løft af folkeskolen skaber forskelligt finansieringsbehov på tværs af kommuner Af Jens Hauch og Peter Lihn Jørgensen Timetallet i folkeskolerne varierer fra kommune til kommune. Kravene

Læs mere

Loddevejledning til samling af CanSat-shields

Loddevejledning til samling af CanSat-shields Loddevejledning til samling af CanSat-shields Vejledning til lodning af komponenter på CanSat-shield til Arduino Nedenstående vejledning illustrerer, hvordan komponenterne skal loddes på CanSat-shield'et

Læs mere

BILAG 9. DataHub- og markedsrapportering. 1. Markedsoverblik. 1.1 Leverandørskift. 1.2 Fejlagtige leverandørskift. Direktørgruppen. 14.

BILAG 9. DataHub- og markedsrapportering. 1. Markedsoverblik. 1.1 Leverandørskift. 1.2 Fejlagtige leverandørskift. Direktørgruppen. 14. BILAG 9 Til Direktørgruppen DataHub- og markedsrapportering 14. oktober 2014 Dette notat udgør statusrapporteringen for DataHub drift til Direktørgruppen i oktober 2014. Notatet indeholder et generelt

Læs mere

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag SPAM-mails Køber varer via spam-mails Læser spam-mails Modtager over 40 spam-mails pr. dag Modtager spam hver dag 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010 Datapræsentation: lav flotte

Læs mere

EVALUERINGSRAPPORT FOR JOBPATRULJEN 2015. Evalueringsrapport for Jobpatruljen 2015 Side 1

EVALUERINGSRAPPORT FOR JOBPATRULJEN 2015. Evalueringsrapport for Jobpatruljen 2015 Side 1 EVALUERINGSRAPPORT FOR JOBPATRULJEN 2015 Evalueringsrapport for Jobpatruljen 2015 Side 1 1.0 INDLEDNING Jobpatruljens sommerkampagne er nu nået til vejs ende for i år, og det er tid til at gøre status.

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Prøveudtagning i forbindelse med bestemmelse af fugt i materialer

Prøveudtagning i forbindelse med bestemmelse af fugt i materialer Prøveudtagning i forbindelse med bestemmelse af fugt i materialer Når du skal indsende prøver af materiale til analyse i Teknologisk Instituts fugtlaboratorium, er det vigtigt, at du har udtaget prøverne

Læs mere

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også

Læs mere

Design of Experiments

Design of Experiments Design of Experiments -den moderne 128. beretning Gitte Nomanni Holm Arla Foods Hvem er jeg og hvor i Arla sidder jeg Gitte Nomanni Holm Siden 2008 uddannet levnedsmiddelsingeniør med speciale i Proces

Læs mere

Erhvervsøkonomisk Diplomuddannelse. HD 2. del. Regnskab og økonomistyring. Eksamen, juni Økonomistyring. Fredag den 8. juni 2007 kl

Erhvervsøkonomisk Diplomuddannelse. HD 2. del. Regnskab og økonomistyring. Eksamen, juni Økonomistyring. Fredag den 8. juni 2007 kl SYDDANSK UNIVERSITET Erhvervsøkonomisk Diplomuddannelse HD 2. del Regnskab og økonomistyring Eksamen, juni 2007 Økonomistyring Fredag den 8. juni 2007 kl. 9.00-13.00 Alle hjælpemidler er tilladt. Det betyder

Læs mere

www.sas-forum.dk Lav bedre rapporter Online feedback/dialog: f Se password på dit navneskilt Alan Hjemsted, Seniorkonsulent SAS Institute

www.sas-forum.dk Lav bedre rapporter Online feedback/dialog: f Se password på dit navneskilt Alan Hjemsted, Seniorkonsulent SAS Institute make connections share ideas be inspired Online feedback/dialog: f www.sas-forum.dk f Se password på dit navneskilt Lav bedre rapporter Alan Hjemsted, Seniorkonsulent SAS Institute Hvorfor tale om rapportdesign?

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Simuleringsmodel for livsforløb

Simuleringsmodel for livsforløb Simuleringsmodel for livsforløb Implementering af indkomststokastik i modellen 9. november 2009 Sune Sabiers sep@dreammodel.dk Indledning I forbindelse med EPRN projektet Livsforløbsanalyse for karakteristiske

Læs mere