Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)

Transkript

1 Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/23

2 Statistisk hypotese PSfrag replacements X (Ω, F) (X, E) P θ ν θ θ τ Θ Θ 0 τ(θ) En hypotese er en delmængde Θ 0 Θ. Underforstået spørgsmål: ligger det sande θ i Θ 0?. p.2/23

3 PSfrag replacements Statistisk test X (Ω, F) (X, E) A P θ ν θ τ τ(θ) θ Θ Θ 0 Et test er en opdeling af X i to: En acceptmængde A hvor hypotesen accepteres. En kritisk mængde K = A c hvor hypotesen forkastes.. p.3/23

4 Basal asymmetri Hvis vi ser på en hypotese H : θ Θ 0 kaldes Θ \ Θ 0 for alternativet til hypotesen. Hypotese og alternativ indgår ikke symmetrisk: Vi ønsker at acceptere hypotesen, og vil gøre det - medmindre observationen virkelig stritter imod.. p.4/23

5 Hvad er en hypotese? En statistisk hypotese er en påstand om modelforenkling. Typisk i form af en dimensionsreduktion af Θ. I overensstemmelse med Occams ragekniv: Undgå unødige antagelser En hypotese er det modsatte af en vild spekulation.. p.5/23

6 Specielle hypoteser Lad Θ R k, og lad τ : Θ R m være en parameterfunktion. Hvis τ er lineær, kaldes en lineær hypotese. H : τ(θ) = 0. p.6/23

7 Specielle hypoteser Lad Θ R k, og lad τ : Θ R m være en parameterfunktion. Hvis τ er lineær, kaldes en affin hypotese. H : τ(θ) = ψ 0. p.7/23

8 Specielle hypoteser Lad Θ R k, og lad τ : Θ R m være en parameterfunktion. Hvis τ er ikke-lineær, men passende glat, kaldes H : τ(θ) = ψ 0 en glat hypotese. Alternativt: hvis Ψ R v og hvis π : Ψ Θ er passende glat, kaldes H : θ = π(ψ) for et ψ Ψ for en glat hypotese.. p.8/23

9 Fejl Betragt hypotesen H : θ Θ 0 Vælg en acceptmængde A og en kritisk mængde K. Fejl af type I: Konkluder at hypotesen er forkert, skønt den er sand. (Gør en observation i K selv om θ Θ 0.) Fejl af type II: Konkluder at hypotesen er sand, skønt den er forkert. (Gør en observation i A selv om θ / Θ 0.). p.9/23

10 Styrkefunktion Styrkefunktionen for testet er: γ(θ) = P θ (X K) Pθ(X K) g replacements Θ 0 Θ. p.10/23

11 Få fejl? Styrkefunktionen afslører at de to fejltyper hører sammen: Man beskytter man sig mod type I fejl, ved at gøre A stor. På den måde åbner man op for mange type II fejl. Vi frygter type I fejl mest! Løsning: Vælg testets niveau α. Sørg for at P θ (X K) α for alle θ Θ 0 ved at vælge A stor nok - men heller ikke større.. p.11/23

12 Eksempel: computerskærme En undersøgelse af problemer med lysreflekser fra computerskærme: 130 mennesker blev fordelt i to grupper, halvdelen fik nye skærme. Ingen gener Gener Gammel skærm Justerbar skærm p.12/23

13 Eksempel: computerskærme Repræsentationsrum: X = {0,..., 65} {0,..., 65}. X: Antal gener med gammel skærm Y : Antal gener med ny skærm Model: X og Y er uafhængige, binomialfordelte med længde 65 og successandsynlighed p 1 hhv. p 2. Hypotese: H : p 1 = p 2. p.13/23

14 Eksempel: computerskærme Acceptområde: A 11 = {(x, y) x y 11}. g replacements y x. p.14/23

15 Eksempel: computerskærme Styrkefunktion: 1.0 γ p ements p 1. p.15/23

16 Teststørrelser En teststørrelse med standardfortolkningen er en afbildning q : X (0, ) med følgende fortolkning: q(x) 0 stritter ikke imod hypotesen q(x) 0 stritter kraftigt imod hypotesen Fører til accepområdet A = {x X q(x) < z} for et passende z, så testet får det rigtige niveau.. p.16/23

17 Niveaukonstante teststørrelser Det er svært at opnå at P θ (q(x) > z) α for alle θ Θ 0 uden at uligheden bliver meget skarp for visse θ-værdier. θ erne er uenige. Vi siger at q er niveaukonstant, hvis fordelingen af q(x) under P θ er den samme for alle θ Θ 0. Gode teststørrelser er niveaukonstante, for så er det nemt at bestemme afskæringen z. θ erne er enige.. p.17/23

18 Ækvivalente teststørrelser To teststørrelser er ækvivalente hvis de leder til samme acceptområde, uanset hvilket niveau α der testes på. Typisk situation: q 1 har standardfortolkningen, ψ : (0, ) (0, ) strengt voksende, bijektiv, Da er q 1 og q 2 ækvivalente. q 2 = ψ q 1 Ækvivalens er afhængig af fortolkningen af teststørrelserne.. p.18/23

19 Etstikprøveproblem i normalfordelingen X 1,..., X n uafhængige, N (ξ, σ 2 )-fordelte. Undersøges ved H : ξ = 0 T = n X SSD/(n 1). Accept hvis z α < T < z α, hvor z α er 1 α 2 -fraktilen i t-fordelingen med n 1 frihedsgrader.. p.19/23

20 Etstikprøveproblem i normalfordelingen Styrkefunktion (for n = 10): γ ements σ ξ p.20/23

21 Eksempel: Reaktionstider Antal Reaktionstid (ms) Er reaktionstide lig 260 ms?. p.21/23

22 Eksempel: Reaktionstider Antag X i N (ξ, σ 2 ). Test hypotesen H : ξ = 260 Reformuler: Y i = X i 260. Da er Y i N (η, σ 2 ). Test hypotesen H : η = 0 X = 272.9, Y = 12.9, SSD = T = p.22/23

23 Ækvivalens i etstikprøveproblem X 1,..., X n uafhængige, N (ξ, σ 2 )-fordelte. Hypotesen om at ξ = 0 Undersøges ved T = n X SSD/(n 1), der er t-fordelt med n 1 frihedsgrader under hypotesen. Eller ved F = T 2 = n X 2 SSD/(n 1), der er F -fordelt med (1, n 1) frihedsgrader under hypotesen.. p.23/23