Kapitel 9: Netværksmodeller

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kapitel 9: Netværksmodeller"

Transkript

1 Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en JUDI bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter er forbundet. Punkterne betegnes QRGHU; lad N betegne sættet af noder. -> Enhver node kan i et stort antal applikationer betegnes som enten demand-, transshipment-, eller udbudsnode. Linierne, der forbinder par af noder, betegnes NDQWHU (arcs); lad A betegne sættet af kanter. -> Enhver kant er i et stort antal applikationer karakteriseret ved en længde og/eller en øvre/nedre grænse for flowet langs pagældende kant. Grafen kan da beskrives ved sættet af noder og kanter og dertil hørende parametre C:. -> G(N, A, C). Orienterede vs. ikke-orienterede netværker: Kanter betegnes orienterede, hvis de alene kan passeres i en og kun en retning; netværket betegnes orienteret, hvis alle kanter er orienterede. Kanter betegnes ikke-orienterede, hvis de kan passeres i begge retninger; netværket betegnes ikke-orienteret, hvis dette gælder for samtlige kanter. Stier og cykler: En VWL mellem 2 noder er en sekvens af orienterede og/eller ikke orienterede distinkte kanter, der forbinder de 2 noder. En RULHQWHUHWVWL fra node i til node j er en sekvens af forbindende kanter, der tillader et flow fra node i til node j; en orienteret sti ma saledes ikke indeholde kanter orienteret fra j mod i.

2 En LNNHRULHQWHUHWVWL fra node i til node j er en sekvens af forbindende kanter, der ikke nødvendigvis tillader et flow fra node i til node j; en ikke-orienteret sti kan saledes indeholde kanter orienteret fra j mod i. En F\FOH er en sti, som begynder og ender i samme node. 2 noder betegnes FRQQHFWHG, hvis der eksisterer en sti mellem dem. Et netværk, hvorom gælder at ethvert par af noder er connected, betegnes et FRQQHFWHG QHWY UN. Træer og udspændende træer: Ethvert sæt af kanter noder i netværket, hvorom gælder i) der eksisterer en sti mellem ethvert par af modsvarende noder, og ii) ingen sadan sti udgør en cycle betegnes et WU. Et træ kan dyrkes med udgangspunkt i en vilkarlig kant; de hertil modsvarende noder betegnes forbundne, og de øvrige ikke-forbundne. Hertil adderes successivt yderligere kanter, en ad gangen, idet enhver yderligere kant skal forbinde en p.t. forbundet node med en p.t. ikke-forbundet node. Denne konstruktion sikrer, at der eksisterer netop 'en sti imellem ethvert par af forbundne noder, og at ingen sadan sti udgør en cycle. Træet gøres successivt større ved additionen af nye kanter. Lad betegne antallet af noder i netværket. Ethvert par af noder er forbundet med en sti, nar træet bestar af 1 kanter; et sadant træ betegnes et XGVS QGHQGHWU. Netværksproblemfelter: 1) Korteste Vej Problemet 2) Bestemmelse af et Minimalt Udspændende Træ 3) Maximum Flow Problemet

3 Korteste Vej Problemet: Udgangspunktet er her et netværk med N noder ( N angiver 5+<.38+63>/>/8 af indexsættet N, d.v.s. antallet af elementer i dette sæt, her altså antallet af noder i netværket), hvoraf nogle par er indbyrdes forbundet af en kant med en given længde. Problemet består nu i at finde den korteste vej mellem en på forhånd angivet source node og enhver anden node i netværket. Problemet løses ved en såkaldt labeling algoritme. I iteration 1 identificeres den node, der ligger tættest på source noden, og i en vilkårlig iteration k den node som er 'k'te tættest' på source noden. Algoritmen kan enten implementeres med udgangspunkt i en tegning af netværket som i lærebogen eller i tabelform. I det følgende bruges korteste vej algorimen til løsning af problemet defineret ved Figur 9.1. i lærebogen: kandidat node tentativ label permanent label senest mærket node forgænger iteration 0 1 [0, S] 1 iteration 1 2 [15, 1] é 3 é [10, 1] 3->[10, 1] 3 1  [15, 1] 2 iteration 2 é à é [13, 3] r 2->[13, 3] Ä [14, 3] Â4 Â[19, 2] iteration 3 à 5 à [14, 3] 5->[14, 3] 5 3 Ä7 Ä[30, 2] iteration 4   4 Å º 19, 2] é [18, 5] r à 6 Ã Ä 7 Å [16, 5] Ä [30, 2] 6->[16, 5] 6 5 iteration 5  [18, 5] 4 é Ã Ä é [30, 2] 7 [22, 6] r 4->[18, 5] 4 5 iteration 6 7 [22, 6] 7->[22, 6] 7 6

4 Algoritme: 1) Giv node 1 permanent label [0, S]. Lad kandidatlisten bestå af alle ikke-permanent labeled noder, der er forbundet med en kant til node 1.Gå til 2). 2) Gentag til kandidatlisten er tom: Lad kandidatlisten bestå af alle ikke-permanent labeled noder, der er forbundet med en kant til en permanent labeled node. Lad K(t) betegne et indexset for mængden af noder i kandidatlisten i iteration t. For enhver node i kandidatlisten 5 beregnes for enhver permanent labeled node forbundet med en kant til pågældende kandidat 3 5 den totale vejlængde ved bevægelse fra node 1 (source noden) langs den korteste vej til 35 og videre langs kanten fra 35 til 5 som SP"3 c 3 5, hvor SP "3 er længden af den korteste vej fra 1 til 35 og c 3 5 er længden af kanten fra 35 til 5. Node 5 5 mærkes tentativt med den korteste blandt disse vejlængder og indeks for modsvarende permanent labeled node. Identificer den node i kandidatlisten med minimal SP"3 c 3 5. Gør denne nodes 5 5 p.t.tentative labe permanent. Betragt først iteration 1. K(1) består af noderne {2, 3}, fordi de som de eneste er forbundet til node 1. Den korteste vej fra node 1 over sættet af p.t. permanent labeled noder (d.v.s. node 1 selv) til node 2 består i at gå fra 1 til 2; længden af denne vej er 0 15 med node 1 som sidste node før ankomst til node 2; node 2 lables derfor tentativt [15, 1]. Tilsvarende for node 3, der lables [10, 1]. 10 er mindre end 15; node 3 er derfor tættest på node 1, og den label gøres permanent. Betragt nu iteration 2. K(2) består af noderne {2, 5}, fordi de som de eneste er forbundet til de permanent labeled noder 1 og 3. Den korteste vej fra node 1 over sættet af p.t. permanent labeled noder (d.v.s. node 1 og 3) til node 2 kan enten bestå i at gå direkte fra 1 til 2 eller fra 1 over 3 til 2. Den første mulighed er fanget i det allerede givne tentative label af node 2 med [15, 1] og vejlængden ved den anden mulighed er 10 3 med node 3 som sidste node før ankomst til node 2; node 2 lables derfor også tentativt [13, 3]. 13 er kortere end 15, så det tentative label [15, 1] slettes. Node 5 lables [14, 3], fordi den korteste vej fra 1 til 3 har længden 10 og længden af kanten fra 3 til 5 er 4. Node 2 er således tættere på node 1 end node 5, fordi den korteste vej til node 2 har længden 14. Node 2's tentative label [14, 3] gøres derfor permanent. Og vi har i iteration 2 fundet den næst tætteste node til 1. Betragt iteration 4. K(4) består af noderne {4, 6, 7}. Node 4 har 2 tentative labels. [19, 2] slettes, fordi vejen til node 4 over node 5 er kortere. Node 6 er den 4. tætteste node, fordi 16 er mindre end 18 og 30. Node 6's label [16, 5] gøres derfor permanent. Hvad er den korteste vej fra node 1 til f.eks. node 7? Node 7 har en label på [22, 6]. Det betyder, at den korteste vej fra node 1 til node 7 har længden 22, og at vi kommer til node 7 fra node 6. Men node 6 er labeled [16, 5]. Vi kommer altså til node 6 fra node 5 og har tilbagelagt vejlængden 16 ved ankomst til node 6. Label for node 5 fortæller at vi kom til 5 fra 3, og label fra node 3 at vi kom fra 1 til 3. Vi skal altså traversere kanterne 1-3, 3-5, 5-6 og 6-7 for at gå den korteste vej fra 1 til 7.

5 LP-formulering af korteste vej problem: Lad vejlængder angive omkostninger svarende til at sende en vareenhed langs en given kant. Da er bestemmelsen af den korteste vej fra en source node til en på forhånd kendt terminal eller sink node ækvivalent til at finde den billigst mulige måde at sende en vareenhed fra fra source til sink. Dette giver anledning til følgende LPformulering: min! 3Ç4¹ E c x s.t.! x 1 4 =Ç 4¹ E =4 é! x! x é0 for alle 3 N, 3 =Ç3 > Ç 4¹ E 4Ç3¹ E! x 1 4 4Ç>¹ E 4> é 1 ˆ x 34 ˆ!Ç 3Ç 4¹ E Bemærk: Altid heltallige løsninger p.g.a. netværksstrukturen!

6 Minimal Spanning Tree Algoritme: 1) Lad NC betegne sættet af p.t. ikke forbundne noder, d.v.s. NC é N, og lad C betegne sættet af p.t. forbundne noder, d.v.s. C ég. Vælg en vilkårlig node og forbind denne til dens tætteste nabo. Fjern disse 2 noder fra NC og indfør dem i C. Gå til 2). 2) Gentag til NC er tom: Identificer den p.t. ikke forbundne node i NC som er tættest på en p.t. forbunden node i C; ties brydes tilfældigt. Lad 3 8C være den hermed identificerede p.t. ikkeforbundne node i NC og lad 3 - være den ligeledes identificerede forbundne node i C, der er tættest på 3 Æ Forbind 3 og 3 og fjern node 3 fra NC og indfør den i C. 8C - 8C 8C 3) Stop; det hermed etablerede træ er et minimalt udspændende træ. Brug selv algoritmen på problemet defineret ved Figur Bemærk: I første iteration indføres 2 af N noder i C og i hver efterfølgende iteration 1 node. Algoritmen terminerer derfor efter N 1 iterationer, og et udspændende træ består af N 1 kanter.

7 Maximum Flow problemet: Udgangspunkt: Orienteret/ikke-orienteret sammenhængende netværk. 1 node er defineret som udbudsnode. 1 node er defineret som efterspørgselsnode. Alle øvrige noder er transshipment/intermediate noder. Hver kant har en tilknyttet kapacitet, der angiver det maximale flow i en bestemt retning. Problemet er nu at bestemme det maximale flow gennem fra udbudsnode (eller source) til efterspørgselsnode (eller sink) med de givne kapaciteter.

8 Algoritmen er baseret på bestemmelse af såkaldte J 69A E?17/8>381 T +>2= eller FAPs. En FAP er en sti fra source til sink med ledig kapacitet langs alle fremadrettede kanter. Betragt den orienterede kant fra 3 til 4: 0 3ü > ü4 6 Tallet 6 angiver, at kanten ( 3Ç 4) har en fremadrettet kapacitet på 6 enheder, d.v.s. at det er muligt at sende 6 enheder fra node 3 til node 4. Tallet 0 angiver tilsvarende, at det ikke er muligt at sende noget fra 4 til 3. Lad os nu forestille os, at vi sender 4 enheder fra 3 til 4. Residualkapaciteterne er da givet ved 0 4 3ü > ü4 6 4 hvilket selvfølgelig er det samme som 4 3ü > ü4 2 Det er altså muligt at sende yderligere 2 enheder fra 3 til 4. Men det er også nu muligt at sende 4 enheder fra 4 til 3. Det sker rent praktisk ved at lade være med at sende dem fra 3 til 4 i første omgang.

9 Lad os se på følgende sti fra source ( = ) til sink ( > ): =ü > ü > ü< ü > ü> Det er ikke en FAP, fordi den fremadrettede kapacitet på den tredie kant er 0. Lad os nu forestille os, at flowet på de viste kanter er 2 (fra = til den første node), 0 (mellem første og anden node), 4 (fra tredie til anden node), og 1 (fra tredie node til > ). Da er residualkapaciteterne givet ved =ü > ü > ü< ü > ü> Bemærk: Flow ind skal være lig med flow ud i enhver intermediate node. Første node må derfor sende 2 enheder ud til andre noder i netværket, anden node må sende 4 enheder ud, og tredie node må modtage 5 enheder fra andre noder i netværket. Nu er stien fra = til > en FAP, fordi der er en ledig fremadrettet kapacitet i enhver node (nemlig hhv. 5, 3, 4 og 2). Det er derfor muligt at øge flowet fra = til > langs denne sti.

10 Den maksimale tilvækst er givet ved den minimale ledige fremsdrettede kapacitet langs stien, d.v.s. min(5, 3, 4, 2) é 2. Øges flowet langs stien med 2 enheder sendes 2 2 fra = til den første node, 0 2 mellem første og anden node, 2 fra tredie til anden node, og 3 fra tredie node til >. Da er residualkapaciteterne givet ved =ü > ü > ü< ü > ü>

11 Max-Flow Algoritmen: 1) Initialiser netværket, d.v.s. angiv indexsæt for kanter T, angiv kapaciteter -34 for alle kanter ( 3, 4) i T og sæt aktuelt flow lig 0. Gå til 2). 2) Find en FAP. Stop hvis ingen FAPs; aktuelt flow er maximalt. Ellers lad ( =, 3, 3,..., 3, > ) definere FAP og gå til 3). 1 # 5 3) Øg flow så meget som muligt langs aktuel FAP, der består af kanterne T JET é¾= (, 3" ), ( 3" Ç3# ),..., ( 35Ç> ) Den maximale flowtilvækst ï er givet ved den minimale ledige fremadrettede kapacitet på FAP, d.v.s. ï é min - 34 ( 3Ç 4 ) T JET Opdater kapaciteter: Â -34 for alle kanter ej på FAP -34 é Ã -34 ïfor alle fremadrettede kanter på FAP Ä - ïfor alle tilbagerettede kanter på FAP Opdater flow: aktuelt flow Gå til 2). 34 é aktuelt flow ï

12 Det er i små netværker let at finde FAPs ved visuel inspektion. I større netværker kan følgende systematiske procedure bruges: 1) Lad indexsættet W bestå af elementet {1}, og lad indexsættet være tomt. W 8/B> 2) Gentag successivt for nye mærkede noder, d.v.s. for noder i indexsættet W, indtil sinknoden mærkes eller ingen ny node kan mærkes: for 3 W begin Mærk enhver p.t. ikke mærket node 4, der kan nås fra 3 langs en enkelt fremadrettet kant med ledig kapacitet, ' 3'. Introducer 4 i W 8/B> end Sæt Wég WéW 8/B> W 8/B> é g 3) Hvis sinknoden mærkes, er der fundet en FAP fra source til sink. I modsat fald findes ingen FAP, og det aktuelle flow er maximalt. Sættet af kanter der forbinder en mærket node med en ikke-mærket node definerer i den situation et såkaldt > -?>=/>.

13 LP-formulering af Max-Flow Problemet: s.t.! 4 =Ç 4¹ E x =4 x! x é0 for alle 3 N, 3 =Ç3 > Ç 4¹ E 4Ç3¹ E! x 4 4Ç>¹ E 0 ì x 4> ì? Ç 3Ç4¹ E I den formulering måler den størst mulige mængde flow, der kan sende fra source til sink.? 34 Ç 3Ç4¹ E, er upper bound på flowet langs kanten ( 3Ç 4) i retningen fra 3 til 4.

14 LP-formulering af det mere generelle balancerede Min Cost Flow Problem: min! (3Ç4¹ E c B s.t.! x! x é b for alle 3 N Ç 4¹ E 4Ç3¹ E 0 ì x ì? Ç 3Ç4¹ E Her måler parametrene b 3 nettoudbud i node 3: b3 0 -> 3supply node b3 0 -> 3demand node b3 é 0 -> 3transshipment/intermediate node Problemet betegnes balanceret, idet det forudsættes!b3 é 0 3 Er dette krav ikke opfyldt, findes der ikke brugbare løsninger med bibetingelserne formuleret som ligheder!

Kapitel 9: Netværksmodeller

Kapitel 9: Netværksmodeller Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en graf bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter

Læs mere

Samtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=.

Samtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=. Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle

Læs mere

Projekt Planlægning: PERT/CPM

Projekt Planlægning: PERT/CPM Chapter 10: Projekt Planlægning: PERT/CPM -> Planlægning og koordinering af aktiviteter, der tilsammen definerer et helt projekt, så projektet færdiggøres indenfor en planlagt tidsramme. Aktiviteterne

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træer

Læs mere

Simplex metoden til løsning af LP

Simplex metoden til løsning af LP Chapter : Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen Ÿ alle

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DTLOS NSTTUT, RUS UNVERSTET Det Naturvidenskabelige akultet ESMEN rundkurser i Datalogi ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 7 (syv) Eksamensdag: Torsdag den 14. juni 007, kl. 9.00-1.00 Eksamenslokale:

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) Eksamensdag: Torsdag den 1. juni 01,

Læs mere

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP ) Følsomhedsanalyse -> kriteriekoeffricienter -> RHSs ) Dualitet -> økonomisk fortolkning af dualvariable -> anvendelse af dual løsning til identifikation

Læs mere

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)} Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTOI, RUS UNIVERSITET Science and Technology ESEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET STTUT R T, RUS UVRSTT Science and Technology S lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) ksamensdag: Tirsdag den. august 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET NSTTUT OR TO, RUS UNVRSTT Science and Technology SN lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) ksamensdag: redag den 1. august 015, kl. 9.00-.00 Tilladte

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSMEN ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Mandag den. august 07, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte hjælpemidler:

Læs mere

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR ATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Algoritmer og atastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. august 0,

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid 6 april Løsning af N P -hårde problemer Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid Oversigt Grænseværdier (repetition) Branch-and-bound algoritmens komponenter Eksempler

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold Grafteori Dette er en introduktion til de vigtigste begreber i grafteori, udvalgt teori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet med fokus på de opgavetyper der typisk er til internationale matematikkonkurrencer.

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træ

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen lukket kreds af kanter

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

Grafer / Otto Knudsen 20-11-06

Grafer / Otto Knudsen 20-11-06 Grafer / Otto Knudsen -- Grafer Definition En graf er pr. definition et par G = (V, E). Grafen består af en mængde knuder V (eng: vertices) og en mængde kanter E (eng: edges), som forbinder knuderne. A

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 22. juni 2012, kl. 9.00-13.00 Eksamenslokale: Finlandsgade

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag:

Læs mere

Sommeren 2001, opgave 1

Sommeren 2001, opgave 1 Sommeren 2001, opgave 1 Vi antager at k 3, da det ellers er uklart hvordan trekanterne kan sættes sammen i en kreds. Vi ser nu at for hver trekant er der en knude i kredsen, og en spids. Derfor er n =

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 5 (fem) Eksamensdag: Fredag den 10. august 007, kl.

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Dialog om tidlig indsats Udveksling af oplysninger i det tværfaglige SSD-samarbejde og fagpersoners underretningspligt

Dialog om tidlig indsats Udveksling af oplysninger i det tværfaglige SSD-samarbejde og fagpersoners underretningspligt Dialog om tidlig indsats Udveksling af oplysninger i det tværfaglige SSD-samarbejde og fagpersoners underretningspligt Servicestyrelsen Edisonsvej 18 5000 Odense C Tlf.: +45 72 42 37 00 Fax: +45 72 42

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Et udtrykstrç med de ære regnearter, heltalskonstanter og variabler beskrives. Type Expr = Sumèplus, minus, times, div: Args, const: Int, name: Textè

Et udtrykstrç med de ære regnearter, heltalskonstanter og variabler beskrives. Type Expr = Sumèplus, minus, times, div: Args, const: Int, name: Textè Opgave 1 è20èè Et udtrykstrç med de ære regnearter, heltalskonstanter og variabler beskrives af fçlgende rekursive Trine-type: Type Expr = Sumèplus, minus, times, div: rgs, const: Int, name: Textè Type

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Hamilton-veje og kredse:

Hamilton-veje og kredse: Hamilton-veje og kredse: Definition: En sti x 1, x 2,...,x n i en simpel graf G = (V, E) kaldes en hamiltonvej hvis V = n og x i x j for 1 i < j n. En kreds x 1, x 2,...,x n, x 1 i G kaldes en hamiltonkreds

Læs mere

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 25. juni 200, kl. 9.00-.00

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, F side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 9. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Torsdag den 9. august, 202. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede sider med ialt 2 opgaver.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Fredag den 9 Januar 2015, kl. 10 14 Alle sædvanlige hjælpemidler(lærebøger, notater etc.) samt

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Forén og find. Forén og find. Forén og find. Forén og find

Forén og find. Forén og find. Forén og find. Forén og find Phlp Blle (unon-fnd). Vedlgehold en dynamsk famle af mængder under operatoner: INIT(n): opret mængder {}, {},, {n-} UNION(,): forener de to mængder der ndeholder og. Hvs og er samme mængde skal der ngentng

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n Eksamen. kvarter 00 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) Ja Nej n er O(n )? n er O(n )? n er O(n + 0 n)? n + n er O(n )? n log n er Ω(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner

Læs mere

16. december. Resume sidste gang

16. december. Resume sidste gang 16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2 Operationsanalyse Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen. juni Opgave (i) Vi tilføjer først slack-variable til (P ): Minimize Z = x + x + x subject to x + x + x x 4 = x x + x x 5 = x + x x x =

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 1 (tretten) Eksamensdag: Tirsdag den 8. april 2008,

Læs mere

Log-lineære modeller. Analyse af symmetriske sammenhænge mellem kategoriske variable. Ordinal information ignoreres.

Log-lineære modeller. Analyse af symmetriske sammenhænge mellem kategoriske variable. Ordinal information ignoreres. Log-lineære modeller Analyse af symmetriske sammenhænge mellem kategoriske variable. Ordinal information ignoreres. Kontingenstabel Contingency: mulighed/tilfælde Kontingenstabel: antal observationer (frekvenser)

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Tirsdag 12. december David Pisinger

Tirsdag 12. december David Pisinger Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Tirsdag 12. december David Pisinger Resume sidste to gang Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1. P = {L : L genkendes af en algoritme

Læs mere

Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer

Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer Gerth Stølting Brodal 1 Indhold Eksempler på beregningsproblemer Algoritmer og deres analyse Korrekthed af algoritmer Ressourceforbrug for algoritmer Kompleksitet

Læs mere

Stifinder V. Allan Ebdrup. Heuristik til at finde sti for firkantet objekt mellem firkantede forhindringer

Stifinder V. Allan Ebdrup. Heuristik til at finde sti for firkantet objekt mellem firkantede forhindringer Stifinder V. Allan Ebdrup Heuristik til at finde sti for firkantet objekt mellem firkantede forhindringer Motivation dotnet Terrarium http://www.gotdotnet.com/terrarium/ Rovdyr Jagte andre dyr Løbe væk

Læs mere

Algoritmisk geometri

Algoritmisk geometri Algoritmisk geometri 1 Intervalsøgning 2 Motivation for intervaltræer Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed Ansat Alder Løn Ansættelsesdato post i databasen Antag, at vi ønsker at

Læs mere

Note om interior point metoder

Note om interior point metoder MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50

Læs mere

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E Grafteori Definition (Simpel graf): En simpel graf G = (V, E) består af V, en mængde hvis elementer kaldes punkter, og E, en mængde af uordnede par af forskellige elementer fra V. Et element fra E kaldes

Læs mere

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer.

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer. Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer Philip Bille Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem Aalborg University Department of Computer Science. Fredrik Bajers Vej 7E, 9220 Aalborg Ø. Titel: Traveling Salesman Problem Projektperiode: 16. maj 2003 til 20. juni 2003 Semester: BOS03 Gruppebetegnelse:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 10. juni, 2016. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede sider med ialt 16 opgaver. Alle opgaver

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer Philip Bille Orienteret graf. Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. deg + (7) =, deg - (7) = Lemma. v V deg - (v) = v V deg + (v) = m. Bevis. Hver kant har netop en startknude og slutknude.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Logistisk Regression - fortsat

Logistisk Regression - fortsat Logistisk Regression - fortsat Likelihood Ratio test Generel hypotese test Modelanalyse Indtil nu har vi set på to slags modeller: 1) Generelle Lineære Modeller Kvantitav afhængig variabel. Kvantitative

Læs mere