Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
|
|
|
- Michael Lauritsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Korteste veje
2 Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
3 Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste sti fra u til v. Sættes til hvis ingen sti findes.
4 Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste sti fra u til v. Sættes til hvis ingen sti findes. Single-source shortest-path problemet: Givet s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V.
5 Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste sti fra u til v. Sættes til hvis ingen sti findes. Single-source shortest-path problemet: Givet s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V.
6 Korteste veje i vægtede grafer Bemærk: problemet er ikke veldefineret hvis der findes kredse (som kan nås fra s) med negativ sum: Omvendt: hvis der ikke findes sådanne negative kredse, kan vi nøjes med at så på simple stier (ingen knuder gentages). Der er et endeligt antal sådanne (antal n!), så længde af korteste sti er veldefineret.
7 Relaxation
8 Relaxation
9 Relaxation
10 Relaxation Bemærk: Implementation af, skal fungere matematisk korrekt med > og + (bare at bruge Integer.MAX VALUE som er ikke nok).
11 Relaxation Hvis man efter Init-Single-Source kun ændrer v.d og v.π via Relax, ses nemt ved induktion på antal Relax at følgende invariant gælder: Hvis v.d < er der en sti fra s til v af længde v.d, og denne sti kan gennemløbes (baglæns) ved at følge π-pointere.
12 Relaxation Hvis man efter Init-Single-Source kun ændrer v.d og v.π via Relax, ses nemt ved induktion på antal Relax at følgende invariant gælder: Hvis v.d < er der en sti fra s til v af længde v.d, og denne sti kan gennemløbes (baglæns) ved at følge π-pointere. Heraf følger, at der altid gælder δ(s, v) v.d, og derfor (da v.d kun kan falde) at hvis δ(s, v) = v.d på et tidspunkt, vil dette ikke ændres senere. (Specielt gælder det sidste allerede efter Init-Single-Source for knuder, som ikke kan nås fra s).
13 Bellman-Ford-Moore [ ]
14 Bellman-Ford-Moore [ ] Køretid:
15 Bellman-Ford-Moore [ ] Køretid: O(nm)
16 Bellman-Ford-Moore [ ] Køretid: O(nm)
17 Bellman-Ford, korrekthed Sætning: Hvis der findes en negativ kreds, som kan nås fra s, svarer algoritmen FALSE. Ellers svarer den TRUE, og v.d = δ(s, v) for alle v V når den stopper.
18 Bellman-Ford, korrekthed Sætning: Hvis der findes en negativ kreds, som kan nås fra s, svarer algoritmen FALSE. Ellers svarer den TRUE, og v.d = δ(s, v) for alle v V når den stopper. Bevis: Hovedpointen i algoritmen er, at den vedligeholder følgende invariant: efter i iterationer af første for-løkke gælder v.d = δ(s, v) for alle knuder v, der har en korteste vej med højst i kanter. Dette ses ved induktion på i. Vi viser nu sætningen.
19 Bellman-Ford, korrekthed Sætning: Hvis der findes en negativ kreds, som kan nås fra s, svarer algoritmen FALSE. Ellers svarer den TRUE, og v.d = δ(s, v) for alle v V når den stopper. Bevis: Hovedpointen i algoritmen er, at den vedligeholder følgende invariant: efter i iterationer af første for-løkke gælder v.d = δ(s, v) for alle knuder v, der har en korteste vej med højst i kanter. Dette ses ved induktion på i. Vi viser nu sætningen. Case 1: der er ingen negative cykler som kan nås fra s. Så har alle knuder, som kan nås fra s, en simpel korteste vej, dvs. en vej uden gentagelser af knuder. En sådan vej har højst n knuder, og derfor højst n 1 kanter. Af invarianten ovenfor gælder v.d = δ(s, v) for disse knuder når algoritment stopper. For knuder, der ikke kan nås fra s gælder dette altid. Så v.d = δ(s, v) for alle knuder når algoritmen stopper.
20 Bellman-Ford, korrekthed Sætning: Hvis der findes en negativ kreds, som kan nås fra s, svarer algoritmen FALSE. Ellers svarer den TRUE, og v.d = δ(s, v) for alle v V når den stopper. Bevis: Hovedpointen i algoritmen er, at den vedligeholder følgende invariant: efter i iterationer af første for-løkke gælder v.d = δ(s, v) for alle knuder v, der har en korteste vej med højst i kanter. Dette ses ved induktion på i. Vi viser nu sætningen. Case 1: der er ingen negative cykler som kan nås fra s. Så har alle knuder, som kan nås fra s, en simpel korteste vej, dvs. en vej uden gentagelser af knuder. En sådan vej har højst n knuder, og derfor højst n 1 kanter. Af invarianten ovenfor gælder v.d = δ(s, v) for disse knuder når algoritment stopper. For knuder, der ikke kan nås fra s gælder dette altid. Så v.d = δ(s, v) for alle knuder når algoritmen stopper. Når v.d = δ(s, v) for alle knuder, kan Relax ikke ændre nogen v.d længere (jvf. tidligere observation). Derfor svarer bliver sidste if-case aldrig sand, og algoritmen svarer TRUE.
21 Bellman-Ford, korrekthed Case 2: der er en negativ cykel som kan nås fra s. Vi kan antage at denne cykel er simpel (hvis den har gentagelser blandt knuderne, består den af flere, mindre cykler, hvoraf mindst een må være negativ).
22 Bellman-Ford, korrekthed Case 2: der er en negativ cykel som kan nås fra s. Vi kan antage at denne cykel er simpel (hvis den har gentagelser blandt knuderne, består den af flere, mindre cykler, hvoraf mindst een må være negativ). Lad knuderne på denne cykel være v 1, v 2,..., v k, hvor v 1 er en knude i cyklen som kan nås fra s med en sti (s =)u 1, u 2,..., u j (= v 1 ) med færrest muligt kanter. På grund af minimaliteten af stien kan der ikke være gentagelser blandt knuderne på stien og cyklen (udover v 1 ). Så s = u 1, u 2,..., u j = v 1, v 2,..., v k er en sti med højst n knuder. Det er let at se via induktion over i at efter i iterationer af første for-løkke er v.d < for de første i + 1 knuder på denne sti. Derfor gælder v.d < for alle knuder på cyklen når første for-løkke er færdig.
23 Bellman-Ford, korrekthed Antag at algoritmen ikke svarer FALSE. Så gælder ved algoritmens afslutning v i+1.d v i.d + w(v i, v i+1 ) for 1 i k (med v k+1 = v 1 ). Og dermed gælder k v i.d i=1 k v i.d + i=1 k w(v i, v i+1 ). Da v i.d < for alle i, er de to første summer ikke bare ens, men også <, så de kan trækkes fra og give 0 i=1 k w(v i, v i+1 ), i=1 hvilket er i modstrid med at cyklen er negativ. Så algoritmen må svare FALSE.
24 Dijkstras algoritme [1959] Grådig algoritme som trinvis opbygger mængde S af knuder med korrekte v.d og v.π. Bruger en prioritetskø Q. Kræver alle kantvægte 0.
25 Dijkstras algoritme [1959] Grådig algoritme som trinvis opbygger mængde S af knuder med korrekte v.d og v.π. Bruger en prioritetskø Q. Kræver alle kantvægte 0. Køretid:
26 Dijkstras algoritme [1959] Grådig algoritme som trinvis opbygger mængde S af knuder med korrekte v.d og v.π. Bruger en prioritetskø Q. Kræver alle kantvægte 0. Køretid: n Insert (eller een Build-Heap), n Extract-Min og m Decrease-Key (i Relax).
27 Dijkstras algoritme [1959] Grådig algoritme som trinvis opbygger mængde S af knuder med korrekte v.d og v.π. Bruger en prioritetskø Q. Kræver alle kantvægte 0. Køretid: n Insert (eller een Build-Heap), n Extract-Min og m Decrease-Key (i Relax). I alt O(m log n) hvis prioritetskøen implementeres med en heap.
28 Dijkstras algoritme [1959] Grådig algoritme som trinvis opbygger mængde S af knuder med korrekte v.d og v.π. Bruger en prioritetskø Q. Kræver alle kantvægte 0. Køretid: n Insert (eller een Build-Heap), n Extract-Min og m Decrease-Key (i Relax). I alt O(m log n) hvis prioritetskøen implementeres med en heap. Sætning: Når v indlemmes i S er v.d = δ(s, v) (hvis alle kantvægte er 0). Bevis: en modstrid kan opnås ved at se på første knude indlemmet i S for hvilket det ikke gælder.
29 Dijkstra, eksempel
30 Algoritme for DAGs [unknown] Recall: DAG = Directed Acyclic Graph. Recall: En topologisk sortering kan findes via DFS i tid O(n + m).
31 Algoritme for DAGs [unknown] Recall: DAG = Directed Acyclic Graph. Recall: En topologisk sortering kan findes via DFS i tid O(n + m).
32 Algoritme for DAGs [unknown] Recall: DAG = Directed Acyclic Graph. Recall: En topologisk sortering kan findes via DFS i tid O(n + m). Køretid:
33 Algoritme for DAGs [unknown] Recall: DAG = Directed Acyclic Graph. Recall: En topologisk sortering kan findes via DFS i tid O(n + m). Køretid: O(n + m).
34 Algoritme for DAGs [unknown] Recall: DAG = Directed Acyclic Graph. Recall: En topologisk sortering kan findes via DFS i tid O(n + m). Køretid: O(n + m). Sætning: Når algoritmen stopper er v.d = δ(s, v) for alle v V.
35 Algoritme for DAGs [unknown] Recall: DAG = Directed Acyclic Graph. Recall: En topologisk sortering kan findes via DFS i tid O(n + m). Køretid: O(n + m). Sætning: Når algoritmen stopper er v.d = δ(s, v) for alle v V. Bevis: For en knude v med en sti fra s til v: alle knuder på en korteste sti er blevet relaxeret i rækkefølge (hvorved korrekte δ-værdier sættes på denne sti). For alle andre knuder gælder = δ(s, v) så korrekthed her følger af δ(s, v) v.d.
36 Algoritmen for DAG, eksempel
37 Korteste veje mellem alle par af knuder All-pairs shortest-path problemet: For alle s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V.
38 Korteste veje mellem alle par af knuder All-pairs shortest-path problemet: For alle s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V. Een mulighed: køre Dijkstra fra hver source s V (kræver ikke-negative vægte):
39 Korteste veje mellem alle par af knuder All-pairs shortest-path problemet: For alle s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V. Een mulighed: køre Dijkstra fra hver source s V (kræver ikke-negative vægte): O(nm log n) tid.
40 Korteste veje mellem alle par af knuder All-pairs shortest-path problemet: For alle s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V. Een mulighed: køre Dijkstra fra hver source s V (kræver ikke-negative vægte): O(nm log n) tid. Eller: køre Bellman-Ford-Moore fra hver source s V (hvis der er negative vægte):
41 Korteste veje mellem alle par af knuder All-pairs shortest-path problemet: For alle s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V. Een mulighed: køre Dijkstra fra hver source s V (kræver ikke-negative vægte): O(nm log n) tid. Eller: køre Bellman-Ford-Moore fra hver source s V (hvis der er negative vægte): O(n 2 m) tid.
42 Korteste veje mellem alle par af knuder All-pairs shortest-path problemet: For alle s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V. Een mulighed: køre Dijkstra fra hver source s V (kræver ikke-negative vægte): O(nm log n) tid. Eller: køre Bellman-Ford-Moore fra hver source s V (hvis der er negative vægte): O(n 2 m) tid. En anden mulighed: Floyd-Warshalls algoritme. O(n 3 ) tid. Klarer negative vægte.
43 Korteste veje mellem alle par af knuder All-pairs shortest-path problemet: For alle s V, find δ(s, v) (og en konkret sti) for alle v V. Een mulighed: køre Dijkstra fra hver source s V (kræver ikke-negative vægte): O(nm log n) tid. Eller: køre Bellman-Ford-Moore fra hver source s V (hvis der er negative vægte): O(n 2 m) tid. En anden mulighed: Floyd-Warshalls algoritme. O(n 3 ) tid. Klarer negative vægte. Endnu en mulighed: Johnsons algoritme. Kører i O(nm log n) tid. Klarer negative vægte.
44 Floyd-Warshalls algoritme [1962] Dynamisk programmeringalgoritme. Bruger adjacency-matrix repræsentationen. Output også på matrice-form: D = (d ij ), d ij = δ(v i, v j ) = længden af en korteste sti fra v i til v j. Sættes til hvis ingen sti findes.
45 Floyd-Warshalls algoritme [1962] Dynamisk programmeringalgoritme. Bruger adjacency-matrix repræsentationen. Output også på matrice-form: D = (d ij ), d ij = δ(v i, v j ) = længden af en korteste sti fra v i til v j. Sættes til hvis ingen sti findes. Π = (π ij ), π ij = sidste knude før v j på en korteste sti fra knude v i til knude v j. Sættes til NIL hvis ingen sti findes.
46 Floyd-Warshalls algoritme (Kun konstruktion af D-matricen vises.)
47 Floyd-Warshalls algoritme (Kun konstruktion af D-matricen vises.) Køretid:
48 Floyd-Warshalls algoritme (Kun konstruktion af D-matricen vises.) Køretid: O(n 3 ).
49 Floyd-Warshalls algoritme (Kun konstruktion af D-matricen vises.) Køretid: O(n 3 ). Plads: O(n 2 ) (kun forrige D (k) matrice behøves gemmes).
50 Floyd-Warshalls algoritme (Kun konstruktion af D-matricen vises.) Køretid: O(n 3 ). Plads: O(n 2 ) (kun forrige D (k) matrice behøves gemmes). Sætning: Når algoritmen stopper er d ij og π ij sat korrekt for alle v i, v j V (hvis ingen negativ kreds er i grafen).
51 Floyd-Warshalls algoritme (Kun konstruktion af D-matricen vises.) Køretid: O(n 3 ). Plads: O(n 2 ) (kun forrige D (k) matrice behøves gemmes). Sætning: Når algoritmen stopper er d ij og π ij sat korrekt for alle v i, v j V (hvis ingen negativ kreds er i grafen). Bevis: Invarianten er, at D (k) indeholder længden af korteste veje mellem v i og v j som passerer knuderne v 1, v 2,..., v k (udover endepunkterne v i og v j ).
52 Johnsons algoritme [1977] Bruger: Kører Bellman-Ford-Moore een gang på let udvidet graf. Herudfra justering af kantvægte så alle bliver positive uden essentielt at ændre korteste veje. Kører Dijkstra fra alle knuder. Kører i O(nm log n + nm) = O(nm log n) tid, klarer negative vægte.
Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste
Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste
Grafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Grafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Grafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Grafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Grafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).
Korteste veje. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs. Philip Bille
Korteste veje Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs Philip Bille Korteste veje Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje
Minimum udspændende Træer (MST)
Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træer
Korteste veje. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs. Philip Bille
Korteste veje Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs Philip Bille Korteste veje Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje
Mindste udspændende træ
Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation
Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion
Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af
Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Sammenhængskomponenter i grafer
Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv
P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2.
P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2. Bevis ved stærk induktion. Basisskridt: P (2) er sand og P (3) er sand. Induktionsskridt: Lad k 2 og antag P
Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion
Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af
Grafer / Otto Knudsen 20-11-06
Grafer / Otto Knudsen -- Grafer Definition En graf er pr. definition et par G = (V, E). Grafen består af en mængde knuder V (eng: vertices) og en mængde kanter E (eng: edges), som forbinder knuderne. A
Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer.
Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer Philip Bille Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk
Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk
Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9
Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer
Philip Bille Orienteret graf. Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. deg + (7) =, deg - (7) = Lemma. v V deg - (v) = v V deg + (v) = m. Bevis. Hver kant har netop en startknude og slutknude.
Vægtede grafer. I en vægtet graf har enhver kant tilknyttet en numerisk værdi, kaldet kantens vægt
Korteste veje 1 Vægtede grafer HNL I en vægtet graf har enhver kant tilknyttet en numerisk værdi, kaldet kantens vægt Vægte kan repræsentere afstande, omkostninger, o.s.v. Eksempel: I en flyrutegraf repræsenterer
Korteste veje. Korteste veje. Introduktion. Introduktion. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs
Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Philip Bille Introduktion Kortete veje. Givet
Korteste veje. Korteste veje. Introduktion. Introduktion. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs
Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Philip Bille Introduktion Kortete veje. Givet
Prioritetskøer og hobe. Philip Bille
Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af
Datastrukturer (recap)
Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang
Danmarks Tekniske Universitet
Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 2 (2003-ordning)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 2 (2003-ordning) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Fredag den 28. maj 2004, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (20%) En (r, k) kryds-graf er en orienteret graf
DM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006
DM02 Kogt ned Kokken Januar 2006 1 INDHOLD Indhold 1 Asymptotisk notation 2 2 Algoritme analyse 2 3 Sorterings algoritmer 2 4 Basale datastrukturer 3 5 Grafer 5 6 Letteste udspændende træer 7 7 Disjunkte
.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}
Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige
Invarianter. Invariant: Et forhold, som vedligeholdes af algoritmen gennem (dele af) dens udførelse. Udgør ofte kernen af ideen bag algoritmen.
Invariant: Et forhold, som vedligeholdes af algoritmen gennem (dele af) dens udførelse. Udgør ofte kernen af ideen bag algoritmen. Invariant: Et forhold, som vedligeholdes af algoritmen gennem (dele af)
Sommeren 2001, opgave 1
Sommeren 2001, opgave 1 Vi antager at k 3, da det ellers er uklart hvordan trekanterne kan sættes sammen i en kreds. Vi ser nu at for hver trekant er der en knude i kredsen, og en spids. Derfor er n =
Danmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Minimum udspændende Træer (MST)
Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træ
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 6. juni 2016, kl. 15:00 19:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se
Danmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
Oplæg og øvelser, herunder frugt og vand Gerth Stølting Brodal
Oplæg og øvelser, herunder frugt og vand Gerth Stølting Brodal Datalogisk Institut Aarhus Universitet MasterClass Matematik, Mærsk Mc-Kinney Møller Videncenter, Sorø, 29-31. oktober 2009 Algoritmer: Matricer
Algoritmeanalyse. Øvre grænse for algoritme. Øvre grænse for problem. Nedre grænse for problem. Identificer essentiel(le) operation(er)
Algoritmeanalyse Identificer essentiel(le) operation(er) Øvre grænse for algoritme Find øvre grænse for antallet af gange de(n) essentielle operation(er) udføres. Øvre grænse for problem Brug øvre grænse
Datastrukturer (recap) Datastruktur = data + operationer herpå
Dictionaries Datastrukturer (recap) Datastruktur = data + operationer herpå Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data (ofte underforstået, også
Minimum udspændende Træer (MST)
Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen lukket kreds af kanter
Mindste udspændende træ
Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation
Danmarks Tekniske Universitet
side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe
Eksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 10. juni, 2016. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede sider med ialt 16 opgaver. Alle opgaver
Hamilton-veje og kredse:
Hamilton-veje og kredse: Definition: En sti x 1, x 2,...,x n i en simpel graf G = (V, E) kaldes en hamiltonvej hvis V = n og x i x j for 1 i < j n. En kreds x 1, x 2,...,x n, x 1 i G kaldes en hamiltonkreds
Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012
Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk
Datastrukturer (recap)
Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang
Dynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur (struktur opbygget af et endeligt antal enkeltdele) blandt mange mulige. Eksempler:
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer
Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se
Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden
Sortering 1 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden
Sortering af information er en fundamental og central opgave.
Sortering Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Mange opgaver er hurtigere i sorteret information (tænk på ordbøger, telefonbøger,
Prioritetskøer. Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering. Philip Bille
Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering Philip Bille Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer
Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden
Sortering 1 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden
Førsteårsprojekt F2008 Flere grafalgoritmer, og visualisering SØGES
Førsteårsprojekt F2008 Flere grafalgoritmer, og visualisering Peter Sestoft 2008-03-11* SØGES 1-2 studerende til Åbent Hus torsdag 10. april kl 1700-1800 Skal kunne fortælle 5-10 minutter om hvad hvordan
Korteste veje. Korteste veje. Introduktion. Introduktion. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs
Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Philip Bille Introduktion Kortete veje. Givet
Prioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer
Philip Bille. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hver element x er tilknyttet en nøgle x.key og satellitdata x.data. MAX(): returner element med største nøgle. EXTRACTMAX(): returner og fjern
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =
Danmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 26. maj 2009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning
Prioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer
Philip Bille (priority-queues). Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hver element x er tilknyttet en nøgle x.key og satellitdata x.data. MAX(): returner element med største nøgle. EXTRACTMAX():
DM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Eksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 29. maj 2017. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede
Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:
Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
STTUT FR DTG, RUS UVERSTET Science and Technology ESE ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte hjælpemidler: lle sædvanlige
02105 Eksamensnoter. Lasse Herskind S maj Sortering 3
02105 Eksamensnoter Lasse Herskind S153746 12. maj 2017 Indhold 1 Sortering 3 2 Analyse af algoritme 4 2.1 Køretid.......................................... 4 2.2 Pladsforbrug.......................................
Dynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur blandt mange mulige. Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde
Sortering af information er en fundamental og central opgave.
Sortering 1 / 36 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 9 Mange opgaver er hurtigere i sorteret information (tænk på ordbøger, telefonbøger,
Danmarks Tekniske Universitet
ksamen 06, F side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 9. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) Eksamensdag: Torsdag den 1. juni 01,
Danmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave
Reeksamen i Diskret Matematik
Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Onsdag den. august 200, kl. 9.00.00 Opgave (25%) Lad A = A[] A[n] være et array af heltal. Længden af det længste
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSMEN ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Mandag den. august 07, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte hjælpemidler:
Sortering i lineær tid
Sortering i lineær tid Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel. Nedre grænse for sammenligningsbaseret sortering Nedre grænser kræver en præcis beregningsmodel.
Dynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer
Dynamisk programmering. Flere eksempler
Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld
Danmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Dynamisk programmering. Flere eksempler
Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z},
Reeksamen i Diskret Matematik
Reeksamen i Diskret Matematik Første studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 23. august, 2016, 9.00-13.00 Dette eksamenssæt består af 11 nummerede sider med 16 opgaver. Alle opgaver er multiple
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Onsdag den 11. august 2004, kl.
Algoritmer og invarianter
Algoritmer og invarianter Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker. Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker.
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 7. juni 00, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DTOI, RUS UNIVERSITET Science and Technology ESEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00
Grafteori. 1 Terminologi. Grafteori, Kirsten Rosenkilde, august fra V. (Engelsk: subgraph, spanning subgraph, the subgraph
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, august 2010 1 Grafteori Dette er en introduktion til de vigtigste begreber i grafteori, udvalgt teori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet med fokus på den type
Eksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for TT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 29. maj 2017. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede
Danmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:
Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse
Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
DM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2013 Projekt, del I Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 5. marts, 2013 Dette projekt udleveres i to dele. Hver del har sin deadline, således
Danmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (fjorten) Eksamensdag: Mandag den. juni 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte hjælpemidler:
DM507 - Algoritmer og datastrukturer
- Algoritmer og datastrukturer Køretid g(n) Udtryk Beskrivelse lim n f(n) o(f) Vokser langsommere end f = 0 O(f) Vokser højst så hurtigt som f < Θ(f) Vokser som f = c(c > 0) Ω(f) Vokser mindst så hurtigt
Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 3/2. n logn (3/2) n. 2 3logn (3/2) n
Side af 0 sider Opgave (4%) Ja Nej n er O(n / )? n +n er O(n )? (logn) er O( logn )? n er O()? /n er O(logn)? Opgave (4%) Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: logn
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
NSTTUT OR TO, RUS UNVRSTT Science and Technology SN lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) ksamensdag: redag den 1. august 015, kl. 9.00-.00 Tilladte
DM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2010 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 24. april, 2010 (let justeret 10. maj og 21. maj 2010) Dette projekt udleveres i tre
Målet for disse slides er at diskutere nogle metoder til at gemme og hente data effektivt.
Merging og hashing Mål Målet for disse slides er at diskutere nogle metoder til at gemme og hente data effektivt. Dette emne er et uddrag af kurset DM507 Algoritmer og datastrukturer (2. semester). Mål
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Mandag den 11. august 008, kl.
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DTLOS NSTTUT, RUS UNVERSTET Det Naturvidenskabelige akultet ESMEN rundkurser i Datalogi ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 7 (syv) Eksamensdag: Torsdag den 14. juni 007, kl. 9.00-1.00 Eksamenslokale: