Likviditetsanalyse med Konstant og Stokastisk Recovery i et Affint Modelsetup

Transkript

1 COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL, 2013 Cand.merc.(ma) KANDIDATAFHANDLING Likvidiesanalyse med Konsan og Sokasisk Recovery i e Affin Modelseup LIQUIDITY ANALYSIS IN AN AFFINE FRAMEWORK WITH CONSTANT AND STOCHASTIC RECOVERY FORFATTERE: Josefine Lund Chrisiansen Karina Chrisiansen Nyborg VEJLEDER: Mads Senbo Nielsen, Insiu for Finansiering Afleveringsdao: 10. juni 2013 Anslag:

2

3 Absrac In his maser hesis we examine he size of liquidiy in U.S corporae bonds before, during and afer he Financial Crisis based on wo differen model approaches. Our firs model approach is o assume consan recovery. In he second model approach we exend he model o handle sochasic recovery. Our heoreical pricing framework is based on (Duffie e al., 2000) and (Chen og Joslin, 2012). Based on he work of (Duffie e al., 2000) we derive closed form soluions in he seing of affine jump-diffusion sae processes for condiional expeced values for wo choices of payoff funcions. Based on (Chen og Joslin, 2012) we expand he condiional expeced values for which we also find closed form soluions. We assume ha he Credi Defaul Swap-premium (CDS-premium) is 100% liquid and herefore can be used as a proxy of credi risk in he credi spread. Based on he heoreical pricing framework we exrac he insananeous defaul inensiy from he CDS-premium and he insananeous liquidiy measure is hereafer exraced from he corporae bond price. We use CDS-daa and corporae bond daa for Invesmen Grade companies in he period Based on he exraced defaul inensiies and he liquidiy premium we compare he wo model approaches and find small indicaions ha he model in which we assume a consan recovery overesimaes he insananeous defaul inensiies for moderae defaul inensiies. Based on our daase we are however no able o deermine wheher he overesimaion is significan. We conclude ha an analysis on anoher daase is in place and sugges ha a similar analysis is done for a more high risk daase such as companies from he High Yield index. Based on he exraced defaul inensiies and he liquidiy measure we conduc a liquidiy analyses based on a decomposiion of he credi spread. From his we find ha he credi spread in general is low before he Financial Crisis, increases during he Financial Crisis and falls o a lower level afer he Financial Crisis bu no o he same levels as seen before he crisis. The decomposiion shows how much of he credi spread ha is due o liquidiy. From he decomposiion we see ha before he crisis he credi spread consised of only credi risk. During he Financial Crisis his changed and abou half of he credi spread was now explained by liquidiy. Afer he Financial Crisis he liquidiy has fallen and now only explains abou 25% of he credi spread. From his we conclude based on our daase ha he mos imporan elemen in driving up he credi spread o he high levels seen during he Financial Crisis was liquidiy. We also conclude ha he credi spreads are no a he same levels as before he Financial Crisis and here is in fac sill a significan amoun of liquidiy represened in he credi spread. A las we discuss he mos imporan assumpions where we conclude ha he model wih sochasic recovery is more sophisicaed bu also far more compuaionally complex.

4

5 Forord Vi akker vores vejleder Mads Senbo Nielsen for inspirerende vejledning, en alid åben dør og opbakning igennem hele forløbe. Nørrebro, Juni 2013 Josefine Lund Chrisiansen og Karina Chrisiansen Nyborg

6

7 Indholdsforegnelse 1 Indledning Problemformulering Afgrænsning Srukur I Finansiel Baggrund 9 2 Krediobligaioner og CDS-konraker Den Finansielle Krise Krediobligaioner - og deres Kredispænd Likvidiesrisiko Recovery Credi Defaul Swaps Prisfassæelse i Inensiesmodellen Inensiesmodellen Cox-processen Prisfassæelse af Krediobligaioner Risikofyld Nulkuponobligaion Risikofyld Nulkuponobligaion med Sokasisk Recovery Risikofyld Nulkuponobligaion med Konsan Recovery Prisfassæelse af CDS-konraker CDS-præmien med Sokasisk Recovery CDS-præmien med Konsan Recovery II Forvenede Værdier i e Affin Seup 25 4 Teoreisk Baggrund Seup

8 2 Indholdsforegnelse 4.2 Den Mulidimensionale Diffusionsproces Mulidimensional Iô s Lemma for Diffusionsprocesser Den Mulidimensionale Springdiffusionsproces Mulidimensional Iô s Lemma for Springdiffusionsprocesser Den Karakerisiske Funkion og Fourier - Transformaionseknikker Den Beingede Forvenede Værdi i e Affin Seup Inrodukion il den Beingede Forvenede Værdi med Payoff-funkion f (X T ) = e u X T Den Beingede Forvenede Værdi, BFV (u) Bevis Inrodukion il den Beingede Forvenede Værdi med Payoff-funkion f (X T ) = w X T e u X T Den Beingede Forvenede Værdi, BFV (u,w) Bevis Den Udvidede Beingede Forvenede Værdi i e Affin Seup Den Udvidede Beingede Forvenede Værdi med Payoff-funkion f (X T ) = e u X T Bevis Den Udvidede Beingede Forvenede Værdi med Payoff-funkion f (X T ) = w X T e u X T Bevis III Daa og Implemenering 58 7 Daavalg Analyseperioden Selskabs- og Daaudvælgelsen CDS-daa Obligaionsdaa Renedaa Recovery Konsrukion af en 5-årig Krediobligaion Kredispænde Den Observerede Krediobligaion Implemenering - Konsan Recovery Model Teoreisk Opsummering Modellering af CDS-præmien og Krediobligaionen Valg af Tilsandsvekor i CDS-præmien Modellering af CDS-præmien Valg af Tilsandsvekor i Krediobligaionen Modellering af Krediobligaionen Esimaion og Program

9 Indholdsforegnelse Sabilisering i Kredidelen Sabilisering i Likvidiesdelen Oversig over Program Implemenering - Sokasisk Recovery Model Teoreisk Opsummering Sokasisk Recovery-funkion, g(v X T ) Modellering af CDS-præmien og Krediobligaionen Esimaion og Program IV Empirisk Analyse Resulaer De Eksrapolerede Sørrelser Falliinensieer, λ, og Likvidiesmål, γ i Model 1 og Model Falliinensieer på Virksomhedsniveau Gennemsnilig Udvikling Parameeresimaerne, (κ,θ,σ,η) Opsamling Likvidiesanalyse Analyse af Kredi- og Likvidieskomponenerne Fassæelse af Kredi- og Likvidieskomponenerne Analysen Opsamling V Diskussion og Afrunding Diskussion Kvalieerne af Model 1 og Model Beydningen af vores Valg og Anagelser Udvidelser Konklusion 115 Lieraur 119 Figurer 120 Tabeller 121 VI Appendiks 122 A Obligaionsdaaabel 123

10 4 Indholdsforegnelse B Tranformaion af ODE er 127 C Den Likvidiesfrie Krediobligaion 128 D MATLAB Kode il Program D.1 Kredidelen D.1.1 Ydre Opimering D.1.2 Indre Opimering D.1.3 Løsning af CDS-præmien D.2 Likvidiesdelen D.2.1 Ydre Opimering D.2.2 Indre Opimering D.2.3 Løsning af Krediobligaionen E MATLAB Kode il Program E.1 CDS-konraken med Sokasisk Recovery E.2 Krediobligaionen med Sokasisk Recovery

11 Kapiel 1 Indledning Kredi- og likvidiesrisiko har gennem iden være omdrejningspunke i en lang række af empiriske sudier af krediobligaionsmarkede. De er i vid udsrækning anerkend, a likvidiesrisiko har indflydelse på prisfassæelsen af krediobligaioner og influerer i krediobligaionernes kredispænd, men de er forsa il diskussion i hvor høj grad, de er repræsenere i kredispænde, og hvordan indvirkningen varierer med forskellige markedsforhold. Siden den finansielle krise er opmærksomheden på emne kun bleve forsærke. Den sigende kredirisiko og samidig faldende likvidie på krediobligaionsmarkede forårsagede en krafig udvidelse af kredispændene, som derfor nåede uanede højder under krisen. Denne samidige udvikling i kredi- og likvidiesrisikoen har resulere i uklarheder i forhold il dekomponeringen af kredispændene i kredi- og likvidiesrisiko. De blev da vanskeligere a afgøre hvilken af de o elemener, der egenlig var den dominerende og drivende kraf i udvidelsen af kredispændene. Af idligere sudier, der har dokumenere likvidiespræmier i kredispændene, kan nævnes (Longsaff e al., 2005), som i iden før den finansielle krise neop dokumenerede dee, men fand dog a kredispænde sadig mes af al var forklare af kredirisiko. Senere fand (Bao e al., 2011), a de primær var likvidiesrisiko, der drev kredispændene op under den finansielle krise, da likvidiesrisikoen klar dominerede kredirisikoen. Tilsvarende dokumenerede (Bai og Collin-Dufresne, 2010) e signifikan negaiv CDS-Bond Basis under krisen. CDS-Bond Basis er e mål for forskellen mellem Credi Defaul Swap-præmien (CDS-præmien) på en specifik virksomhed og kredispænde på en obligaion af samme virksomhed. De er dog bemærkelsesværdig, a sandardpraksis i lang de flese empiriske analyser er en konsan recovery-modelanagelse i relaion il den eoreiske prisfassæelse af CDSkonraker og krediobligaioner. E sudie af (Doshi, 2011) forelægger evidens på, a recovery-

12 6 1.1 Problemformulering raen ændrer sig signifikan over id og fakisk er negaiv korrelere med falliinensieerne. Dermed argumeneres for, a en konsan recovery-rae under ændrede markedsforhold kan være en mege simplificerende anagelse, som kan føre il hel forkere konklusioner. Dog kan de være en udfordring både a idenificere kredirisikoen og den risikoneurale recovery-rae ud fra samme finansielle insrumen, hvilke har være en årsag il a konsan recovery modelanagelser ofere er bleve anvend. Desuden er forskningen sadig ung på dee område, og beydningen af en sokasisk recovery modelanagelse frem for en konsan er endnu under analyisk vurdering. Dee leder os frem il vores problemformulering. 1.1 Problemformulering Under anagelse af, a kredispænde kun besår af o komponener: kredirisiko og likvidiesrisiko, vil vi undersøge, hvor sor en del af kredispænde, der udgøres af kredi- og likvidiesrisiko for obligaioner på de amerikanske krediobligaionsmarked. Denne undersøgelse vil vi foreage for re forskellige perioder, som samle srækker sig fra ulimo 2005 il primo 2013 og deles op i før, under og efer den finansielle krise. Likvidiesanalysen foreages med udgangspunk i o modeller, Model 1 og Model 2, hvoraf forskellen ligger i, hvorvid der anvendes en konsan eller sokasisk recovery modelanagelse. I likvidiesanalysen vil vores fokus være foruden a undersøge likvidieens udvikling hen over den finansielle krise, a sammenholde de o modeller for dermed a vurdere kvalieen af a implemenere en mere sofisikere sokasisk recovery-model frem for en sandard konsan recovery-model. Vores o modeller bygger på e generel mulidimensional eoreisk seup, som gør de mulig a prisfassæe CDS-konraker og krediobligaioner ud fra lukkede udryk. De generelle eoreiske seup ager afsæ i affine springdiffusioner, hvor der udledes lukkede løsninger for o former for beingede forvenede værdier med o forskellige valg af payofffunkioner. Vores eoreiske prisfassæelsesgrundlag for CDS-konrakerne og krediobligaionerne bygger på inensiesmodellen af (Lando, 2004). Med udgangspunk i ariklen af (Duffie e al., 2000), som har udarbejde lukkede udryk for beingede forvenede værdier i e affin seup, finder vi lukkede udryk for CDS-præmierne og krediobligaionspriserne il a besemme kredi- og likvidieskomponene med en konsan recovery-rae anagelse. Nyere arbejde af (Chen og Joslin, 2012) gør de eferfølgende mulig for os forsa ved lukkede udryk a opskrive CDS-præmierne og krediobligaionspriserne, men nu med sokasisk recovery. Dermed har vi grundlage for a foreage både en likvidiesanalysen i en model med konsan recovery henholdsvis i en model med sokasisk recovery. Inspiraionen il dele af implemeneringen er funde i ariklen af (Longsaff e al., 2005). Gennemgangen af de beingede forvenede værdier i de affine seup er en grundlæggende og bærende del af afhandlingen, som kan anvendes bred. For løbende a henlede opmærksomheden på, hvordan eorien kan anvendes i relaion il vores problemsilling, giver vi

13 1. Indledning 7 eksempler på vores anvendelse i den sammenhæng. 1.2 Afgrænsning Vi afgrænser os il kun a se på recovery af obligaionshovedsolen i prisfassæelsen af CDS-konraker og krediobligaioner i inensiesmodellen. Vi har valg a afgrænse likvidiesanalysen il Invesmen Grade virksomheder på de amerikanske krediobligaionsmarked, fordi de amerikanske krediobligaionsmarked er e sor og veludvikle marked. Vi afgrænser os fra a anvende krediobligaioner indeholdende opionselemener, og anvender dermed kun krediobligaioner udsed som sående lån med en fas halvårlig kuponbealing. Vi afgrænser os desuden fra virksomheder i den finansielle sekor. Inspirere af (Longsaff e al., 2005) anager vi, a single-name CDS-konraker på virksomheder er 100% likvide, og anvender derfor disse som proxy for kredirisiko. Vi ser desuden CDS-præmierne som en ny CDS-konrak for hver dag, og ser derved bor fra specifikke afregningsdage for CDS-konraken. Desuden prisfassæer vi alle CDS-konraker ved a anage helårlige præmiebealinger. Vi anvender desuden den hisoriske swap-renekurve som den risikofrie referencerene. Vi afgrænser os på den måde fra a modellere reneudviklingen. Dermed anager vi i forhold il implemeneringen uafhængighed mellem den risikofrie rene, falliinensieen og likvidiesmåle. Inspirere af (Longsaff e al., 2005) anvender vi il modellering af falliinensieen en Cox- Ingersoll-Ross proces og il likvidiesmåle en simpel proces, der bygger på en sandard Brownsk bevægelse. Med inspiraion fra (Chen og Joslin, 2012) anager vi en modificere Cauchy-model for den sokasiske recovery-funkion, som angives som en funkion af falliinensieen. 1.3 Srukur Afhandlingen er opdel i fire hoveddele: Del I, Finansiel Baggrund, klarlægger de finansielle insrumener, begreberne og udgangspunke for vores eoreiske prisfassæelse vi arbejder med i afhandlingen. Del II, Forvenede Værdier i e Affin Seup, præsenerer de generelle mulidimensionale affine seup, de nødvendige beregningsekniske grundlag sam beviser de lukkede løsninger, som samle danner grundlag for vores prisfassæelse af krediobligaioner og CDS-konraker med konsan og sokasisk recovery. Del III, Daa og Implemenering, forklarer daasæe il likvidiesanalysen og implemeneringen af Model 1 og Model 2, hvori de lukkede løsninger funde i del II anvendes.

14 8 1.3 Srukur Del IV, Empirisk Analyse, præsenerer resulaerne og foreager likvidiesanalysen. Del V, Diskussion og Afrunding, diskuerer og konkluderer på afhandlingen. Del I besår af o kapiler (2-3). Kapiel 2 er udarbejde med henblik på a give læseren en indsig og forsåelse for krediobligaioner, CDS-konraker sam de begreber vi genagende anvender i afhandlingen. I forlængelse heraf præsenerer vi i kapiel 3 inensiesmodellen, som er vores eoreiske udgangspunk il a prisfassæe krediobligaioner og CDSkonrakerne med konsan henholdvis sokasisk recovery. Del II besår af re kapiler (4-6). I kapiel 4 redegøres for affine springdiffusioner og diverse nødvendige resulaer for a kunne bevise de lukkede løsninger, herunder bland ande den mulidimensionale Iô s Lemma for springdiffusioner og Fourier-ransformaionseknikker. I kapiel 5 findes de lukkede løsninger i de affine seup op il e sæ af ordinære differenialligninger for beingede forvenede værdier med o valg af payoff-funkioner. På baggrund af disse finder vi i kapiel 6 lukkede udryk for en udvidelse il de beingede forvenede værdier for de samme o payoff-funkioner. Del III besår af re kapiler (7-9). Vores valg af daa og specifikaion af analyseperiode beskrives i kapiel 7. I kapiel 8 gennemgåes dealjerne omkring implemeneringen af Model 1 med konsan recovery og i kapiel 9 gennemgås ilsvarende implemeneringen af Model 2 med sokasisk recovery. Vi laver her en kor opsamling på de relevane lukkede løsninger, forklarer valge af ilsandsvekor og vores overvejelser omkring opimeringen i de o programmer. Del IV besår af o kapiler (10-11). Vi præsenerer i kapiel 10 førs vores o modellers resulaer og undersøger forskellene imellem dem. I de eferfølgende kapiel 11 foreages analysen af likvidieen før, under og efer den finansielle krise. Del V besår af o kapiler (12-13). Afsluningsvis diskuerer vi i kapiel 12 syrker og svaghederne ved vores o modeller, vores anagelser og kommer med bud på nærliggende udvidelser og endelig konkluderes afhandlingen i kapiel 13.

15 Del I Finansiel Baggrund

16 Kapiel 2 Krediobligaioner og CDS-konraker 2.1 Den Finansielle Krise Fra sluningen af 2007 il medio 2009 gennemgik verdensøkonomien en af de sørse økonomiske kriser nogensinde. Krisen, som også benævnes den finansielle krise , og sin begyndelse i de amerikanske boligmarked. E lav reneniveau gjorde de arakiv a købe ejerbolig, og med udbudde af subprime-lånene blev de også mulig for mindre krediværdige lånere a opage lån il boliginvesering, ide man havde ilro il a boligmarkede forsa ville sige. Pengeinsiuerne, som havde udsed subprime-lånene, solge lånene videre il invesorer - ikke kun i USA, men også i mange andre lande. Men da reneniveaue igen begynde a sige, fik flere og flere boligejere svær ved a beale deres huslån, som i mange ilfælde nu var al for sore i forhold il deres indkoms. I løbe af begynde banker og hedgefonde a melde om ab som følge af boliglånene. I mars 2008 gik inveseringsbanken Bear Searns konkurs og da også verdens o sørse realkrediinsiuer Fannie Mae og Freddie Mac sam inveseringsgiganen Lehman Brohers krakkede i sepember 2008, sod de klar a siuaionen var mege alvorlig. Eferfølgende har den amerikanske regering sammen med Cenralbanken med forskellige indgreb forsøg a mindske krisens omfang og sabilisere økonomien og finanssekoren igen. 1 Disse endenser kan observeres i krediobligaionernes kredispænd. Kredispænde er en beegnelse på forskellen mellem den effekive rene på en krediobligaion og den effekive rene på en sasobligaion med ilsvarende kupon og løbeid. De beyder, a observeres en 5-årig krediobligaion uden kupon, som bealer 5 pc. i effekiv rene og på samme idspunk en ilsvarende 5-årig U.S. sasobligaion, som bealer 2 pc. i 1 Danskernes Akademi -

17 2. Krediobligaioner og CDS-konraker 11 effekiv rene, så er kredispænde 3 pc. Figur 2.1 viser udviklingen i kredispænde på de amerikanske krediobligaionsmarked som helhed fra år 2006 il Figur 2.1: BofA Merrill Lynch 3-5 års U.S. krediobligaioner Opion Adjused Spread Index Figur 2.1. Viser kredispænde funde som forskellen mellem den gennemsnilige effekive rene på en amerikansk krediobligaion med 3-5 års løbeid og den gennemsnilige effekive rene på U.S. sasobligaioner med samme udløbsidpunk. De grå område markerer den finansielle krise. I iden inden den finansielle krise, hvor markedsforholdene var sabile, ses de gennemsnilige kredispænd a ligge sabil under 1 pc. Men allerede før krisen omkring miden af 2007, begynder kredispænde a udvide sig og rammer 3 pc. omkring mars 2008, hvor Bear Searns går konkurs og siger derefer voldsom il op over 6 pc. sids i 2008, hvor bland ande Lehman Brohers krakkede og krisen oppede. Dernæs har kredispænde være afagende, men er dog sadig ikke sabilisere og sadig over dobbel så høj som før krisen. 2.2 Krediobligaioner - og deres Kredispænd Typisk er de kredispænde som anvendes i basispunker (bp), hvor 1 pc.= 100 bp, når man omaler prisen på en krediobligaion. Krediobligaioner er virksomhedsudsede obligaioner, der fungerer som e alernaiv il bankfinansiering eller akieudsedelser, når virksomheder skal rejse ny kapial il drif eller nye inveseringer. Da virksomheder generel har en højere risiko for a gå konkurs eller på anden vis misligholde sine bealingsforpligigelser, bealer de en højere effekiv rene sammenhold med sasobligaioner, som anses for risikofrie. Derfor kan man ved a observere kredispænde få en ide om, hvor sor en kompensaion, der forlanges fra invesorernes side, for den eksra kredirisiko som ligger i krediobligaionen. Ud fra udviklingen i kredispænde kan man derfor få en ide om, hvor billig eller dyr krediobligaionen er, al efer hvor udvide eller snæver kredispænde er. 2 2 (Waring, 2012)

18 Krediobligaioner - og deres Kredispænd Krediobligaioner er sående lån med en besem løbeid og fase halvårlige kuponbealinger som procen af hovedsolen. De er mulig, a de kan indeholde e opionselemen, som eksempelvis gør dem kaldbare eller konverible, men de yper af krediobligaioner ser vi bor fra her i afhandlingen. Kursen på en krediobligaion påvirkes derfor både af løbeiden, kuponbealingen, men også af markedsforholdene, raing og likvidie, som vi kommer ind på lid senere. 3 Løbende vurderes virksomhedernes krediværdighed og deres sandsynlighed for a gå falli af inernaionale kredivurderingsinsiuer, som Moody s eller Sandard & Poor s (S&P), og angives med en raing. På baggrund heraf har invesorer mulighed for a bedømme kredirisikoen på virksomheden og dermed hvor risikabel en invesering heri er. I afhandlingen anvender vi raingerminologien fra S&P på Invesmen Grade krediobligaioner, hvor den bedse raing er AAA og den dårligse BBB-. I abel 2.1 ses en oversig over rainger for Invesmen Grade. Jo højere raing, des bedre vurderes virksomhedens muligheder for a ilbagebeale gælden, hvorfor virksomheder med lav raing bealer højere kredispænd end virksomheder med høj raing, fordi de skal kompensere for den højere kredirisiko. Tabel 2.1: Raingabel for Invesmen Grade Invesmen Grade S&P Raing Beskrivelse AAA Prime, maximum safey AA+ Very high grade/qualiy AA " AA- " A+ Upper medium qualiy A " A- " BBB+ Lower medium grade BBB " BBB- " Tabel 2.1.: Raing for Invesmen Grade selskaber. Kilde: Krediobligaionsmarkede er ikke e speciel akiv marked og likvidieen herpå er ikke alid særlig høj. De beyder, a de kan være svær a sælge en krediobligaion videre igen, efer den er bleve køb, hvilke har beydning for obligaionernes pris Likvidiesrisiko Generel er de anerkend, a kredispænde på en krediobligaion både besår af kredirisiko og likvidiesrisiko. De har adskillelige eoreikere gennem iden funde evidens på, undersøg og analysere, heribland (Longsaff e al., 2005), (Dick-Nielsen e al., 2010), (Bao 3 (GrinBla og Timan, 2004) 4 (Waring, 2012)

19 2. Krediobligaioner og CDS-konraker 13 e al., 2011) og (Chen e al., 2007), og de er ligeledes en kendsgerning bland markedes akører. De er derfor misvisende a ro, a man kan få e komple billede af kredirisikoen på o forskellige obligaioner ved a sammenholde deres kredispænd. Deril er kredispænde for upræcis, fordi der også er e illikvidieselemen, som kombinere med kredirisikoen på krediobligaionen, definerer kredispænds-"præmien". Illikvidie fremkommer som følge af markedsfrikioner såsom ransakionsomkosninger og handelsresrikioner, som gør de mindre arakiv eller vanskeligere a handle på markede. 5 Dårlig likvidie kan da have den konsekvens, a invesorer ikke kan foreage deres ønskede inveseringer. 6 Konsekvensen er, a invesorerne derfor kræver en kompensaion i form af en højere effekiv rene på krediobligaionen, hvilke gør kredispænde endnu sørre. 7 En sideeffek heraf er desværre en forolkningsmæssig udfordring i forhold il kredispænde, da de ikke direke kan observeres, om de er kredirisiko eller likvidiesrisiko, der dominerer kredispænde. De vil sige, a hvis o obligaioners kredispænd sammenholdes, hvor den ene er højere end den anden, så ved man egenlig ikke, om de skyldes kredirisiko eller illikvidie og dermed ikke noge om, hvilken invesering markede berager som den mes risikable. E spørgsmål, som eoreikere og forskere har forsøg a besvare, har derfor også være om den finansielle krise egenlig var en kredikrise eller en likvidieskrise? 8 For a præcisere hvad kredispænde er dekomponere i, er en modelanalysisk ilgang en mulighed. De forolkningsmæssige udfordringer blev kun sørre med udbrudde af den finansielle krise som vi så medføre voldsomme signinger i kredispændene og dermed kurser på krediobligaionerne, som fald markan. Meldinger om sore ab fra finansielle insiuioner sam kollapse af de o enorme inveseringsbanker, Bear Searns og Lehman Brohers, beød a al likvidieen simpelhen blev suge ud af markede. Ingen urde indgå risikable inveseringer på grund af frygen for, a andre virksomheder også ville følge med i falde. Kredimarkede blev derfor ilsvarende lukke land for nye lånagninger, og i sede flyedes mange af inveseringerne il U.S. sasobligaioner, den sikre havn under usikre ider, hvilke forårsagede den effekive rene herpå il a falde og udvidede kredispændene yderligere. Som følge af disse urbulene markedsforhold, som de finansielle markeder i de senere år har være igennem, er opmærksomheden på a kunne læse kredispænde korrek, og dermed skabe bedre gennemsigighed i krediobligaionsmarkede, kun bleve forsærke. Foruden løbeiden, kuponen, markedsforhold og raing på virksomheden spiller de forvenede ab hvis konkurs også ind på krediobligaionens pris. Derfor er recovery en vigig fakor i prisfassæelsen af krediobligaioner Recovery Til forskel fra akier, som miser hele deres værdi, hvis virksomheden går konkurs, sidesilles obligaionsinvesorer med andre krediorer, og kan derfor få dække en andel af de 5 (Bao e al., 2011) 6 (Black Rock Invesmen Insiue, 2012) 7 (Waring, 2012) 8 Se eksempelvis (Bao e al., 2011)

20 Krediobligaioner - og deres Kredispænd udlåne beløb hvis konkurs. Andelen i sørrelsesordnen 0 il 1, beegnes recovery-raen, og er e elemen i krediobligaioner, som også har beydning for deres pris. Hvem, der har re il recovery førs efer konkurs, besemmes ud fra rangeringen af gælden. Gælden rangeres i senior- og subordinere gæld, hvor seniorobligaioner bliver rangere højes, og recovery derfor beales førs på disse. Når seniorgælden er dække, kommer den subordinerede gæld i anden række, hvilke gør den ype gæld mere risikabel end seniorgæld. 9 Der findes forskellige varianer af recovery anagelser. 10 Der kan udbeales recovery af markedsværdien på krediobligaionen, recovery af hovedsolen og recovery af Treasury, som i praksis beyder, a der udsedes en sasobligaion på den ilbageværende værdi og løbeid af krediobligaionen. Vi arbejder i afhandlingen kun med recovery som en andel af hovedsolen, som er måle der ypisk bruges i kredivurderingsinsiuer. 11 Efer en periode fra år med kun få regisrerede konkurser ifølge Moody s Invesor Service (omkring 18 il 30 syk om åre), skee der i krafige signinger i konkursanalle af de virksomheder, som er kredivurdere af Moody s. 12. I 2008 blev der regisrere 103 konkurser, og dee al seg il 265 virksomheder i 2009 som løb op i en samle gældssørrelse på $330 billioner. Dog vende udviklingen i analle af konkurser i 2010 il kun 57 konkurser, og samidig forbedredes virksomhedernes krediværdighed. I iden omkring den finansielle krise har den fakiske recovery ifølge Moody s invesornoa ændre sig fra 55 pc. i 2006 il 34 pc. i 2008 og eferfølgende 50 pc. i Dee indikerer krafig, a recovery ikke er konsan over id. E eksempel på en opgørelse af en fakisk recovery er Lehman Brohers, som efer konkursen havde $320 billioner i gæld, hvoraf kun $60 billioner kunne dækkes. De svarer il en fakisk recovery-rae på kun 5 pc., hvilke også er e eksempel på e af de eksreme konkursilfælde, der sås under krisen. 13 Moody s hisoriske undersøgelser har desuden vis, a de fakiske fallisandsynligheder og recoveryraer er negaiv korrelerede. 14 De er ligeledes undersøg af eksempelvis (Doshi, 2011), om den sokasiske udvikling over id også gælder for den implied risikoneurale recovery-rae i CDS-konraker. Analysen viser, a de forvenede recovery-raer implied i CDS-konraker reagerer særk på forskellige markedsforhold - specifik undersøg for før og under den finansielle krise. De implied recovery-raer falder drasisk fra saren af den finansielle krise, og der ses en sor forskel fra før il under krisen. Desuden viser de risikoneurale falliinensieer og recovery-raer sig a være negaiv korrelerede, hvilke er ilsvarende de billede, der blev egne for de hisoriske recovery-raer. Som en sikkerhed for den reserende andel af krediobligaionen, som ikke dækkes af recovery ved konkurs, kan en obligaionsinvesor egne en Credi Defaul Swap (CDS) på virksomheden. 9 (Tirole, 2006), kap (Lando, 2004) 11 Fremover, når der omales recovery, menes der recovery på hovedsolen. 12 (Moody s Invesors Service, 2011) 13 (Demos, 2011) 14 (Moody s Invesors Service, 2008), (Moody s Invesors Service, 2010) og (Moody s Invesors Service, 2011)

21 2. Krediobligaioner og CDS-konraker Credi Defaul Swaps En single-name CDS-konrak er esseniel en forsikringskonrak mod en kredihændelse på en specifik referenceenhed. Referenceenheden beegner virksomheden, hvorpå konraken er egne, og hvorpå en invesor har køb en krediobligaion, som han ønsker a abssikre. En kredihændelse er de scenarie, som akiverer bealingen i CDS-konraken, og er afal i konraken ved indgåelsen. Der findes 6 forskellige definiioner på en kredihændelse definere af brancheorganisaionen ISDA 15 i 2003: Konkurs, forsømmelse af bealingsafale, resrukurering af lån, midleridig bealingsudsæelse, misligholdelse af forpligigelser og fremskyndelse af forpligigelser. Alle specifikaioner forårsager ejeren af en krediobligaion ab, som han igennem CDS-konraken har mulighed for a få dække. Vi vil i afhandlingen beegne kredihændelsen som konkurs eller falli. Konkre er CDS-konraken e OTC-handle kredideriva, som kan have en løbeid på mellem 1 og 10 år, selvom de dog alid har være den 5-årige CDS-konrak, som har være mes handle. 16 Konraken besår af o parer: en beskyelseskøber og en beskyelsessælger. Beskyelseskøberen bealer en årlig præmie il beskyelsessælgeren indil konrakens udløb, eller indil en kredihændelse sker. Til gengæld er køberen beskye mod ab på krediobligaionen af beskyelsessælgeren, hvis virksomheden går konkurs. CDS-præmien bruges om prisen på CDS-konraken og angives ligesom e kredispænd i basispunker. Hvis CDSpræmien på en 5-årige CDS-konrak udsed med en hovedsol på $10 millioner er 300 bp, bealer køberen $ om åre for sikkerheden i CDS-konraken. CDS-præmien afhænger både af kredirisikoen på referenceenheden og af recovery-raen. Hvis referenceenheden har en lav raing og sor sandsynlighed for a gå falli, er risikoen for, a CDS-konraken bliver akivere høj, og beskyelsessælgeren vil kræve en sørre præmie i kompensaion, end hvis risikoen var lille. På den anden side beyder recovery-elemene i krediobligaionen, a beskyelsessælgeren ved konkurs kun skal dække den andel af hovedsolen, som recovery ikke dækker, hvormed recovery-sørrelsen modsa kredirisikoen sænker CDS-præmien. De bemærkes dog også, il rods for a vi ikke berører de i afhandlingen, a i og med CDSkonraken er en konrak mellem o parer, vil der også være modparsrisiko ilknye. Modparsrisiko er i denne sammenhæng risikoen for, a beskyelsessælgeren i CDS-konraken ikke er i sand il a opfylde sine forpligigelser i ilfælde af referenceenheden går falli. I figur 2.2 er relaionen og cashflowe mellem referenceenheden, beskyelseskøberen og beskyelsessælgeren skisere, hvor krediobligaionen blo ses som en nulkuponobligaion. 15 ISDA: Inernaional Swaps and Derivaives Associaion 16 (Federal Reserve Bank of New York, 2011) og

22 Credi Defaul Swaps Figur 2.2: CDS-konrakens bealingscashflow Figur 2.2. Beskyelseskøberen køber krediobligaionen af en virksomhed (referenceenheden). Han modager herfra hovedsolen på udløbsidspunke, hvis virksomheden indil da ikke er gåe konkurs. Samidig bealer han en præmie il beskyelsessælgeren så længe referenceenheden ikke er gåe konkurs, for a få dække andelen af hovedsolen, som han ikke modager recovery på, hvis konkurs. I ilfælde af en konkurshændelse er der o måder a afvikle en CDS-konrak på, og de afhænger af, om den er indgåe fysisk eller konan. Ved fysisk afvikling leverer beskyelseskøberen ypisk obligaionen il beskyelsessælgeren, som i reur bealer hovedsolen på obligaionen. Reen il recovery på krediobligaionen overgår da il beskyelsessælgeren, således a beskyelsessælgeren sammenlag har beal hovedsolen frarukke recoveryandelen il beskyelseskøberen. Konan afvikling er førs bleve indfør senere, som følge af a flere og flere CDS-konraker blev handle "naked". "Naked" beyder, a CDS-konraken er egne uden nogen fysisk underliggende krediobligaion. I begyndelsen blev konrakerne kun brug som hedging mod risiko på den fysiske underliggende obligaion, men som markede blev mere og mere populær, blev de brug mindre som hedge-insrumen og mere som spekulaion på visse referenceenheder. Da sørrelsen på konrakernes samlede hovedsol il sids overseg sørrelsen af obligaionernes hovedsol, blev de umulig a lave fysisk afregning, og konanafregninger blev derfor indfør. Ved konan afvikling bealer beskyelsessælgeren direke hovedsolen frarukke recovery på krediobligaionen il beskyelseskøberen. 17 Da CDS-konraken er e insrumen på kredirisiko, afspejler præmien herpå, hvad der svarer il prisen på risiko og er derfor en ofe anvend proxy for kredirisiko. 17 (O Kane, 2009)

23 Kapiel 3 Prisfassæelse i Inensiesmodellen I dee kapiel vil vi inroducere inensiesmodellen, sam beskrive hvordan krediobligaioner og CDS-konraker skal prisfassæes i denne model. Da vi i afhandlingen ønsker a esimere sørrelsen af kredi- og likvidiesrisiko i kredispænde, har vi brug for e generel eoreisk grundlag. Her er inensiesmodellen en af lieraurens hovedilgange il eoreisk prisfassæelse af finansielle akiver og insrumener, hvori kredirisiko indgår som en vigig fakor. Afsnie ager afsæ i bogen Credi Risk Modelling (2004) af David Lando. Da vores bachelorprojek Credi Defaul Swaps - og deres anvendelighed som kredirisikomål (2010), indeholder en dealjere gennemgang af udledningerne i inensiesmodellen for både risikofylde obligaioner og CDS-konraker, vil vi ikke gennemgå disse lige så dybdegående her, men i sede henvise il projeke. De primære formål i kapile er a eablere en eoreisk forsåelse for kredirisikomodellen og skabe overblik over de eoreiske prisudryk, vi senere skal bruge. 3.1 Inensiesmodellen Inensiesmodellen blev udvikle på baggrund af ønske om a bygge en model, hvori der beinges med e mere generel informaionssæ om udviklingen i eksogene fakorer, som kan ænkes a påvirke falliinensieen. Til forskel fra klassisk overlevelsessandsynlighedseori, hvor fallihændelsen er en ren funkion af iden, modelleres kredihændelsen i inensiesmodellen som en uforudsigelig hændelse, afhængig af en ilsandvekor, som indeholder fakorer der kan ænkes a influere på falliinensieen. I klassisk overlevelsessandsynlighedseori defineres overlevelsesfunkionen, der angiver sandsynligheden for overlevelse op il id, som,

24 Inensiesmodellen ( ) P(τ > ) = S() = exp h(s)ds. 0 hvor den ikke-negaive sokasiske variabel τ, angiver falliidspunke for en virksomhed og den ilhørende hazard rae er definere som lim 0 1 P(τ τ > ) = h(), der forolkningsmæssig er den beingede sandsynligheden for falli i e lille idsinerval [, + d[ give ingen falli op il id. 1 Den beingede fallisandsynlighed kan beregnes for alle på idspunk 0, da de ses, a den beingede sandsynlighed kun afhænger af iden. Med udgangspunk i den klassiske definiion er idegrundlage i inensiesmodellen a få indarbejde filraionssæe på id, F, i den beingede sandsynlighed, P(τ + F ) 1 τ> λ(), hvor F indeholder informaionen omkring, a der ikke er indruffe en fallihændelse op il id, og λ er en proces, som er ilpasse filraionen. Dee er imidleridig ikke en definiion, og der kan derfor ikke bygges modeller på baggrund heraf. Inensiesmodellen konsruerer derfor en proces, som kan definere overlevelsessandsynlighederne beinge med filraionen, og hvor inensieen afhænger af exogene fakorer og er målelig i filraionen. Konsrukionen bliver Cox-processen også kend som den dobbelsokasiske Poisson-proces Cox-processen Cox-processen er en generalisering af Poisson-processen, da de er en springproces med sokasisk inensie. Vi begynder med a definere sandsynlighedsfele (Ω, F, Q), hvor Ω angiver udfaldsrumme, F er en σ-algebra på Ω og Q angiver sandsynlighedsmåle på (Ω,F). Filraionen (F ) = {F : 0} anages a opfylde de sædvanlige beingelser. 2 Q angiver e ækvivalen maringalmål - e prisfassæelsesmål der eksiserer i en arbiragefri verden. Prisfassæelsesmåle, Q, beegner i dee kapiel de risikoneurale mål, hvor den risikofrie rene anvendes il diskonering. Tilsandsvekoren X anager værdier i ilsandsrumme D R n definere på sandsynlig- 1 (Aalen e al., 2008) 2 (Björk, 2009) og (Duffie, 2008), appendix A.

25 3. Prisfassæelse i Inensiesmodellen 19 hedsfele. 3 I dee kapiel vil vi endnu ikke gøre os nogle anagelser omkring dynamikken i ilsandsvekoren, men præsenerer her blo e generel seup. I inensiesmodellen er måle a konsruere en springproces, som æller analle af kredihændelser, N med egenskaben, a λ(x ) er en F -inensie for ælleprocessen, N. Vi er ineresserede i den førse kredihændelse, derfor fokuseres på de førse springidspunk for Cox-processen. Lades inensieen, λ : R n R, være definere som en ikkenegaiv F -målelig og koninuer funkion, skal de for, a λ(x ) er inensie i Cox-processen gælde, a M = 1 {τ } λ(x s )1 {τ s} ds (3.1) 0 er en F -maringal. Konkre påvises maringalegenskaben for (3.1) ved a vise a E[M M s F s ] = 0. Forolkningsmæssig beyder dee, a en springproces korrigere for sin kummulaive drif er en maringal. For en gennemgang af bevise henviser vi il (Lando, 2004) og vores bachelorprojek, (Chrisiansen e al., 2010) afsni 5.3. Når 1 {τ } 0 λ(x s)1 {τ s} er en maringal, har vi som sag, a λ(x ) er inensieen for Cox-processen. Når dee gælder kan vi modellere de førse springidspunk som, { τ = inf : λ(x s )ds E 1 }, 0 hvor E 1 er en ekponenialfordel sokasisk variabel med middelværdi 1, som er uafhængig af filraionen generere af ilsandsvekoren. Tekniske Resulaer E vigig resula, som vi bruger i udledningerne af prisen for krediobligaion og af prisen på en CDS-konrak, er, a forvenningen il indikaorfunkionen 1 {τ>t }, er lig overlevelsessandsynligheden exp ) ( T 0 λ(x s)ds, dvs. ( T ) E[1 {τ>t } G T ] = exp λ(x s )ds, (3.2) 0 hvor de bruges, a vi formel kan skrive filraionen F som F = G H, hvor filraionen H = σ{1 {τ s} : 0 s } og G = σ{x s : 0 s } er brug i ovensående udryk. 4 3 (F ) indeholder både informaionen omkring springprocessen og omkring ilsandsvekoren X. 4 (Lando, 1998)

26 Prisfassæelse af Krediobligaioner Sammenhængen i ligning (3.2) indses ved, a 5 E[1 {τ>t } G T ] = 1 {τ>t } (x)q(x)dx = q(x)dx = Q(τ > T G T ) R {τ>t } hvorfra de videre gælder 6 ( T Q(τ > T G T ) = Q 0 ( = exp λ(x s )ds < E 1 FT ) T 0 ) λ(x s )ds. 3.2 Prisfassæelse af Krediobligaioner Vi vil nu redegøre for, hvordan krediobligaionerne kan prisfassæes eoreisk i inensiesmodellen. Vi arbejder i dee kapiel kun med nulkuponobligaioner (NKO) med en hovedsol på 1, og udleder i dee afsni prisen for en risikofyld NKO med og uden recovery. Udgangspunke i udledningen af prisen for en risikofyld NKO med recovery er de sokasiske ilfælde, hvor vi som eferfølgende specialilfælde vil angive prisen for en risikofyld NKO med konsan recovery. De anages førs og fremmes, a der eksiserer en risikofri reneproces r(x ) således, a den risikofrie NKO-pris beregnes som P(,T ) = E [ exp ( T r(x s )ds) ] F, (3.3) svarende il den beingede forvenede værdi af udbealingen på idspunk T ilbagediskonere med den risikoneurale rene, r(x ), il id. Fremover vil vi for a lee noaionen skrive den beingede forvenede værdi som E [ ], der skal læses som den beingede forvenede værdi på idspunk give filraionen op il id under de ækvivalene maringalmål, Q Risikofyld Nulkuponobligaion Som vi ved, er der i en krediobligaion e kredirisikoelemen, ide der er mulighed for a udsederen kan rammes af en kredihændelse, hvormed obligaionen miser sin værdi. For a age højde for risikoelemene i prisfassæelsen, ages der afsæ i prisen på den risikofrie NKO. I denne kan der indarbejdes risiko ved hjælp af indikaorfunkionen, 1 {τ>t }, som mulipliceres med diskoneringsfunkionen i de ellers risikofrie udryk, (3.3). De sikres 5 (Tjur, 2007) 6 (Lando, 1998)

27 3. Prisfassæelse i Inensiesmodellen 21 hermed, a obligaionen kun har værdi, så længe virksomheden ikke er gåe falli. Prisen på en risikofyld NKO kan dermed ved hjælp af middelværdiregneregler og ligning (3.2) udledes, ( V (,T ) = E [exp [ = E [E exp ( = E [exp ( = E [exp ( = E [exp T ( T T T ] r(x s )ds )1 {τ>t } T ]] GT r(x s )ds )1 {τ>t } ) ] r(x s )ds E [1 ] GT {τ>t } ) ( T r(x s )ds exp )] (r + λ)(x s )ds )] λ(x s )ds (3.4) De bemærkes, a som konsekvens af, a vi har ilføje risiko il den risikofrie obligaionspris, får vi ersae den risikofrie diskoneringsrene, r(x ), med den inensiesjuserede risikofrie rene r(x )+λ(x ). Risikoelemene beyder derfor en lavere pris på krediobligaionen. I relaion il afsnie omkring krediobligaioner, se afsni 2.2, s. 11, svarer de il, a invesor skal have en kompensaion i form af en mér-rene på krediobligaionen, for a påage sig risikoen for a udsederen kan gå konkurs. De ses dermed, a jo højere risiko for konkurs, jo højere effekiv rene på obligaionen og jo lavere obligaionspris, før den risikofylde obligaionen er arakiv a invesere i Risikofyld Nulkuponobligaion med Sokasisk Recovery Vi går nu e skrid videre og vil prisfassæe en risikofyld nulkuponobligaion med sokasisk recovery. Ligesom den risikofrie rene og falliinensieen lader vi den risikoneurale sokasiske recovery-rae være en funkion af ilsandsvekoren, X, hvor den sokasiske recovery-rae kun anager værdier mellem 0 og 1. Den risikoneurale recovery-rae angives som δ(x ). Som beskreve beyder recovery, a obligaionsinvesorens får dække en andel af hovedsolen efer en evenuel konkurs og øger dermed værdien af obligaionen. Obligaionen besår da af o dele. Førse del er den forvenede nuidsværdien af hovedsolen ilbagebeal il invesor på id T - svarende il den risikofylde NKO udled i ligning (3.4). Anden del er den forvenede nuidsværdi af den andel af hovedsolen som dækkes, hvis virksomheden går konkurs. Hermed har vi, a prisen for krediobligaionen kan opsilles som, ( T )] [ ( τ ) ] Ṽ REC (,T ) = E [exp (r + λ)(x )ds + E exp r(x s )ds 1 {τ T } δ(xτ ) Indikaorfunkionen i de sidse led sikrer, a ledde kun har værdi, hvis virksomheden går

28 Prisfassæelse af Krediobligaioner falli i obligaionens løbeid. På selve falliidspunke, τ, vil den risikofylde NKO på vensresiden være uden værdi, således a de enese ilbageværende er den beingede forvenede værdi af recovery-andelen, δ(x ), ilbagediskonere. Vi er dog ineresserede i, hvad den forvenede værdi af Ṽ REC er, så længe virksomheden ikke er gåe konkurs og krediobligaionen dermed sadig eksiserer. Højresiden af Ṽ REC omskrives ved brug af (Lando, 2004) (side 117, ligning (5.6)), hvormed vi får ( T Ṽ REC (,T ) = E [exp [ T + E )] (r + λ)(x s )ds) ( s ) λ(x s )exp (r + λ)(x u )du ( T )] = E [exp (r + λ)(x s )ds) T ( s ) + E [λ(x s )exp (r + λ)(x u )du ] δ(x s )ds ] δ(x s ) ds. (3.5) Risikofyld Nulkuponobligaion med Konsan Recovery Hvis i sede recovery anages konsan, δ(x ) = δ vil prisen blive ( T )] V REC (,T ) = E [exp (r + λ)(x s )ds T ( s )] + δ E [λ(x s )exp (r + λ)(x u )du ds, (3.6) hvor den enese forskel er, a de nu er mulig a flye muliplikaionen med recoverysørrelsen ud foran forvenningsegne, ide den ikke længere afhænger af ilsandsvekoren, X, som ellers var ilpasse i filraionen, som den forvenede værdi er beinge med. Vi har nu funde eoreiske udryk på obligaioner med kredirisiko og sokasisk henholdsvis konsan recovery, som danner grundlag for vores prisfassæelse af krediobligaioner i de eferfølgende kapiler. Nu skal vi se på, hvordan en CDS-konrak prisfassæes i inensiesmodellen.

29 3. Prisfassæelse i Inensiesmodellen Prisfassæelse af CDS-konraker CDS-konraken besår af o ben: præmiebene (pb) og beskyelsesbene (bb). Prisfassæelsen af konraken er derfor opdel på hver af de o ben, for hvilke cash-flowe findes. For a besemme CDS-præmien, benyes de, a CDS-konrakens værdi ved indgåelse på id er 0. Dermed findes præmien som den sørrelse, der iniial gør, a de o ben bliver lig med hinanden. Beskyelsesbene (bb) Vi ager igen udgangspunk i en sokasiske recovery på den risikofylde NKO. Recovery på krediobligaionen har beydning for CDS-præmien, ide beskyelsessælgeren ved en kredihændelse kun behøver a dække en andel på (1 δ(x )) af hovedsolen. Jo højere recovery, jo lavere CDS-præmie, fordi andelen, beskyelsessælgeren risikerer a skulle beale il beskyelseskøberen, bliver mindre ved en højere recovery. I prisfassæelsen af bb, ages der højde for, a beskyelsessælgeren kun skal aflægge bealing, hvis referenceenheden går falli inden konrakens udløb. Bealingen vil da svare il andelen (1 δ(x )) af hovedsolen på den underliggende krediobligaion. Dermed bliver bb prisfassa som ( τ π bb = E [exp = T E [λ(x s )exp ) r(x s )ds ] 1 {τ T } (1 δ(x )) ) ( s (r + λ)(x u )du ] (1 δ(x s )) ds. Præmiebene (pb) Beskyelseskøberen bealer præmien, c ds (T ) indil konrakens udløb, T, eller indil falliidspunke, τ, hvis fallien indræder før udløb af konraken. CDS-konrakens præmieben (pb) besemmes da som [ +T ( i ) ] π pb = E exp r(x s )ds 1 {τ>i} c ds (T ) i=+1 [ +T = c ds (T )E exp i=+1 = c ds (T ) +T i=+1 V (,i). ( i ) ] (r + λ)(x s )ds CDS-præmien med Sokasisk Recovery Vi kan nu besemme CDS-præmien ved a sæe de o ben lig hinanden, π pb = π bb. CDSspænde, c ds, besemmes da ved

30 Prisfassæelse af CDS-konraker c ds (T ) = [ T E λ(x s )exp( s (r + λ)(x u)du)(1 δ(x ] s )) ds +T i=+1 V (,i) (3.7) CDS-præmien med Konsan Recovery Ved konsan recovery vil CDS-præmien være give ved c ds (T ) = (1 δ) T E [λ(x s )exp( s (r + λ)(x u)du)]ds +T i=+1 V (,i), (3.8) da konsanen i beskyelsesbene kan flyes ud foran den beingede forvenede værdi.

31 Del II Forvenede Værdier i e Affin Seup

32 Kapiel 4 Teoreisk Baggrund I del II vil vi redegøre for, hvordan man kan udrykke forskellige varianer af beingede forvenede værdier, som eksempelvis prisen på en krediobligaion, ved konkree lukkede udryk. Vi skal bruge e lukke udryk for a kunne kalibrere eoreiske forvenede værdier il fakiske priser, når vi senere skal analysere likvidieen på de amerikanske krediobligaionsmarked. Vi vil i dee kapiel anskueliggøre de mulidimensionale seup, og se på forskellige beregningsekniske resulaer, som vi skal anvende videre i kapiel 5 og 6 for a kunne udlede de lukkede udryk. Vi fokuserer på a præsenere eorigrundlage generel og anvendelsesorienere, således læseren får indsig i mulighederne herindenfor og evenuel kan overføre den prakiske anvendelse videre på andre problemsillinger. Da vi her i afhandlingen anvender eorien il prisfassæelser af CDS-konraker og krediobligaioner med konsan og sokasisk recovery, giver vi løbende eksempler på eoriens anvendelse i neop denne sammenhæng. 4.1 Seup Vi befinder os forsa i sandsynlighedsfele (Ω,F,Q) definere i afsni 3.1.1, s. 18, men hvor Q nu angiver e ækvivalen maringalmål på (Ω,F). I dee sandsynlighedsfel anages ilsandsvekoren, X = (X 1,...,X n ), a være en Markov-proces, for hvilken informaionen på idspunk er ilpasse filraionen F. X anager sadigvæk værdier i ilsandsrumme D R n, men specificeres nu konkre som løsningen il den sokasiske differenialligning dx = µ(x,)d + σ(x,)dw + dz, (4.1)

33 4. Teoreisk Baggrund 27 som også kaldes en springdiffusionsproces, ide den er sammensa af en diffusions- og en springproces. 1 Springdiffusionsprocessen besår af en driffunkion, µ = (µ 1 (X ),..., µ n (X )) : D R n, en volailiesfunkion σ : D R n n og en (F )-sandard Brownsk bevægelse, W = (W 1,...,W n ) i R n. Z er en ren springproces, hvor springene følger en fas sandsynlighedsfordeling υ på R n og sker med inensie {λ(x ) : 0} for e λ : D [0, [. Vi vil forudsæe a samlige funkioner, der afhænger af ilsandsvekoren, har en affin afhængighed af ilsandsvekoren. De beyder a både drifs- og volailiesfunkionen sam springinensieen i den sokasiske differenialligning, (4.1), afhænger affin af X. X løser dermed ikke blo en springdiffusion, men en affin springdiffusion. 2 På grund af den affine afhængighed af X, kan funkionerne opskrives lineær i forhold il X, hvilke er en pæn egenskab ved de affine modeller. Den lineære egenskab gør dem le hånderlige, hvilke vi også vil se senere i udledningen af de lukkede udryk. Den affine springdiffusion danner grundlag for en lang række af modeller og har være grundlag i mange empiriske analyser bland ande (Morensen, 2006) og (Chrisensen, 2007). Som eksempler på specialilfælde af den affine springdiffusion kan nævnes renemodellerne Vasicek og Cox-Ingersoll-Ross, der begge er 1-dimensionale affine diffusionsprocesser. Ved a ilsandsvekoren specificeres som den affine springdiffusion, er de mulig a specificere en ønske model for ilsandsvekoren i de affine seup. I de følgende skal vi se på, hvad der karakeriserer en springdiffusionsproces, og vi indleder med a karakerisere diffusionsdelen af processen. 4.2 Den Mulidimensionale Diffusionsproces Den n-dimensionale diffusionsproces, dvs. processen X = (X 1,...,X n ), er en proces med ilvækser, som kan beskrives ved følgende sokasiske differenialligning dx = µ(x )d + σ(x )dw, (4.2) der har driffunkionen µ : D R n og volailiesfunkionen σ : D R n n. En diffusionsproces ses a være e specialilfælde af en Iô-proces. Ved en Iô-proces forsås en sokasisk proces, (X ) 0, som løser differenialligningen dx = µ d +σ dw, hvor µ og σ i sig selv er sokasiske processer. Specialilfælde, hvor både driffunkionen, µ, og volailiesfunkionen, σ, i Iô-processen kun afhænger af X og, kaldes en diffusionsproces. 3 Den n-dimensionale sandard Brownske bevægelse, W = (W ) 0, som indgår i volailiesledde i (4.2), opfylder egenskaberne 1 For a lee noaionen bruges for fremiden noaionen µ(x,) = µ(x ) og σ(x,) = σ(x ). 2 (Duffie e al., 2000) 3 (Munk, 2011)