Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning"

Transkript

1 Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis denne nye vektor Av har samme retning som den vektor v vi startede med, har vi en ligning af form Av=λv (3.1) hvor λ er et tal. I dette afsnit skal vi systematisk undersøge under hvilke betingelser på matricen A denne situation forekommer, og for hvilke vektorer v det kan lade sig gøre. Opgaven at finde løsningerne til ligningen (3.1) kaldes egenværdiproblemet for matricen A. De mulige værdier af konstanten λ kaldes egenværdierne, og de dertil hørende vektorer kaldes egenvektorer for matricen A. Egenværdiproblemer optræder forbavsende hyppigt i matematisk behandling af tekniske problemer, og det er afgørende at være fortrolig med dette vigtige begreb. 1

2 2 CHAPTER 3. MODULPAKKE 3: EGENVÆRDIER Eksempel 3.1. Der foreligger matrixligningen ( )( ) 1 4 x1 = λ 2 3 x 2 ( x1 x 2 ) (3.2) Vektoren x=(2, 1) er egenvektor (vi viser senere, hvorledes vi har fundet denne), idet ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 2 2 = = =( 1) ( 1) 1 1

3 3.2. BESTEMMELSE AF EGENVÆRDIERNE 3 Vi ser samtidigt, at egenværdien svarende til denne egenvektor er λ = 1. For y fås ( ) ( ) 1 ( 1) Ay= = 2 ( 1) der jo ikke er proportional med y. Derfor er y ikke en egenvektor til A. For at løse ligningen (3.1) omdanner vi den til en homogen ligning gennem følgende regninger Ax=λx Ax λx=0 Ax λix=0 (3.3) Den sidste operation, hvor vi multiplicerer x med enhedsmatricen I foretager vi, fordi vi efterfølgende ønsker at sætte x uden for en parentes. Og da vi ikke kan trække skalaren λ fra matricen A, er det nødvendigt med det viste trick. Vi kan således omforme problemet til følgende homogene ligningssystem (A λi)x=0 (3.4) og sådanne har vi jo en vis erfaring i at løse. Vi kender allerede en løsning til ligningssystemet, nemlig nul-vektoren, der faktisk tilfredsstiller (3.4) for enhver værdi af λ. Vi stiller os imidlertid spørgsmålet, om der findes egentlige løsninger x (altså løsninger forskellige fra nul-vektoren). Hvis dette skal være tilfældet, så må rangen af koefficientmatricen A λi være mindre end dennes orden, for kun i så fald er der mere end én løsning. Ifølge sætning 2.2 i kapitel 2 er dette imidlertid ensbetydende med, at determinanten af koefficientmatricen er lig 0, hvilket vi kan benytte til først at bestemme egenværdierne, idet vi jo altså nu har en ligning med 1 ubekendt, nemlig λ: det(a λi)= A λi =0 (3.5) For de værdier af λ(egenværdierne), der tilfredsstiller denne ligning, kan vi herefter på sædvanlig måde løse ligningssystemet (3.4) og bestemme egenvektorerne x. 3.2 Bestemmelse af egenværdierne Med A en kvadratisk matrix af n te orden skal vi løse ligningen A λi =0 med hensyn til λ. Vi opskriver først matricen A λi a 11 a 12 a 1n a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A λi= λ = a 21 a 22 λ a 2n a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn λ

4 4 CHAPTER 3. MODULPAKKE 3: EGENVÆRDIER Vi søger værdier af λ for hvilke denne matrix har rang mindre end n. Det er det samme som at sige (jfr afsnittet om determinant) at determinanten af denne matrix skal være lig 0. Når man nedskriver determinanten med λ som ubekendt vil man få et udtryk der er et polynomium med λ som ubekendt. a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n a n1 a n2 a nn λ = c n λ n + c n 1 λ n 1 + +c 2 λ 2 + c 1 λ + c 0 Dette polynomium kaldes det karakteristiske polynomium Vi finder altså egenværdierne som løsningerne til ligningen c n λ n + c n 1 λ n 1 + +c 2 λ 2 + c 1 λ + c 0 = 0 (3.6) som betegnes den karakteristiske ligning. Eksempel 3.2. Vi skal nu se, hvorledes vi løser egenværdiproblemet givet i eksempel 5.1 ( )( ) ( ) 1 4 x1 x1 = λ 2 3 Determinanten af A λi bliver 1 λ λ = (1 λ)(3 λ) 4 2 = λ 2 4λ 5 hvorefter vi finder egenværdierne som rødderne i ligningen λ 2 4λ 5 = 0, dvs. x 2 x 2 λ = ( 4)± ( 4) ( 5) 2 = { 5 1 For hver af de to fundne egenværdier kan man nu opskrive ligningssystemet (3.4) og herved bestemme egenvektorerne. Vi vil gøre dette for λ = 1 og får da (1 ( 1))x 1 + 4x 2 = 0 2x 1 +(3 ( 1))x 2 = 0

5 3.2. BESTEMMELSE AF EGENVÆRDIERNE 5 Begge disse ligninger reduceres til 2x 1 + 4x 2 = 0, og vi har altså netop en fri parameter som vi forventer, dvs en uendelighed af egenvektorer: x= t(2, 1), t R svarende til egenværdien λ = 1. Det overlades til læseren på tilsvarende måde at bestemme egenvektorerne svarende til egenværdien λ = 5. Selv om vi benytter betegnelsen egenvektoren hørende til egenværdien ser vi at det kun er vektoren retning som er afgørende. Hvis v er en egenvektor er også t v en egenvektor. Man kan så vælge hvilken blandt alle vektorerne t v man vil kalde for egenvektoren. Det kan være den vektor der har længde 1, eller den vektor der har tallet 1 på første (eller sidste) koordinat. Eksempel 3.3. MAPLE kan finde egenværdier og egenvektorer. Hvis vi indlæser LinearAlgebra og matricen fra ovenstående eksempel, ( ) 1 4 A := 2 3 vil kommandoen > Eigenvectors(A); give følgende output [ 5 1 ] [ ] I den første søjlevektor står egenværdierne, λ = 5 og λ = 1. I den næste matrix står, som søjler, egenvektorer hørende til hhv egenværdien 5 og til egenværdien 1. Læg mærke til at MAPLE vælger at angive egenvektorer med 1 på sidste koordinat. I eksemplet ovenfor havde vi vektoren (2, 1) som egenvektor hørende til egenværdien 1, men man kan med lige så stor ret angive vektoren( 2, 1). Samtlige egenvektorer hørende til egenværdien -1 er: v= t( 2,1), t R. Samtlige egenvektorer hørende til egenværdien 5 er: v= t(1,1), t R. Vi vil nu interessere os for antallet af løsninger til den karakteristiske ligning (3.6). Her vil vi trække på Algebraens Fundamentalsætning, der er beskrevet i det indledende matematikkursus. Sætningen siger, at ethvert polynomium har en rod, og det vises, at en følge heraf er, at der gælder sætningen Ethvert n te grads polynomium har netop n rødder Rødderne kan være reelle og/eller komplekse. Derudover ligger det i sætningen, at visse rødder kan være multiple. Vi kender det fra 2.grads ligningen, hvor der kan være en dobbeltrod (vi

6 6 CHAPTER 3. MODULPAKKE 3: EGENVÆRDIER siger, at roden har den algebraiske multiplicitet 2). Hvis man faktoriserer polynomiet, kan man se, hvorvidt der er multiple rødder og hvilken multiplicitet de har. Der gælder den vigtige egenskab, at hvis koefficienterne til polynomiet er relle (sådan som de ofte vil være det i modeller i de tekniske videnskaber), så vil de komplekse rødder altid optræde parvis i form af komplekst konjugerede tal. Det betyder, at hvis α+ iβ er egenværdi, så vil også α iβ også være egenværdi. Eksempel 3.4. Polynomiet λ 3 3λ + 2 = (λ + 2)(λ 1) 2 har enkeltroden -2 og dobbeltroden 1. Polynomiet λ 3 5λ 2 + 8λ 6 = (λ (1+i))(λ (1 i))(λ 3) har enkeltrødderne 1+i, 1 i og 3, hvor de to første rødder er komplekst konjugerede. Polynomiet λ 4 + 2λ = (λ i) 2 (λ + i) 2 har dobbeltrødderne i og i. Bemærk: Når vi eksempelvis har foretaget omskrivningen λ 3 5λ 2 + 8λ 6 = (λ (1+i))(λ (1 i))(λ 3) siger vi, at vi har faktoriseret polynomiet. Vedrørende faktorisering af polynomier henvises til det grundlæggende matematikkursus. MAPLE kan faktorisere polynomier med kommandoenfactor. 3.3 Om egenvektorerne Løsningen af egenværdiproblemet baserede sig på en omformulering af dette, så det blev bragt på homogen form, hvorefter vi som ovenfor beskrevet først finder egenværdierne ved at løse den karakteristiske ligning. For hver af de fundne egenværdier kan vi så - eksempelvis ved Gauss elimination - bestemme egenvektorerne x ved at løse det homogene ligningssystem (A λi)x = 0 (3.7) Det, der herefter interesserer os, er egenvektorernes egenskaber. Hvad kan man sige om antallet af egenvektorer og disses indbyrdes relationer? Vi minder igen om at at nul-vektoren ikke regnes

7 3.3. OM EGENVEKTORERNE 7 med blandt egenvektorerne. Når vi nu bestemmer egenvektorerne ved at løse ligningssystemet (3.7), så vil rangen ρ af koefficientmatricen A λi være mindre end matricens orden n (dette har vi jo netop sørget for ved at kræve, at A λi = 0). Vi ved da fra tidligere, at der vil være en (n ρ) dobbelt uendelighed af løsninger, og disse vil (hvis de suppleres med nul-vektoren) udgøre et vektorrum af dimensionen n ρ. Spørgsmålet er altså, hvad vi kan sige om størrelsen n ρ, som vi vil kalde den geometriske multiplicitet af egenvektorerne svarende til den givne egenværdi λ. Da vi nu har to forskellige former for multiplicitet, og da disse begreber spiller en vigtig rolle i det efterfølgende, vil vi først foretage en begrebsmæssig præcisering. Algebraisk og geometrisk multiplicitet Ved løsning af egenværdiproblemet Ax = λ x fremkommer n egenværdier som rødder til det karakteristiske polynomium. Den multiplicitet, hvormed en rod optræder, kaldes den algebraiske multiplicitet. For en given egenværdi vil egenvektorerne udspænde et vektorrum. Dimensionen af dette rum kaldes den geometriske multiplicitet. Eksempel 3.5. Vi vil bestemme egenværdier og egenvektorer for matricen (3.8) Først bestemmes egenværdierne ved at løse den karakteristiske ligning 1 λ 3 0 det(a λi) = 3 1 λ λ = ( 2 λ)((1 λ)2 3 2 ) = 0 hvilket kan omformes til (λ + 2) 2 (λ 4) = 0, der har løsningerne { λ1 = 4(algebraisk multiplicitet 1) λ 2 = 2(algebraisk multiplicitet 2) Egenvektorer for λ = 4: Disse fås som løsningerne til ligningssystemet x = 0 (3.9)

8 8 CHAPTER 3. MODULPAKKE 3: EGENVÆRDIER dvs x = 0 (3.10) Rangen af koefficientmatricen er 2 og den geometriske multiplicitet er altså n ρ = 3 2 = 1 for denne egenværdi. Som løsninger til ligningssystemet (3.9) fås den enkelte uendelighed af vektorer: t(1, 1, 0), t R. Egenvektorerne til egenværdien 4 er vektorerne: x 1 = t(1,1,0), t R, t 0. Egenvektorer for λ = -2: Disse fås som løsningerne til ligningssystemet 1 ( 2) ( 2) 0 x = 0 (3.11) ( 2) Rangen af koefficientmatricen er 1 og der er altså en dobbelt uendelighed (to frie parametre) af løsninger, dvs. den geometriske multiplicitet er 2. Vi finder løsningerne af ligningen x 1 + x 2 = 0, hvor vi kan vælge x 2 og x 3 som frie variable. Egenvektorerne bliver således x 2 = t 1 ( 1,1,0)+t 2 (0,0,1), (t 1,t 2 ) R 2,(t 1,t 2 ) (0,0) idet vi som nævnt ikke ønsker at medtage nul-vektoren blandt egenvektorerne. Følgende sætning - som vi giver uden bevis - redegør for en sammenhæng mellem algebraisk og geometrisk multiplicitet. Sætning 5.2 For egenværdiproblemet Ax=λx gælder, at: Den geometriske multiplicitet for egenvektorerne svarende til en given egenværdi er mindre end eller lig den algebraiske multiplicitet af egenværdien. Denne sætning indebærer, at såfremt en egenværdi er enkeltrod i det karakteristiske polynomium, så kommer der en enkelt uendelighed af egenvektorer. Er en egenværdi derimod en r dobbelt rod i polynomiet, så vil der være r eller færre lineært uafhængige egenvektorer svarende til denne egenværdi.

9 3.3. OM EGENVEKTORERNE 9 Eksempel 3.6. For matricen (3.12) finder vi på samme måde som i ovenstående eksempel det karakteristiske polynomium (1 λ) 2 (2 λ) med dobbeltroden λ 1 = 1 og enkeltroden λ 2 = 2. Hørende til λ 1 = 1 finder vi egenvektorerne x 1 = t 1 (1,1,0), t 1 R, t 0 og hørende til λ 2 = 2 finder vi egenvektorerne x 2 = t 2 (0,1,1), t 2 R, t 0. (Det overlades til læseren selv at gennemføre de nødvendige udregninger). Vi har her et eksempel på en matrix, hvor den geometriske multiplicitet for egenvektorerne er mindre end den algebraiske multiplicitet for den tilsvarende egenværdi λ 1 = 1. MAPLE viser dette ved kun at angive en enkelt egenvektor selv om λ 1 = 1 er dobbeltrod. Vi har i det foregående beskæftiget os med antallet af egenvektorer. En anden vigtig egenskab er samspillet mellem egenvektorerne, og vi vil nu bevise følgende vigtige sætning Sætning 3.1. Egenvektorerne x 1, x 2,,x k hørende til forskellige egenværdier λ 1, λ 2,,λ k er lineært uafhængige. Bevis Vi beviser sætningen for k = 2, idet vi viser, at hvis x 1 og x 2 er egenvektorer svarende til de to forskellige egenværdier λ 1 og λ 2, da er ligningen c 1 x 1 + c 2 x 2 = 0 (3.13) kun opfyldt, hvis såvel c 1 som c 2 er nul. Ved i ligningen at multiplicere med A fås c 1 Ax 1 + c 2 Ax 2 = 0 dvs. c 1 λ 1 x 1 + c 2 λ 2 x 2 = 0 (3.14) Vi multiplicerer nu (3.13) med λ 2 og trækker fra (3.14), hvorved vi får c 1 (λ 1 λ 2 )x 1 = 0 (3.15) Da de to egenværdier er forudsat forskellige, må c 1 = 0. Ved indsættelse i (3.13) ses, at der så også må gælde, at c 2 = 0. Da nu (3.13) kun er opfyldt, hvis begge konstanter c 1 og c 2 er nul, er de to egenvektorer lineært uafhængige.

10 10 CHAPTER 3. MODULPAKKE 3: EGENVÆRDIER 3.4 Diagonalisering af en matrix Idet vi stadig udelukkende arbejder med kvadratiske matricer, vil vi nu vise en sætning, der finder anvendelse i et stort og meget varieret antal problemstillinger. Sætningen lyder således Sætning 3.2. Antag, at en matrix A af n te orden har n lineært uafhængige egenvektorer. Hvis disse vektorer vælges som søjler i en matrix S, så vil matricen dannet som produktet S 1 AS være en diagonalmatrix Λ med A s egenværdier placeret i diagonalen, dvs.. S 1 AS=Λ Vi siger at matricen A er diagonaliseret (husk at en diagonalmatrix er en matrix, der har 0 er på pladserne uden for diagonalen). Bemærk iøvrigt, at sætningen indebærer, at A kan skrives som: A=SΛS 1, hvilket ofte anvendes ved en diagonaliseringsproces. En matrix, der kan diagonaliseres, kaldes diagonalisrbar. Der følger af sætning 5.3 den vigtige egenskab, at enhver matrix, hvis egenværdier er forskellige, er diagonalisrbar. Eksempel 3.7. I eksemplet tidligere bestemte vi egenværdier og egenvektorer for matricen A= Egenværdierne blev -2 (dobbeltrod) og 4, og for at diagonalisere A skal vi nu have 3 lineært uafhængige egenvektorer, der skal anbringes som søjler i matricen S. Dette kan gøres på mange måder, idet der jo viste sig at være en dobbelt uendelighed af egenvektorer for λ = 2 og en enkelt uendelig for λ = 4. Vi anvender følgende egenvektorer: ( 1,1,0), (0,0,1) og (1,1,0) og kan herefter opskrive matricerne S og Λ S = , Λ =

11 3.4. DIAGONALISERING AF EN MATRIX 11 Ved Gauss-Jordan elimination bestemmes den inverse matrix til S som: 1/2 1/2 0 S 1 = /2 1/2 0 Vi får da af sætning 5.4 lovning på, at S 1 AS = Λ, altså at 1/2 1/ = 1/2 1/ Lidt matrixmultiplikation viser, at dette holder stik. I et andet eksempel bestemte vi egenværdier og egenvektorer for matricen Egenværdierne blev 1 (dobbeltrod) og 2 (enkeltrod). Men her har vi det problem, at der ikke kan fremskaffes 3 lineært uafhængige egenvektorer, da den geometriske multiplicitet svarende til den første egenværdi er lig med 1. Vi kan godt konstruere en matrix S med egenvektorer, men den kan ikke inverteres, og A er altså ikke diagonalisrbar.

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Biologisk model: Epidemi

Biologisk model: Epidemi C1.2 C.7 Se forklaring i Appendiks A 1, si. 9 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen 1. Biologisk model: Epidemi... si. 1 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring... si. 9 A 2. Egenvektorer

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Ekstremum for funktion af flere variable

Ekstremum for funktion af flere variable Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver! LINEÆR ALGEBRA 30. januar 2004 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER

Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER UDKAST 7122009 Noter til An0 Inst f Matematiske Fag Gerd Grubb December 2009 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 1 Generelle resultater 11 Introduktion I tidligere kurser er der gennemgået

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Matematik H1. Lineær Algebra

Matematik H1. Lineær Algebra Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve.

Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve. Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid) Tangenthældninger langs en kurve x Retningsfelter x x(t) sin(π t) + x / π cos(π t) Jeppe Revall Frisvad

Læs mere

Lineær Algebra Dispositioner

Lineær Algebra Dispositioner Lineær Algebra Dispositioner Michael Lind Mortensen, 20071202, DAT4 12. august 2008 Indhold 1 Løsning og mindste kvadraters løsninger af lineære ligningssystemer 4 1.1 Disposition............................

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum

Læs mere

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 8 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a1,...,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 6. udgave 2016 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler dels med regnemidler.

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere