Approksimation af løsninger til systemer af første ordens differentialligninger. Anvendt på tennisbold med topspin

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Approksimation af løsninger til systemer af første ordens differentialligninger. Anvendt på tennisbold med topspin"

Transkript

1 Approksimation af løsninger til systemer af første ordens differentialligninger Anvendt på tennisbold med topspin KORT AFGANGSPROJEKT (4. SEMESTER, MSC) MAJBRITT SLOTH THOMASSEN MATEMATIK & STATISTIK AALBORG UNIVERSITET 9. JANUAR 2014

2

3 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Telefon Fax Titel: Approksimation af løsninger til systemer af første ordens differentialligninger - Anvendt på tennisbold med topspin Projektperiode: til Studieretning: Cand.scient. i matematik og idræt Vejleder: Arne Jensen, Institut for Matematiske Fag Oplagstal: 4 Sidetal: 71 Bilagsantal: 2 Afsluttet d. 9. januar 2014 Synopsis: Dette projekt omfatter approksimation af løsninger til systemer af ordinære første ordens differentialligninger. Metoderne anvendt er Eulers metode, Forbedret Euler, Heuns metode og Runge-Kutta metoden af orden fire, RK4. Peanos eksistenssætning og Osgoods entydighedssætning bevises. Brugen og effektiviteten af de numeriske metoder, illustreres ved eksempler, hvor den generelle løsning er kendt. Derudover udføres numeriske eksperimenter, med henblik på at sammenligne metoderne. Et større eksempel gennemregnes afslutningsvis. Dette eksempel omhandler hvorledes banekurven for en tennisbold påvirkes, når tennisbolden påføres et topspin. Forfatter: Majbritt Sloth Thomassen Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale.

4

5 Abstract This project deals with approximation of solutions for systems of ordinary first-order differential equations. Peano s existence theorem and Osgood s uniqeness theorem will be proved. The following methods; Euler s method, the Improved Euler method and Heun s method, will be explained and supported by underlying theory. A short general introduction to methods based on Taylor expansion will be made. Furthermore Runge-Kutta methods will be introduced, among these the classical Runge-Kutta formula of order 4, RK4. Numerical experiments concerning Euler s method, the Improved Euler method, Heun s method and RK4, will be carried out, to illustrate the underlying theory. Throughout the project the use and effectiveness of the mentioned methods will be illustrated by small examples, in which the general solution is known. Finally an example will be carried out, in which no general solution exists. This example shows the effects a topspin will have on the trajectory of a tennisball. v

6

7 Forord Dette projekt er et Kandidatspeciale for studieretning i matematik (hovedfag) og idræt (tilvalgsfag) ved Aalborg Universitet. Projektet beskræftiger sig med sædvanlige differentialligninger, med primær fokus approksimation af løsninger, samt eksistens og entydighed af løsninger. Projektperioden er forløbet fra til Der rettes stor tak til vejleder Arne Jensen for god og konstruktiv kritik under hele forløbet. Derudover tak til Tanja Sloth Thomassen for hjælp til forsidebillede. Læsevejledning Efter hvert kapitel vil det fremgå hvilke referencer, der er anvendt i det pågældende kapitel. Bagerst i rapporten forefindes en litteraturliste. Kildehenvisninger er angivet efter Harvardmetoden, og noteres med [Efternavn, år, sidetal]. I litteraturlisten er kilderne angivet med forfatter, år, titel, forlag og ISBN-nummer og derudover URL for internetsider. Figurer og tabeller er nummereret i henhold til kapitel, således at den første figur i kapitel 2 har nummer 2.1, den næste, nummer 2.2 osv. Matematiske beviser vil blive afsluttet med og eksempler afsluttet med. Alle implementeringer er foretaget i programmet Maple vii

8

9 Indholdsfortegnelse Kapitel 1 Introduktion Tennisbold med topspin Kapitel 2 Eulers metode Lokal beskrivelse af one-step metoder Eulers metode Implementering Kapitel 3 Eksistens og entydighed Peanos eksistenssætning Entydighed af løsning Kapitel 4 Metoder baseret på Taylorudvikling 25 Kapitel 5 Forbedring af Eulers metode Forbedret Euler Heuns metode Two-stage metoder Implementering Kapitel 6 Runge-Kutta metoder RK Implementering Kapitel 7 Numeriske eksperimenter Algoritmer Kapitel 8 Tennisbold med topspin Formen af C D og C M Approksimationsmetoderne Tennisbold i vakuum Tennisbold i luft Kapitel 9 Afrunding 61 Bilag A Appendiks 63 A.1 Definitioner A.2 Partielle afledede Bilag B Algoritmer 65 B.1 Forholdet mellem fejl i endepunkt B.2 Forholdet mellem maksimal fejl Litteratur 71 ix

10

11 Introduktion 1 Differentialligninger spiller ofte en vigtig rolle indenfor videnskaben. De differentialligninger, der behandles i dette projekt, er på formen dy = f (x, y) (1.1) dx hvor y er en funktion fra et interval I R ind i R d, hvor d er et positivt heltal. En løsning til (1.1) er en funktion φ(x) : I R d, der opfylder at φ (x) = f (x, φ(x)), x I Et simpelt eksempel på en sådan differentialligning er positionen af en partikel. En partikel bevæger sig langs x-aksen med hastighed givet ved den kontinuerte funktion f (t) til et givet tidspunkt t. Ved tidspunktet t 0 er partiklens position x 0. Hvis en fysiker ønsker at beskrive partiklens bevægelse, skal han dermed løse differentialligningen dx dt = f (t) (1.2) hvor løsningen antager værdien x 0 ved tispunktet t 0. Løsningen er givet ved t x(t) = x 0 + f (τ)dτ t 0 Dette ses tydeligt ved direkte indsættelse i (1.2). Fysikeren kan således bestemme partiklens position til ethvert tidspunkt t. En differentialligning som (1.1) er ikke i sig selv nok til bestemmelse af en entydig løsning. Der er derfor brug for supplerende betingelser, som i eksemplet med partiklen, hvor det var givet at positionen ved tidspunktet t 0 var x 0. En sådan ekstra betingelse kaldes en begyndelsesbetingelse. Eksistens og entydighed af en løsning til en given differentialligning, er yderst relevante emner at tage op. I kapitel 3 behandles disse emner derfor, i form af to vigtige resultater: Peanos eksistenssætning og Osgoods entydighedssætning. Det er desværre ikke altid muligt at bestemme en generel løsning til en differentialligning. I sådanne tilfælde er det derfor nødvendigt at anvende en eller flere numeriske metoder til at approksimere en løsning. Det er netop disse uløselige differentialligninger og metoder til at approksimere en løsning dertil, der er omdrejningspunktet for dette projekt. Der vil blive gennemgået følgende approksimationsmetoder Eulers metode (kapitel 2) Metoder baseret på Taylorudvikling (kapitel 4) Forbedret Eulers metode (kapitel 5) Heuns metode (kapitel 5) Runge-Kutta metoder, herunder RK4. (kapitel 6) 1

12 KAPITEL 1. INTRODUKTION Der er naturligvis forskel på, hvor effektive de forskellige metoder er, hvilket derfor berøres undervejs for hver enkelt metode. Brugen og effektiviteten af de forskellige metoder vil undervejs blive illustreret vha. mindre eksempler, hvor den eksakte løsning er kendt, således at der er noget at sammenholde de approksimerede løsninger med. Derudover vil et større eksempel afslutningsvist blive gennemregnet. En introduktion til dette eksempel er givet nedenfor. 1.1 Tennisbold med topspin Et af de steder, hvor disse uløselige differentialligninger opstår, er når der sættes spin på en tennisbold. Når en tennisspiller udfører et slag med topspin tilfører han bolden en hastighed, i form af en vektor v, rettet mod modspillerens banehalvdel. Derudover tilfører han bolden en vinkelhastighed, i form af en vektor w, der får bolden til rotere. Boldens placering under turen fra den ene banehalvdel til den anden, angives som en positionsvektor, r. Der er tre forskellige kræfter, der påvirker tennisbolden under flyvningen, disse er: Tyngdekraften F t Luftmodstanden D Magnuskraften M Disse er illustreret på figur 1.1 Figur 1.1. Illustration af de kræfter, der påvirker en roterende tennisbold. Tyngdekraften Tyngdekraften virker altid lodret på et legeme og er, når den angives som en vektor i 3 dimensioner, givet ved F t = mg hvor m er tennisboldens masse og g er en vektor, der angiver tyngdeaccelerationen, dvs. g = (0; 0; 9, 82) T. Luftmodstanden Luftmodstanden, D, for et legeme virker i den modsatte retning af hastighedsvektoren v, og er givet ved D = D L (v) v v hvor D L bestemmer størrelsen af luftmodstanden, og er på formen D L = C D 1 2 Aρ v 2 = C D πd 2 8 ρ v 2 2

13 1.1. TENNISBOLD MED TOPSPIN hvor ρ er luftmassefylde, d er tennisboldens diameter og A er tværsnitsarealet af det givne legeme, dvs. for en tennisbold lig med πd 2 /4. Koefficienten C D kan findes eksperimentielt og afhænger for en tennisbold af v og w. Formen af C D bliver behandlet i kapitel 8. Magnuskraften Magnuskraften, M, er ortogonal på hastighedsvektoren v og vinkelhastighedsvektoren w, og er givet ved w M = M L w v v hvor M L bestemmer størrelsen af magnuskraften, og er på formen M L = C M 1 2 Aρ v 2 = C M πd 2 8 ρ v 2 og afhænger således af de samme parametre som luftmodstanden, blot med koefficient C M i stedet for C D. C M afhænger ligeledes af v og w og kan findes eksperimentielt. Differetialligninger for positionsvektoren For at få opstillet et system af differentialligninger, der beskriver positionsvektorer r, skal anvendes Newtons anden lov. Denne siger at: Hvis et objekt med masse m bliver påvirket af en ydre kraft F net, vil denne forårsage en acceleration, a, af objektet i samme retning, som den ydre kraft: F net = ma Den anden ordens afledede af tennisboldens positionsvektor, mht. til tiden t, er lig med accelerationsvektoren for tennisbolden, således kan Newtons anden lov anvendes til at opstille følgende differentialligning for tennisbolden Indsættes formlerne for F t, D og M, fås så m d2 r(t) v dt 2 = F t D L v + M L = F t C D πd 2 m d2 r dt 2 = F t + D + M (1.3) w w v v 8 ρ v 2 v v + C M πd 2 w 8 ρ v 2 w v v d 2 r(t) dt 2 πd = g 2 ρ v C D 8m v + C πd 2 ρ v M 8 w m w v (1.4) Ligningen (1.4) er et system af tre anden ordens differentialligninger med begyndelsesbetingelserne r(0) = r 0 og dr dt (0) = v 0 (1.5) hvor v 0 er tennisboldens starthastighed. Systemet (1.4) har ingen generel løsning og skal derfor løses numerisk. I praksis kan problemet betragtes i to dimensioner i stedet for 3. Dette gøres ved 3

14 KAPITEL 1. INTRODUKTION at antage, at vinkelhastighedsvektoren w ligger i det horisontale plan, parallelt med y-aksen og er vinkelret på hastighedsvektoren v. For en illustration af dette se figur 1.2. Bemærk at angivelse af x- og y-akse er byttet for figur 1.1 og figur 1.2. Figur 1.2. Illustration af magnuskraft ved topspin og bagspin. Disse antagelser gør, at magnuskraften vil ligge i det vertikale plan, da den som tidligere nævnt er ortogonal på v og w. Retningen af magnuskraften bestemmes af, hvorvidt tennisbolden påføres et topspin eller et bagspin, som illustreret på figur 1.2, hvor M Top angiver magnuskraftens retning for topspin og M Bag for bagspin. Angives hastighedsvektoren ved v = [ vx v z ] Da kan de to mulige magnuskrafter skrives som M Top = M L 1 v M Bag = M L 1 v [ vz v x [ vz v x ] ] = M L v Top v = M L v Bag v Tilsvarende til (1.4), fås der i to dimensioner med topspin og med bagspin d 2 r(t) dt 2 = g T πd 2 ρ v C D 8m v + C πd 2 ρ v M 8m v Top (1.6) d 2 r(t) dt 2 = g T πd 2 ρ v C D 8m v + C πd 2 ρ v M 8m v Bag (1.7) Indfør nu et β, hvor β = 1 når tennisbolden er udsat for topspin og β = 1 ved bagspin. Indfør derudover et α givet ved α = πd2 ρ 8m Så kan (1.6) og (1.7) skrives som et system af to anden ordens differentialligninger d 2 x(t) dt 2 d 2 z(t) dt 2 = C D α v dx(t) dt = 9, 82 C D α v dz(t) dt 4 + βc M α v dz(t) dt βc M α v dx(t) dt (1.8)

15 1.1. TENNISBOLD MED TOPSPIN hvor v = x (t) 2 + z (t) 2. For at definere begyndelsesbetingelser, lad da v 0 angive vektoren for begyndelseshastigheden og θ angive vinklen mellem v 0 og x-aksen. Da haves følgende begyndelsesbetingelse hørende til (1.8) x(0) = 0, z(0) = H, dx dt (0) = v 0 cos(θ), dz dt (0) = v 0 sin(θ) hvor H angiver tennisboldens starthøjde. Dermed en introduktion til det problem, der skal løses i denne rapport. Inden dette kan gøres skal teorien bag de forskellige approksimationsmetoder gennemgås. Referencer Introduktionen er inspireret af [Petrovski, 1973, s. 3-4]. Afsnit 1.1 er primært skrevet på baggrund af [Gander og Hřebíček, 2004, s ], hvor teorien omhandlende vindmodstand er uddybet vha. [Faber, 1995, s. 264]. Derudover er Newton anden lov skrevet vha. [Bauer og Westfall, 2011, s. 107]. 5

16

17 Eulers metode 2 Eulers metode er en forholdsvis simpel metode til at approksimere en løsning til en differentialligning. Eulers metode er en såkaldt one-step metode. Indledningsvis indføres derfor relevante definitioner for one-step metoder. 2.1 Lokal beskrivelse af one-step metoder Det ønskes at approksimere en løsning til begyndelsesværdiproblemet dy dx = f (x, y), a x b, y(a) = y a (2.1) Givet et punkt x k [a, b] og et y k R d, skrives et enkelt skridt i en one-step metode generelt på formen y k+1 = y k + hφ(x k, y k ; h) (2.2) hvor h > 0 angiver skridtlængden. Funktionen Φ i (2.2) er altså definerende for approksimationsmetoden og angiver den approksimerede tilvækst per skridt. Udover vektoren y k+1 betragtes løsningen u(t) til (2.1), der passerer igennem punktet (x k, y k ), således at der haves et lokalt begyndelsesværdiproblem givet ved du dt = f (t, u), x k t x k + h, u(x k ) = y k (2.3) hvor u(t) kaldes referenceløsningen. Vektoren y k+1 har til formål at approksimere u(x k + h). For at kunne vurdere hvor god en approksimation er, indføres begrebet trunkeringsfejl. DEFINITION 2.1 Lad (x k, y k ) [a, b] R d. Den lokale trunkeringsfejl for approksiamtionsmetoden Φ i punktet (x k, y k ) er defineret ved T(x k, y k ; h) = 1 h (y k+1 u(x k + h)) (2.4) Indsættes udtrykket (2.2) for y k+1 i (2.4) fås T(x k, y k ; h) = 1 h (y k + hφ(x k, y k ; h) u(x k + h)) (2.5) = Φ(x k, y k ; h) + 1 h (y k u(x k + h)) = Φ(x k, y k ; h) 1 h (u(x k + h) u(x k )) 7

18 KAPITEL 2. EULERS METODE Den lokale trunkeringsfejl, T(x k, y k ; h), er altså differensen mellem den approksimerede funktionstilvækst og den eksakte tilvækst per skridt. Det vil sige størrelsen af den fejl, der opstår hver gang der foretages et enkelt skridt under approksimationen af løsningen til (2.1). Den næste definition anvendes til at afgøre om en given approksimationsmetode er konsistent. DEFINITION 2.2 Approksimationsmetoden Φ kaldes konsistent hvis ligeligt for alle (x k, y k ) [a, b] R d når h 0. T(x k, y k ; h) 0 (2.6) Bemærk at anvendes (2.3) vil 1 h (u(x k + h) u(x k )) f (x k, y k ) når h 0, så betragtes omskrivningen (2.5), er en approksimationsmetode Φ konsistent hvis og kun hvis Φ(x k, y k ; 0) = f (x k, y k ) for alle x k [a, b] og y k R d (2.7) DEFINITION 2.3 Approksimationsmetoden Φ siges at have orden p, hvis der eksisterer en konstant C således at T(x k, y k ; h) Ch p (2.8) ligeligt på [a, b] R d. Φ siges at have eksakt orden p hvis (2.8) ikke holder for højere værdier end p. Egenskaben (2.8) i definitionen ovenfor skrives T(x k, y k ; h) = O(h p ), h 0. Bemærk derudover at (2.8) og p > 0 vil medføre at metoden Φ er konsistent. DEFINITION 2.4 En funktion σ : [a, b] R d R d, der opfylder betingelserne 1. σ 0 2. T(x k, y k ; h) = σ(x k, y k )h p + O(h p+1 ), h 0 kaldes den principielle fejlfunktion. 2.2 Eulers metode Eulers metode er som sagt en one-step metode. Her er funktionen Φ i (2.2) givet ved Φ(x, y; h) = f (x, y) Så givet et punkt x k [a, b] og et y k R d, skrives et enkelt skridt for Eulers metode y k+1 = y k + h f (x k, y k ) (2.9) 8

19 2.2. EULERS METODE Euler foreslog denne metode i 1768 baseret på simple geometriske overvejelser, hvor hældningen f (x k, y k ) i et givet punkt (x k, y k ) følges over et interval med længde h. Derefter evalueres hældningen i punktet (x k+1 = x k + h, y k+1 ) og følges til næste punkt (x k+2, y k+2 ), osv. Før der tages hul på en generel behandling af Eulers metode, illustreres metoden med et eksempel. EKSEMPEL 2.5 Det ønskes at approksimere en løsning til begyndelsesværdiproblemet dy dx = 4x3 y, 0 x 1, y 0 = 1 (2.10). Dermed er et skridt i approksi- Approksimationen vælges udført med 6 skridt, så h = 1 0 mationen på formen 6 = 1 6 y k+1 = y k x3 k y k hvor Så det første skridt i approksimationen bliver osv. = y k x3 k y k x k = x 0 + hk = hk y 1 = y x3 0 y 0 = = 1 y 2 = y x3 1 y 1 = ( 16 ) 3 1 = , 0031 y 3 = y x3 2 y 2 = ( ) = , 0279 y 4 = y x3 3 y 3 = ( ) = , 1135 y 5 = y x3 4 y 4 = ( 46 ) = , 3334 y 6 = y x3 5 y 5 = ( 5 6 ) = , 8479 Approksimationsværdierne for punkterne (x k, y k ), for k = 0, 1,..., 6, er plottet på figur 2.1 sammen med den eksakte løsning y = exp(x 4 ). Figur 2.1. Approksimation af løsning til begyndelsesværdiproblemet (2.10), foretaget vha. Eulers metode med 6 skridt, samt den eksakte løsning y = exp(x 4 ). 9

20 KAPITEL 2. EULERS METODE Dette eksempel illustrerer brugen af Eulers metode. Det er dog nødvendigt at anvende mere end 6 skridt for at opnå en tilfredstillende approksimation af det pågældende begyndelsesværdiproblem. Eksempler med et højere antal skridt vil forekomme senere i rapporten. I Eulers metode er Φ(x k, y k ; h) = f (x k, y k ), så da f (x k, y k ) ikke afhænger af h, må Eulers metode være konsistent jævnfør (2.7). Betragtes omskrivningen af den lokale trunkeringsfejl (2.5) og anvendes det at u (x k ) = f (x k, u(x k )) = f (x k, y k ), haves T(x k, y k ; h) = f (x k, y k ) 1 h (u(x k + h) u(x k )) (2.11) = u (x k ) 1 h (u(x k + h) u(x k )) Antag nu at f C 1 [a, b] R d. Så må u C 2 [x k, x k + h]. Dermed kan Taylors sætning (se sætning A.4) anvendes på u(x k + h), så u(x k + h) = u(x k ) + u (x k )(x k + h x k ) + u (ξ) (x 2! k + h x k ) 2 = u(x k ) + hu (x k ) + h2 2 u (ξ) for et ξ (x k, x k + h). Ved denne notation bemærkes det at dette ξ kun er et enkelt tal hvis u er en funktion ind i R. Hvis u er en vektorfunktion, haves et ξ (x k, x k + h), for hver af indgangene i u. Denne notation vil dog blive anvendt i det følgende. Indsættes dette i (2.11), fås T(x k, y k ; h) = u (x k ) 1 ) (u(x h k ) + hu (x k ) + h2 2 u (ξ) u(x k ) (2.12) = h 2 u (ξ) for et ξ (x k, x k + h). Betragt nu igen det lokale begyndelsesværdiproblem (2.3). Differentieres (2.3) vha. kædereglen mht. t, fås d 2 u dt = [ f x + f y f ](t, u(t)) hvor f x er den partielle aflede af f mht. x og f y er Jacobimatricen af f mht. y. Sæt nu t = ξ, så (2.12) bliver T(x k, y k ; h) = 1 2 h[ f x + f y f ](ξ, u(ξ)), ξ (x k, x k + h) (2.13) Omskrivningen (2.13) af den lokale trunkeringfejl, viser, at hvis alle de partielle afledede af f er ligeligt begrænsede i [a, b] R d, så findes en konstant C, således at T(x k, y k ; h) Ch Hvilket medfører at Eulers metode er af orden 1, jævnfør definition 2.3, såfremt de nævnte antagelser vedrørende de partielle afledede holder. Hvis det ydermere antages, at alle de anden ordens partielle afledede af f er ligeligt begrænsede i [a, b] R d, findes et C således at da ξ (x k, x k + h). Indsættes dette i (2.12), fås u (ξ) = u (x k ) + Ch T(x k, y k ; h) = h 2 (u (x k ) + Ch) (2.14) = h 2 [ f x + f y f ](x k, y k ) h2 2 C = h 2 [ f x + f y f ](x k, y k ) + O(h 2 ), h 0 10

21 2.3. IMPLEMENTERING Af (2.14) ses det at den principielle fejlfunktion for Eulers metode er givet ved σ(x k, y k ) = h 2 [ f x + f y f ](x k, y k ) Så Eulers metode har eksakt orden 1, medmindre at f x + f y f Implementering Euler metode er implementeret i algoritme 1. Denne algoritme anvender følgened inputs f - højresiden i differentialligning dy dx = f (x, y) xnul, ynul - begyndelsesbetingelserne ynul = y(xnul). a, b - det interval [a, b] løsningen skal approksimeres over. n - antallet af skridt der anvendes. ALGORITME 1 (Eulers metode med n inddelinger). eulersmetode := proc( f, xnul, ynul, a, b, n) h := b a n ; x[0] := xnul; y[0] := ynul; Lx := [x[0]]; Ly := [y[0]]; for i from 0 to n 1 do x[i + 1] := x[i] + h; y[i + 1] := y[i] + h f (x[i], y[i]); Lx := [op(lx), x[i + 1]]; Ly := [op(ly), y[i + 1]] end do; return {Lx, Ly} end proc; Outputtet af algoritme 1, er en et sæt indeholdende en liste Lx = [x 0, x 1,..., x n ] og en liste med approksimationerne Ly = [y 0, y 1,.., y n ]. Algoritmen kan nu anvendes til at udføre eksempler med et højere antal skridt n. EKSEMPEL 2.6 Det ønskes at approksimere en løsning til begyndelsesværdiproblemet fra eksempel 2.1 dy dx = 4x3 y, 0 x 1, y 0 = 1 (2.15) I Maple skal funktionen f (x, y) defineres med kommandoen f := (x, y) 4x 3 y 11

22 KAPITEL 2. EULERS METODE Derefter kan løsninger med det ønskede antal inddelinger approksimeres vha. Eulers metode vha. algoritme 1. Ved fire inddelinger anvendes kommandoen eulersmetode( f, 0, 1, 0, 1, 4), hvorefter der fås {[0, 14, 12, 34 ] [, 1, 1, 1, 65 64, 585 ]} På figur 2.2 er approksimationer med henholdsvis 4, 8, 16 og 32 inddelinger plottet sammen med den eksakte løsning Figur 2.2. Approksimation af løsning til begyndelsesværdiproblemet (2.15), foretaget vha. Eulers metode med 4,8,16 og 32 skridt, samt den eksakte løsning y = exp(x 4 ). På tabel 2.1 ses approksimerede værdier i x = 1, samt afvigelse fra den eksakte i x = 1. n Approksimation Eksakt Fejl Tabel 2.1. Approksimeret værdi, eksakt værdi og approksimationsfejl i x = 1. Eksemplet illustrerer hvorledes de approksimerede løsninger lader til at konvergere mod den eksakte løsning, når antallet af skridt n øges. Det er ikke altid tilfældet, at numeriske approksimationsmetoder fungerer så godt som i eksempel 2.6. I det næste eksempel haves et begyndelsesværdiproblem, hvor Eulers metode bliver sat på prøve. EKSEMPEL 2.7 Betragt begyndelsesværdiproblemet dy dx = xy 3 2, 0 x 3, y0 = 1 (2.16) 12

23 2.3. IMPLEMENTERING Den eksakte løsning til begyndelsesværdiproblemet (2.16) er givet ved y = 16 (x 2 4) 2 (2.17) Så i intervallet [0, 3] er løsningen altså ikke defineret i x = 2. Dette er problematisk når løsningen ønskes approksimeret, da den approksimerede løsning ikke vil være istand til at passere x = 2 på en hensigtsmæssig måde. Algoritme 1 er anvendt til approksimere løsninger til (2.16) med henholdsvis 4,8 og 16 inddelinger. Disse er plottet på figur 2.3 sammen med den eksakte løsning (2.17). Figur 2.3. Approksimation af løsning til begyndelsesværdiproblemet (2.16), foretaget vha. Eulers metode med 4,8 og 16 skridt, samt den eksakte løsning (2.17) Af figur 2.3 ses det, hvordan de approksimerede løsninger ikke formår at passere x = 2 hensigtsmæssigt. I tabel 2.2 er de approksimerede løsninger og den eksakte løsning (2.17) evauleret i x = 3. Derudover er forskellen mellem disse angivet, altså fejlen. n Approksimation Eksakt Fejl Tabel 2.2. Approksimeret værdi, eksakt værdi og approksimationsfejl i x = 3. Af tabel 2.2 fremgår det, at størrelsen af fejlen i dette tilfælde ikke bliver mindre, når antallet af skridt øges. Referencer Dette kapitel er skrevet på baggrund af [Gautschi, 1997, s, ]. 13

24

25 Eksistens og entydighed 3 I dette kapitel behandles eksistens og entydighed af løsninger til differentialligninger. I forhold til eksistensen af en løsning bevises Peanos eksistenssætning. Entydighed af løsning belyses ved at bevise Osgoods entydighedssætning. Det bemærkes at disse resultater omhandlende, eksistens og entydighed af løsninger til differentialligningen y = f (x, y), kun vises for tilfældet hvor y R. 3.1 Peanos eksistenssætning For at forstå og bevise Peanos eksistenssætning, skal to relevante begreber defineres. DEFINITION 3.1 En familie af funktioner { f (x)} siges at være ligeligt begrænsede på intervallet [a, b], hvis der eksisterer en konstant M således at for alle f (x) { f (x)} og alle x [a, b]. f (x) < M DEFINITION 3.2 Lad U R n. En funktion f : U R n siges at være uniform ækvikontinuert på U hvis der for alle ɛ > 0 eksisterer et η = η(ɛ) > 0 således at for alle x, y U. x y < η medfører at f (x) f (y) < ɛ Beviset for Peanos eksistenssætning anvender en anden vigtig sætning af Arzelá og Ascoli, der derfor bevises i det følgende. SÆTNING 3.3 (Arzelà-Ascoli) Lad { f (x)} være en uendelig familie af funktioner f (x), der for alle x [a, b] er uniformt ækvikontinuerte og ligeligt begrænsede. Da findes en uendelig ligelig konvergent delfølge { f (x)} { f (x)}. 15

26 KAPITEL 3. EKSISTENS OG ENTYDIGHED BEVIS Da familien { f (x)} er ligeligt begrænset, findes en konstant M således at for enhver funktion f (x) { f (x)} er f (x) < M for alle x [a, b]. Dermed må enhver funktion f (x) { f (x)} ligge i rektanglet med bredde b a og højde 2M, se eventuelt figur 3.1. Lad α være et ikkenegativt heltal og konstruer den uendelige følge ɛ 1 = M 2 α+1, ɛ 2 = M 2 α+2,..., ɛ k = M,... 2α+k Lad ydermere η k = η(ɛ k ) være tallet tilknyttet ɛ k, som i definitionen af ækvikontinuitet (se definition 3.2). Lad nu α = 1 og inddel rektanglet i mindre rektangler, hver med højde ɛ 1 og bredde η 1 som på figur 3.1. Figur 3.1. Inddeling af rektanglet med bredde b a og højde 2M. Figur 3.2. Illustration, hvor det skraverede område i kolonne 1 vil indeholde uendelig mange funktioner f (x) { f (x)}. På grund den uniforme ækvikontinuitet, gælder det for alle x, y [a, b] og f (x) { f (x)}, at hvis x y < η 1 er f (x) f (y) < ɛ 1 (3.1) Dermed kan ingen af funktionerne i { f (x)} strække sig over mere end to rektangler i hver lodrette kolonne. Se f.eks. figur 3.2, hvor det skraverede område i kolonne 1 vil indeholde uendelig mange funktioner f (x) { f (x)}. Når disse funktioner forlader kolonne 1, kan de kun passere fire rektangler i kolonne 2 (se figur 3.2) og hver enkelt funktion kun igennem 2 regtangler i kolonne 2. 16

27 3.1. PEANOS EKSISTENSSÆTNING Figur 3.3. Konstruktion af et bånd, b 1, med højde 2ɛ 1. Figur 3.4. Konstruktion af et bånd, b 2, med højde 2ɛ 2. Fortsættes denne fremgangsmåde, kan et bånd med højde 2ɛ 1 konstrueres, som det på figur 3.3, der indeholder uendelig mange funktioner f (x) { f (x)}. Angiv dette bånd b 1, og lad { f 1 (x)} { f (x)} angive den uendelige familie af funktioner i bånd b 1. { f 1 (x)} kan behandles med samme metode som { f (x)}, med ɛ 2 og η 2 istedet for henholdsvis ɛ 1 og η 1. Således konstrueres et bånd b 2 med højde 2ɛ 2, som på figur 3.4. Lad { f 2 (x)} { f 1 (x)} angive den uendelige familie af funktioner i bånd b 2. Fortsættes denne konstruktion haves en uendelig følge af funktioner f 1 (x), f 2 (x),..., f k (x),... (3.2) hvor f 1 (x) { f 1 (x)}, f 2 (x) { f 2 (x)},..., f k (x) { f k (x)} og hvor alle funktioner efter f k (x) er indeholdt i et bånd med højde 2ɛ k = M. Dermed er følgen (3.2) ligelig konvergent og 2 k+α 1 sætningen er bevist. SÆTNING 3.4 (Peanos eksistenssætning) Lad funktionen f (x, y) være begrænset og kontinuert på definitionsmængden G. Da gælder det for ethvert punkt (x 0, y 0 ) G at mindst en integralekurve hørende til differentialligningen passerer igennem punktet (x 0, y 0 ) G. dy = f (x, y) (3.3) dx 17

28 KAPITEL 3. EKSISTENS OG ENTYDIGHED BEVIS Da f (x, y) er begrænset, findes en konstant M således at f (x, y) M. Tegn to linjer med hældning M og M, der begge passerer igennem punktet (x 0, y 0 ) G. Tegn dernæst to linjer x = a og x = b, således at der konstrueres to trekanter indeholdt i G, som illustreret på figur 3.5 Figur 3.5. Konstruktion af to trekanter indeholdt i G. Konstruer nu en uendelig følge af polygonlinjer, der alle passerer igennem punktet (x 0, y 0 ), vha. Eulers metode, som beskrevet i afsnit 2.2. Angiv denne følge L 1, L 2,..., L k,... (3.4) hvor længden af linjestykkerne hørende til L k går mod nul når k. Polygonlinjerne (3.4) skærer alle linjer parallelle med y-aksen en enkelt gang. Dermed er polygonlinjen L k, k = 1, 2,..., en graf for en kontinuert funktion af x. Angiv denne følge af kontinuerte funktioner φ 1 (x), φ 2 (x),..., φ k (x),... (3.5) funktionerne (3.5) kan kun forlade trekanterne ABC og ADE på figur 3.5 gennem siderne BC og DE, da den absolutte værdi for hældningen af L k er begrænset af M, for alle k = 1, 2,... Dermed er funktionerne (3.5) alle defineret på intervallet [a, b]. Derudover er følgen (3.5) ligeligt begrænset på [a, b], da alle funktionerne indenfor dette interval ligger i trekanterne ABC og ADE. Da hældningen af φ 1 (x), φ 2 (x),..., φ k (x),... er begrænset, er φ k (x 2 ) φ k (x 1 ) x 2 x M 1 for alle k = 1, 2,.. og x 1, x 2 [a, b], så sæt η = ɛ M, så vil x 2 x 1 < η medføre at φ k (x 2 ) φ k (x 1 ) M x 2 x 1 φ k (x 2 ) φ k (x 1 ) < ɛ for alle k = 1, 2,.. og x 1, x 2 [a, b]. Dermed er følgen (3.5) ækvikontinuert. Dermed opfylder følgen {φ k (x)} alle betingelser i sætning 3.2, så der eksisterer en uendelig delfølge { φ k (x)} {φ k (x)} der er ligelig konvergent på intervallet [a, b]. Angiv den tilhørende grænsefunktion φ(x) = lim k φ k (x) (3.6) 18

29 3.1. PEANOS EKSISTENSSÆTNING Da alle funktioner i følgen { φ k (x)} passerer punktet (x 0, y 0 ), opfylder φ(x) tydeligevis begyndelsesbetingelsen φ(x 0 ) = y 0. Det skal nu vises at (3.6) er en løsning til differentialligningen (3.3) i intervallet [a, b]. Betragtes intervallet [x 0, b], skal det altså vises, at for et vilkårligt x 1 [x 0, b] og vilkårligt ɛ > 0 er φ(x 2 ) φ(x 1 ) f (x x 2 x 1, φ(x 1 )) ɛ 1 givet at x 2 x 1 er tilstrækkelig lille. Da det haves at er det tilstrækkeligt at vise lim φ k (x 1 ) = φ(x 1 ) og lim φ k (x 2 ) = φ(x 2 ) k k φ k (x 2 ) φ k (x 1 ) f (x x 2 x 1, φ(x 1 )) < ɛ (3.7) 1 for tilstrækkelig stort k og tilstrækkelig lille x 2 x 1. f (x, y) er kontinuert på G, så givet et ɛ > 0 og punkter (x, y), (x 1, y 1 ) G, findes et η > 0 således at medfører at x x 1 < 2η og y y 1 < 4Mη (3.8) f (x 1, y 1 ) ɛ < f (x, y) < f (x 1, y 1 ) + ɛ (3.9) Sættet af punkter (x, y) G, der opfylder ulighederne (3.8) og (3.9) er indeholdt i et regtangel Q med bredde 4η, højde 8Mη og centrum i (x 1, y 1 ), som illustreret på figur 3.6. Figur 3.6. Regtangel Q, der indeholder de funktioner der opfylder ulighederne (3.8) og (3.9). Figur 3.7. Skraveret område indeholdende φ k (x). Vælg nu et K, således at k > K medfører at længden af linjestykkerne i Eulerlinjen L k er mindre end η og φ(x) φ k (x) < Mη for alle x [a, b]. Hvis x x 1 < 2η og k > K vil φ k (x) dermed være indeholdt i Q, da den absolutte hældning af φ k (x) er begrænset af M og afstanden mellem φ k (x) og φ(x) maksimalt er Mη. Dermed ligger φ k (x) indenfor det skraverede område på figur 3.7 og dermed i Q. Så hvis x 2 x 1 < η, er [ f (x 1, y 1 ) ɛ](x 2 x 1 ) < φ k (x 2 ) φ k (x 1 ) < [ f (x 1, y 1 ) + ɛ](x 2 x 1 ) (3.10) Det er ikke nok at bevise at der eksisterer en løsning til en given differentialligning. Det er ydermere essentielt at give betingelser for, hvornår en given løsning er entydig. 19

30 KAPITEL 3. EKSISTENS OG ENTYDIGHED 3.2 Entydighed af løsning Den typiske betingelse der kræves for entydighed af en løsning er Lipschitz betingelsen DEFINITION 3.5 Funktionen f : [a, b] R d R d opfylder Lipschitz betingelsen i dens anden variable, hvis der eksisterer en konstant L således at, der for ethvert valg af x [a, b] og y, z R d, gælder at Konstanten L kaldes en Lipschitz konstant. f (x, y) f (x, z) L y z (3.11) Der fører til en af mest kendte sætninger vedrørende entydighed af løsning for en differentialligning SÆTNING 3.6 Lad funktionen f : [a, b] R d R d være kontinuert i første variabel og opfylde Lipschitz betingelsen i anden variabel. Da eksisterer der en entydig løsning til begyndelsesværdiproblemet dy = f (x, y) dx y(a) = y a Denne sætning vil ikke blive bevist her. I stedet bevises en mere generel sætning der kaldes Osgoods entydighedssætning. Inden Osgoods entydighedssætning behandles, bliver der i det følgende set nærmere på entydigheden af løsninger til to simple typer af differentialligninger, da resultater udledt heraf, skal anvendes for at bevise Osgoods entydighedssætning. Differentialligningen dy dx = f (x): Betragtes den simple differentialligning dy = f (x) (3.12) dx og antages det, at f (x) er kontinuert på det åbne interval (a, b), så er en af løsningerne til (3.12) tydeligvis givet ved y(x) = x x 0 f (z)dz, hvor x 0, x (a, b) (3.13) Resten af løsningerne til (3.12) vil være lig (3.13) plus en vilkårlig konstant C. den generelle løsning til (3.12) kan altså skrives som y(x) = x x 0 f (z)dz + C, hvor x 0, x (a, b) (3.14) 20

31 3.2. ENTYDIGHED AF LØSNING Hvis det kræves at løsningen til (3.12) skal passere igennem et bestemt punkt (x 0, y 0 ), ses det ved indsættelse af x 0 i (3.14) at y 0 = y(x 0 ) = C. Det vil altså sige at der kun eksisterer en løsning til (3.12), der passerer igennem punktet (x 0, y 0 ), som er givet ved y(x) = x Differentialligningen dy dx = f (y): Betragt nu den simple differentialligning på formen x 0 f (z)dz + y 0, hvor x 0, x (a, b) dy = f (y) (3.15) dx Denne er næsten på samme form som (3.12), blot med en højreside lig f (y) istedet for f (x). Dog kan (3.15) omskrives, såfremt f (y) 0, til dx dy = 1 f (y) Antages det at f (y) er kontinuert på det åbne interval (a, b), kan resultaterne udledt ovenfor anvendes. Dermed findes der til ethvert punkt (x 0, y 0 ), hvor y 0 (a, b), en entydig løsning der passerer igennem, givet ved x = y y 0 1 f (z) dz + x 0, hvor y 0, y (a, b) (3.16) SÆTNING 3.7 (Osgoods entydighedssætning) Lad f (x, y) være en funktion defineret på en mængde G og φ(u) være positiv og kontinuert på (0, a]. Lad ydermere f (x, y) opfylde f (x, y 2 ) f (x, y 1 ) φ ( y 2 y 1 ) (3.17) for ethvert par af punkter (x, y 1 ), (x, y 2 ) G, og lad φ(u) opfylde at a 1 lim du = (3.18) ɛ 0 + ɛ φ(u) Da eksisterer der ikke mere end en løsning til dy dx (x 0, y 0 ) G. = f (x, y), der passerer gennem hvert punkt BEVIS Lad funktionen f (x, y) opfylde betingelserne givet i sætning 3.7. For et vilkårligt punkt (x 0, y 0 ) G, antag at der eksisterer to forskellige løsninger, y 1 (x) og y 2 (x), til differentialligningen dy dx = f (x, y), således at y 1 (x 0 ) = y 2 (x 0 ) = y 0 (3.19) Det kan antages at x 0 = 0, da x blot kan udskiftes med x + x 0. Definer nu en funktion z(x), givet ved z(x) = y 1 (x) y 2 (x) Da y 1 (x) og y 2 (x) er forskellige, eksisterer der et punkt x 1, således at z(x 1 ) = 0. Antag nu at z(x 1 ) 0. Dette medfører ikke tab af generalitet, da et modsat tilfælde kan håndteres ved at 21

32 KAPITEL 3. EKSISTENS OG ENTYDIGHED sætte z(x) = y 2 (x) y 1 (x). Antag ydermere at x 1 > 0. Her kan det modsatte tilfælde håndteres ved at udskifte x med x. Da f (x, y) opfylder (3.17), gælder det for z(x), at Betragt nu differentialligningen givet ved dz dx = d(y 2 y 1 ) dx = f (x, y 2 ) f (x, y 1 ) φ ( y 2 y 1 ) < 2φ ( y 2 y 1 ) (3.20) dy = 2φ(y) (3.21) dz Det ønskes at finde en løsning hertil, der opfylder at y(x 1 ) = z(x 1 ) = z 1. Løsningen skal altså passere gennem punktet (x 1, z 1 ). Sådan en løsning eksisterer og er entydig, da (3.21) er på samme form som (3.15), og dermed har en løsning på formen (3.16). Da funktionen φ opfylder (3.18) vil grafen for løsningen, y(x), til (3.21), gå mod den negative x-akse uden nogensinde at skære x- aksen (se evt. figur 3.8). Figur 3.8. Illustration af y(x) og z(x). Da løsningen y(x) opfylder at y(x 1 ) = z(x 1 ) og z(x) opfylder (3.20), gælder det at z (x 1 ) < 2φ(z 1 ) = 2φ(y(x 1 )) = y (x 1 ) Der eksisterer altså et ɛ > 0 således at der på intervallet (x 1 ɛ, x 1 ), gælder at z(x) > y(x) Dette gælder faktisk for alle 0 < ɛ x 1. Dette ses ved at lade x 2 være lig x 1 ɛ max, hvor ɛ max er den største værdi, for hvilken det gælder at z(x) > y(x). Derved fås Hvilket er i modstrid med (3.20), der siger at Dermed er z (x 2 ) y (x 2 ) = 2φ(y(x 2 )) = 2φ(z(x 2 )) z (x 2 ) < 2φ(z(x 2 )) (3.22) z(x) > y(x) x [0, x 1 ] (3.23) Det blev antaget tidligere at x 0 = 0, så (3.23) medfører at z(0) = z(x 0 ) > 0, hvilket er i modstrid med (3.19). Dermed kan der ikke findes to forskellige løsninger til differentialligningen dy dx = f (x, y), og sætningen er dermed bevist. Eksempler på funktioner der opfylder betingelserne for phi-funktionen i sætning 3.7 er Ku, Ku ln(u), Ku ln(u) ln( ln(u) ) hvor K er en positiv konstant. Tilfældet hvor funktionen er lig Ku er ækvivalent med Lipschitz betingelsen defineret i definition 3.5, så sætning 3.6 følger af Osgoods entydighedssætning. 22

33 3.2. ENTYDIGHED AF LØSNING Referencer Definition 3.1 er skrevet på baggrund af [Petrovski, 1973, s. 28]. Definition 3.2 er fra [Møller, 2012, s. 329], dog tilføjet egenskaben uniform. Sætning og bevis er skrevet på baggrund af [Petrovski, 1973, s ]. Sætning med bevis er skrevet på baggrund af [Petrovski, 1973, s ]. Definition 3.5 af Lipschitz betingelsen [Butcher, 2008, s. 22]. Sætning 3.6 stammer fra [Butcher, 2008, s. 23]. Teorien vedrørende entydighed af løsninger til de to simple differentialligninger, er skrevet på baggrund af [Petrovski, 1973, s ]. Osgoods entydighedssætning med bevis er skrevet på baggrund af [Petrovski, 1973, s ]. 23

34

35 Metoder baseret på Taylorudvikling 4 Betragtes Eulers metode beskrevet i afsnit 2.2, ses det at hvert skridt (2.9) approksimeres vha. Taylorudvikling med to led y k+1 = y(x k+1 ) = y(x k + h) = y(x k ) + hy (x k ) = y(x k ) + h f (x k, y k ) Det er derfor oplagt at overveje yderligere approksimationsmetoder baseret på Taylorudvikling med mere end to led. Således at hvert enkelt skridt er givet ved ( y k+1 = y k + h f [0] (x k, y k ) + h ) 2 f [1] (x k, y k ) hp 1 f [p 1] (x p! k, y k ) (4.1) Hvor de totale afledede af f er givet ved f [0] (x, y) = f (x, y) f [1] (x, y) = f x (x, y) + f y (x, y) f (x, y).. f [p+1] (x, y) = f [p] x (x, y) + f [p] y (x, y) f (x, y) Formen af (4.1) kan altså hurtigt kræve en hel del udledninger af partielle afledede af funktionen f, hvilket tidligere udgjorde en stor arbejdsbyrde. I dag kan dette dog klares vha. computere, så metoden er igen en mulighed. Funktionen Φ for en metode baseret på Taylorudvikling, er altså givet ved Φ(x k y k ; h) = f [0] (x k, y k ) + h 2 f [1] (x k, y k ) hp 1 p! p 1 h = i (i + 1)! f [i] (x k, y k ) i=0 For at vurdere metodens orden, betragtes den lokale trunkeringsfejl f [p 1] (x k, y k ) T(x k, y k ; h) = Φ(x k, y k ; h) 1 h (u(x k + h) u(x k )) (4.2) Det er nødvendigt at omskrive funktionen Φ. Dette gøres ved at udnytte at u (p+1) (t) = f [p] (t, u(t)) 25

36 KAPITEL 4. METODER BASERET PÅ TAYLORUDVIKLING som for t = x bliver så Φ(x k, y k ; h) = u (p+1) (x) = f [p] (x, y) p 1 i=0 h i (i + 1)! u(i+1) (x k ) (4.3) Antag nu at f C p på [a, b] R d, så kan Taylors sætning (A.4) anvendes på 1 h (u(x k + h) u(x k )), så (4.2) bliver T(x k, y k ; h) = Φ(x k, y k ; h) p 1 i=0 h p = u (p+1) (ξ) (p + 1)! h i h p (i + 1)! u(i+1) (x k ) u (p+1) (ξ) (p + 1)!, x k < ξ < x k + h (4.4) Bemærk at der igen med notationen u (p+1) (ξ) forståes, at der eksisterer et x k < ξ < x k + h for hver af komponenterne i funktionen u. Antages det, at den p te totale afledede af f er ligeligt begrænset i [a, b] R d, da eksisterer der en konstant C p således at hvilket medfører at u (p+1) (ξ) C p T(x k, y k ; h) C p (p + 1)! hp Så ordenen af en metode defineret ved (4.1) har altså orden p jævnfør definition 2.3. Den eksakte orden kan findes ved yderligere at antage at den (p + 1) te totale afledede af f er ligeligt begrænset i [a, b] R d, så der findes en konstant C p+1 således at u (p+1) (x k ) u (p+1) (ξ) C p+1 h Hvilket medfører at der eksisterer et C p+1 C p+1 således at Indsættes dette i (4.4) fås u (p+1) (ξ) = u (p+1) (x k ) + C p+1 h = u (p+1) (x k ) + O(h) ( ) T(x k, y k ; h) = u (p+1) h (x k ) + O(h) p (p + 1)! h p = u (p+1) (x k ) (p + 1)! + O(hp+2 ), h 0 h p = f [p] (x k, y k ) (p + 1)! + O(hp+2 ), h 0 Hvilket viser at metoden er har eksakt orden p, medmindre f [p] 0, og at den principielle fejlfunktion, jævnfør definition 2.4, er givet ved Referencer σ(x k, y k ) = f [p] 1 (x k, y k ) (p + 1)! Dette kapitel er skrevet på baggrund af [Gautschi, 1997, s ]. 26

37 Forbedring af Eulers metode 5 I dette kapitel betragtes to forbedringer af Eulers metode; Forbedret Euler og Heuns metode. Disse bygger på den samme idé, som Eulers metode, men i stedet for at følge den samme hælding over en skridtlængde h, foreslår disse metoder andre mere effektive hældinger. 5.1 Forbedret Euler Istedet for at evaulere hældningen i det punkt hvor et givet linjestykke starter, kan hældningen evauleres halvejs gennem linjestykket. Først evauleres hældningen altså i linjestykkets startpunkt (x k, y k ), derefter følges denne hældning, f (x k, y k ), over en halv skridtlængde h, hvorefter hældningen reevalueres. Den reevaluerede hældning f (x k h, y h( f (x k, y k )) anvendes herefter over hele intervallet [x k, x k+1 ]. Dette er illustreret på figur 5.1. Figur 5.1. Illustration af idéen bag Forbedret Euler. Et skridt med denne forbedring af Eulers metode kan altså skrives som ( y k+1 = y k + h f x k h, y k + 1 ) 2 h f (x k, y k ) (5.1) så Φ(x k, y k ; h) = f ( x k h, y k + 1 ) 2 h f (x k, y k ) (5.2) Bemærk at der forekommer en indlejring af f (x k, y k ) i (5.1). Når dette skal programmeres kan det 27

38 KAPITEL 5. FORBEDRING AF EULERS METODE derfor være en fordel at anvende nedenstående notation istedet. så (5.1) bliver k 1 (x k, y k ) = f (x k, y k ) ( k 2 (x k, y k ; h) = f x k h, y k + 1 ) 2 hk 1 y k+1 = y k + hk 2 Bemærk ydermere at funktionen Φ i (5.2) opfylder at Φ(x k, y k ; 0) = f (x k, y k ), og er dermed konsistent jævnfør (2.7). En anden tilgang til at forbedre Eulers metode er Heuns metode, som beskrives i det følgende. 5.2 Heuns metode Ved Heuns metode findes hvert linjestykkes hældning ved at tage gennemsnittet af hældningen i linjestykkes startpunkt og hældningen i linjestykkets endepunkt. Først evauleres hældningen altså i punktet (x k, y k ), hvorefter denne hældning følges over skridtlængden h, hvor hældningen reevalueres i punktet (x k + h, y k + h f (x k, y k )). Til sidst tages gennemsnittet af de to hældninger f (x k, y k ) og f (x k + h, y k + h f (x k, y k )). Så et skridt i Heuns metode er altså defineret ved så y k+1 = y k h ( f (x k, y k ) + f (x k + h, y k + h f (x k, y k ))) (5.3) Φ(x k, y k ; h) = 1 2 ( f (x k, y k ) + f (x k + h, y k + h f (x k, y k ))) (5.4) Bemærk igen at funktionen Φ opfylder at Φ(x k, y k ; 0) = f (x k, y k ), så Heuns metode er altså konsistent. Der sker igen en indlejring af f (x k, y k ) i (5.3), så der anvendes igen en omskrivning af (5.3), givet ved k 1 (x k, y k ) = f (x k, y k ) k 2 (x k, y k ; h) = f (x k + h, y k + hk 1 ) y k+1 = y k h (k 1 + k 2 ) Det er nu relevant at se på effekten de to ovenstående ændringer af Eulers metode. I afsnit 2.2, blev det vist, at Eulers metode er af orden 1. De to metoder i dette afsnit er begge af orden 2, hvilket vil blive vist i næste afsnit. 5.3 Two-stage metoder De to forbedringer af Eulers metode ovenfor er begge two-stage metoder. Generelt har disse metoder en Φ-funktion på formen hvor Φ(x k, y k ; h) = α 1 k 1 + α 2 k 2 k 1 (x k, y k ) = f (x k, y k ) (5.5) k 2 (x k, y k ; h) = f (x k + µh, y k + µhk 1 ) Parametrene α 1, α 2 og µ ovenfor, er alle reelle tal, der kan vælges således at ordenen af metoden maksimeres. Det vises nu, hvorledes parametrene kan vælges, så den givne metode bliver af orden 2. 28

39 5.3. TWO-STAGE METODER Først udvides funktionerne Φ og u(x k + h), hvorefter disse anvendes til at udlede et udtryk for den lokale trunkeringsfejl T(x k, y k ; h), der kan omskrives, så det fremgår hvilket valg af α 1,α 2 og µ, der er optimalt. For at lette notationen, angives det punkt, der tidligere er angivet (x k, y k ), nu med (x, y). For at udvide funktionen Φ anvendes Taylor udviklingen for en vektorfunktion af flere variable (se evt. sætning A.6) f (x + x, y + y) = f + f x x + f y y ( ) f xx ( x) f xy x y + ( y) T f yy ( y) +... (5.6) Hvor f x er den partielle afledede af f mht. x, f y er Jacobimatricen for f mht. y-variablene og f yy en vektor med Hesse matricer af f. Ydermere bemærkes det at alle funktionerne for de partielle afledede ovenfor evalueres i (x, y). Formlen (5.6) kan nu anvendes på k 2 i (5.5) ved at sætte x = µh og y = µh f, så k 2 (x, y; h) = f + f x µh + f y µh f + 1 ( ) f xx (µh) f xy µhµh f + (µh f ) T f yy µh f + O(h 3 ) (5.7) 2 = f + µh( f x + f y f ) + 1 ( ) 2 µ2 h 2 f xx + 2 f xy f + f T f yy f + O(h 3 ) Anvendes Taylor udvikling ligeledes på u(x + h), fås hvilket medfører at u(x + h) = u(x) + hu (x) + h2 2 u (x) + h3 6 u (x) + O(h 4 ) 1 h (u(x + h) u(x)) = u (x) + h 2 u (x) + h2 6 u (x) + O(h 3 ) (5.8) Her er funktionerne u (x), u (x) og u (x) givet ved u (x) = f (5.9) u (x) = f x + f y f u (x) = d( f x + f y f )(t, u(t)) dt = f x + f y f x dt dt + f x + f y f y du dt = ( f x + f y f ) x + ( f x + f y f ) y f = f xx + ( f y f ) ( x + f xy + ( f y f ) ) f y = f xx + f yx f + f y f x + f xy f + ( f y f ) y f For at omskrive u (x) yderligere, anvendes det at f yx = f xy jf. korollar A.3 i Appendiks. Derudover anvendes det at så ( fy f ) y f = ( f yy f + f y f y ) y f = f T f yy f + f 2 y f u (x) = f xx + 2 f xy f + f y f x + f T f yy f + f 2 y f = f xx + 2 f xy + f T f yy f + f y ( fx + f y f ) (5.10) Betragt nu den lokale trunkeringsfejl (se evt. definition 2.1) for en two-stage metode T(x, y; h) = α 1 k 1 + α 2 k 2 1 [u(x + h) u(x)] (5.11) h 29

40 KAPITEL 5. FORBEDRING AF EULERS METODE Indsættes k 1 = f, (5.8) og (5.7) i (5.11), fås [ T(x, y; h) = α 1 f + α 2 f + µh( f x + f y f ) + 1 ( ) ] 2 µ2 h 2 f xx + 2 f xy f + f T f yy f + O(h 3 ) [ f + h 2 ( f x + f y f ) + h2 ( f xx + 2 f xy + f T ( f yy f + f y fx + f y f )) ] + O(h 3 ) 6 = α 1 f + α 2 f + α 2 µh( f x + f y f ) + 1 ( ) 2 α 2µ 2 h 2 f xx + 2 f xy f + f T f yy f f h2 6 ( = (α 1 + α 2 1) f + ) f xx + 2 f xy + f T f yy f h2 6 ( α 2 µ 1 2 ) h( f x + f y f ) ( fy ( fx + f y f )) + O(h 3 ) + 1 [( 2 h2 α 2 µ 2 1 ) ( ) f xx + 2 f xy f + f T f yy f f y( f x + f y f ) ] + O(h 3 ) Betragtes ovenstående omskrivning af den lokale trunkeringsfejl, ses det, at de første to led kan give nul vha. et passende valg af α 1,α 2 og µ. For at få det tredje led til at give nul, skal der indføres strenge betingelser for funktionen f og dennes afledede. Den maksimale orden er derfor 2. En two-stage metode er altså af orden 2 hvis følgende ligningssystem er opfyldt α 1 + α 2 1 = 0 α 2 µ 1 2 = 0 Der kan altså vælges et vilkårligt α 2 = 0, hvorefter α 1 og µ er givet ved α 1 = 1 α 2 (5.12) µ = 1 2α 2, α 2 = 0 Forbedret Euler, beskrevet i sektion 5.1, er en two stage metode, hvor α 1 = 0, α 2 = 1 og µ = 1 2. Heuns metode, beskrevet i sektion 5.2, anvender parametrene α 1 = 1 2, α 2 = 2 1 og µ = 1. Både Forbedret Euler og Heuns metode opfylder dermed (5.12), så disse to modifikationer af Eulers metode har altså kunne hæve metodens orden fra 1 til Implementering Forbedret Euler er implementeret i algoritme 2 og Heuns metode i algoritme 3. Begge algoritmer tager samme parametre son input, som algoritme 1 fra tidligere. Disse inputs er f - højresiden i differentialligning dy dx = f (x, y) xnul, ynul - begyndelsesbetingelserne ynul = y(xnul). a, b - det interval [a, b] løsningen skal approksimeres over. n - antallet af skridt der anvendes. Outputtet er ligeledes som ved algoritme 1; et sæt indeholdende en liste Lx = [x 0, x 1,..., x n ] og en liste med approksimationerne Ly = [y 0, y 1,.., y n ]. 30

41 5.4. IMPLEMENTERING ALGORITME 2 (Forbedret Euler med n inddelinger). f orbedreteuler_1 :=proc( f, xnul, ynul, a, b, n) h := b a n ; x[0] := xnul; y[0] := ynul; Lx := [x[0]]; Ly := [y[0]]; for i from 0 to n 1 do x[i + 1] := x[i] + h; k1 := f (x[i], y[i]) ; k2 := f (x[i] + 12 h, y[i] + 12 ) h k1 ; y[i + 1] := y[i] + h k2; Lx := [op(lx), x[i + 1]]; Ly := [op(ly), y[i + 1]] end do; return {Lx, Ly} end proc; ALGORITME 3 (Heuns metode med n inddelinger). heun_1 :=proc( f, xnul, ynul, a, b, n) h := b a n ; x[0] := xnul; y[0] := ynul; Lx := [x[0]]; Ly := [y[0]]; for i from 0 to n 1 do x[i + 1] := x[i] + h; k1 := f (x[i], y[i]) ; k2 := f (x[i] + h, y[i] + h k1) ; y[i + 1] := y[i] + h (k1 + k2) ; 2 Lx := [op(lx), x[i + 1]]; Ly := [op(ly), y[i + 1]] end do; return {Lx, Ly} end proc; 31

42 KAPITEL 5. FORBEDRING AF EULERS METODE EKSEMPEL 5.1 I dette eksempel approksimeres en løsning til begyndelsesværdiproblemet fra eksempel 2.1 og 2.6, vha. Heuns metode. dy dx = 4x3 y, 0 x 1, y 0 = 1 (5.13) Løsningen er approksimeret ved anvendelse af algoritme 3 med 4, 8 og 16 skridt. De tre approksimerede løsninger er plottet på figur 5.2. Derudover kan den eksakte løsning til (5.13) ses på figur 5.3. Figur 5.2. Approksimation af løsning til (5.13) foretaget med Heuns metode med 4, 8 og 16 skridt. Figur 5.3. Eksakt løsning til (5.13) Umiddelbart virker Heuns metode bedre til at approksimere en løsning til (5.13) end Eulers metode i eksempel 2.6. Den absolutte afvigelse fra den eksakte løsning for de tre appoksimationer foretaget vha. Heuns metode er plottet på figur 5.4. Derudover er den absolutte afvigelse fra den eksakte løsning for de fire approksimationer foretaget vha. Eulers metode fra eksempel 2.6 plottet på figur 5.5. Figur 5.4. Plot af den absolutte afvigelse fra den eksakte løsning for løsninger approksimeret vha. Heuns metode. Figur 5.5. Plot af den absolutte afvigelse fra den eksakte løsning for løsninger approksimeret vha. Eulers metode. 32

Matematisk modellering og numeriske metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009 MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 19

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 19 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 19 Morten Grud Rasmussen 15. november, 2013 1 Mangeskridtsmetoder til løsning af førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.2 side 908] 1.1 Adams-Bashforth-metoder

Læs mere

Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5

Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion

Læs mere

MASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible

Læs mere

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.

Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7. Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Differentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.

Differentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h. Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den

Læs mere

1. Bevægelse med luftmodstand

1. Bevægelse med luftmodstand Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig

Læs mere

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1 1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy

Læs mere

Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method

Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Rasmus Søgaard Christensen (2008 4030) 10. juli 2011 Indhold Indhold 1 1 Introduktion 2 1.1 Systemet under betragtning.......................

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling

Læs mere

Prøveeksamen i Calculus

Prøveeksamen i Calculus Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Lokalt ekstremum DiploMat 01905

Lokalt ekstremum DiploMat 01905 Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion

Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion Thomas Arildsen, Arne Jensen, Rafael Wisniewski Version 3 31. august 2015 1 Indledning Dette dokument giver en introduktion til projektmodulet på 3.

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Den svingende streng

Den svingende streng Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Lavet af Ellen, Sophie, Laura Anna, Mads, Kristian og Mathias Fysikrapport blide forsøg Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med f

Lavet af Ellen, Sophie, Laura Anna, Mads, Kristian og Mathias Fysikrapport blide forsøg Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med f Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med forsøget er at undersøge det skrå kast, bl.a. med fokus på starthastighed, elevation og kastevidde. Teori Her følger der teori over det skrå kast Bevægelse

Læs mere

Eulers metode. Tom Pedersen //Palle Andersen. Aalborg University. Eulers metode p. 1/2

Eulers metode. Tom Pedersen //Palle Andersen. Aalborg University. Eulers metode p. 1/2 Eulers metode Tom Pedersen //Palle Andersen pa,tom@es.aau.dk Aalborg University Eulers metode p. 1/2 Differentialligninger m(t) H(t) d(h(t)) dt = 0.0125m(t) 0.001772 H(t) hvor m(t) er kendt og H(t) skal

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere