Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med

Transkript

1 Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform Differentiation af implicit funktion Test implicit funktion Jacobideterminanten Calculus Uge Sammensat funktion [S] 3.5 The chain rule Sætning (Kædereglen For f(u, u = g(x differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med F (x = f (g(xg (x For y = F (x = f(g(x skrives dx = du du dx Calculus Uge Overbevis [S] 3.5 The chain rule Bevis u = g(x + x g(x, y = f(u + u f(u giver y x = y u u x der har kædereglen dx = du du dx som grænseværdi for x 0. Calculus Uge Brug kæderegel [S] 3.5 The chain rule Eksempel 1 Find F (x for F (x = x f(u = u, u = g(x = x er differentiable med F = f g er differentiabel med f (u = 1 2 u, g (x = 2x F (x = f (g(xg (x = 1 2 x x Altså d x x2 + 1 = dx x2 + 1 Calculus Uge

2 Kæderegel i en variabel igen Sætning (Kædereglen y = f(x, x = g(t d dt f(g(t = f (g(tg (t 1 Med differentialer dx = g (tdt, dt = dx dx dt = f (xdx = f (xg (tdt Calculus Uge Kædereglen i to variable Figur t (x, y (x, y (x, y z t z t z Sammensat funktion Calculus Uge Kæderegel i to variable 2 Sætning (Kædereglen Antag at z = f(x, y er differentiabel og x(t, y(t er differentiable funktioner. Den sammensatte funktion z(t er differentiabel med dz dt = z dx x dt + z y dt Skrives også kompakt z = z x x + z y y Calculus Uge Differentialer sammensatte Bemærkning Kædereglen med differentialer, z = f(x, y. dx = dx dt dt, dz = z x ( z dx x dz = = dt dt dx + z y dt + z y dt dt Calculus Uge

3 Overbevis Bevis - kæderegel z = z z x + x y y + ɛ 1 x + ɛ 2 y giver der har kædereglen z t z x x t + z y y t som grænseværdi for t 0. dz dt = z dx x dt + z y dt Calculus Uge Brug kæderegel Eksempel 1 z = x 2 y + 3xy 4, x = sin 2t, y = cos t z x = 2xy + 3y 4, z y = x xy 3 Kædereglen giver x = 2 cos 2t, y = sin t z = z x x + z y y = (2xy + 3y 4 2 cos 2t + (x xy 3 ( sin t Heraf for t = 0 z (0 = ( ( = 6 Calculus Uge Brug kæderegel Eksempel 1 - fortsat z = x 2 y + 3xy 4, x = sin 2t, y = cos t z = (2xy + 3y 4 2 cos 2t + (x xy 3 ( sin t Og videre herfra z = (4 sin 2t cos t + 6 cos 4 t cos 2t (sin 2 2t + 12 sin 2t cos 3 t sin t Calculus Uge Test kæderegel Test Lad f(x, y = x 2 xy, x = t 2, y = t 3. Så giver kædereglen f (t = (2t 2 t 3 t 2 Løsning Udregningen Afkryds: ja nej f x = 2x y, f y = x, x = 2t, y = 3t 2 giver f = f x x + f y y = (2t 2 t 3 2t t 2 3t 2 = 4t 3 5t 4 Calculus Uge

4 To gange to kæderegel 3 Sætning (Kædereglen Antag at z = f(x, y er differentiabel og x(s, t, y(s, t er differentiable funktioner. Den sammensatte funktion z(s, t er differentiabel med z s = z x x s + z y y s z t = z x x t + z y y t Altså z s = z x x s + z y y s z t = z x x t + z y y t Calculus Uge Kæderegel udregning Eksempel 3 z = e x sin y, x = st 2, y = s 2 t z x = e x sin y, z y = e x cos y x s = t 2, x t = 2st, y s = 2st, y t = s 2 z s = z x x s + z y y s = e x sin(yt 2 + 2e x cos(yst = e st2 sin(s 2 tt 2 + 2e st2 cos(s 2 tst z t = z x x t + z y y t = 2e x sin(yst + e x cos(ys 2 = 2e st2 sin(s 2 tst + e st2 cos(s 2 ts 2 Calculus Uge Udvid til mange variable 4 Sætning (Kædereglen generelt Antag at u er en differentiabel funktion af variable x 1,, x n, som hver er differentiable funktioner af variable t 1,, t m. Så er Mere kompakt skrives u = u x u x n t i x 1 t i x n t i u t i = n j=1 u x j x j t i Calculus Uge Kæderegel kan ej undværes Eksempel 5 u = x 4 y + y 2 z 3 x = rse t, y = rs 2 e t, z = r 2 s sin t Beregn u s i (r, s, t = (2, 1, 0. u s = u x x s + u y y s + u z z s = 4x 3 yre t + (x 4 + 2yz 3 2rse t + 3y 2 z 2 r 2 sin t Calculus Uge

5 Kædereglen Eksempel 5 - fortsat x = rse t, y = rs 2 e t, z = r 2 s sin t x(2, 1, 0 = 2, y(2, 1, 0 = 2, z(2, 1, 0 = 0 u s = 4x 3 yre t + (x 4 + 2yz 3 2rse t + 3y 2 z 2 r 2 sin t u s (2, 1, 0 = ( = 192 Calculus Uge variable og matrixmultiplikation Eksempel 14.1 For en differentiabel funktion f(x 1, x 2 kan den lineære approksimation f(x 1, x 2 f(a 1, a 2 f x 1 (a 1, a 2 (x 1 a 1 + f x 2 (a 1, a 2 (x 2 a 2 skrives som en matrixmultiplikation ( f f(x 1, x 2 f(a 1, a 2 x 1 (a 1, a 2 ( f x 1 a 1 x 2 (a 1, a 2 x 2 a 2 Calculus Uge Jacobimatricen Definition 14.2 For en differentiabel afbildning f : R n R m (u 1,, u n (v 1,, v m = (f 1 (u 1,, u n,, f m (u 1,, u n er Jakobimatricen følgende m n-matrix u f 1 u (u =. f m u 1 Man bruger også betegnelsen u n. f m u n f (u = f v (u = u u (u Calculus Uge Lineær approksimation Eksempel 14.3 For en differentiabel funktion f(x kan den lineære approksimation i a skrives f(x f(a f (a(x a For f.eks. f(x 1, x 2 = (x 2 1 x 2 2, x 1 x 2 er dette ( ( 2a 1 2a 2 x 1 a 1 f(x 1, x 2 f(a 1, a 2 a 2 a 1 x 2 a 2 Calculus Uge

6 Kædereglen Sætning 14.4 For differentiable afbildninger R n er sammensætningen f R m R n g f R p g R p differentiabel og Jakobimatricen er matrixproduktet (g f (u = g (f(uf (u Hvis v = f(u og w = g(v skrives også kort w u = w v v u Calculus Uge Matricer er godt Eksempel 5 (Matrixform u = x 4 y + y 2 z 3 Beregn u s. x = rse t, y = rs 2 e t, z = r 2 s sin t u ( (r, s, t = u r u s u t x r x s x t = (u x u y u z y r y s y t z r z s z t Calculus Uge Matrixprodukt Eksempel 5 (Matrixform - fortsat u = x 4 y + y 2 z 3, x = rse t, y = rs 2 e t, z = r 2 s sin t (u r u s u t se = (4x t re t rse t 3 y x 4 + 2yz 3 3y 2 z 2 s 2 e t 2rse t rs 2 e t 2rs sin t r 2 sin t r 2 s cos t Svaret er u s = 4x 3 yre t + (x 4 + 2yz 3 2rse t + 3y 2 z 2 r 2 sin t Calculus Uge Test matrixform Test Lad ( g(x, y = (x 2 ( y 2, xy. Så er Jacobimatricen: ( x 2 y 2 2x 2y 2x 2y (a. (b. (c. x y y x x y Afkryds den rigtige: Løsning Funktionerne g 1 = x 2 y 2, g 2 = xy med giver Jacobimatrix g 1x = 2x, g 1y = 2y, g 2x = y, g 2y = x ( g 1x g 2x g 1y g 2y = ( 2x y 2y. x (a (b (c Calculus Uge

7 Implicit given funktion Implicit funktion Ligningen F (x, y = 0, F y (a, b 0 definerer en løsningsfunktion y(x med F (x, y(x = 0 for x tilpas nær a. Kædereglen giver F x x + F y y = 0 og deraf 6 y (x = F x F y Calculus Uge Kurve er graf Figur y F (x, y = 0 1 x Calculus Uge Inddirekte beregning Eksempel 8 F = x 3 + y 3 6xy = 0 F x = 3x 2 6y, F y = 3y 2 6x dx = F x F y = 3x2 6y 3y 2 6x = 2y x2 y 2 2x når F y = 3y 2 6x 0. Calculus Uge Test implicit funktion Test Lad F (x, y = e 2x + e y 2. Ligningen F (x, y = 0 definerer en funktion y(x for x nær 0. Der gælder: (a y (0 = 1. (b y (0 = 2. (c y (0 = 2. Afkryds den rigtige: (a (b (c Løsning Ligningen F (0, y = 1 + e y 2 = 0 giver e y = 1 og dermed y(0 = 0. Udregningen F x = 2e 2x, F y = e y giver y (0 = F x (0, 0/F y (0, 0 = 2/1 = 2 Calculus Uge

8 Udvid til flere variable Implicit funktion generelt F (x, y, z = 0, F z (a, b, c 0 definerer en løsningsfunktion z(x, y med F (x, y, z(x, y = 0 for (x, y tilpas nær (a, b. Kædereglen giver og deraf F x x + F y y + F z z = 0 7 z x = F x F z, z y = F y F z Calculus Uge Inddirekte beregning flere variable Eksempel 9 F = x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1 F x = 3x 2 + 6yz, F y = 3y 2 + 6xz, F z = 3z 2 + 6xy z x = F x = 3x2 6yz F z 3z 2 + 6xy = + 2yz x2 z 2 + 2xy z y = F y = 3y2 6xz F z 3z 2 + 6xy = + 2xz y2 z 2 + 2xy Calculus Uge Jacobideterminanten Definition 14.6 For en differentiabel afbildning f : R n R n (u 1,, u n (v 1,, v m = (f 1 (u 1,, u n,, f n (u 1,, u n er Jacobideterminanten determinanten af Jacobimatricen f det f u 1 1 u n u =.. f n f u 1 n Man skriver også u n det f (u = det v u (u Calculus Uge Jacobideterminanten Eksempel 14.7 For afbildning f : R 2 R 2 (u 1, u 2 (u u 2 2, u 1 u 2 er Jacobideterminanten f (u = u 1 u 2 f 2 f 2 u 1 u 2 Som udregnes f (u = 2u 1 2u 2 u 2 u 1 = 2u2 1 2u 2 2 Calculus Uge

9 Implicit funktionssætning Eksempel 14.8 Om n lineære ligninger i m + n variable f(x, y = Ax + By = c antages den delvise Jacobideterminanten f 1.. = B 0 f n y n Ligningssystemet har da en entydig løsning med frie variable x y = B 1 Ax + B 1 c Dette bestemmer y som implicit given funktion af x. Calculus Uge Implicit funktionssætning Sætning 14.9 Om n differentiable ligninger i m + n variable f(x, y = c antages den delvise Jacobideterminanten f f n f n Nær en given løsning (x, y = (a, b bestemmer løsningsmængden de variable y som en implicit given funktion af x. Der findes en differentiabel funktion g : R m R n, så g(a = b og for y = g(x er disse løsninger f(x, g(x = c. Calculus Uge Implicit funktionssætning Sætning fortsat Jacobimatricen for g er bestemt ved B 1 A Hvor og B =. f n. f n x 1 A =.. f n x 1 x m f n x m Calculus Uge Opgave Øvelse Beregn u p. u = x + y y + z x = p + r + t, y = p r + t, z = p + r t u x = 1 y + z u y = x + z (y + z 2 u z = x y (y + z 2 Calculus Uge

10 Opgave Øvelse - fortsat x = p + r + t, y = p r + t, z = p + r t u x = 1 y + z, u y = x + z (y + z 2, u z = x y (y + z 2 u p = u x x p + u y y p + u z z p u p = y + z (y + z + x + z 2 (y + z + x y 2 (y + z 2 = t p 2 Calculus Uge