Analyse af indekserede obligationer

Transkript

1 Institut for Finansiering Vejleder Svend Jakobsen Forfattere Rune Sørensen Kristian Overgaard Analyse af indekserede obligationer ( Hvad private investorer bør vide om.. Investering i indekserede obligationer ) Handelshøjskolen i Århus 2004

2 1. Indledning Problemformulering Struktur og metode Afgrænsning Datamateriale 6 2. Beskrivelse af indekserede obligationer Oversigt over de beviser, som vil blive analyseret Værdiansættelsen af den rene obligation Kredittillæg: Varighed Indekserede obligationer og skat Værdiansættelse af optionerne Forskellige optionstyper Asiatiske optioner Basket optioner Quanto optioner Modelvalg Stokastiske processer Modellering via Monte Carlo MC-simulation af basket- quanto optioner Eksplicit finite difference Stabilitetsbetingelser og konvergenshastighed Grænsebetingelser Implementering Argumentation for valg af metoder Estimering af parametre Risikofri rente: Dividende: Volatilitet Metoden for følsomhedsanalysen Den indenlandske rente Udenlandske renteniveauer Volatilitet på det underliggende aktiv Deltagelsesgraden Delta Indekserede obligationer som investeringsobjekt Enkeltaktie indekserede Tekniske detaljer 36

3 Dexia Basis / Super Evaluering af Dexia Basis / Super LBC Stabil Basis /Super Evaluering af LBC Stabil Basis / Super Geografiske indeks Tekniske detaljer Kommuninvest 2003/2006, Tranche Evaluering af DB Tranche BIG 2 A/S, PLUS Basisrente 2003/ Evaluering af Plus Basisrente Råvareindekserede Tekniske detaljer CBK Råvarer 1999/ Evaluering af CBK råvarer Sektorindekserede FIH Teletech Evaluering af FIH Teletech Valutaindekserede Tekniske detaljer A/S Storebæltsforbindelsen Evaluering af A/S Storebæltsforbindelsen Det nye Europa Basis / Super Evaluering af DNE Basis og Super Resultater af værdiansættelserne Sammenfatning og analyse af resultaterne Nøgletallenes udvikling over tiden Sammenligning af resultater for forskellige produkttyper Følsomhedsanalyse Udsteders rolle Beregning af den effektive lånerente Udstedelsesomkostningerne Fordelagtigheden for udsteder Beregning af den normale lånerente Beregning af den effektive lånerente samt fordelagtighed Hvilken rolle har deltagelsesgraden? Interessekonflikten mellem udsteder og investor Udsteders fremtidige rolle 90

4 9. Alternative investeringer Teknisk fremgangsmåde Udvalgte produkter KOMKRE Global SEK Cliq DB Tranche HNG Tryghed Vurdering af indekserede obligationer som investeringsobjekt Gode råd til den private investor Faldgruber for investor Konklusion English summary 111

5 1. Indledning I takt med det kraftigt stigende aktiemarked i anden halvdel af 1990'erne er der fremkommet en række obligationsprodukter, der er relateret til aktiemarkedet, benævnt aktieindekserede obligationer. Disse produkter har hidtil været rettet mod private investorer, der foretrækker sikkerheden i obligationsprodukter, men på den anden side er interesserede i at få mulighed for at få del i stigningerne på aktiemarkedet. Idéen i de indekserede obligationer er at sammensætte en obligation, typisk en nulkuponobligation, og en option i et produkt. Ved udløb af obligationen modtager investor hovedstolen samt den relative stigning i et aktieindeks eller lignende i obligationens løbetid multipliceret på hovedstolen. Investor er normalt garanteret at få hovedstolen udbetalt ved udløb af obligationen og vil således ikke lide tab i tilfælde af et fald i aktieindekset. Da den indekserede obligation typisk udstedes i en kurs omkring pari, er investor således garanteret at få sine penge igen ved udløb af obligationen, samtidig med at denne kan øge sit afkast i tilfælde af stigninger i et givet aktieindeks. Risikoen er, at investor ingen forrentning får af det investerede beløb på obligationen. Derudover har investor en kreditrisiko på udstederen. Der er udstedt forskellige indekserede obligationer med små og store variationer i forhold til ovenstående, heriblandt med en øvre grænse på den relative stigning i aktieindekset investor kan få del i. Eksempler på aktieindeks, der har været anvendt i aktieindekserede obligationer, er Dow Jones Eurostoxx 50 samt NIKKEI, men andre underliggende aktiver så som valutakurser eller råvarepriser er også blevet introduceret på markedet.. Det er i stigende grad blevet uoverskueligt for den mindre investor at forholde sig til de forskellige investeringsalternativer, der er inden for indekserede obligationer. Kompleksiteten for mange af de noterede beviser er steget, samtidig med at antallet af udbudte produkter er øget. Der er derfor i høj grad brug for en tilbundsgående analyse 1

6 af disse beviser med henblik på en vurdering af dem som investeringsobjekt for den private investor Problemformulering Hovedformålet med denne afhandling er at beskrive og en evaluere en stor del af de indekserede obligationer, som i dag handles på Københavns Fondsbørs. Målet er at belyse, hvor attraktive investeringsobjekter disse beviser er for den private investor. Afhandlingen behandler følgende problemstillinger: En beskrivelse af, hvad der kendetegner en indekseret obligation. Redegøre for to numeriske metoder, som kan anvendes til værdiansættelsen. Beskrive de optionstyper, som er indeholdt i de indekserede obligationer. Foretage en værdiansættelse af beviserne, og belyse hvorvidt de sælges til rimelige kurser i forhold til investor. Hvilken betydning har det faldende renteniveau haft for de indekserede obligationer. En klarlæggelse af udstederens rolle og analysere, hvad udsteder opnår ved at udstede beviserne. Er det muligt at finde alternativer investeringer i forhold til de indekserede obligationer. Disse punkter har alle til formål at understøtte en samlet vurdering af indekserede obligationer som investeringsobjekt for den private investor. De første tre punkter søger at danne en analyseramme og et teoretisk udgangspunkt, mens de efterfølgende er beregning af resultater og analyse på baggrund af disse. Analysen opdeles i tre hovedafsnit med hvert deres synsvinkel på produktet investor, udsteder og alternative placeringsmuligheder. De første to afsnit har til hensigt at belyse interessekonflikten mellem investor og udsteder, samtidig med at værdien af produktet bliver fastslået for de forskellige parter. Afsnittet, hvor de indekserede obligationer sammenholdes med alternative investeringer, skal ses som et supplement til disse afsnit for at give investor noget at holde produktet oppe mod. 2

7 1.2. Struktur og metode Denne kandidatafhandling kan opdeles i tre hovedoverskrifter - bagvedliggende teori, fremskaffelse af resultater og analyse samt vurdering af resultater. Teoridelen har til formål at danne en ramme for de senere resultater og analyser i papiret. Der indledes med en overordnet beskrivelse af indekserede obligationer, hvor opdelingen i obligations- og optionselementet introduceres. Herefter belyses investors og udsteders rolle i forhold til hinanden, samt de forskellige motiver begge har for at beskæftige sig med indekserede obligationer. Der bliver kort redegjort for de gældende skatteregler i forhold til indekserede obligationer, og mere almindelige investeringsobjekter som aktier og blåstemplede obligationer. Formålet med disse beskrivende afsnit er at give en praktisk introduktion for læseren for at give denne et bedre grundlag for at forstå de følgende, mere tekniske afsnit. Beskrivelsen efterfølges af en præsentation af den grundlæggende teori, der er nødvendig til værdiansættelse af henholdsvis optioner og obligationer. Disse afsnit skitserer den teoretiske ramme med de forudsætninger, som ligger til grund for de senere beregninger i papiret. Først beskrives, hvorledes værdiansættelsen af obligationselementet gribes an. Læseren introduceres for følsomhedsbegrebet varighed, samt den generelle model der anvendes til at estimere kredittillægget i kalkulationsrenten. Herefter præsenteres den teori, der anvendes til at værdiansætte optionselementet. Læseren indføres i Black & Scholes partielle differentialeligning, samt de forudsætninger der er gjort i forhold til dette rammeværk. Indekserede obligationer indeholder et eller flere af tre forskellige optionstyper - disse tre er: asiatisk-, basketog quantooptioner og præsenteres med deres forskellige karakteristika. Herefter følger en kort generel beskrivelse af stokastiske processer, hvilket leder op til den ene af de numeriske metoder, der anvendes til værdiansættelsen - Monte Carlo simulation. MC simulation fremstilles som generel estimationsteknik i relation til de tidligere indførte begreber basket- og quantooptioner. Dernæst præsenteres Eksplicit Finit Differens, som er den anden numeriske metode, der anvendes. Denne alternative metode medtages, da den oftest er mere effektiv, såfremt den kan implementeres. 3

8 Resultatdelen indledes med en kort gennemgang af de forskellige parametre, som ligger til grund for de resultater, der opnås. Der er argumenteres i litteraturen for forskellige måder at estimere de enkelte parametre på, og dette afsnit giver en beskrivelse af de valg, som er foretaget i forhold hertil. Dernæst introduceres de følsomhedsanalyser, der vil blive foretaget i forhold til resultaterne og de forskellige produkter. Værdiansættelsen af de forskellige indekserede obligationer har til formål at præsentere læser for et bredt udsnit af de forskellige typer værdipapirer, der er at finde inden for denne genre. Således er obligationerne blevet opdelt i hovedgrupper, og der bliver for hver af disse gennemgået et eller flere eksempler, der besidder flere kendetegn, som er karakteristisk for gruppen. De første to eksempler vil være ekstra detaljerede og har, ud over at skulle give læseren en nøje forståelse for de egenskaber, obligationen besidder, til formål at illustrere implementeringen af de to numeriske metoder. I relation til gennemgangen af de forskellige indekserede obligationer indføres der endvidere forskellige nøgletal, der har til formål at lette analysen og sammenligneligheden af de forskellige produkter. Resultaterne vil blive brugt i forhold til tre forskellige analyseafsnit. Det første er en analyse af de forskellige indekserede obligationers værdi i forhold til investor. Der tages i denne analyse udgangspunkt i de nøgletal, der tidligere er blevet introduceret, og der belyses tendenser i forhold til forskellige obligationstyper og andre faktorer. Som en afslutning på afsnittet beskrives nogle af de faldgrupper, man som investor skal være opmærksom på, når man vurderer afkastprofilen på en indekseret obligation. Afsnittet er ydermere en generel opsummering af de resultater, der blev beregnet tidligere, og er dermed samtidig en referenceramme for de senere afsnit. En anden synsvinkel på indekserede obligationer er den lånerente udsteder opnår gennem produktet. Udsteders fordele ved at skaffe kapital gennem udstedelse af indekserede obligationer vurderes. Dette gøres med udgangspunkt i den opnåede effektive lånerente, som sættes i relation til den alternative lånerente på et almindeligt obligationsmarked. Et vigtigt element i forhold til den effektive lånerente er de omkostninger, der påløber udsteder i forbindelse med udstedelsen. Afsnittet inddrager derfor disse omkostninger i kalkulationerne. Dermed bliver det muligt at vurdere, om 4

9 udsteder opnår en fordel samt at opfange tendenser over tid og forskellige produkttyper. Som en afrunding på afsnittet vurderes områder, hvor udstederen vil være i stand til at forbedre sin rolle i forhold til lånerenten gennem udstedelsen samt markedsføringen af indekserede obligationer. Afsnittet er vigtigt, da det illustrerer det interessemæssige modsætningsforhold, der er mellem investor og udsteder. I det sidste analyseafsnit opstilles alternative investeringer, som sammenlignes med fire udvalgte indekserede obligationer. Udgangspunktet for denne sammenligning er begrebet stokastisk dominans af første orden. Denne analyseramme er valgt, da den giver mulighed for direkte at rangordne investeringer i forhold til hinanden. Afsnittets formål er at påvise muligheden for relativt simpelt at opstille andre investeringsobjekter, som er de udvalgte indekserede obligationer overlegne. Til slut opstilles en række regler, som den private investor med fordel kan følge, såfremt denne ikke er i stand til at foretage en egentlig værdiansættelse af et produkt, denne overvejer at investere i. Udgangspunktet for disse overordnede retningslinjer vil være de resultater, der er blevet opnået i de tidligere afsnit. Afsnittet er tiltænkt som en drejebog for den potentielle investor i indekserede obligationer Afgrænsning Det grundlæggende datamateriale i denne afhandling udgøres af 27 forskellige indekserede obligationer. Dette udgør kun en del af de beviser, der har været og er noteret på Københavns fondsbørs. Begrænsningen er foretaget, da arbejdsbyrden ved at medtage alle beviserne vil være omfattende. De 27 produkter er valgt ud fra deres forskellighed samt deres interessante afkastprofiler. De vurderes endvidere at udgøre et repræsentativt udsnit af noterede beviser. Endvidere er der afgrænset fra at behandle beviser, hvor det tilknyttede underliggende aktiv er en rente som f.eks. Cibor eller Libor. Fokus i denne afhandling er på bevisets udstedelsestidspunkt, hvorfor der ikke vil blive foretaget en værdiansættelse på et senere tidspunkt. Samtidig vil den senere kursudviklingen heller ikke blive belyst for beviserne. 5

10 1.4. Datamateriale Størstedelen af datamaterialet er hentet på Internettet på henholdsvis og Københavns Fondsbørs på siden Dertil kommer, at der er hentet data fra databasen Datastream. Endvidere er der hentet kursdata fra til estimering af korrelationer og volatilitet, samt rentedata på nationalbankens hjemmeside I de tilfælde hvor det er muligt, er der blevet anvendt parameterestimater direkte fra prospekter og andre kilder. Kilderne vil være angivet i forbindelse med de enkelte parameterestimater. 2. Beskrivelse af indekserede obligationer Indekserede obligationer er reelt en pakke bestående af et obligationselement og et optionselement. Obligationselementet sikrer holderen af det finansielle produkt mod tab, mens optionsdelen giver investoren mulighed for et ekstra afkast. Typisk tilfalder der ingen kuponbetalinger til investoren, hvilket giver en udvikling i værdien for beviset som illustreret i nedenstående figur. Figur 2-1 Udvikling i værdi hos de enkelte elementer over løbetiden Værdi Potentielt merafkast Option Obligation Obligation Udstedelse Indfrielse Tidspunkt Kilde: Egen tilvirkning 6

11 Obligationsdelen stiger med den interne rente op til udløbstidspunktet, hvor den indløses til hovedstolens værdi. Det eventuelle merafkast er afhængigt af kursudviklingen i det underliggende aktiv, der dikterer optionens afkast. Dette tillægsafkast er potentielt, og behøver ikke at ende med nogen værdi. Obligationsdelen udgør stort set altid en meget stor del af den samlede værdi. Formålet med denne fordeling er at sikre investor mod nominelle tab i sin investering. Denne vægtning går naturligvis ud over den værdi, der tildeles optionselementet. Ved at kombinere obligationer og optioner opnås først og fremmest en højere sikkerhed end ved direkte investeringer i de tilknyttede aktier. Samtidig er der principielt ubegrænsede muligheder for afkast. De indekserede obligationer er primært interessante for private investorer. 1 Dette skyldes utvivlsomt, at en indekseret obligation som produkt har flere attraktive karakteristika for den private investor. For det første finder mange investorer det attraktivt, at man for det meste er sikret mod nominelle tab på sin investering 2. Dette har været med til at gøre produktet populært i en tid, der har været kendetegnet af store fald på aktiemarkederne. For det andet giver indekserede obligationer den private investor mulighed for at tilegne sig interessante optioner med en lang løbetid. Noget der bl.a. grundet transaktionsomkostninger ikke ville være muligt for andet end professionelle investorer. Dermed har udstederne af indekserede obligationer en engrosfunktion, hvor man så at sige sammenstykker en obligation og et optionselement til en pakke og sælger den videre til private, der ellers ikke kunne erhverve sådanne værdipapirer. 3 Endelig er der visse skattemæssige fordele ved at investere i indekserede obligationer. Disse vil blive behandlet senere i et selvstændigt afsnit. Investor skal tage hensyn til flere forskellige faktorer, når denne overvejer at investere i indekserede obligationer. Alle betalinger kommer fra udstederen af obligationen. Jakobsen (2000) 2 Der kan hos flere indekserede obligationer forekomme meget små nominelle tab. F. eks hvis obligationen kun lyder på 95% af købsprisen. 3 Jakobsen (2000) 7

12 Derfor er dennes kreditrating vigtig, når man vurderer værdien af papiret, da en god kreditrating medfører en højere nutidsværdi af obligationens betalingsrække. Det er her betryggende for investor, at udstederne på det danske marked hidtil har haft en høj rating hos ratingbureauerne. Dog vil forskellen i rating stadig spille ind i forhold til den diskonteringsrente, investor skal kalkulere med. Det vil senere blive beskrevet, hvordan denne forskel kvantificeres og indkalkuleres i værdien for det enkelte produkt. Investor skal vigtigst af alt kunne sætte sig ind i, hvilken betydning optionens afkastprofil, samt udsteders valg af underliggende aktiver, har for den indekserede obligations afkastmuligheder. Som det senere vil stå klart, er det nok de færreste private investorer, der besidder forudsætningerne for at overskue, hvilke konsekvenser disse faktorer har for deres afkastmuligheder, og dermed hvad det enkelte produkt reelt er værd. Likviditeten for de indekserede obligationer er generelt lav, men der er en stor forskel de forskellige produkter imellem. En lav likviditet kommer til udtryk ved et større spread i udbuds- og købsprisen. Dermed bevirker en lav likviditet, at det bliver vanskeligere for investor at afvikle sin investering til en rimelig pris. Derfor har dette større betydning for investorer, der ønsker at handle aktivt i markedet, da der vil påløbe disse større transaktionsomkostninger i forbindelse med handlen i markedet. 4 Når man beskæftiger sig med indekserede obligationer, er det endvidere vigtigt at forstå den motivation, der er hos udstederen. Udstederens motivation for at udstede indekserede obligationer er at fremskaffe kapital. Udstederen låser oftest sin lånerente fast ved at afdække sin risiko i forhold til optionselementet fuldstændigt. Dette kan f.eks. gøres ved at købe optioner - af et finansielt firma - med nøjagtig den samme afkastprofil som den, der indgår i den indekserede obligation,, og dermed overføre risikoen til denne part. Tilbage står firmaet med en fast lånerente på de indekserede obligationer. Ofte vil processen foregå i samarbejde med det finansielle firma, der således er med til at konstruere produktet

13 I forbindelse med en udstedelse påløber der udsteder en del omkostninger. Disse udgifter omfatter bl.a. betaling til arrangøren af produktet samt betaling til Københavns Fondsbørs for noteringen. Omkostningerne varierer en del fra gang til gang og har en stor indflydelse på den effektive lånerente, udstederen er i stand til at skaffe sig. Disse er derfor et vigtigt element, når udstederens rolle senere i papiret belyses. Udsteders motivation for at udstede indekserede obligationer er utvivlsomt at opnå en favorabel finansiering. I stort set alle afkastprofilerne indgår der et variabelt element, som investor ikke kender, før tegningsperioden er overstået. Denne variabel benævnes ofte deltagelsesgrad eller afkastgrad og har til formål at sikre udsteder mod markedsudviklingen i tegningsperioden. Dermed medvirker variablen til at låse lånerenten fast og overføre denne usikkerhed til investor. Som sådan kan man dog ikke sige, at investor bliver snydt, da der stadig købes optioner for samme nominelle størrelse blot er det ikke muligt at spekulere i ændrede markedsforhold i løbet af tegningsperioden. Ikke desto mindre er det en kuriositet, at investor køber et finansielt produkt uden at kende alle de specifikationer, der dikterer afkastet. Man skal ikke undervurdere markedsføringens rolle i samspillet mellem udsteder og investor. Netop fordi der for størstedelen er tale om private investorer, vil der ofte ikke ligge en fuldstændig rationel økonomisk analyse til grund for investeringen, og man vil derfor være påvirkelig af mange andre faktorer. De fleste prospekter er da også udført i flot layout, og der forsøges ofte på at sælge den potentielle køber en historie f.eks. med baggrund i 90 ernes store stigninger på aktiemarkederne. 9

14 2.1. Oversigt over de beviser, som vil blive analyseret Tabellen herunder viser en oversigt over en række fakta for de indekserede obligationer, som vil blive analyseret i denne afhandling. Tabel 2-1: Oversigt over de indekserede obligationer. Navn Fondskode Løbetid Kupon Udst. Kurs Indfrikurs Dexia Basis DKK jun jun % Dexia Super DKK jun jun % Stabil Basis DK feb feb % Stabil Super DK feb feb % KOMKRE Global DKK maj nov % KOMKRE Global DKK dec dec % Komkre GPLUS DK okt nov % KOMKRE Japan DK maj maj % CBK Japan/Europa DKK nov maj % CBK Global DKK jan jan % Global EUR DK mar mar % Global NOK100 NO mar mar % Global NOK150 NO mar mar % SEK DB CLIQ DK jul aug ,25% SEK Europa DK jan jan % PLUS Basisrente DK apr apr ,50% PLUS Ekstrarente DK apr apr % HNG Chance DK sep sep % HNG Tryghed DK sep sep % CBK Råvarer DKK jun jun % KOMKRE Råvarer DKK apr apr % Teletech DKK jun jun % LBK Health Care DKK maj maj % Euro mod Dollar DKK nov nov % DNE Basis DKK maj maj % 103,5 100 DNE Super DKK maj maj % A/S Storebælt DKK jun jun % 100,5 100 Kilde: Diverse prospekter 10

15 Det ses, at de fleste af obligationerne har en løbetid på 3-5 år. Fem af obligationerne bærer kupon, mens resten er nulkupon obligationer. Udstedelseskursen er på ca. 105 og indfrielseskursen normalt på 100. Der er dog også et par tilfælde, hvor denne kun er på 90, hvilket man naturligvis skal tage højde for, når man værdiansætter obligationen Værdiansættelsen af den rene obligation I de tilfælde, hvor der er tale om en nulkuponobligation, er værdiansættelsen forholdsvis simpel. Værdien findes som: -(rente + risikopræmie)*løbetid 5 Obligationsværdi = Indfrielseskurs * e Renten findes som den risikofrie rente, taget på udstedelsestidspunktet, der matcher obligationens løbetid. Da der i alle tilfælde er tale om erhvervsobligationer, er man i forhold til værdiansættelsen nødt til at tage højde for kreditrisikoen for udsteder og derfor tillægge diskonteringsfaktoren en risikopræmie. 6 Ved kuponobligationerne bliver værdiansættelsen lidt mere kompliceret. Værdien findes her som: Løbetid Obl. værdi = Kupon * e i= 1 ( rente+ risikopræmie)* i + indfrielseskurs * e ( rente+ risikopræmie)* løbetid Værdiansættelsen kompliceres af, at det er nødvendigt at foretage en modellering af rentekurven over obligationens løbetid og anvende renterne herfra til at tilbagediskontere kuponbetalingerne og hovedstolen. Da det for alle udstederne gælder, at de har en god rating hos Moody s, er der blot to faktorer, som har afgørende betydning for værdien af den enkelte obligation: renten og løbetiden. Figur 2-2 viser, hvordan udviklingen har været for den danske rente fra januar 1998 og frem til oktober Christensen (2001) 6 Hvordan modelleringen af denne vil foregå vil fremgå af afsnit

16 Figur 2-2: Udviklingen for renten på danske statsobligationer Renteniveau 7% 6% 5% 5 årig 4% 3% 2% 1% 2-årig 3 mdr 0% Jan-98 Jan-99 Jan-00 Jan-01 Jan-02 Jan-03 Tidspunkt Kilde: Figuren viser, at den korte rente og de lidt længere renter på danske statsobligationer generelt har været faldende siden sommeren Det ses også, at renterne generelt har fulgt hinanden over hele perioden, og det meste af tiden med en svagt stigende rentekurve. En interessant betragtning er, at der ikke er noget i tabel 2-1, som tyder på, at der har været nogen udvikling i udstedelseskurserne fra sommeren 2000 og fremefter. Derfor det kan være interessant at belyse, om der har været en udvikling i sammensætningen af de indekserede obligationer over dette tidsrum. Som det ses af figur 2-1 er renteniveauet siden sommeren 2000 faldet med næsten 400 basispunkter, hvilket ud fra en simpel varighedsbetragtning alt andet lige vil føre til en værdiforøgelse på ca. 16 kurspoint for en obligation med en indfrielseskurs på 100 og en løbetid på 5 år. 7 Det må derfor formodes, at de indeholdte optioner også er blevet tilsvarende mindre værd over denne periode. Alternativt kan udstederen vælge en kortere løbetid på de indekserede obligationer. Senere i afhandlingen bliver det belyst, hvilken betydning dette rentefald har haft for de indekserede obligationer. 7 Jævnfør det senere afsnit angående varighedsberegninger 12

17 Kredittillæg: For at beregne den fair lånerente for udstederen bag den indekserede obligation, er det nødvendigt at beregne det kreditrisikotillæg, som långiver, skal kræve. For at estimere dette er der valgt en ganske simpel model. 8 Modellen er nem at anvende, da den er baseret på den kreditrating, som udstederen har hos et af de førende rating bureauer, Moody s.: Tabel 2-2: Udstedernes rating hos Moody s Udsteder Kommunekredit Kommuninvest BIG 2 A/S Landesbank Schleswig-Holstein Svensk Exportkredit Hovedstadedsregionens Naturgas Dexia Bank Belgium S.A. Christiania Bank Moody's rating Aaa Aaa Aaa Aa1 Aa1 Aa1 Aa2 Aa3 FIH A1 Kilde: Diverse prospekter Det ses, at selskaberne generelt har en høj rating, hvorfor der ikke skal forventes et stort risikotillæg på obligationerne. Modellen, der vil blive brugt til at estimere dette, ser ud som følger: 9 Rente på obligation = (rf + n * pd)/(1-pd) : rf = risikofri rente n = den andel man taber, hvis udsteder defaulter på lånet. 8 Da dette ikke er det primære fokusområde i opgaven, er det valgt at anvende en forholdsvis simpel model. Desuden vil det betyde, at fremstillingen her er noget mere overfladisk end andre steder i opgaven. 9 Kilde: Artikel: Risk Premiums 13

18 pd = sandsynligheden for, at udsteder defaulter på lånet. Figur 2-3: Modellering af risikopræmier Rente Rente = (rf +n* pd)/(1-pd) rf Risikopræmie pd Kilde: Kredittillægget modelleres som en stigende funktion af sandsynligheden, for at udsteder ikke er i stand til at indfri lånet, samt hvor stor en andel af lånet man taber, hvis udsteder ikke kan dette. På Moody s hjemmeside er der data, som viser, hvor mange defaults man har observeret indenfor hver rating kategori efter forløbet af x antal år. Disse data er vist i tabel 2-3. Tabel 2-3: Kumulative default ratios opdelt på ratings Moodys rating \ År Aaa 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,80% Aa1 0,00% 0,00% 0,03% 0,10% 1,16% Aa2 0,00% 0,00% 0,06% 0,19% 1,52% Aa3 0,02% 0,05% 0,15% 0,46% 1,97% A1 0,03% 0,09% 0,25% 0,73% 2,42% A2 0,05% 0,14% 0,34% 1,00% 2,87% A3 0,08% 0,23% 0,49% 1,18% 3,06% Kilde: 14

19 Det ses, at der er meget få defaults blandt de selskaber, som er højt ratede, og at der ikke er stor forskel på de kategorier, der er vist her. Der er her valgt at lave en simplificering, at modellere pd på baggrund af de 10 årige kumulative default-sandsynligheder, der ses af tabel 2-3. For at finde den årlige default-sandsynlighed tages der herefter et simpelt gennemsnit: Årlig pd. = pd. (10-årig kumulativ) / 10 Dermed fås følgende årlige default-sandsynligheder: Tabel 2-4: Årlige default-sandsynligheder opdelt på rating. Moodys rating Aaa Aa1 Aa2 Aa3 A1 A2 A3 Pd 0,08% 0,12% 0,05% 0,20% 0,24% 0,29% 0,31% Kilde: Egne beregninger. Det antages også, at den andel man taber, hvis udsteder defaulter, er på 60 %, da denne ligger på det niveau, som er fundet ved empiriske studier på området. 10 Hvis det antages, at den risikofrie rente er på 5 %, kan den årlige risikopræmie i forhold til en udsteder, som er rated Aaa beregnes således: basispunkter Årlig risikopræmie = ((5 % + 60 % * 0,08 %)/(1-0,08 %)) 5% 5 På samme måde kan risikopræmierne beregnes for resten af ratingniveauerne. Resultaterne fremgår af figur Gupton

20 Figur 2-4: Kredittillæg på baggrund af rating hos Moody s Basispunkter Aaa Aa1 Aa2 Aa3 A1 A2 A3 Rating (Moody's) Kilde: Egne beregninger Som figuren viser, er kredittillægget ikke ret stort, hvis udstederne har en god rating. Den stiger til 15 basispunkter, hvis udsteder er rated A1, hvilket er den dårligste rating blandt de udstedere, som er omhandlet i denne afhandling Varighed Obligationens varighed kan bl.a. ses som et mål for kursrisikoen i forhold til den effektive rente. Varigheden beregnes således: Varighed K *(1 + i) = (1 + i) * K 11 Varigheden er altid kortere end eller lig med obligationens restløbetid. Varigheden for en nulkuponobligation er lig dens restløbetid, hvilket gør det meget enkelt at foretage beregningerne i disse tilfælde. 11 Saunders (2002) 16

21 Det interessante for investor er, hvor meget kursen på obligationen vil ændre sig ved et skifte i renteniveauet. Ved at flytte lidt rundt på ovenstående formel fås følgende udtryk: Varighed * (1 + i) * K K = (1 + i) 12 Eksempelvis ville en nulkuponobligation udstedt af den danske stat i sommeren 2000 med en løbetid på 5 år, blive handlet til kurs 74,08 (rente = 6 %). Ved et rentefald på 50 basispunkter bliver kursstigningen på -5 *-0,00001 * 74,08 /1,06 1,74, hvorved kursen stiger med 2,35 %. Dette kunne også alternativt været fundet via brug af den modificerede varighed, som angiver den procentvise stigning i obligationskursen ved en renteændring på 100 basispunkter og er defineret således: Modificeret varighed Varighed = (1 + i) 13 I eksemplet ville den blive 4,72 (5 /1,06) hvorved den %-vise ændring ved et renteskifte på 50 basispunkter kan approksimeres ved at dividere dette tal med 2: = 2,36. I de tilfælde, hvor obligationen er påhæftet kuponbetalinger, bliver varighedsberegningen en anelse mere kompliceret. Da de obligationer, som analyseres i denne afhandling, ikke er påtrykt kupon på mere end maksimalt 2,5 % p.a. (Plus Basisrente), er der ikke den store forskel på restløbetiden og varigheden. Eksempelvis vil varigheden for den samme obligation som eksemplificeret overfor, blot med en årlig kupon på 2,5 %, være 4,74. Ved et rentefald på 50 basispunkter vil kursen på denne obligation stige med 2,23 %. 12 Saunders (2002) 13 Saunders (2002) 17

22 2.2. Indekserede obligationer og skat I dette afsnit beskrives de skattemæssige forhold for private investorer eller pensionsopsparere ved indekserede obligationer. Endvidere sammenholdes reglerne med de gældende regler for almindelige obligationer og aktier. For privatpersoner, der foretager en investering i indekserede obligationer, beskattes hele kursgevinsten under et. Dette medfører, at en uheldig kursudvikling i optionselementet kan fratrækkes udviklingen i obligationselementet, hvilket i denne sammenhæng giver investor en mere gunstig skattemæssig position i forhold til en almindelig investering i en obligation og en option. Som udgangspunkt beskattes afkastet på indekserede obligationer som kapitalindkomst dvs. at investor i de fleste tilfælde betaler en skatteprocent på ca Blåstemplede obligationer, som f.eks. statsobligationer, beskattes ikke mht. kursgevinster dog beskattes kuponbetalingerne stadig som kapitalindkomst. Aktiers beskatning er noget mere kompliceret og afhænger bl.a. af hvor stor en beholdning, der holdes og over hvor lang tid den holdes. Holder man i sin portefølje under kr. i over tre år er afkastet således skattefrit. Holder man en portefølje på over kr. i over tre år beskattes dennes afkast med 28 % af de første kr. og med 43 % af et eventuelt resterende afkast. Såfremt man afvikler sin aktiebeholdning inden for de tre år vil et eventuelt positivt afkast blive beskattet som kapitalindkomst. Sammenholdes beskatningen på indekserede obligationer med beskatningen på aktier og blåstemplede obligationer, er konklusionen tvetydig. På den ene side har indekserede obligationer den fordel, at afkastet beskattes samlet, og at man derfor kan trække et eventuelt tab på obligationsdelen fra optionsgevinsten. Omvendt fremstår beskatningen som udgangspunkt mindre på såvel obligationer og aktier end den er på indekserede obligationer. Skatteforholdene er altså tvetydige og man vil alt afhængig af det fremsatte scenario kunne forestille sig en skiftevis lavere effektiv rente på hhv. 14 HNG auto apr 03 og Retsinfo.dk 18

23 indekserede obligationer og en alternativ portefølje bestående af aktier og blåstemplede obligationer. Beskatningen på pensionsmidler er på 15 % for både aktier, indekserede obligationer og obligationer. Dermed er der som udgangspunkt ikke nogen skattemæssig forskel på, hvilke af de tre finansielle aktiver man investerer i. Det er dog værd at nævne, at der ikke er nogen maksimumsbegrænsning på, hvor stor en andel af ens pensionsbeholdning, der må bestå af indekserede obligationer. Dermed kan der i pensionsmæssigt øjemed være en pointe i at placere en stor andel i indekserede obligationer, såfremt man ønsker et større potentielt afkast. 3. Værdiansættelse af optionerne Alle værdiansættelser af optioner i dette papir tager udgangspunkt i Black & Scholes partielle differentialeligning: V t V V,5* σ * S * + r * S * r * V = t t 0 2 Denne ligning er udledt under nogle helt specifikke forudsætninger. Det underliggende aktiv antages at følge en lognormal random walk Ingen dividende på det underliggende aktiv Der bliver delta hedget kontinuert Der er ingen transaktionsomkostninger forbundet med køb og salg af det underliggende aktiv Ingen arbitragemuligheder 16 Flere af disse forudsætninger vil ikke være opfyldt i praksis. Således er det umuligt at hedge kontinuert i praksis, samtidig med at en afdækning i praksis som minimum vil medføre en transaktionsomkostning i form af det bid-ask spread, der er på det relevante underliggende aktiv. Endvidere er antagelsen om, at det underliggende følger en lognormal fordeling en approksimation til virkeligheden. Brud på disse forudsætninger vil have forskellige effekter på værdien af optionselementet. 15 Wilmott (2001) 16 Wilmott (2001) 19

24 Forudsætningen om ingen dividende er simpel at ophæve 17, mens flere af de andre korrektioner kræver en mere grundig behandling for at få et indblik i, hvilken effekt der vil være på optionsprisen, når de enkelte forudsætninger ikke er opfyldt. I denne hovedopgave antages det at disse forudsætninger er opfyldt. Enkelte af forudsætningerne kunne der alternativt være løst op for - f.eks. ved brug af Hoggard, Whalley & Wilmott modellen der indarbejder transaktions-omkostninger i Black & Scholes ligningen Forskellige optionstyper Selv om de forskellige afkastprofiler for de indekserede obligationer varierer meget i forhold til hinanden, er der også visse generelle ligheder. Disse ligheder vil i dette afsnit blive præsenteret i form af flere generelle optionstyper. De fleste af de finansielle produkter, der behandles i dette papir, indeholder elementer af disse optionstyper i en eller anden grad Asiatiske optioner Asiatiske optioner er optioner, hvor afkastet i en eller anden udstrækning er afhængig af en gennemsnitsbetragtning. Helt overordnet kan asiatiske optioner opdeles i average price optioner og average strike optioner. En average price call option er defineret ved, at der tages en gennemsnitsbetragtning over prisudviklingen i det underliggende aktiv. Således kan optionsafkastet beskrives som Max(0, S gns Strike). Denne gennemsnitsbetragtning indgår i stort omfang i de fleste af de afkastprofiler, der behandles i dette papir. Modsat har average strike profilen, Max(0, S T Strike gns ), ingen relevans i forhold til de indekserede obligationer, der er medtaget her. 19 V t V t V t ,5* σ * S * 2 + ( r q) * S * r * V = 0 18 Wilmott (1998) Derivatives 19 Hull (2000) 20

25 Ved en normal asiatisk option forstås en gennemsnitsbetragtning med ligelige intervaller over hele optionens løbetid. Dette er imidlertid langt fra standard, og det mest almindelige i forbindelse med indekserede obligationer er en såkaldt asian tale, hvor der tages en gennemsnitsbetragtning over dele af løbetiden op mod indfrielsen. Jo længere periode gennemsnittet tages over og jo mindre intervallerne er, jo mere vil værdien blive reduceret. Samtidig vil værdien blive reduceret, jo tidligere gennemsnitsbetragtningen påbegyndes. 20 Det gennemsnit der tages er enten aritmetisk eller geometrisk. Et aritmetisk gennemsnit er blot et simpelt gennemsnit, mens det geometriske gennemsnit er det aritmetiske gennemsnit af den naturlige logaritme til de relevante observationer. Det aritmetiske gennemsnit er det der anvendes oftest i forbindelse med indekserede obligationer Basket optioner En stor del af de indekserede obligationer, som behandles i denne hovedopgave, er såkaldte basket optioner. En basket option har et underliggende aktiv, der består af en portefølje af aktier eller indeks. Dermed inddrages spørgsmålet om korrelationen mellem de enkelte aktiver i porteføljen, og der bortdiversificeres en del af volatiliteten. Et basket element i en afkastprofil er derfor som udgangspunkt medvirkende til at reducere værdien af optionselementet Quanto optioner En quanto option er en option, hvor man til trods for at optionsafkastet er bundet til et aktiv denomineret i en valuta, har noteret optionen i en anden. Dette vil ofte være tilfældet i forbindelse med indekserede obligationer, hvor et optionsafkast f.eks. kan være afhængig af udviklingen i Nasdaq, men være noteret på Københavns fondsbørs. Dette resulterer i en form for valutasikring af optionen, forstået på den måde at udviklingen i spotkursen ikke er relevant for investor længere. Denne valutasikring behøver imidlertid ikke at være positiv for holderen af optionen, da udviklingen i spotkursen kan være såvel positiv som negativ. Det vil i denne 20 Jacobsen (2000) 21

26 forbindelse være interessant for investor at forholde sig til Fischer-effekten, der beskriver den forventede udvikling i valutakursen ud fra de respektive renteniveauer i de relevante lande. Dette vil give en retningslinie for den fordel eller ulempe, valutasikringen udgør i det specifikke tilfælde. En stor del af de beviser, der behandles i denne afhandling, indeholder quanto optioner 3.2. Modelvalg Det er ikke muligt at udlede en lukket formel til at værdiansætte det stiafhængige optionselement, som indgår i de indekserede obligationer, vi ønsker at værdiansætte. Derfor er vi nødt til at benytte os af numeriske metoder altså approksimative metoder. Der eksisterer flere numeriske metoder til at værdiansætte stiafhængige optioner Stokastiske processer Den teori, der anvendes i denne afhandling, bygger på, at aktier følger en kontinuert Ito proces, der definerer dx = a( x, t) * dt + b( x, t) * dz. Her defineres t som tiden, z som en stokastisk proces og a og b som funktioner af hhv. x og t. Denne proces er en udbygning af den mere basale Wiener proces. Den kontinuerte Ito proces opdeler aktiekursændringer i to led et deterministisk a(x,t)*dt og et stokastisk b(x,t)*dz. 21 Den kontinuerte Ito proces har flere ønskværdige egenskaber, når man forsøger at beskrive en aktiekurs bevægelse. Der er tale om en Markov proces, hvilket vil sige, at den fremtidige kursudvikling kun er afhængig af kursniveauet i dag. 22 Dette svarer til at sige, at kursen i dag fuldt ud afspejler den information, der er i den historiske kursudvikling. Med andre ord er markederne svagt efficiente. 23 Endvidere er aktiekursens bevægelse en funktion af både det nuværende kursniveau x og t. Dette medfører, at ændringerne er relative, hvilket giver et mere korrekt billede 21 Wilmott (2001) 22 Wilmott (2001) 23 Beaver (1998) 22

27 af en kursudvikling. En af de mest almindelige udgaver af den generelle Ito proces er den geometriske Browns bevægelse ds = µ * S * dt + σ * S * ε * dt. 24 Som nævnt i afsnit 2.3 er der en underliggende antagelse om, at aktivet følger en lognormal fordeling. Dette svarer til at sige, at den naturlige logaritme af det underliggende er normalfordelt 25. Hvis S antages at følge en geometrisk Browns bevægelse, kan det ved brug af Ito s lemma udledes, at 2 σ d ln S = µ * dt + σ * dz. 2 Da ændringerne i ln(s) er normalfordelte, kan følgende stokastiske proces beskrive udviklingen i det underliggende aktiv ( ) ( ) ( σ 2 r 0,5* )* dt+ σ * dt * ε S T = S t * e ; hvor dt er T-t og ε er et tilfældigt normalfordelt tal. 26 Denne konklusion er essentiel i forhold til den senere værdiansættelse gennem MC-simulation Modellering via Monte Carlo Monte Carlo simulation anvender antagelsen om, at det underliggende aktiv følger en lognormal random walk. Under antagelse af denne fordeling simuleres et antal stokastiske processer for at klarlægge udfaldsrummet for afkastet af det aktuelle finansielle instrument. Disse enkelte stier tilbagediskonteres med den risikofrie rente, og den korrekte pris for det finansielle instrument estimeres herefter ved at tage et simpelt gennemsnit over de simulerede afkast. Under antagelse af, at det underliggende aktiv følger en lognormal random walk gælder, at S ( t) + δ * S = S( t)* Exp *(( r * σ )* δ * t + σ * δ * t * φ), hvorφ er et tilfældigt tal trukket fra standard normal fordelingen. 27 Det er værd at bemærke, at de stier, der bliver simuleret, ikke er reelle stier, men risikoneutrale stier. Dermed er det udfaldsrum, der bliver simuleret, ikke en afspejling af den reelle sandsynlighedsfordeling af afkast, da den risikofrie rente anvendes i stedet for det underliggende aktivs reelle drift. 24 Wilmott (2001) 25 Hull (2000) 26 Wilmott (2001) 27 Wilmott (2001) 23

28 Nøjagtigheden af estimatet stiger i takt med antallet af simulationer. Dette er illustreret i figur 3-1, hvor konvergensen for en call option er modelleret i forhold til det analytiske Black & Scholes resultat. Figur 3-1 Konvergens mod Black & Scholes Optionspris B&S MC- Sim E+08 Antal Simulationer Kilde: Egen tilvirkning 28 Af figur 3-1 ses det, at MC simulationen konvergerer mod B & S formel i takt med, at antallet af simulationer øges. Der eksisterer flere metoder til at øge konvergenshastigheden. F.eks. kan der benyttes antitetiske variable i MC simulationen. Antitetiske variable benytter sig af, at det stokastiske element i simulationerne består af tilfældigt udtrukne tal fra den standardiserede normalfordeling. Det udnyttes således, at denne fordeling er symmetrisk, ved at spejlvende hver enkelt simulation, således at der for hvert tilfældigt udtrukket tal ε genereres en sti for både ε og ε. Et andet alternativ er at anvende kvasi tilfældige sekvenser, der er en metode, hvor de tilfældige tal genereres ud fra en deterministisk tilgangsvinkel, så de fordeles bedst muligt ud over udfaldsrummet. 29 Ingen af disse metoder vil blive anvendt i denne hovedopgave, da der beregningsmæssigt ikke har været et særligt behov for at øge konvergenshastigheden for simulationerne. 28 Der er anvendt følgende værdier til beregningen. S=100 E=110 r=5% d=2% σ=20% T-t=3 29 Wilmott (2001), Hull (2000) 24

29 MC-simulation af basket- quanto optioner Som nævnt er mange af de indeholdte basket quanto optioner, som ofte har indbygget et asiatisk element. MC simulationen skal i disse tilfælde foretages med udgangspunkt i følgende proces: S( T ) = S( t) * e ( r FX 2 S q + σ σ ρ 0,5σ )( T t) + σ ( T t) ε 30 s S FX S, FX S Som det ses, tager driften udgangspunkt i den risikofrie rente (r FX ) i det land, hvor aktivet er noteret. Dette skal være den risikofrie rente, som matcher løbetiden på obligation. Denne vil alle steder i denne afhandling blive modelleret på baggrund af renten på statsobligationerne i de pågældende lande. Som sædvanligt skal driften korrigeres for dividenden på det pågældende aktiv (q s ), men der skal også korrigeres for korrelationerne mellem aktiekursen og valutakursen. Det er valgt at antage, at denne korrelation er nul, hvorfor driften modelleres som: S( T ) = S( t) * e ( rfx 2 S q 0,5σ )( T t ) + σ ( T t ) ε s S Antagelsen er gjort, da det må forventes, at korrelationerne mellem aktiekursen og valutakursen i de fleste tilfælde er ganske lille. Dette er her eksemplificeret for et volatilitetsniveau på 30 % for aktivet og 6 % for valutakursen. Ved disse meget typiske volatilitetsniveauer vil kovariansen mellem aktivet og valutakursen (σ S σ FX ρ S,FX ) give 0,005, hvis det antages at korrelations-koefficienten er 0,3. 31 Da korrelationskoefficienten næppe er større end det, og da de i eksemplet valgte volatilitetsniveauer for aktie- og valutakurs er ganske repræsentative, må det vurderes, at denne simplificering får meget begrænset betydning for de estimerede optionsværdier. I de tilfælde, hvor indekset består af aktiver fra flere lande, vil r FX blive beregnet som et vægtet gennemsnit af de risikofrie renter i de implicerede lande. 30 Kilde: Reiner (1991), Rubinstein (1992) 31 Til sammenligning giver parameteren 0,009 ved en korrelation på 0,5 25

30 Diskonteringen af afkastet vil altid blive foretaget med den risikofrie rente, investor er i stand til at placere sine midler til. I denne afhandling tages der et dansk investorstandpunkt, hvilket medfører, at der tilbagediskonteres med den danske risikofrie rente Eksplicit finite difference Eksplicit finite difference er en approksimationsmetode, der anvender B & S s ligning mere direkte end MC simulation. Udgangspunktet er, at B & S ligning altid må gælde på alle tidspunkter og for alle værdier af det underliggende aktiv. Man opstiller et såkaldt grid og approksimerer sig tilbage gennem tiden til det ønskede punkt. Et tilfældigt grid er illustreret nedenfor i Figur 3-2 man arbejder sig fra højre tilbage igennem tiden mod venstre. Figur 3-2 Finite differens grid Værdi af det underliggende aktiv (S) Tidsdimension Kilde: Egen tilvirkning Notationsmæssigt gælder det, at S = i *δ * S og t = T k *δ * t. Det vil sige, at man bevæger sig tilbage i tiden ved at øge k. i definerer således S dimensionen, mens k definerer placeringen i forhold til tidsdimensionen. 32 Udgangspunktet for beregningerne er de såkaldte slutbetingelser og grænsebetingelser. Slutbetingelserne er værdien af optionen ved udløb, mens grænsebetingelserne er approksimationer af værdien ved meget høje eller lave værdier af det underliggende aktiv. 32 Wilmott (2001) 26

31 Med udgangspunkt i B& S s ligning approksimeres de enkelte led og det udnyttes, at Værdi _ Ny( i) = Værdi _ Gammel( i) Theta * t, hvor i repræsenterer niveauet for det underliggende aktiv, og hvor 2 2 Theta = 0,5* σ * ( S ) * Gamma r * S * Delta + r * Vgammel( i), hvilket blot er en omskrivning af B & S ligningen. Værdi_Ny repræsenterer her et skridt tilbage i tiden. 33 De enkelte termer i de ovennævnte matematiske sammenhænge kan approksimeres ved enten forward- backward- eller central difference. I denne afhandling vil der blive anvendt central difference, da denne metode er den mest nøjagtige af de tre Stabilitetsbetingelser og konvergenshastighed Der er to generelle stabilitetsbetingelser, der skal være opfyldt for en finite difference 1 2* a kode. δ * t definerer den maksimale størrelse af tidssteppet, mens δ * S 2 2 σ * I b definerer den maksimale størrelse på aktivsteppet. 35 Præcisionen af en eksplicit FD kode er afhængig af, hvor små man gør de enkelte assetsteps, og dermed indirekte også af, hvor meget beregningstid man er villig til at bruge på at finde en løsning. Det skal i denne forbindelse nævnes, at FD metoden generelt er betydeligt mere effektiv mht. beregningstid, end det er tilfældet med MCsimulation Grænsebetingelser Opsættelse af grænsebetingelser består i at opstille optionsværdien for gridpunkterne ved S = 0 og S = I*δ*S. For eksempel er det indlysende, at en put option har værdien E * e r* k* δ * t ved S = 0, mens en call option intet er værd. 33 Wilmott (2001) 34 Wilmott (2001) 35 I praksis implementeres disse stabilitetsbetingelser i VBA-koden som Assetstep = 2 * Strike / Antal_assetsteps og Timestep = Assetstep ^2 / Volatilitet / Volatilitet / (4 * Strike ^2) ; Wilmott (2001) 27

32 I dette papir vil vi anvende betingelsen k k k VI 2V I 1 V I 2 = ved S = I*δ*S. Antagelsen bag denne approksimation er, at Gamma går mod nul, i takt med at S vokser mod uendelig, hvilket betyder, at afkast for optionen er en lineær funktion af det underliggende for store værdier af dette. Langt de fleste af de optioner, der vil blive behandlet i dette papir, vil være call optioner, men der vil også være enkelte put optioner. Det er klart, at grænsebetingelserne vil variere, alt efter hvilken type der er tale om Implementering Argumentation for valg af metoder. Da langt størsteparten af de optioner, der analyseres i denne afhandling er asiatiske optioner vil der for de flestes vedkommende blive anvendt Monte Carlo (MC)simulation til værdiansættelsen. Denne metode har den klare fordel frem for eksplicit finite difference (EFD), at det er meget nemt at inkorporere stiafhængigheden. Specielt det faktum, at der ved mange af optionerne er forskellig længde på intervallerne mellem de datoer, som benyttes til beregning af slutkursen, gør det meget vanskeligt at anvende EFD. EFD vil blive anvendt, når det er muligt, da denne metode konvergerer betydeligt hurtigere i forhold til MC simulation. I de tilfælde, hvor der anvendes MC simulation, vil der blive foretaget simulationer, da standardafvigelsen på estimatet her bliver så lille (ca. 0,03), at det er vurderet tilstrækkeligt til at få brugbare resultater Estimering af parametre Dette afsnit har til formål at klarlægge hvorledes de enkelte parametre, der indgår i værdiansættelsen af de indekserede obligationer, estimeres Risikofri rente: Den risikofrie rente, der indgår som parameter i modellerne, skal stemme overens med løbeperioden for den indekserede obligation. Ud fra den risikoneutrale tilgangsvinkel vil investors krav til forrentning svare til den danske risikofrie rente i 36 De estimerede standardafvigelser, jævnfør billagene 28