4. Differentialligninger i højere dimension, Dirichlet problemet

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "4. Differentialligninger i højere dimension, Dirichlet problemet"

Transkript

1 Differentialligninger i højere dimension, Dirichlet problemet 4.1. Indledning, de forskellige typer. Der er tre hovedeksempler på partielle differentialligninger, som har særlig betydning i fysik: u(x) = f(x), t u(x, t) x u(x, t) = f(x, t), 2 t u(x, t) xu(x, t) = f(x, t), Laplace ligningen, Varmeledningsligningen, Bølgeligningen. (1) Her er x R k (i reglen opfattet som en positionsvariabel) og t R (i reglen en tidsvariabel). I nogle tekster kaldes den første ligning Poisson s ligning, og betegnelsen Laplace s ligning bruges kun når f = 0. Som vi så i IV 4.4 kan Laplace operatoren ret let diskuteres ved Fourier transformation; det gælder i særlig grad + c (c > 0), der føres over i multiplikation med ξ 2 + c, så at ligningen ( + c)u = f har løsningen [ ˆf(ξ) ] u = F 1 ξ 2 + c i S(R k ). (Fortegnet minus på foretrækkes, fordi går over i + ξ 2.) For Laplace ligningen på en begrænset åben delmængde Ω af R k søger man gerne at løse et randværdiproblem, som f.eks. u = f i Ω, u = ϕ på Ω, (2) der kaldes Dirichlet problemet. Under rimelige omstændigheder vi skal i det følgende se på nogle tilfælde er der eksistens og entydighed af løsning for sådanne problemer. Der kan også stilles andre randbetingelser, f.eks. er Neumann problemet u = f i Ω, u n = ϕ på Ω, af betydning; her er u den afledede af u efter normalretningen til Ω. n Meget af diskussionen af Neumann problemet ligner diskussionen af Dirichlet problemet, men af pladshensyn (og fordi der trods alt er lidt mere at forklare) vil vi her kun behandle Dirichlet problemer i detaljer.

2 4.2 Differentialoperatorer, der ligner Laplace operatoren derved at de er af formen k k A = (±1) a ij (x) i j + a j (x) j + a 0 (x), (3) hvor k i,j=1 i,j=1 j=1 a ij (x)ξ i ξ j c 0 ξ 2 for alle x og ξ R, med c 0 > 0, (4) kaldes elliptiske; deres løsningsegenskaber ligner Laplace operatorens. (Vi nøjes med at se på operatorer med reelle koefficienter her.) Bølgeligningen (se (1)) føres ved Fourier transformation over i ligningen ( τ 2 + ξ 2 )û(ξ, τ) = ˆf(ξ, τ), der ikke kan løses simpelt ved division (ejheller efter tillæg af en konstant), da koefficientfunktionen ξ 2 τ 2 er 0 på hele keglen { (ξ, τ) τ = ± ξ }. Der skal mere raffinerede overvejelser til for at definere en løsning. Med hensyn til ligningen på delmængder af rummet R k+1 har det ikke megen interesse at stille randværdiproblemer i stil med (2) (og de er sjældent løselige); derimod betragter man gerne begyndelsesværdiproblemer som f.eks. 2 t u(x, t) u(x, t) = f(x, t) for (x, t) R k+1 med t > 0, u(x, 0) = g 0 (x) for x R k, t u(x, 0) = g 1 (x) for x R k ; (5) der har gode løselighedsegenskaber. Problemet (5) kan bl.a. løses ved at man Fourier transformerer i de x-variable alene. Idet vi benytter betegnelsen F (x,t) (ξ,τ) for den sædvanlige Fourier transformation af funktioner f(x, t) over i funktioner ˆf(ξ, τ), vil vi benytte betegnelserne F x ξ u(x, t) = ú(ξ, t) = e iξ x f(x, t) dx R n for den partielle Fourier transformation, hvor der kun Fourier transformeres med hensyn til x. Anvendes denne på (5), opnås et problem 2 t ú(ξ, t) + ξ 2 ú(ξ, t) = f(ξ, t), ú(ξ, 0) = ĝ 0 (ξ), t ú(ξ, 0) = ĝ 1 (ξ);

3 4.3 der løses som et sædvanligt 2. ordens begyndelsesværdiproblem i den t- variable for hvert ξ, hvorefter man anvender F 1 ξ x (den omvendte til F x ξ). (Se Opg En tilbundsgående fremstilling vil naturligvis kræve en analyse af de funktionsrum hvor processen har god mening.) Operatorer, der ligner bølgeoperatoren strukturelt, dvs. som er af formen t 2 + A, hvor A er en elliptisk operator i de x-variable (med 1 i (3)), kaldes hyperbolske, og også for dem har det god mening at betragte begyndelsesværdiproblemer i stil med (5). Den midterste type i (1), varmeledningsligningen, har det særlige, at tidsvariablen kun er repræsenteret ved en første ordens differentiation. Fourier transformation i alle variable giver en ligning (iτ + ξ 2 )û(ξ, τ) = ˆf(ξ, τ), hvor koefficienten kan inverteres for alle (ξ, τ) R n+1 \ {(0, 0)}; deri ligner den de elliptiske tilfælde. På den anden side er det af afgørende betydning, at en af differentiationerne kun er af første orden. Den interessante type af problemer, man stiller for denne operator er t u(x, t) u(x, t) = f(x, t) for (x, t) R k+1 med t > 0, u(x, 0) = g 0 (x) for x R k, (6) med kun én begyndelsesværdi. (6) kan behandles ved Fourier transformation i x og løsning af de derved fremkomne 1. ordens problemer m.h.t. t for hvert ξ, jvf. Opg Operatorer af form som t +A, hvor A er elliptisk som ovenfor beskrevet, kaldes parabolske, og behandles på lignende måde som varmeledningsoperatoren. Både for bølgeoperatoren og for varmeledningsoperatoren har det også interesse at lade x gennemløbe en begrænset delmængde af R k kun; så må man stille randbetingelser i stil med dem for Laplace operatoren ved den derved indførte rand. Betegnelserne for de tre typer er knyttet til den algebraiske flade defineret af det tilhørende polynomium (hvor koefficienterne opfylder (4)): a ij ξ i ξ j = 1 (ellipsoide), i,j k i,j k a ij ξ i ξ j τ 2 = 1 (hyperboloide), a ij ξ i ξ j σ = 1 (paraboloide). i,j k

4 4.4 Der er endnu andre mulige typer f.eks. hvor flere af de variable kun differentieres af 1. orden, eller hvor der samtidigt er flere end ét kvadratisk led med positiv koefficient og flere end ét med negativ koefficient (f.eks på R 4 ; den kaldes ultrahyperbolsk); men de er ikke så vigtige i fysik, så vi vil ikke forsøge at inkludere dem her. Endelig bør vi lige nævne, at når komplekse koefficienter tillades, er der den komplekse Schrödinger ligning i t u(x, t) x u(x, t) = f(x, t), der har visse træk fælles med bølgeligningen, og andre træk fælles med varmeledningsligningen. Lad os sige lidt om løsningsmetoderne. Til behandling af partielle differentialligninger findes et væld af metoder, der i reglen (naturligt nok) går ud på at reducere til simplere problemer. Det vanskelige er, at for differentiation i flere variable har vi ikke, som ved differentiation i én variabel, et simpelt stamfunktionsbegreb; situationen er meget mere kompleks. Blandt teknikkerne kan i første omgang nævnes: 1) Fourier transformation, der reducerer differentialligninger på R k med konstante koefficienter til multiplikationsligninger. 2) Forskellige former for reduktion til differentialligninger i én variabel. Ofte anvendes en kombination af 1) og 2). Hertil kommer, for delmængder af R k : 3) Rækkeudvikling, der under gunstige omstændigheder reducerer problemet til tilpasning af koefficientsæt, igen ved multiplikationsligninger, ofte anvendt i kombination med 2). Endvidere må nævnes: 4) Numeriske approximationsmetoder, hvor den matematiske teori er indbygget som baggrund for konkrete iterative processer, der anvendes på hvert problem for sig, gerne ved hjælp af datamater med stor regnekraft. Vi skal her se på nogle problemer hvor 3) kan anvendes, med rækkeudvikling efter de ortonormalsystemer, vi har opstillet. Dette kræver, at det er muligt separere de variable, altså at problemstillingen er egnet til at man foretager en Fourieropløsning el.l. efter hver variabel for sig. Den videregående analyse af generelle løsningsmetoder bygger i høj grad på 1) også, med en udvidelse til variable koefficienter, der kræver et større maskineri, vi ikke kan begynde på at komme ind på her (pseudo-differential

5 4.5 operatorer, Fourier integral operatorer). Der findes også mange specielle metoder til afgrænsede klasser af problemer. Vi har her kun nævnt nogle typer af lineære differentialligninger. Der findes også en omfattende teori for ikke-lineære problemer; her er det ofte sådan, at løsningmetoder for de lineære problemer indgår som et redskab Maksimumsprincippet for Dirichlet problemet. I dette og de følgende afsnit betragtes Dirichlet problemet (2) for forskellige delmængder Ω af R k af mere eller mindre speciel karakter. Vi vil først vise en entydighedssætning, der gælder for vilkårlige begrænsede åbne mængder Ω. Den fås som korollar til følgende sætning. Sætning 4.1 (Maksimumsprincippet). Lad Ω være en begrænset åben delmængde af R k. Hvis u er en reel funktion i C 2 (Ω) C(Ω), som opfylder så er u(x) C for alle x Ω. u 0 i Ω, u C på Ω, Bevis. Lad u = f, så er det givet, at f(x) 0 på Ω. Da Ω er kompakt og u C(Ω), antager u maksimum i et punkt x 0 Ω. Antag først, at f(x) < 0 på Ω. Så kan x 0 ikke være et indre punkt af Ω, for hvis det var, ville u x i = 0, 2 u x 2 i 0, for x = x 0, i = 1,..., k ; og heraf følger at u(x 0 ) 0, i modstrid med antagelsen. Altså er x 0 Ω, hvormed u(x) C for alle x Ω. Betragt dernæst det almene tilfælde hvor f(x) 0 på Ω. Idet funktionen h(x) = x 2 = x x 2 k opfylder h(x) = 2k, vil u ε (x) = u(x) + εh(x) for ε > 0 opfylde u ε 2kε < 0 i Ω, u ε C + εr 2 på Ω; her er R en konstant for hvilken Ω K(0, R). Behandlingen af tilfældet f < 0 giver os nu, at u ε (x) C + εr 2 på Ω, hvormed u(x) = u ε (x) ε x 2 C + εr 2 for x Ω. Da ε var vilkårlig, sluttes at u(x) C på Ω. Vi får nu let:

6 4.6 Korollar 4.2 (Entydighedssætningen). Lad Ω være en begrænset åben delmængde af R k. 1 Hvis u er en reel funktion i C 2 (Ω) C(Ω), der opfylder så er u = 0 i Ω, C 1 u C 2 på Ω, C 1 u C 2 på Ω. 2 Hvis u 1 og u 2 er to komplekse funktioner i C 2 (Ω) C(Ω), der løser (2) med de samme givne komplekse funktioner f og ϕ, så er u 1 = u 2. Bevis. 1. Da u = 0 og u C 2 på Ω, følger af Sætning 4.1, at u C 2 på Ω. Da ( u) = 0 og u C 1 på Ω, følger ligeledes, at u C 1 på Ω. Dette viser Funktionen v = u 1 u 2 er løsning til (2) med f = 0 og ϕ = 0. Det er dens realdel og imaginærdel dermed også. Anvendes 1 på hver af disse, fås, at v = 0. Når nu entydigheden af løsninger i C 2 (Ω) C(Ω) til (2) er etableret, vil vi ikke gentage den ved hver af de eksistenssætninger, vi viser i det følgende. 4.3 Homogent Dirichlet problem for et rektangel og for en kasse. I det følgende betragtes Dirichlet problemet med homogen differentialligning, kort betegnet det homogene Dirichlet problem: u = 0 i Ω, u = ϕ på Ω, for visse særlige mængder Ω, hvor problemet kan separeres i problemer for hver variabel for sig. Et meget simpelt tilfælde er det hvor Ω er et rektangel i planen. Lad Ω =]0, π[ ]0, a[ i R 2, med a > 0. Til at begynde med lader vi ϕ = 0 på tre sider af rektanglet; altså ϕ(x, 0) = g(x), for x [0, π], ϕ(0, y) = ϕ(π, y) = 0, for y ]0, a], ϕ(x, a) = 0, for x [0, π]. Lad os først prøve at finde løsninger på produktform u(x, y) = X(x)Y (y) (for disse må g være en konstant gange X(x)). Indsættelse af XY i differentialligningen giver X (x)y (y) X(x)Y (y) = 0. Når XY 0, kan ligningen skrives X (x) X(x) = Y (y) Y (y). (7) (8)

7 4.7 Her er venstre side konstant i y og højre side konstant i x, så begge sider må være lig med en konstant λ. Når randbetingelserne på de tre sider af rektanglet tages i betragtning, får vi ligningerne for X og Y : { X (x) = λx(x) for x ]0, π[, (i) X(0) = X(π) = 0, { Y (9) (y) = λy (y) for y ]0, a[, (ii) Y (a) = 0. En prøve viser, at uanset om X og Y har nulpunkter eller ej, vil et sæt {X(x), Y (y)}, der løser (9), give en produktløsning X(x)Y (y) til (7) med ϕ som i (8) og g = X(x)Y (0). Vi genkender straks (9 i) som et ganske simpelt Sturm-Liouville problem, behandlet i Lemma 2.1 og Sætning De normerede egenfunktioner i L 2 ([0, π]) og tilhørende egenværdier er X n (x) = (2/π) 1 2 sin nx, λn = n 2, hvor n N. For hvert λ = λ n bestemmes herefter en løsning Y n til (9 ii). Ligningen Y (y) = n 2 Y (y) har den generelle løsning c 1 e ny + c 2 e ny (c 1, c 2 C); den kan også skrives som c 1e n(y a) + c 2e n(y a) (c 1, c 2 C). De løsninger der opfylder Y (a) = 0, er dem hvor c 1 = c 2 ; de kan skrives som c sinhn(y a), og Y (0) = 1 opnås for c = 1/ sinhna. Vi vælger da sinhn(a y) Y n (y) =. sinh na Hermed har vi fundet produktløsningerne u n (x, y) = X n (x)y n (y) = (2/π) 1 sinhn(a y) 2 sin nx, n N. sinh na Den generelle løsning til (7) med (8) søges nu på formen u(x, y) = n N b n u n (x, y) = n N b n (2/π) 1 sinh n(a y) 2 sin nx. (10) sinh na Såfremt rækken konvergerer for (x, y) Ω, på en sådan måde at differentialoperatoren kan anvendes ledvis, så løser u(x, y) differentialligningen u = 0; og hvis rækken også konvergerer for (x, y) Ω, er randbetingelsen opfyldt med g(x) = n N b n (2/π) 1 2 sin nx. (11) Vi kan derfor løse problemet, når g kan udvikles i en række (11) således at man ved indsættelse af koefficienterne b n i (10) får en række med de ønskede konvergensegenskaber. (11) er simpelthen en sinusrække for g, hvor vi ved en hel del om konvergensegenskaberne. Vi vil vise:

8 4.8 Sætning 4.3. Betragt Dirichlet problemet (7) for Ω =]0, π[ ]0, a[, med ϕ givet ved (8). 1 Når g L 2 ([0, π]) med sinusrækken (11), er rækken (10) uniformt og absolut konvergent, med alle ledvis differentierede rækker uniformt og absolut konvergente, på Ω ε = [0, π] [ε, a] for alle ε ]0, a[. Sumfunktionen u(x, y) er i C ([0, π] ]0, a]) og løser differentialligningen der, og den opfylder randbetingelsen på de tre sider af rektanglet hvor y > 0. 2 Hvis endvidere g H 1 0([0, π]), er rækken for u uniformt og absolut konvergent på Ω, så u C(Ω) og opfylder hele randbetingelsen. Dermed løser u problemet (7). Bevis. Vi har brug for følgende vurderinger, som gælder for y [0, a], n N: 0 0 sinhn(a y) sinh na cosh n(a y) sinh na = en(a y) e n(a y) e na e na ny 1 e 2n(a y) = e e ny 1 1 e 2na 1 e, 2a = en(a y) + e n(a y) e na e na ny 1 + e 2n(a y) = e 1 e 2na e ny 2 1 e 2a. (12) Når g L 2 ([0, π]), er n N b n 2 = g 2, og specielt b n g for alle n. Da sin nx 1, og e ny e εn for y ε, ses ved brug af (12), at g (2/π) e εn 1 e 2a n N er en konvergent majorantrække for rækken for u, for (x, y) Ω ε. Differentiation af leddet b n u n (x, y) giver j x k y b nu n (x, y) = (±1)n j+k b n (2/π) 1 2 sin sinh nx cos cosh n(a y) 1 sinhna, hvor cos hhv. cosh benyttes når j hhv. k er ulige, og (±1) indgår på passende måde. Så er, ved (12), j x k y b nu n (x, y) g (2/π) e 2a nj+k e εn, og disse tal er led i en konvergent majorantrække for den ledvis differentierede række, for (x, y) Ω ε (da n R e εn 0 for n, for ethvert R > 0). Da

9 4.9 dette gælder for alle j og k N 0, og hvert led b n u n i (10) opfylder b n u n = 0, følger at u C (Ω ε ) for ethvert ε > 0, med u = 0 i Ω. Dette viser 1. Når yderligere g H 1 0 ([0, π]), er n N b n <, jvf. Sætning Da er (2/π) e b n 2a n N en konvergent majorantrække for rækken for u, for (x, y) Ω, så konvergensen er uniform på hele Ω. Dette viser 2. Som et korollar kan vi nu også løse Dirichlet problemet (7) for rektanglet, når ϕ er stykket sammen af H 1 -funktioner på hvert randstykke, således at de stemmer overens i hjørnerne (dette gælder specielt når ϕ er kontinuert og stykkevis C 1 ). Korollar 4.4. Lad Ω =]0, π[ ]0, a[, og lad ϕ være en H 1 -funktion på hver af de fire randstykker, så at ϕ er kontinuert på Ω. Så findes der en løsning u C (Ω) C(Ω) til (7). Bevis. Antagelsen betyder, at ϕ er stykket sammen af fire funktioner ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 og ϕ 4 givet som H 1 -funktioner på intervaller, ϕ 1 (x) for x [0, π], y = 0, ϕ 2 (y) for y [0, a], x = π, ϕ 3 (x) for x [0, π], y = a, ϕ 4 (y) for y [0, a], x = 0, således at værdierne i hjørnepunkterne stemmer overens: ϕ 1 (π) = ϕ 2 (0), ϕ 2 (a) = ϕ 3 (π), ϕ 3 (0) = ϕ 4 (a), og ϕ 4 (0) = ϕ 1 (0). Betragt først tilfældet hvor værdierne i disse hjørnepunkter er 0. Så er ϕ i H 1 0 ([0, a i]), med a i = π for i = 1 og 3, og a i = a for i = 2 og 4. Her kan vi løse, hver for sig, problemerne (7) med ϕ givet som ϕ i på den i te kant og 0 ellers, ved brug af Sætning 4.3 (med passende koordinatskifte når det er ϕ i for i = 2, 3 eller 4, der er 0). Herved fås fire løsninger u i, i = 1, 2, 3, 4, hvis sum u = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 løser det stillede problem; og u C (Ω) C(Ω). I det almene tilfælde indfører vi en hjælpefunktion v(x, y) = ϕ 1 (0) + ϕ 1(π) ϕ 1 (0) π x + ϕ 4(a) ϕ 4 (0) y + cxy, a

10 4.10 hvor c er bestemt så at v(π, a) = ϕ 2 (a). Man efterviser umiddelbart at v = 0. Dermed er u(x, y) løsning til (7) hvis og kun hvis w(x, y) = u(x, y) v(x, y) er løsning til w = 0 i Ω, w = ψ på Ω, hvor ψ, defineret som ϕ v på Ω, er i H 1 på hvert randstykke og er 0 i hjørnerne. Hermed er vi tilbage i det første tilfælde. Der er en analog sætning i højere dimensioner. For at forklare principperne ser vi på tilfældet Ω =]0, π[ k 1 ]0, a[, idet mere generelle intervaller kan behandles tilsvarende, efter behov. Her betegner vi (x 1,..., x k 1 ) = x R k 1, (n 1,..., n k 1 ) = n N k 1. Sætning 4.5. Lad Ω =]0, π[ k 1 ]0, a[, og betragt Dirichlet problemet (7) med ϕ givet ved ϕ(x, 0) = g(x ), for x ]0, π[ k 1, ϕ = 0 på de øvrige randflader. (13) Når g L 2 ( ]0, π[ k 1 ) udvikles i den multiple sinusrække g(x ) = b n C k 1 sin n 1 x 1 sin n k 1 x k 1 (14) n N k 1 (C k 1 = (2/π) (k 1)/2 ), så er u(x), defineret ved u(x) = sinh b n C k 1 sin n 1 x 1 sin n k 1 x n (a x k ) k 1 sinh n a n N k 1, (15) en funktion i C ([0, π] k 1 ]0, a]), der opfylder u = 0 i Ω og u = 0 på randfladerne undtagen fladen {x k = 0}. Rækken (15) og alle dens ledvis differentierede rækker konvergerer uniformt og absolut på Ω ε = [0, π] k 1 [ε, a], for ethvert ε ]0, a[. Hvis g endvidere opfylder n N k 1 b n <, (16) så konvergerer rækken (15) uniformt og absolut mod u på Ω, så u C(Ω) og u = g på randfladen hvor x k = 0. Da er u løsning til problemet (7) med den givne randværdi (13).

11 4.11 Her er (16) opfyldt f.eks. når g C m ([0, π] k 1 ) for et m > (k 1)/2 således at de afledede af g af orden til og med m er 0 på randen af [0, π] k 1 ; eller når blot den ulige periodiske forlængelse af g er i H m (T k 1 ) for et m > (k 1)/2, jvf. Sætning Bevis. Vi søger her produktløsninger af formen X 1 (x 1 )...X k (x k ). Ved indsættelse i differentialligningen og division med X 1...X k fås X X k = 0, X 1 X k hvor det j-te led kun afhænger af x j. I betragtning af randbetingelsen spaltes dette op i problemerne (hvor j = 1,..., k 1), (i j ) (ii) { X j (x j) = λ j X j (x j ) for x j ]0, π[, X j (0) = X j (π) = 0, { X k (x k) = (λ λ k 1 )X k (x k ) for x k ]0, a[, X k (a) = 0. Problemerne (i j ), j k 1, har løsningerne X j (x j ) = sin n j x j, n j N, med λ j = n 2 j. For hvert valg af n = (n 1,..., n k 1 ) er λ λ k 1 = n n2 k 1 = n 2, så (ii) løses af X k (x k ) = c sinh n (x k a); her vælger vi som sædvanlig konstanten c så at værdien i 0 er 1. Dette giver produktløsningerne sinh n u n (x) (a x k ) = sin n 1 x 1 sin n k 1 x k 1 sinh n, n N k 1. a Vi søger da den generelle løsning som en overlejring (15), og vil nu undersøge konvergensforholdene. Her benyttes Sætning Når g L 2 ([0, π] k 1 ), er n N k 1 b n 2 = g 2 L 2 ([0,π] k 1 ), specielt er b n g for alle n. Da fås som i Sætning 4.3 ved brug af (12), at for hvert ε > 0 har rækken for u den konvergente majorantrække på Ω ε 1 b n C k 1 e ε n. (17) 1 e 2a n N k 1 (Det benyttes, at e ε n C M n M for ethvert M. Her vælger vi M så stor at n N k 1 n M <, hvilket ifølge Lemma IV 4.4 er sikret

12 4.12 når M > k 1. Lignende vurderinger benyttes for de ledvis differentierede rækker nedenfor.) Ved ledvis differentiation x α α k x k får man rækker med led (±1) b n C k 1(n ) α n α k sinh n a de har konvergente majorantrækker sin cos n 1x 1 sin cos n sinh k 1x k 1 cosh n (a x k ); n N k 1 g C k e 2a (n ) α n α k e ε n, på Ω ε. Da hvert led i (16) opfylder differentialligningen og er 0 på alle randflader undtagen den hvor x k = 0, følger det første udsagn i sætningen. For det andet udsagn benytter vi, at (16) multipliceret med konstanten 2C k 1 (1 e 2a ) 1 er majorantrække for rækken (15) på hele Ω. Så er u C(Ω), og u = g på den sidste randflade. Fra Sætning 1.15 fås endvidere, at når g C m ([0, π] k 1 ) for et m > (k 1)/2 + l, med alle afledede op til orden m lig med 0 på randen, så konvergerer u s række i C l (Ω) (uniformt og absolut). Også lidt mildere forudsætninger sikrer dette, jvf. Sætning 1.15 ff. 4.4 Homogent Dirichlet problem for en cirkelskive og for en kugle. Det grundlæggende aspekt af metoden anvendt i sidste afsnit er, at såvel differentialoperatoren som mængden Ω (et produkt af intervaller) er egnet til bestemmelse af produktløsninger, som kan overlejres til at give generelle løsninger på rækkeform. Vi kan benytte dette synspunkt for også når mængden er produktformet i andre koordinatsystemer end det euklidiske. Vigtige eksempler er polære koordinater i planen R 2 og i rummet R 3, hvor produktmængderne er henholdsvis cirkler og kugler, og hvor har en form der tillader separation af de variable. Først betragtes (7) for en cirkelskive Ω = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 < 1 } = K(0, 1). Vi indfører polære koordinater (r, θ), x + iy = r e iθ, herved repræsenteres cirklen Ω ved parameterområdet Ξ = { (r, θ) r [0, 1[, θ R }.

13 4.13 Afbildningen af (r, θ) over i (x, y) er jo ikke bijektiv, men netop dette giver anledning til et rimeligt valg af randbetingelser for løsninger fremstillet i polære koordinater: de skal være periodiske i θ med periode 2π og skal konvergere for r 0 mod en værdi, der er den samme for alle θ. Differentialligningen ses ved kædereglen at overføres i og randbetingelsen i (7) går over i 2 u r + 1 u 2 r r u = 0, (18) r 2 θ2 u(1, θ) = ϕ(θ), (19) hvor ϕ(θ) også antages at have periode 2π. (Strengt taget burde funktionerne af de nye variable have et andet navn end de gamle funktioner, men for at få en simpel formulering tillader vi os et lille misbrug af notationen på dette punkt.) Lad os finde produktløsninger til (18) med de nævnte egenskaber. Indsættelse af u(r, θ) = R(r)Θ(θ) og division med RΘ giver, efter multiplikation med r 2, r 2R R + rr R + Θ Θ = 0. Heraf ses at såvel funktionen af r som funktionen af θ må være konstante, altså r 2R R + rr R = Θ Θ = λ. I betragtning af de øvrige betingelser fås følgende to problemer: (i) (ii) { Θ = λθ for θ ] π, π[, Θ periodisk med periode 2π, { r 2 R + rr = λr for r ]0, 1[, R kontinuert i 0. (20) (Også når Θ og R har nulpunkter, løser ΘR ligning (18).) Når vi præciserer periodicitetskravene for Θ til betingelserne Θ( π) = Θ(π), Θ ( π) = Θ (π), er problemet (20 i) et egenværdiproblem af en generel S.-L. type, som diskuteret i starten af 2, se også Opg Egenværdierne er n 2, n N 0 ; til 0 hører egenfunktionerne c 0 1 (med c 0 0) og til n 2 0 hører det to-dimensionale rum af egenfunktioner c n e inθ + c n e inθ (med (c n, c n ) (0, 0)). Disse løsninger frembringes af skaren af løsninger Θ n (θ) = e inθ, λ n = n 2, hvor n Z

14 4.14 (ved linearkombination for samme n ). Når λ = λ n indsættes i (20 ii), fås r 2 R + rr n 2 R = 0, eller r(rr ) n 2 R = 0. Denne ligning løses let ved variabelskiftet r = e t d for t 0 (dvs. dt = dr dt ), hvorved ligningen går over i r d dr som har løsningerne d 2 R dt 2 n2 R = 0, R 0 = a + bt = a + b logr, når n = 0, R n = ae nt + be nt = ar n + br n, når n 0. d dr = På grund af betingelsen for r 0 kan logaritmen og de negative potenser forkastes, så vi finder ialt R n (r) = ar n, n Z. Dermed har vi produktløsningerne u n (r, θ) = R n (r)θ n (θ), u n (r, θ) = r n e inθ n Z. Den generelle løsning til (7) søges nu som en overlejring af produktløsninger, altså på formen u(r, θ) = n Zc n r n e inθ. (21) Når rækken konvergerer for (r, θ) Ξ, er randbetingelsen (19) opfyldt med ϕ(θ) = n Zc n e inθ. (22) Vi genkender her den trigonometriske Fourierrække. Ganske som ved separationsmetoderne i sidste afsnit, får vi bedre konvergens, jo mere differentiabel ϕ er. Før vi går i detaljer med dette, vil vi bemærke, at (21) kan skrives i de oprindelige koordinater på formen u(x, y) = n 0 c n (x + iy) n + k>0c k (x iy) k ; (23) og her er alle tilpasningsproblemer ved r = 0 forsvundet, fordi leddene nu er polynomier i x og y. Her er det muligt ikke alene at checke kontinuitet i 0, men også differentiabilitet efter x og y, uden komplicerede overgangsformler. Vi vil vise:

15 4.15 Sætning 4.6. Betragt Dirichlet problemet (7) for Ω = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 < 1 }, fremstillet i polære koordinater ved (18), (19). 1 Når ϕ L 2 (T) med Fourierrækken (22), er rækken (23) uniformt og absolut konvergent, med alle ledvis differentierede rækker uniformt og absolut konvergente på Ω ε = { (x, y) R 2 x 2 +y 2 (1 ε) 2 }, for ethvert ε ]0, 1[. Sumfunktionen u(x, y) er i C (Ω) og løser differentialligningen i Ω. 2 Hvis endvidere ϕ H 1 (T), er rækken for u uniformt og absolut konvergent på Ω, så u C(Ω) og opfylder randbetingelsen. Dermed løser u problemet (7) for Ω med dette ϕ. Bevis. Når ϕ L 2 (T), opfylder Fourierkoefficienterne uligheden c n ϕ for alle n (her benyttes normen i L 2 (T)). For (x, y) Ω ε har rækken for u den konvergente majorantrække c n (1 ε) n, (24) n Z og de ledvis differentierede rækker som opnås ved anvendelse af x j k y på (23) har konvergente majorantrækker ϕ (1 ε) j k n j+k (1 ε) n. n Z Da leddene opfylder differentialligningen, fås 1. Antag nu tillige, at ϕ H 1 (T). Så er (jvf. IV 2.5) n Z c n <, så (24) er konvergent majorantrække også for ε = 0. Altså konvergerer (23) uniformt (og absolut) på hele Ω, og resten af sætningen følger. Der kan knyttes nogle yderligere bemærkninger til disse resultater. Betegnes x + iy = z, ser vi, at når u er som i sætningen, er u(x, y) = c 0 + n>0 c n z n + n>0 c n z n. Ved konjugering fås u(x, y) = c 0 + n>0 c n z n + n>0 c n z n. Specielt ses, at u ū = c 0 c 0 + n>0 (c n c n )z n + n>0(c n c n ) z n,

16 4.16 og følgelig gælder (på grund af entydigheden af koefficienterne i Fourieropløsningen efter θ for fast r), at u er reel hvis og kun hvis I så fald er u = c 0 + n>0 c 0 R, c n = c n for alle n Z. (c n z n + c n z n ) = c n>0re(c n z n ). (25) Funktioner u, der opfylder u = 0 i en åben mængde A R k kaldes harmoniske i A. Vi ser, at når den harmoniske funktion u konstrueret ovenfor er reel, er den af formen u = Re f(z), hvor f(z) = c n Nc n z n er holomorf i Ω. (26) Dette viser en variant af Sætning III 4.3, dog blot for den cirkelformede mængde Ω = K(0, 1) (på den anden side giver (26) en præcis oplysning om Taylor koefficienterne til f). Se også Opg (21) kan også omskrives til en integralformel for u(r, θ) udtrykt ved den givne randværdi ϕ(θ): Idet koefficienterne c n opfylder c n = 1 2π π π har vi for afsnittene i rækken for u: s N (r, θ) = c n r n e inθ = n N π = 1 2π π ϕ(σ) n N n N ϕ(σ)e inσ dσ, 1 ( π ϕ(σ)e inσ dσ ) r n e inθ 2π π r n e in(θ σ) dσ, hvor afsnitsfølgen under integraltegnet konvergerer uniformt i σ for hvert r < 1. Når N fås da for r < 1, Lad ω = θ σ. Idet u(r, θ) = 1 2π r n e inω = 1 + n Z π π ϕ(σ) n Z [ (re iω ) n + (re iω ) n] n=1 r n e in(θ σ) dσ. (27) = 1 + reiω re iω + 1 reiω 1 re = 1 r 2 iω 1 + r 2 2r cos ω,

17 4.17 fås ved indsættelse i (27) Poissons integralformel: u(r, θ) = 1 r2 2π π π ϕ(σ)dσ 1 + r 2, for r < 1. (28) 2r cos(θ σ) Formlen gælder, selv når blot ϕ L 2 (T). Bemærk, at re iθ e iσ 2 = 1 + r 2 2r cos(θ σ); altså nævneren i integralet er netop kvadratet på afstanden mellem punktet re iθ og det løbende punkt e iσ på cirkelperiferien. Lad os endvidere bemærke, at vi har fundet et påfaldende regularitetsfænomen ved løsningerne til hvert af de Dirichlet problemer, vi har betragtet: Selv om den givne randværdi ϕ ikke er særligt regulær (altså ikke særligt højt differentiabel), bliver løsningen C, så snart man kommer i positiv afstand fra randen. Dette er et generelt fænomen for løsninger til (7), og mere alment for homogene elliptiske randværdiproblemer, jvf. 4.1, når koefficientfunktionerne a ij og a j er C. Noget tilsvarende gælder ikke for hyperbolske ligninger; tværtimod vil vi f.eks. for den endimensionale bølgeligning i 5.1 finde, at løsningen for t > 0 har samme grad af regularitet som de givne begyndelsesværdier til t = 0. Lad os dernæst betragte (7) for en kugle Ω = { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 < 1 } = K(0, 1). Her benyttes sfæriske polære koordinater: x = r sin θ cos σ, y = r sin θ sin σ, z = r cos θ; (29) med parameterområdet Ξ = { (r, θ, σ) r [0, 1[, θ [0, π], σ R }. I disse koordinater tager ligningen formen 2 u r + 2 u 2 r r + 1 r 2 sin θ randbetingelsen går over i ( sin θ u ) + θ θ u(1, θ, σ) = ϕ(θ, σ), 1 r 2 sin 2 θ 2 u = 0, (30) σ2

18 4.18 og det må antages om u som funktion af de nye variable, at den er konvergent for r 0, konvergent for θ 0 og θ π, og periodisk i σ med periode 2π. Vi prøver nu at finde produktløsninger u(r, θ, σ) = R(r)Θ(θ)Σ(σ) til denne ligning. Indsætning og division med RΘΣ giver R R + 2 R r R + 1 r 2 sin θ Θ (sin θ Θ ) + Multiplikation af denne ligning med r 2 sin 2 θ giver r 2 sin 2 θ R R + 2r sin2 θ R R + sin θ(sin θ Θ ) Θ 1 r 2 sin 2 θ Σ Σ = 0. (31) + Σ Σ = 0, hvor de første tre led kun afhænger af (r, θ) og det sidste led kun afhænger af σ. Heraf sluttes, at Σ = c, hvor c er en konstant, altså vi får følgende Σ problem for Σ: Σ cσ = 0, Σ periodisk med periode 2π. Dette problem har løsningerne Σ(σ) = e imσ, c = m 2, med m Z; og vi indsætter Σ /Σ = m 2 i (31). Den giver da ved multiplikation med r 2 : r 2 R R + 2rR R + 1 sin θ Θ (sin θ Θ ) m2 sin 2 θ = 0. Separation af denne ligning giver problemerne 1 (i) sin θ (sin θ Θ ) + m2 sin 2 Θ = λθ for θ ]0, π[, θ Θ kontinuert i 0 og π; { r 2 R + 2rR = λr for r ]0, 1[, (ii) R kontinuert i 0. (32) Problemet (32 i) er et singulært Sturm-Liouville problem, som vi ved variabelskiftet t = cos θ for t [ 1, 1], Θ(θ) = P(t) (hvorved d dθ = dt d dθ dt = sin θ d dt ), fører over i ((1 t 2 )P ) + m2 P = λp for t ] 1, 1[, 1 t2 P kontinuert i ± 1; og dette genkendes som Legendre problemet, se 3.2. Egenfunktionerne og egenværdierne er, for m 0, P (m) n (t) = (1 t 2 ) m/2 dm dt mp n(t), λ n = n(n + 1), n N 0 + m,

19 4.19 hvor P n (m) (t) er de associerede Legendre funktioner, dannet ud fra Legendre polynomierne P n (t). Idet man kan vise, at P n (t) indeholder kun lige potenser af t når n er lige, og kun ulige potenser af t når n er ulige (jvf. Opg. 3.6), finder man at når cos θ indsættes for t, kan funktionerne ved brug af simple trigonometriske formler skrives på formen P n (m) (cosθ) = sin m θ {polynomium i cos θ af grad n m}, med kun lige, hhv. kun ulige led, eftersom n m er lige hhv. ulige. Systemet P n (m) (cos θ) er egenfunktionssystemet for det singulære Sturm-Liouville problem (32 i); det er et ortogonalsystem i L 2 ([0, π]) (da ϱ = 1), og fuldstændigheden følger af fuldstændigheden af det tilsvarende Legendre system. Indsættes egenværdierne λ n i (32 ii), fås ligningerne r 2 R + 2rR n(n + 1)R = 0, eller (rr) = n(n + 1) (rr), r 2 der løses omtrent som (20 ii) tidligere; der er de to løsninger r n 1 og r n (log r og 1 når n = 0), hvoraf kun den anden er kontinuert i 0, så denne bruges. Idet vi går over til den reelle skrivemåde for de trigonometriske funktioner af σ, får vi ialt systemet af produktløsninger r n P (m) n (cos θ) cosmσ, r n P (m) n (cos θ) sinmσ, m N 0, n N 0 + m. (33) Man kan vise, at disse funktioner faktisk er polynomier i de oprindelige koordinater (x, y, z). De kaldes kuglefunktionerne eller de sfærisk harmoniske polynomier (på engelsk spherical harmonics ), og udtrykkes i reglen i polære koordinater. Ved overvejelser som i IV 4 om multiple trigonometriske systemer kan man vise, at hele systemet (33) ved normering giver et fuldstændigt ortonormalsystem i L 2 ([0, π] [ π, π]), så generelle L 2 -funktioner på kuglefladen (r = 1) kan udvikles i konvergente Fourierrækker efter dette system. Vi kan bruge dette til at løse (7) med en given funktion ϕ på kugleoverfladen: Funktionen udvikles efter systemet (33) for r = 1, ϕ(θ, σ) = m=0 n m a mnp (m) n (cos θ) cosmσ + m=1 n m b mnp n (m) (cos θ) sin mσ, (34) og man benytter koefficienterne til at danne løsningen formelt som u(r, θ, σ) = m=0 n m a mnr n P (m) n (cosθ) cosmσ + m=1 n m b mnr n P n (m) (cos θ) sin mσ, (35)

20 4.20 hvorefter konvergensforholdene diskuteres. Som sædvanlig kan det vises, at rækken (35) definerer en C funktion på det indre af kuglen, når blot ϕ er i L 2, og at rækken konvergerer uniformt på Ω under lidt mere restriktive betingelser på ϕ. Vi skal ikke forsøge at udføre den præcise analyse her, da den kræver et mere detaljeret kendskab til de indgående ortogonalsystemer. Vi vil blot yderligere nævne, at som i tilfældet af en cirkel kan løsningsformlen omskrives til et integral, Poissons integralformel for kuglen: u(r, θ, σ) = 1 r2 4π π θ =0 2π σ =0 ϕ(θ, σ ) sinθ (1 + r 2 2rΦ) 3/2 dθ dσ, Φ = cos θ cos θ + sin θ sinθ cos(σ σ ), (36) der ofte med fordel kan bruges til at finde en løsning. Nævneren i integranden er tredje potens af afstanden mellem punktet (r, θ, σ) og det løbende punkt (1, θ, σ ). (At (36) løser (7) for kuglen kan under passende betingelser på ϕ også verificeres direkte.) Kuglefunktionerne har interesse ikke blot for den principielle løsningsmetode givet ovenfor, men også i andre problemstillinger; bl.a. vil vi møde dem igen ved diskussionen af tidsafhængige problemer og inhomogene problemer.

21 4.21 Opgaver til Vis, at problemet (5) med f = 0 og g 0, g 1 S(R k ) løses af en funktion defineret for hvert t 0 ved u(x, t) = F 1 ( ξ x cos( ξ t)ĝ0 (ξ) + sin( ξ t) ĝ 1 (ξ) ). ξ Vis, at problemet (6) med f = 0 og g 0 S(R k ) løses af u(x, t) = F 1 ( ξ x e ξ 2tĝ 0 (ξ) ) = F 1 ξ x( e ξ 2 t ) g 0 (x). 2 Vis, at for hvert t > 0 er den invers Fourier transformerede til funktionen e ξ 2t lig med k(x, t) = (4tπ) k/2 e x 2 t, hvormed u(x, t) = (4tπ) k/2 R k e x y 2t g 0 (y) dy. 3 Vis, at k(x, t) er C i x og t for (x, t) (R k [0, [ ) \ {0}. (Vink. Se Opg. II 8.8 vedr. 1, Opg. II 8.4 vedr. 2, og eksempel II 8.20 vedr. 3.) 4.3. Formuler og bevis en generalisation af maksimumsprincippet (Sætning 4.1) for varmeledningsligningen i en åben delmængde af R k Løs problemet 2 u x + 2 u = 0 for (x, y) ]0, b[ ]0, a[, 2 y2 u(0, y) = u(b, y) = u(x, a) = 0, u(x, 0) = g(x), hvor g C 1 ([0, b]) og g(0) = g(b) = 0.

22 Løs problemet 2 u x + 2 u = 0 for (x, y) ]0, π[ ]0, π[, 2 y2 u(x, 0) = x 2, u(x, π) = x 2, u(0, y) = 0, u(π, y) = π Vis, at ligningen u = 0 overføres i (18) ved overgang til polære koordinater i R Med Ω lig med enhedscirkelskiven skal man løse problemet, som i polære koordinater formuleres ved 2 u r + 1 u 2 r r u r 2 θ = 0 i Ω, 2 u(1, θ) = sin 3 θ Løs problemet 2 u x u y 2 = 0 for x2 + y 2 < 4, u = x 4 for x 2 + y 2 = Løs følgende problem i en halvcirkel 2 u r + 1 u 2 r r u = 0 for r < 1, 0 < θ < π, r 2 θ2 u(r, 0) = u(r, π) = 0, u(1, θ) = θ(π θ) Løs problemet hvor f er givet i H 1 (T). u = 0 for 1 < r < R, u(1, θ) = 0, u(r, θ) = f(θ) ; Undersøg, hvad der må forudsættes om g(x ) for at løsningen (15) til det homogene Dirichlet problem i en terning Ω =]0, π[ 3 tilhører C 2 (Ω) C(Ω).

2. Fourierrækker i en variabel

2. Fourierrækker i en variabel .1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner

Læs mere

5. Tidsafhængige problemer

5. Tidsafhængige problemer 5. 5. Tidsafhængige problemer 5. Den svingende streng. Ligningerne for en svingende streng af længde a, fastholdt i endepunkterne, er, i en generel form, t 2 u(x, t) c(x) xu(x, 2 t) = 0 for x ]0, a[, t

Læs mere

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1 1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy

Læs mere

(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.

(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene. MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion

Læs mere

MATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1 MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,

Læs mere

Matematik 2 AN. Hilbert rum. med anvendelser. Bergfinnur Durhuus

Matematik 2 AN. Hilbert rum. med anvendelser. Bergfinnur Durhuus Matematik 2 AN Hilbert rum med anvendelser Bergfinnur Durhuus 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Sammen med hæftet Metriske rum ved Christian

Læs mere

Matematik 2 MA Matematisk Analyse. Kapitel V. Sædvanlige og partielle differentialligninger. Gerd Grubb

Matematik 2 MA Matematisk Analyse. Kapitel V. Sædvanlige og partielle differentialligninger. Gerd Grubb 1 Matematik 2 MA Matematisk Analyse 1994 95 Kapitel V. Sædvanlige og partielle differentialligninger Gerd Grubb 1 1 Matematik 2. Matematisk Analyse 1994-95 Kapitel V. Sædvanlige og partielle differentialligninger

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 5

ANALYSE 1, 2014, Uge 5 ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.

Læs mere

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1 1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

3. Operatorer i Hilbert rum

3. Operatorer i Hilbert rum 3.1 3. Operatorer i Hilbert rum 3.1. Riesz repræsentationssætning og den adjungerede operator. Vi vil nu se mere systematisk på lineære afbildninger mellem Hilbert rum. Der er en tradition for at afbildninger

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Eksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet

Eksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen 2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Eksamen 2014/2015 Mål- og integralteori

Eksamen 2014/2015 Mål- og integralteori Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1

Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1 Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Matematik 2 MA Matematisk Analyse. Gerd Grubb

Matematik 2 MA Matematisk Analyse. Gerd Grubb 1 Matematik 2 MA Matematisk Analyse 1994 95 Kapitel IV. Fourier Analyse Gerd Grubb 1 1 Matematik 2. Matematisk Analyse 1994-95 Kapitel IV. Fourier analyse 0. Indledning 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Indhold. Litteratur 11

Indhold. Litteratur 11 Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen September 0, 016 1 Lineære ODE er af første orden 1.1 De grundlæggende definitioner Definition 1.1. Lineære ODE er af første orden er ODE

Læs mere

Eksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)

Eksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige) Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Integration m.h.t. mål med tæthed

Integration m.h.t. mål med tæthed Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

Gamle eksamensopgaver (MASO)

Gamle eksamensopgaver (MASO) EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012 Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

MATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1 Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 2013 E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 10. udg., Wiley, 2011. Beskrivelse: Kurset vil handle om matematiske

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

DesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I

DesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017

Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017 Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og

Læs mere

Reeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori

Reeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Udarbejdet af Arne Jensen 1 Indledning I forbindelse med kurset Matematisk Analyse 2 på Mat 2 afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang af 3 ECTS.

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 6

Matematik F2 Opgavesæt 6 Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Prøveeksamen i Calculus

Prøveeksamen i Calculus Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007 ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere