Ja! det beviste vi uge 16+17
|
|
- Filippa Skaarup
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Ugens emner Lukketheds- og afgørlighedsegenskaber [ ] lukkethed under,,,, * lukkethed under homomorfi og invers homomorfi pumping -lemmaet beslutningsproblemer: membership, emptiness, finiteness subset, equality beslutningsprocedurer i Java-pakken Kontekstfri grammatikker [ ] definition af kontekstfri sprog eksempler Lukkethedsegenskaber Givet to regulære sprog, L 1 og L 2, er L 1 L 2 regulært? er L 1 L 2 regulært? er L 1 regulært? er L 1 L 2 regulært? er L 1 * regulært? Ja! det beviste vi uge betyder komplement som i bogen En kontraponering Homomorfier [Martin, opg.4.46] Lukkethedsegenskaber kan bl.a. bruges til at vise, at visse sprog er ikke-regulære Eksempel: Klassen af regulære sprog er lukket under Antag vi har bevist, at sproget S ikke er regulært Hvis S = P R og R er regulært, så kan P ikke være regulært Antag g: Σ 1 Σ 2 * hvor Σ 1 og Σ 2 er alfabeter Definer h: Σ 1 * Σ 2 *ved Λ hvis x=λ h(x) = h(y)g(a) hvis x=ya, y Σ 1 *, a Σ 1 h opfylder at h(xy)=h(x)h(y) og kaldes en homomorfi Definer h(l) = { h(x) x L } for alle L Σ 1 * og h -1 (L) = { x h(x) L } for alle L Σ 2 * 3 4
2 Eksempel Regulære sprog og homomorfier Σ 1 ={0,1}, Σ 2 ={a,b} Lad g: Σ 1 Σ 2 * være defineret ved g(0)=ab g(1)=λ Lad h: Σ 1 * Σ 2 * være homomorfien defineret fra g Der gælder f.eks.: h(0011) = ababλλ = abab h({1}{0}*{1}) = {Λ}{ab}*{Λ} = {ab}* h -1 ({ab}*) = {0,1}* Hvis h: Σ 1 * Σ 2 * er en homomorfi og L Σ 1 * er et regulært sprog, så er h(l) også regulært Hvis h: Σ 1 * Σ 2 * er en homomorfi og L Σ 2 * er et regulært sprog, så er h -1 (L) også regulært Dvs. klassen af regulære sprog er lukket under både homomorfi og invers homomorfi 5 6 Eksempel på anvendelse Er følgende sprog over alfabetet Σ={0,1,2} regulært? L = { x2y y=reverse(x), x,y {0,1}* } Vi ved (fra uge 15) at sproget pal = { x {0,1}* x=reverse(x) } ikke er regulært En (utilstrækkelig) intuition: L minder om pal, men måske symbolet 2, der markerer midten af strengen, gør, at vi kan lave en FA for L? Eksempel, fortsat Definer tre funktioner g 1,g 2,g 3 : {0,1,2} {0,1}* ved g 1 (0)=0 g 2 (0)=0 g 3 (0)=0 g 1 (1)=1 g 2 (1)=1 g 3 (1)=1 g 1 (2)=Λ g 2 (2)=0 g 3 (2)=1 og lad h 1,h 2,h 3 være de tilhørende homomorfier h 1 (L) h 2 (L) h 3 (L) = pal så L er ikke regulært, idet pal ikke er regulært og klassen af regulære sprog er lukket under forening og homomorfi 7 8
3 Bevis, del 1 Bevis, del 2 Hvis h: Σ 1 * Σ 2 * er en homomorfi og L Σ 1 * er et regulært sprog, så er h(l) også regulært Hvis h: Σ 1 * Σ 2 * er en homomorfi og L Σ 2 * er et regulært sprog, så er h -1 (L) også regulært Bevis: strukturel induktion i regulære udtryk... (erstat hver a Σ 1 i udtrykket med h(a)) Bevis: Givet en FA M=(Q, Σ 2, q 0, A, δ) hvor L(M)=L, definer en ny FA M =(Q, Σ 1, q 0, A, δ ) ved δ (q, a) = δ*(q, h(a)) Påstand: L(M ) = h -1 (L) (bevises ved induktion) 9 10 Endnu en egenskab ved regulære sprog Pumping -lemmaet for regulære sprog Antag M=(Q, Σ, q 0, A, δ) er en FA og x L(M): x Q Ved en kørsel af x på M vil mindst én af tilstandene blive besøgt mere end én gang q 0 u v Hvis vi betragter den første af disse tilstande kan vi konkludere: u,v,w Σ*: x=uvw uv Q v >0 δ*(q 0, u)=δ*(q 0, uv) w x = uvw 11 Hvis L er et regulært sprog, så gælder flg.: n>0: x L hvor x n: u,v,w Σ*: x=uvw uv n v >0 m 0: uv m w L Bevis: vælg n som antal tilstande i en FA, der genkender L, og kør m gange rundt i løkken... 12
4 Pumping-lemmaet og ikke-regulære sprog Hvis n>0: x L hvor x n: u,v,w Σ* hvor x=uvw, uv n og v >0: m 0: uv m w L så er L ikke regulært Bevis: kontraponering af pumping-lemmaet Pumping-lemmaet som kvantor-spil Antag vi prøver at vise, at L er ikke-regulært Vi skal vise noget på form n...: x...: u,v,w...: m...:... Fjenden vil prøve at modarbejde os 1. Fjenden vælger n 2. Vi vælger x (efter reglerne, dvs. så x L og x n) 3. Fjenden vælger u,v,w (efter reglerne...) 4. Vi vælger m Hvis vi uanset fjendens valg kan opnå at uv m w L, så har vi vundet, dvs. bevist at L er ikke-regulært Eksempel 1 Eksempel 2 Lad L = { 0 i 1 i i 0 } Vi vil vise vha. pumping-lemmaet at L ikke er regulært Fjenden vælger et n>0 Vi vælger x=0 n 1 n som opfylder x L og x n Fjenden vælger u,v,w så x=uvw, uv n og v >0 Vi vælger m=2 Da x=uvw=0 n 1 n, uv n og v >0sågælder at v=0 k for et k>0 dvs. uv m w = uv 2 w = 0 n+k 1 n L så L er ikke regulært Lad pal = { x {0,1}* x=reverse(x) } (som uge 15) Vi vil vise vha. pumping-lemmaet at pal ikke er regulært Fjenden vælger et n>0 Vi vælger x=0 n 10 n som opfylder x pal og x n Fjenden vælger u,v,w så x=uvw, uv n og v >0 Vi vælger m=2 Da x=uvw=0 n 10 n, uv n og v >0 så gælder at v=0 k for et k>0 dvs. uv m w = uv 2 w = 0 n+k 10 n pal så pal er ikke regulært 15 16
5 Eksempel 3 Lad L = { 0 i i er et primtal } Vi vil vise vha. pumping-lemmaet at L ikke er regulært Mere om pumping-lemmaet Pumping-lemmaet kan ikke bruges til at vise, at et givet regulært sprog er regulært Fjenden vælger et n>0 Vi vælger x = 0 p hvor p er et primtal større end n+1 Fjenden vælger u,v,w så x=uvw, uv n og v >0 Vi vælger m=p-k hvor k= v uv m w = uv p-k w = uw + (p-k) v = p-k + (p-k) k = (k+1) (p-k) og begge disse led er >1, dvs. uv m w er ikke et primtal så L er ikke regulært Eksempel: L = { a i b j c j i 1 og j 0 } { b j c k j,k 0 } L er ikke regulært, men L har pumping-egenskaben (dvs. n...: x...: u,v,w...: m 0: uv m w L) Beslutningsproblemer Membership-problemet Membership: Givet en FA M og en streng x, tilhører x sproget af M? Emptiness: Givet en FA M, er sproget for M tomt? Finiteness: Givet en FA M, er sproget for M endeligt? Subset: Givet to FA er, M 1 og M 2, er sproget for M 1 en delmængde af sproget for M 2? Givet en FA M og en streng x, tilhører x sproget af M? (Dvs. er x L(M)?) Algoritme: Kør x på M, startende i starttilstanden, og se om den ender i en accepttilstand Equality: Givet to FA er, M 1 og M 2, er sprogene for M 1 og M 2 ens? alle disse problemer er afgørlige! 19 20
6 Emptiness-problemet Givet en FA M, er sproget for M tomt? (Dvs. er L(M)=Ø?) Algoritme 1: Afprøv for alle x Σ* om x L(M) ved hjælp af algoritmen fra membership-problemet Algoritme 1: Afprøv for alle x hvor x < Q om x L(M) ved hjælp af algoritmen fra membership-problemet en reduktion til membership-problemet Algoritme 2: Undersøg om der findes en accepttilstand (se uge 17) Algoritme 2: Undersøg om der findes en accepttilstand, som er opnåelig fra starttilstanden (se uge 17) 21 Finiteness-problemet Givet en FA M, er sproget for M endeligt? (Dvs. er L(M) en endelig mængde?) Algoritme 1: Afprøv for alle x hvor Q x < 2 Q om x L(M) ved hjælp af algoritmen fra membership-problemet L(M) er endeligt hvis og kun hvis der ikke eksisterer en sådan streng (Bevis for korrekthed: se bogen...) Algoritme 2: Ide: Udnyt at L(M) er uendeligt hvis og kun hvis der i M eksisterer en cykel, der kan nås fra starttilstanden, og som kan nå til en accepttilstand 22 Subset-problemet Givet to FA er, M 1 og M 2, er sproget for M 1 en delmængde af sproget for M 2? (Dvs. er L(M 1 ) L(M 2 )?) Equality-problemet Givet to FA er, M 1 og M 2, er sprogene for M 1 og M 2 ens? (Dvs. er L(M 1 )=L(M 2 )?) Algoritme: Lav med produktkonstruktionen en FA M 3 som opfylder L(M 3 ) = L(M 1 ) - L(M 2 ) og afgør med en algoritme til emptiness-problemet om L(M 3 )=Ø Algoritme: Afgør med algoritmen til subset-problemet om L(M 1 ) L(M 2 ) og L(M 2 ) L(M 1 ) (Bevis for korrekthed: L(M 1 ) L(M 2 ) L(M 1 ) - L(M 2 ) = Ø) 23 24
7 dregaut Java-pakken FA.accepts(String) FA.isEmpty() FA.isFinite() FA.subsetOf(FA) FA.equals(FA) beslutningsprocedurer for de nævnte beslutningsproblemer FA.getAShortestExample() finder en korteste sti fra starttilstanden til en accepttilstand (hvis sproget er ikke-tomt) 25 getashortestexample String getashortestexample() { pending = [ q 0 ] // queue of states that need to be visited paths = [ ] // paths[i ] is a shortest path from q 0 to pending[i ] visited = { q 0 } // set of states that have been visited while pending Ø do q = pending.removefirst() bredde-først gennemløb af automaten path = paths.removefirst() if q A then return path else for each c Σ do p = δ(q, c) if p visited pending.addtoend(p) paths.addtoend(path++c) visited = visited {p} return null // return null if no accept state is found } 26 Status Regulære udtryk og endelige automater Kontekstfri grammatikker Eksempel: Kontekstfri grammatikker sentence subject verb object subject person person Morten Ole Henrik verb spurgte sparkede object thing person thing fodbolden computeren [Chomsky, 1956] 27 Nonterminal-symboler: sentence, subject, person, verb, object, thing Terminal-symboler: Morten, Ole, Henrik, spurgte, sparkede, fodbolden, computeren Start-symbol: sentence Eksempel på derivation: sentence subject verb object... Ole spurgte computeren 28
8 Formel definition af CFG er En kontekstfri grammatik (CFG) er et 4-tupel G = (V, Σ, S, P) hvor V er en endelig mængde af nonterminal-symboler Σ er et alfabet af terminal-symboler og V Σ= Ø S V er et start-symbol P er en endelig mængde af produktioner på form A α hvor A V og α (V Σ)* Derivationer repræsenterer ét derivations-trin, hvor en nonterminal erstattes ifølge en produktion dvs. er en relation over mængden (V Σ)* Hvis α 1,α 2 (V Σ)* og (A γ) P (dvs. grammatikken indeholder produktionen A γ) så gælder α 1 Aα 2 α 1 γα 2 ( er i denne sammenhæng ikke et logisk medfører tegn) Sproget af en kontekstfri grammatik Definer relationen * som den refleksive transitive lukning af, dvs. α * β hvis og kun hvis α β Sproget af G defineres som L(G) = { x Σ* S * x } 0 eller flere derivationstrin Eksempel 1 Sproget A = { a n b n n 0 } kan beskrives af en CFG G=(V,Σ,S,P) hvor V = {S} Σ = {a,b} P = {S asb, S Λ} alternativ notation: S asb Λ Et sprog L Σ* er kontekstfrit hvis og kun hvis der findes en CFG G hvor L(G)=L 31 dvs. L(G) = A (bevis følger...) 32
9 Bevis for korrekthed Påstand: L(G) = A Bevisskitse: (udnyt at x L(G) S * x) L(G) A: givet x hvor x L(G), lav induktion i antal derivationsskridt i S * x A L(G): givet x hvor x A, lav induktion i længden af x Eksempel 2 Sproget pal = { x {0,1}* x=reverse(x) } kan beskrives af en CFG G=(V,Σ,S,P) hvor V = {S} Σ = {0,1} P = {S Λ, S 0, S 1, S 0S0, S 1S1} alternativ notation: S Λ 0 1 0S0 1S Hvorfor navnet kontekstfri? Anvendelser af kontekstfri grammatikker α 1 Aα 2 α 1 γα 2 hvis grammatikken indeholder produktionen A γ dvs. γ kan substituere A uafhængigt af konteksten (α 1 og α 2 ) Praktisk: til beskrivelse af syntaks for programmeringssprog (ofte med BNF-notationen) Teoretisk: som karakteristik af en vigtig klasse af formelle sprog 35 36
10 En kontekstfri grammatik for Java Klasser af formelle sprog klassen af alle sprog (over et givet alfabet) de rekursivt numerable sprog (svarer til Turing-maskiner) de regulære sprog En tekst er et syntaktisk korrekt Java-program hvis den kan deriveres af denne grammatik de endelige sprog de kontekstfri sprog Resume Opgaver Regulære sprog: lukkethed under,,,, *, homomorfi og invers homomorfi pumping -lemmaet beslutningsproblemer: membership, emptiness, finiteness, subset, equality Kontekstfri grammatikker: definition af kontekstfri grammatikker og sprog 39 [Martin]: Anvend pumping-lemmaet Lukkethedsegenskaber Flere beslutningsproblemer Kontekstfri grammatikker Java: Studér udleverede programdele: isfinite, equals Implementér FA metoder: isempty,subsetof, getashortestexample Oversæt regulært udtryk til automat, tilbage til regulært udtryk, tilbage til automat, og sammenlign de to automater Gæt-et-regulært-udtryk spillet Pumping-spillet Ugens finurlige opgave: Endelige automater og multiplikation af binære tal Afleveringsopgave: Anvend pumping-lemmaet 40
Regularitet & Automater Eksamensnotater
Regularitet & Automater Eksamensnotater Michael Lind Mortensen, 20071202, DAT4 10. juni 2008 Indhold 1 Regulære udtryk (1.5 & 3.1) 4 1.1 Disposition............................ 4 1.2 Noter...............................
Læs mereRegulære udtryk og endelige automater. Ugens emner
Ugens emner Endelige automater [Martin, kap. 3.2-3.5] endelige automater og deres sprog skelnelighed produktkonstruktionen Java: dregaut.fa klassen automater til modellering og verifikation Regulære udtryk
Læs mereRegularitet og Automater. Tobias Brixen Q4-2012
Regularitet og Automater Tobias Brixen Q4-2012 1 Noterne er skrevet med inspiration fra http://cs.au.dk/ illio/courses/dregaut/dregautnoter.pdf Contents 1 Regulære udtryk 3 1.1 RegEx.................................
Læs mereRegulære udtryk og endelige automater
Regulære udtryk og endelige automater Regulære udtryk: deklarative dvs. ofte velegnede til at specificere regulære sprog Endelige automater: operationelle dvs. bedre egnet til at afgøre om en given streng
Læs mereEn karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er
Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk
Læs mereNoter til DM517 Beregnelighed
Noter til DM517 Beregnelighed Jonas Nyrup 23. oktober 2011 Indhold 1 Et par noter 2 2 Regulære sprog 2 2.1 DFA................................. 2 2.1.1 Eksempler.......................... 3 2.2 NFA.................................
Læs mereUgens emner. Regulære sprog og digitale billeder. Adressering af områder. Et alfabet. Dette billede: kan repræsenteres af en FA med 832 tilstande
Ugens emner Regulære sprog og digitale billeder Digitale billeder og regulære sprog Regulære udtryk i Java og Unix Dette billede: Turing-maskiner [uddrag af Martin kap. 9-0] Church-Turing tesen, beregnelighed
Læs mere1. Seminar EVU RegAut
1. Seminar EVU RegAut Sigurd Meldgaard Datalogisk Institut Århus Universitet stm@cs.au.dk 27/08 2010 S. Meldgaard (AU) 1. Seminar EVU RegAut 27/08 2010 1 / 105 Plan Introduktion Hvad er Regularitet og
Læs mereDM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser:
DM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser: Jørgen Bang-Jensen October 9, 2013 Abstract Formålet med denne note er at give en form for kogebogsopskrift på, hvorledes man bygger et uafgørlighedsbevis
Læs mereEksamensopgaver i DM17, Januar 2003
Eksamensopgaver i DM17, Januar 2003 Skriftlig Eksamen Automatteori og Beregnelighed (DM17) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Odense Universitet Lørdag, den 18. Januar 2003 Alle sædvanlige
Læs mereSkriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 1 November 212, kl. 1 14 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af computer
Læs mereRegularitet og Automater
Plan dregaut 2007 Regularitet og Automater Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske oplysninger om kurset Ugens emner Introduktion til ugens opgaver 2 Regularitet og Automater Formål med kurset: at
Læs mereSeminar 1 Regularitet og Automater 28/1-2012
Seminar 1 Regularitet og Automater 28/1-2012 Jesper Gulmann Henriksen jgh@wincubate.net Agenda Introduktion Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske Oplysninger om Kurset Regulære Udtryk + Øvelser Induktion
Læs mere1. Seminar EVU RegAut
1. Seminar EVU RegAut Sigurd Meldgaard Datalogisk Institut Århus Universitet stm@cs.au.dk 27/08 2010 S. Meldgaard (AU) 1. Seminar EVU RegAut 27/08 2010 1 / 105 Plan Introduktion Hvad er Regularitet og
Læs mereIt og informationssøgning Forelæsning november 2006 Nils Andersen. Regulære udtryk og formelle sprog
It og informationssøgning Forelæsning 11 22. november 2006 Nils Andersen Regulære udtryk og formelle sprog Regulært udtryk Forening, sammenstilling og Kleene-gentagelse Andre notationer og operatorer Modulet
Læs mereSkriftlig Eksamen Automatteori og Beregnelighed (DM17)
Skriftlig Eksamen Automatteori og Beregnelighed (DM17) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Odense Campus Lørdag, den 15. Januar 2005 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Læs mere1 Beregnelighed. 1.1 Disposition. 1.2 Præsentation. Def. TM. Def. RE/R. Def. 5 egenskaber for RE/R. Def. NSA. Bevis. NSA!RE. Def. SA. Bevis. SA!
1 Beregnelighed 1.1 Disposition Def. TM Def. RE/R Def. 5 egenskaber for RE/R Def. NSA Bevis. NSA!RE Def. SA Bevis. SA!R Bevis. SA RE Def. Beslutningsproblem Arg. Self-Accepting er uløselig 1.2 Præsentation
Læs mereSkriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 31 Oktober 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af lommeregner
Læs mereSkriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 7 Januar 2008, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af lommeregner
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mereOversættere, ugeopgave 3
Oversættere, ugeopgave 3 Anders jerg Pedersen (andersbp@me.com) 29. november 2009 Opgave 1 Vi konsrer først NFA er for grammatikken fra opgave 3.22 med produktionen tilføjet: Produktion NFA 0 A 1 C D 2
Læs mereSyntaks og syntaksgenkendelse, særligt regulære udtryk og tilstandsmaskiner og lidt om anvendelser i bioinformatik
Datalogi C, RUC Forelæsning 22. november 2004 Henning Christiansen Syntaks og syntaksgenkendelse, særligt regulære udtryk og tilstandsmaskiner og lidt om anvendelser i bioinformatik Dagens program Hvad
Læs mereDat 2/F6S: Syntaks og semantik 2005 Centrale emner og eksamenspensum
Dat 2/F6S: Syntaks og semantik 2005 Centrale emner og eksamenspensum Hans Hüttel 14. juni 2005 Indhold 1 Centrale emner 1 2 Fuldt pensum 2 3 Reduceret pensum 3 3.1 Hvad er fjernet her?........................
Læs mereBevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse
Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs mereOversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007
Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen Oversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007 Eksamenstiden er to timer. Opgavernes vægt i procent er angivet ved hver opgave. Den skriftlige
Læs mereSidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed
Approximations-algoritmer Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed Negativt resultat om generel TSP Approximations-algoritme
Læs mereBevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)
Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs mere1 Opsumering fra tidligere. 2 Dagsorden 3 BIMS. 4 Programtilstande. Statements/kommandoer (Stm) i bims. 3.1 Abstrakt syntaks for bims
1 Opsumering fra tidligere Hvis A er kontekstfrit, S er der et p > 0 s Alle s A hvor s p kan splittes op som s = uvxyz så argument 1-3 holder A er ikke kontekstfrit, hvis for ethvert bud på p kan findes
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereReeksamen i Diskret Matematik
Reeksamen i Diskret Matematik Første studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 23. august, 2016, 9.00-13.00 Dette eksamenssæt består af 11 nummerede sider med 16 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereKursusgang Rekursive definitioner. 14. april Mystiske eksempler. Hvad er en rekursiv definition egentlig? Partielle ordninger
Kursusgang 15 14. april 2011 1 Rekursive definitioner Hvad er en rekursiv definition egentlig? Partielle ordninger cpo er (fuldstændige partielle) ordninger Monotone og kontinente funktioner Sætning om
Læs mere6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur
6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært
Læs mereOversættere Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007
Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen Oversættere Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007 Eksamenstiden er to timer. Opgavernes vægt i procent er angivet
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mereBRP Tal. Om computer-repræsentation og -manipulation. Logaritmer
BRP 13.9.2006 Tal. Om computer-repræsentation og -manipulation. Logaritmer 1. Opgaverne til i dag dækker det meste af stoffet 2. Resten af stoffet logaritmer binære træer 3. Øvelse ny programmeringsopgave
Læs mereGrundlæggende køretidsanalyse af algoritmer
Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers
Læs mereIndhold 1 Compilerens opbygning 2 Leksikalsk analyse 3 Grammatikker 4 LL-parsing 5 LR-parsing 6 Det abstrakte syntaks-træ 7 Attribut-grammatikker
Indhold 1 Compilerens opbygning 4 1.1 Compilerensfunktion... 4 1.2 Fasericompileringen... 4 1.3 TinyogC-... 7 2 Leksikalsk analyse 9 2.1 Strengeogsprog... 9 2.2 Regulæreudtryk... 10 2.3 Deterministiskeendeligeautomater...
Læs mereEksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:
Læs mereEksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 10. juni, 2016. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede sider med ialt 16 opgaver. Alle opgaver
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereOversættere. Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen onsdag d. 20. april 2005
Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen Oversættere Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen onsdag d. 20. april 2005 Eksamenstiden er to timer. Opgavernes vægt i procent er angivet ved
Læs mereOrienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk
Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9
Læs mereOrienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer.
Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer Philip Bille Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk
Læs mereChomsky hierarkiet af sprogklasser
Chomsky hierarkiet af sprogklasser Torben Mogensen Juli 2001 I oversætterbogen [Mog01] beskrives to klasser af sprog: De regulære sprog, beskrevet med regulære udtryk og endelige automater samt de kontekstfri
Læs mereDatastrukturer (recap)
Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang
Læs mereOrienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer
Philip Bille Orienteret graf. Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. deg + (7) =, deg - (7) = Lemma. v V deg - (v) = v V deg + (v) = m. Bevis. Hver kant har netop en startknude og slutknude.
Læs mere.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}
Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst
Læs mere1 Program for forelæsningen
1 Program for forelæsningen Udvidelser af Bims (Kontrolstrukturer) Repeat-løkker For-løkker Non-determinisme God Ond parallelitet Alle emner hører under semantisk ækvivalens. 1.0.1 Fra tidligere.. Bims
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2015/16 Institution Hansenberg Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold htx Programmering,
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mere26 Programbeviser I. Noter. PS1 -- Programbeviser I. Bevis kontra 'check af assertions' i Eiffel. Betingelser og bevisregler.
26 Programbeviser I. Bevis kontra 'check af assertions' i Eiffel. Betingelser og bevisregler. Hvad er programverifikation? Bevisregel for 'tom kommando'. Bevisregel for assignment. Bevisregler for selektive
Læs mereP (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2.
P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2. Bevis ved stærk induktion. Basisskridt: P (2) er sand og P (3) er sand. Induktionsskridt: Lad k 2 og antag P
Læs mereDM507 Algoritmer og datastrukturer
DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2019 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 10. april, 2019 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således
Læs mereMatematisk Metode Notesamling
Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok
Læs mereKorteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste
Læs mereKorteste veje. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs. Philip Bille
Korteste veje Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs Philip Bille Korteste veje Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mereKorteste veje. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs. Philip Bille
Korteste veje Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs Philip Bille Korteste veje Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mereKorteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste
Læs mereSkriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)
Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereBRP 6.9.2006 Kursusintroduktion og Java-oversigt
BRP 6.9.2006 Kursusintroduktion og Java-oversigt 1. Kursusintroduktion 2. Java-oversigt (A): Opgave P4.4 3. Java-oversigt (B): Ny omvendings -opgave 4. Introduktion til næste kursusgang Kursusintroduktion:
Læs mereEksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for TT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 29. maj 2017. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereSammenhængskomponenter i grafer
Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv
Læs mereK 7 - og K 4,4 -minors i grafer
Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Institut for Matematiske Fag K 7 - og K 4,4 -minors i grafer Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Institut for Matematiske
Læs mereDat 2/BAIT6/SW4: Syntaks og semantik En manual for studerende
Dat 2/BAIT6/SW4: Syntaks og semantik En manual for studerende Hans Hüttel Foråret 2011 Indhold Indhold 1 1 Kurset er lavet om! 1 2 Kursets indhold 2 2.1 Kursets emner................................ 2
Læs mereReeksamen i Diskret Matematik
Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:
Læs mereDatastrukturer (recap)
Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereAlgoritmeanalyse. Øvre grænse for algoritme. Øvre grænse for problem. Nedre grænse for problem. Identificer essentiel(le) operation(er)
Algoritmeanalyse Identificer essentiel(le) operation(er) Øvre grænse for algoritme Find øvre grænse for antallet af gange de(n) essentielle operation(er) udføres. Øvre grænse for problem Brug øvre grænse
Læs mere22 Hobe. Noter. PS1 -- Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned.
22 Hobe. Binære hobe. Minimum-hob og maximum-hob. Den abstrakte datatype minimum-hob. Opbygning af hobe. Operationen siv-ned. Indsættelse i hobe. Sletning af minimalt element i hobe. Repræsentation. 327
Læs mereStrings and Sets: set complement, union, intersection, etc. set concatenation AB, power of set A n, A, A +
Strings and Sets: A string over Σ is any nite-length sequence of elements of Σ The set of all strings over alphabet Σ is denoted as Σ Operators over set: set complement, union, intersection, etc. set concatenation
Læs mereDatastrukturer (recap) Datastruktur = data + operationer herpå
Dictionaries Datastrukturer (recap) Datastruktur = data + operationer herpå Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data (ofte underforstået, også
Læs mereKlasserne af problemer, der kan løses i deterministisk og i ikke-deterministisk polynomiel tid; polynomiel reduktion; N P-fuldstændighed
Klasserne af problemer, der kan løses i deterministisk og i ikke-deterministisk polynomiel tid; polynomiel reduktion; N P-fuldstændighed Videregående algoritmik Cormen et al. 34.1 34.3 Fredag den 12. december
Læs mereIntroduktion til prædikatlogik
Introduktion til prædikatlogik Torben Braüner Datalogisk Afdeling Roskilde Universitetscenter 1 Plan Symbolisering af sætninger Syntaks Semantik 2 Udsagnslogik Sætningen er den mindste syntaktiske enhed
Læs mereTirsdag 12. december David Pisinger
Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Tirsdag 12. december David Pisinger Resume sidste to gang Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1. P = {L : L genkendes af en algoritme
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mere14 Algoritmeanalyse. Noter. Algoritmebegrebet. Hvad er algoritmeanalyse? Problemstørrelse og køretid. Køretid for forskellige kontrolstrukturer.
14 Algoritmeanalyse. Algoritmebegrebet. Hvad er algoritmeanalyse? Problemstørrelse og køretid. O og Ω. Køretid for forskellige kontrolstrukturer. Eksempler på algoritmeanalyse. Eksponentiel og polynomiel
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,
Læs mereSkriftlig eksamen, Programmer som Data Onsdag 6. januar Spørgsmål 1 (20 %): Regulære udtryk og automater
Skriftlig eksamen, Programmer som Data Onsdag 6. januar 2010 Dette eksamenssæt har 5 sider. Tjek med det samme at du har alle siderne. Eksamens varighed er 4 timer. Der er fire spørgmål. For at få fuldt
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)
Læs mereDATALOGI 1E. Skriftlig eksamen torsdag den 3. juni 2004
Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen DATALOGI 1E Skriftlig eksamen torsdag den 3. juni 2004 Opgaverne vægtes i forhold til tidsangivelsen herunder, og hver opgaves besvarelse bedømmes
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereNetværksalgoritmer 1
Netværksalgoritmer 1 Netværksalgoritmer Netværksalgoritmer er algoritmer, der udføres på et netværk af computere Deres udførelse er distribueret Omfatter algoritmer for, hvorledes routere sender pakker
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:
Læs mere