1 Oligopoler (kapitel 27)

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "1 Oligopoler (kapitel 27)"

Transkript

1 1 Oligopoler (kapitel 27) 1. Vi har set på to vigtige markedsformer: (a) Fuldkommen konkurrence. Alle virksomheder pristagere - en rimelig antagelse i situation mange små konkurrenter. (b) Monopol. Kun én virksomhed som egenhændigt bestemmer prisen. 2. Vi ser nu på oligopoler: (a) - To virksomheder (duopol) eller ere. (b) - Modellerer den strategisk interaction mellem virksomhederne.

2 2 Oligopolmodeller 1. To vigtige faktorer: (a) Modellen: En præcis beskrivelse formen for strategiske interaktion mellem virksomhederne. (Forbrugere spiller her altid en passiv role som pristagere.). (b) Ligevægtsbegreb: Hvornår udgør output/priser en tilstand som ingen vil afvige fra? (c) Det viser sig at analysens resultat afhænger meget af underliggende model. i. En svaghed: Ofte svært at nde den helt "rigtige" model. ii. En styrke: Viser at præcision i analysen er vigtig - og viser at vi kan ændre på udfald af konkurrence ved at lave (små) justeringer i konkurrencevilkår.

3 2. Antagelser: (a) Vi ser på duopol-modeller: To virksomheder. (b) Virksomheder producerer identisk produkt.

4 3 4 modeller 1. Price-leader: (a) Virksomhed 1 sætter pris. (b) Virksomhed 2 tager derefter samme pris. 2. Quantity-leader: (a) Virksomhed 1 fastsætter eget output. (b) Virksomhed 2 observerer dette og fastsætter derefter eget output. 3. Simultan fastsættelse af pris: (a) Begge virksomheder fastsætter pris simultant (b) - derefter køber alle forbrugere hos virksomheden med lavest pris.

5 4. Simultan fastsættelse af output: (a) Begge virksomheder fastsætter output simultant (b) - markedsprisen tilpasser sig efter samlet udbud.

6 4 Stackelberg-modellen 1. Leader-follower model hvor output er strategisk variabel. 2. Spillet: (a) Virksomhed 1 (leader) fastsætter eget output y 1. (b) Virksomhed 2 (follower) observerer y 1 og fastsætter derefter y 2 : (c) Markedspris givet ved invers efterspørgselsfunktion og samlet output: p = p(y 1 + y 2 ):

7 3. Fortolkning: Vi kan fortolke spillet som at y i erne faktisk er kapaciteter (hvor kapacitet og ikke produktion koster)- og at virksomhederne givet en kostbar kapacitet derefter naturlig sætter prisen så at hele kapaciteten benyttes. 4. Man kan vise i detaljer (i et kursus i Industriøkonomi) at et sådant kapacitets-pris spil faktisk i sidste ende giver det samme som et Stackelberg-spil. 5. Hvilket output er optimalt for leader? (a) Afhænger af followers reaktion! (b) Naturligt at antage at follower pro tmaksimerer. 6. Follower s problem: max y 2 p(y 1 + y 2 )y 2 c 2 (y 2 ):

8 Førsteordensbetingelse: p(y 1 + y 2 ) 1 + y 2 2 y 2 = c 0 2 (y 2): MR 2 = MC 2 7. Nb: Afhænger af y 1!. 8. Lad y 2 = f 2 (y 1 ) være optimalt output for follower givet y Kaldes reaktionsfunktionen.

9 10. Eksempel: Linær invers efterspørgsel og nul omkostninger: p(y 1 + y 2 ) = a b(y 1 + y 2 ); c 2 (y 2 ) = 0: Followers pro t: 2 (y 1 ; y 2 ) = [a b(y 1 + y 2 )]y 2 = ay 2 by 1 y 2 by 2 2 : Så ay 2 by 1 y 2 by 2 2 = 2; giver a b y 2 2 by 2 = y 1 : Isopro tlinjer jf Figur 27.1: Pro t voksende mod venstre for follower: Optimal reaktion på y 2 ndes hvor isopro tkurve er lodret!

10 27.01

11 Giver os reaktionskurven. Reaktionsfunktionen algebraisk: og Så Hvilket giver MR 2 ay 2 by 1 y 2 by2 2 = a by 1 2by 2 : MC 2 = 0: MR 2 = MC 2 a by 1 2by 2 = 0: y 2 = a by 1 : 2b Dvs reaktionsfunktion er ret linje (jf Figur 27.1).

12 11. Leaders problem: under bibetingelse: Substitution: max y 1 p(y 1 + y 2 )y 1 c 1 (y 1 ); y 2 = f 2 (y 1 ): max y 1 p(y 1 + f 2 (y 1 ))y 1 c 1 (y 1 ): 12. Eksempel: Lineær efterspørgsel igen. Vi havde og 1 (y 1 ; y 2 ) = p(y 1 + y 2 )y 1 = [a b(y 1 + y 2 )] y 1 ; f 2 (y 1 ) = y 2 = a by 1 ; 2b så leaders pro t er: 1 = a b(y 1 + a by 1 2b ) y 1 ;

13 reduceres til Så Vi har da 1 = a 2 y 1 MR 1 = a 2 b 2 y2 1 : by 1 : a 2 MR 1 = MC 1 by 1 = 0; y 1 = a 2b : Så y 2 = f(y 1 ) Branches samlede output: = a by 1 2b = a b a 2b 2b = a 4b : y 1 + y 2 = a 2b + a 4b = 3a 4b :

14 Figur 27.2: Illustrerer (Stackelberg-) Ligevægt, og såkaldt Cournot-ligevægt (kommer til senere)

15 5 Leader-follower model hvor pris er strategisk variabel 1. Spillet: (a) Leader (virksomhed 1) fastsætter pris p. (b) Follower (virksomhed 2) observerer p og sælger derefter så meget denne vil til pris p (sålænge markedsefterspørgsel kan bære det). i. Kan evt tænke på at follower sælger til p, hvor er ubetydeligt lille - derfor rimelig at antage at markedsefterspørgsel først dækkes af follower. (c) Leader dækker derefter den resterende del af efterspørgsel. 2. Vi løser igen baglæns:

16 3. Followers problem: max y 2 py 2 c 2 (y 2 ); for given p. Velkendt førsteordensbetingelse: MR 2 = MC 2 p = c 0 2 (y 2): Bestemmer en udbudskurve for follower: S(p): 4. Leaders problem: Ved pris p da er leaders residualefterspørgsel: R(p) = D(p) S(p): Så 1 (p) = pr(p) c 1 (R(p)): 5. Pointe: Leader løser monopolistens problem mht residualefterspørgsel R(p) istedet for mht D(p) som sædvanligt.

17 6. Figur 27.3: Lineær efterspørgsel og lineær residualefterspørgsel: (a) p ligevægtspris (b) y L (c) y T leaders output samlet output (nb: trykfejl i gur). (d) y T y L followers output.

18 27.03

19 1. Eksempel: Lineær efterspørgsel, lineære hhv kvadratiske omkostninger. D(p) = a bp: c 1 (y 1 ) = cy 1 : c 2 (y 2 ) = y2 2 2 : Vi har MR 2 = MC 2 p = y 2 ; Så: S(p) = p: Leaders residualefterspørgsel: R(p) = D(p) S(p) = a bp p = a (b + 1)p:

20 Da vi har omkostninger som funktion af y 1 vil vi nu løse leaders problem som funktion af y 1. y 1 = a (b + 1)p; giver Invers Residualefterspørgsel: p = a b b + 1 y 1: Så (husk: marginal revenue har samme skæring m. vertikal akse og dobbelt hældning): MR 1 = Sæt MR 1 =MC 1 : a b + 1 Løs for y 1 : a b b + 1 y 1: MR 1 = MC 2 2 b + 1 y 1 = c: y1 a c(b + 1) = : 2 -heraf ndes p og y2 nemt.

21 6 Cournot-modellen 1. Spillet: De to virksomheder fastsætter simultant output y 1 hhv y Markedspris derefter givet ved invers efterspørgselsfunktion: p = p(y 1 + y 2 ): 3. Når y 1 skal fastsættes da er y 2 ikke kendt, og vice versa. 4. De nition af ligevægt: Et par af outputs (y 1 ; y 2 ) så at: og y 1 er optimalt givet y 2 ; y 2 er optimalt givet y 1 :

22 5. Dvs: y 1 = f 1(y 2 ) y 2 = f 2(y 1 ): 6. Med andre ord: Ingen rmaer kan forbedre output givet det andet rmas output. 7. Sådan ligevægt kaldes Nash-ligevægt i spilteori. 8. En Nashligevægt i en Cournot-model kaldes ofte Cournot- Nash ligevægt. 9. Bemærk: Det ligger i de nitionen at en en sådan ligevægt er nærsynet af natur: 10. Hver virksomheds output er optimal givet at konkurrent fastholder sit output,

23 (a) -men rimeligt at antage konkurrenten fastholder sit output når du afviger??? 11. -nej, måske ikke, men - i mangel af mere tilfredsstillende ligevægtsbegret er man ofte alligevel interesserede i Nash-ligevægt.

24 7 Cournot-modellen: Lineær efterspørgsel. 1. Set på eksempel med p(y 1 + y 2 ) = a b(y 1 + y 2 ): Reaktionsfunktioner: 2. Se Figur 27.4! c i (y i ) = 0 y 2 = f 2 (y 1 ) = a by 1 ; 2b y 1 = f 1 (y 2 ) = a by 2 : 2b 3. (y1 ; y 2 ) er Cournotligevægt hvis: y2 = a by 1; 2b y1 = a by 2: 2b

25 4. Løs to ligninger med to ubekendte vha substitution: Løs mht y 2 : ) y 2 = a by 1 2b = a b a by 2 2b 2b y 2 = a 3b : y 1 = a 3b : : Dvs: y 1 + y 2 = 2a 3b : 5. Cournot-Nash ligevægten har den pæne egenskab at den opstår som følge af at begger rmaer gradvis tilpasser sig konkurrentens output. (a) Nb: un under visse forudsætninger om modellen, f.eks. ved lineær efterspørgsel og konstante marginalomkostninger.

26 Bertrand-modellen 1. Spillet: De to virksomheder fastsætter simultant pris for eget produkt p 1 hhv p Antagelser

27 (a) Antag at begge rmaer producerer til konstante marginalomkostninger c (ens for begge rmaer). (b) Antag at alle forbrugere køber hos rma med lavest pris. (hvis samme pris da deles efterspørgsel mellem rmaer) (c) Vi er igen interesseret i Nash-ligevægt: Et sæt at priser (p 1 ; p 2 ) så at og p 1 er optimal givet p 2 ; p 2 er optimal givet p 1 : 3. En Nashligevægt i en Bertrand-model kaldes ofte Bertrand-Nash ligevægt. 4. Påstand: Der ndes kun én Bertrand-Nashligevægt: p 1 = p 2 = c.

28 5. Hvorfor? (a) Antag at p i > c i ligevægt. (b) Hvis rma j har valgt optimalt da opnås pro t ved at vælge en p j så at c < p j < p i ; (c) NB: Kan ikke være optimalt for rma j at vælge p j = p i da pro t da tilnærmelsesvist kan fordobles ved at sætte pris en anelse ned. (d) Men da kan p i ikke være optimalt givet p j! rma i kunne da få positiv pro t ved at vælge c < p i < p j : (e) Vi har modbevist at man kan have p i > c i Bertrand-Nash ligevægt - da det gælder for begge i er der kun muligheden p 1 = p 2 = c tilbage. Oplagt Nashligevægt (hvorfor?)

29 6. Konsekvenser: (a) Nulpro t i ligevægt for begge rmaer. (b) Output i ligevægt svarer til situation med fuldkommen konkurrence.

30 9 Karteller 1. Kartel: Firmaer laver aftale om fastsætte output således at samlet pro t maximeres. 2. Output reduceres iforhold til Cournot-Nash ligevægt. 3. Det mest kendte af alle karteller: OPEC. 4. Kartellets problem: max y 1 ;y 2 p(y 1 + y 2 )(y 1 + y 2 ) c 1 (y 1 ) c 2 (y 2 ): Førsteordensbetingelser: p 0 (y 1 + y 2 )(y 1 + y 2 ) + p(y 1 + y 2 ) = c 0 1 (y 2): p 0 (y 1 + y 2 )(y 1 + y 2 ) + p(y 1 + y 2 ) = c 0 2 (y 2): I optimum: MC 1 (y 1 ) = MC 2 (y 2 ):

31 problemer for kartel: (a) Betingelsen for maximering af samlet pro t (MC 1 (y 1 ) = MC 2 (y 2 )) sikrer ikke nødvendigvis at pro t deles lige. (b) Kartelmedlemmerne har incitament til ensidigt at øge output.

32 10 Karteller: Lineær efterspørgsel 1. Antag: (a) Nul omkostninger: c i (y i ) = 0 (b) Lineær invers efterspørgselkurve: p(y 1 + y 2 ) = a b(y 1 + y 2 ): 2. Kartelpro t: (y 1 ; y 2 ) = [a b(y 1 + y 2 )][y 1 + y 2 ] = a(y 1 + y 2 ) b(y 1 + y 2 ) 2 : 3. 1 ; y 2 1 = a 2b(y 1 + y 2 ) = 1 ; y 2 2 = a 2b(y 1 + y 2 ) = 0:

33 4. Hvis symmetrisk output vælges y 1 = y 2 = y _, da: dvs: a 2b(2y _) = 0; y _ = a 4b : Samlet output: y 1 = y 2 = 2y _ = a 2b = monopol output. 5. Firma 1 s incitament til at afvige: (a) Karteloutput: (b) Kartelpro t: y 1 = a 4b 1 = p(y 1 + y 2 )y 1 = [a b(y1 + y 2 )] y 1 = a = 1 8 a 2 b : b( a 4b + a 4b ) a 4b

34 (c) Husk reaktionsfunktion: y 1 = f 1 (y 2 ) = a by 2 : 2b Indsæt y2 = 4b a : (d) Afvigerpro t: y1 a = a b 4b a 2b 3a = 4 2b : = 3a 8b : a 1 = p(ya 1 + y 2 )ya 1 = a b( 3a 8b + a 4b ) = a = 9 a 2 64 b : > 1 = 1 8 b( 3a 8b + a 4b ) a 2 b : 3a 8b 3a 8b

35 (e) Konklusion: Karteller fundamentalt ustabile, hvis der ikke ndes en måde at afsløre og stra e afvigere på.

36 11 Uendeligt gentagne Cournot-spil (kursorisk) 1. Hvis rmaer mødes i Cournot-spil gentagne gange da kan man "stra e" afvigere i senere perioder. 2. Intuition: (a) Tænk på at markedet eksister i al uendelighed - eller (mere realistisk) den sidste periode er ikke kendt med sikkerhed. (b) Start med at samarbejde om at dele monopoloutput. (c) Hvis en af rmaerne snyder i en enkelt periode, da vælges Cournot-Nash ligevægt i alle efterfølgende perioder. (d) Derved kan rmaer afskrækkes fra at afvige i først omgang.

37 (e) POINTE 1: Når et marked forventes at eksistere over længere tid, og hvis rmaerne ikke er for utålmodige mht til den øjeblikkelige pro t, da kan karteller være stabile. (f) POINTE 2: Karteller kan opretholdes uden "juridisk bindende" aftaler 3. Kræver lidt fancy spilteori (gentagne spil og ligevægte deri) for en præcis analyse.

38 12 To eksempler 1. "Vi matcher enhver pris" (a) Kan være udtryk for skarp konkurrence -noget i retning af Bertrand-Nash ligevægt. (b)...eller kan være et udtryk for at rma ønsker hurtigt at kunne opdage konkurrenter afvige fra kartelpriser! 2. Frivillige eksport-begrænsninger: (a) I 80 erne aftalte den japanske bilindustri frivillige exportbegrænsninger. (b) Amerikanske myndigheder skulle overvåge kartel. (c) Reduceret output for japanske biler på amerikansk marked førte til højere priser og højere pro t.

39 (d) De facto blev output reduceret i retning af karteloutput, (e)...med amerikanske myndigheder til at overvåge at salgskvoter blev overholdt! (f) Ville formentlig have være mere hensigsmæssigt (set fra amerikansk vinkel) at indføre en toldafgift, der kunne have reducere importen (g) Hvorfor? (h) Samme dæmpende e ekt på salget af japanske biler - og i stedet for øget pro t i japansk bilbranche ville det have givet toldindtægter til amerikansk statskasse.

40 13 Sammenligning af output i forskellige modeller: 1. Antag lineær model: (a) Nul omkostninger: c i (y i ) = 0 (b) Lineær invers efterspørgselskurve: p(y 1 + y 2 ) = a b(y 1 + y 2 ): Bertrand-Nash Stackelberg Cournot-Nash Kartel y1 y 2 y 1 + y 2 p a a a b b a 2b a 3b a 4b 2b a 4b a 3b a 4b 3a 1 4b 4 a 1 8 a2 b 2a 1 3b 3 a a 2 9b a 1 2b 2 a a 2 8b 1 16 a2 b a 2 9b a 2 8b 3 16 a2 b 2 9 a2 b 1 4 a2 b

Et Markedet for lejeboliger til studerende. Model:

Et Markedet for lejeboliger til studerende. Model: Kapitel 1: Markedet - et eksempel. Et Markedet for lejeboliger til studerende Model: 1. Alle lejligheder er identiske. 2. Men nogle ligger tæt på universitet (indre ring), andre længere væk (ydre ring).

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2008I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2008I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2008I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Claus Thustrup Kreiner MÅLBESKRIVELSE Karakteren 12 opnås, når den studerende ud fra fagets niveau på fremragende

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER I

ØKONOMISKE PRINCIPPER I ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 16 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 15 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Vi har indtil videre kun beskrevet

Læs mere

Opgaver til Industriøkonomi 3. årsprøve. Christian Schultz

Opgaver til Industriøkonomi 3. årsprøve. Christian Schultz Opgaver til Industriøkonomi 3. årsprøve Christian Schultz Revideret version april 2004 1 OPGAVESÆT NR. 1 1.1 Opgave 1 Betragt en monopolist med lineær efterspørgselskurve, q = a bp hvor a, b > 0. Hun producerer

Læs mere

Oversigt. Det dominerende firma. Det dominerende firma vis-a-vis monopolisten (i) Det dominerende firma vis-a-vis monopolisten (ii)

Oversigt. Det dominerende firma. Det dominerende firma vis-a-vis monopolisten (i) Det dominerende firma vis-a-vis monopolisten (ii) Oversigt Det dominerende firma Keld Laursen stitut for dustriøkonomi og virksomhedstrategi, HHK e-mail: kl.ivs@cbs.dk, http://www.cbs.dk/departments/ivs/laursen/ Det dominerende firma vis-a-vis monopolisten

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

/LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH

/LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH /LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH Efterspørgselsfunktionen beskriver sammenhængen mellem den pris man tager for sit produkt, og den mængde man kan forvente at afsætte. Det gælder typisk, at

Læs mere

Indhold. Forskning og udvikling. Introduktion. Markedsmagt (i)

Indhold. Forskning og udvikling. Introduktion. Markedsmagt (i) Indhold Forskning og udvikling Keld Laursen Institut for Industriøkonomi og virksomhedstrategi, HHK e-mail: kl.ivs@cbs.dk, http://www.cbs.dk/departments/ivs/laursen/ Introduktion Struktur, opførsel og

Læs mere

Karteldannelse og stabilitet - en komparativ analyse

Karteldannelse og stabilitet - en komparativ analyse Bachelorafhandling Forfattere: Nationaløkonomisk institut Catarina Kaalund Andersen, 300917 Maria Frank Christensen, 300817 Vejleder: Philipp J.H. Schröder Karteldannelse og stabilitet - en komparativ

Læs mere

Mich Tvede 29. januar 2003. Økonomisk Institut Københavns Universitet

Mich Tvede 29. januar 2003. Økonomisk Institut Københavns Universitet Mich Tvede 29. januar 2003. Økonomisk Institut Københavns Universitet Lars Peter Østerdal 2. November 2004. 1 Forbrugere Opgave 1.1 1. Illustrer følgende budgetrestriktioner grafisk: a) p 1 =1,p 2 =1ogm

Læs mere

B3: Strategi, marked og produktion. F2003 Obligatorisk Opgave 1

B3: Strategi, marked og produktion. F2003 Obligatorisk Opgave 1 B3: Strategi, marked og produktion. F2003 Obligatorisk Opgave 1 Svend Hylleberg, Claus Thrane Jensen, Per Baltzer Overgaard og Michael H.J. Stæhr 10.4.2003 Abstract Udleveret materiale findes på Obligatorisk_1_03_udl.xls

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

INDHOLD. Goutham Jørgen Surendran21. december 2011. Indhold

INDHOLD. Goutham Jørgen Surendran21. december 2011. Indhold INDHOLD Indhold Økonomiske principper A 2 Introduktion.............................................. 2 Kapitel 1............................................. 2 Kapitel 2.............................................

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

IP-Telefoni. Mikkel Friis-Olsen. Internet-økonomi, forår 2004 Økonomisk Institut Københavns Universitet Onsdag d. 5. maj 2004

IP-Telefoni. Mikkel Friis-Olsen. Internet-økonomi, forår 2004 Økonomisk Institut Københavns Universitet Onsdag d. 5. maj 2004 IP-Telefoni af Mikkel Friis-Olsen Internet-økonomi, forår 2004 Økonomisk Institut Københavns Universitet Onsdag d. 5. maj 2004 1 Indholdsfortegnelse: 1. Indledning side 3 2.1 Efterspørgsel efter telekommunikation

Læs mere

Velkommen til inspirationsforelæsning Carsten Scheibye

Velkommen til inspirationsforelæsning Carsten Scheibye Velkommen til inspirationsforelæsning Carsten Scheibye Markedsformer i et teoretisk og praktisk perspektiv # Et caseeksempel 1 o r s i d e n Mål for de næste 60 minutter I får nu en Lille smagsprøve på

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Mikroøkonomi - Efterår 2009 Robert Pindyck and Daniel Rubinfeld: Microeconomics, 7th edition

Mikroøkonomi - Efterår 2009 Robert Pindyck and Daniel Rubinfeld: Microeconomics, 7th edition Mikroøkonomi - Efterår 2009 Robert Pindyck and Daniel Rubinfeld: Microeconomics, 7th edition Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. oktober 2009 1 Indhold 1 Forelæsning 1 - d. 2/9-09 4 2 Forelæsning

Læs mere

Opgaverne, der er afleveret er rettet med den udsendte rettevejlednings vejledende vægtning af de enkelte spørgsmål.

Opgaverne, der er afleveret er rettet med den udsendte rettevejlednings vejledende vægtning af de enkelte spørgsmål. Omprøve 1997 Løsningsforslag Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Omprøve 8. august 1997 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene

Læs mere

Eksamen på Økonomistudiet 2009-I. Makro 2. Udleveres d. 14. januar kl. 10.00 A everes d. 16. januar kl.10.00

Eksamen på Økonomistudiet 2009-I. Makro 2. Udleveres d. 14. januar kl. 10.00 A everes d. 16. januar kl.10.00 Eksamen på Økonomistudiet 2009-I Makro 2 2. årsprøve Udleveres d. 14. januar kl. 10.00 A everes d. 16. januar kl.10.00 Der er fokus på at undgå tilfælde af eksamenssnyd I tilfælde af formodet eksamenssnyd,

Læs mere

MAKRO 2 STRUKTUREL LEDIGHED. Arbejdsløshed = Kompetitivt (løntagende) overudbud af arbejdskraft. Hvorfor falder (real-) lønningerne ikke bare?

MAKRO 2 STRUKTUREL LEDIGHED. Arbejdsløshed = Kompetitivt (løntagende) overudbud af arbejdskraft. Hvorfor falder (real-) lønningerne ikke bare? STRUKTUREL LEDIGHED MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 10 Kapitel 13 Hans Jørgen Whitta-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro Arbejdsløshed = Kompetitivt (løntagende) overudbud af arbejdskraft. Hvorfor

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n =

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n = Opgave 6 a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres ( L = 2 z 1 α 2 ) 2 L = 2 z 1 α 2 L = 2 z 1 α 2 n = ( ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) ( n ( ˆp (1 ˆp) ) 1/2 ) 2 L 2 z 1 α 2 n ) 1/2 Opgave 7 n = 4ˆp (1

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Opgave 1: Omprøve august 2005. Spørgsmål 1.1: Spørgsmål 1.2: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Omprøve august 2005. Spørgsmål 1.1: Spørgsmål 1.2: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Omprøve august 2005 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Opgave 1: Omprøve 12. august 2003. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Omprøve 12. august 2003. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Omprøve. august 003 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

VELKOMMEN TIL VIRKSOMHEDSØKONOMI. 1. kursusgang. Lektion 1 til 5

VELKOMMEN TIL VIRKSOMHEDSØKONOMI. 1. kursusgang. Lektion 1 til 5 VELKOMMEN TIL VIRKSOMHEDSØKONOMI 1. kursusgang B5 - CSTBI2 CSTBL2 2 ECTS SE-KURSUS WILLY OLSEN Institut for Mekanik og Produktion 1 Lektion 1 til 5 1. Den nationale økonomi. Byggesektorens andel heri.

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Side 1 af 5 Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Når flyselskaberne opdeler flysæderne i flere klasser og sælger billetterne til flysæderne med forskellige restriktioner, er det 2.

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Denne viden om de fremtidige driftsforhold bør genetableres

Denne viden om de fremtidige driftsforhold bør genetableres Markedssimulatoren Dengang de nuværende succeshistorier vedrørende Kraftvarme Vindkraft Tilsatsfyring med biomasse Kraftværker med verdens højeste virkningsgrader Kraftværker med verdens bedste regulerings

Læs mere

I den teoretiske udredning, for fuldkommen konkurrence, essentiel for opgave a, forudsættes følgende :

I den teoretiske udredning, for fuldkommen konkurrence, essentiel for opgave a, forudsættes følgende : Afløsningsopgave Økonomi 2003, Cpr. Nr. : 310179-1423 Side 1 af 16 OPGAVE A Prisen på det frie marked (a1): I den teoretiske udredning, for fuldkommen konkurrence, essentiel for opgave a, forudsættes følgende

Læs mere

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i

Læs mere

Prisreklame 2005. Gode råd om. Prisreklame. Kend reglerne for prisreklame og undgå utilfredse kunder! Udgivet af Dansk Handel & Service

Prisreklame 2005. Gode råd om. Prisreklame. Kend reglerne for prisreklame og undgå utilfredse kunder! Udgivet af Dansk Handel & Service Gode råd om Prisreklame Kend reglerne for prisreklame og undgå utilfredse kunder! Udgivet af Dansk Handel & Service Prisreklame 2005 Kend reglerne for prisreklame Unøjagtighed i prismarkedsføringen giver

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Disposition for kursus i Excel2007

Disposition for kursus i Excel2007 Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Markedskommentar marts: Den perfekte storm!

Markedskommentar marts: Den perfekte storm! Nyhedsbrev Kbh. 7. apr. 2015 Markedskommentar marts: Den perfekte storm! Marts blev også en god måned med afkast på 1,0 % - 1,8 % i vores afdelinger. Afkastene er et resultat af stigende aktiekurser og

Læs mere

Beskyttelse af forretningskendetegn

Beskyttelse af forretningskendetegn Beskyttelse af forretningskendetegn 1 BESKYTTELSE AF FORRETNINGSKENDETEGN INDHOLD Har du husket at beskytte en af din virksomheds vigtigste aktiver 3 Registrering af virksomheds- og selskabsnavne 4 Varemærker

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

FACITLISTE TIL MATEMA10K C for HHX

FACITLISTE TIL MATEMA10K C for HHX FACITLISTE TIL MATEMA10K C for HHX Denne liste angiver facit til bogens opgaver. Opgaver hvor svaret er redegørende, fortolkende eller vurderende er udeladt. I statistikopgaver hvor der er flere muligheder

Læs mere

Udfra en lønsomhedsvurdering af de tre produkter bedes du opstille en produktionsplan og et dækningsbidragsbudget for det kommende år.

Udfra en lønsomhedsvurdering af de tre produkter bedes du opstille en produktionsplan og et dækningsbidragsbudget for det kommende år. Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Stedprøve 10. maj 2005 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

De samfundsøkonomiske mål

De samfundsøkonomiske mål De samfundsøkonomiske mål Økonomiske vækst Fuld beskæftigelse Overskud i handlen med udlandet Stabile priser (lav inflation) Ligevægt på de offentlige finanser Rimelige sociale forhold for alle Hensyn

Læs mere

Bestem den optimale pris og mængde, illustrer løsningen grafisk og beregn det årlige dækningsbidrag. 0 50000 100000 150000 200000 250000 Mængde

Bestem den optimale pris og mængde, illustrer løsningen grafisk og beregn det årlige dækningsbidrag. 0 50000 100000 150000 200000 250000 Mængde Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 3. maj 007 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen 29. maj 2001. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen 29. maj 2001. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 29. maj 2001 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Se graf: Opgave 2 a) f (x)= 25000x + 475000 År hvor værdien er 150000: 25000x + 475000 = 150000 25000x = 325000 x = 13 I år 2025 vil værdien være faldet til 150000

Læs mere

Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag.

Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Sommereksamen 29. maj 996 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der skal findes frem til et bestemt tal. I disse situationer

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale.

1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale. Opgave 1 1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale. Liniens ligning for strømper: p = am + b To tal på linien: Nuværende

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Gæt et tal Søren Eilers

Gæt et tal Søren Eilers 22 Gæt et tal Søren Eilers Et gæt En aften midt i oktober faldt jeg på nettet over en konkurrence afholdt af radioprogrammet Detektor på P om at gætte det tal mellem 0 og 00, der var halvdelen af gennemsnittet

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

UDSKRIFT AF ØSTRE LANDSRETS DOMBOG K E N D E L S E

UDSKRIFT AF ØSTRE LANDSRETS DOMBOG K E N D E L S E B369300P - DG UDSKRIFT AF ØSTRE LANDSRETS DOMBOG K E N D E L S E Afsagt den 6. februar 2015 af Østre Landsrets 14. afdeling (landsdommerne Rosenløv, Michael Kistrup og Julie Slott (kst.)). 14. afd. nr.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Markedskommentar august: Black August vækstnedgang i Kina giver aktienedtur

Markedskommentar august: Black August vækstnedgang i Kina giver aktienedtur Nyhedsbrev Kbh. 3. sep. 2015 Markedskommentar august: Black August vækstnedgang i Kina giver aktienedtur Uro i Kina sætte sine blodrøde spor i aktiemarkederne i august måned. Vi oplevede de største aktiefald

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 15. august 2011 kl. 9.00-14.00. kl. 9.00-10.00. hhx112-mat/a-15082011

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 15. august 2011 kl. 9.00-14.00. kl. 9.00-10.00. hhx112-mat/a-15082011 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx11-mat/a-1508011 Mandag den 15. august 011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Kassepalletering med griber til både plast- og papkasser

Kassepalletering med griber til både plast- og papkasser Kassepalletering med griber til både plast- og papkasser Kassepalletering med griber Beskrivelse Opstilling A-G Palleteringsmaskinen virker ved at lagmønsteret bliver skabt på mønsterbordet, herefter

Læs mere

Infrarød Screening. med Total Vision anatomi software

Infrarød Screening. med Total Vision anatomi software Infrarød Screening med Total Vision anatomi software Infrarød Screening med Total Vision anatomi software Der er ubegrænsede muligheder med vores høje kvalitetsinfrarød screeningssystem. Energetic Health

Læs mere

DANMARKS NATIONALBANK NATURLIG REAL RENTE OG LANGVARIG STAGNATION. Jesper Pedersen, Økonomisk Afdeling, Økonomisk Forskning

DANMARKS NATIONALBANK NATURLIG REAL RENTE OG LANGVARIG STAGNATION. Jesper Pedersen, Økonomisk Afdeling, Økonomisk Forskning DANMARKS NATIONALBANK NATURLIG REAL RENTE OG LANGVARIG STAGNATION Jesper Pedersen, Økonomisk Afdeling, Økonomisk Forskning Overblik Hvad er langvarig stagnation/ secular stagnation? Tæt sammenhæng med

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Erhvervsøkonomi, Sommer 2004 Eksamensnumre: 7535, 7552 og 7564

Erhvervsøkonomi, Sommer 2004 Eksamensnumre: 7535, 7552 og 7564 Spørgsmål 1 Ud fra dataarkene om skatteoplysninger og budget har vi lavet et revideret budget, hvor der er vist, hvor meget familien Jensen har til rådighed efter skat, samt efter betaling af faste udgifter

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen 28. maj 2003. Spørgsmål 1.1: Dette er et løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen 28. maj 2003. Spørgsmål 1.1: Dette er et løsningsforslag til opgavesættet: Dette er et løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 28. maj 2003 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der skal findes

Læs mere

Markedskommentar november: ECB vil gøre, hvad der er nødvendigt!

Markedskommentar november: ECB vil gøre, hvad der er nødvendigt! Nyhedsbrev Kbh. 2. nov. 2014 Markedskommentar november: ECB vil gøre, hvad der er nødvendigt! November måned blev en fin måned for amerikanske og europæiske aktier. Vores 3 afdelinger er steget med mellem

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

FINANSIERING 1. Opgave 1

FINANSIERING 1. Opgave 1 FINANSIERING 1 3 timers skriftlig eksamen, kl. 9-1, onsdag 9/4 008. Alle sædvanlige hjælpemidler inkl. blyant er tilladt. Sættet er på 4 sider og indeholder 8 nummererede delspørgsmål, der indgår med lige

Læs mere

fremtiden starter her... Gode råd om... Prismarkedsføring

fremtiden starter her... Gode råd om... Prismarkedsføring fremtiden starter her... Gode råd om... Prismarkedsføring INDHOLD Indledning 3 Hvad siger loven? 3 Den enkle løsning én vare én pris 3 Sammenligningspriser 3 Prissammenligning egen førpris 4 Referenceperioden

Læs mere

sningsopgave 1 afsløsningsopgave Kommentarer til resultaterne konomi Svar påp Brug af statistiske databaser af data

sningsopgave 1 afsløsningsopgave Kommentarer til resultaterne konomi Svar påp Brug af statistiske databaser af data HD 2009: Mikroøkonomi konomi Svar påp afløsningsopgave Esben Sloth Anersen esa@business.aau.k www.business.aau.k/evolution/esa/ Generel værktøjsinlæring i afsløsningsopgave sningsopgave Brug af statistiske

Læs mere

ER DU OFFER FOR AFTALT SPIL?

ER DU OFFER FOR AFTALT SPIL? ER DU OFFER FOR AFTALT SPIL? SIDE 2 KONKURRENCE- OG FORBRUGERSTYRELSEN Februar 2015 Oplag 1000 stk. ISBN 978-87-7029-595-6 Tryk: Rosendahls Schultz Grafisk A/S Brochuren er udarbejdet af Konkurrence- og

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Øvelse 5. Tobias Markeprand. October 8, 2008

Øvelse 5. Tobias Markeprand. October 8, 2008 Øvelse 5 Tobias arkeprand October 8, 2008 Opgave 3.7 Formålet med denne øvelse er at analysere ændringen i indkomstdannelsesmodellen med investeringer der afhænger af indkomst/produktionen. Den positive

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Introduktion til GLIMMIX

Introduktion til GLIMMIX Introduktion til GLIMMIX Af Jens Dick-Nielsen jens.dick-nielsen@haxholdt-company.com 21.08.2008 Proc GLIMMIX GLIMMIX kan bruges til modeller, hvor de enkelte observationer ikke nødvendigvis er uafhængige.

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Mål for ansøgningsscoremodel Rating af nye udlånskunder som beskrives vha. en række variable: alder, boligform,

Læs mere