RESEARCH PAPER. Nr. 7, Prisoptimering i logitmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd. Jørgen Kai Olsen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "RESEARCH PAPER. Nr. 7, Prisoptimering i logitmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd. Jørgen Kai Olsen"

Transkript

1 RESEARCH PAPER Nr. 7, 23 Prsotmerng logtmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd af Jørgen Ka Olsen INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG PLADS 3, DK-2 FREDERIKSBERG TEL: FAX NO:

2 Prsotmerng logtmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd Jørgen Ka Olsen Insttut for Afsætnngsøkonom Handelshøjskolen København 23 2

3 Indholdsfortegnelse Sde. Indlednng 3 2. Logtmodellerne under homogen og heterogen forbrugeradfærd 5 3. Prsotmerng logtmodellen under homogen forbrugeradfærd 7 4. Prsotmerng logtmodellen under heterogen forbrugeradfærd 4 5. Et eksemel å rsotmerng de to logtmodeller 7 6. Konsekvenserne for vrksomhedens loyaltetsoltk Konkluson 34 Ltteraturfortegnelse 35 3

4 . Indlednng I den afsætnngsøkonomske teor er to af de vgtgste nteressevarable eller resonsvarable vrksomhedens afsætnng af et gvet mærke og vrksomhedens markedsandel for mærket. Endvdere er en af de vgtgste styrngsvarable eller handlngsarametre den rs, som vrksomheden fastsætter for st mærke. Det er derfor kke underlgt, at der den afsætnngsøkonomske ltteratur er ostllet en lang række kvanttatve modeller for en vrksomheds afsætnng og markedsandel, hvor varens rs ndgår som forklarende varabel. Se fx Llen, Kotler og Moorthy 992 katel 4 for en grundg gennemgang af en lang række kvanttatve rsresonsmodeller seelt for afsætnngens vedkommende. Blandt modellerne for vrksomhedens afsætnng er den lneære rsafsætnngsfunkton skkert den bedst kendte og mest oeratonelle. Men også den soelastske otensfunkton sller en vgtg rolle. Parametrene dsse to modeller er yderst smle at estmere å bass af et konkret talmaterale hhv. ved lneær og kke lneær regressonsanalyse. Og for begge modellers vedkommende er rsotmerngsroblemet let at løse, og det er ydermere grundgt behandlet ltteraturen. I den lneære model er otmalrsen således bestemt som gennemsnttet af de konstante varable enhedsomkostnnger og den rs, ved hvlken afsætnngen blver lg med nul. Og den soelastske otensmodel er otmalrsen bestemt som de varable enhedsomkostnnger multleret med rselastteten der er uafhængg af rsen og konstant dvderet med lus rselastteten. Blandt modellerne for vrksomhedens markedsandel er den logstske funkton formodentlg den mest nærlggende at benytte. Dette skyldes, at arametrene denne model - under homogen forbrugeradfærd som defneres nedenfor - forholdsvs let kan estmeres ved en logstsk regressonsanalyse, som ndgår de fleste statstske standardrogramakker. Imdlertd er rsotmerngsroblemet den logstske model kke set behandlet den afsætnngsøkonomske ltteratur. Hverken under homogen eller under heterogen forbrugeradfærd som også defneres nedenfor. Dette forhold er uheldgt af to årsager. For det første ford de to former for forbrugeradfærd - som det vl fremgå af afsnt 6 nedenfor sller en entral rolle for den ML-estmatonen af arametrene logtmodellen under heterogen forbrugeradfærd er behandlet Olsen 23 B. 4

5 loyaltetsoltk, vrksomheden bør føre over for markedets forbrugere. For det andet ford vrksomheden ved en rsnedsættelse for et gvet mærke ofte står den stuaton, at den kun kan forøge sn totale afsætnng af mærket nævneværdgt ved at øge sn markedsandel for mærket å konkurrenternes bekostnng. Dette gælder fx for varer som benzn, vaskeulver, sæbe, tandasta, mælk, ost, smør, margarne, brød, gryn, mel, sukker, toletar, køkkenrulle, stanol samt skkert også kaffe og te. For sådanne nødvendghedsvarer vl en rsnedsættelse næsten aldrg resultere salg tl helt nye kundegruer, og den vl skkert også kun meget beskedent omfang resultere mersalg tl egne hdtdge kunder. Derfor er en forøgelse af markedsandelen vrksomhedens bedste eller måske eneste mulghed for en forøgelse af dens totale afsætnng. Problemstllngen nærværende artkel er derfor at vse, hvorledes rsen otmeres logtmodellen, når forbrugerne udvser homogen adfærd, at vse, hvorledes rsen otmeres logtmodellen, når forbrugerne udvser heterogen adfærd, at gve et eksemel å rsotmerngen henholdsvs under homogen og under heterogen forbrugeradfærd, samt at vse, at vrksomheden som hovedregel kan onå betydelge økonomske fordele ved at tlrettelægge sn loyaltetsoltk således, at forbrugerne udvser heterogen adfærd. Som det fremgår af denne roblemstllng, er de modeller, v betragter det følgende, alle artelle modeller med den af vrksomheden fastsatte rs for st mærke som den eneste forklarende varabel. Dette forhold er kke et udtryk for, at v mener, at sådanne artelle modeller gver en tlstrækkelg realstsk beskrvelse af vrkelgheden. Det er alene et udtryk for, at v er af den ofattelse, at man som modelkonstruktør nødvendgvs må ostlle og forstå smle modeller, før man blver stand tl at ostlle og forstå mere komlerede og samtdg mere realstske modeller. 5

6 2. Logtmodellerne under homogen og heterogen forbrugeradfærd Overalt det følgende vl v betragte en vrksomhed, der sælger et mærke kaldet mærke A konkurrene med ét eller flere andre mærker, som betragtes under ét og kaldes for mærke B. Mærket udbydes å et marked med N forbrugere alt, og den -te af dsse forbrugere foretager et stokastsk antal køb kaldet n - af roduktkategoren en gven erode, 2,..., N. Endvdere forudsættes n...,, n2, nn dentsk fordelt med mddelværden µ. Endelg forudsættes det, at såvel N som µ er uafhængg af den rs, som vrksomheden fastsætter for st mærke. Ved den -te forbrugers j-te køb af roduktkategoren en gven erode er der en sandsynlghed for, at forbrugeren vælger mærke A. Denne sandsynlghed kaldet købssandsynlgheden - er den samme ved ethvert af forbrugerens n køb eroden, og den afhænger altd af den rs kaldet som vrksomheden fastsætter for mærke A den betragtede erode. Herudover afhænger købssandsynlgheden af om forbrugerne å det betragtede marked udvser homogen adfærd, eller om forbrugerne å det betragtede marked udvser heterogen adfærd. Lad Y j, 2,..., N; j, 2,..., n være en stokastsk ndkatorvarabel, der er lg med, hvs den -te forbruger vælger mærke A ved det j-te køb af roduktkategoren en gven erode, og som er lg med ellers. Hvs forbrugerne udvser homogen adfærd, betragter v modellen ex P Y ; R ; R ;, 2,..., N; j, 2,..., ex j n, medens v, hvs forbrugerne udvser heterogen adfærd, betragter modellen 6

7 ex P Yj ; R ; R ;, 2,..., N; j, 2,..., n. ex Under homogen forbrugeradfærd gælder der altså, at såvel loyaltetsarameteren som rsreaktonsarameteren - og dermed købssandsynlgheden - er den samme for alle N forbrugere å det betragtede marked. Dermod har hver af markedets N forbrugere sn egen ndvduelle loyaltetsarameter og sn egen ndvduelle rsreaktonsarameter - og dermed sn egen ndvduelle købssandsynlghed - hvs forbrugerne udvser heterogen adfærd. I det sdst nævnte tlfælde lægger v dog en smel struktur å de enkelte forbrugeres arameterværdsæt. Mere ræst vl v antage, at samtlge forbrugeres værdsæt af de to arametre og, 2,..., N er uafhængge, dentsk fordelte realsatoner af en stokastsk varabel, der er fordelt efter den todmensonale normale fordelng med mddelværdvektoren, og med kovaransmatren 2 σ σ σ ρ Σ. 2 σ σ ρ σ Alt alt betyder dette, at modellen under homogen forbrugeradfærd kun ndeholder to arametre nemlg loyaltetsarameteren og rsreaktonsarameteren - medens modellen under heterogen forbrugeradfærd ndeholder 5 arametre nemlg foruden mddelværderne og også standardafvgelsen σ, standardafvgelsen σ og korrelatonskoeffenten ρ fordelngen af de ndvduelle loyaltets- og rsreaktonsarametre. I det følgende vl v vse, hvorledes rsotmerngen foretages de to forskellge logtmodeller, når vrksomhedens målsætnng er at maksmere den forventede roft for den betragtede erode. 7

8 8 3. Prsotmerng logtmodellen under homogen forbrugeradfærd Lad være de varable enhedsomkostnnger for mærke A, og antag, at dsse er konstante og dermed uafhængge af roduktonens og afsætnngens størrelse. Da er vrksomhedens forventede roft for mærke A en gven erode. ex ex N N µ µ π Denne funkton er let at maksmere mht.. Ved dfferentaton af π fås nemlg, at ]. [ ] [ ] [ N N N µ µ µ π Da er ostv for alle, er π, hvs og kun hvs. ex Men venstresden af dette udtryk er en lneært voksende funkton af, som er negatv når <, som er nul når, og som er ostv når >. Endvdere er højresden af udtrykket større end for alle værder af og monotont aftagende med som asymtote, når går mod uendelg. Heraf følger, at lgnngen π har en entydgt bestemt løsnng unktet, hvor er større end de varable enhedsomkostnnger.

9 Da d d [ ex ] [ ex ], som er negatv for alle værder af, følger det endvdere, at maksmerer den forventede roft π mht.. Da den otmale rs kke kan fndes ekslt, har v udvklet et seelt edb-rogram, der bestemmer vha. Newton-Rahsons teratonsmetode. Dette rogram vl v gøre brug af eksemlet afsnt 5. Egenskaberne ved den mlt gvne otmalrs studeres lettest vha. følgende sætnng, der er ostllet af Tue Tjur. Sætnng: Lad y hx betegne løsnngen tl lgnngen y ex x y. Funktonen ex f ex som er forventnngen af dæknngsbdraget ved et enkelt køb af roduktkategoren antager da st maksmum for, hvor 9

10 h. Den maksmale værd af forventnngen af dæknngsbdraget er. ex f Endvdere er den otmale købssandsynlghed. ex ex Endelg er rselastteten otmalunktet v. e Det sdste resultat er et velkendt og generelt resultat fra den økonomske teor.

11 Bevs: Ad Ovenfor er det vst, at π, hvs og kun hvs. ex ex ex h h Ad. ex ex ex ex f

12 2 Ad. ex ex f Ad v. ex ex e d d e Q.E.D.

13 Egenskaberne ved funktonen h studeres lettest ved at oskrve den omvendte funkton tl h x. Af defntonen h x ex x h x følger, at ln h x x h x x h x ln h x h y y ln y. Heraf følger nu, at dx dy dy dx y y. y Ved hjæl af funktonen h, der altså er en monotont voksende funkton af x, ford y er ostv, er det nu let at vse, at den otmale rs er en voksende funkton af, og, at den otmale købssandsynlghed er en voksende funkton af og og en aftagende funkton af, og at den maksmale forventede roft π er en voksende funkton af og og en aftagende funkton af. 3

14 4 Endvdere kan det vses, at den ovenfor omtalte Newton-Rahson teraton er ækvvalent med følgende smlere teraton:,,... ;,,... ; ex ex n f n f startværd n n n n n n Dette resultat skyldes Tue Tjur.

15 4. Prsotmerng logtmodellen under heterogen forbrugeradfærd Når forbrugerne udvser heterogen adfærd, er den forventede roft, som vrksomheden onår å mærke A en gven erode, defneret således: π Nµ, 2 hvor er den margnale sandsynlghed for, at en forbruger vælger mærke A ved et gvet køb af roduktkategoren, dvs. at ex, g, d d ex hvor g, er sandsynlghedstætheden for den todmensonale normale fordelng med mddelværdvektoren, og kovaransmatren 2 σ σ σ ρ Σ. 2 σ σ ρ σ Da dobbeltntegralet, der bestemmer den margnale købssandsynlghed, kke kan udtrykkes å ekslt form, vl v aroksmere ved numersk ntegraton å samme måde som Olsen 23. Lad U, 2,..., N være en endmensonal stokastsk varabel, der er defneret således: U. Da følger det af den ovenfor ostllede forudsætnng om fordelngen af regressonsarametrene og, at U er fordelt efter den endmensonale normale fordelng med mddelværden 5

16 ξ og varansen τ 2 σ σ 2σ σ ρ. Endvdere er den -te forbrugers købssandsynlghed for mærke A en gven erode en stokastsk varabel,, der er defneret således: ex ex U, ex ex U og som dermed alene afhænger af U. Dette betyder, at udtrykket ex ex U E [ ] E [ ], ex ex U kan bestemmes vha. den endmensonale normale fordelng. Lad endvdere V være en endmensonal stokastsk varabel, der er defneret således: U ξ V. τ Da er V fordelt efter den endmensonale standardserede normale fordelng, og U ξ τ. V Dette betyder, at udtrykket ex ξ τ V E [ ] ex ξ τ V 6

17 kan bestemmes vha. den endmensonale standardserede normale fordelng. Men udtrykket for den margnale købssandsynlghed kan stadg kke bestemmes ekslt. V aroksmerer derfor den standardserede normale fordelng ved en dskret stokastsk varabel Z med s lge sandsynlge udfald z, z2,..., z, altså med s P Z z r, s hvor z r er defneret således: r z r Φ ; r,2,..., s, 2s s hvor Φ er den nverse af fordelngsfunktonen for den standardserede normale fordelng, og hvor s er et stort ulge ostvt helt tal. I edb-rogrammet, der omtales nedenfor, har v sat s. Varatonsområdet for Φ er altså her de s unkter fra /2s tl -/2s. Og når s er ulge, blver medanen fordelngen af Z lg med z Φ ½. s / 2 Med denne aroksmaton blver den margnale købssandsynlghed ex ξ τ V E [ ] ex ξ τ V s s ex ξ τ zr. ex ξ τ z r r Da det sdste udtryk kan beregnes ekslt, har v udvklet et seelt edb-rogram, der bestemmer den margnale købssandsynlghed. Programmet maksmerer endvdere roftfunktonen π 2 Nµ mht.. Og den otmale rs kaldes det følgende for 2. Dette rogram vl v gøre brug af næste afsnt. 7

18 5. Et eksemel å rsotmerng de to logtmodeller I dette afsnt vl v ved hjæl af et eksemel vse, hvorledes rsotmerngen logtmodellen forløber hhv. under homogen og heterogen forbrugeradfærd. For at konkretsere vl v eksemlet antage, at roduktkategoren for mærke A er kaffe, og at erodelængden er år. Endvdere vl v antage, at N 2 Dvs. at målgruen for kaffe er å alt 2 mlloner forbrugere husstande. µ 26 Dvs. at en forbruger målgruen gennemsnt køber 26 oser kaffe r. år eller ose hver 4. dag. 3 Dvs. at den nugældende rs for en ose kaffe er 3 kr. nu 5 Dvs. at de varable enhedsomkostnnger ved rodukton og salg af en ose kaffe er 5 kr Dvs. at loyaltetsarameteren under homogen adfærd og forventnngen af loyaltetsarameteren under heterogen adfærd er Dvs. at rsreaktonsarameteren under homogen adfærd og forventnngen af rsreaktonsarameteren under heterogen adfærd er.2. σ. Dvs. at standardafvgelsen fordelngen af loyaltetsarameteren under heterogen adfærd er.. σ. 3 Dvs. at standardafvgelsen fordelngen af rsreaktonsarameteren under heterogen adfærd er.3. ρ. 75 Dvs. at korrelatonskoeffenten fordelngen af de to regressons- arametre under heterogen adfærd er.75. Endelg vl v antage, at alle ovennævnte størrelser er kendt uden uskkerhed af beslutnngstageren. Se Olsen 23 vedr. estmaton af modellens arametre. Flere af ovennævnte arameterværder stammer øvrgt fra denne artkel. 8

19 Under dsse antagelser vl v først betragte rsfastsættelsen logtmodellen under homogen forbrugeradfærd. Ved den nugældende rs r. ose kaffe å nu 3 kr. blver købssandsynlgheden for mærke A og den forventede roft for mærke A blver π kkr. r. år. Her og overalt det følgende angves den forventede roft kr., dvs. klokroner kkr.. Men den nugældende rs er kke otmal. Ved benyttelse af det afsnt 3 omtalte edb-rogram tl teratv bestemmelse af otmalrsen fås, at denne blver Ved anvendelse af denne rs blver den otmale købssandsynlghed for mærke A , og den maksmale forventede roft for mærke A blver π kkr. r. år. I forhold tl den nugældende rs å 3 kr. kan vrksomheden altså onå en forøgelse af den forventede årlge roft å 682 kkr. dvs. 6.8 mlloner kr. ved at nedsætte rsen med 2.79 kr. Dette svarer tl en roftforøgelse å 3.5 % ved en rsnedsættelse å 9.3 %. Eller tl en aroksmatv rselasttet mht. den forventede roft å.38. V betragter herefter rsfastsættelsen logtmodellen under heterogen forbrugeradfærd. Under denne model gælder der ved den nugældende rs r. ose kaffe å nu 3 kr., at den margnale købssandsynlghed for mærke A blver , og at den forventede roft for mærke A blver π kkr. r. år. Men den nugældende rs er heller kke otmal under modellen for heterogen forbrugeradfærd. Ved benyttelse af det afsnt 4 omtalte edb-rogram tl aroksmatv bestemmelse af otmalrsen fås, at denne blver Ved anvendelse af denne rs blver den otmale margnale købssandsynlghed for mærke A , og den maksmale forventede roft for mærke A blver π kkr. r. år. 9

20 I forhold tl den nugældende rs å 3 kr. kan vrksomheden altså onå en forøgelse af den forventede årlge roft å 9436 kkr. dvs. 9.4 mlloner kr. ved at forhøje rsen med 4.56 kr. Dette svarer tl en roftforøgelse å 3.7 % ved en rsforhøjelse å 5.2 %. Eller tl en aroksmatv rselasttet mht. den forventede roft å.24. Som det fremgår af ovenstående eksemel, er der en betydelg forskel mellem de otmale løsnnger å rsfastsættelsesroblemet under henholdsvs homogen og heterogen forbrugeradfærd. Under homogen forbrugeradfærd skal man således nedsætte den nugældende rs fra 3 kr. tl 27.2 kr., medens man under heterogen adfærd skal forøge den nugældende rs tl kr. Herved onår man det første tlfælde en købssandsynlghed å.375, medens man det andet tlfælde kun onår en købssandsynlghed å.267. Og forskellen den forventede årlge roft blver også ganske betydelg. Under homogen forbrugeradfærd onår man nemlg kun en forventet årlg roft å 2599 kkr., medens man under heterogen forbrugeradfærd onår en væsentlgt højere forventet årlg roft å 2658 kkr. Dette svarer tl en absolut forskel mellem de forventede årlge roftter å hele 6359 kkr. dvs mlloner kr. og tl en relatv forskel å hele 3.5 %. Da den eneste forskel å de to modeller er værdsættet af de tre arametre σ, σ og ρ, vl v - med henblk å at belyse den solerede effekt af dsse 3 arametre - analysere følgende 5 modeller: Model : σ. ; σ. ; ρ. Model 2: σ. ; σ. ; ρ. Model 3: σ. ; σ.3; ρ. Model 4: σ. ; σ.3 ; ρ. Model 5: σ. ; σ.3 ; ρ.75. Den første af dsse modeller er den ovenfor betragtede model under homogen forbrugeradfærd, medens den sdste model er den ovenfor betragtede model under fuld heterogen forbrugeradfærd. Hovedresultaterne af analysen af dsse 5 modeller fremgår af følgende tabel. 2

21 Tabel. Otmal rs, otmal købssandsynlghed og maksmal forventet roft ved alternatve værdsæt af arametrene σ, σ og ρ. Model σ σ ρ π Det fremgår af tabel, at den otmale rs er mndst, når forbrugerne udvser homogen adfærd og størst, når forbrugerne udvser fuld heterogen adfærd. De 5 ndeks for den otmale rs er hhv.. ; 7.3 ; 8.5 ; 5.3 og 27., at den otmale købssandsynlghed er størst, når forbrugerne udvser homogen adfærd og mndst, når forbrugerne udvser fuld heterogen adfærd. De 5 ndeks for den otmale købssandsynlghed er hhv.. ; 95.4 ; 9. ; 88.5 og 82., at den maksmale forventede roft er mndst, når forbrugerne udvser homogen adfærd og størst, når forbrugerne udvser fuld heterogen adfærd. De 5 ndeks for den maksmale forventede roft er hhv.. ;.8 ; 8.5 ; 8.6 og 3.5. I næste afsnt vl v vurdere konsekvenserne af dsse resultater for den loyaltetsoltk, vrksomheden bør føre over for den betragtede målgrue af forbrugere. Inden da vl v gennemføre en yderlgere analyse nemlg en artel senstvtetsanalyse mht. størrelsen af samtlge arametre model 5, dvs. den model, hvor forbrugerne udvser fuld heterogen adfærd. 2

22 Senstvtetsanalysen gennemføres således, at v for én arameter ad gangen foretager en ændrng af den ågældende arameter forhold tl udgangsstuatonen model 5. Ændrngen er altd å %, og ændrngen foretages altd den retnng, der forøger den maksmale forventede roft. Herefter bestemmer v for hver ændrng den nye otmale rs, den nye otmale købssandsynlghed, den nye maksmale forventede roft samt endelg den roentvse ændrng den maksmale forventede roft relaton tl udgangsstuatonen model 5. Den sdst nævnte størrelse er efter dvson med - elastteten for den forventede roft mht. en ændrng af den ågældende arameter å %. Resultatet af dsse artelle senstvtetsanalyser fremgår af tabel 2. Parameter Tabel 2. Partelle senstvtetsanalyser relaton tl model 5. Værd model 5 Ny værd Otmal rs Otmal købsssh. Maksmal roft Ændrng af roft N % µ % C % % % σ % σ % ρ % Også denne tabel vl blve kommenteret næste afsnt. Endelg har v suleret ovenstående senstvtetsanalyse med analyserne tabellerne 3, 4 og 5. Dsse tre tabeller, som vses nedenfor og kommenteres næste afsnt, er artelle senstvtetsanalyser model 5 mht. hver af de tre seelt nteressante heterogentetsskabende arametre σ, σ og ρ. 22

23 Tabel 3. Partel senstvtetsanalyse mht. σ model 5. σ Otmal rs Otmal købsandel Maksmal roft Tabel 4. Partel senstvtetsanalyse mht. σ model 5. σ Otmal rs Otmal købsandel Maksmal roft mo Tabel 5. Partel senstvtetsanalyse mht. ρ model 5. ρ Otmal rs Otmal købsandel Maksmal roft

24 6. Konsekvenserne for vrksomhedens loyaltetsoltk Det er klart, at de konklusoner, der kan drages å bass af resultaterne af det forrge afsnt gennemgåede eksemel, er af stor betydnng såvel for. den otmale rs, den otmale købssandsynlghed og den maksmale forventede roft som for 2. den loyaltetsoltk vrksomheden bør føre over for forbrugerne å det ågældende marked. Vedrørende det første unkt har v allerede eksemlet konkluderet, at der er betydelg forskel å den otmale rs, den otmale købssandsynlghed og den maksmale forventede roft det tlfælde, hvor forbrugerne udvser homogen adfærd og det tlfælde, hvor forbrugerne udvser heterogen adfærd, og at den otmale rs er størst, den otmale købssandsynlghed er mndst og den maksmale forventede roft er størst under heterogen forbrugeradfærd. I det følgende vl v derfor konentrere os om det andet unkt, dvs. om vrksomhedens generelle loyaltetsoltk. Før v drager konklusoner om loyaltetsoltkken, er det dog vgtgt at bemærke, at dsse konklusoner lgesom konklusonerne om rsen, købssandsynlgheden og roftten ovenfor naturlgvs et vst omfang - afhænger af de konkrete talværder for modellens arametre, der lgger tl grund for det valgte eksemel. Men også kun et vst omfang. Th ved gennemregnng af adskllge andre eksemler, der nøje svarer tl det ovenfor betragtede eksemel, men som bygger å tl tder helt andre talværder for modellens arametre, onås hver gang de samme rnelle konklusoner, men de konkrete talværder varerer naturlgvs fra tlfælde tl tlfælde. For alle de gennemregnede eksemler gælder det, at < 2, dvs. at den otmale rs ved homogen forbrugeradfærd er mndre end den otmale rs ved heterogen forbrugeradfærd. 24

25 Endvdere gælder det som en helt klar hovedregel, at >, dvs. at den otmale 2 købssandsynlghed ved homogen forbrugeradfærd er større end den otmale købssandsynlghed ved heterogen forbrugeradfærd. Endelg gælder det - også som en klar hovedregel - at π < π, dvs. at den maksmale 2 2 forventede roft ved homogen forbrugeradfærd er mndre end den maksmale forventede roft ved heterogen forbrugeradfærd. Dette er altd tlfældet, hvs de to otmale rser og 2 er større end og er lge store ½, som er den rs, ved hvlken de to købssandsynlgheder ½ ½ og lg med ½. I så fald befnder v os nemlg å den konvekse del af grafen for den logstske funkton, hvorfor v kan slutte, at det for enhver værd af Heraf følger seelt, at <, og dermed, at > gælder, at <. ½ π Nµ < Nµ Nµ 2 2 π 2 2. For alle mærker, hvs købssandsynlghed markedsandel otmalstuatonen er mndre end ½, og det vl skkert gælde for de fleste mærker, kan v altså slutte, at den maksmale forventede roft ved homogen forbrugeradfærd er mndre end den maksmale forventede roft ved heterogen forbrugeradfærd. For mærker, hvs købssandsynlghed otmalstuatonen er større end ½, er det fortsat hovedreglen, at π < π. Og de forholdsvs få tlfælde, hvor det med de a ror 2 2 valgte værder af de tre heterogentetsskabende arametre σ, σ og ρ gælder, at π > π 2 2, vser alle de gennemregnede eksemler, at man altd kan onå, at π < π ved at forøge størrelsen af arametrene σ, σ og ρ

26 Efter dsse emrsk baserede bemærknnger tager v nu udgangsunkt den forrge afsnt gennemførte analyse af de 5 modeller, der bygger å stgende grad af forbrugernes heterogentet fra homogen adfærd tl fuld heterogen adfærd. På bass af denne analyse - hvs resultater fremgår af tabel - kan v drage følgende generelle konklusoner mht. vrksomhedens loyaltetsoltk: Vrksomheden bør tlrettelægge sn loyaltetsoltk således at forbrugernes ndvduelle loyaltetsarametre blver så forskellge som mulgt, dvs. at standardafvgelsen σ fordelngen af de ndvduelle loyaltetsarametre skal gøres så stor som mulg, at forbrugernes ndvduelle rsreaktonsarametre blver så forskellge som mulgt, dvs. at standardafvgelsen σ fordelngen af de ndvduelle rsreaktonsarametre skal gøres så stor som mulg, at korrelatonen mellem forbrugernes ndvduelle loyaltetsarameter og ndvduelle rsreaktonsarameter blver ostv og så stor som mulg, dvs. at korrelatonskoeffenten ρ skal gøres så stor som mulg. Dsse tre anbefalnger kan vrksomheden tlgodese gennem sn loyaltetsoltk ved at forkæle vsse gruer af forbrugere samtdg med, at den msrøgter andre gruer af forbrugere. Hvorledes dette helt konkret skal gøres rakss, lgger uden for denne artkels roblemstllng. Men rent metodemæssgt skal det gøres ved en meget fnmasket segmenterng af forbrugerne å det ågældende marked. Dette forhold vl v vende tlbage tl sdst dette afsnt. V tager herefter udgangsunkt den forrge afsnt gennemførte artelle senstvtetsanalyse mht. samtlge 8 arametre model 5, dvs. modellen med fuld heterogen forbrugeradfærd. På bass af denne analyse - hvs resultater fremgår af tabel 2 - kan v drage følgende konklusoner mht. vrksomhedens loyaltetsoltk: 26

27 Vrksomheden bør rmært forsøge at ændre de arametre, der ndgår modellen for homogen forbrugeradfærd - og som dermed ndgår samtlge modeller. Nævnt den eksemlet gældende rækkefølge efter betydnngen for den maksmale forventede roft er dsse 5 arametre: dvs. rsreaktonsarameteren, der eksemlet har elastteten 2.27, dvs. loyaltetsarameteren, der eksemlet har elastteten.25, N dvs. målgruens størrelse, der altd har elastteten., µ dvs. det forventede antal køb af roduktkategoren r. forbruger r. år, der altd har elastteten., dvs. de varable enhedsomkostnnger, der eksemlet har elastteten Det er klart, at det hovedsagelg er de to første arametre, der kan åvrkes gennem vrksomhedens loyaltetsoltk. Men eksemlet vser, at det er vgtgere at gøre markedets forbrugere rsufølsomme og loyale end at forøge antallet af forbrugere målgruen og/eller at forøge det årlge antal køb af roduktkategoren. Og en nedsættelse af de varable enhedsomkostnnger er eksemlet den arameter, der er mndst effektv at anvende for vrksomheden. Sekundært bør vrksomheden forsøge at ændre de 3 arametre, der skaber heterogenteten mellem forbrugerne. Igen nævnt den eksemlet gældende rækkefølge efter betydnngen for den maksmale forventede roft er dsse 3 arametre σ dvs. standardafvgelsen fordelngen af forbrugernes ndvduelle rsreaktonsarametre, der eksemlet har elastteten.24, σ dvs. standardafvgelsen fordelngen af forbrugernes ndvduelle loyaltetsarametre, der eksemlet har elastteten.23, ρ dvs. korrelatonskoeffenten mellem forbrugernes ndvduelle loyaltetsarametre og rsreaktonsarametre, der eksemlet har elastteten.. 27

28 Effektvteten af de heterogentetsskabende arametre er altså eksemlet, men skkert også generelt klart mndre end effektvteten af de arametre, der ndgår modellen under homogen forbrugeradfærd. Men de tre detaljerede artelle senstvtetsanalyser mht. hhv. σ, σ og ρ der er gennemført tabellerne 3, 4 og 5 - vser, at der allgevel er betydelge økonomske fordele forbundet med at gøre forbrugerne heterogene mht. deres købsadfærd for mærke A. Tabel 3 vser, at det er rentabelt for vrksomheden at anvende adskllge mlloner kroner r. år å et loyaltetsrogram, der skaber større heterogentet mellem forbrugerne mht. deres generelle loyaltet over for mærke A. Proftten måles som nævnt kr.. På tlsvarende måde vser tabel 4, at det er særdeles rentabelt for vrksomheden at skabe større heterogentet mellem forbrugerne mht. deres rsfølsomhed over for mærke A. Sdste række tabel 4 llustrerer øvrgt, at den otmale rs og den maksmale forventede roft går mod uendelg, når rsen går mod uendelg. Dette skyldes, at den margnale købssandsynlghed kke går mod nul, når rsen går mod uendelg, ford en med σ voksende del af forbrugerne har ostv rsreaktonsarameter dvs. ostv rselasttet og derfor vælger mærke A, selv om rsen er rnelt uendelg høj. For store værder af rsen er modellen derfor kke realstsk. Endelg vser tabel 5, at det er vgtgt for vrksomheden, at dens loyaltetsrogram er konsstent. Hermed menes, at vrksomheden gennem sn loyaltetsoltk skal sørge for, at de forbrugere, der udvser en høj lav generel loyaltet over for mærke A, også er de forbrugere, der udvser lav høj rsfølsomhed over for mærke A. Dette krav er ofyldt, hvs korrelatonskoeffenten mellem den ndvduelle loyaltetsarameter og den ndvduelle rsreaktonsarameter er ostv og stor. Tabel 5 vser øvrgt også, at effekten af korrelatonskoeffenten er mndre end effekten af de to heterogentetsskabende standardafvgelser. V vl nu vende tlbage tl sørgsmålet om, hvorledes vrksomheden va sn loyaltetsoltk mlt har mulghed for at åvrke størrelsen af modellens 5 arametre,, σ σ og ρ og dermed har mulghed for at følge de ovenfor seferede generelle anbefalnger., 28

29 Med dette formål for øje vl v antage, at den -te forbrugers regressonsarametre er og bestemt mlt af det beløb, x, som vrksomheden anvender salgsfremmende omkostnnger reklame, sælgerbesøg, varerøver, kredttd, generel serve osv. r. erode å den -te forbruger. V vl endvdere antage, at det gennemsntlge beløb, µ x, som vrksomheden anvender salgsfremmende omkostnnger r. forbruger r. erode, er en fast omkostnng, som kke skal gøres tl genstand for otmerng, og som derfor kke ndgår de roftfunktoner, der ostlles nedenfor. Modellen for den mlt gvne sammenhæng mellem x og kan eksemelvs være og α α x ; α R ; α R α α x ; α R ; α R ; x α < α, 2,..., N, hvor α, α, α og α er egentlge ukendte arametre. Denne model er en latent model, som kke er kendt ekslt af vrksomheden. Th modsat fald burde vrksomhedens vden om sammenhængen mellem de salgsfremmende omkostnnger og regressonsarametrene naturlgvs have været nddraget ekslt modelkonstruktonen. Hvs v yderlgere antager, at de salgsfremmende omkostnnger r. forbruger r. erode, dvs. X, 2 er normalfordelt σ fordelng med µ x, x, kan v slutte, at, er fordelt efter den todmensonale normale α α E µ x α α E µ x V α σ x σ 29

30 2 2 2 V α σ x σ og ρ som bortset fra, at ρ er lg med er den afsnt 2 ostllede model. Med henblk å at llustrere vrksomhedens mulghed for at åvrke modellens arametre gennem sn loyaltetsoltk vl v af forenklngsmæssge grunde antage, at vrksomheden har odelt st marked kun to segmenter med homogen forbrugeradfærd nden for hvert segment. Men tankegangen er naturlgvs den samme, uanset om vrksomheden odeler markedet to eller rnelt uendelg mange segmenter. V vl endvdere antage, at de to segmenter er lge store, således at sandsynlgheden for, at en tlfældgt valgt forbruger tlhører et gvet segment fx det første, er ½. Endelg vl v med henblk å at eksemlfere - antage, at µ x ; σ x 2 25 α.5 ; α.2 ; α.8 ; α.6. Dsse arameterværder er valgt, ford de er konsstente med dvs. at de under den ostllede model fører tl de arameterværder, v har analyseret eksemlet afsnt 5. Bortset fra, at korrelatonskoeffenten ρ nu kke er.75, men.. V vl herefter først antage, at vrksomheden anvender det samme beløb salgsfremmende omkostnnger nemlg x µ x kr. r. år å samtlge forbrugere å hvert af de to segmenter. Denne antagelse hvor fordelngen af X altså kke er normal, men er udartet resulterer modellen for homogen forbrugeradfærd fra eksemlet afsnt 5, og resultaterne fra denne model fremgår af nedenstående tabel 6. 3

31 Tabel 6: To segmenter med homogen adfærd Parameter Segment Segment 2 Gennemsnt Segmentandel ½ ½ ---- X σ... σ f I denne tabel angver f kke den totale forventede roft, men den forventede roft ved et enkelt køb af roduktkategoren. Denne roft skal derfor multleres med N µ 52 mlloner for at kunne sammenlgnes med resultaterne fra eksemlet afsnt 5. V antager dernæst, at vrksomheden dfferenterer sn salgsndsats r. forbruger mellem de to segmenter, således at den anvender 5 kr. r. forbruger r. år å samtlge forbrugere å det første segment og 5 kr. r. forbruger r. år å samtlge forbrugere å det andet segment. Denne antagelse medfører, at fordelngen af X blver en dskret tounktsfordelng. Da de to segmenter er lge store, anvender vrksomheden fortsat µ x kr. salgsfremmende omkostnnger r. forbruger r. år gennemsnt for de to segmenter. Men resultaterne blver nu helt anderledes. Tabel 7 vser dette for det tlfælde, hvor vrksomheden er nødt tl at fastsætte den samme rs for mærke A å de to segmenter, ford segmenterne kke kan holdes fyssk adsklt. Det er denne stuaton, v har betragtet eksemlet afsnt 5. 3

32 Tabel 7: To segmenter med heterogen adfærd og samme rs Parameter Segment Segment 2 Gennemsnt Segmentandel ½ ½ ---- X σ... σ f En sammenlgnng af tabellerne 6 og 7 vser, at den otmale rs er 37% højere under heterogen adfærd end under homogen adfærd, at der under heterogen adfærd er stor forskel å den otmale købssandsynlghed å de to segmenter, og at den gennemsntlge otmale købssandsynlghed er 2% mndre under heterogen adfærd end under homogen adfærd, samt at der under heterogen adfærd er stor forskel å den maksmale forventede roft å de to segmenter, og at den gennemsntlge maksmale forventede roft er 59% større under heterogen adfærd end under homogen adfærd. Dette svarer tl, at vrksomheden onår en total forventet merroft å hele 9 mlloner kroner r. år, hvs den dfferenterer sn salgsndsats mellem de to segmenter. En endnu bedre stuaton ostår, hvs vrksomheden er stand tl at gennemføre rsdfferenterng, således at den kan fastsætte forskellg rs for mærke A å de to segmenter. Resultatet af denne stuaton fremgår af tabel 8. 32

33 Tabel 8: To segmenter med heterogen adfærd og forskellg rs Parameter Segment Segment 2 Gennemsnt Segmentandel ½ ½ ---- X σ... σ f Ved sammenlgnng af tabellerne 7 og 8 fremgår det, at der å segment er meget llle forskel å den otmale rs, den otmale købssandsynlghed og sær å den maksmale forventede roft, når vrksomheden fastsætter hhv. den samme rs og forskellg rs å de to segmenter, at der å segment 2 er væsentlg større forskel å den otmale rs, den otmale købssandsynlghed og den maksmale forventede roft, når vrksomheden fastsætter hhv. den samme rs og forskellg rs å de to segmenter, samt at den gennemsntlge maksmale forventede roft for de to segmenter under ét er 5% større, når vrksomheden har mulghed for at gennemføre rsdfferenterng, end hvs denne mulghed kke forelgger. Ovenstående analyse er af forenklngsmæssge grunde kun gennemført for to segmenter, men det er klart, at tankegangen bag segmenterngen kan udvdes tl at omfatte rnelt uendelg mange segmenter, hvorved v får den artklen behandlede model med fuld heterogen forbrugeradfærd. 33

34 I denne model onås resultater, der svarer tl eksemlet afsnt 5, hvs vrksomheden som hdtl antaget fastsætter samme rs for mærke A å hele markedet. I den teoretske dealstuaton, hvor vrksomheden har mulghed for at gennemføre fuldkommen rsdfferenterng ved at fastsætte en ndvduel rs for mærke A over for hver eneste af markedets forbrugere, onås der naturlgvs en endnu højere roft end den eksemlet afsnt 5 betragtede model for heterogen forbrugeradfærd. Selv om denne dealstuaton formodentlg er umulg at realsere rakss, vl v allgevel nævne, at den gennemsntlge otmale rs blver 3.72 kr., at den gennemsntlge otmale købssandsynlghed blver.32, og at den gennemsntlge maksmale forventede roft ved et enkelt køb af roduktkategoren blver 6.76 kr. Det bemærkes, at dsse uonåelge resultater lgger tæt å de evt. onåelge resultater tabel 8. Den teoretsk bedste løsnng for vrksomheden er da også at odele st marked kun to segmenter med størst mulg salgsndsats å det ene segment og mndst mulg salgsndsats å det andet segment, hvorefter der om mulgt gennemføres rsdfferenterng mellem de to segmenter. Konklusonen å ovenstående analyse er altså, at vrksomheden ofte selv vl have mulghed for at åvrke størrelsen af den orndelge models 5 arametre,, σ σ og ρ gennem sn, loyaltetsoltk eksemlet ved segmenterng af forbrugerne mht. salgsndsatsen. Som afslutnng å gennemgangen af ovenstående konklusoner der som nævnt et vst omfang er baseret å eksemler - er det vgtgt at bemærke, at vrksomheden et konkret tlfælde rakss altd kan og altd bør onå mere detaljeret nformaton - og dermed mere ræse konklusoner om den otmale rs, den otmale købssandsynlghed, den maksmale forventede roft og den otmale loyaltetsoltk for et gvet mærke - ved at ndsamle en stkrøve og estmere modellens arametre, fx således som det er beskrevet Olsen

35 7. Konkluson I denne artkel har v betragtet to smle logtmodeller med kun én forklarende varabel for forbrugernes valg af et gvet mærke A nemlg rsen for det ågældende mærke. I den ene af dsse modeller udvser forbrugerne homogen adfærd mht. deres valg af mærke, medens forbrugerne den anden model udvser heterogen adfærd. For dsse to modeller har v endvdere bestemt den otmale rs, den otmale købssandsynlghed og den maksmale forventede roft dels generelt, dels for et konkret eksemel. For det valgte eksemel er konklusonen den, at der er betydelg forskel å den otmale rs, den otmale købssandsynlghed og den maksmale forventede roft det tlfælde, hvor forbrugerne udvser homogen adfærd og det tlfælde, hvor forbrugerne udvser heterogen adfærd. Således er den otmale rs størst, den otmale købssandsynlghed mndst og den maksmale forventede roft størst under heterogen forbrugeradfærd. Endelg har v artklen draget en række generelle konklusoner mht. sørgsmålet om, hvorledes vrksomheden bør tlrettelægge sn loyaltetsoltk over for markedets forbrugere. Konklusonen er her den, at vrksomheden som hovedregel kan onå en betydelg økonomsk gevnst ved at tlrettelægge sn loyaltetsoltk således, at forbrugerne udvser heterogen adfærd, dels mht. deres generelle loyaltet over for det betragtede mærke, dels mht. deres rsfølsomhed over for mærket. Artklen demonstrerer, at dette ofte vl kunne onås ved en segmenterng af forbrugerne å markedet - fx relaton tl vrksomhedens salgsndsats. Tak tl Tue Tjur for mange nteressante dskussoner af artklens roblemstllng. 35

36 Ltteraturfortegnelse Gary L. Llen, Phl Kotler and K. Srdhar Moorthy 992 Marketng Models Prente-Hall Internatonal Edtons Englewood Clffs, New Jersey Jørgen Ka Olsen 2 En oeratonel model tl målng af kundeloyaltet Researh Paer No Insttut for Afsætnngsøkonom, Handelshøjskolen København Jørgen Ka Olsen 23 A En stokastsk model for total og artel kundeloyaltet Researh Paer No Insttut for Afsætnngsøkonom, Handelshøjskolen København Jørgen Ka Olsen 23 B Maksmum lkelhood estmaton af arametrene logtmodellen med stokastske ndvdarametre Et smulatonsstude Researh Paer No 4 Insttut for Afsætnngsøkonom, Handelshøjskolen København Tue Tjur 23 A warnng onernng random effets and random oeffents n logst regresson models for bnary data Prernt No Deartment of Management Sene and Statsts Coenhagen Busness Shool 36

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 1 TALTEORI Følger og den knesske restklassesætnng Dsse noter forudsætter et grundlæggende kendskab tl talteor som man kan få Maranne

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

Morten Frydenberg Biostatistik version dato:

Morten Frydenberg Biostatistik version dato: Morten Frydenberg Bostatstk verson dato: -4- Bostatstk uge mandag Morten Frydenberg, Afdelng for Bostatstk Resume: Hvad har v været gennem ndtl nu Lneær (normal) regresson en kontnuert forklarende varabel

Læs mere

Bilag 6: Økonometriske

Bilag 6: Økonometriske Marts 2015 Blag 6: Økonometrske analyser af energselskabernes omkostnnger tl energsparendsatsen Energstyrelsen Indholdsfortegnelse 1. Paneldataanalyse 3 Specfkaton af anvendte panel regressonsmodeller

Læs mere

DLU med CES-nytte. Resumé:

DLU med CES-nytte. Resumé: Danmarks Statstk MODELGRUPPEN Arbejdspapr* Grane Høegh 17. august 2006 DLU med CES-nytte Resumé: Her papret undersøges det om en generalserng af den bagvedlggende nyttefunkton DLU fra Cobb-Douglas med

Læs mere

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Økonometr Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer 7. Dne

Læs mere

Opsamling. Simpel/Multipel Lineær Regression Logistisk Regression Ikke-parametriske Metoder Chi-i-anden Test

Opsamling. Simpel/Multipel Lineær Regression Logistisk Regression Ikke-parametriske Metoder Chi-i-anden Test Opsamlng Smpel/Multpel Lneær Regresson Logstsk Regresson Ikke-parametrske Metoder Ch--anden Test Opbygnng af statstsk model Specfcer model Lgnnger og antagelser Estmer parametre Modelkontrol Er modellen

Læs mere

Ugeseddel 8. Gruppearbejde:

Ugeseddel 8. Gruppearbejde: Ugeseddel 8 Gruppearbejde: 1. Ved at nkludere en dummyvarabel for et bestemt landeområde, svarer tl at konstatere, at dsse lande har nogle unkke karakterstka, som har betydnng for væksten, som kke gør

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvanttatve metoder Den smple regressonsmodel 9. februar 007 Regressonsmodel med en forklarende varabel (W..3-5) Varansanalyse og goodness of ft Enheder og funktonel form af varabler modellen

Læs mere

Fysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori

Fysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori Fysk 3 Indhold Termodynamk John Nclasen 1. Sandsynlghedsteor 1.1 Symboler 1.2 Boolsk Algebra 1.3 Betngede Udsagn 1.4 Regneregler 1.5 Bayes' formel 2. Fordelnger 2.1 Symboler 2.2 Bnomal Fordelngen 2.3 ultnomal

Læs mere

Økonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1

Økonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1 Økonometr 1 Heteroskedastctet 27. oktober 2006 Økonometr 1: F12 1 Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-4) Sdste gang: I dag: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Korrekton af varansen

Læs mere

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødnng Angelo Andersen.. Problemformulerng I forbndelse med ønsket om at reducere kvælstof udlednngen fra landbruget kan det være nyttgt at undersøge hvordan landbruget

Læs mere

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol Udvklng af en metode tl effektvurderng af Mljøstyrelsens Kemkalenspektons tlsyn og kontrol Orenterng fra Mljøstyrelsen Nr. 10 2010 Indhold 1 FORORD 5 2 EXECUTIVE SUMMARY 7 3 INDLEDNING 11 3.1 AFGRÆNSNING

Læs mere

Binomialfordelingen: april 09 GJ

Binomialfordelingen: april 09 GJ Bnomalfordelngen: aprl 09 GJ Spm A 14: Sandsynlghedsregnng og statstk. Efter en kort ntrodukton af grundlæggende begreber sandsynlghedsregnng og statstk skal du skal ntroducere bnomalfordelngsmodellen

Læs mere

Økonometri lektion 7 Multipel Lineær Regression. Testbaseret Modelkontrol

Økonometri lektion 7 Multipel Lineær Regression. Testbaseret Modelkontrol Økonometr lekton 7 Multpel Lneær Regresson Testbaseret Modelkontrol MLR Model på Matrxform Den multple lneære regressons model kan skrves som X y = Xβ + Hvor og Mndste kvadraters metode gver følgende estmat

Læs mere

Note til Generel Ligevægt

Note til Generel Ligevægt Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den

Læs mere

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvanttatve metoder 2 Instrumentvarabel estmaton 14. maj 2007 KM2: F25 1 y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen F25: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen Kvanttatve metoder Instrumentvarabel estmaton 4. maj 007 F5: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler En regressor,

Læs mere

χ 2 -fordelte variable

χ 2 -fordelte variable χ -fordelte varable Defnton af χ -fordelngen Kvadratsummen V n af n uafhængge standardserede normalfordelte stokastske varable sges at være χ -fordelt med n frhedsgrader. V n fremkommer altså som V n =

Læs mere

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf3 Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Gvet n uafhængge

Læs mere

Beregning af strukturel arbejdsstyrke

Beregning af strukturel arbejdsstyrke VERION: d. 2.1.215 ofe Andersen og Jesper Lnaa Beregnng af strukturel arbedsstyrke Der er betydelg forskel Fnansmnsterets (FM) og Det Økonomske Råds (DØR) vurderng af det aktuelle output gap. Den væsentlgste

Læs mere

Luftfartens vilkår i Skandinavien

Luftfartens vilkår i Skandinavien Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng for valg af transportform Af Mette Bøgelund og Mkkel Egede Brkeland, COWI Trafkdage på Aalborg Unverstet 2000 1 Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng

Læs mere

Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder

Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Oblgatorsk opgave 2 Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Opgavens prmære formål er at lgne formen på tag-hjem delen af eksamensopgaven. Der

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik med binomialfordelingen

Sandsynlighedsregning og statistik med binomialfordelingen Sandsynlghedsregnng og statstk med bnomalfordelngen Katja Kofod Svan og Olav Lyndrup Januar 09 Indhold Stokastske varable... 3 Mddelværd og sprednng... 6 Bnomalfordelngen... Andre sandsynlghedsfordelnger...

Læs mere

6. SEMESTER Epidemiologi og Biostatistik Opgaver til 3. uge, fredag

6. SEMESTER Epidemiologi og Biostatistik Opgaver til 3. uge, fredag Afdelng for Epdemolog Afdelng for Bostatstk 6. SEESTER Epdemolog og Bostatstk Opgaver tl 3. uge, fredag Data tl denne opgave stammer fra. Bland: An Introducton to edcal Statstcs (Exercse 11E ). V har hentet

Læs mere

Kreditrisiko efter IRBmetoden

Kreditrisiko efter IRBmetoden Kredtrsko efter IRBmetoden Vacceks formel Arbejdspapr, oktober 2013 1 KRAKAfnans - Fnanskrsekommssonens sekretarat Teknsk arbejdspapr udkast 15. oktober 2013 Indlednng Det absolutte mndstekrav tl et kredtnsttut

Læs mere

Sandsynlighedsregning 12. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 12. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlghedsregnng. forelæsnng Bo Frs Nelsen Matematk og Computer Scence Danmarks Teknske Unverstet 800 Kgs. Lyngby Danmark Emal: bfn@mm.dtu.dk Dagens nye emner afsnt 6.5 Den bvarate normalfordelng Y

Læs mere

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00 Fagblok 4b: Regnskab og fnanserng 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 tl 31.01 2004 kl. 14.00 Dette opgavesæt ndeholder følgende: Opgave 1 (vægt 50%) p. 2-4 Opgave 2 (vægt 25%) samt opgave 3 (vægt

Læs mere

Nøglebegreber: Objektivfunktion, vægtning af residualer, optimeringsalgoritmer, parameterusikkerhed og korrelation, vurdering af kalibreringsresultat.

Nøglebegreber: Objektivfunktion, vægtning af residualer, optimeringsalgoritmer, parameterusikkerhed og korrelation, vurdering af kalibreringsresultat. Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS Kaptel 14 IVERS MODELLERIG Torben Obel Sonnenborg Geologsk Insttut, Københavns Unverstet Anker Laer Høberg Hydrologsk Afdelng, GEUS øglebegreber:

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.4) Kvanttatve metoder Heteroskedastctet 6. aprl 007 Sdste gang: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Whte s korrekton af OLS varansen Test for heteroskedastctet

Læs mere

Økonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder I 24.november F18: Avancerede Paneldata Metoder I 1

Økonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder I 24.november F18: Avancerede Paneldata Metoder I 1 Økonometr 1 Avancerede Paneldata Metoder I 24.november 2006 F18: Avancerede Paneldata Metoder I 1 Paneldatametoder Sdste gang: Paneldata begreber og to-perode tlfældet (kap 13.3-4) Uobserveret effekt modellen:

Læs mere

Økonometri 1. Test for heteroskedasticitet. Test for heteroskedasticitet. Dagens program. Heteroskedasticitet 26. oktober 2005

Økonometri 1. Test for heteroskedasticitet. Test for heteroskedasticitet. Dagens program. Heteroskedasticitet 26. oktober 2005 Dagens program Økonometr Heteroskedastctet 6. oktober 005 Emnet for denne forelæsnng er heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-8.4) Konsekvenser af heteroskedastctet Hvordan fnder man en effcent estmator?

Læs mere

Inertimoment for arealer

Inertimoment for arealer 13-08-006 Søren Rs nertmoment nertmoment for arealer Generelt Defntonen på nertmoment kan beskrves som Hvor trægt det er at få et legeme tl at rotere eller Hvor stort et moment der skal tlføres et legeme

Læs mere

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel. Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ variabel (med to kategorier)?

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel. Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ variabel (med to kategorier)? Dagens program Økonometr Heteroskedastctet 6. oktober 004 Hovedemnet for denne forelæsnng er heteroskedastctet (kap. 8.-8.3) Lneære sandsynlghedsmodel (kap 7.5) Konsekvenser af heteroskedastctet Hvordan

Læs mere

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke d. 23.5.2013 Fastlæggelse af strukturel arbedsstyrke Dokumentatonsnotat tl Dansk Økonom, Forår 2013 For at kunne vurdere økonomens langsgtede vækstpotentale og underlggende saldoudvklng og for at kunne

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelsøgning Modelkontrol

Anvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelsøgning Modelkontrol Anvendt Statstk Lekton 0 Regresson med både kvanttatve og kvaltatve forklarende varable Modelsøgnng Modelkontrol Opsummerng I forbndelse med multpel lneær regresson så v på modeller på formen E[ y] = α...

Læs mere

Statistisk mekanik 13 Side 1 af 9 Faseomdannelse. Faseligevægt

Statistisk mekanik 13 Side 1 af 9 Faseomdannelse. Faseligevægt Statsts mean 3 Sde af 9 Faselgevægt Hvs hver fase et PVT-system behandles særslt, vl hver fase alene raft af mulgheden for faseomdannelser udgøre et åbent system. Ved generalserng af udtry (3.48) fås dermed

Læs mere

EKSAMEN I MATEMATIK-STATISTIK, 27. JANUAR 2006, KL 9-13

EKSAMEN I MATEMATIK-STATISTIK, 27. JANUAR 2006, KL 9-13 EKSAMEN I MATEMATIK-STATISTIK, 7. JANUAR 006, KL 9-13 [HER STARTER STATISTIKDELEN] Opgave 3 (5%): Bologsk baggrundsnformaton tl forståelse af opgaven: Dr producerer kke altd lge meget afkom af hvert køn.

Læs mere

Notat om porteføljemodeller

Notat om porteføljemodeller Notat om porteføljemodeller Svend Jakobsen 1 Insttut for fnanserng Handelshøjskolen Århus 15. februar 2004 1 mndre modfkatoner af Mkkel Svenstrup 1 INDLEDNING 1 1 Indlednng Dette notat ndeholder en opsummerng

Læs mere

10. Usikkerhed og fejlsøgning

10. Usikkerhed og fejlsøgning 93 10. Uskkerhed og fejlsøgnng Forbrugerprsndekset er baseret på en stkprøve af varer og tjenester og derfor behæftet med uskkerhed. Kaptlet ndledes derfor med en gennemgang af de væsentlgste klder tl

Læs mere

Statistik II Lektion 4 Generelle Lineære Modeller. Simpel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Flersidet Variansanalyse (ANOVA)

Statistik II Lektion 4 Generelle Lineære Modeller. Simpel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Flersidet Variansanalyse (ANOVA) Statstk II Lekton 4 Generelle Lneære Modeller Smpel Lneær Regresson Multpel Lneær Regresson Flersdet Varansanalyse (ANOVA) Logstsk regresson Y afhængg bnær varabel X 1,,X k forklarende varable, skala eller

Læs mere

Tabsberegninger i Elsam-sagen

Tabsberegninger i Elsam-sagen Tabsberegnnger Elsam-sagen Resumé: Dette notat beskrver, hvordan beregnngen af tab foregår. Første del beskrver spot tabene, mens anden del omhandler de afledte fnanselle tab. Indhold Generelt Tab spot

Læs mere

Noter til fysik 3: Statistisk fysik

Noter til fysik 3: Statistisk fysik Noter tl fysk 3: Statstsk fysk Martn Sparre www.logx.dk August 27 Bemærk, at log x denne note er den naturlge logartme. Denne verson er fra d. 16 November, hvor flere trykfejl er blevet rettet. 1 Entrop

Læs mere

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.

Læs mere

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 9

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 9 Økonometr 1 Efterår 006 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Opsamlng på Ugeseddel 8 Gruppearbejde SAS øvelser Ugeseddel 9 består at undersøge, om der er heteroskedastctet vores model for væksten og så fald,

Læs mere

Estimation af CES - forbrugssystemet med og uden dynamik: -fcf/fcfv sammenhold med fcv/fcfv -fct/fcts sammenhold med fcs/fcts

Estimation af CES - forbrugssystemet med og uden dynamik: -fcf/fcfv sammenhold med fcv/fcfv -fct/fcts sammenhold med fcs/fcts Danmarks Statstk MODELGRUPPEN Arbejdspapr [udkast] Andreas Østergaard Iversen 140609 Estmaton af CES - forbrugssystemet med og uden dynamk: -fcf/fcfv sammenhold med fcv/fcfv -fct/fcts sammenhold med fcs/fcts

Læs mere

Antag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36.

Antag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36. Estmaton af varans/sprednng Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - rw@math.aau.dk Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Antag X,..., X n stokastske varable med fælles

Læs mere

Økonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder II Introduktion til Instrumentvariabler 27. november 2006

Økonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder II Introduktion til Instrumentvariabler 27. november 2006 Økonometr 1 Avancerede Paneldata Metoder II Introdukton tl Instrumentvarabler 27. november 2006 Paneldata metoder Sdste gang: Paneldata med to eller flere peroder og fxed effects estmaton. Første-dfferens

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelkontrol

Anvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelkontrol Anvendt Statstk Lekton 0 Regresson med både kvanttatve og kvaltatve forklarende varable Modelkontrol Opsummerng I forbndelse med multpel lneær regresson så v på modeller på formen E y] = α... [ 3 3 4 4

Læs mere

Statikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller

Statikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller Statkstk II 3. Lekton Multpel Logstsk regresson Generelle Lneære Modeller Defntoner: Repetton Sandsynlghed for at Ja tl at være en god læser gvet at man er en dreng skrves: P( God læser Ja Køn Dreng) Sandsynlghed

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvanttatve metoder Opsamlng vedr. nferens uden MLR.5: Beregnng af robuste standardfejl og kovarans under heteroskedastctet (W8.) W.6: Flere emner en multpel regressonsmodel Inferens den

Læs mere

Motivationseffekten af aktivering

Motivationseffekten af aktivering DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Kanddatspecale Bran Larsen Motvatonseffekten af aktverng Vejleder: Anders Holm Afleveret den: 03/03/06 Indholdsfortegnelse 1. Indlednng... 1 2.

Læs mere

Analytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter

Analytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter Analytsk modellerng af 2D Halbach permanente magneter Kaspar K. Nelsen kak@dtu.dk, psjq@dtu.dk DTU Energ Konverterng og -Lagrng Danmarks Teknske Unverstet Frederksborgvej 399 4000, Rosklde, Danmark 17.

Læs mere

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskj Den store russske forfatter tænkte naturlgvs kke på markedsførng, da han skrev dsse lner.

Læs mere

Værktøj til beregning af konkurrenceeffekter ved udlægning af nyt butiksområde

Værktøj til beregning af konkurrenceeffekter ved udlægning af nyt butiksområde Dato: 6. oktober 217 Sag: DIPS- 16/1631 Sagsbehandler: /SBJ/DEB/PMO/KBA Værktøj tl beregnng af konkurrenceeffekter ved udlægnng af nyt butksområde KONKURRENCE- OG FORBRUGERSTYRELSEN ERHVERVSMINISTERIET

Læs mere

Statikstik II 4. Lektion. Generelle Lineære Modeller

Statikstik II 4. Lektion. Generelle Lineære Modeller Statkstk II 4. Lekton Generelle Lneære Modeller Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel X 1,,X k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet X + k = E( Y X ) = α + β x + + β

Læs mere

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel 1,, k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet =( 1,, k

Læs mere

2. Sandsynlighedsregning

2. Sandsynlighedsregning 2. Sandsynlghedsregnng 2.1. Krav tl sandsynlgheder (Sandsynlghedens aksomer) Hvs A og B er hændelser, er en sandsynlghed, hvs: 1. 0 ( A) 1 n 2. ( A ) 1 1 3. ( A B) ( A) + ( B), hvs A og B ngen udfald har

Læs mere

Husholdningsbudgetberegner

Husholdningsbudgetberegner Chrstophe Kolodzejczyk & Ncola Krstensen Husholdnngsbudgetberegner En model for husholdnngers daglgvareforbrug udarbejdet for Penge- og Pensonspanelet Publkatonen Husholdnngsbudgetberegner En model for

Læs mere

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 10

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 10 Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 0 Program for øvelserne: Gennemgang af teoropgave fra Ugesedel 9 Gruppearbejde og plenumdskusson SAS øvelser, spørgsmål -4. Sdste øvelsesgang (uge 2): SAS øvelser,

Læs mere

PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC

PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC MEDDELELSE NR. 1075 Vrknngsgraden (gennemslaget) tl en produktonsbesætnng for avlsværdtallet for hanlg fertltet Duroc blev fundet tl 1,50, hvlket

Læs mere

Erhvervsstyrelsen og Ernst & Young. 26. februar 2014

Erhvervsstyrelsen og Ernst & Young. 26. februar 2014 Erhvervsstyrelsen og Ernst & Young 26. februar 2014 Bass- og ex ante-målng af de admnstratve konsekvenser ved forslag tl lov om autorsaton af vrksomheder el-, vvs- og kloaknstallatonsområdet Indholdsfortegnelse

Læs mere

FRIE ABELSKE GRUPPER. Hvis X er delmængde af en abelsk gruppe, har vi idet vi som sædvanligt i en abelsk gruppe bruger additiv notation at:

FRIE ABELSKE GRUPPER. Hvis X er delmængde af en abelsk gruppe, har vi idet vi som sædvanligt i en abelsk gruppe bruger additiv notation at: FRIE ABELSKE GRUPPER. IAN KIMING Hvs X er delmængde af en abelsk gruppe, har v det v som sædvanlgt en abelsk gruppe bruger addtv notaton at: X = {k 1 x 1 +... + k t x t k Z, x X} (jfr. tdlgere sætnng angående

Læs mere

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Introdukton af problemstllng og datasæt Gruppearbejde SAS øvelser Paneldata for tlbagetræknngsalder Ugesedlen analyserer et datasæt med

Læs mere

Statistik Lektion 15 Mere Lineær Regression. Modelkontrol Prædiktion Multipel Lineære Regression

Statistik Lektion 15 Mere Lineær Regression. Modelkontrol Prædiktion Multipel Lineære Regression Statstk Lekton 15 Mere Lneær Regresson Modelkontrol Prædkton Multpel Lneære Regresson Smpel Lneær Regresson - repetton Spørgsmål: Afhænger y lneært af x?. Model: y = β + β x + ε ε d N(0, σ 0 1 2 ) Systematsk

Læs mere

Morten Frydenberg Version: Thursday, 16 June 2011

Morten Frydenberg Version: Thursday, 16 June 2011 Morten Frydenberg Verson: Thursday, 6 June 20 Logstc regresson og andre regresonsmodeller Morten Frydenberg Deartt of Bostatscs, Aarhus Unv, Denmar Hvornår an man bruge logsts regresson. Ldt om odds og

Læs mere

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13 Økonometr 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13 Prram for øvelserne: Gruppearbejde plenumdskusson SAS øvelser Øvelsesopgave: Vækstregressoner (fortsat) Ugeseddel 13 fortsætter den emprske analyse af vækstregressonen

Læs mere

BLÅ MEMOSERIE. Memo nr. 208 - Marts 2003. Optimal adgangsregulering til de videregående uddannelser og elevers valg af fag i gymnasiet.

BLÅ MEMOSERIE. Memo nr. 208 - Marts 2003. Optimal adgangsregulering til de videregående uddannelser og elevers valg af fag i gymnasiet. BLÅ MEMOSERIE Memo nr. 208 - Marts 2003 Optmal adgangsregulerng tl de vderegående uddannelser og elevers valg af fag gymnaset Karsten Albæk Økonomsk Insttut Købenavns Unverstet Studestræde 6, 1455 Købenavn

Læs mere

Brugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn

Brugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn Brugerhåndbog Del IX Formodel tl beregnng af udlandsskøn September 1999 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 3 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 1. Indlednng FUSK er en Formodel tl beregnng af UdlandsSKøn.

Læs mere

Brugen af R^2 i gymnasiet

Brugen af R^2 i gymnasiet Downloaded from orbt.dtu.dk on: Dec 0, 017 Brugen af R^ gymnaset Brockhoff, Per B.; Hansen, Ernst; Ekstrøm, Claus Thorn Publshed n: LMFK-Bladet Publcaton date: 017 Document Verson Publsher's PDF, also

Læs mere

Kulturel spørgeguide. Psykiatrisk Center København. Dansk bearbejdelse ved Marianne Østerskov. Januar 2011 2. udgave. Kulturel spørgeguide Jan.

Kulturel spørgeguide. Psykiatrisk Center København. Dansk bearbejdelse ved Marianne Østerskov. Januar 2011 2. udgave. Kulturel spørgeguide Jan. Vdenscenter for Transkulturel Psykatr har ekssteret sden 2002 og skal fremme psykatrsk udrednng, dagnostk, behandlng, pleje og opfølgnng af patenter, der har en anden etnsk baggrund end dansk. Kulturel

Læs mere

TEORETISKE MÅL FOR EMNET:

TEORETISKE MÅL FOR EMNET: TEORETISKE MÅL FOR EMNET: Kende begreberne ampltude, frekvens og bølgelængde samt vde, hvad begreberne betyder Kende (og kende forskel på) tværbølger og længdebølger Kende lysets fart Kende lysets bølgeegenskaber

Læs mere

Aftale om generelle vilkår for tillidsrepræsentanter -^ i Magistratsafdelingen for Sundhed og Omsorg 2009-2011

Aftale om generelle vilkår for tillidsrepræsentanter -^ i Magistratsafdelingen for Sundhed og Omsorg 2009-2011 Aftale om generelle vlkår for tlldsrepræsentanter -^ Magstratsafdelngen for Sundhed og Omsorg 2009-2011 1. Aftalens parter Mellem parterne Århus Kommune, Magstratsafdelngen for Sundhed og Omsorg og FOA,

Læs mere

Støbning af plade. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005

Støbning af plade. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Støbnng af plade Køreplan 01005 Matematk 1 - FORÅR 2005 1 Ldt hstorsk baggrund Det første menneske beboede Jorden for over 100.000 år sden. Arkæologske studer vser, at det allerede havde opdaget fænomenet

Læs mere

Regressionsmodeller. Kapitel Ikke-lineær regression

Regressionsmodeller. Kapitel Ikke-lineær regression Kaptel 0 Regressonsmodeller V vl dette kaptel dskutere eksempler på mere komplceret modeller, med observatoner, der nok er uahængge, men kke dentsk ordelte I sådanne modeller kan der opstå et naturlgt

Læs mere

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet BEU - 14.9.2009 - Dagsordenspunkt: 3 09-0855 - JEFR - Blag: 3 Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser nden for FTFområdet Det ndstlles: At BEU tlslutter sg, at KL/FTF-aftalen søges poltsk forankret gennem

Læs mere

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde.

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde. Ishøj Kommune Att.: Kommunaldrektør Anders Hvd Jensen Ishøj Store Torv 20 2635 Ishøj Lett Advokatfrma Rådhuspladsen 4 1550 København V Tlr. 33 34 00 00 Fax 33 34 00 01 lettl lett.dk www.lett.dk Kære Anders

Læs mere

Rettevejledning til Økonomisk Kandidateksamen 2007I, Økonometri 1

Rettevejledning til Økonomisk Kandidateksamen 2007I, Økonometri 1 Rettevejlednng tl Økonomsk Kanddateksamen 2007I, Økonometr Vurderngsgrundlaget er selve opgavebesvarelsen og blaget. Programmer og data, som er afleveret elektronsk, bedømmes som sådan kke, men er anvendt

Læs mere

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Økonometr Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer 7. Dne

Læs mere

Udviklingen i de kommunale udligningsordninger

Udviklingen i de kommunale udligningsordninger Udvklngen de kommunale udlgnngsordnnger af Svend Lundtorp AKF Forlaget Jun 2004 Forord Dette Memo er skrevet de sdste måneder af 2003, altså før strukturkommssonens betænknng og før Indenrgsmnsterets

Læs mere

Der må ikke udelades omkostninger, som er nævnt i vejledningen, ligesom der kun må indberettes de omkostninger, der er nævnt i vejledningen.

Der må ikke udelades omkostninger, som er nævnt i vejledningen, ligesom der kun må indberettes de omkostninger, der er nævnt i vejledningen. VEJLEDNING I OPGØRELSE AF OMKOSTNINGER TIL ENERGIBESPARELSER 1. Vejlednngen skal benyttes af alle fjernvarmeværker Alle værker, der har et energsparemål, skal benytte denne vejlednng tl ndberetnng af omkostnnger

Læs mere

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde Fra små sjove opgaver tl åbne opgaver med stor dybde Vladmr Georgev 1 Introdukton Den største overraskelse for gruppen af opgavestllere ved "Galle" holdkonkurrenen 009 var en problemstllng, der tl at begynde

Læs mere

Pas på dig selv, mand

Pas på dig selv, mand Pas på dg selv, mand Prostatas funkton og sygdomme Kom med Prostatas funkton Du skal passe på dg selv, når det gælder dn prostata. Den kan blve angrebet af kræft mere eller mndre alvorlg grad. Prostata

Læs mere

Måleusikkerhed i kalibrering Nr. : AB 11 Dato : 2011-12-01 Side : 1/3

Måleusikkerhed i kalibrering Nr. : AB 11 Dato : 2011-12-01 Side : 1/3 Sde : 1/3 1. Anvendelsesområde 1.1 Denne akkredterngsbestemmelse gælder ved DANAK s akkredterng af kalbrerngslaboratorer. 1. Akkredterede kalbrerngslaboratorer skal ved estmerng af uskkerhed, rapporterng

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013 SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjenng 2013 EFTER Desgn by Research BRUGERREJSE Ada / KONTANTHJÆLP Navn: Ada Alder: 35 år Uddannelse: cand. mag Matchgruppe: 1 Ada er opvokset Danmark med bosnske forældre.

Læs mere

Validering og test af stokastisk trafikmodel

Validering og test af stokastisk trafikmodel Valderng og test af stokastsk trafkmodel Maken Vldrk Sørensen M.Sc., PhDstud. Otto Anker Nelsen Cv.Ing., PhD, Professor Danmarks Teknske Unverstet/ Banestyrelsen Rådgvnng 1. Indlednng Trafkmodeller har

Læs mere

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved Lgevægt på varemarkedet gen! Sdste gang bestemtes følgende IS-relatonen, der beskrver lgevægten på varemarkedet tl: Y = C(Y T) + I(Y, r) + G εim(y, ε) + X(Y*, ε) Altså er varemarkedet lgevægt, hvs den

Læs mere

faktaark om nybygningens og 5. sporets kapacitet

faktaark om nybygningens og 5. sporets kapacitet Trafkudvalget 2008-09 TRU alm. del Blag 602 Offentlgt greve kommune holbæk kommune høje-taastrup kommune shøj kommune kalundborg kommune lejre kommune odsherred kommune rosklde kommune solrød kommune vallensbæk

Læs mere

Økonometri 1. Interne evalueringer. Interne evalueringer. Dagens program. Heteroskedaticitet (Specifikation og dataproblemer) 2.

Økonometri 1. Interne evalueringer. Interne evalueringer. Dagens program. Heteroskedaticitet (Specifikation og dataproblemer) 2. Dagens program Øonometr 1 Heterosedatctet (Specfaton og dataproblemer). november 005 dataproblemer 1 Interne evaluernger Emner for denne forelæsnng: Heterosedastctet (ap 8.4-8.5) Egensaber ved FGLS Esempel

Læs mere

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Opbygnng af statstsk model Eksploratv data-analyse Specfcer model Lgnnger og antagelser Estmer parametre Modelkontrol Er modellen

Læs mere

Handleplan for Myndighed (Handicap og Socialpsykiatri)

Handleplan for Myndighed (Handicap og Socialpsykiatri) for Myndghed (Handcap og Socalpsykatr) Baggrund Økonomudvalget besluttede den 17. maj 2010, at der bl.a. på Myndghedsområdet for Handcap og Socalpsykatr skal udarbejdes en handleplan som følge den konstaterede

Læs mere

Elektromagnetisme 12 Side 1 af 6 Magnetisk energi. Magnetisk energi

Elektromagnetisme 12 Side 1 af 6 Magnetisk energi. Magnetisk energi lektronetsme Sde af 6 Betragt et kredsløb med erstatnngsresstans R og erstatnngs- L nduktans L. Som udtryk (.) er U emf+ R. (.) U R Det arbejde, som batteret skal præstere løbet af tdsrummet strømmen,

Læs mere

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Økonometr Forår 00 Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer

Læs mere

Elektromagnetisk induktion

Elektromagnetisk induktion Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 9 Elektromotorsk kraft: Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres

Læs mere

DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 2011 74

DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 2011 74 DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 211 74 Johan Gustav Kaas Jacobsen Danmarks Natonalbank Søren Truels Nelsen Danmarks Natonalbank Betalngsvaner Danmark September 211 The Workng Papers of Danmarks Natonalbank

Læs mere

G Skriverens Kryptologi

G Skriverens Kryptologi G Skrverens Kryptolog Nels Juul Munch, Mdtsjællands Gymnasum Matematk Indlednng I den foregående artkel G Skrverens Hstore blev det hstorske forløb om G Skrveren beskrevet og set sammenhæng med Sverges

Læs mere

Undersøgelse af pris- og indkomstelasticiteter i forbrugssystemet - estimeret med AIDS

Undersøgelse af pris- og indkomstelasticiteter i forbrugssystemet - estimeret med AIDS Danmarks Statstk MODELGRUPPEN Arbedspapr* Mads Svendsen-Tune 13. marts 2008 Undersøgelse af prs- og ndkomstelastcteter forbrugssystemet - estmeret med AIDS Resumé: For at efterse nestnngsstrukturen forbrugssystemet

Læs mere

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf Gvet n uafhængge målnger x,, x n af n størrelser µ,, µ n Målnger

Læs mere