Notat om porteføljemodeller

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Notat om porteføljemodeller"

Transkript

1 Notat om porteføljemodeller Svend Jakobsen 1 Insttut for fnanserng Handelshøjskolen Århus 15. februar mndre modfkatoner af Mkkel Svenstrup

2 1 INDLEDNING 1 1 Indlednng Dette notat ndeholder en opsummerng af nogle vgtge resultater om porteføljeoptmerng og CAPM-modellen. Hertl kommer en kort oversgt over APT-modellen. Resultaterne er plukket fra Roll (1977), Ross (1977), Levy (1983) samt Sharpe (1970, 1991). 2 Notaton De fleste resultater det følgende opstlles med matrksnotaton, jf. Roll (1977). V forudsætter n forskellge aktver. X (n 1) vektor af porteføljevægte x,hvorx angver formueandelen nvesteret det te aktv. Negatve andele angver et kort salg af det pågældende aktv. R -(n 1) vektor af afkast ( r ), hvor elementet r angver afkastet for det te aktv. I det følgende er R en n-dmensonal stokastsk varabel med kendt fordelng. r p X 0 R - det samlede (stokastske) afkast for porteføljen, rp = P n =1 x r R (n 1) vektor af forventede afkast (r ), hvor r angver det forventede afkast for det te aktv. r p X 0 R - forventet afkast for porteføljen. C (n n) varans-kovaransmatrce, hvor elementet c j angver kovaransen mellem afkastet for det te og det j te aktv. Dagonalelementet c angver varansen på det te aktv. σ 2 p - porteføljens varans σ 2 p = X 0 CX = P n =1 P n j=1 x x j c j S (n 1) sumvektor af 1-taller. Indføres af hensyn tl matrksnotatonen. Bbetngelse om fuld nvesterng blver X 0 S =1 P x =1 Med ovenstående notaton kan v desuden skrve kovaransen mellem to porteføljer, X p og X q som Cov( r p, r q )=X 0 pcx q.

3 3 MARKOWITZ-MODELLEN 2 3 Markowtz-modellen En standardantagelse beslutnngsteor under uskkerhed er, at nvestor kan vurdere sn nytte U( r p ), ved enhvert fremtdgt afkastnveau, og at nvestor foretager det valg, som maksmerer den forventede nytte, E[U( r p )]. Den centrale forenklng Markowtz s porteføljemodel er, at nvestors nytte kun afhænger af mddelværd og varans (sprednng) afkastfordelngen. Som vst Tobn(1958) kan denne antagelse enten forsvares ved a) at afkastene er normalfordelte eller ved b) at nvestors nyttefunkton er en kvadratsk funkton af formuen. Med den ovenfor defnerede notaton fås U( r p )=U(r p,σ 2 p), U 0 1 > 0, U 0 2 < 0 hvor fortegnene på de partelle afledte, U1 0 U 2 0, angver at nvestor foretrækker højere forventet afkast for fastholdt rsko og lavere rsko for fastholdt afkast. I et hyppgt anvendt specaltlfælde med en lneær sammenhæng mellem forventet afkast og varans fås: U(r p,σ 2 p)=r p σ2 p τ hvorved so-nyttekurver, dvs. kombnatoner af r p og σ p med samme nytte, fndes ved U(r p,σ 2 p)= konstant r p = konstant + σ2 p τ Parameteren τ angver nvestors subjektve trade-off mellem afkast og rsko, dvs. nvestors rskotolerance. I ovenstående formulerng svarer en relatv lav værd for τ tl en relatv rskoavers nvestor. Forskellge grader af rskoaverson leder tl forskellge optmale porteføljevalg. Mængden af samtlge afkast-rsko kombnatoner, som kan opnås ved sammensætnng af de n aktver kaldes afkast-rsko området.de porteføljer,som mnmerer σ 2 p for et gvet r p, sges at lgge på den krtske rand. Porteføljen med den lavest opnåelge varans kaldes mnmum varans porteføljen (MVP). De porteføljer, som maksmerer r p for et gvet σ p, sges at lgge på deneff-

4 4 DEN KRITISKE RAND MED KORT SALG 3 r p r p var var Fgur 1: cente rand. En ratonel nvestor vl med ovenstående forudsætnnger vælge porteføljer på den effcente rand. 4 Den krtske rand med kort salg Hvs der kke er restrktoner på kort salg kan der opstlles eksplctte udtryk for den krtske rand og de bagvedlggende porteføljeandele. For detaljer angående udlednngen af de følgende resultater henvses tl Roll(1977). Den krtske rand kan fndes ved at løse følgende optmerngsproblem for forskellge værder af r p : Optmerngsproblem mnmer σ 2 p = X 0 CX m.h.t. X under bbetngelserne: a) X 0 R = r p - gvet afkastnveau b) X 0 S = 1 - fuld nvesterng Lagrangefunktonen Ovenstående optmerngsproblem under bbetngelser kan ved hjælp af Lagrange multplkator metoden omformuleres tl følgende ubegrænsede problem

5 4 DEN KRITISKE RAND MED KORT SALG 4 mnmer L = X 0 CX λ 1 (X 0 R r p ) λ 2 (X 0 S 1) m.h.t. X 1. ordens betngelserne a) L X =2CX λ 1R λ 2 S =0 b) L λ 1 = r p X 0 R =0 c) L λ 2 =1 X 0 S =0 1. ordensbetngelserne udgør et sæt af (n + 2) lneære lgnnger med n +2 varable. Forudsættes, at kovaransmatrcen C er postv defnt 1,såer2. ordensbetngelsen for mnmum opfyldt. Kovaransmatrcen er herved også nvertbel, og som vst Roll(1977) kan 1. ordensbetngelserne løses m.h.t. X: (1) X = C 1 h R S A 1 " r p 1 hvor (2 2) matrcen A er defneret ved: h A = R S 0 C 1 h R S " a b b c og konstanterne a, b og c er korte symboler for udtrykkene a = R 0 C 1 R, b = R 0 C 1 S, c = S 0 C 1 S Den nverse A-matrce kan som bekendt beregnes som A 1 = " 1 ac b 2 c b b a Lgnng (1) vser, at der er en lneær sammenhæng mellem afkastet r p og porteføljevægtene. Det leder tl følgende resultat: 1 En yderlgere nødvendg antagelse er, at mndst 2 aktver har forskellgt forventet afkast. Hvs kke, reduceres afkast-rsko området tl en vandret lne.

6 4 DEN KRITISKE RAND MED KORT SALG 5 Enhver effcent portefølje lgger på kombnatonslnen mellem to andre effcente porteføljer. Har man først dentfceret to porteføljer kan alle andre effcente porteføljer dannes ved at fordele nvesterngen mellem de to. Dette kaldes separatonseller two-fund -egenskaben. Lgnng (1) gver et drekte udtryk for porteføljevægtene enhver portefølje på den krtske rand, som funkton af det gvne afkastkrav r p. Varansen af en portefølje på denkrtskerandkanfndes fra σ 2 p = X 0 CX,hvorX er gvet ved (1). Regnes ldt på dette, fndes følgende smple udtryk for varansen af en portefølje på den krtske rand: h (2) σ 2 p = r p 1 A 1 " r p 1 =(a 2br p + crp)/(ac 2 b 2 ) Det ses, at der er en smpel kvadratsk sammenhæng mellem r p og σ 2 p,dvs. at den krtske rand er en parabel, som funkton af afkastet. Som specaltlfælde af ovenstående gælder, at mnmum varans porteføljen har varans, σ 2 0 =1/c, forventet afkast r 0 = b/c og porteføljevægte X 0 = C 1 S/c. 4.1 Eksempel 1 I udlednngen af de ovenstående resultater forudsættes, at kovaransmatrcen er postv defnt. En kovaransmatrce vl altd være postv semdefnt, dvs. at varansen X 0 CX 0 for enhvert valg af porteføljevægte X. Antagelsen om (streng) postv defnthed ndebærer, at der altd gælder X 0 CX > 0. Denne stramnng udelukker bl.a. rskofre aktver, samt at to porteføljer kan være perfekt postvt eller perfekt negatvt korrelerede. Som følgende uskyldgt udseende eksempel vser, er det kke enhver kombnaton af varanser og korrelatoner, som er tlladt en kovaransmatrce. Akte Forv. afkast Std.afv. 1 12% 2% 2 13% 3% 3 10% 1%

7 4 DEN KRITISKE RAND MED KORT SALG 6 Opstlles kovaransmatrcen fås: ρ 12 =0, 75, ρ 13 =0, 25, ρ 23 = 0, 7 4 4, 5 0, 5 C = 4, 5 9 2, 1 0, 5 2, 1 1 Beregnes determnanten af C fås det(c) = 13, 59, dvs. at determnanten er negatv, hvlket vser, at matrcen kke er postv defnt. 4.2 Eksempel 2 Sættes ρ 23 =0detforegående eksempel fås en acceptabel kovaransmatrks, som kan vses at være postv defnt. I dette eksempel llustreres beregnngen af den krtske rand: Kovaransmatrcen C er gvet ved 4 4, 5 0, 5 C = 4, , Den nverse kovaransmatrks C 1 blver: 0, , , C 1 = 0, , , , , , Den centrale A-matrks kan beregnes tl: A = " 118, , , , Lgnngen for den krtske rand, dvs. σ 2 p som funkton af et gvet afkastkrav r p blver, jf. lgnng 2

8 4 DEN KRITISKE RAND MED KORT SALG 7 σ 2 p = 100, , 3125 r p +0, 9375 r 2 p Ved at ndsætte tallene (1) og reducere udtrykket fås 0, 3125 X = 0, 125 0, 4375 r p + 3, , , Vareres på afkastkravetr p gennemløbes samtlge effcente porteføljesammensætnnger. Bemærk, at andelen, som skal placeres det te aktv, er en lneær funkton af r p. h Indsættes r p =12, 5% ovenstående formler fås X 0 = 0, , 375 0, 0625 og tlhørende sprednng σ p =2, 33%. Mnmum varans porteføljen har varans σ 2 0 =0, 9ogforventetafkastr h 0 = b/c =11, 44444/1, = 10, 30. Porteføljevægtene er X 0 = 0, 0 0, 1 0, 9 dvs. 10% aktv 2 og 90% aktv 3., 4.3 Udlednng af udtrykket (1) for porteføljevægte Under antagelse af at C er nvertbel, kan v løse 1. ordensbetngelsen a): (3) X = 1 2 C 1 h R S " λ 1 λ 2 Frab)ogc)fås h R S 0 X = " r p 1 Ved ndsættelse af udtrykket (3) for X fås " r p 1 = 1 h 2 R S 0 C 1 h R S " λ 1 λ 2 12 A " λ 1 λ 2

9 5 OPTIMALT PORTEFØLJEVALG 8 Dette udtryk løses " λ 1 λ 2 =2A 1 " r p 1 og resultatet fndes ved ndsættelse (3). 4.4 Udlednng af udtryk (2) for varans Ved ndsættelse af (1) udtrykket σ 2 p = X 0 CX fås ved gentagen benyttelse af transponerngsreglen (AB) 0 = B 0 A 0 at σ 2 p = X 0 CX h = r p 1 h = r p 1 h = r p 1 ³ C 1 h R µ h R A 1 " S r p 1 S A 1 0 CC 1 h R 0 C 1 h R S S A 1 0 A 1 " A 1 " r p 1 r p 1 5 Optmalt porteføljevalg V har nu løst problemet med at fnde den krtske rand. På næsten samme måde kan v fnde det optmale valg for en gven nvestor. Antag, at nvestor maxmerer den lnære nyttefunkton U(r p,σ 2 p) = r p σ 2 p/τ under bbetngelsen X 0 S = 1. Parameteren τ angver nvestors rskotolerance. Lagrangefunktonen blver max L = X 0 R 1 τ X0 CX λ(x 0 S 1) mht. X 1. ordens betngelserne er a) L X = R 2 τ CX λs =0 b) L λ = X0 S 1=0

10 6 BETA OG OPTIMALITET 9 a) løses for X, hvlketgver (4) X = τ 2 C 1 h R S " 1 λ Multplceres (4) fra venstre med S 0 fås 1= τ 2 h b c 0 " 1 λ = τ (b cλ) 2 Lgnngen kan løses for λ som funkton af nvestors rskotolerance. Løsnngen blver Indsættes udtrykket for λ (4)fås λ = b c 2 τc X = 1 2c C 1 h R S " τc 2 τb dvs. at der er en lneær sammenhæng mellem rskotolerance og valg af portefølje. Alternatvt kunne man gange (4) fra venstre med R 0 og løse for afkastkravet som en funkton af rskotolerancen r p = τ 2c A + b c Det fundne afkastkrav kan nu anvendes som vst ovenfor tl at fnde porteføljevægte og varans. 6 Beta og optmaltet Investorernes rskotolerance er kke drekte observerbar og derfor kan det være nteressant at karaktersere nvestorernes optmaltetsbetngelse ud fra

11 6 BETA OG OPTIMALITET 10 den observerbare sammenhæng mellem afkastet på enkeltaktver og afkastet på deres optmale portefølje. Betragt det optmale porteføljevalgsproblem fra sdste afsnt. Hvs 1. ordens betngelse a) ganges gennem med X 0 fås ved ndsættelse af b) at r p λ σ 2 p = 2 τ hvor r p X 0 R angver det forventede afkast af portefølje X og σ 2 p X 0 CX dens varans. Det j te element vektoren CX angver kovaransen mellem det j te aktv og porteføljen X. Kovaransen delt med den samlede varans kaldes aktvernes beta, β p, forhold tl porteføljen, dvs β p CX σ p Efter ndsættelse af udtrykket for rskopræmen kan a) omskrves tl følgende lgnngssystem: (5) R λs =(r p λ)β p V vl omtale forskellen mellem R og λ som aktvernes merafkast over λ. For det j te aktv får v r j λ β jp = r p λ Venstresden kan fortolkes som et rskojusteret merafkast for det enkelte aktv. I en porteføljesammenhæng er det kke aktvets ndvduelle rsko, men dermod aktvets kovarans med den samlede portefølje, som er afgørende for nvestors opfattelse af aktvets rsko. For at vælge en optmal sammensat portefølje skal nvestor naturlgt nok skre, at beholdnngen af hvert enkelt aktv er valgt således, at det rskojusterede merafkast er lg med porteføljens gennemsntlge merafkast. Hvs det rskojusterede merafkast for aktv j lgger over gennemsnttet, kan nvestor øge porteføljens afkast med samme totale rsko ved at øge sn beholdnng af aktv j og omvendt.

12 7 KONSTRUKTIONAFNUL-BETAPORTEFØLJE 11 Endelg kan v konkludere, at hvs der økonomen fndes et aktv eller en portefølje af aktver, X z, som er ukorreleret med nvestors optmale portefølje, dvs har et beta på 0,såmå λ være lg med afkastet på denne portefølje, r z,dvs.atvkanskrve(5)som (6) R r z =(r p r z )β p Lgnng (6) er den ndvduelle udgave af 2-faktor CAPM modellens securty market lne. Lgnngen følger drekte af, at nvestorerne vælger en effcent portefølje. Hvs v antager, at alle har homogene forventnnger, dvs. samme R og C, og formuevægter samtlge nvestorers 1. ordens betngelser, så opnår v en aggregeret optmaltetsbetngelse analog tl (6). Antager v herudover, at økonomen er lgevægt, dvs. at summen af nvestorernes ønskede porteføljesammensætnnger svarer tl markedsporteføljen, såfås CAPM-modellens SML-lne. Se også dskussonen af Sharpe nedenfor. 7 Konstrukton af nul-beta portefølje Som vst Roll(1977) kan det altd lade sg gøre, at tage en effcent portefølje, X p og konstruere en ny effcent portefølje, X z,hvskovaransmedx p er lg med nul, dvs. X 0 pcx z =0. Ifølge lgnng (1) kan v udtrykke X p og X z som lnearkombnatoner af deres tlhørende afkast r p og r z. Indsættes dsse udtryk fås h XpCX 0 z =0 r p 1 A 1 " r z 1 =0 Ved brug af udtrykket for den nverse A-matrks fås følgende udtryk for r z : X 0 pcx z =0 r z = r pb a cr p b Det ses,at for alle effcente porteføljer p, på nær den globale mnmum varans portefølje (r p = b/c), kan der fndes en anden portefølje, z, somkke er korreleret med p.

13 8 BEREGNING AF EFFICIENT RAND UDEN KORT SALG 12 8 Beregnng af effcentrandudenkortsalg Optmerngsproblemet foregående afsnt kan umddelbart udvdes med lneære restrktoner af formen: KX = B, hvor K er en (k n) matrks af koeffcenter og B er en (k 1) vektor. F.eks. kunne nvestor kræve, at to eller flere aktver købes et fast ndbyrdes forhold. De ønskede restrktoner ndføjes Lagrangefunktonen og de nye 1. ordensbetngelser løses på analog vs. Er der dermod mnmum- eller maksmumbegrænsnnger på andelen et eller flere aktver, kan der kke opstlles et eksplct udtryk for den effcente rand. I stedet må problemet løses med numerske metoder. For en udførlg gennemgang se Sharpe (1970). Optmerngsproblem mnmer σ 2 p = X 0 CX m.h.t. X under bbetngelserne: a) X 0 R = r p - gvet afkastnveau b) X 0 S = 1 - fuld nvesterng c) X mn X X max hvor X mn og X max angver en (n 1) vektor af h.h.v. nedre og øvre begrænsnnger. 8.1 Løsnngsprocedure Optmerngsproblemet ndeholder ulghedsbegrænsnnger. Drekte brug af Kuhn-Tuckers sætnng er dog kke nødvendg, da problemet har en smpel struktur, med lneære bbetngelser og med en postv defnt kvadratsk form som krterefunkton. I stedet anvendes den såkaldte crtcal lne algortme, som oprndelg blev udvklet af Markowtz.

14 8 BEREGNING AF EFFICIENT RAND UDEN KORT SALG 13 L' L' L' optmal vªrd optmal vªrd optmal vªrd x mn x max x mn x nede x nde x oppe x = x mn,l0 > 0 x mn x x max, L 0 =0 x = x max, L 0 < 0 I den optmale løsnng må status for hver enkelt porteføljeandel være enten nede, dvs. atvarablenstøderpå sn nedre grænse, nde, dvs. at restrktonerne kke bnder eller oppe, dvs.atandelenkkekanøges.hvertafde tre tlfælde lægger en restrkton på denafledede af Langrangefunktonen: Er varablen f.eks. på sn nedre grænse optmum, må denafledede af Lagrangefunktonen være postv, dvs. at en yderlgere nedsættelse af andelen vlle sænke porteføljens samlede varans. Havde L 0 omvendt været negatv kunne varansen nedsættes ved at øge andelen x,hvlketermodstrdmed optmaltet. Antag, at v for en gven værd af r p gætter status for hver enkelt element X. Varable, som antages at være nede, gver anlednng tl lgnngen x = x mn. Varable, som er oppe, gver lgnngen x = x max og endelg vl varable, som er nde, gve anlednng tl en normal 1.ordens betngelse L 0 = 0. Lgnngerne vl kunne løses analogt med (1) ovenfor, hvorved v får fastlagt værden af de varable, som er nde, for den gvne værd af r p.tl sdst kontrolleres, om L 0 > 0forx nede og L 0 < 0forx oppe. Er alle krav opfyldt, er der tale om den optmale løsnng for det gvne afkastkrav r p. Har man fundet én løsnng, kan man analogt med lgnng (1) forrge afsnt opskrve den optmale løsnng som en lneær funkton af afkastkravet r p og fnde en helt nterval af løsnnger ved at varere r p. De nye løsnnger er optmale, så længe status kke ændres for nogle af de ndgående varable. Markowtz s crtcal lne algortme kan skematsk beskrves som følger: x max x mn x max a) Start med at beregne x ernes status svarende tl det hø jest opnåelge afkastkrav. Er f.eks. alle andele begrænsede tl at lgge mellem 0 og 1 ndebærer det blot, at aktvet med det hø jeste forventede afkast udnævnes tl at være oppe, og resten tl at være nede. I mere komplekse stuatoner kan startstatus fndes ved lneær programmerng. b1) Opstl ovennævnte lgnngssystem svarende tl nuværende status. b2) Løs x for de varable, som er nde og L 0 for resten, som funkton

15 9 SHARPE S ENKELTINDEKSMODEL 14 af r p. Beregn for hver varabel x den krtske værd af r p,dvs.den værd, som får varablens status tl at skfte. Kald den største krtske værd for rp max. V har nu fundet samtlge effcente porteføljer med et afkastkrav r max p. c) Hvs hele den effcente rand er fundet, stoppes algortmen. Hvs kke, skftes status på varablen med den højeste krtske værd, og punkterne b1) og b2) gentages med den ændrede status. Den smple struktur på optmerngsproblemet skrer, at algortmen vrker, dvs. at samtlge effcente porteføljer gennemløbes systematsk. Bemærk desuden, at hvs der for et nterval af r p gælder, at alle varable er nde, så gælder 1.ordensbetngelserne svarende tl stuatonen uden kort salg,dvs.at de to effcente rande falder sammen dette nterval. 9 Sharpe s enkeltndeksmodel For at anvende Markowtz-modellen skal nvestor have kendskab tl a) det forventede afkast for alle aktver og b) den fulde kovaransmatrce. I det generelle tlfælde vl kovaransmatrcen ndeholde n(n+1)/2 parametre. For en problem med blot 100 aktver skal nvestor således estmere mere end 5000 parametre. I prakss er det derfor nødvendgt at antage, at kovaransen mellem de enkelte aktver har en forsmplet struktur. En sådan model blev publceret Sharpe(1963). Sharpes model kan opstlles som følger r = α + β r M + E ( ) = 0 Cov(, j ) = 0 for 6= j hvor r angver det stokastske afkast på det te aktv og r M angver afkast på et ndeks, f.eks. markedsportefø ljen. er resdualet, dvs. den del af det te aktvs afkast, som kke kan forklares ved svngnnger markedet. Sharpe postulerer først og fremmest en lneær regressonslgnng mellem afkastet på det te aktv og afkastet på markedet. Det centrale karakterstkum ved Sharpes model er, at resdualet sammenhængen er ukorreleret på tværs af de enkelte aktver, dvs. at markedsndekset fanger al kovarans mellem to aktver. Herved får kovaransmatrcen en stærkt forenklet struktur og estmatonsproblemet reduceres tl at bestemme de 3 n parametre α,

16 9 SHARPE S ENKELTINDEKSMODEL 15 β og σ 2 ( ), samt mddelværd og sprednng på markedsndekset. Desuden forenkles beregnngen af porteføljens varans dramatsk. Varans på enkelt aktv: σ 2 ( R )=β 2 σ 2 (r M )+σ 2 ( ) Det ses, at varansen er opdelt en systematsk og en usystematsk del. Denne opdelng er kke nteressant sg selv, da v kan foretage opdelngen uanset kovaransmatrcens udseende. Det specelle ved Sharpes model er det forsmplede udtryk for varansen af en porteføljen: Varans på portefølje: β p = nx x β =1 σ 2 p(r p )=β 2 pσ 2 (r M )+ nx x 2 σ 2 ( ) Alle øvrge led varansberegnngen falder væk, det x x j Cov(, j )=0pr. antagelse. Kovarans mellem to aktver kan fndes ved: =1 Cov( r, r j )=β β j σ 2 (r M ) dvs. al kovarans skyldes markedet. Det er vgtgt, at lægge mærke tl, at Sharpe s enkeltndeksmodel kke lægger nogle restrktoner på det forventede afkast: E[ r ]=α + β E[ r M ] Samme β kan medføre forskellgt nveau for forventet afkast. Der er altså kke tale om en lgevægtsmodel for sammenhængen mellem forventet afkast og rsko modsætnng tl CAPM og APT-modellen.

17 10 MULTIINDEKSMODELLER Multndeksmodeller Sharpes model kan generalseres tl flere ndeks eller faktorer: KX er = α + β kfk e + k=1 med den forenklende antagelse, at Cov(, j )=0for 6= j. e F k er en faktor, som beskrver afkaststrukturen på markedet. Varans på portefølje under multndeksmodellen σ 2 p = KX ³ β 2 kp Fk σ2 e + k=1 nx x 2 σ 2 ( ) Som det gjaldt for Sharpes enkeltndeksmodel lægger multndeksmodellen heller kke nogle restrktoner på det forventede afkast og der er derfor kke tale om en lgevægtsmodel for sammenhængen mellem faktorfølsomheder og forventet afkast. En sådan relaton opstlles dermod APT-modellen af Ross, jf. nedenfor. =1 11 Udlednng af CAPM I det følgende gves et kort referat af udlednngen af CAPM-modellen Sharpe(1991). Notatonen er omtrent som Sharpe s artkel. V betragter K nvestorer og defnerer E k = P X k E og C k = P P j X kx jk C j som henholdsvs forventet afkast og varans for den k te nvestors portefølje. E er forventet afkast for det te aktv og C j er kovaransen mellem det te og det j te aktv. Nytten for den k te nvestor er U k = E k C k /τ k. τ k angver den k te nvestors rskotolerance. Jo højere værd af τ k, jo mndre vægter nvestor rsko relatvt tl afkast Optmaltet for den k te nvestor Investors optmale porteføljevalg leder tl følgende Lagrangefunkton:

18 11 UDLEDNING AF CAPM 17 L k = E k C k /τ k + λ fk (1 X X k ) hvor λ fk er Lagrange-multplkatoren på fuld nvesterngsbbetngelsen. 1. ordens betngelsen blver: L X =0 E 2C k τ k = λ fk hvor C k = P j X jkc j er kovaransen mellem det te aktv og nvestors samlede portefølje. Fortolkes betngelsen ses, at hver enkelt nvestor sørger for, at afkastet ved at øge andelen af det te aktv mnus nyttetabet, grundet det te aktvs bdrag tl porteføljens varans, er konstant for alle aktver. Jo større kovarans mellem det te aktv og nvestors effcente portefølje, jo større skal afkastet være. Jo større rskotolerance τ m, jo mndre betyder det te aktvs kovarans relatvt tl afkastet Aggregerng over samtlge nvestorer Betragtes det aggregerede resultat af samtlge nvestorers valg, skal man naturlgvs først og fremmest skre, at budgetbetngelsen er overholdt. I prakss vl det ske som en teratv proces, hvor en overefterspørgsel efter et aktv drver prsen op, hvorved dets forventede afkast falder, hvlket mndsker efterspørgslen og vce versa. CAPM følger en hæderkronet økonomsk tradton med at antage markedslgevægt, dvs. at v ser på stuatonen efter at denne tlpasnng er overstået. Aggregeret set vl der således være lgevægt mellem udbud og efterspørgsel og dermed postve nettobeholdnnger af alle aktver. Antag, at den k te nvestors formue er W k. Tages et formuevægtet gennemsnt af samtlge 1.ordensbetngelser fås (7) E 2 C m = λ fm τ m hvor τ m = P k W kτ k er samfundets formuevægtede rskotolerance og λ fm er et tlsvarende vægtet udtryk for samfundets margnalnytte af penge. Bemærk, at C m er det te aktvs kovarans med markedsporteføljen m. Indføres formlen β m C m /C m fås E = λ fm + 2C m τ m β m

19 12 LIDT OM APT-MODELLEN 18 dvs. en lneær sammenhæng mellem E og β m. Formel (7) gælder også for markedsporteføljen med β mm =1,dvs. (8) E m λ fm C m = 2 τ m Indsættes (8) (7) fås Securty Market Lne (SML): SML : E = λ fm +(E m λ fm )β For aktver med β jm =0fås E j = λ fm,dvs.λ fm er markedets afkastkrav tl et aktv med β m = 0. Er der et rskofrt aktv økonomen er λ fm lg med den rskofr rente Markedsporteføljen er effcent SML Antag først at SML er opfyldt. For en nvestor med τ k = τ m er 1.ordens betngelserne opfyldt for ethvert aktv økonomen, dvs. at markedsporteføljen lgger på den effcente rand, beregnet på bass af de objektve forventede afkast og kovaranser. Omvendt gælder tlsvarende, at effcens af markedsporteføljen medfører SML. Dvs. at SML og effcens af markedsporteføljen er ækvvalente udsagn. 12 Ldt om APT-modellen CAPM-modellen antager, at alle nvestorer vælger effcente portefø ljer på samme effcente rand, og udleder herudfra SML-lnen E(er ) R f =(E(er M ) R f )β der angver, at lgevægt vl prserne tlpasse sg, så det forventede merafkast på det te aktv forhold tl den rskofr rente er lg med det forventede merafkast på markedsporteføljen ganget med aktvets β forhold tl markedsporteføljen. Som vst af Roll(1977, 1978) har CAPM-modellen store emprske problemer, ford modellens prsstruktur afhænger af en kkeobserverbar markedsportefølje.

20 12 LIDT OM APT-MODELLEN 19 Arbtrage Prcng Theory-modellen,APT,somførstblevforeslået af Ross (1976), antager stedet, at markedsdeltagerne er enge om følgende lneære statstske model for markedets afkaststruktur: KX (9) er = a + b kfk e + e for =1,...n k=1 hvor a er et aktvtspecfkt afkastnveau, F k, k =1,...,K er faktorer, som er fælles for alle aktver, og er et aktvspecfkt fejlled med mddelværd nul og korrelaton lg nul overfor de øvrge aktver. For nemheds skyld forudsættes faktorerne normeret, så E( F k ) = 0, hvorefter afkastnveauet a svarer tl aktvets gennemsntlge afkast. Lgnng (9) kan således omskrves tl (10) er = E(er )+ KX b kfk e + e for =1,...,n. k=1 Lgnng (10) vser, at aktvets afkast på vrkes af de enkelte faktorers afkast va vægtene b k plus noget usystematsk støj, men lgnngen ndeholder kke nogen udsagn om størrelsen af det forventede afkast set relatvt tl andre aktver. For at fået så dant udsagn ndrager APT-modellen et arbtrageargument. APT-modellen demonstrerer, at hvs markedsdeltagerne har mulghed for at danne såvel korte som lange postoner uden transaktonsomkostnnger, så vl arbtragen markedet skre, at det forventede merafkast på det te aktv blver en sum af markedets merafkastkrav tl hver af de K faktor, ganget med hver enkelt faktors ndflydelse på afkastet af aktv. Forudsætnng for rskofr portefølje Som følge af den lneære multfaktor-struktur kan varansen af en portefølje beregnes som: (11) σ 2 (r p )= X k b 2 pk σ2 ( e F k )+σ 2 ( p ) Betragt nu en portefølje, som opfylder (12) b pk = KX x b k =0 k=1 for alle k, dvs, at den samlede portefølje er ufølsom overfor ændrnger hver enkelt af de k faktorer, og (13) σ 2 ( p )= NX x 2 σ 2 (e ) 0. =1

21 12 LIDT OM APT-MODELLEN 20 Med andre ord er den usystematske rsko porteføljen er omtrent lg nul. Det er let at se, at (12) kan opfyldes, hvs der blot er flere (lneært uafhængge) aktver end der er faktorer. (13) kan opfyldes, hvs porteføljen er fordelt på så mange forskellge aktver, at den usystematske rsko er bortdversfceret Arbtrageargumentet Fra lgnng (11) ses, at enhver portefølje, som opfylder (12) og (13) vl have en rsko på nul, dvs. at den gver et skkert afkast over peroden. Hvs der kke skal opstå ubegrænsede arbtragemulgheder markedet, må der gælde, at en sådan rskofr portefølje har et forventet afkast svarende tl den rskofre rente, dvs: NX (14) E( r p ) R f = x (E(er ) R f )=0 =1 Matematsk kan det vses 2, at lgnng (14) er opfyldt for enhver rskofr portefølje, hvs og kun hvs der for hver af de K faktorer ekssterer et λ k 6=0 således, at: (15) E( R KX ) R f = λ k b k k=1 Lgnng (15) er APT-modellens pendant tl CAPM-modellens SML-lne. Lgnngen udtrykker, at arbtragelgevægt afhænger det forventede merafkast og dermed ndrekte aktvets spotprs udelukkende af aktvets følsomhed b k overfor de enkelte faktorer. Værden λ k kan fortolkes som det ekstra forventede afkast markedet kræver, hvs aktvets følsomhed overfor den k te faktor øges med een enhed. Afslutnngsvs en løs analog. Lgnng (9) vser, at alle aktver kan opfattes som en kurv sammensat af K forskellge varer plus/mnus ldt støj. Det er de samme K faktorer, som ndgår alle aktver og b k angver blot hvor mange 2 Det matematske bevs bygger på detsåkaldte Farka s lemma, som er et centralt resultat ndenfor lneær algebra. Stort set alle arbtrageargumenter ndenfor fnanserng anvender Farka s lemma en eller anden form.

22 13 LITTERATUR 21 enheder af den k te faktor, som ndgår aktv. Selv om der er utallge kurve, så er der reelt kun K forskellge varer på markedet. Arbtrageargumentet vser det meget ntutve, at lgevægt vl markedet kræve samme forventede merafkast λ k per enhed af den k te faktor uanset hvlket aktv faktoren ndgår Ltteratur Levy, H., The Captal Asset Prcng Model: Theory and Emprcsm,, The Economc Journal, (March 1983). Roll, R., A Crtque of the Asset Prcng Theory s Tests: Part I: On the Past and Potental Testablty of the Theory, Journal of Fnancal Economcs, (March 1977). Ross, S.A., The Arbtrage Theory of Captal Asset Prcng, Journal of Economc Theory, (December 1976) Ross, S.A., The Captal Asset Prcng Model (CAPM), Short Sale Restrctons and Related Issues, Journal of Fnance, (March 1977) Sharpe, W.F., A Smplfed Model for Portfolo Analyss, Management Scence, Vol. 9, pp Også publceret Lore & Brealey (Eds.): Modern Developments n Investment Management. New York: Praeger Publshers, Sharpe, W.F., Portfolo Theory and Captal Markets, McGraw-Hll, Sharpe, W.F., Captal Asset Prces Wth and Wthout Negatve Holdngs, The Journal of Fnance, Vol 46, no.2, June Tobn, J., Lqudty Preference as a Behavour Toward Rsk, Revew of Economc Studes, February 1958, Også publceret Lore & Savage, op.ct. 3 Et helt tlsvarende arbtrageargument lgger bag udlednngen af en nulkuponrentestruktur et oblgatonsmarked. Her er faktorerne nulkuponoblgatoner svarende tl de forskellge betalngstdspunkter og arbtrageargumentet leder frem tl, at prsen på enhver oblgaton er en vægtet sum af de enkelte betalnger ganget med prsen på en nulkuponoblgaton svarende tl betalngstdspunktet.

23 A APPENDIKS 22 A Appendks A.1 Vectordfferentaton Lad f (x) væreenfunktonafn-vektoren x. Gradenten af f mht tl x defneres som f = f µ f x =,..., f. x 1 x n Den afledte af en lneær form a 0 x er (a 0 x) x = a. A.2 Matrx Dfferentaton Den afledte af en kvadratsk form x 0 Ax er (x 0 Ax) x = A + A 0 x, 2 (x 0 Ax) x x 0 = A + A 0. Dvs. hvs matrcen A er symmetrsk (hvlket jo gælder for kovarans- og korrelatonsmatrcer), så ser det genkendelgt ud (x 0 Ax) x (x 0 Ax) x = 2Ax, = 2A.

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00 Fagblok 4b: Regnskab og fnanserng 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 tl 31.01 2004 kl. 14.00 Dette opgavesæt ndeholder følgende: Opgave 1 (vægt 50%) p. 2-4 Opgave 2 (vægt 25%) samt opgave 3 (vægt

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Økonometr Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer 7. Dne

Læs mere

Note til Generel Ligevægt

Note til Generel Ligevægt Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den

Læs mere

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel. Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ variabel (med to kategorier)?

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel. Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ variabel (med to kategorier)? Dagens program Økonometr Heteroskedastctet 6. oktober 004 Hovedemnet for denne forelæsnng er heteroskedastctet (kap. 8.-8.3) Lneære sandsynlghedsmodel (kap 7.5) Konsekvenser af heteroskedastctet Hvordan

Læs mere

Økonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1

Økonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1 Økonometr 1 Heteroskedastctet 27. oktober 2006 Økonometr 1: F12 1 Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-4) Sdste gang: I dag: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Korrekton af varansen

Læs mere

Bilag 6: Økonometriske

Bilag 6: Økonometriske Marts 2015 Blag 6: Økonometrske analyser af energselskabernes omkostnnger tl energsparendsatsen Energstyrelsen Indholdsfortegnelse 1. Paneldataanalyse 3 Specfkaton af anvendte panel regressonsmodeller

Læs mere

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvanttatve metoder 2 Instrumentvarabel estmaton 14. maj 2007 KM2: F25 1 y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen F25: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen Kvanttatve metoder Instrumentvarabel estmaton 4. maj 007 F5: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler En regressor,

Læs mere

Beregning af strukturel arbejdsstyrke

Beregning af strukturel arbejdsstyrke VERION: d. 2.1.215 ofe Andersen og Jesper Lnaa Beregnng af strukturel arbedsstyrke Der er betydelg forskel Fnansmnsterets (FM) og Det Økonomske Råds (DØR) vurderng af det aktuelle output gap. Den væsentlgste

Læs mere

Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder

Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Oblgatorsk opgave 2 Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Opgavens prmære formål er at lgne formen på tag-hjem delen af eksamensopgaven. Der

Læs mere

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved Lgevægt på varemarkedet gen! Sdste gang bestemtes følgende IS-relatonen, der beskrver lgevægten på varemarkedet tl: Y = C(Y T) + I(Y, r) + G εim(y, ε) + X(Y*, ε) Altså er varemarkedet lgevægt, hvs den

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvanttatve metoder Den smple regressonsmodel 9. februar 007 Regressonsmodel med en forklarende varabel (W..3-5) Varansanalyse og goodness of ft Enheder og funktonel form af varabler modellen

Læs mere

Inertimoment for arealer

Inertimoment for arealer 13-08-006 Søren Rs nertmoment nertmoment for arealer Generelt Defntonen på nertmoment kan beskrves som Hvor trægt det er at få et legeme tl at rotere eller Hvor stort et moment der skal tlføres et legeme

Læs mere

Kreditrisiko efter IRBmetoden

Kreditrisiko efter IRBmetoden Kredtrsko efter IRBmetoden Vacceks formel Arbejdspapr, oktober 2013 1 KRAKAfnans - Fnanskrsekommssonens sekretarat Teknsk arbejdspapr udkast 15. oktober 2013 Indlednng Det absolutte mndstekrav tl et kredtnsttut

Læs mere

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol Udvklng af en metode tl effektvurderng af Mljøstyrelsens Kemkalenspektons tlsyn og kontrol Orenterng fra Mljøstyrelsen Nr. 10 2010 Indhold 1 FORORD 5 2 EXECUTIVE SUMMARY 7 3 INDLEDNING 11 3.1 AFGRÆNSNING

Læs mere

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødnng Angelo Andersen.. Problemformulerng I forbndelse med ønsket om at reducere kvælstof udlednngen fra landbruget kan det være nyttgt at undersøge hvordan landbruget

Læs mere

Capital Asset Pricing Modellen

Capital Asset Pricing Modellen Captal Asset Prcng Modellen og det danske aktearked Bachelorprojekt af Thoas Klesdorff Hougaard Vejleder Lone Sauelsen Afleverngsdato.05.006 Erhvervsøkono/HA-uddannelsen Insttut for Safundsvdenskab og

Læs mere

Nøglebegreber: Objektivfunktion, vægtning af residualer, optimeringsalgoritmer, parameterusikkerhed og korrelation, vurdering af kalibreringsresultat.

Nøglebegreber: Objektivfunktion, vægtning af residualer, optimeringsalgoritmer, parameterusikkerhed og korrelation, vurdering af kalibreringsresultat. Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS Kaptel 14 IVERS MODELLERIG Torben Obel Sonnenborg Geologsk Insttut, Københavns Unverstet Anker Laer Høberg Hydrologsk Afdelng, GEUS øglebegreber:

Læs mere

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 9

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 9 Økonometr 1 Efterår 006 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Opsamlng på Ugeseddel 8 Gruppearbejde SAS øvelser Ugeseddel 9 består at undersøge, om der er heteroskedastctet vores model for væksten og så fald,

Læs mere

Opsamling. Simpel/Multipel Lineær Regression Logistisk Regression Ikke-parametriske Metoder Chi-i-anden Test

Opsamling. Simpel/Multipel Lineær Regression Logistisk Regression Ikke-parametriske Metoder Chi-i-anden Test Opsamlng Smpel/Multpel Lneær Regresson Logstsk Regresson Ikke-parametrske Metoder Ch--anden Test Opbygnng af statstsk model Specfcer model Lgnnger og antagelser Estmer parametre Modelkontrol Er modellen

Læs mere

Støbning af plade. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005

Støbning af plade. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Støbnng af plade Køreplan 01005 Matematk 1 - FORÅR 2005 1 Ldt hstorsk baggrund Det første menneske beboede Jorden for over 100.000 år sden. Arkæologske studer vser, at det allerede havde opdaget fænomenet

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.4) Kvanttatve metoder Heteroskedastctet 6. aprl 007 Sdste gang: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Whte s korrekton af OLS varansen Test for heteroskedastctet

Læs mere

Tabsberegninger i Elsam-sagen

Tabsberegninger i Elsam-sagen Tabsberegnnger Elsam-sagen Resumé: Dette notat beskrver, hvordan beregnngen af tab foregår. Første del beskrver spot tabene, mens anden del omhandler de afledte fnanselle tab. Indhold Generelt Tab spot

Læs mere

Økonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder II Introduktion til Instrumentvariabler 27. november 2006

Økonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder II Introduktion til Instrumentvariabler 27. november 2006 Økonometr 1 Avancerede Paneldata Metoder II Introdukton tl Instrumentvarabler 27. november 2006 Paneldata metoder Sdste gang: Paneldata med to eller flere peroder og fxed effects estmaton. Første-dfferens

Læs mere

FRIE ABELSKE GRUPPER. Hvis X er delmængde af en abelsk gruppe, har vi idet vi som sædvanligt i en abelsk gruppe bruger additiv notation at:

FRIE ABELSKE GRUPPER. Hvis X er delmængde af en abelsk gruppe, har vi idet vi som sædvanligt i en abelsk gruppe bruger additiv notation at: FRIE ABELSKE GRUPPER. IAN KIMING Hvs X er delmængde af en abelsk gruppe, har v det v som sædvanlgt en abelsk gruppe bruger addtv notaton at: X = {k 1 x 1 +... + k t x t k Z, x X} (jfr. tdlgere sætnng angående

Læs mere

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf3 Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Gvet n uafhængge

Læs mere

Brugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn

Brugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn Brugerhåndbog Del IX Formodel tl beregnng af udlandsskøn September 1999 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 3 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 1. Indlednng FUSK er en Formodel tl beregnng af UdlandsSKøn.

Læs mere

BLÅ MEMOSERIE. Memo nr. 208 - Marts 2003. Optimal adgangsregulering til de videregående uddannelser og elevers valg af fag i gymnasiet.

BLÅ MEMOSERIE. Memo nr. 208 - Marts 2003. Optimal adgangsregulering til de videregående uddannelser og elevers valg af fag i gymnasiet. BLÅ MEMOSERIE Memo nr. 208 - Marts 2003 Optmal adgangsregulerng tl de vderegående uddannelser og elevers valg af fag gymnaset Karsten Albæk Økonomsk Insttut Købenavns Unverstet Studestræde 6, 1455 Købenavn

Læs mere

Luftfartens vilkår i Skandinavien

Luftfartens vilkår i Skandinavien Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng for valg af transportform Af Mette Bøgelund og Mkkel Egede Brkeland, COWI Trafkdage på Aalborg Unverstet 2000 1 Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng

Læs mere

Analytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter

Analytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter Analytsk modellerng af 2D Halbach permanente magneter Kaspar K. Nelsen kak@dtu.dk, psjq@dtu.dk DTU Energ Konverterng og -Lagrng Danmarks Teknske Unverstet Frederksborgvej 399 4000, Rosklde, Danmark 17.

Læs mere

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 10

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 10 Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 0 Program for øvelserne: Gennemgang af teoropgave fra Ugesedel 9 Gruppearbejde og plenumdskusson SAS øvelser, spørgsmål -4. Sdste øvelsesgang (uge 2): SAS øvelser,

Læs mere

Økonometri lektion 7 Multipel Lineær Regression. Testbaseret Modelkontrol

Økonometri lektion 7 Multipel Lineær Regression. Testbaseret Modelkontrol Økonometr lekton 7 Multpel Lneær Regresson Testbaseret Modelkontrol MLR Model på Matrxform Den multple lneære regressons model kan skrves som X y = Xβ + Hvor og Mndste kvadraters metode gver følgende estmat

Læs mere

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13 Økonometr 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13 Prram for øvelserne: Gruppearbejde plenumdskusson SAS øvelser Øvelsesopgave: Vækstregressoner (fortsat) Ugeseddel 13 fortsætter den emprske analyse af vækstregressonen

Læs mere

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel 1,, k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet =( 1,, k

Læs mere

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke d. 23.5.2013 Fastlæggelse af strukturel arbedsstyrke Dokumentatonsnotat tl Dansk Økonom, Forår 2013 For at kunne vurdere økonomens langsgtede vækstpotentale og underlggende saldoudvklng og for at kunne

Læs mere

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskj Den store russske forfatter tænkte naturlgvs kke på markedsførng, da han skrev dsse lner.

Læs mere

Husholdningsbudgetberegner

Husholdningsbudgetberegner Chrstophe Kolodzejczyk & Ncola Krstensen Husholdnngsbudgetberegner En model for husholdnngers daglgvareforbrug udarbejdet for Penge- og Pensonspanelet Publkatonen Husholdnngsbudgetberegner En model for

Læs mere

RESEARCH PAPER. Nr. 7, Prisoptimering i logitmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd. Jørgen Kai Olsen

RESEARCH PAPER. Nr. 7, Prisoptimering i logitmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd. Jørgen Kai Olsen RESEARCH PAPER Nr. 7, 23 Prsotmerng logtmodellen under homogen og heterogen forbrugeradfærd af Jørgen Ka Olsen INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG PLADS 3, DK-2 FREDERIKSBERG

Læs mere

Antag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36.

Antag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36. Estmaton af varans/sprednng Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - rw@math.aau.dk Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Antag X,..., X n stokastske varable med fælles

Læs mere

Konkurrenceniveau og risiko i banksektoren

Konkurrenceniveau og risiko i banksektoren Copenhagen Busness School 2013 Kanddatafhandlng, Cand.merc.mat. Konkurrencenveau og rsko banksektoren Level of competton and rsk n the bankng sector Morten N. Haastrup Vejleder: Hans Kedng Afleveret 23.

Læs mere

G Skriverens Kryptologi

G Skriverens Kryptologi G Skrverens Kryptolog Nels Juul Munch, Mdtsjællands Gymnasum Matematk Indlednng I den foregående artkel G Skrverens Hstore blev det hstorske forløb om G Skrveren beskrevet og set sammenhæng med Sverges

Læs mere

Aftale om generelle vilkår for tillidsrepræsentanter -^ i Magistratsafdelingen for Sundhed og Omsorg 2009-2011

Aftale om generelle vilkår for tillidsrepræsentanter -^ i Magistratsafdelingen for Sundhed og Omsorg 2009-2011 Aftale om generelle vlkår for tlldsrepræsentanter -^ Magstratsafdelngen for Sundhed og Omsorg 2009-2011 1. Aftalens parter Mellem parterne Århus Kommune, Magstratsafdelngen for Sundhed og Omsorg og FOA,

Læs mere

Statistik Lektion 15 Mere Lineær Regression. Modelkontrol Prædiktion Multipel Lineære Regression

Statistik Lektion 15 Mere Lineær Regression. Modelkontrol Prædiktion Multipel Lineære Regression Statstk Lekton 15 Mere Lneær Regresson Modelkontrol Prædkton Multpel Lneære Regresson Smpel Lneær Regresson - repetton Spørgsmål: Afhænger y lneært af x?. Model: y = β + β x + ε ε d N(0, σ 0 1 2 ) Systematsk

Læs mere

Økonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder I 24.november F18: Avancerede Paneldata Metoder I 1

Økonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder I 24.november F18: Avancerede Paneldata Metoder I 1 Økonometr 1 Avancerede Paneldata Metoder I 24.november 2006 F18: Avancerede Paneldata Metoder I 1 Paneldatametoder Sdste gang: Paneldata begreber og to-perode tlfældet (kap 13.3-4) Uobserveret effekt modellen:

Læs mere

PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC

PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC MEDDELELSE NR. 1075 Vrknngsgraden (gennemslaget) tl en produktonsbesætnng for avlsværdtallet for hanlg fertltet Duroc blev fundet tl 1,50, hvlket

Læs mere

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 004 Emet for dee forelæsg er stadg de multple regressosmodel (Wooldrdge kap. 3.4-3.5) Praktske bemærkg Opsamlg fra sdst Irrelevate varable og

Læs mere

Måleusikkerhed i kalibrering Nr. : AB 11 Dato : 2011-12-01 Side : 1/3

Måleusikkerhed i kalibrering Nr. : AB 11 Dato : 2011-12-01 Side : 1/3 Sde : 1/3 1. Anvendelsesområde 1.1 Denne akkredterngsbestemmelse gælder ved DANAK s akkredterng af kalbrerngslaboratorer. 1. Akkredterede kalbrerngslaboratorer skal ved estmerng af uskkerhed, rapporterng

Læs mere

Fysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori

Fysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori Fysk 3 Indhold Termodynamk John Nclasen 1. Sandsynlghedsteor 1.1 Symboler 1.2 Boolsk Algebra 1.3 Betngede Udsagn 1.4 Regneregler 1.5 Bayes' formel 2. Fordelnger 2.1 Symboler 2.2 Bnomal Fordelngen 2.3 ultnomal

Læs mere

Validering og test af stokastisk trafikmodel

Validering og test af stokastisk trafikmodel Valderng og test af stokastsk trafkmodel Maken Vldrk Sørensen M.Sc., PhDstud. Otto Anker Nelsen Cv.Ing., PhD, Professor Danmarks Teknske Unverstet/ Banestyrelsen Rådgvnng 1. Indlednng Trafkmodeller har

Læs mere

KOMMISSIONENS DELEGEREDE FORORDNING (EU) / af 30.9.2015

KOMMISSIONENS DELEGEREDE FORORDNING (EU) / af 30.9.2015 EUROPA- KOMMISSIONEN Bruxelles, den 30.9.2015 C(2015) 6588 fnal KOMMISSIONENS DELEGEREDE FORORDNING (EU) / af 30.9.2015 om ændrng af Kommssonens delegerede forordnng (EU) 2015/35 for så vdt angår beregnng

Læs mere

6. SEMESTER Epidemiologi og Biostatistik Opgaver til 3. uge, fredag

6. SEMESTER Epidemiologi og Biostatistik Opgaver til 3. uge, fredag Afdelng for Epdemolog Afdelng for Bostatstk 6. SEESTER Epdemolog og Bostatstk Opgaver tl 3. uge, fredag Data tl denne opgave stammer fra. Bland: An Introducton to edcal Statstcs (Exercse 11E ). V har hentet

Læs mere

Værktøj til beregning af konkurrenceeffekter ved udlægning af nyt butiksområde

Værktøj til beregning af konkurrenceeffekter ved udlægning af nyt butiksområde Dato: 6. oktober 217 Sag: DIPS- 16/1631 Sagsbehandler: /SBJ/DEB/PMO/KBA Værktøj tl beregnng af konkurrenceeffekter ved udlægnng af nyt butksområde KONKURRENCE- OG FORBRUGERSTYRELSEN ERHVERVSMINISTERIET

Læs mere

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvanttatve metoder Opsamlng vedr. nferens uden MLR.5: Beregnng af robuste standardfejl og kovarans under heteroskedastctet (W8.) W.6: Flere emner en multpel regressonsmodel Inferens den

Læs mere

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde.

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde. Ishøj Kommune Att.: Kommunaldrektør Anders Hvd Jensen Ishøj Store Torv 20 2635 Ishøj Lett Advokatfrma Rådhuspladsen 4 1550 København V Tlr. 33 34 00 00 Fax 33 34 00 01 lettl lett.dk www.lett.dk Kære Anders

Læs mere

OPI virksomhedsinvolvering:

OPI virksomhedsinvolvering: 18. jun 2012 OPI vrksomhedsnvolverng: Erfarnger fra OPI-Lab demonstratonsprojekt 1 1 Det Intellgente Hosptalsbaderum Peter Bamberg Jensen, OPI projektleder Syddansk Sundhedsnnovaton Regon Syddanmark Peter.Bamberg.Jensen@regonsyddanmark.dk

Læs mere

2. Sandsynlighedsregning

2. Sandsynlighedsregning 2. Sandsynlghedsregnng 2.1. Krav tl sandsynlgheder (Sandsynlghedens aksomer) Hvs A og B er hændelser, er en sandsynlghed, hvs: 1. 0 ( A) 1 n 2. ( A ) 1 1 3. ( A B) ( A) + ( B), hvs A og B ngen udfald har

Læs mere

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf Gvet n uafhængge målnger x,, x n af n størrelser µ,, µ n Målnger

Læs mere

Elektromagnetisk induktion

Elektromagnetisk induktion Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 8 Elektromotorsk kraft Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres

Læs mere

Udviklingen i de kommunale udligningsordninger

Udviklingen i de kommunale udligningsordninger Udvklngen de kommunale udlgnngsordnnger af Svend Lundtorp AKF Forlaget Jun 2004 Forord Dette Memo er skrevet de sdste måneder af 2003, altså før strukturkommssonens betænknng og før Indenrgsmnsterets

Læs mere

Elektromagnetisk induktion

Elektromagnetisk induktion Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 9 Elektromotorsk kraft: Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres

Læs mere

Motivationseffekten af aktivering

Motivationseffekten af aktivering DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Kanddatspecale Bran Larsen Motvatonseffekten af aktverng Vejleder: Anders Holm Afleveret den: 03/03/06 Indholdsfortegnelse 1. Indlednng... 1 2.

Læs mere

Morten Frydenberg Biostatistik version dato:

Morten Frydenberg Biostatistik version dato: Morten Frydenberg Bostatstk verson dato: -4- Bostatstk uge mandag Morten Frydenberg, Afdelng for Bostatstk Resume: Hvad har v været gennem ndtl nu Lneær (normal) regresson en kontnuert forklarende varabel

Læs mere

Insttut for samfundsudvklng og planlægnng Fbgerstræde 11 9220 Aalborg Øst Ttel: Relatv Fasepostonerng Med bllge håndholdte GPS-modtagere Projektperode: Februar 2006 Jul 2006 Semester: 10. Projektgruppe:

Læs mere

MfA. V Udstyr. Trafikspejle. Vejregler for trafikspejles egenskaber og anvendelse. Vejdirektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998

MfA. V Udstyr. Trafikspejle. Vejregler for trafikspejles egenskaber og anvendelse. Vejdirektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998 > MfA V Udstyr Trafkspejle Vejregler for trafkspejles egenskaber og anvendelse Vejdrektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998 Vejreglernes struktur I henhold tl 6, stk. 1 lov om offentlge veje (Trafkmnsterets

Læs mere

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte FTF dokumentaton nr. 3 2014 Vden prakss Hovedorgansaton for 450.000 offentlgt og prvat ansatte Sde 2 Ansvarshavende redaktør: Flemmng Andersen, kommunkatonschef Foto: Jesper Ludvgsen Layout: FTF Tryk:

Læs mere

Sandsynlighedsregning 12. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 12. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlghedsregnng. forelæsnng Bo Frs Nelsen Matematk og Computer Scence Danmarks Teknske Unverstet 800 Kgs. Lyngby Danmark Emal: bfn@mm.dtu.dk Dagens nye emner afsnt 6.5 Den bvarate normalfordelng Y

Læs mere

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 271218 Brevd. 2118731 Ref. KASH Dr. tlf. 4631 3066 katrnesh@rosklde.dk NOTAT:Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2014 17. august

Læs mere

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Introdukton af problemstllng og datasæt Gruppearbejde SAS øvelser Paneldata for tlbagetræknngsalder Ugesedlen analyserer et datasæt med

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelsøgning Modelkontrol

Anvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelsøgning Modelkontrol Anvendt Statstk Lekton 0 Regresson med både kvanttatve og kvaltatve forklarende varable Modelsøgnng Modelkontrol Opsummerng I forbndelse med multpel lneær regresson så v på modeller på formen E[ y] = α...

Læs mere

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde Fra små sjove opgaver tl åbne opgaver med stor dybde Vladmr Georgev 1 Introdukton Den største overraskelse for gruppen af opgavestllere ved "Galle" holdkonkurrenen 009 var en problemstllng, der tl at begynde

Læs mere

faktaark om nybygningens og 5. sporets kapacitet

faktaark om nybygningens og 5. sporets kapacitet Trafkudvalget 2008-09 TRU alm. del Blag 602 Offentlgt greve kommune holbæk kommune høje-taastrup kommune shøj kommune kalundborg kommune lejre kommune odsherred kommune rosklde kommune solrød kommune vallensbæk

Læs mere

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 260912 Brevd. 1957603 Ref. LAOL Dr. tlf. 4631 3152 lasseo@rosklde.dk NOTAT: Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2013 19. august

Læs mere

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet BEU - 14.9.2009 - Dagsordenspunkt: 3 09-0855 - JEFR - Blag: 3 Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser nden for FTFområdet Det ndstlles: At BEU tlslutter sg, at KL/FTF-aftalen søges poltsk forankret gennem

Læs mere

Statistik II Lektion 4 Generelle Lineære Modeller. Simpel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Flersidet Variansanalyse (ANOVA)

Statistik II Lektion 4 Generelle Lineære Modeller. Simpel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Flersidet Variansanalyse (ANOVA) Statstk II Lekton 4 Generelle Lneære Modeller Smpel Lneær Regresson Multpel Lneær Regresson Flersdet Varansanalyse (ANOVA) Logstsk regresson Y afhængg bnær varabel X 1,,X k forklarende varable, skala eller

Læs mere

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013 SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjenng 2013 EFTER Desgn by Research BRUGERREJSE Ada / KONTANTHJÆLP Navn: Ada Alder: 35 år Uddannelse: cand. mag Matchgruppe: 1 Ada er opvokset Danmark med bosnske forældre.

Læs mere

Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Bilag 365 Offentligt

Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Bilag 365 Offentligt Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Blag 365 Offentlgt Notat Kemkaler J.nr. MST-652-00099 Ref. Doble/lkjo Den 5. maj 2010 GRUNDNOTAT TIL FOLKETINGETS EUROPAUDVALG Kommssonens forslag om tlpasnng tl den

Læs mere

Implementering og Kalibrering af Libor Market Model

Implementering og Kalibrering af Libor Market Model Kanddatafhandlng Insttut for Fnanserng Forfattere Denns Møller Jesper Herrld Damker Veleder Svend Jakobsen Implementerng og Kalbrerng af Lbor Market Model - med henblk på prsfastsættelse af Constant Maturty

Læs mere

Kulturel spørgeguide. Psykiatrisk Center København. Dansk bearbejdelse ved Marianne Østerskov. Januar 2011 2. udgave. Kulturel spørgeguide Jan.

Kulturel spørgeguide. Psykiatrisk Center København. Dansk bearbejdelse ved Marianne Østerskov. Januar 2011 2. udgave. Kulturel spørgeguide Jan. Vdenscenter for Transkulturel Psykatr har ekssteret sden 2002 og skal fremme psykatrsk udrednng, dagnostk, behandlng, pleje og opfølgnng af patenter, der har en anden etnsk baggrund end dansk. Kulturel

Læs mere

Hvordan kan ny benchmark-metode danne baggrund for at forbedre politiske initiativer?*

Hvordan kan ny benchmark-metode danne baggrund for at forbedre politiske initiativer?* Hvordan kan ny benchmark-metode danne baggrund for at forbedre poltske ntatver?* Alce Heegaard Klynge, Lotte Langklde, Jens Nyholm, og Annemare Munk Rs December 2003 Resumé Fem faktorer påvrker stgende

Læs mere

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel (Wooldridge 8.5). Dagens program: Heteroskedasticitet 30. oktober 2006

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel (Wooldridge 8.5). Dagens program: Heteroskedasticitet 30. oktober 2006 Dagens program: Øonometr 1 Heterosedastctet 30. otober 006 Effcent estmaton under heterosedastctet (Wooldrdge 8.4): Sdste gang: Kendte vægte - Weghted Least Squares (WLS) Generalzed Least Squares (GLS)

Læs mere

Betjeningsvejledning. Rumtemperaturregulator med ur 0389..

Betjeningsvejledning. Rumtemperaturregulator med ur 0389.. Betjenngsvejlednng Rumtemperaturregulator med ur 0389.. Indholdsfortegnelse Normalvsnng på dsplayet... 3 Grundlæggende betjenng af rumtemperaturregulatoren... 3 Vsnnger og knapper detaljer... 3 Om denne

Læs mere

Estimation af CES - forbrugssystemet med og uden dynamik: -fcf/fcfv sammenhold med fcv/fcfv -fct/fcts sammenhold med fcs/fcts

Estimation af CES - forbrugssystemet med og uden dynamik: -fcf/fcfv sammenhold med fcv/fcfv -fct/fcts sammenhold med fcs/fcts Danmarks Statstk MODELGRUPPEN Arbejdspapr [udkast] Andreas Østergaard Iversen 140609 Estmaton af CES - forbrugssystemet med og uden dynamk: -fcf/fcfv sammenhold med fcv/fcfv -fct/fcts sammenhold med fcs/fcts

Læs mere

½ års evaluering af projekt Praktisk Pædagogisk Funktionsstøtte

½ års evaluering af projekt Praktisk Pædagogisk Funktionsstøtte ½ års evaluerng projekt Praktsk Pædagsk Funktonsstøtte Der forelgger her en evaluerng beskrvelse projektstllngen Praktsk Pædagsk Funktonsstøtte efter et halvt års vrke. Tl forskel fra 3 måneders evaluerngen

Læs mere

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Opbygnng af statstsk model Eksploratv data-analyse Specfcer model Lgnnger og antagelser Estmer parametre Modelkontrol Er modellen

Læs mere

Gulvvarmeanlæg en introduktion. af Peter Weitzmann

Gulvvarmeanlæg en introduktion. af Peter Weitzmann Gulvvarmeanlæg en ntrodukton af Peter Wetzmann Sde 1 Indholdsfortegnelse 1 Forord... 3 2 Introdukton tl gulvvarme... 4 2.1 Hstorsk gennemgang...4 2.2 Fyssk beskrvelse...4 3 Typer... 6 3.1 Tung gulvvarme...6

Læs mere

Wfbz-relationen. specficeres. Wjbzrelationen når FINDAN, MODELGRUPPEN. Arbejdspapir* Hald. April. Resumé: falder obligationsefterspørgsel.

Wfbz-relationen. specficeres. Wjbzrelationen når FINDAN, MODELGRUPPEN. Arbejdspapir* Hald. April. Resumé: falder obligationsefterspørgsel. tmeløn rentefølsonhed, FINDAN, ændrng,lneær, absolutte Wfbz, Nøgleord:.jh c:abswfbz varabel. forklarende supplerende som betalngsbalancemål et nddrage at lykkes det og rentefølsomhed, høj rmelg en af kendetegnet

Læs mere

Statikstik II 4. Lektion. Generelle Lineære Modeller

Statikstik II 4. Lektion. Generelle Lineære Modeller Statkstk II 4. Lekton Generelle Lneære Modeller Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel X 1,,X k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet X + k = E( Y X ) = α + β x + + β

Læs mere

Forberedelse INSTALLATION INFORMATION

Forberedelse INSTALLATION INFORMATION Forberedelse 1 Pergo lamnatgulvmateraler leveres med vejlednnger form af llustratoner. Nedenstående tekst gver forklarnger på llustratonerne og er nddelt tre områder: Klargørngs-, monterngs- og rengørngsvejlednnger.

Læs mere

Statikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller

Statikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller Statkstk II 3. Lekton Multpel Logstsk regresson Generelle Lneære Modeller Defntoner: Repetton Sandsynlghed for at Ja tl at være en god læser gvet at man er en dreng skrves: P( God læser Ja Køn Dreng) Sandsynlghed

Læs mere

Vejledning om kontrol med krydsoverensstemmelse 2007

Vejledning om kontrol med krydsoverensstemmelse 2007 Vejlednng om kontrol med krydsoverensstemmelse 007 Maj 007 Mnsteret for Fødevarer, Landbrug og Fsker Drektoratet for FødevareErhverv Kolofon Vejlednng om kontrol med krydsoverensstemmelse 007 Maj 007 Denne

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelkontrol

Anvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelkontrol Anvendt Statstk Lekton 0 Regresson med både kvanttatve og kvaltatve forklarende varable Modelkontrol Opsummerng I forbndelse med multpel lneær regresson så v på modeller på formen E y] = α... [ 3 3 4 4

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2005

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2005 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 005 Emet for dee forelæsg er de multple regressosmodel (Wooldrdge kap 3.-3.3+appedx E.-E.) Defto og motvato Fortolkg af parametree de multple

Læs mere

DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 2011 74

DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 2011 74 DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 211 74 Johan Gustav Kaas Jacobsen Danmarks Natonalbank Søren Truels Nelsen Danmarks Natonalbank Betalngsvaner Danmark September 211 The Workng Papers of Danmarks Natonalbank

Læs mere

Indholdsfortegnelse Instrumentopsætning Betjening Tekniske specificationer Indstillinger Meddelseskoder Vedligeholdelse Garanti

Indholdsfortegnelse Instrumentopsætning Betjening Tekniske specificationer Indstillinger Meddelseskoder Vedligeholdelse Garanti Indholdsfortegnelse Instrumentopsætnng - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Introdukton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Oversgt - - - - - - - - - - -

Læs mere

Vejledning til udarbejdelse af forandringsteori

Vejledning til udarbejdelse af forandringsteori Afdelngen for erhvervsrettet voksen Vester Voldgade 123 1552 København V Tlf. 3392 5600 Fax 3392 5666 E-mal uvm@uvm.dk www.uvm.dk CVR nr. 20-45-30-44 Vejlednng tl udarbejdelse forandrngsteor 1. Udarbejdelse

Læs mere

Kunsten at leve livet

Kunsten at leve livet Kunsten at leve lvet UNGE - ADFÆRD - RUSMIDLER 3. maj 2011 Hvad er msbrug? Alment om den emotonelle udvklng Hvem blver msbruger? Om dagnoser Om personlghedsforstyrrelser Mljøterap, herunder: - baggrund

Læs mere

econstor zbw www.econstor.eu

econstor zbw www.econstor.eu econstor www.econstor.eu Der Open-Access-Publkatonsserver der ZBW Lebnz-Informatonszentrum Wrtschaft The Open Access Publcaton Server of the ZBW Lebnz Informaton Centre for Economcs Jacobsen, Johan Gustav

Læs mere