Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Transkript

1 Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form og dermed størrelse er fastlagt alene ud fra de tre sider a, b og c, må der også findes en formel, der udtrykker arealet direkte ved hjælp af de tre sider. Den kaldes Herons formel (men var formentlig allerede kendt af Arkimedes): med Spørgsmålet er så hvordan man først kan opdage en sådan formel og hvordan man efterfølgende kan bevise den? Det kan gøres rent geometrisk, men de kan også gøres algebraisk, og det er den algebraiske tilgang vi vil følge her. Prolog: Udgangspunktet er lidt erfaring med arealformler. Vi starter derfor med at kigge på en simpel trekant, som vi kan overskue direkte. Det kunne være en retvinklet trekant med formlen, men det er næsten for simpelt til at vi kan uddrage nogle generelle træk, så i stedet kigger vi på en ligebenet trekant, der jo er tæt beslægtet med den retvinklede trekant: 1

2 Vi kan da nemt finde højden i den ligebenede trekant ud fra siderne og dermed kan vi også nemt finde en arealformel: Her er der mere kød på formlen. Specielt ser vi at arealet selv involverer både kvadratrødder og almindelige brøker, men hvis vi ser på 16T 2, så er det et simpelt fjerdegradspolynomium i grundlinjen g og siden s. Det er denne erfaring vi nu vil trække på i det følgende! 1 akt: En diskret tilgang Vi skal nu gætte på en generel arealformel. Vi konstruerer derfor en trekant med siderne a, b og c, hvor sidelængderne a, b og c kommer fra skydere med heltallige værdier (fordi det er meget nemmere at gætte en formel ud fra heltallige værdier): Vi vil nu undersøge hvordan arealet T afhænger af a, b og c, eller rettere vi vil undersøge hvordan 16T 2 afhænger af a, b og c. Her får vi nu vores første glædelige overraskelse: 16T 2 giver altid et helt tal vi er på rette vej! Vi varierer nu kun en side af gangen (variabelkontrol), i dette tilfælde vælger vi c. Vi afsætter nu c ud af x-aksen og 16T 2 op af y-aksen for efterfølgende at konstruere grafen for 16T 2 som funktion af c som et geometrisk spor. Vi kan fange værdierne af koordinaterne og på den måde fastfryse sporet som en serie af datapunkter: 2

3 Vi ser da at trekanten kollapser for c = 4 (svarende til a b = 7 3) og tilsvarende for c = 10 (svarende til a + b = 7 + 3). Vi kan endvidere prøve med en fjerdegradsregression om der findes et fjerdegradspolynomium, der går gennem alle 7 punkter: Forklaringsgraden er 1, så den er god nok! To af koefficienterne er så små, at der i virkeligheden er tale om nul. Ligningen er derfor givet ved Grafen er derfor symmetrisk omkring y-aksen og ser dermed således ud: 3

4 Hvordan skal vi nu forstå det? Hvis vi har prøvet med en hel klasse med forskellige valg af a, b og c, så vil de tydeligvis have fået lignende resultater: Et symmetrisk fjerdegradspolynomium med heltallige koefficienter, der starter med og som har nulpunkter i ± (a+b) og ± (a-b). Men det er faktisk nok til at vi kan sige, hvilket fjerdegradspolynomium, der må være tale om: Vi har altså nu gættet vores arealformel, idet x jo stod for siden c: Selvom vi kun har eftervist den for et endeligt antal heltallige værdier af sidelængderne a, b og c må den siges at være yderst troværdig. 2 akt: En kontinuer tilgang Denne gang vil vi lade a, b og c variere kontinuert. Ydermere vil vi oprette dem som fri punkter på en halvlinje. Det giver mulighed for at give dynamikken fuld skrue med brug af geometriske steder drevet af et af de tre frie punkter. Men som før skal vi foretage variabelkontrol og kun variere én variabel ad gangen. Vi vælger igen c. Vi afsætter nu c ud af x-aksen og 16T 2 op af y-aksen for efterfølgende at konstruere grafen for 16T 2 som funktion af c som et geometrisk sted: 4

5 Da det er et geometrisk sted kan vi afsætte 5 punkter og gemme deres koordinater i variablene (x1,y1),, (x5,y5). Det giver mulighed for efterfølgende at udføre en fjerdegradsregression, så vi kan sammenligne grafen for fjerdegradspolynomiet med det geometriske sted. 5

6 Der er perfekt overensstemmelse. Ydermere er konstruktionen fuldt dynamisk, dvs. når man trækker i de frie punkter hørende til a eller b, så følger både det geometriske sted og grafen for fjerdegradspolynomiet med (så længe vi sørger for at de fem punkter på det geometriske sted ikke forsvinder)! Vi ved altså nu at vores formodning var rigtig: 16T 2 er et symmetrisk fjerdegradspolynomium i c. Men af symmetrigrunde må det jo så også være et symmetrisk fjerdegradspolynomium i a og b. Geometrisk kan vi nu se at trekanten kollapser netop når c svarer til summen a + b eller differensen a b af de to andre sider. 6

7 Dermed kan vi gætte fjerdegradspolynomiet lige som før. Gemmer vi a, b og c som variable kan vi derfor teste vores formodning: 7

8 Igen er der fuld dynamik! Vi har altså nu fundet udtrykket for vores fjerdegradspolynomium: Vi har altså igen gættet vores arealformel, idet x jo stod for siden c: Denne gang har vi eftervist den for et kontinuum af værdier for sidelængderne a, b og c, så denne gang må den siges at være endnu mere troværdig. 3 akt: Beviset for Herons formel Vi fører nu et klassisk bevis for Herons formel. Udgangspunktet er den almindelige formel for trekantens areal: Bruger vi siden c som grundlinje har vi altså arealformlen: 8

9 Men nu ville vi jo finde en formel for arealet, hvor de kun indgik siderne a, b og c, så h er en fremmed variabel. Den første ligning er altså en ligning i to ubekendte: T og h. Vi supplerer derfor med endnu en formel for h, som kommer fra pythagoras: Prisen for at opstille denne ligning er imidlertid endnu en fremmed variabel x svarende til underinddelingen af grundlinjen i linjestykket DB. Vi har altså nu to ligninger med tre ubekendte; T, h og x. Men hvis vi nu udnytter at det resterende linjestykke AD må være det samme som c x kan vi tilføje en tredje ligning baseret på pythagoras for den venstre deltrekant: Denne gang slap vi for at indføre nye fremmede variable, så vi har nu fundet tre ligninger med tre ubekendte: 9

10 Men dem kan vi jo løse og på den måde finde et udtryk for arealet T: Vi genfinder da det samme symmetriske fjerdegradspolynomium som før og dermed har vi bevist Herons sætning (på nær en mindre omskrivning, der introducerer den halve omkreds: ). Man kan synes det er lidt 'snyd' at vi lader CAS-programmet løse systemet af ligninger, men vi kan også løse dem manuelt med støtte fra CAS-programmet. Det giver selvfølgelig samme resultat som før: 10

11 11

12 Epilog: Andre konsekvenser Når man ser beviset for Herons sætning er det svært at undgå at bemærke ligheden med beviset for cosinusrelationen. Indsættes udtrykket for x fås da også netop cosinusrelationen: Men vi kan fortsætte af dette spor. Omskrives cosinusrelationen, så vi får isoleret b 2, kan vi substituere dette udtryk for b i Herons kvadrerede formel: Ud kommer altså en variant af appelsinformlen og derfra er der kun et fingerspring til sinusrelationen. Alle relationerne hænger altså sammen som ærtehalm. 12