Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig"

Transkript

1 Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form og dermed størrelse er fastlagt alene ud fra de tre sider a, b og c, må der også findes en formel, der udtrykker arealet direkte ved hjælp af de tre sider. Den kaldes Herons formel (men var formentlig allerede kendt af Arkimedes): med Spørgsmålet er så hvordan man først kan opdage en sådan formel og hvordan man efterfølgende kan bevise den? Det kan gøres rent geometrisk, men de kan også gøres algebraisk, og det er den algebraiske tilgang vi vil følge her. Prolog: Udgangspunktet er lidt erfaring med arealformler. Vi starter derfor med at kigge på en simpel trekant, som vi kan overskue direkte. Det kunne være en retvinklet trekant med formlen, men det er næsten for simpelt til at vi kan uddrage nogle generelle træk, så i stedet kigger vi på en ligebenet trekant, der jo er tæt beslægtet med den retvinklede trekant: 1

2 Vi kan da nemt finde højden i den ligebenede trekant ud fra siderne og dermed kan vi også nemt finde en arealformel: Her er der mere kød på formlen. Specielt ser vi at arealet selv involverer både kvadratrødder og almindelige brøker, men hvis vi ser på 16T 2, så er det et simpelt fjerdegradspolynomium i grundlinjen g og siden s. Det er denne erfaring vi nu vil trække på i det følgende! 1 akt: En diskret tilgang Vi skal nu gætte på en generel arealformel. Vi konstruerer derfor en trekant med siderne a, b og c, hvor sidelængderne a, b og c kommer fra skydere med heltallige værdier (fordi det er meget nemmere at gætte en formel ud fra heltallige værdier): Vi vil nu undersøge hvordan arealet T afhænger af a, b og c, eller rettere vi vil undersøge hvordan 16T 2 afhænger af a, b og c. Her får vi nu vores første glædelige overraskelse: 16T 2 giver altid et helt tal vi er på rette vej! Vi varierer nu kun en side af gangen (variabelkontrol), i dette tilfælde vælger vi c. Vi afsætter nu c ud af x-aksen og 16T 2 op af y-aksen for efterfølgende at konstruere grafen for 16T 2 som funktion af c som et geometrisk spor. Vi kan fange værdierne af koordinaterne og på den måde fastfryse sporet som en serie af datapunkter: 2

3 Vi ser da at trekanten kollapser for c = 4 (svarende til a b = 7 3) og tilsvarende for c = 10 (svarende til a + b = 7 + 3). Vi kan endvidere prøve med en fjerdegradsregression om der findes et fjerdegradspolynomium, der går gennem alle 7 punkter: Forklaringsgraden er 1, så den er god nok! To af koefficienterne er så små, at der i virkeligheden er tale om nul. Ligningen er derfor givet ved Grafen er derfor symmetrisk omkring y-aksen og ser dermed således ud: 3

4 Hvordan skal vi nu forstå det? Hvis vi har prøvet med en hel klasse med forskellige valg af a, b og c, så vil de tydeligvis have fået lignende resultater: Et symmetrisk fjerdegradspolynomium med heltallige koefficienter, der starter med og som har nulpunkter i ± (a+b) og ± (a-b). Men det er faktisk nok til at vi kan sige, hvilket fjerdegradspolynomium, der må være tale om: Vi har altså nu gættet vores arealformel, idet x jo stod for siden c: Selvom vi kun har eftervist den for et endeligt antal heltallige værdier af sidelængderne a, b og c må den siges at være yderst troværdig. 2 akt: En kontinuer tilgang Denne gang vil vi lade a, b og c variere kontinuert. Ydermere vil vi oprette dem som fri punkter på en halvlinje. Det giver mulighed for at give dynamikken fuld skrue med brug af geometriske steder drevet af et af de tre frie punkter. Men som før skal vi foretage variabelkontrol og kun variere én variabel ad gangen. Vi vælger igen c. Vi afsætter nu c ud af x-aksen og 16T 2 op af y-aksen for efterfølgende at konstruere grafen for 16T 2 som funktion af c som et geometrisk sted: 4

5 Da det er et geometrisk sted kan vi afsætte 5 punkter og gemme deres koordinater i variablene (x1,y1),, (x5,y5). Det giver mulighed for efterfølgende at udføre en fjerdegradsregression, så vi kan sammenligne grafen for fjerdegradspolynomiet med det geometriske sted. 5

6 Der er perfekt overensstemmelse. Ydermere er konstruktionen fuldt dynamisk, dvs. når man trækker i de frie punkter hørende til a eller b, så følger både det geometriske sted og grafen for fjerdegradspolynomiet med (så længe vi sørger for at de fem punkter på det geometriske sted ikke forsvinder)! Vi ved altså nu at vores formodning var rigtig: 16T 2 er et symmetrisk fjerdegradspolynomium i c. Men af symmetrigrunde må det jo så også være et symmetrisk fjerdegradspolynomium i a og b. Geometrisk kan vi nu se at trekanten kollapser netop når c svarer til summen a + b eller differensen a b af de to andre sider. 6

7 Dermed kan vi gætte fjerdegradspolynomiet lige som før. Gemmer vi a, b og c som variable kan vi derfor teste vores formodning: 7

8 Igen er der fuld dynamik! Vi har altså nu fundet udtrykket for vores fjerdegradspolynomium: Vi har altså igen gættet vores arealformel, idet x jo stod for siden c: Denne gang har vi eftervist den for et kontinuum af værdier for sidelængderne a, b og c, så denne gang må den siges at være endnu mere troværdig. 3 akt: Beviset for Herons formel Vi fører nu et klassisk bevis for Herons formel. Udgangspunktet er den almindelige formel for trekantens areal: Bruger vi siden c som grundlinje har vi altså arealformlen: 8

9 Men nu ville vi jo finde en formel for arealet, hvor de kun indgik siderne a, b og c, så h er en fremmed variabel. Den første ligning er altså en ligning i to ubekendte: T og h. Vi supplerer derfor med endnu en formel for h, som kommer fra pythagoras: Prisen for at opstille denne ligning er imidlertid endnu en fremmed variabel x svarende til underinddelingen af grundlinjen i linjestykket DB. Vi har altså nu to ligninger med tre ubekendte; T, h og x. Men hvis vi nu udnytter at det resterende linjestykke AD må være det samme som c x kan vi tilføje en tredje ligning baseret på pythagoras for den venstre deltrekant: Denne gang slap vi for at indføre nye fremmede variable, så vi har nu fundet tre ligninger med tre ubekendte: 9

10 Men dem kan vi jo løse og på den måde finde et udtryk for arealet T: Vi genfinder da det samme symmetriske fjerdegradspolynomium som før og dermed har vi bevist Herons sætning (på nær en mindre omskrivning, der introducerer den halve omkreds: ). Man kan synes det er lidt 'snyd' at vi lader CAS-programmet løse systemet af ligninger, men vi kan også løse dem manuelt med støtte fra CAS-programmet. Det giver selvfølgelig samme resultat som før: 10

11 11

12 Epilog: Andre konsekvenser Når man ser beviset for Herons sætning er det svært at undgå at bemærke ligheden med beviset for cosinusrelationen. Indsættes udtrykket for x fås da også netop cosinusrelationen: Men vi kan fortsætte af dette spor. Omskrives cosinusrelationen, så vi får isoleret b 2, kan vi substituere dette udtryk for b i Herons kvadrerede formel: Ud kommer altså en variant af appelsinformlen og derfra er der kun et fingerspring til sinusrelationen. Alle relationerne hænger altså sammen som ærtehalm. 12

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

TI-Nspire TM CAS. Software version 2.1. introduktion og eksempler

TI-Nspire TM CAS. Software version 2.1. introduktion og eksempler TI-Nspire TM CAS Software version 2.1 introduktion og eksempler TI-Nspire TM CAS introduktion og eksempler Copyright 2010 by Texas Instruments Denne PDF-fil er gratis og må frit bruges til undervisningsformål.

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

AFFINE KRYPTOSYSTEM. Programmering og Talteori med TI-Nspire. Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen. Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15

AFFINE KRYPTOSYSTEM. Programmering og Talteori med TI-Nspire. Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen. Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15 AFFINE KRYPTOSYSTEM Programmering og Talteori med TI-Nspire Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15 Forord Indholdsfortegnelse Forord... 3 1. Introduktion til

Læs mere

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9.

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. Den lille hjælper Krogårdskolen Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. klasse Hvordan løses matematik? Positionssystem... 4 Positive tal... 4 Negative tal... 4 Hele tal...

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere

Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken

Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Statistiknoter til TI-Nspire CAS version 3.1 Bjørn Felsager Revideret November 2011 329 Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Chi-i-anden-testen

Læs mere

Workshop i Grafer og Geometri

Workshop i Grafer og Geometri Workshop i Grafer og Geometri Indholdsfortegnelse: 1. Øvelser i plangeometri side 1 Elementære geometriopgaver (C) side 1 Vejledende eksamensopgaver (B/A) side 4 Eksempler på projektopgaver i plangeometri

Læs mere

Hvordan Kepler fandt sine love

Hvordan Kepler fandt sine love Hvordan Kepler fandt sine love stronomerne forstod ikke at overmande denne krigsgud (Mars). Men den fortræffelige hærfører Tycho har under 0 års nattevågen udforsket al hans krigslist; og jeg omgik ved

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Software version 3.6. Eksempelsamlingen 1. del: Introduktion til værkstederne

Software version 3.6. Eksempelsamlingen 1. del: Introduktion til værkstederne Software version 3.6 Eksempelsamlingen 1. del: Introduktion til værkstederne Eksempelsamlingen 1. del Introduktion til værkstederne Copyright december 2013 by Texas Instruments Eksempelsamlingen vedligeholdes

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op?

Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op? Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op? Kasper Bjering Søby Jensen, ph.d. studerende i matematikkens didaktik ved Roskilde Universitet I LMFK bladet 2/2012 bragtes artiklen Anvendelse og modellering

Læs mere

EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad

EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad EDB-programmer til matematikundervisningen GeoMeter en dansk udgave af Geometers SketchPad af Bjørn Felsager, Knud Nissen og Niels Fruensgaard Flagskibet blandt geometriprogrammer The Geometers SketchPad

Læs mere

Hvordan gør de professionelle?

Hvordan gør de professionelle? Hvordan gør de professionelle? ( Oversat af Ivan Larsen, Samsø Dart Club, Marts 2010 fra How the Pros do it af: Ken Berman 1999 ) Der er to aspekter i det at blive en god dartspiller, det er præcision

Læs mere

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Hvad er matematik? Grundbog. Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup. L&R Uddannelse

Hvad er matematik? Grundbog. Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup. L&R Uddannelse 0. Hvad er matematik? Hvad er matematik? C Grundbog Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup L&R Uddannelse 1 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Forord.........................................................

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Indhold Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal... 1 Procent... 1 Hvad er én procent?... 1 Procentsatser over

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5 INDHOLDSFORTEGNELSE Side Indledning Kapitel 1 Introduktion til funktioner af variable 3 Niveaukurver 5 Kapitel Partiel differentiation og gradienten 7 Kapitel 3 Differentialet 1 Fejlvurdering 13 Tangentplan

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Introduktion til geometri med TI-Nspire CAS version 3.2 Midtsjællands Gymnasieskoler 2012-13

Introduktion til geometri med TI-Nspire CAS version 3.2 Midtsjællands Gymnasieskoler 2012-13 Introduktion til geometri med TI-Nspire CAS version 3.2 Midtsjællands Gymnasieskoler 2012-13 Materialet er udarbejdet af Brian Olesen med assistance fra Bjørn Felsager. Dynamiske geometriprogrammer Dynamisk

Læs mere

Knud Nissen. TI-89 Titanium Voyage 200. introduktion og eksempler

Knud Nissen. TI-89 Titanium Voyage 200. introduktion og eksempler Knud Nissen TI-89 Titanium Voyage 200 introduktion og eksempler Knud Nissen TI-89 Titanium / Voyage 200 introduktion og eksempler Copyright 2000 by Texas Instruments 4. reviderede oplag 2005 Tryk: Jelling

Læs mere

Rentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu

Rentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu Rentesregning Vi skal kigge på hvordan en lille rente kan have stor betydning på den samlede gæld. Vi skal kigge på lånetyper og opsparings samt gældsformlerne. Version 2.1 Sct. Knud Henrik S. Hansen Dine

Læs mere