DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE

Transkript

1 DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE SPØRGSMÅL ENS. SPØRGSMÅLENE I DE ENKELTE OPGAVER KAN LØSES UAFHÆNGIGT AF HINANDEN. 1

2 Opgave 1 En cylinderkapacitor er konstrueret af to tynde koaksiale cylinderskaller af metal. Den inderste skal har radius r a = 20 mm, den yderste har radius r b = 22 mm, den fælles længde er L = 40 cm og mellemrummet mellem skallerne er fyldt ud med et dielektrikum med dielektricitetskonstant K = 3,1. Der ses bort fra randfelter. (a) Beregn kapacitansen C af cylinderkapacitoren. Cylinderkapacitoren med kapacitansen C parallelkobles med en en anden kapacitor, der har kapacitansen 2C. De oprindeligt uladede parallelkoblede kapacitorer oplades gennem en modstand R ved tilslutning til en spændingskilde med elektromotorisk kraft E og indre modstand 0. (b) Bestem strømmen i gennem modstanden som funktion af tiden t idet forbindelsen sluttes (kontakten lukkes) til t = 0. Svaret udtrykkes ved konstanterne E, R og C. (c) Bestem slutladningen på hver af de to kapacitorer samt den samlede oplagrede energi. Svarene udtrykkes ved to af konstanterne E, R og C. Opgave 2 En uendelig lang massiv metalcylinder med radius r a bærer positiv ladning. Ladningsmængden pr. længdeenhed er λ 1. Koaksialt med cylinderen er anbragt en uendelig lang elektrisk ledende cylinderskal med indre radius r b og ydre radius r c, r a < r b < r c. Denne skal bærer ligeledes positiv ladning; ladningsmængden pr. længdeenhed er λ 2. Der er vakuum i områderne r a < r < r b og r c < r, hvor r som sædvanlig betegner afstanden til den fælles cylinderakse. (a) Bestem størrelse og retning af det elektriske felt i hvert af de fire områder r < r a, r a < r < r b, r b < r < r c og r c < r. (b) Forklar hvorledes den elektriske ladning er fordelt, og bestem de tilhørende ladningstætheder. 2

3 Opgave 3 Betragt en kuglesymmetrisk ladningsfordeling med radius a og samlet ladning Q; ladningen er positiv, Q > 0. I afstanden r fra fordelingens centrum har ladningstætheden værdien ρ(r) = 5Q 4πa 5 r2, r < a. Ladningsfordelingen giver anledning til et elektrisk felt, der er rettet radiært ud fra fordelingens centrum, og som i afstanden r fra dette centrum har styrken E = A 1 r 3 for r < a og E = A 2 1 r 2 for r > a, hvor A 1 og A 2 er konstanter (ikke dimensionsløse). Dielektricitetskonstanten K er overalt lig med 1. (a) Eftervis udtrykkene for E ud fra oplysningerne om ladningsfordelingen, og bestem de to konstanter A 1 og A 2. Konstanterne udtrykkes ved Q, a og ɛ 0. (b) Bestem det elektriske potential V (r) overalt i rummet idet potentialet sættes til nul i det uendeligt fjerne. Skitsér potentialet som funktion af r. 3

4 Opgave 4 Betragt en uendelig lang cylindersymmetrisk strømfordeling med radius R og samlet strøm I. Fordelingens strømtæthed J er parallel med cylinderaksen. Strømfordelingen producerer et magnetfelt, der for r < R har styrken B = µ 0I 2π r 2 R 3, hvor r angiver afstanden til cylinderaksen. Det oplyses, at størrelsen af strømtætheden har formen J = k r n, r < R, hvor k er en konstant (ikke dimensionsløs) og n er et positivt helt tal. (a) Bestem n. (Vink: Amperes lov.) Opgave 5 Student A er begejstret. Han fortæller, han kan konstruere et fantastisk apparat, hvis blot han kan skabe et magnetfelt, der er rettet radiært i forhold til et givet centrum, og hvis styrke alene afhænger af afstanden r til dette centrum; magnetfeltet skal altså have formen B = B(r)ˆr, ˆr r/r, hvor r er stedvektoren i forhold til det givne centrum. Student B svarer, at projektet lyder meget spændende, men at han ikke mener, det kan lade sig gøre at konstruere et sådant magnetfelt. (a) Der er en god grund til student B s skepsis; hvilken? 4

5 Opgave 6 Betragt en stiv og stationær kvadratisk strømkreds med sidelængde L. Kredsen er anbragt i x-y planet med akseparallelle sider som vist på figuren. Positiv omløbsretning er angivet; den svarer til en højreskrue om z-aksen, som er rettet vinkelret op fra planet. Der virker overalt et magnetfelt, som er rettet langs z-aksen. Feltet, der afhænger af y-koordinaten og tiden t, er givet som B = k y exp( t 2 /τ 2 ) e z, hvor τ er en positiv tidskonstant, k er en konstant med dimension T/m og e z er en enhedsvektor i z-aksens retning. Magnetfeltet giver anledning til en flux gennem kredsen på Φ B = B 0 L 2 exp( t 2 /τ 2 ), hvor B 0 er en positiv konstant med dimension T. Flux regnes positiv i z-aksens positive retning. (a) Bestem konstanten k; svaret udtrykkes ved B 0 og L. (b) Bestem den i kredsen inducerede elektromotoriske kraft, som skyldes det ovenfor angivne magnetfelt. Der ses bort fra selvinduktion. Angiv endvidere for alle tider t omløbsretningen af den strøm, der induceres i kredsen. 5