t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42"

Transkript

1 Slide 1/42

2 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42

3 Indhold Slide 3/42

4 Mængder Definition 1 En mængde er en samling af veldefinerede objekter. Eksempel 54 Følgende er eksempler på mængder: 1) Mængden af alle elever i klassen. 2) Mængden af hele positive tal større end 3. 3) Mængden af tal, der kan skrives som en brøk med hele tal i nævner og tæller. Notation 3 En mængde betegnes med et stort bogstav, mens et element i mængden betegnes med det tilsvarende lille bogstav. For eksempel er a et element i A og vi skriver: Som vi siger: a tilhører A a ligger i A a er et element i A a A Slide 4/42

5 ne De naturlige tal er tallene, som vi tæller med. Det vil sige de positive hele tal: Mængden af de naturlige tal betegnes N. De hele tal er tallene Mængden af de hele tal betegnes med Z. 1, 2, 3, 4 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 De rationale tal er alle de tal, som kan skrives som brøker, hvor tæller og nævner er hele tal. dvs a b : a, b Z Mængden af de rationale tal betegnes med Q. Slide 5/42

6 De irrationale tal er alle de tal, som ikke kan skrives som brøker, hvor tæller og nævner er hele tal. Følgende tal er eksempelvis irrationale: 2, π, e Mængden af de irrationale tal betegnes ofte med R \ Q, men det er ikke konsekvent, hvilket symbol der bruges. De reelle tal er foreningen af de rationale og de irrationale tal. De reelle tal betegnes med R. Slide 6/42

7 Indhold Slide 7/42

8 og prædikater Definition 4 Et udsagn er en udtalelse, som enten er sand eller falsk. Eksempel 5 Følgende udtalelser er udsagn: 1) Anders er en dreng. 2) = 3 3) Jorden er rund. 4) Det regnede igår. Eksempel 6 Følgende udtalelser er ikke udsagn: 1) Maden smager dejligt. 2) x + 3 = 4. 3) Matematik er smukt. Slide 8/42

9 Definition 7 Lad p og q være udsagn. Vi definerer nu følgende sammensatte udsagn. 1) Konjunktion: p q (læs: p og q) er sand, når både p og q er sande ellers falsk. 2) Disjunktion: p q (læs: p eller q) er falsk når både p og q e falske ellers sand. 3) Negation: p (læs: non p) er sand når p er falsk og falsk når p er sand. 4) Implikation: p p (læs: p medfører q) er falsk når p er sand og q er falsk; ellers er det sandt. 5) Biimplikation: p q (læs: p er ensbetydende med q) er sand, når p og q har samme sandhedsværdi; ellers er det falsk. Slide 9/42

10 Sandhedstabeller Sandhedstabeller kan bruges til at skabe overblik over, hvornår sammensatte udsagn er sande og falske. Eksempel 9 Her følger sandhedstabellen for p q p q p q s s s s f f f s f f f f Øvelse Opskriv sandhedstabeller for disjunktion, negation, implikation og biimplikation. Slide 10/42

11 Når man opskriver sammensatte udtryk, er det vigtigt at læse udtrykket i den rigtige rækkefølge. Udtrykkene skal læses i denne rækkefølge: 1) 2), 3) 4) Ofte er det en god ide at bruge parenteser til at indikere rækkefølgen. Eksempel 8 Lad os opskrive sandhedstabellen for udtrykket ( p q) p Slide 11/42

12 Definition 10 Et sammensat udsagn, der er falsk for alle værdier af de indgående simple udsagn kaldes en modstrid. Eksempel 11 Betragt det sammensatte udtryk: p ( p) p q p ( p) s f f f s f Definition 12 Et sammensat udsagn, der er sandt for alle værdier af de indgående simple udsagn kaldes en tautologi. Eksempel 13 Betragt det sammensatte udtryk: p ( p) p q p ( p) s f s f s s Slide 12/42

13 Definition 14 To sammensatte udsagn p og q kaldes logisk ækvivalente, hvis de har samme sandhedsværdier for alle værdier af de indgående simple udsagn, og vi skriver p q. Tjek for logisk ækvivalens Lad p og q være to sammensatte udsagn. De to udsagn er ækvivalente hvis p q er en tautologi. Eksempel 15 Vis at udtrykkene er logisk ækvivalente. ((p q) (q p)) p q Slide 13/42

14 Analyse af sproglige udsagn med udsagnslogik Sproglige udsagn kan formaliseres ved at bruge udsagnslogik. Lad os se nærmere på en sætning. Peter vil ikke gå i skole, hvis han ikke får en kage Går Peter i skole hvis han får en kage? Lad os opdele det sammensatte udsagnet i følgende to udsagn p : Peter går i skole k : han får en kage Slide 14/42

15 Definition 16 En udtalelse om elementerne i en given mængde (domænet), som indeholder en fri variabel fra mængden kaldes et prædikat. Definition 17 Vi skriver p(x) for et prædikat i variablen x. Vi skriver x M for at agive, at x kommer fra mængden (domænet) M. Eksempel 18 Følgende udtalelser er prædikater: 1) x + 2 = 4 2) x < 2 Hvad er domænerne for de to prædikater? Bemærkning 19 Et prædikat er ikke et udsagn, fordi vi ikke kan afgøre om det er sand eller falsk. Bemærkning 20 Et prædikat bliver til et udsagn, når der vælges en bestemt værdi fra mængden i stedet for variablen. Slide 15/42

16 Kvantorer Definition 21 Ud fra ethvert prædikat p(x) på domænet M kan laves udsagnet x M : p(x) som er sandt, når p(x) er sandt for alle x i M. Tegnet kaldes al-kvantoren og siges for alle. Definition 22 Ud fra ethvert prædikat p(x) på domænet M kan laves udsagnet x M : p(x) som er sandt, når der findes (mindst) et x i M så p(x) er sand. Tegnet kaldes eksistens-kvantoren og siges der eksisterer. Bemærk 23 Følgende ækvivalenser gælder ( x : p(x)) x : p(x) ( x : p(x)) x : p(x) Slide 16/42

17 Kvantorer Eksempel 24 Lad os betragte prædikatet p(x) Afgør nu om følgende to udsagn er sande x 2 > 1 x R : x 2 > 1 x R : x 2 > 1 Bemærkning 25 Vi kan bruge kvantorerne til at lave prædikaterne om til udsagn. Herefter kan vi sammensætte udsagnene med,, og - akkurat som før. Eksempel 26 Opskriv følgende udsagn med kvantorer og prædikater Ligningen x 3 = 7 har mindst en reel rod SVAR: x R : x 3 = 7 Slide 17/42

18 Indhold Slide 18/42

19 De fleste matematiske sætninger er på formen: Hvis p(x) så q(x) eller med logiske symboler x M : p(x) q(x) Den mest intuitive måde at vise sådanne sætninger på er ved at vise at q(x) er sand for alle x der gør p(x) sand. Øvelse 27 Er det nødvendigt at undersøge de x, der gør p(x) falsk? hvorfor? hvorfor ikke? Eksempel 28 Vis at kvadratet på et lige tal er lige. Antag x er lige. Da har vi x 2 = (2n) 2 = 2 2 n 2 = 2(2n 2 ) ( ) Her udnytter vi at ethvert lige tal kan skrives på formen 2n. Vi kan nu konkludere at x 2 er lige, hvis x er lige, og så er sætningen vist. Slide 19/42

20 Hvis man skal vise, at en sætning af typen ovenfor ikke gælder, er det nok at komme med ét modeksempel. Et udsagn af formen x M : p(x) q(x) skal jo gælde for alle x for at være sandt. Hvis vi kan finde bare ét x, hvor det ikke er tilfældet, så er udsagnet falsk. Eksempel 29 Betragt udsagnet: x R : x 2 > x Giv et modeksempel, der viser at udsagnet ikke er sandt. Slide 20/42

21 Bevis ved kontraposition Hvis man skal vise at Er det tilstrækkeligt at vise og det er sommetider simplere. Øvelse 30 Lad p og q være udsagn. Vis at x M : p(x) q(x) x M : q(x) p(x) p q q p Eksempel 31 Vis at hvis kvadratet på et tal er lige, så er tallet også selv lige, altså x R : x 2 er lige x er lige Slide 21/42

22 Hvis man vi vise et udsagn q er sandt, kan man i stedet vise, at hvis det ikke er sandt, så opstår der et paradoks! Og heraf slutter man, at derfor må q være sandt. Men hvorfor kan man egentlig slutte det? Øvelse 32 Vis at Eksempel 33 Vis at 2 er irrational. q q p p Slide 22/42

23 delt op i tilfælde Nogle gange kan det være lettere at dele et bevis op i flere dele og bevise delene enkeltvis. Eksempel 34 Hvis n er et naturligt tal så er n 2 + n lige. Hvorfor må man det? Øvelse 35 Vis at (p q) r (p r) (q r) Eksempel 36 Vis følgende sætning: Hvis n er et naturligt tal, så går 4 op i enten n 2 eller n 2 1. Slide 23/42

24 handler om at vise sætninger af formen: Der eksisterer x M så et eller andet. Eksempel 37 Der findes et tal x så x = x 2. Med symboler x R : x = x 2 For at vise sådanne sætninger er det nok at give et konkret eksempel! Ikke konstruktive beviser Det er ikke nødvendigt at givet et konkret eksempel på x der opfylder en eksistenssætning. Det er nok bare at godtgøre, at det findes! - og det er nogle gange lettere. Eksempel 38 Vis at der findes irrationale tal x og y, så x y er rational. Slide 24/42

25 handler om at vise sætninger af formen: Der findes kun ét x M så et eller andet. Det må altså betyde at Eksempel 39 Ligninger på formen Har kun én løsning. x, y M : P(x) P(y) x = y ax + b = 0 a 0 Slide 25/42

26 Sætning 40 (Induktionsprincippet) Lad p(x) være et prædikat, hvor den frie variabel x løber over (tilhører) de naturlige tal. Såfremt p(x) opfylder følgende to egenskaber, så gælder gælder p(n) for alle n N. 1) p(1) er sand. 2) For ethvert k N kan man slutte at p(k + 1) er sand, hvis man antager at p(k) er sand. Eksempel 41 For ethvert n N gælder at summen af de første n ulige tal er lig med n 2, altså: (2n 1) = n 2 Slide 26/42

27 Eksempel 42 (Oktober nød) For ethvert n N går 6 op i (n 3 n). Eksempel 43 For ethvert n N gælder n = n(n + 1) 2 Slide 27/42

28 Peano s aksiomssystem for de naturlige tal Definition 44 (Peano s aksiomsystem) De naturlige tal er en mængde N udstyret med en efterfølgerfunktion S : N N, hvorom det gælder 1) 1 N 2) For ethvert n N : 1 (n) 3) For ethvert m, n N : m n S(m) S(n) 4) Hvis det om en delmængde A N gælder, at 1 A og m A S(m) A, så gælder, at A = N Sætning 40 (nu med bevis) Lad p(x) være et prædikat, hvor den frie variabel x løber over (tilhører) de naturlige tal. Såfremt p(x) opfylder følgende to egenskaber, så gælder gælder p(n) for alle n N. 1) p(1) er sand. 2) For ethvert k N kan man slutte at p(k + 1) er sand, hvis man antager at p(k) er sand. Slide 28/42

29 Indhold Slide 29/42

30 Vi husker fra tidligere at Definition 1 En mængde er en samling af veldefinerede objekter. Definition 45 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis x A x B Bemærkning 46 Der findes en mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Eksistensen af den tomme mængde er fastlagt af aksiomerne. Sætning 47 Der er kun én mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Definition 48 Den entydige mængde uden elementer kaldes den tomme mængde og betegnes med. Slide 30/42

31 Definition 49 Lad p(x) være et prædikat på mængden M, dvs. x M. p s sandhedsmængde er da mængden af de x M, der gør p(x) sand. Denne mængde betegnes med symboler således: {x M p(x)} og vi siger mængden af de x i M for hvilke det p(x). Bemærkning 50 Ofte har vi brug for at tale om sammenhængende delmængder af R, kaldet intervaller. Følgende notation er standard. [a, b] = {x R a x b} (a, b) = {x R a < x < b} [a, b) = {x R a x < b} [a, ) = {x R a x} (, b) = {x R x < b} Slide 31/42

32 Definition 51 En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B, hvis alle elementer i A også ligger i B. I så fald siger vi at A er indeholdt i B og vi skriver A B eller B A. Med symboler har vi A B (x A x B) Bemærkning 52 Bemærk at det for enhver mængde A gælder at A A. Bemærkning 53 Hvis man skal vise, at en mængde A er en delmængde af en mængde B, gælder det om at vise, at ethvert element i A også er et element i B. Det gøres ved at undersøge et vilkårligt element i A og vise, at det også ligger i B. Derfor stater beviser af denne type med ordene Lad x A. Eksempel 54 Vis at {x R x 2 < 2} {x R x < 5} Slide 32/42

33 Sætning 55 Den tomme mængden er en delmængde af enhver mængde. Altså hvis A er en mængde, så gælder det A Sætning 56 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis og kun hvis (A B) (B A). Bemærkning 57 Hvis man vil vise, at to mængder A og B er det ofte lettest at vise, at A B og B A. Eksempel 58 Vis at mængden af punkter i planen, som ligger lige langt fra to givne punkter P og Q, netop er midtnormalen til linjestykket PQ. Brug så vidt muligt Venn-diagrammer til at illustrere sammenspil mellem mængder Slide 33/42

34 Fællesmængde Definition 60 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der ligger både i A og i B kaldes for fællesmængden for A og B. Fællesmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 61 Når man skal vise, at et element ligger i fællesmængden af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i begge mængder. Eksempel 62 Bestem {a, b, c, d, e, f, g} {d, e, f, g, h, i} Bemærkning 63 Lad A og B være to mængder. Det følger direkte af definitionen af fællesmængden at A B A Slide 34/42

35 Foreningsmængde Definition 64 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der enten i A eller i B kaldes for n af A og B. Foreningsmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 65 Når man skal vise, at et element ligger i n af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i mindst en af de to mængder. Eksempel 66 Bestem {a, b, c, d, e, f, g} {d, e, f, g, h, i} Bemærkning 67 Lad A og B være to mængder. Det følger direkte af definitionen af fællesmængden at A B A Slide 35/42

36 Familier af mængder En familie er mængder er en samling af mængder, der er relateret til hinanden ved et indeks, der gennemløber en bestemt mængde. Ofte vil indeksmængden være N. Vi skal her betragte helt generelle familier med en vilkårlig indeksmængde, Λ. Eksempel 68 Betragt intervallerne I 1 = [0, 1] I 2 = [0, 1 2 ] I 3 = [0, 1 3 ] I n = [0, 1 n ] Disse intervaller udgør en familie af delmængder af R, hvor indeksmængden er N. Definition 69 Lad Λ være en indeksmængde, så der til etvhert α Λ svarer en mængde A α, da siger vi at A α erne udgør en familie af mængder, og vi betegner familien med {A α } α Λ. Slide 36/42

37 t a l e n t c a m p d k Familier af mængder Definition 70 Lad {A α } α Λ være en familie af mængder. Fællesmængden af alle familiens mængder betegnes med α Λ A α og defineres formelt som A α = {x α Λ : x A α } eller α Λ x A α α Λ : x A α α Λ Med andre ord α Λ A α, hvis x er indeholdt i samtlige mængder i familien. Bemærkning 71 Ved at negere definitionen ovenfor ses at x A α α Λ : x A α α Λ Slide 37/42

38 Familier af mængder Bemærkning 72 Hvis indeksmængden er {1, 2, 3, 4,, m} skriver vi m n=1 A n Hvis indeksmængden er N skriver vi n=1 A n Eksempel 73 Betragt familien af intervaller {I n } n N fra eksempel 68. Vis at I n = I n = [0, 1 n ] = {0} n N n=1 n=1 Slide 38/42

39 t a l e n t c a m p d k Familier af mængder Definition 74 Lad {A α } α Λ være en familie af mængder. Foreningsmængden af alle familiens mængder betegnes med α Λ A α og defineres formelt som A α = {x α Λ : x A α } eller α Λ x A α α Λ : x A α α Λ Med andre ord α Λ A α, hvis x er indeholdt i mindst en af mængderne i familien. Bemærkning 75 Ved at negere definitionen ovenfor ses at x A α α Λ : x A α α Λ Slide 39/42

40 Familier af mængder Bemærkning 76 Hvis indeksmængden er {1, 2, 3, 4,, m} skriver vi m n=1 A n Hvis indeksmængden er N skriver vi n=1 A n Eksempel 77 Betragt familien af intervaller {I n } n N, hvor I n = [0, 1 1 n ]. Vis at n=1 [0, 1 1 ] = [0, 1) n Slide 40/42

41 Definition 78 Et ordnet par (a, b) er et par i en bestemt rækkefølge. Det betyder, at to ordnede par er lig hinanden, hvis og kun hvis de indeholder samme objekter i samme rækkefølge. (a 1, b 1 ) = (a 2, b 2 ) a 1 = a 2 b 1 = b 2 Definition 79 Lad A og B være to mængder. Vi betragter da de ordnede par (a, b), hvor a A og b B. Mængden af sådanne par kaldes produktmængden af A og B og betegnes med A B. A B = {(a, b) (a A) (b B)} Eksempel 80 Betragt mængderne A = {1, 2} og B = {a, b, c}. Bestem A B. Bemærkning 81 Hvis A = B skriv vi ofte A 2 i stedet for A B. Slide 41/42

42 Eksempel 82 Hvordan kan R illustreres? Hvad med R 2? R 3? R n? Eksempel 83 Opskriv sandhedsmængden for (1, 2] [3, 4]. Illustrer herefter mængden i planen. Definition 84 Lad A 1, A 2, A 3 osv. op til A n være n mængder. n mellem disse mængder er da givet ved A 1 A 2 A n = {(x 1, x 2,, x n ) x 1 A 1 x 2 A 2 x n A n } Sætning 85 Lad A, B og C være mængder. Da gælder A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Slide 42/42

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2

Læs mere

Matematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming

Matematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematisk Metode Notesamling

Matematisk Metode Notesamling Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok

Læs mere

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem Aalborg University Department of Computer Science. Fredrik Bajers Vej 7E, 9220 Aalborg Ø. Titel: Traveling Salesman Problem Projektperiode: 16. maj 2003 til 20. juni 2003 Semester: BOS03 Gruppebetegnelse:

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Introduktion til prædikatlogik

Introduktion til prædikatlogik Introduktion til prædikatlogik Torben Braüner Datalogisk Afdeling Roskilde Universitetscenter 1 Plan Symbolisering af sætninger Syntaks Semantik 2 Udsagnslogik Sætningen er den mindste syntaktiske enhed

Læs mere

Henrik Bulskov Styltsvig

Henrik Bulskov Styltsvig Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Disposition

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

BOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik

BOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik ( p q) p q February 1, 2011 Sandhedsværdier og udsagnsvariable I dag handler det om logiske udsagn. Mere præcist om de logiske udsagn vi kan bygge ud fra sandhedsværdier, udsagnsvariable og logiske konnektiver.

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

16. december. Resume sidste gang

16. december. Resume sidste gang 16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang 16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Matematikkens fundament i krise

Matematikkens fundament i krise Matematikkens fundament i krise Videnskabsfagprojekt ved IMFUFA, RUC David Hilbert 1862-1943 Gottlob Frege Georg Cantor 1845-1918 Gottlob Frege Henri Poincaré 1854-1912 Gottlob Frege Bertrand Russell 1872-1970

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009

Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009 Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Uendelighed og kardinalitet

Uendelighed og kardinalitet Steen Bentzen Uendelighed og kardinalitet - mængder og de reelle tal. Forlaget Bentz - - Indholdsfortegnelse Forord.. s. 2 Kapitel : Ækvipotens og kardinalitet generelt... s. 3 Kapitel 2: Ækvipotens og

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen 36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Selvreference i begrænsningsresultaterne

Selvreference i begrænsningsresultaterne Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

Om matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen

Om matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen Om matematisk logik Henning Christiansen, Troels Andreasen Contents 1 Indledning 3 2 Propositionel logik 5 2.1 Propositionelle logiksprog..................... 5 2.1.1 Syntaks...........................

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Gödels ufuldstændighedssætninger

Gödels ufuldstændighedssætninger Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Introduktion til abstrakt matematik

Introduktion til abstrakt matematik Matematik Y Introduktion til abstrakt matematik Flemming Topsøe 2002 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-11-2 c Matematisk Afdeling 2002 Indhold Indhold Forord 5 BML:

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Sidste

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504) For et givent positivt heltal n og en given mængde af familier, antages at sandsynligheden for at familien har i børn, for 1 i n, er p i, således at n i=1 p i = 1. Endvidere er de 2 i mulige måder at få

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3 1. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4 2. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED...

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm.

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm. Institut for Matematiske Fag Plan Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser Helle Sørensen Eftermiddagen vil være bygget om 3 4 eksempler: A. B. Random

Læs mere