Impuls og kinetisk energi

Transkript

1 Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015)

2 2 I. INDLEDNING I denne øvelse undersøger vi omsætning af impuls og kinetisk energi i kollisioner mellem to legemer. Vi undersøger specifikt centrale stød mellem to kugler, og måler impuls- og energiomsætning for stød under forskellige forhold som elasticitet og masse variation. Vi ønsker også at finde stødtiden for pre-determineret parametre. Formålet er, at måling af stødtiden, giver os mulighed for at estimere stødkraften. A. Elastiske stød mellem to legemer Ved et elastisk stød observeret i en dimension vil energien og impulsen bevares. Ved at opstille udtrykket for den generelle energibevarelse for den kinetiske energi Kan denne omskrives, da E kin = 1 2 m v2 til E kina1 + E kinb1 = E kina2 + E kinb2 (1) 1 2 m A v 2 A1x m B v 2 B1x = 1 2 m A v 2 A2x m B v 2 B2x (2) I forsøget betragtes de to legmer A og B, hvor A har hastigheden v A1 og da, B er i hvileposition fås at, v B1 = 0 kan der ses bort fra B-leddet og der fås Grundet impulsbevarelsen fås Når v B1 = 0 fås Udryk for v A2 og v B2 1 2 m A v 2 A1x = 1 2 m A v 2 A2x m B v 2 B2x (3) m A v A1x + B1x = m A v A2x + m B v B2x (4) m A v A1x = m A v A2x + m B v B2x (5) m B v 2 B2x = m A v 2 A1x m A v 2 A2x = m A (v A1x + v A2 ) (v A1x v A2x ) (6) Ligning 6(Ligning: 6) divideres med ligning 7(Ligning: 7) m B v B2x = m A v A1x m A v A2x = m A (v A1x v A2x ) (7) m B vb2x 2 = m A(v Ax + v A2 ) (v A1x v A2x ) m B v B2x m A (v A1x v A2x ) (8) v B2x = v A1x + v A2x (9) Ved at substituere ligning 9(Ligning: 9) ind i ligning 7(Ligning: 7) kan v B2x elimineres og v A2x kan isoleres m B (v A1x ) = m A (v A1x v A2x ) v A2x = m A m B v A1x (10) Nu kan v A2x i ligning 9(Ligning: 9) erstattes med udtrykket for v A2x fundet i ligning 10(Ligning: 10). Derved fås et udtryk for v B2x Impulsen for v A2x og v B2x findes ved v B2x = 2m A v A1x (11) P Aefter = m A v A2 = m A ma m B v A1x (12)

3 Energien for v A2x og v B2x efter kollisionen P Befter = m B v B2 = m B 2m A v A1x (13) E Aefter = 1 2 m A v 2 A2 = 1 2 m A ( m A m B v A1x ) 2 (14) 3 fremgår af figur 1. E Befter = 1 2 m B vb2 2 = 1 2 m 2m A B ( v A1x ) 2 (15) Figur 1. Illustration af et elastisk stød mellem et legeme A og et legeme B hvoraf B er i hvile før stødet. B. Fuldt uelastiske stød mellem to legemer Under et fuldt uelastisk stød mellem to legmer er energitabet, så stort, at de to legmer vil bevæg sig som et legme efter koallision. Dette medføre således deres sluthastighed må være den samme, derfor. Formlen for impulsbevarelse: Da legme B er i hvileposition, har B hastigheden v B1 = 0 fås der v f bliver således v A2 = v B2 = v f (16) m A v A1 + m B v B1 = ( ) v f (17) m A v A1 = ( ) v f (18) For impulsen efter kollisionen v f = m A v A1 (19) P efter = mv (20)

4 4 Dette giver For energien efter kollisionen Dette giver P efter = v f ( ) = m A v f ( ) = m A v A1 (21) E efter = 1 2 m v2 (22) E efter = 1 2 m v2 = 1 2 ( ) ( m A v A1 ) 2 (23) fremgår af figur 2. E efter = 1 2 m 2 A v2 A1 (24) Figur 2. Illustration af et fuldt uelastisk stød mellem et legeme A og et legeme B, hvoraf det ene legeme er i hvile før stødet. For stødkraften gælder der C. Impulsomsætning, stødtid og stødkraft F stød = δp δt Dette betyder at, stødkraften er givet ved impulsændringen over stødtiden (25) F stød = P 2 P 1 t 2 t 1 (26)

5 5 II. EKSPERIMENTELLE OPSTILLINGER A. Impuls- og energiomsætning for stød under forskellige forhold Vores eksperimentelle opstilling for måling af impuls og energiomsætning for stød under forskellige forhold fremgår af figur 3. Vi har fremsat et vandbad, som er koblet til strømforsyningen, for at registrere spændingsforskellen produceret af kuglens bevægelse igennem vandet. Til at måle denne forskel, har vi tilkoblet begge kugler til PicoScope via kanal A og B og benytter os af trigger funktionen. Derved kan PicoScope selv måle kugle A og B s position under bevægelse samt efterfølgende kollision. Dette kan vi måle, da vandbadet er koblet til systemet og fungerer som leder. Før de reelle målinger begynder, foretager vi en kalibrering. Dette gør vi ved at ligge en 30 cm lineal i bunden af vandbadet langs den akse kuglerne bevæger sig. Denne akse benævnes fremadrettet som x-aksen. Vi har så følgende foretaget en måling af spændingen i forhold til kuglens position ud for linealen. Da udstyret nu er kalibreret og klar til at foretage målinger, har vi foretaget 10 tests under varierende parametre som masse og elasticitet. Figur 3. Eksperimentel opstilling til Impuls- og energiomsætning for stød under forskellige forhold. B. Stødtid Vores eksperimentelle opstilling for måling af stødtid fremgår af figur 4. Vi benytter samme opstilling fra før dog uden vandbad. PicoScope registrere den ene kugle A, som den trækkes op og slippes. Vi kan hermed måle tiden fra start tidspunktet til tidspunktet hvor kollision med kugle B indtræffer.

6 6 Figur 4. Eksperimentel opstilling til måling af stødtid. III. RESULTATER A. Impuls og energiomsætning for stød under forskellige forhold 1. Kalibrering af målingen Kalibreringen er behandlet ud fra opmålte værdier af position og spænding, og efterfølgende blev position plottet som funktion af spænding (Fig.r 5) Figur 5. Figuren viser kalibreringen af spænding (U) og position (x).

7 Grafens kurve er derefter blevet fittet med lineær funktion, x = A U + B. Linjens hældning aflæses til a = 25.62, hvilket betyder at kalibreringen som bruges i Matlab er Udtryk for for ophobningsloven S 2 pfør ( dp ) d 2 σm 2 A + ( dp ) ma d 2 σv 2 A 1 + ( dp ) VA 1 d 2 σm 2 B + ( dp 2 ) σv 2 mb d B 1 (27) VB 1 S m 2 A1 σ2 m A + VA1 2 σ2 V A 1 + m2 B1 σ2 m B 1 + V B1 2 σ2 V A 1 (28) 7 Her behandles data fra uelastiske stød. 2. Variation af begyndelsesbetingelser Figur 6. Figuren viser et eksempel på en måling af tid som funktion af position af de to kugler under stød. Figur 6 viser et eksempel på én måling af tid som funktion af position, af de to kugler under stød. For bestemme hastighederne for de to kugler før og efter stødet, benyttes en funktion i Matlab som kan aflæse hastigheden ud fra kurvernes hældning. Dette foregår ved at optegne en linje til de respektive hældninger. Den blå graf viser kugle A, hvor den aftagende del viser bevægelsen før stødet og den stigende viser den bevægelsen efter stødet. Den røde kurve repræsenterer kugle B, det første stykke er konstant da kuglen ikke er i bevægelse. Den aftagende kurve viser bevægelsen efter stødet. På figuren (Figur 7) ses de indtegnede linjer, som aflæser hastighederne før og efter stødet med tilhørende usikkerheder. Disse værdier for hastigheder før og efter stød, bearbejdes efterfølgende i Excel. Figur 8 viser aflæst data for de forsøg, hvor vægten for kuglerne har været uændret. Udfra disse data, beregnes energien før og efter stødet for begge kugler (se Figur 9). Dette benyttes følgende formler til ( Ligning: 29, 30, 31 ): E = 1 2 m v2 (29)

8 8 Figur 7. Figuren viser et eksempel på hvordan vi aflæser hastigheder før og efter stød via matlab. Figur 8. Tabellen viser alle aflæste data. E x før = 1 2 m x v 2 1x (30) E x efter = 1 2 m x v 2 2x (31) Endvidere udregnes impulserne før og efter stødene (Se Figur 10), ved hjælp af følgende formel for impulsberegning: P = m v (32) P x før = m x v 1 x (33)

9 9 Figur 9. I figuren ses beregningen for energien før og efter stødet for begge kugler. Figur 10. I figuren ses udregning af impulserne før og efter stødene. P x efter = m x v 2 x (34) Herfra plottes den samlede impuls før som funktion af den samlede impuls efter, for at sammenligne vores teoretiske forudsigelse med data. Figur 11. I figuren ses grafen for impuls for uelastiske stød til at sammenligne vores teoretiske forudsigelse med data.

10 Ud fra denne graf kan hældningen aflæses til 0,8, hvilket stemmer godt overens med teorien om impulsbevaring skal ligge ved 1. Nu plottes energien efter stødet som funktion af energien før stødet. 10 Figur 12. I figuren ses grafen for uelastiske stød til at sammenligne vores teoretiske forudsigelse med data. Ud fra dette aflæses hældningen 0.98, hvilket passer rigtig godt til teorien om af energien bevares ved uelastiske stød. 3. Variation af elasticitet Under disse data, blev kugle B viklet ind i tape og sandpapir, og disse data vil derfor omhandle elastiske stød. Data for de elastiske stød bearbejdes på akkurat samme måde, som uelastiske stød. Figur 13 viser data for et elastisk stød, hvilket giver en lidt anderledes kurve. Der optegnes igen linjer, så Matlab kan aflæse de forskellige hastigheder før og efter stød for begge kugler. (Se figur 14) Herefter opskrives alt aflæst data (Se Figur 15 ) Energien beregnes (Se figur 16) Impulserne beregnes (Se figur 17) Nu kan man igen plotte graferne for impuls og energi, for dels at sammenligne med graferne fra uelastiske stød, men også for at sammenligne til vores teoretiske forudsigelse. Det ses på både figur 18 og 19, at hældningen er langt fra 1, hvilket betyder at der hverken er impuls- eller energibevarelse for disse stød. Sammenliget med grafen får uelastiske stød, er dette lidt den omvendte situation. 4. Bestemmelse af stødtid og stødkraft Ud fra vores andet forsøg, har det det været muligt at opstille en figur der viser kuglernes stød. Ud fra denne figur, er muligt at aflæse stødtiden. I figur 20, ses data fra andet forsøg plottet. Det første lange stykke af grafen er konstant, da forsøget er sat til én trigger funktion og dermed ikke startet endnu. Herefter kolliderer kuglerne, forsøget starter, og man ser derfor et større spring på y-aksen. Der ses igen endnu et konstant stykke, hvilket repræsenterer stødtiden - den tid hvor kuglerne rører hinanden. Herefter ses en aftagende kurver, som beskriver bevægelsen efter stødet. For at aflæse stødtiden, aflæses tiden på x-aksen for det konstante stykke hvor kuglerne rører hinanden. Stødet starter i nul, og hertil hjælper Matlab

11 11 Figur 13. I figuren ses ubearbejdede data. Figur 14. I figuren ses hvordan vi har brugt matlab til finde udtryk for hastigheder før og efter stød. med at vise koordinatsættet til sidste punkt af den konstante linje (Se figur 20). Som eksempel vil stødtiden for figur x aflæses til 0,1286 sekunder. Følgende stødtider ses i tabellen nedenfor (Figur 21) Herfra er næste skridt at beregne stødkraften, som er givet ved: F stød = dp dt Stødkraften er altså givet ved impulsændringen over stødtid: F stød = P T (35) (36) F stød = m A V A 2 m B V A 1 T (37)

12 12 Figur 15. I tabellen ses aflæste data for elastiske stød. Figur 16. I tabellen ses energier før og efter stød. Stødkraften beregnes altså ud fra følgende udtryk. V B 2 er givet fra forrige analyser, bemærk dog at V B 1 = 0, da kuglen står stille, hvilket betyder at leddet er fjernet i følgende udtryk: F stød = m B V B 2 T (38) Stødkraften udregnes, og opstilles i tabel (x), som ses i figur 22 Stødkraften for vores forsøg ligger omkring et snit på 0, 24N, hvilket ser ganske stabilt ud.

13 13 Figur 17. I figuren ses data for impulserne. Figur 18. I figuren ses energien efter plottet som funktion af energien før for uelastiske stød. Figur 19. I figuren ses impuls efter plottet som funktion af impulsen før for uelastiske stød.

14 14 Figur 20. I figuren ses data for stødtid. Figur 21. I figuren ses data for stødtid, vægt og usikkerhed. Figur 22. I figuren ses den udregnede stødkraft.

15 15 IV. DISKUSSION Det forhold som bidrager med den største unøjagtighed til resultaterne, er kontrol af kuglernes retning. Gennem forsøget har det været svært at få kuglerne til at holde en lige linje ved sving, og har måtte fravælge en stor del af målingerne. De primære årsager til dette, er dels at kuglerne har været lidt for lette og at stødet ofte ikke har været lige på. Dette giver som sagt nogle sidegående bevægelser, som ikke vil stemme helt op med positionsaksen. Hertil har vi gjort vores bedste for at indsamle de bedste målinger, samt udregnet usikkerheder for værdierne. En anden vigtig unøjagtighed, er præcisionen af distancen mellem den stille kugle, til den kugle som slippes. Det har været svært at afgøre hvor kuglen præcist var sluppet, samtidigt med at den også skulle ramme den stille kugle lige på. Dette har givet nogle uoverensstemmelser med Matlab, med en usikkerhed op til 2cm. Dette har ikke umiddelbart giver nogle forkerte beregninger, men mere et dårligt billede af virkeligheden i forhold til kuglens hastighed som funktion af distance/position. Ud over dette, har det været nogle små usikkerheder som vind- og vandmodstand, måleusikkerheder (vægt af kugler og opmåling af bad), samt dårlig fordeling af tape på kugle B under forsøget med elastiske stød. For at forbedre forsøget og dataindsamlingen, ville det være en god idé at have mere faste rammer for kuglens sving. Dels kunne man bruge lidt tungere kugler, så svingningsretningen ikke påvirkes nær så let. Derudover kunne man med fordel opgradere det stativ kuglerne svinger i, og eventuelt have en maskine til styre hvor og i hvilke vinkel kuglen slippes. Vandbadet kunne eventuelt laves med indbygget måleenhed, og metalplade i hver ende, så elektroderne ikke flytter sig igennem forsøget. V. KONKLUSION Vi har i dette forsøg beregnet impuls og energiomsætning for stød under forskellige forhold samt beregnet stødtiden. Vi kan konkludere at der ved uelastiske stød er impuls og energibevarelse. Ved elastiske stød er der ikke impuls eller energibevarelse da dette absorberes i det elastiske materiale