Impuls og kinetisk energi
|
|
- Mette Winther
- 1 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015)
2 2 I. INDLEDNING I denne øvelse undersøger vi omsætning af impuls og kinetisk energi i kollisioner mellem to legemer. Vi undersøger specifikt centrale stød mellem to kugler, og måler impuls- og energiomsætning for stød under forskellige forhold som elasticitet og masse variation. Vi ønsker også at finde stødtiden for pre-determineret parametre. Formålet er, at måling af stødtiden, giver os mulighed for at estimere stødkraften. A. Elastiske stød mellem to legemer Ved et elastisk stød observeret i en dimension vil energien og impulsen bevares. Ved at opstille udtrykket for den generelle energibevarelse for den kinetiske energi Kan denne omskrives, da E kin = 1 2 m v2 til E kina1 + E kinb1 = E kina2 + E kinb2 (1) 1 2 m A v 2 A1x m B v 2 B1x = 1 2 m A v 2 A2x m B v 2 B2x (2) I forsøget betragtes de to legmer A og B, hvor A har hastigheden v A1 og da, B er i hvileposition fås at, v B1 = 0 kan der ses bort fra B-leddet og der fås Grundet impulsbevarelsen fås Når v B1 = 0 fås Udryk for v A2 og v B2 1 2 m A v 2 A1x = 1 2 m A v 2 A2x m B v 2 B2x (3) m A v A1x + B1x = m A v A2x + m B v B2x (4) m A v A1x = m A v A2x + m B v B2x (5) m B v 2 B2x = m A v 2 A1x m A v 2 A2x = m A (v A1x + v A2 ) (v A1x v A2x ) (6) Ligning 6(Ligning: 6) divideres med ligning 7(Ligning: 7) m B v B2x = m A v A1x m A v A2x = m A (v A1x v A2x ) (7) m B vb2x 2 = m A(v Ax + v A2 ) (v A1x v A2x ) m B v B2x m A (v A1x v A2x ) (8) v B2x = v A1x + v A2x (9) Ved at substituere ligning 9(Ligning: 9) ind i ligning 7(Ligning: 7) kan v B2x elimineres og v A2x kan isoleres m B (v A1x ) = m A (v A1x v A2x ) v A2x = m A m B v A1x (10) Nu kan v A2x i ligning 9(Ligning: 9) erstattes med udtrykket for v A2x fundet i ligning 10(Ligning: 10). Derved fås et udtryk for v B2x Impulsen for v A2x og v B2x findes ved v B2x = 2m A v A1x (11) P Aefter = m A v A2 = m A ma m B v A1x (12)
3 Energien for v A2x og v B2x efter kollisionen P Befter = m B v B2 = m B 2m A v A1x (13) E Aefter = 1 2 m A v 2 A2 = 1 2 m A ( m A m B v A1x ) 2 (14) 3 fremgår af figur 1. E Befter = 1 2 m B vb2 2 = 1 2 m 2m A B ( v A1x ) 2 (15) Figur 1. Illustration af et elastisk stød mellem et legeme A og et legeme B hvoraf B er i hvile før stødet. B. Fuldt uelastiske stød mellem to legemer Under et fuldt uelastisk stød mellem to legmer er energitabet, så stort, at de to legmer vil bevæg sig som et legme efter koallision. Dette medføre således deres sluthastighed må være den samme, derfor. Formlen for impulsbevarelse: Da legme B er i hvileposition, har B hastigheden v B1 = 0 fås der v f bliver således v A2 = v B2 = v f (16) m A v A1 + m B v B1 = ( ) v f (17) m A v A1 = ( ) v f (18) For impulsen efter kollisionen v f = m A v A1 (19) P efter = mv (20)
4 4 Dette giver For energien efter kollisionen Dette giver P efter = v f ( ) = m A v f ( ) = m A v A1 (21) E efter = 1 2 m v2 (22) E efter = 1 2 m v2 = 1 2 ( ) ( m A v A1 ) 2 (23) fremgår af figur 2. E efter = 1 2 m 2 A v2 A1 (24) Figur 2. Illustration af et fuldt uelastisk stød mellem et legeme A og et legeme B, hvoraf det ene legeme er i hvile før stødet. For stødkraften gælder der C. Impulsomsætning, stødtid og stødkraft F stød = δp δt Dette betyder at, stødkraften er givet ved impulsændringen over stødtiden (25) F stød = P 2 P 1 t 2 t 1 (26)
5 5 II. EKSPERIMENTELLE OPSTILLINGER A. Impuls- og energiomsætning for stød under forskellige forhold Vores eksperimentelle opstilling for måling af impuls og energiomsætning for stød under forskellige forhold fremgår af figur 3. Vi har fremsat et vandbad, som er koblet til strømforsyningen, for at registrere spændingsforskellen produceret af kuglens bevægelse igennem vandet. Til at måle denne forskel, har vi tilkoblet begge kugler til PicoScope via kanal A og B og benytter os af trigger funktionen. Derved kan PicoScope selv måle kugle A og B s position under bevægelse samt efterfølgende kollision. Dette kan vi måle, da vandbadet er koblet til systemet og fungerer som leder. Før de reelle målinger begynder, foretager vi en kalibrering. Dette gør vi ved at ligge en 30 cm lineal i bunden af vandbadet langs den akse kuglerne bevæger sig. Denne akse benævnes fremadrettet som x-aksen. Vi har så følgende foretaget en måling af spændingen i forhold til kuglens position ud for linealen. Da udstyret nu er kalibreret og klar til at foretage målinger, har vi foretaget 10 tests under varierende parametre som masse og elasticitet. Figur 3. Eksperimentel opstilling til Impuls- og energiomsætning for stød under forskellige forhold. B. Stødtid Vores eksperimentelle opstilling for måling af stødtid fremgår af figur 4. Vi benytter samme opstilling fra før dog uden vandbad. PicoScope registrere den ene kugle A, som den trækkes op og slippes. Vi kan hermed måle tiden fra start tidspunktet til tidspunktet hvor kollision med kugle B indtræffer.
6 6 Figur 4. Eksperimentel opstilling til måling af stødtid. III. RESULTATER A. Impuls og energiomsætning for stød under forskellige forhold 1. Kalibrering af målingen Kalibreringen er behandlet ud fra opmålte værdier af position og spænding, og efterfølgende blev position plottet som funktion af spænding (Fig.r 5) Figur 5. Figuren viser kalibreringen af spænding (U) og position (x).
7 Grafens kurve er derefter blevet fittet med lineær funktion, x = A U + B. Linjens hældning aflæses til a = 25.62, hvilket betyder at kalibreringen som bruges i Matlab er Udtryk for for ophobningsloven S 2 pfør ( dp ) d 2 σm 2 A + ( dp ) ma d 2 σv 2 A 1 + ( dp ) VA 1 d 2 σm 2 B + ( dp 2 ) σv 2 mb d B 1 (27) VB 1 S m 2 A1 σ2 m A + VA1 2 σ2 V A 1 + m2 B1 σ2 m B 1 + V B1 2 σ2 V A 1 (28) 7 Her behandles data fra uelastiske stød. 2. Variation af begyndelsesbetingelser Figur 6. Figuren viser et eksempel på en måling af tid som funktion af position af de to kugler under stød. Figur 6 viser et eksempel på én måling af tid som funktion af position, af de to kugler under stød. For bestemme hastighederne for de to kugler før og efter stødet, benyttes en funktion i Matlab som kan aflæse hastigheden ud fra kurvernes hældning. Dette foregår ved at optegne en linje til de respektive hældninger. Den blå graf viser kugle A, hvor den aftagende del viser bevægelsen før stødet og den stigende viser den bevægelsen efter stødet. Den røde kurve repræsenterer kugle B, det første stykke er konstant da kuglen ikke er i bevægelse. Den aftagende kurve viser bevægelsen efter stødet. På figuren (Figur 7) ses de indtegnede linjer, som aflæser hastighederne før og efter stødet med tilhørende usikkerheder. Disse værdier for hastigheder før og efter stød, bearbejdes efterfølgende i Excel. Figur 8 viser aflæst data for de forsøg, hvor vægten for kuglerne har været uændret. Udfra disse data, beregnes energien før og efter stødet for begge kugler (se Figur 9). Dette benyttes følgende formler til ( Ligning: 29, 30, 31 ): E = 1 2 m v2 (29)
8 8 Figur 7. Figuren viser et eksempel på hvordan vi aflæser hastigheder før og efter stød via matlab. Figur 8. Tabellen viser alle aflæste data. E x før = 1 2 m x v 2 1x (30) E x efter = 1 2 m x v 2 2x (31) Endvidere udregnes impulserne før og efter stødene (Se Figur 10), ved hjælp af følgende formel for impulsberegning: P = m v (32) P x før = m x v 1 x (33)
9 9 Figur 9. I figuren ses beregningen for energien før og efter stødet for begge kugler. Figur 10. I figuren ses udregning af impulserne før og efter stødene. P x efter = m x v 2 x (34) Herfra plottes den samlede impuls før som funktion af den samlede impuls efter, for at sammenligne vores teoretiske forudsigelse med data. Figur 11. I figuren ses grafen for impuls for uelastiske stød til at sammenligne vores teoretiske forudsigelse med data.
10 Ud fra denne graf kan hældningen aflæses til 0,8, hvilket stemmer godt overens med teorien om impulsbevaring skal ligge ved 1. Nu plottes energien efter stødet som funktion af energien før stødet. 10 Figur 12. I figuren ses grafen for uelastiske stød til at sammenligne vores teoretiske forudsigelse med data. Ud fra dette aflæses hældningen 0.98, hvilket passer rigtig godt til teorien om af energien bevares ved uelastiske stød. 3. Variation af elasticitet Under disse data, blev kugle B viklet ind i tape og sandpapir, og disse data vil derfor omhandle elastiske stød. Data for de elastiske stød bearbejdes på akkurat samme måde, som uelastiske stød. Figur 13 viser data for et elastisk stød, hvilket giver en lidt anderledes kurve. Der optegnes igen linjer, så Matlab kan aflæse de forskellige hastigheder før og efter stød for begge kugler. (Se figur 14) Herefter opskrives alt aflæst data (Se Figur 15 ) Energien beregnes (Se figur 16) Impulserne beregnes (Se figur 17) Nu kan man igen plotte graferne for impuls og energi, for dels at sammenligne med graferne fra uelastiske stød, men også for at sammenligne til vores teoretiske forudsigelse. Det ses på både figur 18 og 19, at hældningen er langt fra 1, hvilket betyder at der hverken er impuls- eller energibevarelse for disse stød. Sammenliget med grafen får uelastiske stød, er dette lidt den omvendte situation. 4. Bestemmelse af stødtid og stødkraft Ud fra vores andet forsøg, har det det været muligt at opstille en figur der viser kuglernes stød. Ud fra denne figur, er muligt at aflæse stødtiden. I figur 20, ses data fra andet forsøg plottet. Det første lange stykke af grafen er konstant, da forsøget er sat til én trigger funktion og dermed ikke startet endnu. Herefter kolliderer kuglerne, forsøget starter, og man ser derfor et større spring på y-aksen. Der ses igen endnu et konstant stykke, hvilket repræsenterer stødtiden - den tid hvor kuglerne rører hinanden. Herefter ses en aftagende kurver, som beskriver bevægelsen efter stødet. For at aflæse stødtiden, aflæses tiden på x-aksen for det konstante stykke hvor kuglerne rører hinanden. Stødet starter i nul, og hertil hjælper Matlab
11 11 Figur 13. I figuren ses ubearbejdede data. Figur 14. I figuren ses hvordan vi har brugt matlab til finde udtryk for hastigheder før og efter stød. med at vise koordinatsættet til sidste punkt af den konstante linje (Se figur 20). Som eksempel vil stødtiden for figur x aflæses til 0,1286 sekunder. Følgende stødtider ses i tabellen nedenfor (Figur 21) Herfra er næste skridt at beregne stødkraften, som er givet ved: F stød = dp dt Stødkraften er altså givet ved impulsændringen over stødtid: F stød = P T (35) (36) F stød = m A V A 2 m B V A 1 T (37)
12 12 Figur 15. I tabellen ses aflæste data for elastiske stød. Figur 16. I tabellen ses energier før og efter stød. Stødkraften beregnes altså ud fra følgende udtryk. V B 2 er givet fra forrige analyser, bemærk dog at V B 1 = 0, da kuglen står stille, hvilket betyder at leddet er fjernet i følgende udtryk: F stød = m B V B 2 T (38) Stødkraften udregnes, og opstilles i tabel (x), som ses i figur 22 Stødkraften for vores forsøg ligger omkring et snit på 0, 24N, hvilket ser ganske stabilt ud.
13 13 Figur 17. I figuren ses data for impulserne. Figur 18. I figuren ses energien efter plottet som funktion af energien før for uelastiske stød. Figur 19. I figuren ses impuls efter plottet som funktion af impulsen før for uelastiske stød.
14 14 Figur 20. I figuren ses data for stødtid. Figur 21. I figuren ses data for stødtid, vægt og usikkerhed. Figur 22. I figuren ses den udregnede stødkraft.
15 15 IV. DISKUSSION Det forhold som bidrager med den største unøjagtighed til resultaterne, er kontrol af kuglernes retning. Gennem forsøget har det været svært at få kuglerne til at holde en lige linje ved sving, og har måtte fravælge en stor del af målingerne. De primære årsager til dette, er dels at kuglerne har været lidt for lette og at stødet ofte ikke har været lige på. Dette giver som sagt nogle sidegående bevægelser, som ikke vil stemme helt op med positionsaksen. Hertil har vi gjort vores bedste for at indsamle de bedste målinger, samt udregnet usikkerheder for værdierne. En anden vigtig unøjagtighed, er præcisionen af distancen mellem den stille kugle, til den kugle som slippes. Det har været svært at afgøre hvor kuglen præcist var sluppet, samtidigt med at den også skulle ramme den stille kugle lige på. Dette har givet nogle uoverensstemmelser med Matlab, med en usikkerhed op til 2cm. Dette har ikke umiddelbart giver nogle forkerte beregninger, men mere et dårligt billede af virkeligheden i forhold til kuglens hastighed som funktion af distance/position. Ud over dette, har det været nogle små usikkerheder som vind- og vandmodstand, måleusikkerheder (vægt af kugler og opmåling af bad), samt dårlig fordeling af tape på kugle B under forsøget med elastiske stød. For at forbedre forsøget og dataindsamlingen, ville det være en god idé at have mere faste rammer for kuglens sving. Dels kunne man bruge lidt tungere kugler, så svingningsretningen ikke påvirkes nær så let. Derudover kunne man med fordel opgradere det stativ kuglerne svinger i, og eventuelt have en maskine til styre hvor og i hvilke vinkel kuglen slippes. Vandbadet kunne eventuelt laves med indbygget måleenhed, og metalplade i hver ende, så elektroderne ikke flytter sig igennem forsøget. V. KONKLUSION Vi har i dette forsøg beregnet impuls og energiomsætning for stød under forskellige forhold samt beregnet stødtiden. Vi kan konkludere at der ved uelastiske stød er impuls og energibevarelse. Ved elastiske stød er der ikke impuls eller energibevarelse da dette absorberes i det elastiske materiale
Faldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v
Faldmaskine Rapport udarbejdet af: Morten Medici, Jonatan Selsing, Filip Bojanowski Formål: Formålet med denne øvelse er opnå en vis indsigt i, hvordan den kinetiske energi i et roterende legeme virker
Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.
Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive
Projektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Ohms lov. Formål. Princip. Apparatur. Brug af multimetre. Vi undersøger sammenhængen mellem spænding og strøm for en metaltråd.
Ohms lov Nummer 136050 Emne Ellære Version 2017-02-14 / HS Type Elevøvelse Foreslås til 7-8, (gymc) p. 1/5 Formål Vi undersøger sammenhængen mellem spænding og strøm for en metaltråd. Princip Et stykke
Resonans 'modes' på en streng
Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.
Det er ikke personligt
Det er ikke personligt Hans Harhoff Andersen 18. september 2013 Forudsætninger for dette kursus Forudsætninger for dette kursus Forudsætninger for dette kursus Fysik Forudsætninger for dette kursus Fysik
Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:
Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius
Indre modstand og energiindhold i et batteri
Indre modstand og energiindhold i et batteri Side 1 af 10 Indre modstand og energiindhold i et batteri... 1 Formål... 3 Teori... 3 Ohms lov... 3 Forsøgsopstilling... 5 Batteriets indre modstand... 5 Afladning
FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. Matematisk Pendul. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 10. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder
FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Matematisk Pendul Hold E: Hold: D12 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 10. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3
Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted
Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under
Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Eksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Matematik A og Informationsteknologi B
Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og
Studieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen.
Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari jerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Formål: Formålet med denne øvelse er at anvende Ohms lov på en såkaldt spændingsdeler,
Rumfang af væske i beholder
Matematikprojekt Rumfang af væske i beholder Maila Walmod, 1.3 HTX Roskilde Afleveringsdato: Fredag d. 7. december 2007 1 Fru Hansen skal have en væskebeholder, hvor rumfanget af væsken skal kunne aflæses
Formler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Kapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Start-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Tillæg til partikelfysik (foreløbig)
Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes
Lineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.
a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det
Variabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
El-Teknik A. Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen. Klasse 3.4
El-Teknik A Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen Klasse 3.4 12-08-2011 Strømstyrke i kredsløbet. Til at måle strømstyrken vil jeg bruge Ohms lov. I kredsløbet kender vi resistansen og spændingen.
x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives.
Eksamensspørgsmål - maj/juni 2016 1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning
Øvelsesvejledning RG Stående bølge. Individuel rapport. At undersøge bølgens hastighed ved forskellige resonanser.
Stående bølge Individuel rapport Forsøgsformål At finde resonanser (stående bølger) for fiskesnøre. At undersøge bølgens hastighed ved forskellige resonanser. At se hvordan hastigheden afhænger af belastningen
-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Bevægelse i to dimensioner
Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette
Dæmpet harmonisk oscillator
FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3
MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Kasteparabler i din idræt øvelse 1
Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal
Kvadratisk regression
Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to
Matematik B. Højere forberedelseseksamen
Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe131-mat/b-31052013 Fredag den 31. maj 2013 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Dig og din puls. 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17
Dig og din puls Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17
Øvelsesvejledning FH Stående bølge. Individuel rapport
Teori Stående bølge Individuel rapport Betragt en snøre udspændt mellem en vibrator og et fast punkt. Vibratorens svingninger får en bølge til at forplante sig hen gennem snøren. Så snart bølgerne når
Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Forsøgsvejledning - Hoppehøjde
Forsøgsvejledning - Hoppehøjde Indledning: Indenfor idrættens verden er det ofte af stor vigtighed at man kan hoppe højt. Det være sig selvsagt i højdespring, hvor det er målet i sig selv, men også fx
Computerundervisning
Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende
Matlab script - placering af kran
Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.
Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej
Roskilde Tekniske Gymnasium Teknologi Projekt Trafik - Optimal Vej Af Nikolaj Seistrup, Henrik Breddam, Rasmus Vad og Dennis Glindhart Roskilde Tekniske Gynasium Klasse 1.3 7. december 2006 Indhold 1 Forord
Matematik A. Højere teknisk eksamen
Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir
Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16
Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak
Elektrodynamik Lab 1 Rapport
Elektrodynamik Lab 1 Rapport Indhold Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Transienter og RC-kredsløb 1.1 Formål 1. Teori 1.3
Jesper, Emil, Mikkel, Michael 0 Elektroner i Boblekammer. 1 Forord 2. 2 Boblekammer 3
Jesper, Emil, Mikkel, Michael 0 Elektroner i Boblekammer Indhold 1 Forord 2 2 Boblekammer 3 3 Energitab 4 3.1 Teori.................................. 4 3.2 Forsøget................................ 5 3.3
Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning
1 Regressionsproblemet 2 Simpel lineær regression Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 3
Daniells element Louise Regitze Skotte Andersen
Louise Regitze Skotte Andersen Fysikrapport. Morten Stoklund Larsen - Lærer K l a s s e 1. 4 G r u p p e m e d l e m m e r : N i k i F r i b e r t A n d r e a s D a h l 2 2-0 5-2 0 0 8 2 Indhold Indledning...
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Mads Peter, Niels Erik, Kenni og Søren Bo 06-09-2013
EUC SYD HTX 1.B Projekt kroppen Fysik Mads Peter, Niels Erik, Kenni og Søren Bo 06-09-2013 Indhold Indledning/formål... 2 Forventninger... 2 Forsøget... 2 Svedekassen... 2 Fremgangsforløb... 2 Materialer...
Kulstofnanorør - småt gør stærk Side 20-23 i hæftet
Kulstofnanorør - småt gør stærk Side 20-23 i hæftet SMÅ FORSØG OG OPGAVER Lineal-lyd 1 Lineal-lyd 2 En lineal holdes med den ene hånd fast ud over en bordkant. Med den anden anslås linealen. Det sker ved
Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
GL. MATEMATIK B-NIVEAU
GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008
Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi
Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!
Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da
MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Måling af turbulent strømning
Måling af turbulent strømning Formål Formålet med at måle hastighedsprofiler og fluktuationer i en turbulent strømning er at opnå et tilstrækkeligt kalibreringsgrundlag til modellering af turbulent strømning
1. Tal. Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2
1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis,
Newtons afkølingslov
Newtons afkølingslov miniprojekt i emnet differentialligninger Teoretisk del Vi skal studere, hvordan temperaturen i en kop kaffe aftager med tiden. Lad T ( t ) betegne temperaturen i kaffen til tiden
Mekanik Legestue I - Gaussriffel og bil på trillebane
Mekanik Legestue I - Gaussriffel og bil på trillebane Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk September 2012
Løsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Danmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
1. Beregn begyndelseskoncentrationerne af og i alle forsøgene.
Efterbehandling 1: 1. Beregn begyndelseskoncentrationerne af og i alle forsøgene. Reaktion: Følgende formel anvendes: Symbolernes betydning ses i teoridelen. Beregning af serie 1. Vi starter med at finde
Danmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side af 7 Skriftlig prøve, tirsdag den 6. december, 008, kl. 9:00-3:00 Kursus navn: ysik Kursus nr. 00 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning": Besvarelsen
Løsningsforslag 27. januar 2011
Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)
PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN
KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen
Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient
Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der
Uafhængig og afhængig variabel
Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig
INERTIMOMENT for stive legemer
Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet
FYSIKEMNE 1: SOLPANELER INTRODUKTION AKTIVITETEN I NATURV IDENSKABERNES HUS ORGANISERING TEORI
FYSIKEMNE 1: SOLPANELER INTRODUKTION En af udfordringerne ved at gennemføre en rumrejse til Mars er at skaffe strøm til alle instrumenterne ombord. En mulighed er at medbringe batterier, men da de både
Disposition for kursus i Excel2007
Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler
MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.
MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Kapital- og rentesregning
Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken
Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk
Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Løsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5
Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen
Løsning til aflevering - uge 12
Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store
Brugsvejledning for Frit fald udstyr
Brugsvejledning for 1980.10 Frit fald udstyr 13.12.10 Aa 1980.10 1. Udløser 2. Tilslutningsbøsninger for prøveledninger 3. Trykknap for udløser 4. Kontaktplader 5. Udfræsning for placering af kugle 6.
Forsøg del 1: Beregning af lysets bølgelængde
Forsøg del 1: Beregning af lysets bølgelængde Formål Formålet med denne forsøgsrække er, at vise mange aspekter inden for emnet lys med udgangspunkt i begrænset materiale. Formålet med forsøget er at beregne
Dig og din puls Lærervejleding
Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet
Løsningsforslag MatB Juni 2013
Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x
Ideliste til projekter med kommentarer
Ideliste til projekter med kommentarer Vedrørende projektfasen i uge 42-44 2014. Følgende er en samling af mere eller mindre løse ideer til projekter som kan bruges som inspiration før definition af jeres
C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.
C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011
Coulombs lov. Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet F = 1 4πε 0
Coulombs lov Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet 14-05-2007 1 Indledning 1.1 Formål Formålet er, at eftervise Coulombs lov; F = 1 4πε 0 qq r 2 ˆr, hvor F
Impulsbevarelse ved stød
Iulsbevarelse ved stød Indhold. Centralt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevarelse ved stød... 5. Centralt elastisk stød...3 6. Centralt fuldstændig uelastisk stød...5 7. Ekseler
GUX. Matematik Niveau B. Prøveform b
GUX Matematik Niveau B Prøveform b August 014 GUX matematik B august 014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Løsningsforslag MatB Juni 2014
Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende
Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor
Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias
i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Undervisningsbeskrivelse for fysik B 2. B 2011/2012
Undervisningsbeskrivelse for fysik B 2. B 2011/2012 Termin Undervisningen afsluttes den 16. maj 2012 Skoleåret hvor undervisningen har foregået: 2011-2012 Institution Skive Teknisk Gymnasium Uddannelse
Opgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +