Om maksimumsprincipper for differentialligninger. Henrik Stetkær

Transkript

1 Om maksimumsprincipper for differentialligninger Henrik Stetkær

2

3 Indhold I Indledning II Introduktion til maksimumsprincipper III Maksimumsprincipperne IV Principielle betragtninger V Vurderinger af løsninger VI Éntydighed af løsninger VII Nulpunkter for løsninger VIII Opgaver iii

4

5 I Indledning Jeg har til disse to forelæsninger valgt et emne fra differentialligningsteorien, som med garanti ikke bliver studeret i gymnasiet, nemlig de såkaldte maksimumsprincipper. I den første time (dvs de første tre kvarter) skal vi studere, hvad disse maksimumsprincipper siger. I den anden time skal vi uddrage overraskende konsekvenser af maksimumsprincipperne. Fremstillingen er baseret på det først kapitel i monografien M.H. Protter & H.F. Weinberger: Maximum principles in differential equations. Prentice-Hall 1967, hvortil læseren henvises for detaljer, der af tidsmæssige grunde må udelades i dette foredrag. Lad mig lige fra starten gøre opmærksom på tre pointer, der vil blive illustreret i det følgende. 1. Det er ikke altid nødvendigt at finde eksplicitte formler for løsningerne til en differentialligning for at få information ud om disse løsninger. Det sker desværre kun alt for ofte i praksis, at man bliver konfronteret med en differentialligning, som man ikke kan løse; eller hvis man kan løse den, er løsningsformlen så indviklet og kompliceret, at man ikke bliver spor klogere af den. Maksimumsprincipperne kan i mange tilfælde give os den nødvendige information om løsningerne, hvad enten man kan løse differentialligningen eller ej. Ofte er man jo blot interesseret i nogen bestemte kvantitative eller asymptotiske egenskaber ved løsningen, så det kan være tilstrækkeligt med en god vurdering af løsningen. 2. Vi kan få interessante resultater, som ingen computer kan opnå. Vi viser f.eks., at to løsninger til differentialligningen u 00 + gu 0 + hu = 0 på R altid vil ligge og slange sig op ad hinanden: Mellem to nulpunkter for den ene vil der altid ligge præcis ét for den anden løsning. Det gælder uanset hvor langt vi går ud mod uendelig ad den reelle akse (Sætning VII.2, side 10). Et sådant kvalitativt resultat kan en computer aldrig opnå. 3. Resultaterne er stringent bevist. Det diskuterer vi lidt nøjere i afsnit IV (side 6 ff). II Introduktion til maksimumsprincipper Lad os, inden vi går i gang med selve emnet, være enige om at gøre os livet så ukompliceret og behageligt som muligt. Det kan jo inden for matematik hurtigt nok blive indviklet. Vi vil derfor kræve, at alle de funktioner, som vi støder på i de næste to timer, er så pæne, som vi har brug for det. Vi vil således udelukkende se på funktioner, der er differentiable lige så mange gange, som det er nødvendigt for at gøre vores resultater simple og meningsfyldte. De allerfleste af de funktioner, som I har mødt i 1

6 gymnasiet, opfylder til fulde disse krav: Tænk på funktioner som t! t 2 ; t! t 3 ; t! e t ; t! sin t; t! cos t; t! log t for t > 0; etc. Maksimumsprincipperne bygger på en meget enkel observation: Lad os betragte en funktion u : [a; b]! R; hvor [a; b] er et interval på den reelle akse. Hvis u 00 (t) 0 for ethvert t 2 ]a; b[; så er u konveks, dvs u s graf buer nedad (Hvorfor det? Jo, når u 00 = (u 0 ) 0 0 i ethvert punkt af intervallet ]a; b[; så er u 0 jo voksende, dvs at hældningen for tangenten til grafen for u bliver større og større). Hvis man vil have en fysisk illustration, så kan man tænke sig en snor hængt op mellem punkterne (a; u(a)) 2 R 2 og (b; u(b)) 2 R 2 : Snoren vil så hænge som grafen for en konveks funktion. Eksempel: Funktionen u(t) := t 2 har u 00 = 2 > 0. Eksempel: u(t) := e t har u 00 (t) > 0 for ethvert t 2 R: Eksempel: Funktionen u(t) := log t for t > 0 har u 00 (t) = 01=t 2 < 0 og er derfor ikke konveks. På en tegning ser man da også, at grafen for u buer den forkerte vej. Lad os kigge lidt på grafen for en funktion u : [a; b]! R med u 00 (t) 0 for ethvert t 2 ]a; b[: Som nævnt ovenfor vil vi forestille os en snor, der hænger fra (a; u(a)) til (b; u(b)): Det turde være indlysende, at snoren må være højst oppe i et af de to endepunkter (a; u(a)) eller (b; u(b)); for den hænger jo ned fra (a; u(a)) og (b; u(b)): Med andre ord vil u antage sit maksimum i et af endepunkterne af intervallet [a; b]; og ikke i det indre af intervallet. Jo stop lige, der er et fysisk set idealiseret tilfælde, hvor u antager sit maksimum i det indre, nemlig når snoren er spændt uendelig stramt vandret ud. Det betyder åbenbart, at u er konstant. En anden oplagt iagttagelse er, at snoren hænger ned fra sit højeste ophængspunkt den kan ikke stritte vandret ud. I tegningens situation betyder dette, at u 0 (b) > 0: Hvis u havde antaget sit maksimum i intervalendepunktet a; så ville u 0 (a) < 0: Hov, stop et øjeblik. Kunne det ikke tænkes, at snoren kunne stritte vandret ud? Jo, men åbenbart kun i det idealiserede tilfælde med den uendelig stramme vandrette snor. III Maksimumsprincipperne Matematisk set kan ovenstående observationer udtrykkes på følgende måde. III.1. Det første maksimumsprincip. Lad u : [a; b]! R; hvor [a; b] er et interval på den reelle akse, være en funktion med u 00 (t) 0 for ethvert t 2 ]a; b[: Da gælder: (a) u antager altid sin maksimumsværdi i et af intervalendepunkterne. (b) Hvis u antager sin maksimumsværdi i et indre punkt af intervallet [a; b], så er u konstant. 2

7 III.2. Det andet maksimumsprincip. Lad u : [a; b]! R; hvor [a; b] er et interval på den reelle akse, være en funktion med u 00 (t) 0 for ethvert t 2 ]a; b[: Da gælder: (a) Hvis u antager sin maksimumsværdi i intervalendepunktet a; så er u 0 (a) < 0; medmindre u er en konstant funktion. (b) Hvis u antager sin maksimumsværdi i intervalendepunktet b; så er u 0 (b) > 0; medmindre u er en konstant funktion. Ovenstående to maksimumsprincipper ser ved første øjekast ud til at være to simple korollarer af en ret banal observation. Det er de vel også. Men observationen er grundidéen bag mange videregående maksimumsprincipper, der er uhyre nyttige i mange sammenhænge. Beviserne for de to maksimumsprincipper vil vi basere på følgende hjælperesultat. Lemma III.3. Hvis funktionen w : [a; b]! R antager sit maksimum i t 0 2 ]a; b[; så er w 00 (t 0 ) 0: Hvis w 00 (t) > 0 for ethvert t 2 ]a; b[; så antager w sit maksimum i et af intervalendepunkterne (dvs i a eller b). Bevis: Den sidste påstand følger umiddelbart af den første, så det står blot tilbage at vise den. Hvis w 00 (t 0 ) 0; er konklusionen hjemme, så vi antager derfor, at w 00 (t 0 ) > 0: Så er w 0 voksende i en omegn ]t 0 0 ; t 0 + [ af t 0 [dens afledede er jo > 0]. Idet vi jo tillige har, at w 0 (t 0 ) = 0 [fordi t 0 er et maksimumspunkt], er w 0 (s) 0 w 0 (s) 0 for s 2 ]t 0 0 ; t 0 [; og for s 2 ]t 0 ; t 0 + [: Idet vi bruger, at t 0 er et maksimumspunkt, får vi for jhj <, at så 0 w(t 0 + h) 0 w(t 0 ) = Z t0+h t0 w 0 (s) ds 0; w(t 0 + h) 0 w(t 0 ) = 0 for jhj < ; dvs w er konstant på intervallet ]t 0 0 ; t 0 + [. Heraf følger, at w 00 (t) = 0 for alle t 2 ]t 0 0 ; t 0 + [; og dermed specielt, at w 00 (t 0 ) = 0: Bevis for Maksimumsprincip nr. 2: Idet (a) og (b) kan behandles på ganske analoge måder, vil vi nøjes med at nedskrive beviset for (a). Der er ikke noget at bevise i det tilfælde, hvor u er en konstant funktion, så lad os derfor give os i kast med det tilfælde, hvor u ikke er en konstant funktion. I så 3

8 fald er der et punkt c 2 ]a; b[; hvori u(c) < u(a); idet u(a) jo er maksimum her under (a). Betragt nu hjælpefunktionen w(t) := u(t) + e t ; t 2 [a; c]; hvor > 0 er valgt så < u(a) 0 u(c) e c 0 e a : Idet w 00 (t) = u 00 (t) + e t 0 + e t > 0; følger af Lemma III.3 (side 3), at w antager sin maksimumsværdi i enten a eller c. Da w(a) 0 w(c) = u(a) 0 u(c) + (e a 0 e c ) = (e c 0 e a ) u(a) 0 u(c) e c 0 e a er w(a) større end w(c): Følgelig er det w(a), der er maksimumsværdien. Idet a er intervallets venstre endepunkt, må der gælde, at grafen for w går nedad fra punktet (a; w(a)), så at w 0 (a) 0: Af w 0 (t) = u 0 (t) + e t ser vi nu, at u 0 (a) = w 0 (a) 0 e a 0 0 e a < 0: 0 > 0; Bevis for Maksimumsprincip nr. 1: Det er nok at vise punkt (b), for deraf følger (a) umiddelbart. Lad c 2 ]a; b[ være et maksimumspunkt for u. Der gælder så specielt, at u 0 (c) = 0: Betragt nu funktionen u på delintervallet [a; c]: Af Maksimumsprincip nr. 2 (b) (med c i stedet for b) følger, at u er konstant i [a; c]: På tilsvarende måde ses, at u er konstant i [c; b]: Og så er u konstant i hele intervallet [a; b]: Man kan uden større problemer generalisere ovenstående maksimumsprincip ved at erstatte vurderingen u 00 0 med en af formen u 00 + gu 0 0: Det giver os følgende mere almene maksimumsprincip. III.4. Mere generelt maksimumsprincip Lad u og g : [a; b]! R være funktioner, som opfylder, at Da gælder der: u 00 (t) + g(t)u 0 (t) 0 for ethvert t 2 ]a; b[: (a) u antager sit maksimum i et af intervalendepunkterne. Hvis u antager sit maksimum i et indre punkt af intervallet [a; b]; så er u en konstant funktion. (b) Hvis u antager sit maksimum i a; så er u 0 (a) < 0; medmindre u er en konstant funktion. Hvis u antager sit maksimum i b; så er u 0 (b) > 0; medmindre u er en konstant funktion. 4

9 Bevis: Beviset kan føres ganske analogt til dem ovenfor; det er blot en anelse mere kompliceret. For ikke at gøre det på præcis sammen facon giver vi et direkte bevis for den første påstand under punkt (a), men vi skipper dog resten af beviset. Vi betragter først det simple specialtilfælde u 00 (t) + g(t)u 0 (t) > 0 for ethvert t 2 ]a; b[: (*) Her kan u ikke antage sit maksimum i et indre punkt t 0 2 ]a; b[; for vi har fra Lemma III.3 (side 3), at u 00 (t 0 ) + g(t 0 )u 0 (t 0 ) = u 00 (t 0 ) + g(t 0 )0 = u 00 (t 0 ) 0: Idet u antager sit maksimum (u er en kontinuert funktion på [a; b]), må det være i et af intervalendepunkterne. Vi vender os nu til det generelle tilfælde u 00 (t) + g(t)u 0 (t) f (t) 0 for ethvert t 2 ]a; b[: Dette tilfælde vil vi via en elegant snedighed reducere til tilfældet (*) ovenfor. Der findes en funktion v : [a; b]! R, så v 00 (t) + g(t)v 0 (t) > 0 og v(t) 0 for alle t 2 [a; b]: Prøv blot med v(t) = e t, hvor 2 R er valgt passende stor. Denne funktion v hjælper os nu med at fuldføre beviset. Betragt for givet > 0 hjælpefunktionen w (t) := u(t) + v(t) for t 2 [a; b]: Idet w 00 (t) + g(t)w0 (t) = f (t) + 2v 00 (t) + g(t)v 0 (t) 3 > = 0; har vi ifølge specialtilfældet (*), at w (t) max fw (a); w (b)g = max fu(a) + v(a); u(b) + v(b)g: Men u u + v = w ; så u(t) max fu(a) + v(a); u(b) + v(b)g: Lad os antage, at u(a) u(b) [og bemærke at vi, hvis u(a) u(b), kan gå frem på tilsvarende måde]. Så er u(t) u(a) + [v(a) + v(b)] for t 2 [a; b]: Da dette gælder for ethvert > 0; er u(t) u(a) for alle t 2 [a; b]: Her står der at læse, at u antager sit maksimum i endepunktet t = a: Der gælder også maksimumsprincipper for funktioner u, som opfylder uligheder af formen u 00 + gu 0 + hu 0; men det kapitel må vi dog lade ligge for ikke at komme i tidnød. 5

10 IV Principielle betragtninger I dette afsnit kommer jeg med et par korte principielle betragtninger over bevisers rolle i matematikken. Det kan jo godt have undret jer, hvorfor det skulle være nødvendigt med beviser for så oplagt korrekte påstande som maksimumsprincipperne ovenfor. Som enhver anden videnskab søger matematikken at finde nye resultater sætninger, love, principper, sandheder eller hvad man nu vil kalde dem. Det sker bl.a. ved dristige gæt og fantastisk intuition ud fra en række enkelttilfælde for den gudbenådede forsker. Med et fremmedord: Ved induktion. Altså at slutte sig til et generelt fænomen, en almen lov, ud fra en række enkelttilfælde. Matematikken stopper imidlertid ikke her: Det fundne resultat skal nemlig bevises, dvs. deduceres logisk ud fra resultater, som vides at være korrekte. Bevisførelsen er en lige så vigtig og fundamental del af matematikken som induktionen er, og har været det fra det klassiske Grækenlands tid. Deduktion forekommer selvfølgelig mange andre steder end i matematik, men jeg tror, at det er mere udpræget i matematik end andre steder. Det er karakteristisk for matematikken med de lange deduktionskæder. Alt skal bygges ubønhørligt logisk op ud fra anerkendte grundsætninger. Et resultat kan være verificeret i ethvert kendt tilfælde en matematiker vil ikke anerkende det som andet end en plausibel påstand, medmindre han får et matematisk bevis for det. I andre sammenhænge end matematik betyder bevis sædvanligvis blot sandsynliggørelse, og man giver derfor flere beviser for sin påstand. Tænk blot på jura og litteratur, hvor bevis = sandsynliggørelse. Derimod er et matematisk bevis for en sætning en logisk deduktion. Når sætningen kan bevises på en eller anden måde, så er den korrekt, og flere beviser for den er i princippet overflødige. I matematikken kræver man altså beviser, forstået på den barske måde som matematiske beviser, dvs stringent logiske. Derfor turde jeg før vove den påstand, at det er karakteristisk for matematikken med de lange deduktionskæder. Matematikken indeholder altså både induktion og deduktion. Ved at skære beviserne væk fjerner man det deduktive element, der frem for alt er og har været matematikkens kendetegn i over 2000 år. Dermed giver man et ukorrekt billede af matematikkens væsen. På det personlige plan kan jeg og mine kolleger fortælle jer, at det kan være spændende og ophidsende og ligefrem ødelægge ens nattesøvn at forsøge at bevise en sætning, man tror er sand. Selv om bevisførelsen er karakteristisk for matematikken, så er det væsentligste selvfølgelig de resultater, der opnås. Det er jo dem, der anvendes i teori og praksis. V Vurderinger af løsninger Jeg vil gerne vise, at maksimumsprincipperne ovenfor kan bruges til at vurdere løsninger til differentialligninger, selv om man måske ikke er i stand til at løse de 6

11 pågældende differentialligninger. Vi vil studere differentialligningen u 00 (t) + g(t)u 0 (t) + h(t)u(t) = f (t) for t a; hvor f; g og h er givne (pæne) funktioner. u er den ukendte funktion, som vi ønsker at bestemme. Sådanne differentialligninger dukker op i fysik. Differentialligningen ovenfor beskriver, hvorledes en partikel, der er ophængt i enden af en fjeder, bevæger sig, når tiden t går. f er den udefra kommende kraft, som påvirker partiklen (her er det tyngden), g er et mål for gnidningsmodstanden, der vil standse bevægelsen, og h er fjederkraften. Det er fysisk set oplagt, at hvis vi til et givet tidspunkt t = a kender partiklens position u(a) og dens hastighed u 0 (a), så er dens fremtidige løbebane fastlagt. Om man kan beregne den, er en ganske anden sag. Hvad kan vi gøre, hvis vi ikke kan få løst differentialligningen? Eller hvis vi får et håbløst kompliceret udtryk for løsningen? Undertiden er det tilstrækkeligt at kunne vurdere løsningen i den forstand at kunne pege på kendte funktioner v og w med v u w: Som vi skal se, kan det somme tider lade sig gøre at finde v er og w er, selv om u er totalt ukendt (pånær at vi har fået opgivet u(a) og u 0 (a)). Vi stiller resultaterne op i to sætninger. Sætning V.1. Lad h(t) 0 for alle t a: Lad u opfylde differentialligningen Hvis v : [a;1[! R opfylder, at u 00 (t) + g(t)u 0 (t) + h(t)u(t) = f (t) for t > a: v 00 (t) + g(t)v 0 (t) + h(t)v(t) f (t) for t > a; samt at så er v(t) u(t) for alle t a: Sætning V.2. v(a) u(a) og v 0 (a) u 0 (a); Lad h(t) 0 for alle t a: Lad u opfylde differentialligningen Hvis w : [a;1[! R opfylder, at u 00 (t) + g(t)u 0 (t) + h(t)u(t) = f (t) for t > a: w 00 (t) + g(t)w 0 (t) + h(t)w(t) f (t) for t > a; samt at w(a) u(a) og w 0 (a) u 0 (a); 7

12 så er w(t) u(t) for alle t a: Bevis: Vi vil nøjes med at bevise Sætning V.2, idet beviset for Sætning V.1 kan føres på helt analog måde. Vi vil endvidere blot se på det tilfælde, hvor h(t) = 0 for alle t; idet vi ikke har opskrevet nogen maksimumsprincipper, når h er forskellig fra 0. Vi skal vise, at W (t) := w(t) 0 u(t) 0 for alle t a: Funktionen W opfylder åbenbart, at W 00 (t) + g(t)w 0 (t) 0 samt at W (a) 0 og W 0 (a) 0: Betragt et delinterval [a; x] af [a; 1[: På dette delinterval antager W ifølge punkt (a) (side 4) af Sætning III.4 sit maksimum i enten a eller x: Da W 0 (a) 0; antages maksimet ifølge punkt (b) af Sætning III.4 i x: Der gælder så, at W (x) W (a) 0: Da dette er opfyldt for ethvert x > a, er W (x) 0 for ethver x > a. Og det var det, vi skulle vise. Eksempel V.3. Vi ønsker at vurdere løsningen u : [0; 1]! R til begyndelsesværdiproblemet u 00 (t) 0 e t u(t) = 0 for t 2 ]0; 1[ hvor u(0) = 0; u 0 (0) = 1: Funktionen v(t) := t opfylder, at v 00 (t) 0 e t v(t) 0 samt at v(0) = 0 u(0) og v 0 (0) = 1 u 0 (0); så ifølge Sætning V.1 er t u(t) for alle t 2 [0; 1]: Tilsvarende finder man med w(t) := e 2t 0 1 ved hjælp af Sætning V.2, at e 2t 0 1 u(t) for alle t 2 [0; 1]: Hermed har jeg fortalt jer noget om det første problem som blev nævnt i introduktionen, nemlig problemet om, hvorledes man kan vurdere ukendte løsninger til differentialligninger. Det var i form af nogen kvalitative resultater. Dette anvendes i næste afsnit på spørgsmålet om éntydighed af løsninger, hvorefter vi går over til noget helt andet, nemlig spørgsmålet om nulpunkter for løsninger. VI Éntydighed af løsninger Det blev ovenfor i forbindelse med partiklen, der var ophængt i en fjeder, bemærket, at det fysisk set var oplagt, at partiklens position i princippet var bestemt i al fremtid ud fra de givne begyndelsesdata: Partiklens position u(a) og dens hastighed u 0 (a) til begyndelsestidspunktet t = a: Denne fysiske påstand svarer til følgende matematiske påstand: 8

13 VI.1. Éntydighedssætningen Lad u 1 og u 2 : [a; b]! R begge opfylde differentialligningen u 00 (t) + g(t)u 0 (t) + h(t)u(t) = f (t) for alle t 2 [a; b]: (a) Hvis u 1 (a) = u 2 (a) og u 0 1 (a) = u0 2 (a), så er u 1(t) = u 2 (t) for alle t 2 [a; b]: (b) Hvis u 1 (b) = u 2 (b) og u 0 1 (b) = u0 2 (b), så er u 1(t) = u 2 (t) for alle t 2 [a; b]: Bevis: Vi vil kun gennemføre beviset i det tilfælde, hvor h er identisk 0. Her er beviset en simpel konsekvens af Sætningerne V.1 og V.2 ovenfor: Med u 1 = v og u 2 = u fås f.eks., at u 1 u 2 : Det følgende korollar er taget med, fordi det benyttes i beviset for Sætning VII.2. Korollar VI.2. Lad u 1 og u 2 : [a; b]! R begge opfylde differentialligningen u 00 (t) + g(t)u 0 (t) + h(t)u(t) = 0 for alle t 2 [a; b]: Hvis u 1 (a) = u 2 (a) = 0; så er u 1 og u 2 proportionale. Bevis: Hvis u 0 1 (a) = 0; så er u 1 identisk 0 ifølge Éntydighedssætningen (Sætning VI.1, side 9). Dermed er u 1 = 0 1 u 2 : Hvis u 0 1 (a) 6= 0; så er U (t) := u0 2 (a) u 0 1 (a) u 1(t); t a; en løsning til differentialligningen, der opfylder, at U (a) = 0 = u 2 (a) og U 0 (a) = u 0 2 (a): Ifølge Éntydighedssætningen er U = u 2 ; hvoraf korollaret følger. VII Nulpunkter for løsninger I dette afsnit vil vi se på nogle kvalitative egenskaber til løsninger af 2. ordens differentialligninger. Lad os tage udgangspunkt i et eksempel, som I alle kender. Eksempel VII.1. Differentialligningen u 00 (t) + u(t) = 0; t 2 R; har bl.a. løsningerne v(t) := sin t og w(t) := cos t: Graferne for funktionerne sinus og cosinus ligger som bekendt og slanger sig omkring hinanden, så der mellem to på hinanden følgende nulpunkter for sinus ligger præcis ét nulpunkt for cosinus, og omvendt. u 00 Vi vil vise, at den opførsel af løsningerne v(t) = sin t og w(t) = cos t til ligningen + u = 0 ikke er noget, som er specielt for løsningerne v og w: Det gælder ikke 9

14 blot for ethvert par af løsninger til ligningen u 00 + u = 0, men for ethvert par af løsninger til en generel 2. ordens differentialligning u 00 + gu 0 + hu = 0: To løsninger til en sådan differentialligning vil altid ligge og slange sig op ad hinanden. Dette overraskende fænomen vil vi nu give et bevis for. Mere præcist vil vi vise følgende resultat. Bemærk, at vi ikke længere kræver, at h(t) 0: Sætning VII.2. Lad v og w være to løsninger, som ikke er proportionale, til differentialligningen u 00 (t) + g(t)u 0 (t) + h(t)u(t) = 0 for alle t 2 R: Da vil der mellem to på hinanden følgende nulpunkter for v findes netop ét nulpunkt for w: Vi baserer beviset for Sætning VII.2 på det følgende resultat, der nok kan have interesse i sig selv. Betegnelsen v 6 0 betyder, at v ikke er den konstante funktion nul. Sætning VII.3. Lad v 6 0 og w være to løsninger til differentialligningen u 00 (t) + g(t)u 0 (t) + h(t)u(t) = 0 for alle t 2 I; hvor I er et interval. Da gælder: Hvis w(t) 6= 0 for ethvert t 2 I; så har v højst ét nulpunkt i intervallet I: Bevis for Sætning VII.3: En brutal udregning afslører, at funktionen Z(t) := v(t) w(t) for t 2 I tilfredsstiller differentialligningen Z 00 (t) + 2 w0 (t) w(t) + g(t) Z 0 (t) = 0 for t 2 I; altså en differentialligning, som er på den form, vi mødte under maksimumsprincipperne. Lad os antage, at v har (mindst) to nulpunkter a og b (a < b) i intervallet I; og så føre denne antagelse til en modstrid. Vi har altså, at v(a) = v(b) = 0; og dermed at Z(a) = Z(b) = 0: Af punkt (a) (side 4) i Sætning III.4 ser vi, at Z(t) 0 for alle t 2 [a; b]: Da funktionen 0Z også opfylder differentialligningen ovenfor, kan vi også anvende maksimumsprincippet på 0Z; og det giver os, at 0Z(t) 0 for alle t 2 [a; b]: Men så er Z(t) = 0 for alle t 2 [a; b]: Af Éntydighedssætningen (Sætning VI.1, side 9) følger det så, at Z 0, og dermed at v 0; hvilket strider mod vores antagelse om, at v 6 0: 10

15 Bevis for Sætning VII.2 (side 10): Lad a og b (a < b) være to på hinanden følgende nulpunkter for v: Idet der så gælder, at v(t) 6= 0 for ethvert t 2 ]a; b[, kan vi af Sætning VII.3 (side 10) slutte, at w højst har ét nulpunkt i ]a; b[: Lad os nu antage, at w ingen nulpunkter har i intervallet ]a; b[; og så føre den antagelse til en modstrid. Bemærk først ved hjælp af Korollar VI.2 (side 9), at w(a) 6= 0 og w(b) 6= 0; så at w(t) 6= 0 for alle t i et åbent interval I [a; b]: I intervallet I har v mindst to nulpunkter, nemlig a og b. Det strider mod Sætning VII.3 (side 10). Jeg vil godt nævne en generalisation af sætningen ovenfor. Man kan nemlig ikke bare sammenligne to løsninger v og w til den samme differentialligning, men også løsninger v og w til forskellige differentialligninger. Specielt kan man sammenholde en løsning til en differentialligning, som man måske ikke kan løse, med en kendt løsning til en anden differentialligning. Det præcise resultat er følgende: Sætning VII.4. Lad v og w opfylde differentialligningerne v 00 + gv 0 + h 1 v = 0 w 00 + gw 0 + h 2 w = 0; på et interval I: Om koefficienterne h 1 og h 2 antages, at h 1 (t) < h 2 (t) for alle t 2 I: Hvis a < b er to på hinanden følgende nulpunkter for v; så har w et nulpunkt i intervallet ]a; b[: Tiden tillader os desværre ikke at gå ind på beviset for Sætning VII.4. 11

16 VIII Opgaver 1. Betragt begyndelsesværdiproblemet u 00 (t) + tu 0 (t) 0 t 2 u(t) = 1 for t 2 [0; 1] u(0) = u 0 (0) = 0: Vis, at 0 u(t) t 2 =2 for t 2 [0; 1]: 2. Betragt begyndelsesværdiproblemet u 00 (t) 0 e t u(t) = 1 for t 2 [0; 1] u(0) = 1; u 0 (0) = 0: Vis, at 1 u(t) e 2t for t 2 [0; 1]: 3. Vis, at enhver løsning til differentialligningen u 00 (t) e 0t1 u(t) = 0 for t > 0 har uendelig mange nulpunkter. 4. Lad u være en løsning til u 00 (t) 0 e 0t u(t) = 0 på intervallet ]0; 1[: Vis, at u har højst ét nulpunkt. 12