MASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.

Transkript

1 MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO

2 Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det almindelige konvergensprincip i R n Afsluttede delmængder af R n Begrænsede delmængder Følger og kontinuerte funktioner Kompakte mængder og kontinuerte funktioner Ekstremværdisætningen

3 Konvergens, delfølger Det almindelige konvergensprincip i R n Følge og delfølge 1 En følge i R n en funktion x : N k x k R n. 2 En delfølge af følgen x : N k x k R n er en følge af formen N j k j N k x k R n hvor følgen j k j : N N er voksende. Konvergens for følger i R n Følgen x : N R n konvergerer mod x R n hvis der for ethvert ε > 0 findes K så x k x < ε når k > K. Konvergens kan testes på koordinatfølger En følge x k i R n er konvergent hvis og kun hvis alle n koordinatfølger π 1 (x k ),..., π n (x k ) i R er konvergente.

4 Konvergens, delfølger Det almindelige konvergensprincip i R n Grænse af delfølge En delfølge x kj af en konvergent følge x k er konvergent og lim j x kj = lim k x k. Diameter af A R n diam(a) = sup{ x y x, y A} Det Almindelige Konvergensprincip x k konvergent diam({x k k N}) 0 for N

5 Begrænsede delmængder Begrænsede mængder A R n og følger A begrænset Enhver følge i A har en konvergent delfølge Bevis. = : Da diam(a) er endelig findes delmængder A = A 0 A 1 A 2 A j så x 1 (A j ) er uendelig og diam(a j ) 0 for j. Vælg delfølge med x kj A j. Iflg det Almindelige Konvergensprincip er x kj konvergent. =: Hvis A ikke er begrænset, så findes en følge x : N A med x k for k.

6 Begrænsede delmængder

7 Begrænsede delmængder Karakterisering af afslutningen ved følger x cl(a) x = lim x k for en følge x k i A Afsluttede mængder A R n og følger A afsluttet A indeholder grænserne for alle konvergente følger i A

8 Begrænsede delmængder Kompakte mængder K R n og følger K er kompakt Enhver følge i K har en konvergent delfølge med grænse i K Bevis. = : Lad x n være en følge i K. Da K er begrænset, har x n en konvergent delfølge x nk. Da K er afsluttet, vil lim k x nk K. =: Da enhver følge i K har en konvergent delfølge, er K begrænset. Da enhver konvergent følge i K har grænse i K, er K afsluttet.

9 Følger og kontinuerte funktioner Kompakte mængder og kontinuerte funktioner Ekstremværdisætningen Kontinuerte funktioner f : R n R m og følger Følgende betingelser er ækvivalente: 1 f er kontinuert 2 f 1 (V ) R n er åben for enhver åben V R m 3 f 1 (F) R n er afsluttet for enhver afsluttet F R m 4 Enhver konvergent følge x k, med grænse x 0, har et f -billede, som er konvergent med grænse f (x 0 ) 5 Enhver konvergent følge x k, med grænse x 0, har en delfølge x kj, hvis f -billede er konvergent med grænse f (x 0 ) Beviser En kontinuert funktion sender konvergente følger i konvergent følger og grænsepunkter i grænsepunkter: f (lim x k ) = lim f (x k ).

10 Følger og kontinuerte funktioner Kompakte mængder og kontinuerte funktioner Ekstremværdisætningen Kompakte mængder og kontinuerte funktioner K R n kompakt f : R n R m kontinuert } = f (K ) kompakt Bevis. Lad y k være en følge i f (K ). Vælg x k i K så y k = f (x k ). Da K er kompakt, findes en konvergent delfølge x kj, j N. Da f er kontinuert er billedfølgen f (x kj ) = y kj konvergent. Det er en konvergent delfølge af y k med grænse i f (K ). Kompakte delmængder af R En kompakt delmængde K af R har et maksimum og et minimum: max(k ) = sup(k ) K, min(k ) = inf(k ) K.

11 Følger og kontinuerte funktioner Kompakte mængder og kontinuerte funktioner Ekstremværdisætningen Kurvesammenhængende mængder A R n er kurvesammenhængende hvis der for alle par af punkter a 0, a 1 i A findes en kontinuert kurve σ : [0, 1] A som forbinder σ(0) = a 0 med σ(1) = a 1. Kurvesammenh. mængder og kontinuerte funktioner A R n kurvesammenh. f : R n R m kontinuert } = f (A) kurvesammenh.

12 Ekstremværdisætningen Følger og kontinuerte funktioner Kompakte mængder og kontinuerte funktioner Ekstremværdisætningen En kontinuert reel funktion f : K R på en kompakt mængde K R n har et minimums- og et maksimumspunkt: Der findes punkter m K og M K så min f (K ) = f (m) f (x) f (M) = max f (K ) for alle x K. Hvis K også er kurvesammenhængende, så er f (K ) = [f (m), f (M)] et afsluttet og begrænset interval. Kontinuitet af ekstremværdifunktionen (Claude Berge 1959) X R m, Y R n kompakt f : X Y R kontinuert V f (x) = max y Y f (x, y) V f : X R er kontinuert

13 Følger og kontinuerte funktioner Kompakte mængder og kontinuerte funktioner Ekstremværdisætningen R n x Y x Y V f (x) = max f (x Y ) x Y Y f x f x X x X Y f R m f (x Y ) f (x Y ) f (x Y ) R V f (x) V f (x) V f (x) R

14 Følger og kontinuerte funktioner Kompakte mængder og kontinuerte funktioner Ekstremværdisætningen Min første økonomiske model I et produkt indgår m råvarer til priser (s 1,..., s m ); Produktets salgspris er r; Ved produktionsmønster (y 1,..., y m ), 0 y i K i, fremstilles g(y 1,..., y m ) enheder af produktet; Fortjenesten ved produktionen er f (r, s 1,..., s m, y 1,..., y m ) = rg(y 1,..., y m ) Den maksimale fortjeneste (som findes!) V f (r, s 1,..., s m ) = m s i y i i=1 max f (r, s 1,..., s m, y 1,..., y m ) (y 1,...,y m) Y varierer kontinuert med salgspris og råvarepriser.

15 Følger og kontinuerte funktioner Kompakte mængder og kontinuerte funktioner Ekstremværdisætningen VIRKELIGHED realitetscheck > > kreativitet FORTOLKNING < beregning MODEL

16 Værdifunktionen Bevis for forbindelsen mellem kontinuitet og følger Det er klart at (1) = (2) = (3) = (4) = (5). (5) = (1): Hvis f ikke kontinuert, så findes et x 0 R n og et ε > 0 så k > 0 x k B(x 0 ; 1/k): f (x) B(f (x 0 ); ε) Følgen x k er konvergent med grænse x 0 og ingen delfølge af x k har et billede der konvergerer mod f (x 0 ). Kontinuitet og følger

17 Værdifunktionen Hvis f ikke er kontinuert i x 0 så findes en følge x k x 0 så f (x k ) f (x 0 ); faktisk så f (x kj ) f (x 0 ) for delfølger x kj f (x 4 ) x 4 x 1 f ε f (x 1 ) x 0 f (x 0 ) x 3 x 2 f (x 3 ) f (x 2 ) ε > 0 δ > 0: f (B(x 0, δ)) B(f (x 0 ), ε)

18 Værdifunktionen Bevis for at ekstremværdifunktionen er kontinuert Givet konvergent følge i X, x k x 0 for k. Vi skal finde en delfølge x kj så V f (x kj ) V f (x 0 ) for j. Vælg y k Y så f (x k, y k ) = V f (x k ) Kompakte mængder og følger. Da Y er kompakt, findes konvergent delfølge y kj med grænse i Y. Lad os sige y kj y 0 for j Kontinuitet og følger. For ethvert y Y er f (x kj, y) f (x kj, y kj ) og dermed er f (x 0, y) = lim j f (x kj, y) lim j f (x kj, y kj ) = f (x 0, y 0 ) V f (x 0 ) Altså er V f (x 0 ) = max y Y f (x 0, y) lim j f (x kj, y kj ) V f (x 0 ) eller V f (x 0 ) = lim j f (x kj, y kj ) = lim j V f (x kj ). Værdifunktion

19 Værdifunktionen Kontinuitetsquiz Lad f : R n R m være en kontinuert funktion, A R n, B R m. Rigtigt eller forkert? 1 A begrænset = f (A) begrænset 2 A afsluttet = f (A) afsluttet 3 A afsluttet og begrænset = f (A) afsluttet og begrænset 4 A åben = f (A) åben 5 B begrænset = f 1 (B) begr. 6 B afsluttet = f 1 (B) afsluttet 7 B afsluttet og begrænset = f 1 (B) afsluttet og begrænset 8 B åben = f 1 (B) åben 9 f 1 (f (A)) = A og f (f 1 (B)) = B

20 Værdifunktionen Eksempel 8.5: Eksistens af optimal produktionsstrategi og kontinuitet af værdifunktionen