Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet

Transkript

1 Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Stivhedsanalyse af aluminium Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Projektperiode: 7. semester,. september december 005 Projektgruppe: C 8 Mads-Peter Hansen Søren Mosegaard Hansen Per Højbjerg Kristensen Ivar Chr. Bjerg Pedersen Albert Pætursson Lars Saaugaard Vejleder: Rune Brincker Oplagstal: 8 Sideantal hovedrapport: 6 Sideantal appendiks: 37 Synopsis I dette projekt undersøges spændingerne og flytningerne for en række cirkulære homogene og porøse forsøgsemner udsat for to modstående jævnt fordelte belastninger. Forsøgsemnerne er udført i aluminium. Idet geometrien af forsøgsemnerne er af en sådan art, at simple beregningsmetoder ikke er anvendelige, opstilles der både analytiske og numeriske modeller til bestemmelse af spændinger og flytninger. For at vurdere anvendeligheden af de analytiske og numeriske modeller sammenlignes resultaterne med spændinger og flytninger bestemt eksperimentelt. Til bestemmelse af spændingerne og flytningerne i de homogene og porøse forsøgsemner indgår hhv. homogene og porøse materialeparametre. De homogene er bestemt eksperimentelt ved måling på en homogen klods, hvorimod de porøse er bestemt ved at sammenligne forsøg på en porøs skive med analytiske og numeriske estimater af materialeparametrene.

2

3 Forord Rapporten er udarbejdet på baggrund af temaet Analyse og design af bærende konstruktioner, og som et led i uddannelsesforløbet for 7. semesters studerende ved det Teknisk- Naturvidenskabelige Fakultet på Aalborg Universitet under Instituttet for Bygningsteknik. Målgruppen for rapporten er læsere med et grundlæggende kendskab til overbygningen indenfor ingeniørfaget konstruktion. Rapporten omfatter de væsentligste forudsætninger, der ligger til grund for de anvendte teorier samt resultater, der enten er bestemt eksperimentelt eller ved programmering i Matlab. Efter rapporten følger et appendiks, hvori forsøgsbeskrivelser og resultater for de udførte forsøg er nærmere beskrevet. Henvisninger til appendiks er indført i rapporten, hvor det findes nødvendigt med uddybende information. Endvidere er der vedlagt en CD-rom med CD-bilag indeholdende bl.a. programmeringer i Matlab, beregninger i Excel regneark og rapporten i pdf-format. Ønskes der kendskab til de udførte beregninger, henvises der i de enkelte afsnit til CD-bilag. Figurer og tabeller er i rapporten nummereret fortløbende i hvert afsnit og ledsaget af forklarende tekst og evt. kildehenvisninger. Eksempelvis er den tredje figur i kapitel 6 i rapporten angivet som figur 6.3. Tilsvarende er figur 6 i appendiks A angivet som figur A.6. Formler anvendt i rapporten er ligesom figurer og tabeller fortløbende nummeret. Således angives formel nummer 6 i afsnit 4 som (4.6). Ved henvisning til CD-bilag angives henvisningen ved matlab-fil og excel-fil for hhv. Matlab programmeringer og Excel regneark efterfulgt af et nummer. Kildeangivelsen af rapporten er opdelt i faglitteratur og øvrige. Bagerst i rapporten forefindes en litteraturliste med tilhørende kildehenvisninger. Placeres kildehenvisningen før et punktum henviser den til den foregående sætning, og placeres den efter et punktum henviser den til det foregående afsnit. Såfremt der henvises direkte til en kilde i teksten skrives eksempelvis ifølge Concepts and application of finite element analysis, og henvisninger forekommer derfor i to former. Enten som direkte refererede inde i teksten eller som kildereference efter en sætning eller et afsnit. Kildehenvisningerne og deres referencer er angivet på følgende måde: Faglitteratur Henvisning: Litteraturliste: Øvrige Henvisning: Litteraturliste: [Forfatter efternavn et al, Udgivelsesår] Forfatter efternavn, Fornavn Titel, Forlag, udgivelsesår, ISBN: [Efternavn, år] Efternavn, fornavn Udgiver, dato/år I rapporten er der til beregningerne anvendt beregningsprogrammerne Microsoft Excel, Matlab samt Calfem, der er en toolbox til Matlab. 3

4 Indhold Den vedlagte CD-rom indeholder følgende: Rapport og appendiks i pdf-format Microsoft Excel regneark anvendt til beregningerne Matlab programmering til modellering af modellerne I rapporten er anvendt følgende notation: Symbol Forklaring [ ] Rektangulær eller kvadratiske matricer { } Søjlematrice [ ] T Transponeret matrice [ ] - Inverteret matrice, / x ; eksempel, u Partiel differentiation u x = x Udover ovenfor nævnte notation er der i afsnit..4 og..5 anvendt indeksnotation, hvor latinske indeks i antager værdierne, og 3, og græsk indeks α antager værdierne og. 4

5 Indhold Indledning Beskrivelse af forsøgsemner... 0 Estimering af materialeparametre Beskrivelse af enhedscelle Analytisk estimering af materialeparametre Ashby og Gibsons cellulære metode Voigt estimat Reuss estimat Dilute estimat Den selvkonsistente metode Numerisk estimering af materialeparametre Sammenligning af materialeparametre Analytiske modeller Analytisk løsning af cirkelskive Airy s spændingsfunktion Centralt belastet cirkelskive Jævnt belastet cirkelskive Sammenligning af enkelt last og jævnt fordelt last Opsamling Analytisk løsning af cirkelring Flytningsfeltet Beregning af konstanter Resultater Opsamling Delkonklusion

6 Indhold 4 Teori for elementmetoden Indledende betingelser for FEM Konstitutiv betingelse Kinematisk betingelse Statisk betingelse Kompatibilitetsbetingelse Interpolation og formfunktioner Pascals trekant Potentiel energi i elastisk legeme Spændingsberegning Elimination af frihedsgrader Elementtyper Isoparametrisk CST-element Q Isoparametrisk Q 8 -element Jacobi Transformation Numerisk integration Isoparametrisk Q 4 -element Elementsvagheder Spændingsberegning Numeriske modeller Konvergensanalyse Numeriske resultater Cirkelskive Cirkelring Porøs cirkelskive opbygget af superelementer Opbygning af superelement

7 Indhold 6.3. Konvergensanalyse Bestemmelse af flytninger Delkonklusion Konklusion Materialekonstanter Flytninger Spændinger Litteraturliste...5 7

8 8

9 Indledning Undertiden kan det blive nødvendigt at anvende konstruktionselementer af en sådan udformning, at almindeligt kendte bjælketeorier ikke giver en brugbar løsning ved dimensioneringen af disse. Endvidere kan konstruktionselementerne være opbygget af et materiale med en kompleks struktur så som beton, som også kaldes et kompositmateriale. Disse materialer indeholder som bekendt flere forskellige materialer med hver deres egenskaber, og idet det er yderst besværligt at modellere disse ned i mindste detalje, er det fordelagtigt at kunne bestemme en gennemsnitlig materialeegenskab for f.eks. beton. Til dette findes der flere forskellige estimeringsmetoder, som bl.a. vil blive gennemgået i denne rapport. I dette projekt betragtes hhv. en homogen cirkelskive og cirkelring samt en porøs cirkelskive og cirkelring, der alle er udført i aluminium. Følgende vil disse under et omtales som forsøgsemnerne. Normalt forbindes et porøst materiale med et materiale, hvori der findes et stort antal porer, der enten indeholder luft eller vand, hvis dimensioner er så små, at de ikke kan ses med det blotte øje. I denne rapport har ordet porøsitet en lidt anden mening, idet de i rapporten behandlede aluminiumsemner, hvori der er boret 8 mm huller, opfattes som emner af et porøst materiale. For forsøgsemnerne ønskes det at bestemme spændingerne og flytningerne forårsaget af to modstående lastpåvirkninger. Dette lader sig ikke umiddelbart gøre ved simple beregningsmetoder, hvorfor der opstilles både analytiske og numeriske modeller. Formålet er at sammenligne de analytiske og numeriske modeller med eksperimentelt bestemte flytninger og spændinger, og ud fra sammenligningen vurdere nøjagtigheden af modellerne, hvor usikkerheden på eksperimenterne tages i betragtning. Der er ikke bestemt spændinger i samtlige forsøgsemner, hvorfor der i tabel. skabes overblik over hvilke metoder, der anvendes til at bestemme spændinger hhv. flytninger i de forskellige forsøgsemner. Af tabel. ses det f.eks., at det er muligt at sammenligne spændingerne i den homogene cirkelskive, da disse er bestemt ved de to modeller samt eksperimentelt. Derimod er det ikke muligt at sammenligne spændingerne i den homogene cirkelring, da det kun er for den numeriske model disse kan bestemmes. Med udgangspunkt i tabel. kan en afsluttende sammenligning af flytnings- og spændingsresultaterne foretages. 9

10 . Beskrivelse af forsøgsemner Tabel.. Angiver hvilke metoder, der kan anvendes til at bestemme flytninger hhv. spændinger i forsøgsemnerne. Ja hhv. nej angiver om der er bestemt / ikke bestemt flytningerne og spændingerne. Analytisk Numerisk Forsøg Flytninger Spændinger Flytninger Spændinger Flytninger Spændinger Homogen Ja Ja Ja Ja Ja Ja cirkelskive Homogen Ja Nej Ja Ja Ja Nej cirkelring Porøs Ja Nej Ja Nej Ja Nej cirkelskive Porøs cirkelring Ja Nej Ja Nej Ja Nej I de efterfølgende modelberegninger er kendskabet til aluminiumets materialeparametre nødvendig. For det homogene materiale er materialeparametrene bestemt eksperimentelt, og forsøgsbeskrivelse samt resultater fremgår af appendiks B.. Det porøse materiales materialeparametre er derimod bestemt ved en række analytiske estimater samt numerisk og eksperimentelt. Det er valgt indledningsvis i rapporten at præsentere de analytiske og numeriske estimater, der afslutningsvis sammenlignes med de eksperimentelt bestemte porøse materialeparametre, for hvilke forsøgsbeskrivelse og resultater er at finde i appendiks B.. I sammenligningen vælges de porøse materialeparametre, der arbejdes videre med i modellerne for de porøse forsøgsemner.. Beskrivelse af forsøgsemner Som beskrevet i afsnit er formålet at bestemme flytningerne og spændinger i de fire forsøgsemner. Følgende beskrives forsøgsemnernes geometri, og hvorledes flytningerne bestemmes eksperimentelt. Endvidere beskrives forsøgsemnerne anvendt til bestemmelse af de homogene og porøse materialeparametre, hvilket gøres indledende. Figur.. Billeder af hhv. den homogene klods (tv.) og den porøse kvadratiske skive (th.), der er anvendt til bestemmelse af materialeparametrene. 0

11 Indledning De homogene og porøse materialeparametre bestemmes ud fra forsøgsemnerne vist på figur., hvor flytningerne af klodsen og den porøse kvadratiske skive hhv. bestemmes vha. straingages og flytningsmålere. For en nærmere beskrivelse henvises til appendiks B. og B.. De fire forsøgsemner, for hvilke de analytiske, numeriske og eksperimentelle flytninger sammenlignes, fremgår af figur.. Det bemærkes, at porøsiteten både for cirkelskiven og cirkelringen er indlagt som et kvadratisk net placeret ens på de to forsøgsemner. ry ry b L c c L b a ry ry ri L L b ri b L L a Figur.. Homogene og porøse forsøgsemner med angivelse af længder og radier.

12 . Beskrivelse af forsøgsemner Af tabel. fremgår de fire forsøgsemners geometriske størrelser. Tabel.. Forsøgsemnernes geometriske størrelser. Beskrivelse Størrelse r y [mm] Ydre radius 79 r i [mm] Indre radius 4 a [mm] Radius af hullerne 4 b [mm] Indbyrdes vandrette og lodrette afstand mellem centrum af hullerne 6 c [mm] Vandrette og lodrette afstand fra centrum af emnet til et hul 8 t [mm] Tykkelsen af forsøgsemnerne 0 L [mm] Afstanden mellem målepunkterne for flytningsmålerne 96

13 Estimering af materialeparametre I dette afsnit estimeres materialeparametrene for det porøse materiale ved en række analytiske modeller samt én numerisk model. Resultaterne for disse indgår slutteligt i en sammenligning med materialeparametrene bestemt eksperimentelt, og ud fra sammenligningen vurderes hvilke af de bestemte materialeparametre, der anvendes efterfølgende. Den analytiske estimering af materialeparametrene gøres iht. følgende fem metoder Ashby og Gibsons cellulære metode Voigts estimat Reuss estimat Dilute estimatet Den selvkonsistente metode Estimeringen af materialeparametrene på et numerisk grundlag foretages ved anvendelse af Finite Element Method (FEM), som er en approksimativ løsning, der for en finere og finere diskretisering af elementer konvergerer mod det eksakte. Beregningerne foretages i computerprogrammet Matlab.. Beskrivelse af enhedscelle Estimeringen af materialeparametrene bygger generelt set på et repræsentativt volumen element (RVE), hvad enten det gælder de analytiske eller numerisk estimater, dog med undtagelse af Ashby og Gibsons cellulære metode. Derfor opstilles der i det følgende et RVE, som er gældende for alle estimaterne. RVE anvendes oftest i forbindelse med kompositmaterialer til beskrivelse af hvilke delmaterialer de består af samt i hvor stor en mængde de findes i kompositmaterialet. Det materiale, der er det fremherskende, kaldes for matrixmaterialet. RVE udgør pr. definition en så lille del af materialets samlede struktur, som det realistisk er muligt, hvilket vil sige, at hvis der foretages en detaljeret analyse af RVE, så skal det beskrive materialets egenskaber på makroskopisk niveau. RVE opstilles for det tidligere omtalte porøse materiale, som er en aluminiumsskive med huller, hvorfor det må antages, at kompositteorien kan anvendes tilnærmet. Det fremgår af figur., at den porøse aluminiumsskive er opbygget med centrum af hullerne i et kvadratisk net. RVE bestemmes derfor som et udsnit af skiven, der repræsenterer et hul placeret 3

14 . Beskrivelse af enhedscelle dobbelt symmetrisk i et kvadratisk udsnit. Det vælges i det følgende at betegne RVE for enhedscellen. Enhedscellen er ud fra hullernes indbyrdes afstand i prøvelegemet bestemt til at have en sidelængde på 6 mm, og hullerne en diameter på 8 mm, figur.. Tykkelsen ud af planet er 0 mm. b = 6 b = 6 y x M n 64 a = 4 64 Figur.. Enhedscelle anvendt til estimering af materialeparametrene for et porøst materiale med angivelse af volumenerne Ω M og Ω n. Alle mål i [mm]. For enkelte af estimaterne anvendes porøsiteten f af enhedscellen, hvorfor denne bestemmes som porevolumenet i forhold til det totale volumen, formel (.). f Vp π a t = = V b t (.) hvor V p er porevolumenet [mm 3 ] V er det totale volumen [mm 3 ] a er radius af hullet [mm] b er enhedscellens sidelængde [mm] t er tykkelsen af enhedscellen [mm] Porøsiteten bestemmes til f ( mm) ( mm) π 4 0mm π = = 0, mm 6 4

15 Estimering af materialeparametre. Analytisk estimering af materialeparametre I de følgende afsnit foretages en estimering af de effektive materialeparametre for det porøse materiale. Det gøres ud fra før nævnte analytiske metoder, som bygger på betragtning af enhedscellen, afsnit.. Afsnittene er alle skrevet ud fra noterne, 5, 6, 8 og 9 af Henrik Myhre Jensen, Professor ved Aalborg Universitet, hvis ikke andet er angivet. [Myhre, 005].. Ashby og Gibsons cellulære metode Ved et cellulært materiale forstås et materiale med en høj porøsitet, hvilket vil sige omkring % [Myhre, 005]. Ashby og Gibsons metode er en simpel model til estimering af elasticitetsmodulet E for et cellulært materiale. Metoden er udledt på baggrund af materialer, hvis mikrostruktur minder om et bjælke-søjlesystem, hvor der er en stor porøsitet, figur.. Figur.. Cellulært materiale med stor porøsitet. I det efterfølgende er det antaget, at Ashby og Gibsons metode kan anvendes til estimering af elasticitetsmodulet for enhedscellen, som er vist på figur.. Det bør nævnes, at metoden kun giver et overslag på elasticitetsmodulet. Metoden giver et estimat, der er en funktion af hhv. det porøse og det homogene materiales densitet. Estimatet beregnes af formel (.). E porøs porøs homogen ρ = E homogen ρ (.) hvor E porøs er elasticitetsmodulet for det porøse materiale [MPa] E homogen er elasticitetsmodulet for det homogene materiale [MPa] ρ porøs er densiteten af det porøse materiale [g/mm 3 ] ρ homogen er densiteten af det homogene materiale [g/mm 3 ] 5

16 . Analytisk estimering af materialeparametre Densiteten af det homogene materiale er i laboratoriet bestemt til.703 kg/m 3. Til bestemmelse af det porøse materiales densitet beregnes af formel (.3) volumenet af det homogene materiale i enhedscellen. homogen V b t a π t = (.3) Ved at anvende målene for enhedscellen angivet i afsnit. bestemmes V homogen til ( ) ( ) homogen V = mm 4mm π 0mm= 4.5mm 3 3 Derefter bestemmes massen af det homogene materiale m homogen af formel (.4). m = ρ V (.4) homogen homogen homogen homogen m =, mm =, g 3 g 3 3 mm Endeligt beregnes ρ porøs af formel (.5). m V homogen porøs ρ = porøs (.5) ρ porøs 6,g 0 = =.7 6mm 6mm 0mm kg 3 m Heraf estimeres elasticitetsmodulet E som et forhold mellem det homogene materiale og det porøse materiales densitet iht. formel (.6) til porøs homogen,7 homogen E = E = 0,65 E,70 (.6) Elasticitetsmodulet blev i laboratoriet bestemt til 79 GPa, og derfor estimeres det porøse elasticitetsmodul iht. Ashby og Gibsons metode til 5,4 GPa. 6

17 .. Voigt estimat Estimering af materialeparametre Voigt-estimatet er et estimat opstillet af Voigt i 889 til beregning af stivhedstensoren for et kompositmateriale. I metoden antages en homogen tøjningstilstand i alle bestanddele af kompositmaterialet. I det efterfølgende tages udgangspunkt i enhedscellen vist på figur.. Den gennemsnitlige spænding σ ij i materialet kan beregnes af formel (.7). σ ij lokal σij V V = dv (.7) hvor V er det samlede volumen af enhedscellen [mm 3 ] σ ij lokal er den lokale spænding i de enkelte bestanddele af materialet [N/mm ] Erstattes σ ij lokal i formel (.7) med den konstitutive relation givet ved formel (.8) σ = E ε (.8) lokal lokal lokal ij ijkl kl fås formel (.9) M M c c σij = Eijkl εkl dv + Eijkl εkldv V V Ω Ω (.9) hvor V-Ω er volumenet af matrixmaterialet [mm 3 ] Ω er volumenet af de enkelte bestanddele [mm 3 ] E M er stivhedstensoren for matrixmaterialet E c er stivhedstensoren af de øvrige bestanddele Med et matrixmateriale forstås det overordnede materiale, der binder de øvrige bestanddele sammen. I dette tilfælde består matrixmaterialet af aluminium. Da der jf. Voigts metode antages homogen tøjningstilstand i materialet gælder følgende relation ε = ε = ε = ε M kl kl kl kl Derfor kan formel (.9) omskrives til formel (.0) σ n M c ij = ( V ) Eijkl ceijkl ε kl V Ω + Ω c= (.0) Udtrykket i parentesen er et udtryk for stivhedstensoren for kompositmaterialet som helhed angivet af Voigt. Da de enkelte bestanddeles lokale stivhedstensorer ikke afhænger af volumenet, skrives udtrykket i parentesen i formel (.0) om til formel (.). 7

18 . Analytisk estimering af materialeparametre Voigt V Ω M Ω Ωn n Eijkl = Eijkl + Eijkl Eijkl (.) V V V Forsøgsemnerne af aluminium er lidt specielle, da materialet kun består af aluminium og luft. Formel (.) reduceres derfor til formel (.) V Ω Voigt cirkulært hul Ω alu cirkulært hul luft Eijkl = Eijkl + Eijkl (.) V V For enhedscellen med huldiameteren 8 mm estimeres stivhedstensoren til følgende, da sidste led af formel (.) falder bort grundet E ijkl luft = 0. mm mm mm mm π mm E E E 6mm 6mm 0mm Voigt alu alu ijkl = ijkl = 0,80 ijkl Stivhedstensoren E ijkl kan for et homogent og isotropt materiale med plan spændingstilstand skrives som følgende [Cook, et. al., 00] ν 0 E E = ν 0 ν (.3) ν 0 0 [ ] Heraf følger iht. ovenstående beregninger Voigt alu ν 0 ν 0 Voigt alu E Voigt E alu 0 0,8 0 ν = ν Voigt alu ( ν ) Voigt ( ν ) alu ν ν Af ovenstående kan opstilles følgende to ligninger til bestemmelse af E Voigt og ν Voigt Voigt E = 0,8 E alu Voigt alu ( ν ) ( ν ) Voigt alu E Voigt E ν = 0,8 ν Voigt alu ( ν ) ( ν ) alu (.4) (.5) Indsættes de i laboratoriet fundne værdier af elasticitetsmodulet og Poisson s forhold på hhv. 79 GPa og 0,3 fås følgende værdier for E Voigt og ν Voigt E ν Voigt Voigt = 63,GPa alu = ν = 0,3 8

19 ..3 Reuss estimat Estimering af materialeparametre Reuss-estimatet er analogt til Voigt-estimatet med den forskel, at der antages en homogen spændingstilstand i stedet for en homogen tøjningstilstand. Fremgangsmåden er den samme som for Voigts estimat, hvorfor middeltøjningen i materialet opskrives som ε lokal M M c c ij ij dv Cijkl kl dv Cijkl kldv V ε V σ σ = = + V V Ω Ω (.6) hvor V-Ω er volumenet af matrixmaterialet [mm 3 ] Ω er volumenet af de enkelte bestanddele [mm 3 ] C M er fleksibilitetstensoren for matrixmaterialet C c er fleksibilitetstensoren af de øvrige bestanddele Da der antages homogen spændingstilstand i alle punkter, omskives formel (.6) til formel (.7), da følgende gælder σ = σ = σ = σ M kl kl kl kl n M h εij = ( V ) Cijkl ccijkl σkl V Ω + Ω c= ε = C σ Reuss ij ijkl kl V Ω Ω Ω C = C + C C V V V Reuss M n n ijkl ijkl ijkl ijkl (.7) Af formel (.7) følger det, at Reuss estimatet er et estimat af fleksibilitetstensoren, der er lig den inverse af stivhedstensoren, hvilket vil sige at følgende relation gælder C Reuss ijkl Reuss ( E ) ijkl = (.8) Af formel (.7) bestemmes et estimat for fleksibilitetstensoren C Reuss for enhedscellen ( ) 3 ( ) ( ) mm ( ) π ( ) mm 4mm π 0mm 4mm 0mm C = C + C mm Reuss alu luft ijkl 3 ijkl 3 ijkl (.9) Fleksibiliteten C luft går imod uendelig, hvilket svarer til, at stivheden går imod nul. Derfor giver Reuss-estimatet ikke noget brugbart resultat for porøse materialer. 9

20 . Analytisk estimering af materialeparametre..4 Dilute estimat Følgende udledes Dilute estimatet for et generelt tilfælde mht. RVE. Tøjningerne bestemt for det generelle tilfælde anvendes efterfølgende til at bestemme Dilute estimatet for enhedscellen. Dilute estimatet forudsætter, at porerne er spændingsfrie, hvilket betyder, at porerne forstyrrer spændingsbilledet i RVE, da spændingerne i porerne er lig med nul. Spændingerne kan derfor opskrives som S σij = ti x j ds = V V lokal σ dv ij (.0) S M hvor S er den ydre overflade af RVE t i S er kræfter, der virker på S M er volumenet af matrixmaterialet Formel (.0) medfører, at de gennemsnitlige lokale spændinger i RVE er lig med de påførte globale spændinger. Det forudsættes endvidere, at matrixmaterialet er lineærelastisk og isotropisk samt, at der kun forekommer små flytninger. S V S ni S ni M Figur.3. RVE med det totale volumen V og angivelse af matrixmaterialets volumen M, ydre overfladerand S, indre overfladerande S og enhedsnormalen n i. For et homogent materiale kan tøjnings-flytningsrelationen beskrives ved formel (.). ( u, u, ) ε = + (.) ij i j j i hvor u i,j og u j,i er flytningsgradienter 0

21 Estimering af materialeparametre En flytningsgradient i et materiale med mikrostruktur regnes ækvivalent med den gennemsnitlige flytningsgradient over volumenet af RVE. Den gennemsnitlige flytningsgradient bestemmes som lokal ui, j= u dv i, j V (.) V Ved at benytte Gauss divergenssætning omskrives volumenintegralet, formel (.), til et fladeintegral, formel (.3). lokal ui, j= u n i jds V (.3) S hvor n j er den udadrettede enhedsnormalen til den ydre overflade S Ved indsættelse af formel (.3) i (.) fås følgende udtryk for tøjningen i et homogent materiale lokal lokal ε ij = ( ui nj + uj ni ) ds V (.4) S I modsætning til spændingerne kan den gennemsnitlige lokale tøjning ikke siges at være lig med den globale tøjning for et homogent RVE. Det skyldes de spændings frie porer, der betyder, at tøjningerne i disse ikke kan bestemmes af formel (.4), hvorfor der til tøjningerne bestemt af formel (.4) skal adderes tillægstøjninger. Den globale tøjning ε ij for et porøst RVE kan derfor udtrykkes som hvor lokal c ij = ij dv = ij + ij V M ε ε ε ε (.5) εij er de globale tøjningerne for et homogent RVE ε ij c er tillægstøjningerne pga. porerne i et porøst RVE De globale tøjninger for det homogene RVE udtrykkes ved formel (.6) og tillægstøjningerne ved formel (.7). ε = C σ (.6) ij ijkl kl ε = ( u n + u n ) ds (.7) c lokal lokal ij i j j i V S hvor C ijkl er den globale fleksibilitetstensor

22 . Analytisk estimering af materialeparametre Dilute-estimatet for enhedscellen I det følgende udledes Dilute-estimaterne vha. spændings-tøjningsrelationen for et plant spændingstilfælde samt tillægstøjningerne. For et homogent materiale udtrykkes spændings-tøjningsrelationen i det plane spændingstilfælde ved Hooke s udvidede lov, formel (.8). hvor ε = + ν σ ν δ σ (.8) (( M ) M ) αβ αβ αβ γγ E M E M er matrixmaterialets elasticitetsmodul [MPa] ν M er Poisson s forhold af matrixmaterialet [-] ε αβ er tøjningen i retningen xx, yy eller xy σ αβ er spændingen i retningen xx, yy eller xy σ γγ er summen af spændingerne både i retningen xx og yy δ αβ er Kroneckers delta Kroneckers delta og σ γγ bestemmes af (.9). hvis σγγ = σxx + σ yy δαβ = 0 hvis α = β α β (.9) Normal- og forskydningstøjningerne for det homogene materiale bestemmes følgende til σ xx νσ yy σ yy νσ xx + ν ε = ε = ε = σ E E E xx yy xy xy Spændings-tøjningsrelationen for det porøse materiale fås ved superposition af formel (.8) og tillægstøjningerne. I enhedscellen bestemmes tillægstøjningerne ved at antage énakset spændingstilstand i enhedscellen, figur.4. For énakset spændingstilstand gælder der, at enhedscellen er belastet på to modstående sider langt fra det cirkulære hul, hvilket ikke helt er tilfældet for den anvendte enhedscelle. Tillægstøjningerne i enhedscellen med det cirkulære hul udledes ud fra formel (.7), men for nemheds skyld omskrives flytningerne u først til polære koordinater, da det er flytningerne på randen af hullet der bestemmes. Formel (.7) omskrives til (.30). ε π c lokal lokal lokal lokal ij = i j + j i = i j + j i V b S 0 ( u n u n ) ds ( u n u n ) a dθ (.30) hvor ( θ) n sin ( θ) lokal cos( θ ) sin ( θ) sin ( θ) cos( θ) n = cos = u = u u u = u u lokal r θ r θ

23 u og u er flytningerne i et kartesisk koordinatsystem u r og u θ er flytningerne i et polært koordinatsystem Estimering af materialeparametre y σ xx x σ xx a = 4 Figur.4. Enhedscellen udsat for énakset spænding. Flytningerne i polære koordinater er givet ved formel (.3), som er udledt ud fra de totale spændinger for et cirkulært hul i en skive udsat for énakset spænding. 4 σ xx a 4a a ur = ( + ν) r cos 3 ( θ) + cos( θ) + ( + ν) + ( ν) r E r r r 4 σ xx a a uθ = + r r 3 + E r r ( ν) ( ν) sin( θ) (.3) Formlerne i (.3) er generelle udtryk for spændingerne i et hvilket som helst sted i skiven, men da det kun er spændingerne på randen af hullet, der er interessante, sættes r = a. Det medfører, at flytningerne kan skrives som u u r θ σ xxa = + E σ xxa = sin E ( cos( θ )) ( θ ) (.3) Tillægstøjningerne bestemmes nu ved integration af formel (.30) over hele hullets rand [0,π]. Integrationen er foretaget i Matlab, matlab-fil a, og deraf fås følgende tøjninger for en énakset belastning i x -retningen c 3σ f c σ f c εxx = ; εyy = ; εxy = 0 E E Tilsvarende findes tillægstøjningerne for en énakset belastning i x -retningen til c σ f c 3σ f c εxx = ; εyy = ; εxy = 0 E E 3

24 . Analytisk estimering af materialeparametre Slutteligt bestemmes forskydnings-tillægstøjningerne ved at rotere koordinatsystemet 45º i forhold til det originale og påføre spændingerne -σ og σ i hhv. den nye x -retning og x - retning. Det medfører følgende tillægstøjninger c c c 4σ f εxx = 0; εyy = 0; εxy = E Heraf fås følgende relationer for spændings-tøjningsrelationen for det porøse materiale ved superposition af tøjningerne for det homogene materiale og tillægstøjningerne. ε ε ε xx yy xy σ xx νσ yy 3σ xx f σ yy f = + E E E σ yy νσxx 3σ yy f σ xx f = + E E E + ν 4σ xy f = σxy + E E Spændings-tøjningsrelationerne for det porøse materiale kan skrives tilsvarende formel (.8) ved formel (.33). hvor ε = + ν σ ν δ σ (.33) (( d) d ) αβ αβ αβ γγ E d E d er det estimerede elasticitetsmodul efter Dilute [MPa] ν d er det estimerede Poissons forhold efter Dilute [-] Det estimerede elasticitetsmodul og Poissons forhold bestemmes efter formlerne i (.34). E d E ν + f = ν d = + 3f + 3f (.34) hvor f er porøsiteten af enhedscellen Endelig bestemmes de estimerede materialeparametre for det porøse materiale, hvor materialeparametrene for det homogene materiale er E = MPa og ν = 0,3 bestemt ved forsøg, afsnit B.. E d MPa = = MPa + 3 0,964 ν d 0,3 + 0,964 = = 0, ,964 4

25 ..5 Den selvkonsistente metode Estimering af materialeparametre I modsætning til Dilute estimatet tager den selvkonsistente metode hensyn til den vekselvirkning, der er mellem hullerne. Den selvkonsistente metode er en approksimativ metode, hvor de estimerede materialeparametre bestemmes ud fra de effektive materialeparametre af kompositmaterialet og ikke materialeparametrene for matrix materialet, som det gælder for Dilute estimatet. Selve udledningen af de estimerede materialeparametre E k og ν k for den selvkonsistente metode er tilsvarende udledningen for Dilute estimatet. Derfor kan spændingstøjningsrelationen for det porøse materiale ved den selvkonsistente metode opskrives direkte, hvor E k og ν k er de ubekendte, der skal bestemmes. Spændings-tøjningsrelationen er givet ved ε ε ε xx yy xy σxx νσ yy 3σ xx f σ yy f = + E Ek Ek σ yy νσxx 3σ yy f σ xx f = + E Ek Ek + ν 4σ xy f = σxy + E E k som igen kan udtrykkes ved Hooke s udvidede lov ε = + ν σ ν δ σ (.35) (( k) k ) αβ αβ αβ γγ E k For den selvkonsistente metode bestemmes det estimerede elasticitetsmodul og Poisson s forhold efter formlerne i (.36). d ( 3 ) ν ν ( 3 ) E = E f = f + f (.36) d De estimerede materialeparametre for det porøse materiale, hvor E, ν og f er de samme som for Dilute estimatet, er bestemt til ( ) ( ) Ed = MPa 3 0,964 = MPa ν = 0,3 3 0, ,964 = 0,3 d Det skal bemærkes, at formlerne i (.36) kun er gyldige for porøsiteter af enhedscellen, som er under 0,33, da større porøsiteter giver negative værdier af E k og ν k. 5

26 .3 Numerisk estimering af materialeparametre.3 Numerisk estimering af materialeparametre I det følgende estimeres elasticitetsmodulen og Poisson s forhold for det porøse materiale vha. en numerisk model, som, de analytiske estimater, bygger på enhedscellen, afsnit.. Den numeriske model for enhedscellen opbygges i programmet MatLab. Da enhedscellen er symmetrisk omkring begge akser, er det valgt kun at modellere en fjerdedel af denne. Det kan lade sig gøre, fordi der ikke forekommer flytninger vinkelret på symmetri akserne [Cook, et. al., 00]. Ved at begrænse modelleringen til en fjerdedel af enhedscellen er det muligt at lave en finere opdeling og få et nøjagtigere resultat på samme beregningstid. Derved udnyttes computerkraften bedre til at opnå en mere præcis estimering af E og ν. I figur.5 ses den del af enhedscellen, som modelleres i MatLab. y 8 4 x Figur.5. En fjerdedel af enhedscellen, som modelleres i Matlab. Alle mål i mm. Ved modelleringen vælges det at regne med plan spændingstilstand, hvilket vil sige, at spændingerne ud af planen antages at være lig nul. Ved beregning af E og ν for det porøse materiale er der i modellen valgt at give den lodrette rand til højre en tvungen flytning, i x-aksens positive retning, på mm. Randbetingelserne for en fjerdedel af enhedscellen er vist på figur.6, hvor de simple understøtninger på hhv. x-aksen og y-aksen skyldes symmetri. Understøtningsforholdende på den øverste vandrette rand er indført således, at elasticitetsmodulet og Poisson s forhold kan bestemmes ved to ligninger med to ubekendte. Det skyldes, at den øverste vandrette rand er fastholdt i lodret retning, hvorved tøjningen i y-retningen bliver lig nul. Dvs. ε yy = 0. u = y,ε yy x,ε xx Figur.6. Enhedscellens randbetingelser og den påtvungne flytning. 6

27 Estimering af materialeparametre Til estimering af E og ν benyttes Hooke s udvidede lov, der beskriver sammenhængen mellem spændinger og tøjninger, og som gælder for lineære, homogene og isotrope materialer. Idet spændingen i enhedscellen som før nævnt regnes plan, kan Hooke s udvidede lov beskrives med formel (.37). ε xx ν 0 σ xx ε yy ν 0 = σ yy E ε xy 0 0 ( ν) σ + xy (.37) hvor ε αβ er tøjningen [-] E er elasticitetsmodulen [MPa] ν er Poisson s forhold [-] σ γδ er spændingen [MPa] Da enhedscellen er fastholdt i y-retningen bliver ε yy lig 0. Af formel (.37) fås ε xx til ε = E σ E ν σ xx xx yy Tøjningen ε yy bliver ligeledes af formel (.37) til ε yy = xx yy 0 E ν σ + E σ = Derved kan elasticitetsmodulen og Poisson s forhold beregnes ud fra de to ligninger med to ubekendte. E σ = σ ε σ xx yy xx xx (.38) ν σ yy = (.39) σ xx Tøjningen ε xx er uden videre kendt grundet den tvungne flytning i x-retningen. Dermed er det kun σ xx og σ yy, der skal findes til bestemmelse af E og ν. uxx ε xx = = = 0,5 l 8 For at beregne de globale spændinger σ xx og σ yy i enhedscellen benyttes formel (.40). Denne formel er opstillet i det numeriske program, og beregningen kan ses i den vedlagte matlab-fil n9. 7

28 .3 Numerisk estimering af materialeparametre De globale spændinger i enhedscellen beregnes som areal-vægtede spændinger i hvert element, formel (.40) σ αβ n i σαβ Ai (.40) A i= = hvor A er enhedscellens samlede areal inklusiv hul [mm ] σ i αβ er spændingen i det i te element [MPa] A i er arealet af det i te element [mm ] Der er valgt at inddele modellen i Q 4 -elementer, for hvilket der ses et eksempel på figur.7. Den stiplede linie viser det deformerede legeme. Figur.7. Eksempel på typografien af enhedscellen opbygget i Matlab samt den deformerede enhedscelle (stiplet linier). Ud fra beregningerne i Matlab fås spændingerne σ xx og σ yy ved en diskretisering på.50 elementer til hhv MPa og.765 MPa forårsaget af en vandret flytning på mm. Først bestemmes Poisson s forhold ud fra formel (.39) til ν =.765 MPa 0, MPa = Elasticitetsmodulen bestemmes af formel (.38) til 8 ( 6.69 MPa) (.765 MPa) E = = 49.7 MPa 0, MPa

29 Estimering af materialeparametre Ved den numeriske modellering af spændingerne, og derved også E og ν, er enhedscellen i figur.6 delt op i.50 elementer, idet resultaterne, som det ses i tabel., konvergerer ved denne inddeling. Det ses endvidere, at ν konvergerer væsentligt hurtigere end E. Tabel.. Konvergensanalyse af E og ν. Det fremgår, at både E og ν er konvergeret ved.50 elementer. Elementer E [MPa] ν [-] , , , , , , , , , , , , ,66.4 Sammenligning af materialeparametre Sammenligningen af materialeparametrene foretages mellem de estimerede og de eksperimentelt bestemte. På baggrund af sammenligningen vurderes, hvorvidt de enkelte metoder er anvendelige. De estimerede materialeparametre tillades en sammenligning med de eksperimentelle, da det er samme porøse prøveemne, der ligger til grund for resultaterne. De porøse materialeparametre bestemt af forsøget fremgår af tabel., men for en nærmere beskrivelse af forsøget henvises til appendiks B.. Tabel.. De porøse materialeparametre bestemt eksperimentelt. Indeks f angiver forsøg. Materialeparametre E f [MPa] ν [-] Resultater Det er ikke muligt at bestemme Poisson s forhold eksperimentelt for det porøse materiale, da flytningerne i x-retningen ikke er målt. Derfor anvendes et af de estimerede Poisson s forhold. Det vælges at benytte estimatet bestemt ved den numeriske model i de videre beregninger, da det er vurderet til at give det bedste billede af Poisson s forhold, tabel.3. Det begrundes ved, at et meget porøst materiale såsom kork har et Poisson s forhold som er tilnærmelsesvis nul, da tøjningerne i x-retningen er forsvindende ved belastning i y- retningen. I dette tilfælde for skiven af aluminium er porøsiteten på 0 %, hvorfor der bør forekomme et Poisson s forhold, der er mindre end for det homogene materiale, hvilket ikke er tilfældet for hverken Voigt, Dilute eller den selv konsistente metode. For det homogene materiale er Poisson s forhold bestemt til 0,3, appendiks B.. 9

30 .4 Sammenligning af materialeparametre Resultaterne af de estimerede materialeparametre er gengivet i tabel.3 sammen med sammenligningen af elasticitetsmodulerne udtrykt ved differensen i procent. Tabel.3. Sammenligning af eksperimentelle og estimerede materialeparametre. Indeks e angiver estimeret. Beregningsmetode Estimeret Differens E e [MPa] ν e [-] E e - E f [%] Ashby & Gibsons cellulære metode , Voigt estimat ,30 40,4 Reuss estimat Dilute estimat ,3 0,4 Den selvkonsistente metode ,3 7,9 FEM-model ,7 9,6 Ashby og Gibson s metode bygger på cellulære materialer med høj porøsitet, hvorfor denne metode ikke vurderes særlige anvendelig for dette materiale på trods af den relative lille differens på ca. 4 %. Det skyldes, at materialets mikrostruktur ikke minder om et cellulært materiale, samt at porøsiteten ikke er stor nok. Voigt og Reuss estimaterne beskriver hhv. den øvre og nedre værdi af elasticitetsmodulen, og af tabel.3 fremgår det, at Voigt er en øvre værdi. Derimod kan Reuss-estimatet ikke bestemmes, da partikelmaterialet, som i dette tilfælde er en porøsitet, består af luft, for hvilket elasticitetsmodulet er nul. Følgende kommenteres Reuss-estimatet ikke nærmere. Voigts estimat bygger som nævnt på en antagelse om homogen tøjningstilstand i hele cellen, hvilket må synes som en rimelig antagelse for et kompositmateriale som helhed, men som det fremgår af figur., består enhedscellen af matrixmaterialet aluminium og et cirkulært luftfyldt hul. At den ene bestanddel af kompositmaterialet blot er luft, kan være årsagen til, at der forekommer en differens på ca. 40 % i forhold til det eksperimentelt bestemte elasticitetsmodul, tabel.3. Det stemmer overens med, at en eksakt værdi af Voigtestimatet kun kan bestemmes, såfremt et vilkårligt snit har samme fordeling af matrix- og partikelmateriale, hvilket ikke er tilfældet. Endvidere fremgår det, at Poisson s forhold ikke ændrer sig i forhold til det homogene materiale, og som tidligere beskrevet bør Poisson s forhold mindskes ved porøsiteter. Dilute-estimatet og den selvkonsistente metode bygger på forudsætningen om, at det cirkulære hul udsættes for énakset spændingstilstand i en uendelig stor skive. Ved at studere enhedscellen nærmere ses det, at den foregående forudsætning ikke er opfyldt, da afstanden fra den indre rand til den ydre kun er af forholdet : i forhold til radien af hullet. Til trods for dette stemmer elasticitetsmodulet for Dilute-estimatet pænt overens med det eksperimentelle. Det gælder ikke for den selvkonsistente metode, hvor der forekommer en differens på ca. 8 %. At det lige er den ene metode frem for den anden, der stemmer nogenlunde med eksperimentet kan være tilfældigt, men da differensen af det numerisk estimerede elasticitetsmodul er af samme størrelses orden som Dilute, antages disse at være de mest korrekte værdier af de estimerede elasticitetsmoduler. 30

31 Estimering af materialeparametre For Poisson s forhold bliver det porøse større end det homogene både for Dilute og den selv konsistente metode, hvilket ikke stemmer overens med, hvad der tidligere er beskrevet. Det er erfaret for Dilute-estimatet, at formlen for Poisson s forhold, formel (.34), kun er gyldig, såfremt det homogene porøse Poisson s forhold er større end én tredjedel. For værdier under denne værdi bliver Poisson s forhold større end det homogene Poisson s forhold, og netop i dette tilfælde er det homogene Poisson s forhold bestemt eksperimentelt til 0,3. De estimerede materialeparametre bestemt ved den numeriske FEM-model vurderes at være af en størrelsesorden, der er acceptabel i forhold til de virkelige materialeparametre. Det skyldes, at elasticitetsmodulet har en differens på mindre end 0 %, og Poisson s forhold antager en værdi, der er mindre end for det homogene mareriale. I modellen er der anvendt Q 4 -elementer, der ved deformation bibeholder rette sidder. Det kan give anledning til en fejlkilde, da enhedscellen indeholder et cirkulært hul, der ikke kan modelleres perfekt. Af konvergensanalysen i afsnit.3 ses det dog, at fejlkilden negligeres ved den valgte diskretisering på 50 elementer. En anden mulig fejlkilde ved FEM-modellering er locking af elementerne, som er nærmere beskrevet i afsnit 5.4. Locking betyder, at elementerne opfører sig stivere, end de i virkeligheden er, men igen kan fejlkilden negligeres ved en fin diskretisering. Hvor stor indflydelse nævnte fejlkilder har på materialeparametrene er uvis, men vurderes til ikke at have den store betydning. Det eksperimentelt bestemte porøse elasticitetsmodul er behæftet med en vis usikkerhed, som er nærmere beskrevet i appendiks B.. Grundet måleusikkerheden på eksperimentet kan det tænkes, at differensen mellem elasticitetsmodulet bestemt eksperimentelt og elasticitetsmodulet bestemt ved Dilute hhv. numerisk mindskes. I de følgende beregninger af flytningerne for de porøse forsøgsemner vælges det at anvende elasticitetsmodulet bestemt eksperimentelt og Poisson s forhold bestemt ved den numeriske estimering, tabel.4. Tabel.4. Materialeparametrene, der anvendes ved beregning af flytningerne for de porøse forsøgsemner. Elasticitetsmodul [MPa] Poisson s forhold [-] 0,7 3

32 3

33 3 Analytiske modeller Formålet med dette afsnit er at bestemme analytiske løsninger for flytninger i cirkelskiven og cirkelringen, der belastes centralt af to modsatrettede belastninger. Der er opstillet følgende analytiske modeller, figur 3.. Homogen cirkelskive centralt belastet (a) Porøs cirkelskive centralt belastet (b) Homogen cirkelskive jævnt belastet (c) Porøs cirkelskive jævnt belastet (d) Homogen cirkelring centralt belastet (e) Porøs cirkelring centralt belastet (f) (a) (c) (e) (b) (d) (f) Figur 3.. Skitse af de beregnede analytiske modeller. 33

34 3. Analytisk løsning af cirkelskive Den analytiske løsning til cirkelskiven, både centralt- og jævnt belastet, udarbejdes vha. Airy s spændingsfunktion og en Fourier rækkeudvikling, der tager udgangspunkt i randspændingerne. Cirkelringens analytiske løsning udarbejdes vha. et gæt på et flytningsfelt, hvorpå princippet for stationær potentiel energi anvendes til bestemmelse af ukendte koefficienter. Ved beregningerne for de porøse emner genanvendes de homogene beregninger med elasticitetsmodulet og Poissons forhold ændret fra de homogene materialeparametre til de porøse E p og ν p. 3. Analytisk løsning af cirkelskive I dette afsnit bestemmes spændinger, tøjninger og flytninger i cirkelskiven, der belastes hhv. centralt af to modsatrettede enkeltkræfter og to modsatrettede jævnt fordelte belastninger på et stykke af randen, figur 3.. Formålet med afsnittet er, vha. Airy s spændingsfunktion og en Fourier rækkeudvikling, at opstille en analytisk løsning for den definerede problemstilling. Af de bestemte spændinger beregnes flytningen af to punkter på skivens lodrette diameter. Hermed kan resultaterne for flytningerne fra hhv. den analytiske og numeriske model samt de ved laboratorieforsøg bestemte flytninger sammenlignes. Grunden til, at der opstilles beregninger for både enkelt- og fordelte belastninger er, at den eksakte belastningsform, der finder sted ved forsøget i laboratoriet, ikke kendes. Derfor må det forventes, at størrelsen af den eksperimentelt bestemte sammentrykning af skiven befinder sig tæt på de to beregnede sammentrykninger. På figur 3. er de to belastningssituationer skitseret, hvor kraften P regnes negativ ved tryk. Målepunkterne, mellem hvilke flytningen måles er ligeledes skitseret på figur 3.. P ε P ε L P P ε Figur 3.. De to belastningsformer på den cirkulære skive, samt angivelse af de to målepunkter, mellem hvilke flytningen u måles. Den fordelte belastning, der er skitseret midt på figur 3., er antaget som en radiær belastning, hvilket vil sige, at der ingen forskydningsspændinger påføres randen. 34

35 3 Analytiske modeller Da der er tale om en cirkulær skive, beskrives spændingsbilledet nemmest ved hjælp af polære koordinater. På figur 3.3 er de tre spændingskomponenter σ rr, σ θθ og σ rθ derfor angivet. y r = σθθ σrθ σrr x σrr σrθ σθθ Figur 3.3. Skitse med enhedscirkel og orientering af de tre spændingskomponenter. Funktionerne, der opstilles for spændingerne, formuleres i første omgang som funktioner af kraften P, radius r og vinklen θ. De polære spændingskomponenter transformeres senere om til kartesiske spændingskomponenter, idet det hermed bliver muligt at sammenligne resultaterne med de numeriske beregninger. Der tages udgangspunkt i enhedscirklen, figur 3.3, hvorfor de udledte spændinger i første omgang kun gælder for denne. Det betyder, at r kan varieres mellem 0 og, hvor r = 0 angiver spændingen i centrum af skiven, mens r = angiver spændinger på randen. Udtrykkene omformuleres senere, så de kan benyttes for cirkulære skiver med vilkårlig radius R, der er belastet af en vilkårlig størrelse af kraften P. I det følgende gennemføres følgende skridt for slutteligt at kunne bestemme den lodrette flytning af de to punkter i skiven: Opstilling af spændingsudtryk hhv. i skiven og på randen af skiven vha. Airy s spændingsfunktion Opstilling af Fourier rækker for spændinger på randen Bestemmelse af konstanter i de to funktioner til opstilling af endelige udtryk Konvergensanalyse Transformation af spændinger fra polære til kartesiske koordinater Bestemmelse af tøjninger i et repræsentativt antal punkter Bestemmelse af sammentrykningen u 35

36 3. Analytisk løsning af cirkelskive 3.. Airy s spændingsfunktion I dette afsnit opstilles en spændingsfunktion F, der gælder generelt for de cirkulære tilfælde beskrevet i dette afsnit [Kohl, 930]. En spændingsfunktion er defineret som en funktion, der baseret på koordinater er valgt således, at spændingskomponenterne bestemt ved differentiation opfylder ligevægtsligningerne [Myhre, 005]. I polære koordinater er de koordinater, der er omfattet af definitionen, radius r og vinklen θ. Ydermere gælder, at hvis spændingerne er afledt af en spændingsfunktion, er ligevægtsligningerne automatisk opfyldt [Myhre, 005]. Airy s spændingsfunktion for de cirkulære tilfælde kan skrives på følgende form [Kohl, 930] ( θ) sin ( θ) F = b r + br cos + d r n n+ n n+ ( ar n + br n ) cos( nθ ) + ( cr n + dr n ) sin ( nθ ) n= n= (3.) hvor a n, b o, b, b n, c n, d og d n er konstanter, der ønskes bestemt r er radius i enhedscirklen [mm] θ er vinklen, der måles fra enkeltkraften, figur 3.4 [rad] Foruden ligevægtsligningerne skal kompatibilitetsligningen være opfyldt, hvilket er tilfældet, hvis Airy s spændingsfunktion opfylder den biharmoniske ligning [Myhre, 005], beskrevet ved formel (3.) [Fenster, et. al.,003]. 4 F = + + F 0 = r r r r θ (3.) hvor F er Laplace operatoren F beregnes af formel (3.3) [Fenster, et. al., 003]. F F F r r r r θ F = + + (3.3) I matlab-fil a er det eftervist, at Airy s spændingsfunktion i form af formel (3.) opfylder den biharmoniske ligning, hvoraf det sluttes, at både ligevægts- og kompatibilitetsligningerne er opfyldt. Spændingskomponenterne σ rr, σ θθ og σ rθ beregnes af formlerne (3.4), (3.5) og (3.6) [Fenster, et. al., 003]. 36

37 3 Analytiske modeller σ rr F F r r r n n ( ) ( ) σ = b + brcos θ + ( n( n) a r + ( n+ n ) b r )cos nθ + rr 0 n n n= = + θ n n ( θ) ( θ) drsin ( n( ncr ) ( n n ) dr )sin n σ θθ F = r 0 n= n n n ( ) ( ) σ = b + 6brcos θ + ( n( n ) a r + ( n+ )( n+ ) b r ) cos nθ + θθ n= n n ( θ) ( θ) 6drsin ( nn ( ) cr ( n )( n ) dr )sin n σ rθ n= n n n ( ) ( ) rθ n n n= F F = r θ r r θ σ = brsin θ + ( nn ( ) ar + nn ( + ) br )sin nθ n n ( θ) + + ( θ) drcos ( nn ( ) cr nn ( ) dr )cos n n= n n n n n n (3.4) (3.5) (3.6) For begge belastningstilfælde kan udtrykkene (3.4), (3.5) og (3.6) reduceres væsentligt, da σ rr og σ θθ, som er symmetriske, pr. definition kan kaldes lige funktioner, mens σ rθ kan betegnes som en ulige funktion [Cullen, et. al., 00]. Hermed kan sinus-leddene i (3.4) og (3.5), samt cosinus-leddene i (3.6) udelades. σ rr, σ θθ og σ rθ kan derfor skrives som [Kohl, 930] n n σ = b + brcos ( θ) + ( n( n) a r + ( n+ n ) b r )cos( nθ) (3.7) rr 0 n n n= n n σθθ = b0 + 6br cos ( θ) + ( n( n ) anr + ( n+ )( n+ ) bnr ) cos( nθ) (3.8) n= n n σ = brsin ( θ) + ( nn ( ) ar + nn ( + ) br )sin( nθ) (3.9) rθ n n n= 3.. Centralt belastet cirkelskive På figur 3.4 (tv.) er den centralt belastede cirkelskive og vinklen θ, der indgår i de følgende beregninger, vist. Til højre på figur 3.4 er spændingsfordelingen σ rr på randen, som funktion af θ, afbildet, som den intuitivt må se ud. Det fremgår, at spændingen på randen går mod minus uendeligt for θ = 0, π, π,, nπ, mens den for alle andre vinkler er lig nul. Med udgangspunkt i dette opstilles i det følgende en Fourier rækkeudvikling for randspændingen, der kan beskrive denne spændingsfordeling som funktion af θ. Desuden opstilles et lignende udtryk for σ rθ. 37

38 3. Analytisk løsning af cirkelskive σrr P θ 0 π π θ P Figur 3.4. Principiel spændingsfordeling af σ rr på randen som funktion af θ. En Fourier-serie for en lige funktion, også kaldet en cosinusrække, kan skrives på formen [Cullen, et. al., 00] A0 nπ f ( x) = + An cos x n= p (3.0) hvor p er den øvre grænse i det interval, hvor funktionen gentager sig A 0 og A n er koefficienter, der kan bestemmes af formlerne (3.) og (3.). p ( ) A0 = f x dx p (3.) 0 p nπ An = f ( x) cos x dx p 0 p (3.) For en ulige funktion, kaldet en sinusrække, kan Fourierrækken skrives som [Cullen, et. al., 00] nπ f ( x) = Bn sin x n= p (3.3) hvor B n bestemmes af formel (3.4). p nπ Bn = f ( x) sin x dx p 0 p (3.4) Da funktionerne, der ønskes fundet, ikke er funktioner af x, men derimod af θ, erstattes alle f(x) er og x er i udtrykkene (3.0) - (3.4) med hhv. σ(θ) og θ. 38

39 3 Analytiske modeller Til bestemmelse af koefficienterne A 0 og A n betragtes tilfældet på figur 3.5, hvor kraften P er delt ud på et lille stykke εr, der på randen svarer til ε. P P ε θ ε P P Figur 3.5. Skitse til bestemmelse af σ rr. σ rr kan skrives som følgende i intervallet 0 < θ < π, hvorefter funktionen gentager sig for hvert π. P for 0 < θ < ε ε σ rr ( θ) = 0 for ε < θ < π ε P for π ε < θ < π ε (3.5) Det ses af (3.5), at P har dimensionen kraft pr. længdeenhed ind i planet. P angives derfor efterfølgende med enheden [N/mm]. Koefficienten A 0 bestemmes af formel (3.) til p A0 = ( ) 0 rr d p σ θ θ ε P π ε π P A0 = dθ 0dθ dθ π + 0 ε + ε π ε ε P A0 = ( ε + π ( π ε) ) π ε P A0 = π (3.6) 39