Tirsdag 12. december David Pisinger

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Tirsdag 12. december David Pisinger"

Transkript

1 Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Tirsdag 12. december David Pisinger Resume sidste to gang Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1. P = {L : L genkendes af en algoritme i polynomiel tid} NP = {L : L verificeres af en polynomiel tids algoritme} Q er NP -fuldstændig hvis og kun hvis Q NP og R NP : R pol Q CIRCUIT-SAT er NP -fuldstændig SAT er NP -fuldstændig 3CNF-SAT er NP -fuldstændig CLIQUE er NP -fuldstændig VERTEX-COVER er NP -fuldstændig Problemer Q pol R reduceres kun den ene vej, men f.eks. CLIQUE pol CIRCUIT-SAT pol 3CNF-SAT Oversigt Vi fortsætter beviser for NP -fuldstændighed. CIRCUIT-SAT CLIQUE VERTEX-COVER HAM-CYCLE TSP I dag: Hamilton kreds SAT 3CNF-SAT 3 Traveling salesman problem Subset-sum problem Start på branch-and-bound SUBSET-SUM 1 2 Hamilton-kreds HAM-CYCLE afgørlighedsproblem: HAM-CYCLE = {< G > : der findes en kreds i grafen G = (V,E) så hver knude besøges een gang For eksempel HAM-CYCLE er NP -fuldstændig 1 Bevis at HAM-CYCLE NP 2 Vælg et kendt NP -fuldstændigt problem 3 Beskriv en algoritme f som afbilder VERTEX-COVER HAM-CYCLE 4 Bevis at f opfylder x VERTEX-COVER f (x) HAM-CYCLE for alle x {0,1} Bevis at f kører i polynomiel tid. VERTEX-COVER og HAM-CYCLE k = 2 3 4

2 HAM-CYCLE er NP -fuldstændig HAM-CYCLE er NP -fuldstændig Widget (dims, dippedut, dingenot) k = 2 [u,v,1] [v,u,1] Intuition: En knude-overdækning opfylder a) vælger k knuder W uv b) når knude vælges, markerer vi insidente kanter [u,v,6] [v,u,6] c) alle kanter skal markeres 1 eller 2 gange Hver kant repræsenteres af widget (dims) [u,v,1] [v,u,1] W uv [u,v,6] [v,u,6] c) hver widget kan gennemløbes 1 eller 2 gange a) tilføjer k ekstra knuder s 1,s 2,...,s k b) når besøger knude s i gennemløbes insidente kanter [u,v,1] W uv [v,u,1] [u,v,6] [v,u,6] 6 HAM-CYCLE er NP -fuldstændig Konstruktion HAM-CYCLE er NP -fuldstændig Samlet graf 2w 2x k = 2 k = 2 2z 2y 2s 1 2s 2 [w,x,1] [x,w,1] [x,y,1] [y,x,1] [w,y,1] [y,w,1] [w,z,1] [z,w,1] W wx W xy W wy W wz [w,x,6] [x,w,6] [x,y,6] [y,x,6] [w,y,6] [y,w,6] [w,z,6] [z,w,6] 7 8

3 HAM-CYCLE er NP -fuldstændig Traveling salesman problem f opfylder x VERTEX-COVER f (x) HAM-CYCLE f opfylder f (x) HAM-CYCLE x VERTEX-COVER f kører i polynomiel tid knuder: i widgets: 12E knuder s 1,...,s k : k kanter: i widgets: 14E knuder s 1,...,s k til widgets: 2kV imellem widgets: 2E V Bemærk: k V Givet en ikke-orienteret graf G = (V,E) med vægte (afstande) c i j knyttet til hver af kanterne e i j. Find en Hamiltonkreds af mindste længde. Afgørlighedsproblem 1 A D TSP = {< G,c,k >: G har en Hamilton-kreds af længde k} hvor G = (V,E) c k B C 1 er en komplet graf er en afstands matrix er et heltal 9 10 TSP er NP -fuldstændig TSP er NP -fuldstændig 1 Bevis at TSP NP HAM-CYCLE 2 Vælg et kendt NP -fuldstændigt problem HAM-CYCLE 3 Beskriv en algoritme f som afbilder HAM-CYCLE TSP (V,E) 4 Bevis at f opfylder x HAM-CYCLE f (x) TSP for alle x {0,1} Bevis at f kører i polynomiel tid. TSP Reduktion: Givet en instans G = (V, E) af HAM-CYCLE Konstuer komplet graf G = (V,E ) Afstande { 0 hvis (i, j) E c i j = 1 hvis (i, j) E 1 (V,E,c) 0 0 k = Sæt k = 0 Ækvivalente TSP: < G,c,k > 11 12

4 Subset-sum problem Subset-sum problemet (delmængde sum): Givet mængde af heltal S = {s 1,s 2,..,s n } samt heltal t Findes der en delmængde S S så For eksempel j S s j = t S={1,2,7,14,49,98,343,686,2409,2793,16808,17206,11770,117993} t=13847 har løsning SUBSET-SUM er NP -fuldstændig Bevisets gang 1 Bevis at SUBSET-SUM NP 2 Vælg et kendt NP -fuldstændigt problem 3CNF-SAT. 3 Beskriv en algoritme f som afbilder 3CNF-SAT SUBSET-SUM. 4 Bevis at f opfylder x 3CNF-SAT f (x) SUBSET-SUM for alle x {0,1} Bevis at f kører i polynomiel tid. S = {1,2,7,98,343,686,2409,17206,11770} Afgørlighedsproblem SUBSET-SUM = {< S, t >: der eksisterer en delmængde S S så j S s j = t} SUBSET-SUM er NP -fuldstændig 3CNF-SAT φ = C 1 C 2 C 3 C 4 = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) tilfredsstillende tildeling: x 1 = 0,x 2 = 0,x 3 = 1 Ved at literaler i clausul er forskellige Transformation x 1 x 2 x 3 C 1 C 2 C 3 C 4 x 1 v 1 = x 1 v 1 = x 2 v 2 = x 2 v 2 = x 3 v 3 = x 3 v 3 = s 1 = s 1 = s 2 = s 2 = s 3 = s 3 = s 4 = s 4 = t = SUBSET-SUM er NP -fuldstændig formelt hver variabel x i to heltal v i og v i i S for hver klausul C j to heltal s j og s j i S målsum t har 1 i hver søjle svarende til variabel, 4 i hver søjle svarende til klausul regner 10-tals system (faktisk ville base 7 være nok) alle heltal i S er forskellige 1 16

5 SUBSET-SUM er NP -fuldstændig Opsummering viser x 3CNF-SAT f (x) SUBSET-SUM viser x 3CNF-SAT f (x) SUBSET-SUM Kører i polynomiel tid S indeholder 2n + 2k heltal hvert heltal n + k cifre output (2n + 2k)(n + k) cifre hvert ciffer genereres i polynomiel tid De NP -fuldstændige problemer er vores bedste bud til at vise NP P. Hvis der findes et NP -fuldstændigt problem som er løseligt i polynomiel tid, så er NP = P. Hvis et problem i NP ikke kan løses i polynomiel tid så kan ingen NP -fuldstændige problemer løses i polynomiel tid. Samlinger af NP -fuldstændige problemer findes i Garey and Johnson (1979) Computers and Intractability: a guide to the theory of NP-completenes. Crescenzi and Kann (199) A compendium of NP optimization problems. (link findes på hjemmesiden) Løsning af NP -hårde problemer Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid Oversigt Optimeringsproblemer afgørlighedsproblemer Klassen E X P, og brute-force metoden Divide-and-conquer Grænseværdier Branch-and-bound Et konkret eksempel: knapsack problemet Afgørlighedsproblem versus optimeringsproblem Traveling Salesman, afgørlighedsproblem TSP = {< G,c,k >: G = (V,E) er en komplet graf, c er en afstands matrix, k er et heltal, G har Hamilton-kreds af længde k} Traveling Salesman, optimeringsproblem TSP-OPT = {< G,c >: G = (V,E) er en komplet graf, c er en afstands matrix, find korteste Hamilton-kreds} Optimeringsproblemer mere naturlige, nemmere at løse Selv om alle NP -fuldstændige problemer kan reduceres til hinanden skal specifik struktur udnyttes NP -hård Optimeringsproblem er NP -hårdt Tilhørende afgørlighedsproblem er NP -fuldstændigt 19 20

6 Optimeringsproblemer og afgørlighedsproblemer Knapsack problem Optimeringsproblem i maksimeringsform z = max{ f (x) x S} f (x) er objektfunktionen S er løsningsrummet z er optimale løsningsværdi optimale løsning, dvs. det x hvor z = f (x ) verifikation af x lige så svært som at løse problem profit af genstand p j N vægt af genstand w j N kapacitet af rygsæk c N z = max { n n p j x j j x j c, x j {0,1} j=1 j=1w objektfunktion f (x) = n j=1 p jx j løsningsrum S = {x {0,1} n j=1 w j x j c} } Optimeringsproblem i minimeringsform z = min{ f (x) x S} omformes ved at maksimere f (x) Eksempel c = 9, n = 7 j p j w j Optimale løsning: vælg genstande 1 og 4, z = Søgebaserede algoritmer polynomielle problemer: konstruktiv algoritme NP -hårde problemer: søgebaseret algoritme Branch-and-bound Søgebaseret Paradigme Total gennemsøgning af løsningsrummet (brute-force) Matematiske overvejelser udelukker dele af løsningsrumme (grænseværditest) Opdeler løsningsrum (divide-and-conquer) Samler løsninger fra delproblemer Brute-force metoder Definition 1 Klassen E X P : afgørlighedsproblemer som kan løses i eksponentiel tid på deterministisk TM L EX P p(n) : x, x = n, x kan afgøres i tid 2 p(n) For ethvert NP -problem findes et kort (dvs. polynomielt) certifikat kan et certifikat verificeres i polynomiel tid Sætning 1 Hvis L NP så gælder også at L EX P Algoritme: Gennemløb alle kombinationer af certifikatet For hvert certifikat test om verifikationsalgoritmen returnerer ja Køretid: Verifikationsalgoritme A(x,y) hvor y p 2 ( x ), køretid p 1 ( x ) Alle kombinationer af certifikat 2 y 2 p 2( x ) Hvert certifikat verificeres i p 1 ( x ) Tid: 2 p 2( x ) p 1 ( x ) = 2 p 2( x ) 2 log p 1( x ) = 2 p 2( x )+log p 1 ( x ) Løsningsrummet for et NP -hårdt problem er begrænset! 23 24

7 Divide and Conquer Divide and Conquer, eksempel Brute-force metoden for afgørlighedsproblemer Divide and conquer for optimeringsproblemer Sætning 2 z = max{ f (x) x S} S = S 1... S k opdeling af S i mindre mængder z i = max{ f (x) x S i } løsningsværdi for S i så gælder Bevis: z = max i=1,...,k z i z = max{ f (x) x S} = max{ f (x) x S 1... S k } = max i=1,...,k max{ f (x) x S i} = max i=1,...,k z i Delproblem: optimeringsproblem begrænset til S i Knapsack problem, n = 3 genstande, kapacitet c = 6 Løsningsrum S = {(x 1,...,x n ) j p j w j n j=1 Opdeling af S: x 1 sættes til 0 eller 1 w j x j c,x j {0,1}} S 1 = {(x 1,...,x n ) S x 1 = 0} S 2 = {(x 1,...,x n ) S x 1 = 1} Opdeling af S 1 : x 2 sættes til 0 eller 1 S 3 = {(x 1,...,x n ) S 1 x 1 = 0,x 2 = 0} S 4 = {(x 1,...,x n ) S 1 x 1 = 0,x 2 = 1} Illustrere opdelingen af S med et søgetræ Hver knude svarer til et delproblem S i Optimal løsning til f.x. S : max{z 11,z 12 } = max{6,9} = S S x 1 = 0 x 1 = 1 S 1 S S 1 S x 2 = 0 x 2 = 1 x 2 = 0 x 2 = 1 S S 6 S 4 S S 3 S 4 S S 6 x 3 = 0 x 3 = 1 x 3 = 0 x 3 = 1 x 3 = 0 x 3 = 1 x 3 = 0 x 3 = S 7 S 8 S 9 S 10 S 11 S 12 S 13 S 14 x S S 13 S 9 S 11 f (x) ulovlig 6 9 ulovlig ulovlig Figur 2: Søgetræ for knapsack problem. De lyse tal svarer til ulovlige løsninger, dvs. løsningsvektorer x hvor n j=1 w jx j > c. S 8 S 10 S 12 S 14 Figur 1: Opdeling af løsningsrum. De lyse tal svarer til ulovlige løsninger, dvs. løsningsvektorer x hvor n j=1 w jx j > c

8 Grænseværdier z = max{ f (x) x S} f.x. S delproblem nedre grænseværdi L R: L z øvre grænseværdi U R: U z For enhver løsning x S er f (x ) nedre grænseværdi g(x) Sætning 3 Hvis R er en relaksering af P så gælder z R z. Bevis x opt. løsning for P: f (x ) = z Fra (ii) da x S gælder g(x ) f (x ) Fra (i) gælder x T z R = max{g(x) x T } g(x ) f (x ) = z f (x) Grænseværdier Løsning z R til relaksering R er øvre grænseværdi U Ofte kræves at relaksering kan løses effektivt S T Definition 2 P : z = max{ f (x) x S} R : z R = max{g(x) x T} R er en relaksering af P hvis (i) S T (ii) g(x) f (x) for alle x S 29 Grænseværditest Lad U være øvre grænseværdi for S i Hvis U z så findes ikke forbedrende løsning i S i 30 Divide and conquer Knapsack problem, øvre grænseværdi Sætning 4 S = S 1... S k opdeling af S z i = max{ f (x) x S i } L i er nedre grænseværdi for delmængde S i da er L = max i=1,...,k L i en nedre grænseværdi for S Bevis Da L i z i har vi L = max i=1,...,k L i max i=1,...,k z i = z Sætning U i er øvre grænseværdi for delmængde S i da er U = max i=1,...,k U i en øvre grænseværdi for S Bevis Da z i U i har vi U = max i=1,...,k U i max i=1,...,k z i = z Fraktionelle knapsack problem i Cormen U 1 KP = max Originale knapsack problem { n n p j x j j x j c, 0 x j 1 j=1 j=1w f (x) = n j=1 p jx j { } S = (x 1,...,x n ) n j=1 w j x j c,x j {0,1} Fraktionelle knapsack problem g(x) = n j=1 p j x j { } T = (x 1,...,x n ) n j=1 w j x j c,0 x j 1 Da f (x) = g(x) er kriterium (ii) i definition 2 overholdt. Envidere er S T, hvorfor kriterium (i) også er opfyldt. } Sætning 6 f (x) heltallig for ethvert x S U er en øvre grænseværdi da er også U en øvre grænseværdi 31 32

9 Branch-and-bound Branch-and-bound z = max{ f (x) x S} 1 L := ; L := {S} 2 while L /0 3 vælg et delproblem S i fra L 4 L := L \ {S i } if S i /0 then 6 find en øvre grænseværdi U(S i ) 7 find en lovlig løsning x i S i 8 if U(S i ) > L then 9 if f (x) > L then L := f (x); x := x 10 opdel S i i delproblemer S 1 i,...,s k i 11 tilføj delproblemerne til L, dvs. sæt L := L {S 1 i,...,s k i } 12 endif 13 endif 14 endwhile L en liste af delproblemer S i givet ved de tilhørende løsningsrum. Listen L vil ofte være organiseret som en prioritetskø. Vi kalder delproblemerne i L for åbne delproblemer, mens deproblemer der allerede er blevet behandlet kaldes lukkede delproblemer. global nedre grænseværdi L, tilhørende løsning x. En branch-and-bound algoritme for et maksimeringsproblem vil derfor bestå af følgende fire komponenter: 1. En øvre grænseværdifunktion som for et givet delproblem returnerer en øvre grænse på værdien af den bedste løsning vi kan finde i delrummet. 2. En nedre grænseværdi som på ethvert tidspunkt angiver den hidtil bedst kendte løsning. 3. En søgestrategi som fastlægger en rækkefølge for behandlingen af delproblemer. 4. En forgreningsregel som for alle delproblemer som ikke kan forkastes af grænseværditesten, angiver hvorledes det tilhørende løsningsrum skal opdeles. Dermed skabes to eller flere nye delproblemer

Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem

Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem 26. marts Resume sidste to gang Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1. P NP L : L genkendes af en algoritme i polynomiel tid L : L verificeres af en polynomiel tids

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid 6 april Løsning af N P -hårde problemer Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid Oversigt Grænseværdier (repetition) Branch-and-bound algoritmens komponenter Eksempler

Læs mere

Hamiltonkreds, den handelsrejsendes problem, delmængdesum-problemet

Hamiltonkreds, den handelsrejsendes problem, delmængdesum-problemet , den handelsrejsendes problem, delmængdesum-problemet Videregående algoritmik Cormen et al. 34.5.3 34.5.5 Fredag den 19. december 2008 1 N P-fuldstændige problemer 1 N P-fuldstændige problemer 2 Reduktion

Læs mere

16. december. Resume sidste gang

16. december. Resume sidste gang 16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor

Læs mere

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang 16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret

Læs mere

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10 Branch-and-bound David Pisinger Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler..................... 7 2 Brute-force metoder 10 3 Divide and Conquer 11 4 Grænseværdier

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed

Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed Approximations-algoritmer Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed Negativt resultat om generel TSP Approximations-algoritme

Læs mere

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,

Læs mere

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)} Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst

Læs mere

Klasserne af problemer, der kan løses i deterministisk og i ikke-deterministisk polynomiel tid; polynomiel reduktion; N P-fuldstændighed

Klasserne af problemer, der kan løses i deterministisk og i ikke-deterministisk polynomiel tid; polynomiel reduktion; N P-fuldstændighed Klasserne af problemer, der kan løses i deterministisk og i ikke-deterministisk polynomiel tid; polynomiel reduktion; N P-fuldstændighed Videregående algoritmik Cormen et al. 34.1 34.3 Fredag den 12. december

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur blandt mange mulige. Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde

Læs mere

Hamilton-veje og kredse:

Hamilton-veje og kredse: Hamilton-veje og kredse: Definition: En sti x 1, x 2,...,x n i en simpel graf G = (V, E) kaldes en hamiltonvej hvis V = n og x i x j for 1 i < j n. En kreds x 1, x 2,...,x n, x 1 i G kaldes en hamiltonkreds

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

Tirsdag 18. december David Pisinger

Tirsdag 18. december David Pisinger Videregående Algoritmik, DIKU 00-08 Tirsdag 8. december David Pisinger Approximations-algoritmer Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP trekantsulighed)

Læs mere

dks Noter Michael Lind Mortensen, illio 24. juni 2010

dks Noter Michael Lind Mortensen, illio 24. juni 2010 dks Noter Michael Lind Mortensen, illio 24. juni 2010 Indhold 1 P, NP and NPC. 4 1.1 Disposition............................ 4 1.2 Emne detaljer........................... 4 1.2.1 Def. Problemer, Sprog,

Læs mere

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2004) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2004) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10 Branch-and-bound David Pisinger Videregående algoritmik, DIKU (2004) Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler..................... 7 2 Brute-force metoder 10 3 Divide and Conquer 11 4 Grænseværdier

Læs mere

Datalogisk indsigt Der findes problemer som kan løses effektivt (polynomiel

Datalogisk indsigt Der findes problemer som kan løses effektivt (polynomiel 9. marts NP -fuldstændighed Datalogisk indsigt Der findes problemer som kan løses effektivt (polynomiel tid) Der findes problemer som ikke kan løses effektivt Der findes problemer som slet ikke kan løses

Læs mere

Approximations-algoritmer. Løsningsmetoder for NP -hårde opt.problemer

Approximations-algoritmer. Løsningsmetoder for NP -hårde opt.problemer Motivation Definitioner Approximations-algoritme for nudeoverdæning Approximations-algoritme for TSP med treantsulighed Negativt resultat om generel TSP Approximations-algoritme for SET-OVERING Fuldt polynomiel-tids

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Perspektiverende Datalogikursus

Perspektiverende Datalogikursus Perspektiverende Datalogikursus Uge 1 - Algoritmer og kompleksitet Gerth Stølting Brodal 27. august 2004 1 Indhold Mere om Eksempler på beregningsproblemer Algoritmer og deres analyse Korrekthed af algoritmer

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer

Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer Gerth Stølting Brodal 1 Indhold Eksempler på beregningsproblemer Algoritmer og deres analyse Korrekthed af algoritmer Ressourceforbrug for algoritmer Kompleksitet

Læs mere

P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2.

P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2. P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2. Bevis ved stærk induktion. Basisskridt: P (2) er sand og P (3) er sand. Induktionsskridt: Lad k 2 og antag P

Læs mere

Perspektiverende Datalogikursus

Perspektiverende Datalogikursus Perspektiverende Datalogikursus Uge 1 - Algoritmer og kompleksitet Gerth Stølting Brodal 2. september 2005 1 Afleveringsopgaver... /\.. // \\ / \ / [] \ \\_// / \ / \ []._. ---------------- _ 2 Øvelse

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

K 7 - og K 4,4 -minors i grafer

K 7 - og K 4,4 -minors i grafer Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Institut for Matematiske Fag K 7 - og K 4,4 -minors i grafer Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Institut for Matematiske

Læs mere

13. december. Datalogiens største spørgsmål. Hvis kan bevise NP = P fås 1 million dollar

13. december. Datalogiens største spørgsmål. Hvis kan bevise NP = P fås 1 million dollar 3. december Datalogiens største spørgsmål NP -fuldstændighed Datalogisk indsigt Der findes problemer som kan løses effektivt (polnomiel tid) Der findes problemer som ikke kan løses effektivt Der findes

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træer

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Læs mere

28 Algoritmedesign. Noter. PS1 -- Algoritmedesign

28 Algoritmedesign. Noter. PS1 -- Algoritmedesign 28 Algoritmedesign. Algoritmeskabelon for Del og Hersk. Eksempler på Del og Hersk algoritmer. Binær søgning i et ordnet array. Sortering ved fletning og Quicksort. Maksimal delsums problem. Tætteste par

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Fredag den 9 Januar 2015, kl. 10 14 Alle sædvanlige hjælpemidler(lærebøger, notater etc.) samt

Læs mere

Tirsdag 5. december David Pisinger

Tirsdag 5. december David Pisinger Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Tirsdag 5. december David Pisinger NP -fuldstændighed Datalogisk indsigt Problemer som kan løses effektivt (polnomiel tid) Problemer som ikke kan løses effektivt Problemer

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Divide-and-Conquer algoritmer

Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 10. juni, 2016. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede sider med ialt 16 opgaver. Alle opgaver

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik

Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet???dag den?.????, 20??. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 13 nummererede sider med

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer. Gerth Stølting Brodal

Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer. Gerth Stølting Brodal Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer Gerth Stølting Brodal Ugens Program Mandag 10.15 12.00 Introduktion til Algoritmik Gerth Stølting Brodal Tirsdag 9.15 12.00 Øvelser Open Learning Center 12.15

Læs mere

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers

Læs mere

M=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant

M=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant M=3 åben facilitet kunde forbindelse lukket facilitet oprettet lokation Steinerkant v Connected facility location-problemet min i f i y i + d j c ij x ij + M c e z e (1) j i e hvorom gælder: x ij 1 j (2)

Læs mere

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem Aalborg University Department of Computer Science. Fredrik Bajers Vej 7E, 9220 Aalborg Ø. Titel: Traveling Salesman Problem Projektperiode: 16. maj 2003 til 20. juni 2003 Semester: BOS03 Gruppebetegnelse:

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =

Læs mere

Fredag 12. januar David Pisinger

Fredag 12. januar David Pisinger Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Fredag 2. januar David Pisinger Kryptering Spartanere (500 f.kr.) strimmelrulle viklet omkring cylinder Julius Cæsar: substituering af bogstaver [frekvensanalyse]

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2

Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2 Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2 Jens Kristian Jensen, David Pisinger og Martin Zachariasen 13. april 2003 1 Formalia Dette er den anden af to godkendelsesopgaver på kurset

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Approksimationsalgoritmer for k-median og facility location problemer, vha. lokalsøgning

Approksimationsalgoritmer for k-median og facility location problemer, vha. lokalsøgning Approksimationsalgoritmer for k-median og facility location problemer, vha. lokalsøgning Peter Neergaard Jensen, Christian Plum & Mette Gamst 8. januar 2006 1 Indledning I forbindelse med kurset Approkismationsalgoritmer,

Læs mere

9. marts. NP -fuldstændighed. Datalogiens største spørgsmål. Hvis kan bevise NP P fås 1 million dollar

9. marts. NP -fuldstændighed. Datalogiens største spørgsmål. Hvis kan bevise NP P fås 1 million dollar 9. marts NP -fuldstændighed Datalogisk indsigt Der findes problemer som kan løses effektivt polynomiel tid) Der findes problemer som ikke kan løses effektivt Der findes problemer som slet ikke kan løses

Læs mere

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet og specielt anvendelser af matematisk programmering Esben Høg Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Oktober 2012 EH (Institut for Matematiske

Læs mere

Divide-and-Conquer algoritmer

Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 23. august, 2016, 9.00-13.00 Dette eksamenssæt består af 11 nummerede sider med 16 opgaver. Alle opgaver er multiple

Læs mere

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært

Læs mere

Bits DM534. Rolf Fagerberg, 2012

Bits DM534. Rolf Fagerberg, 2012 Bits DM534 Rolf Fagerberg, 2012 Resume af sidst Overblik over kursus Introduktion. Tre pointer: Datalogi er menneskeskabt og dynamisk. Tidslinie over fremskridt mht. ideer og hardware. Algoritme er et

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 1 (tretten) Eksamensdag: Tirsdag den 8. april 2008,

Læs mere

P vs. NP. Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012

P vs. NP. Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012 P vs. NP Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012 Den handelsrejsendes problem Kan det lade sig gøre at besøge n byer forbundet ved et vejnet, G, inden for budget, B? Hvad

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Oplæg og øvelser, herunder frugt og vand Gerth Stølting Brodal

Oplæg og øvelser, herunder frugt og vand Gerth Stølting Brodal Oplæg og øvelser, herunder frugt og vand Gerth Stølting Brodal Datalogisk Institut Aarhus Universitet MasterClass Matematik, Mærsk Mc-Kinney Møller Videncenter, Sorø, 29-31. oktober 2009 Algoritmer: Matricer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige

Læs mere

Algorithms & Architectures I 2. lektion

Algorithms & Architectures I 2. lektion Algorithms & Architectures I 2. lektion Design-teknikker: Divide-and-conquer Rekursive algoritmer (Recurrences) Dynamisk programmering Greedy algorithms Backtracking Dagens lektion Case eksempel: Triple

Læs mere

DM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006

DM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006 DM02 Kogt ned Kokken Januar 2006 1 INDHOLD Indhold 1 Asymptotisk notation 2 2 Algoritme analyse 2 3 Sorterings algoritmer 2 4 Basale datastrukturer 3 5 Grafer 5 6 Letteste udspændende træer 7 7 Disjunkte

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 22. juni 2012, kl. 9.00-13.00 Eksamenslokale: Finlandsgade

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Torsdag den 9. august, 202. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede sider med ialt 2 opgaver.

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Analyse af ombytningspuslespil

Analyse af ombytningspuslespil Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. 2 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2015

Rolf Fagerberg. Forår 2015 Forår 2015 Dagens program 1 2 3 4 5 Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Deltagere: BA i Datalogi BA i Software

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere