Eksamensopgaver i Matematik F2
|
|
- Anton Mørk
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Eksamensopgaver i Matematik F2 I. Numeriske metoder og Laplace transformation Opgave 1 (V 97/98) Funktionen f(x) er beskrevet ved følgende tabel [f j = f(x j )]: j x j f j og den fjerde afledede: M 4 = f (4) (x) = 24 i intervallet 0 x 0.6. a) Benyt Simpson s algoritme (med 2m = 6) til at beregne en tilnærmet værdi J for integralet J = f(x)dx.vurder fejlen ɛ S = J J. b) Udregn en tilnærmet værdi p n=3 (x) forf(x) når x =0.15, ved at benytte Newton s forlæns-difference interpolationsformel til 3.orden med startværdien x 0 = 0.Bestem fejlen ɛ 3 = f(0.15) p 3 (0.15). Opgave 2 (S 98) Fresnel-integralet C(x) er defineret x C(x) = cos ( π 0 2 t2) dt a) Beregn en tilnærmet værdi C(1) for værdien af integralet for x =1.Benyt både trapez-metoden og Simpsons algoritme.i begge tilfælde anvendes en intervallængde h = t =0.1, og der regnes med 5 decimalers nøjagtighed. b) Fejlen ɛ = J J ved udregning af et integral J = b a f(t)dt er ɛ = h2 [ f (b) f (a) ] (trapez-metoden) 12 ɛ = h4 [ f (b) f (a) ] (Simpsons algoritme) 180 igrænsenh 0.Benyt disse udtryk til at bestemme fejlen ved hver af de to udregninger af C(1).Giv en vurdering af nøjagtigheden af at benytte C(1) C(1) + ɛ ved at sammenligne resultaterne, som de to metoder giver for C(1). Ørsted Laboratoriet, September 2003
2 Opgave 3 (V 98/99) Matematik F2 2 Funktionen f(x) opfylder følgende 4 betingelser: f(0) = 2, f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, og f(x) tilnærmes med 3.grads polynomiet gennem de fire punkter, f(x) p 3 (x). a) Benyt Lagranges interpolationsmetode til at opstille udtrykket for p 3 (x). b) Find løsningen x p til ligningen p 3 (x) = 0 i intervallet 1 <x<2, ved hjælp af Newtons (Newton Raphsons) iterationsmetode.benyt x = 1 som startværdi, og bestem x p med 5 decimalers nøjagtighed. Antag, at den numeriske værdi af den fjerde afledede er f (4) (x) 1for x = x p. c) Bestem den numeriske fejl ɛ = f(x) p 3 (x) for x = x p.benyt ɛ til at give en vurdering af det interval omkring x p, som indeholder en løsning til f(x) =0. Opgave 4 (V 99/00) Tredjegrads-polynomiet, p 3 (x) =x 3 4x 2 +3x+1, går gennem de fire punkter: (x, y) =(0, 1), (1, 1), (2, 1), og (3, 1). a) Benyt Newtons interpolationsmetode til at bestemme f(x) =p 4 (x) ud fra p 3 (x), hvor fjerdegrads-polynomiet p 4 (x) =p 3 (x) forx =0, 1, 2, 3, samt p 4 (x =4)=1. 4 Beregn integralet J = f(x)dx. 0 b) Anvend Simpson s algoritme til at beregne en tilnærmet værdi J for det samme integral J ud fra funktionsværdierne f(x) forx =0, 1, 2, 3, 4. [ f (b) f (a) ], Bestem fejlen ɛ = J J ved at benytte ɛ 180 h4 hvor h = x er længden af intervalopdelingen og a og b er nedre og øvre grænse af integralet, der beregnes ved Simpson s algoritme.sammenlign resultatet med den korrekte værdi af ɛ. Opgave 5 (S 01) Besselfunktionen af 0te orden J 0 (x) kan bestemmes ud fra et integral: J 0 (x) = π 2 0 g(x, θ)dθ ; g(x, θ) = 2 cos(x sin θ) (1) π og J 0 (x 0 )=f 0 =0.7652, J 0 (x 1 )=f 1 = og J 0 (x 2 )=f 2 = , hvor x 0 =1,x 1 =2ogx 2 =3. a) Find andengradspolynomiet p 2 (x) gennem de tre punkter (x i,f i ). Benyt p 2 (x) til at finde en tilnærmet løsning x til ligningen J 0 (x) =0, for 0 <x<3.vurdér fejlen ɛ 2 ( x) =J 0 ( x) p 2 ( x), idet J 0 ( x) 0.33.
3 Matematik F2 3 b) Anvend trapez-metoden til at udregne integralet (1) for x = x ved at benytte to forskellige intervallængder θ = h = 0.25π og h = 0.1π. Vurdér fejlen ɛ J for h =0.1π ud fra de to udregninger af integralet.find en bedre løsning x end x til ligningen J 0 (x) =0. Opgave 6 (V 01/02) b J = 0.5π f(x)dx = a 0.1π 1 sin x dx = 1 1+cos(0.1π) ln 2 1 cos(0.1π) (1) a) Udregn en tilnærmet værdi J a af integralet ved at benytte Simpsons algoritme med intervallængden h = 0.1π (2m = 4).Bestem fejlen ved at sammenligne resultatet med den analytiske værdi af integralet.der regnes med 5 decimalers nøjagtighed. b) Integralet kan omskrives til: 0.5π 1 0.5π [ 1 J = 0.1π x dx + J 1 (2a); J 1 = 0.1π sin x 1 ] dx (2b) x Bestem en tilnærmet værdi for J 1 ved at benytte samme forskrift som under punkt a).udregn en ny tilnærmet værdi J b for J ved at addere værdien af det første integral i (2a) til det tilnærmede resultat for J 1. Vurdér fejlene af de to numeriske udregninger af integralet ved at benytte ɛ a = J J a = (h 4 /180)[f (b) f (a)] og tilsvarende for ɛ b = J J b. Sammenlign disse fejlvurderinger med de korrekte værdier og kommentér. Opgave 7 (S03) j x j f j a) Tabellen viser sammenhørende værdier af x og f(x), hvor f j = f(x j ).Benyt Newton s forlæns-difference interpolationsformel til 3.orden til at beregne tilnærmede værdier for f(0.5), f(1.5), og f(2.5).en vurdering giver, at f (4) (t) 0.05 når 0 <t<3.bestem fejlens størrelse for hver af de tre interpolationer. b) Beregn følgende to tilnærmede værdier for integralet J = 3 0 f(x)dx: i) J 1 bestemt alene ved de fire f j værdier i tabellen og udregnet vha. trapez-metoden (h = 1).Bestem fejlen ɛ 1 = J J 1 ved at benytte, at f (t) [f (3) f (0)]/(3 0) 2 f j /h 2. ii) J 2 bestemt ud fra f j og interpolationsværdierne for f(0.5), f(1.5), og f(2.5) ved at benytte Simpsons algoritme med h =0.5.Vurdér den totale fejl ɛ 2 = J J 2. Kommentér og sammenlign resultaterne af de to metoder.
4 Opgave 8 (S 99) Matematik F2 4 Der er givet følgende 1.ordens differentialligning med begyndelsesbetingelse: y = f(x, y) =x y ; y(0) = 1 (1) a) Bestem Laplace-transformen af y(x): Y (s) = L{y(x)}.Find y(x) og udregn y(1). b) Anvend Runge-Kutta algoritmen (af 4.orden) til en numerisk beregning af y(1) ud fra ligning (1).Benyt intervalopdelingen h = 1(kun ét interval). c) Skitsér funktionen y(x), fundet under spørgsmål a), for 0 x <. Herunder hører en bestemmelse af funktionens extrema og asymptote. Opgave 9 (S 00) Funktionen f(t) ergivetvedintegralet t f(t) = τ sin(t τ)dτ (1) 0 a) Bestem den Laplace transformerede F (s) =L{f(t)} og udregn f(t) = L 1 {F (s)}.angiv værdien af f(π/2) med fem decimaler. b) Benyt trapez-metoden til at udregne en tilnærmet værdi f(t)afintegralet givet ved (1) når t = π/2.anvend en ækvidistant intervalopdeling med h = 0.1π og udregn resultatet med fem decimalers nøjagtighed. Bestem fejlen ɛ = f(π/2) f(π/2) ved at benytte ɛ = h2 [ g (b) g (a) ], 12 hvor g(τ) er funktionen der integreres vha.trapez-metoden, og a og b er nedre og øvre grænse af integralet.sammenlign resultatet f(π/2) + ɛ med den korrekte værdi af f(π/2). Opgave 10 (V 00/01) Funktionen y = y(x) er løsningen til differentialligningen y = f(x, y) =y +2x ; y(0) = 1 (1) med den angivne begyndelsesbetingelse. a) Bestem den Laplace transformerede Y (s) = L{y(x)} og udregn y(x) = L 1 {Y (s)}. b) Benyt Eulers forbedrede metode ( Improved Euler Method ) til at udregne en tilnærmet værdi ỹ(1) for funktionen y(x) givetved(1), når x = 1.Anvend en ækvidistant femdeling af intervallet mellem x = 0og 1, dvs. h =0.2. Bestem den relative fejl ɛ r =[y(1) ỹ(1)]/y(1).
5 Opgave 11 (S 02) Matematik F2 5 Funktionen y = y(x) er løsningen til differentialligningen y = f(x, y) =y + x 2 ; med begyndelsesbetingelsen y(0) = 0 a) Bestem den Laplace transformerede Y (s) = L{y(x)} og udregn y(x) = L 1 {Y (s)}. b) Benyt Eulers forbedrede metode ( Improved Euler Method ) til at udregne en tilnærmet værdi ỹ(1) for funktionsværdien y(1).anvend en ækvidistant femdeling af intervallet mellem x = 0 og 1, dvs. h = 0.2. Bestem den relative fejl ɛ r =[y(1) ỹ(1)]/y(1). Opgave 12 (V02/03) t y(t) = τ 3/2 t τdτ (1) 0 a) Bestem den Laplace transformerede funktion Y (s) = L{y(t)}.Find y(t) og angiv værdien af y(1) med 5 decimaler. b) Beregn en tilnærmet værdi J af følgende integral 1 J = f(x)dx ; f(x) 0 =[x3/2 1] 1 x (2) ved at benytte trapez metoden med en intervallængde h = 0.25.Bestem fejlen ɛ = J J = (h 2 /12)[f (1) f (0)].Udnyt J + ɛ til en tilnærmet beregning af y(1).hvilken fordel har denne numeriske beregning af y(1) sammenlignet med den direkte metode som benytter f(x) =x 3/2 1 x? Opgave 13 (V 97/98) Bevægelsesligningen for en dæmpet harmonisk oscillator er: y +2y +5y =5 ; t 0 a) Find den Laplace transformerede Y (s) = L{y(t)} og løsningen y(t) for t>0 udtrykt vha.parametrene a og b, hvora = y(0) og b = y (0). b) Bestem begyndelsesbetingelserne, a og b, og angiv den tilhørende løsning y(t) i følgende to tilfælde: i) y(0) = 0 og y( π 4 )=1 ii) y (0) = 0 og y (0) = 0
6 Opgave 14 (S 98) Matematik F2 6 Bessel-funktionen af 0te orden J 0 (t) er løsning til differentialligningen: ty + y + ty =0 med randbetingelsen y(0) = J 0 (0) = 1. a) En Laplace-transformation af denne anden ordens differentialligning fører til en første ordens differentialligning i s til bestemmelse af Y (s) = L{y(t)}.Opstil denne ligning og find dens generelle løsning Y (s). b) Vis, at hvis f(t) ervilkårligt ofte differentiabel for t 0ogF (s) = L{f(t)}, såer lim sf (s) =f(0) s ved at benytte en Taylor-rækkeudvikling af f(t) i Laplace-integralet.Anvend dette resultat til at fastlægge integrationskonstanten i den generelle løsning Y (s) under punkt a), således at Y (s) =L{J 0 (t)}. Opgave 15 (V 98/99) Den elektriske strøm i(t) gennem en modstand i serie med en spole beskrives ved ligningen (t 0): v(t) =Ri(t)+L di(t) dt hvor den påtrykte spænding er:, i(0) = 0 t V 0, 0 <t<a v(t) = a V 0, t > a a) Bestem Laplace-transformen af v(t): V = V (s) = L{v(t)}. b) Find I = I(s) =L{i(t)} og strømmen i(t) =L 1 {I(s)}. c) Bestem t-afhængigheden af i(t) iområdet 0 <t a og grænseværdien af i(t) når t
7 Matematik F2 7 II. Sandsynlighedsregning og matematisk statistik Opgave 16 (V 97/98) a) 5 målinger af en kontinuert varierende størrelse giver følgende resultater: Bestem the 90% confidence interval for middelværdien µ, når måleresultaterne antages beskrevet ved den normale fordeling. b) Bestem sandsynligheden for i et kast med to (perfekte) terninger at slå en syver (hvor summen af antal øjne på de to terninger er 7).Hvad er sandsynligheden for at slå mindst 2 syvere i 4 kast? Bestem middelværdien µ og standardafvigelsen σ af X, hvorx er antallet af syvere slået i 4 kast. Opgave 17 (S 98) Addition (og/eller subtraktion) af n tal afrundet til r decimaler giver en stokastisk ophobning (Y ) af afrundingsfejl: n Y (n) = X i i=1 hvor X i er statistisk uafhængige variable. a) De stokastiske variable X i har alle den kontinuerte frekvensfunktion f(x) = { c 0.5 a<x 0.5 a 0 ellers (1) hvor a =10 r.bestem konstanten c og beregn fordelingens varians σ 2 1. Fordelingen kan tilnærmelsesvis erstattes med en diskret fordeling: f 1 ( b) =f 1 (b) = 1 2 (2) Bestem b>0, således at fordelingerne (1) og (2) har samme varians.vis, at hvis X i antages at have den diskrete fordeling (2), så er frekvensfunktionen for Y (n): f n (y i )= ( ) n 1 i 2 n, hvor y i =(2i n)b og i =0, 1, 2,...,n. b) For n n 0 1 vil usikkerheden på resultatet af additionen af de n tal være så stor, at resultatet bør angives med r 1 snarere end med r decimaler.udnyt the central limit theorem til at bestemme n 0 fastlagt ved følgende kriterium: For n n 0 skal der være mere end 50% sandsynlighed for, at den numeriske afrundingsfejl er større end 5a, dvs. P { 5a <Y(n = n 0 ) 5a} = 1 2 Find n 0.
8 Opgave 18 (S 99) Matematik F2 8 Antallet af radioaktive henfald i tidsintervallet t antages givet ved Poissonfordelingen med middelværdien µ = λt, hvor henfaldskonstanten λ er uafhængig af tiden. a) Hvad er sandsynligheden for 3 eller flere henfald i tidsintervallet t = 2/λ? b) En tælling af henfald i et vist tidsinterval giver resultatet X.Bestem µ, således at P (µ µ X µ + µ) = 95%, når µ/µ =0.05. Her er µ 1 og Poisson-fordelingen må tilnærmes med den tilsvarende kontinuerte fordelingsfunktion. Hvis p(t) er sandsynligheden for 0 henfald i tidsintervallet t vil F (t) = P (T t) = 1 p(t) være fordelingsfunktionen for længderne af tidsintervallet mellem et henfald og det næste. T betegner den stokastiske variabel svarende til t, ogt 0 pr.definition (eller F (t) =0fort 0). c) Find F (t) og den tilhørende frekvensfunktion f(t), udtrykt ved λ og t 0. Bestem den moment-genererende funktion G(u) = exp(ut ) for u<λ. Beregn middelværdien T og variansen σ 2 = T 2 T 2 for denne fordeling. Opgave 19 (V 99/00) Den stokastiske variabel X er defineret som det antal gange en terning skal kastes for at opnå en sekser (f.eks. X = 2 betyder 0 sekser i første kast og 1 sekser i andet kast). a) Bestem frekvensfunktionen f(x) = P (X = x) og fordelingsfunktionen F (x) =P (X x), hvor x =1, 2, 3,...Vis, at F (x) 1forx. Udregn sandsynligheden P (3 < X 9). b) Vis, at den moment-genererende funktion G(t) = e tx = e tx f(x) = x=1 e t 6 5 e t hvor 0 t 1.Benyt relationen X n = G (n) (0) til at bestemme middelværdien X og variansen σ 2 = X 2 X 2 for denne fordeling. Hvad er sandsynligheden for ved højst tre kast med fire terninger at slå fire seksere, når man efter hvert kast beholder de seksere man har slået og kun kaster videre med de resterende terninger? Opgave 20 (S 00) Den stokastiske variabel Y (n) er summen af n éncifrede tal n Y (n) = X i i=1 X i er statistisk uafhængige og hver enkelt variabel antager en af værdierne 0, 1, 2,, eller 9 med lige stor sandsynlighed.
9 Matematik F2 9 a) Angiv frekvensfunktionen f(x) fordetenkeltex i, og beregn den tilhørende middelværdi µ x og standardafvigelse σ x. Bestem sandsynligheden P (Y (n) n), når n =1, 2og3. b) Angiv middelværdi µ n og standardafvigelse σ n af summen Y (n) for vilkårlig heltallig værdi af n 1.Opstil den tilnærmede frekvensfunktion f n (y) fory (n) igrænsenn 1.Benyt denne tilnærmelse til at beregne 95% konfidensintervallet CONF{µ n k y(n) µ n + k} for n = Opgave 21 (V 00/01) a) 5 målinger af en kontinuert stokastisk variabel X giver følgende resultater: Bestem middelværdi x og standardafvigelse s af stikprøven.angiv 90% konfidensintervallet for µ = X bestemt ved denne stikprøve, når X antages at være normalfordelt. b) En stikprøve på 100 målinger af X giver resultatet vist i tabellen: x-interval Antal målinger x<7 7 7 <x< <x< <x< <x< <x< <x< <x 7 Resultatet af denne stikprøve er x = 10.0 ogs =2.0.Udfør en χ 2 -test af hvorvidt X er beskrevet ved en normalfordeling, hvis middelværdi og varians sættes til at være lig de tilsvarende størrelser bestemt af stikprøven.benyt et significance level α =5%. Opgave 22 (S 01) En stikprøvemåling af Y som funktion af x giver resultaterne vist i tabellen. Det antages, at der ikke er nogen usikkerhed på målingen af x og at Y for fastholdt x er normal med middelværdien µ(x) =κ 0 + κ 1 x medenvarians der er uafhængig af x. x y a) Benyt mindste kvadraters metode til at bestemme den bedste rette linie y = k 0 + k 1 x gennem målepunkterne. b) Find standardafvigelserne s(k 0 ) og s(k 1 ) på stikprøvebestemmelserne af k 0 og k 1.Bestem 95% konfidensintervallerne for κ 0, κ 1,samtµ.Den sidste størrelse er defineret som middelværdien af µ(x) for de x i -værdier der indgår i stikprøven, i µ(x i )/n. Forholdet c mellem den halve længde af konfidensintervallet og standardafvigelsen er den samme i alle tre tilfælde.kan stikprøven benyttes til at afvise hypotesen, at relationen mellem x og µ er µ =0.5 x (med et signifikans niveau α =5%)?
10 Opgave 23 (V 01/02) Matematik F2 10 I tilfældige fordelinger af tal 1 over flere størrelsesordener vil sandsynligheden for, at første ciffer i de enkelte tal er k, havebenford fordelingen med frekvensfunktionen f(k) =log(k +1) log k ; k =1, 2,...,9 og 0 ellers, hvor log betegner 10-tals logaritmefunktionen. k b k a) Bestem fordelingsfunktionen F (x) = k x f(k) for alle værdier af x.hvad er sandsynligheden for at første ciffer er et lige tal? Find fordelingens middelværdi µ. b) En stikprøve med n = 1000 tal giver resultatet vist i tabellen, hvor b k er antallet af tal, der har k som første ciffer.anvend en χ 2 test til at afgøre om stikprøven er i overensstemmelse med Benford fordelingen.benyt et significance level α = 5%. Opgave 24 (S 02) De to stokastiske variable X og Y har begge en Poisson fordeling med middelværdierne X = µ 1 og Y = µ 2.De to variable antages at være statistisk uafhængige. a) Find P (Z =3),hvorZ = X + Y, i det tilfælde at µ 1 =2ogµ 2 =3. Bestem middelværdien Z og variansen σ 2 = Z 2 Z 2 i det generelle tilfælde (udtrykt ved µ 1 og µ 2 ). Udregn en tilnærmet værdi for P (Z = 3) ved at tilnærme Z s diskrete fordelingsfrekvens i z = 3 med normalfordelingstætheden, med samme middelværdi og varians, integreret fra 2.5 til 3.5 (når µ 1 =2ogµ 2 =3). b) Besvar de samme spørgsmål som under punkt a) med den forskel at nu er Z = XY. Kommentér: Hvilken fordeling har Z = X + Y,ogharZ = XY den tilsvarende fordeling? Opgave 25 (V02/03) Der betragtes to forskellige, uafhængige stokastiske middelværdier (β = 1, 2) X β = 1 n β n β X i (β) ; samt differencen Y = X 1 X 2 (1) i=1 hvor X i (β) er normalfordelt med middelværdien µ β og variansen σ 2 (variansen er uafhængig af β).
11 Matematik F2 11 a) Hvilken fordeling har den stokastiske variabel Y? Bestem fordelingens middelværdi Y og varians σ 2 (y) udtrykt ved n 1,n 2,µ 1,µ 2, og σ. En stikprøvemåling giver følgende resultat: β =1: n 1 =5, x 1 =72.3, s 1 =5.1 β =2: n 2 =10, x 2 =66.1, s 2 =3.8 (2) hvor s β betegner stikprøvevurderingen af σ.bestem 95% konfidensintervallerne for µ 1 og µ 2 ud fra stikprøven (2). Den stokastiske variabel T i følgende udtryk har en Student s t-fordeling med n 1 + n 2 2 frihedsgrader (S β er den stokastiske størrelse svarende til s β ): T = Y Y σ(y) σ ; Sy 2 S = (n 1 1)S2 1 +(n 2 1)S2 2 y n 1 + n 2 2 (3) b) Find 95% konfidensintervallet for Y ud fra stikprøven (2).Kan stikprøven benyttes til at afvise en hypotese om at µ 1 = µ 2 med et signifikans niveau α = 5%? Hvilken fordeling har (n 1 + n 2 2)S 2 y/σ 2? Opgave 26 (S03) En stikprøvemåling af Y som funktion af x giver resultaterne vist i tabellen. Der er ingen usikkerhed på målingen af x.for fastholdt x antages Y at have en normalfordeling med middelværdien µ(x) =κ 0 + κ 1 x og en varians, σ 2 (y), som er uafhængig af x. x y a) Benyt mindste-kvadraters-metode til at bestemme den bedste rette linie y = k 0 + k 1 x gennem målepunkterne.bestem s(y), stikprøveværdien af standardafvigelsen på y. b) Antages i stedet µ(x) = κ 0 + κ 1 x + κ 2 x 2 fører mindstekvadraters-metode til resultatet y = (7 27x +20x 2 )/35. Bestem 95% konfidensintervallet for σ(y), når regressionskurven antages lineær i x, ognår hypotesen er at den er kvadratisk.kan det afvises, at regressionskurven er lineær (med et signifikans niveau α = 5%)?
12 Matematik F2 12 III. Tensoranalyse Opgave 27 (V 98/99) Parameterfremstillingen for en cylinder med et elliptisk tværsnit er: r =(x, y, z) =r(θ, z) =(2cosθ, sin θ, z), { 0 θ<2π <z< og θ (= u 1 )ogz (= u 2 ) benyttes som første og anden koordinat i et kurvelineært koordinatsystem på denne flade. a) Find de to kovariante basisvektorer e 1 og e 2 og opstil den metriske tensors kovariante komponenter g ij ien(2 2) matrix. b) Bestem den metriske tensors kontravariante komponenter g ij, de kontravariante basisvektorer e 1 og e 2, og de 8 komponenter af Christoffel symbolet af anden art Γ k ij. c) Beregn divergensen af r(θ, z): r = r i ;i = ri u i +Γi kir k hvor r i er de kontravariante komponenter af r. Opgave 28 (S 99) De parabolske cylinderkoordinater betegnes: α = u 1, β = u 2 og γ = u 3. Stedvektoren r = (x, y, z) = r(α, β, γ) i et kartesiansk koordinatsystem bestemmes ved x = 1 2 (β2 α 2 ) y = αβ z = γ a) Bestem de kovariante basisvektorer e i i det parabolske koordinatsystem. Opstil den metriske tensors kovariante, g ij, og kontravariante komponenter, g ij, som (3 3) matricer.find g, hvor g er determinanten af {g ij }-matricen. Vektoren v defineres som gradienten af funktionen f(r) =x 2 + y 2 + z 2,dvs. v = v i e i = f = f u i ei b) Bestem v s kovariante, v i, og kontravariante, v i,komponenter. Find v v = v i v i og v (divergensen af v).udregn de samme to størrelser i det kartesianske koordinatsystem.sammenlign og kommentér resultaterne af de to regninger.
13 Opgave 29 (V 99/00) Matematik F2 13 Et kurvelineært koordinatsystem i to dimensioner med første koordinaten u 1 = α og anden koordinaten u 2 = β er defineret ud fra: r =(x, y) =r(α, β) =(αβ, α + β) (α β) a) Find de to kovariante basisvektorer e 1 og e 2 og opstil den metriske tensors kovariante komponenter g ij ien(2 2) matrix.bestem de kontravariante basisvektorer e 1 og e 2 (f.eks. ved at benytte ortogonalitetsbetingelsen e i e j = δ j i ), og de 8 komponenter af Christoffel symbolet af anden art Γ k ij. b) Beregn divergensen: r = r i ;i = ri u i +Γi kir k, hvor r i er de kontravariante komponenter af r =(αβ, α + β). T er en anden ordens tensor defineret som det ydre produkt af vektorerne a = (1, 1) og r = (x, y), dvs. T = a r.opstil T s kontravariante komponenter i det kurvelineære koordinatsystem, T ij,somen(2 2) matrix. Opgave 30 (S 00) Et todimensionalt kurvelineært koordinatsystem på en kugle med fastholdt radius a er defineret ved r =(x, y, z) =r(θ, φ) =(a sin θ cos φ, a sin θ sin φ, a cos θ) (a>0) hvor første koordinaten u 1 = θ og anden koordinaten u 2 = φ. a) Find de to kovariante basisvektorer e 1 og e 2 og opstil den metriske tensors kovariante komponenter g ij ien(2 2) matrix.vis generelt, at de kontravariante basisvektorer i det todimensionale tilfælde er e 1 =[(e 2 e 2 )e 1 (e 1 e 2 )e 2 ]/g ; e 2 =[(e 1 e 1 )e 2 (e 1 e 2 )e 1 ]/g hvor g = g ij er determinanten af g ij -matricen.bestem de kontravariante basisvektorer i kugle-koordinatsystemet. { } b) Bestem de otte komponenter af Christoffel symbolet af 2.art Γ k k ij =. ij Beregn kurvatur invarianten R = Ri i = gij R ij, hvor komponenterne af den symmetriske Ricci tensor er R 22 = sin 2 θ, R 12 = R 21 =0og R 11 = { k u 1k} 1 { { }{ { }{ k m k m k u 11} k + k1 m1} 11 mk}
14 Opgave 31 (V 00/01) Matematik F2 14 Et todimensionalt kurvelineært koordinatsystem, med første koordinaten u 1 = θ og anden koordinaten u 2 = φ, er defineret ved r = x (a + b sin θ)cosφ { y = r(θ, φ) = (a + b sin θ)sinφ ; 0 θ<2π 0 φ<2π z b cos θ hvor a og b er fastholdte parametre, a>b>0.skitsér eller beskriv overfladen givet ved denne parameterfremstilling. a) Find de to kovariante basisvektorer e 1 og e 2 og opstil den metriske tensors kovariante komponenter g ij ien(2 2) matrix.benyt disse resultater til at bestemme den kontravariante metriske tensor g ij og de kontravariante basisvektorer e 1 og e 2. b) Opstil det differentielle volumenelement (arealelement) og beregn det totale areal af overfladen. { } Udregnes komponenterne af Christoffel symbolet af 2.art Γ k k ij = fås ij Γ 1 22 = a + b sin θ b cos θ ; Γ 2 12 =Γ2 21 = b cos θ a + b sin θ mens de resterende er 0.Tensoren T er defineret som det ydre produkt af r med sig selv, T = r r.bestem de otte kovariante komposanter T ij;k af den kovariante afledede af T. Opgave 32 (S 01) Det cylindriske og det sfæriske koordinatsystem bestemmes henholdsvis af koordinatfunktionerne (u 1,u 2,u 3 )=(ρ, φ, z) og(v 1,v 2,v 3 )=(r, θ, ψ), hvor: r = x1 x 2 = ρ cos φ r sin θ cos ψ 0 φ<2π ρ 0 ρ sin φ = r sin θ sin ψ ; 0 ψ<2π ; x 3 z r cos θ 0 θ π r 0 S er en tensor defineret som det ydre produkt S = r k, hvork = U betegner 3 3 matricen med elementerne [ U ] ij = ui v j. a) Opskriv de kovariante basisvektorer i det cylindriske u-koordinatsystem. Bestem matricen S, hvis elementer er de kovariante komponenter af S = r k i u-koordinatsystemet: [ S ] ij = S ij. Find udtrykkene for (ρ, φ, z) og matricen U som funktioner af (r, θ, ψ). Benyttes en matrix- i stedet for en tensornotation, kan transformationen af en 2.ordens tensor T s komponenter fra u- tilv-koordinatsystemet skrives: T = U t T U ; T = V T V t (1) hvor det øvre index t betegner den transponerede matrix. T og T er T s
15 Matematik F2 15 kovariante komponenter i henholdsvis u- ogv-koordinatsystemet. T og T er de tilsvarende kontravariante komponenter. b) Udregn S s kovariante komponenter i v-koordinatsystemet, S, som funktion af (r, θ, ψ).eftervis (1) og herunder at V = U 1. Opgave 33 (V 01/02) Et todimensionalt kurvelineært koordinatsystem på en omdrejningshyperboloide er defineret ved: r =(x, y, z) =r(θ, z) =(cosθ z sin θ, sin θ+z cos θ, z), { 0 θ<2π <z< hvor første koordinaten u 1 = θ og anden koordinaten u 2 = z. a) Find de to kovariante basisvektorer e 1 og e 2 og opstil den metriske tensors kovariante komponenter g ij ien(2 2) matrix.bestem g, somer determinanten af {g ij }-matricen, og de kontravariante komponenter g ij af den metriske tensor. Udregnes den symmetriske Ricci tensor fås, at R ij = 1 g 2 gij. b) Find kurvatur invarianten R = g ij R ij og bestem overfladens krumning K = R/2 igrænsen z.udnyt at divergensen af den metriske tensor g ij ;j =0tilatvise,atRij ;j = gij (1/g2 ) u j.benyt dette resultat til at eftervise relationen R ;k =2g ki R ij ;j Opgave 34 (S 02) Parameterfremstillingen for en cylinder med et elliptisk tværsnit er: r =(x, y, z) =r(θ, z) =(a cos θ, b sin θ, z), { 0 θ<2π <z< og θ (= u 1 )ogz (= u 2 ) benyttes som første og anden koordinat i et kurvelineært koordinatsystem på denne flade.den geodætiske kurve på cylinderoverfladen med startpunkt i (u 1,u 2 )=(θ 0,z 0 )er θ r g (θ) =(a cos θ, b sin θ, z(θ)) ; z(θ) =z 0 + ci(θ); I(θ) = f(θ )dθ (1) θ 0 Her er f(θ) = a 2 sin 2 θ + b 2 cos 2 θ,ogc fastlægges af randbetingelserne. a) Find de to kovariante basisvektorer e 1 og e 2 og opstil udtrykket for kvadratet på den differentielle buelængde, (ds) 2.Vis at (1) medfører, at kvadratet på buelængden bliver s 2 = s 2 (θ) =(1+c 2 )I 2 (θ).
16 Matematik F2 16 b) Verificér at udtrykket (1) for den geodætiske kurve opfylder ligningerne: d 2 u i { } i du j dt 2 + du k = ṡ du i jk dt dt s dt ; ṡ = ds dt ; s = d2 s dt { 2 1 I det foreliggende tilfælde er t θ, og = f 11} (θ)/f(θ) er det eneste af de 8 Christoffel symboler af 2.art der er 0.Bestem den geodætiske afstand mellem punkterne (θ 0,z 0 )=(0, 0) og (θ 1,z 1 )=(π, 1) når a =2 og b = 1, i hvilket tilfælde I(π) = Opgave 35 (V02/03) Et tredimensionalt kurvelineært koordinatsystem (u 1,u 2,u 3 )på overfladen af en kugle i fire dimensioner er defineret ved: r =(x, y, z, w) =A(cosφsin θ sin ψ, sin φ sin θ sin ψ, cos θ sin ψ, cos ψ) (1a) Kuglens radius A er en positiv konstant og koordinaterne er u 1 = φ, u 2 = θ, u 3 = ψ, hvor 0 φ<2π ; 0 θ<π ; 0 ψ<π (1b) a) Beskriv overfladen for en bestemt fastholdt værdi af 4.koordinaten (ψ = ψ 0 ).Bestem overfladens tre kovariante basisvektorer e 1, e 2 og e 3.Opstil den metriske tensors kovariante komponenter g ij ien(3 3) matrix. b) Opstil det differentielle volumenelement dv for overfladen og beregn dens totale volumen.den symmetriske Ricci tensor kan udregnes til at være R ij = (2/A 2 )g ij.find kurvatur invarianten R = g ij R ij.hvilken relation er der mellem en vilkårlig vektor v, som tilhører overfladen, og stedvektoren r i det firedimensionale kartesianske koordinatsystem? Opgave 36 (S03) Et todimensionalt kurvelineært koordinatsystem, med første koordinaten u 1 = t og anden koordinaten u 2 = θ, er defineret ved vindelfladen r = x y = r(t, θ) = t cos θ { t sin θ ; <t< <θ< z kθ hvor k er en konstant (k 0). a) Find de to kovariante basisvektorer e 1 og e 2 og opstil den metriske tensors kovariante komponenter g ij ien(2 2) matrix.benyt disse resultater til at bestemme den kontravariante metriske tensor g ij og de kontravariante basisvektorer e 1 og e 2. { } b) Bestem de otte komponenter af Christoffel symbolet af 2.art Γ k k ij =. ij Den symmetriske Ricci tensor har komponenterne k 2 R 11 = (t 2 + k 2 ) 2 ; R 12 = R 21 =0; R 22 = k2 t 2 + k 2 Udregn komponenten R 22;1 af den kovariante afledede R ij;k af den symmetriske Ricci tensor.
17 IV. Gruppeteori Matematik F2 17 Opgave 37 (S 98) Quaternion-gruppen har ordenen 8: Q = {q 1,q 2,..., q 8 } = {1, 1, i, i, j, j, k, k} og kompositionsreglen er multiplikation, hvor specielt i 2 = j 2 = k 2 = 1 samt ij = k ; ki = j ; jk = i ji = k ; ik = j ; kj = i a) Angiv de inverse elementer ved fx at opstille Q 1 = {q1 1,q 1 2,..., q 1 8 }. Hvad er ordenen af de forskellige elementer? Bestem Q s konjugationsklasser. b) Find alle Q s egentlige undergrupper.hvilke af disse undergrupper er invariante? Angiv antallet af ikke-ækvivalente irreducible repræsentationer af Q, og bestem disse repræsentationers grader.opstil Q s karaktertavle (anfør argumenterne for de vigtigste trin i opstillingen af tavlen). Opgave 38 (V 98/99) Gruppen G har ordenen 8 og kan repræsenteres ved følgende 8 matricer: ( ) ( ) ( ) ( ) i 0 i E = I = A = A i 0 2 = i 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 i 0 i B 1 = B i 0 2 = C i 0 1 = C = 0 1 a) Opstil Gs gruppetavle (Cayley-tavle). b) Angiv de forskellige elementers orden.bestem de 3 forskellige undergrupper af ordenen 4 og angiv hvilke af disse, der er isomorfe med enten den cykliske gruppe af 4.orden, C 4, eller med Kleins fire-gruppe, C 2 C 2. c) Vis, at A 1 og A 2 tilhører samme konjugationsklasse og at denne klasse kun indeholder disse to elementer. Eftervis, at de 8 matricer ovenfor er unitære og at repræsentationen er irreducibel.angiv de forskellige elementers karakterer i denne repræsentation.
18 Opgave 39 (S 99) Matematik F2 18 Gruppen G har ordenen 10: G = {e, a, a 2,a 3,a 4,b 1,b 2,b 3,b 4,b 5 }, og der gælder følgende kompositionsregler: a i a j = a i+j b i a j = b i+3j a i b j = b 2i+j b i b j = a 2i+2j dvs.de sædvanlige potensregneregler for a, hvora 5 = e (det neutrale element).desuden benyttes b i+5p = b i,hvorp er et helt tal. a) Bestem de forskellige elementers orden. Udregn de 4 konjugationer: a p a q a p b 1 p aq b p a p b q a p b 1 p b q b p Bestem gruppen G s konjugationsklasser. b) Angiv antallet af irreducible repræsentationer af G, og bestem disse repræsentationers grader.opstil gruppens karaktertavle (giv argumenterne for de vigtigste trin i opstillingen af tavlen). Opgave 40 (V 99/00) Gruppen G = {g 1,g 2,..., g 6 } af ordenen 6 har kompositionsreglen: g i g j = g k, hvor k = i j 7n =1, 2,..., 6ogn er et helt tal dvs. k = i j modulus 7. a) Opstil Gs gruppetavle (Cayley-tavle).Angiv det neutrale element e, de inverse elementer gi 1, og find ordenen af de forskellige elementer.giv et argument for at gruppen er isomorf med den cykliske gruppe af 6.orden. Bestem gruppens invariante (ikke-trivielle) undergrupper, og vis at G er isomorf med det direkte produkt af to af dens undergrupper. b) Bestem antallet af konjugationsklasser, antallet af irreducible repræsentationer, og repræsentationernes grader.opstil alle de forskellige irreducible repræsentationer af gruppen, og angiv hvilke af disse der er tro repræsentationer. Opgave 41 (S 00) Diedergruppen D 3 er gruppen af transformationer, der fører en ligesidet trekant over i sig selv, og den er isomorf med den symmetriske gruppe S 3,i.e. D 3 = {e, a, b, c, d, f} {(1), (123), (132), (23), (13), (12)}, hvor de tilsvarende billedelementer i S 3 er angivet ved cykler.der indføres to punkter, nummereret 4 og 5, symmetrisk placeret over og under trekantens midtpunkt.den tilsvar
19 Matematik F2 19 ende transformationsgruppe G = D 3h indeholder udover elementerne i D 3 også elementetm, som angiver en spejling i trekantens plan, samt alle sammensætningerne ma = A, mb = B,..., mf = F.Indføres betegnelserne D 2 = {e, m} S 2 = {(1), (45)} såerg isomorf med det direkte produkt af D 2 og D 3, eller G = D 2 D 3 S 2 S 3. a) Bestem ordenen af hver af de 12 elementer i G (udnyt eventuelt isomorfien mellem G og S 2 S 3 ).Bestem det inverse element til hvert enkelt element i G.Vis at m kommuterer med et vilkårligt element g G.Bestem G s konjugationsklasser. b) Bestem antallet af ikke-ækvivalente irreducible repræsentationer af G og find repræsentationernes grader.opstil karaktertavlen for alle de irreducible repræsentationer af G som har dimensionen 1. Vis at D 3 = {e, a, b}{e, c}.betyder denne relation, at D 3 er isomorf med det direkte produkt af disse to undergrupper? Opgave 42 (V 00/01) G er defineret som følgende mængde af 2 2 matricer: G = {[a, b] a R a 0,b R} ; [a, b] ( ) a b 0 a hvor R betegner mængden af alle reelle tal. a) Vis at G med matrixmultiplikation som kompositionsregel udgør en gruppe.er gruppen Abelsk? A og B betegner følgende delmængder: A = {[a, 0] a R a 0} ; B = {[1,b] b R} b) Vis at A og B er undergrupper i G, og at de begge er invariante (normale). Afgør om gruppen G er isomorf med det direkte produkt af A og B, G = A B.Beskriv de to kvotientgrupper G A og G B. Opgave 43 (S 01) Der er to forskellige grupper af 9.orden: C 9 og G 9 C 3 C 3,hvorC n betegner den cykliske gruppe af nte orden.to cykliske undergrupper af 3.orden i G 9 betegnes G a = {e, a, a 2 } og G b = {e, b, b 2 },hvore er det neutrale element. a) Angiv elementernes orden i C 9 = {c, c 2,..., c 8, c 9 = e}. Giv et argument for at G 9 måværeabelskogdermedab = ba.opskriv gruppeelementerne i G 9 = G a G b udtrykt ved hjælp af a, b (og e).angiv ordenen af de forskellige elementer i G 9. b) Bestem alle de egentlige undergrupper i G 9 og angiv om de er invariante. Opstil alle ikke-ækvivalente irreducible repræsentationer af gruppen G 9.
20 Opgave 44 (V 01/02) Matematik F2 20 De to grupper C 3 (x) ogc 4 (y) er cykliske af henholdsvis 3.og 4.orden, dvs. C 3 (x) ={e, x, x 2 } (x 3 = e) ; C 4 (y) ={e, y, y 2,y 3 } (y 4 = e) Gruppen G 12 = C 3 (x)c 4 (y) ={e, x, x 2,y,xy,x 2 y, y 2,xy 2,x 2 y 2,y 3,xy 3,x 2 y 3 } konstrueres ved at supplere den almindelige multiplikation i de to undergrupper med følgende regneregel: yx = x 1 y = x 2 y a) Vis at yx 2 = xy og at elementet y 2 kommuterer med alle andre elementer i G 12.Angiv ordenen af de forskellige elementer i G 12.Bestem gruppens konjugationsklasser. Følgende to matricer indføres: X = ( i 0 ; Y = 0 i ) (i 2 = 1) b) Vis at afbildningen f(x p y q )=X p Y q kan benyttes som en repræsentation af G 12.Er repræsentationen tro og er den unitær? Hvad er karakteren af de forskellige elementer i denne repræsentation? Opgave 45 (S 02) To af elementerne i gruppen G, a og b, er repræsenteret ved følgende to matricer: f (a) =A = ( ) i 0 0 i ; f (b) =B = ( ) 1 0 ( ) 0 1 i = 1 og antallet af elementer i G er lig antallet af forskellige matricer, der kan dannes ud fra A og B ved matrixmultiplikation. a) Bestem G s orden og opstil alle elementer i G.Angiv orden og repræsentationsmatrix for ethvert af elementerne i G.Er gruppen Abelsk? Find alle invariante undergrupper i G. b) Gruppen G er isomorf med det direkte produkt af to af dens undergrupper.bestem én af mulighederne for dette produkt. Er repræsentationen givet ved afbildningen f irreducibel? Bestem alle éndimensionale repræsentationer af gruppen.hvilken sammenhæng er der mellem f repræsentationen og de éndimensionale repræsentationer?
21 Matematik F2 21 Opgave 46 (V02/03) To undergrupper i gruppen G er G a C 2 og G b C 6 som begge er cykliske af henholdsvis 2.og 6.orden. Det neutrale element i G betegnes e og frembringerelementet i G a og i G b betegnes respektivt a og b.gruppen G G a G b er isomorf med det direkte produkt af G a og G b. a) Hvad er gruppen G s orden? Er G Abelsk (begrund svaret)? Opstil alle elementerne i G udtrykt ved a, b og e.bestem ordenen af de forskellige elementer.opstil alle G s egentlige undergrupper, som har et index der er større end 3. b) Opstil faktorgrupperne G H i for alle G s egentlige undergrupper H i,som er invariante og hvis index er større end 3.Karakterisér disse faktorgrupper ved deres isomorfi med kendte grupper.i tilfældet af isomorfi med en cyklisk gruppe C n angives n og et frembringerelement. Hvad er det totale antal af forskellige egentlige undergrupper i G? Opgave i) ii) iii) Figur i) viser et kvadrat.figur ii) og den stiplede figur i iii) er begge romber. En symmetrioperation (afstandsbevarende transformation, der fører en figur over i sig selv) afbildes på den permutation af hjørnenumrene, som operationen afstedkommer. G, P,ogQ er undergrupper i S 4 (den symmetriske gruppe af 4.grad), og deres elementer er samtlige afbildede symmetrielementer af henholdsvis figur i), ii), og iii). a) Bestem cyklus-elementerne i hver af de tre grupper G, P,ogQ.Vis, at G er ikke-abelsk.har P og Q samme egenskab? Hvilken relation er der mellem G og P, og gælder der samme relation mellem G og Q? Vis, at P Q. b) Bestem mindst to af de otte forskellige elementer, t S 4, for hvilke det gælder at P = t 1 Qt.Opstil en homomorfisk afbildning f af G ind i P, således at ordenen af ker f bliver mindst mulig. 4
Eksamensopgaver i Matematik F2
Eksamensopgaver i Matematik F2 I. Numeriske metoder og Laplace transformation Opgave 1 (V 97/98) Funktionen f(x) er beskrevet ved følgende tabel [f j = f(x j )]: j x j f j 0 0 1.00000 1 0.1 1.11110 2 0.2
Læs mereOpgaveløsninger til Eksamensopgaver i Matematik F2 1. Den fjerde afledede regnes for konstant i intervallet [f (4) (t) =M 4 = 24] og dermed er:
Opgaveløsninger til Eksamensopgaver i Matematik F 1 Opgave 1 a) Simpsons algoritme med m =6ogh =.1: som medfører at s = f + f 6 =3.356 s 1 = f 1 + f 3 + f 5 =4.4737 s = f + f 4 =.899 J = h 3 (s +4s 1 +s
Læs mereOpgaveløsninger til Eksamensopgaver i Matematik F2 1. Den fjerde afledede regnes for konstant i intervallet [f (4) (t) =M 4 = 24] og dermed er:
Opgaveløsninger til Eksamensopgaver i Matematik F Opgave a) Simpsons algoritme med m =6ogh =.: som medfører at s = f + f 6 =3.356 s = f + f 3 + f 5 =4.4737 s = f + f 4 =.899 J = h 3 (s +4s +s )=.89996
Læs mereOversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger
Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning
Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereKortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017
Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 6. december 2004 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 00 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord nr Der
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012
Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mere02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset
02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mere[PJ] QuickGuide.dfw QuickGuide
[PJ] QuickGuide.dfw 07-04-003 QuickGuide Derives resultater Husk at Derive angiver decimalbrøker uden at forhøje sidste ciffer. Så når du udregner fx /3 får du 0.66666 og ikke 0.66667. Du kan altså ikke
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere