Fourier transformationen

Transkript

1 MODUL 6 Fourier transformationen Forfattere: Øistein WIND-WILLASSEN & Michael ELMEGÅRD 4. juni 4

2

3 Indhold Fourier transformationen 5. Definition og oprindelse Funktioner der kan transformeres Tabel over Fourier transformationer Egenskaber af F Linearitet Modulering af frekvens Translation i tid Skalering af tid Dualitet og specielle funktioner Dualitet Delta funktionen Cosinus og sinus Differentialligninger

4 4 INDHOLD

5 Kapitel Fourier transformationen Fourier transformeringen er et matematisk værktøj der anvendes til at studere frekvensindholdet i funktioner. Som eksempel kan man Fourier transformere digitaliseret musik og få information om hvilke frekvenser (eller toner) der indgår. Vi er interesserede i at analysere funktioner der ikke nødvendigvis er periodiske i tid, men blot definerede for de reelle tal, R. Vi starter med at definere Fourier transformationen i afsnit.. I afsnit.3 ser vi på nogle vigtige egenskaber af transformationen, og viser nogle regneeksempler. Vi har i afsnit. inkluderet en liste over kendte funktioner samt deres Fourier transformation.. Definition og oprindelse Fourier transformationen F er opkaldt efter den franske matematiker og fysiker Joseph Fourier (767 83), og bliver som nævnt hyppigt anvendt til at transformere signaler fra det tidslige eller rumlige domæne til frekvens domænet. Hvis funktionerne der betragtes er periodiske med periode T, kan Fourier rækker anvendes. Periodiske funktioner kan således repræsenteres ved en linearkombination af cosinus og sinus funktioner med forskellige frekvenser og amplituder. Vi vil i det følgende betragte funktioner, f (t), der ikke længere er periodiske, og til det formål anvendes Fourier transformationen; F { f (t)} F(ω) f (t)e iωt dt. (.) Eksempel.. Vi vil finde Fourier transformationen af Boks-funktionen, der har følgende forskrift,, < t < f (t) /, t ± (.), ellers. 5

6 6 KAPITEL. FOURIER TRANSFORMATIONEN Vi udregner dens Fourier transformation: F { f (t)} F(ω) f (t)e iωt dt e iωt dt [ e iωt ] iω iω ( i)sin(ω) sin(ω) ω. Denne funktion kan også udtrykkes ved sinc funktionen, der er defineret som sin(x) x, x sinc(x), x. (.3) Vi har altså, at F(ω) sinc(ω). I figur. og. er boks-funktionen samt dens Fourier tranformation vist. Signal styrke Fourier transformation Tid [s] Frekvens [/s] Figur.: Boks-funktionen beskrevet i ligning (..) Figur.: Fourier transformationen af ligning (.). Vi kan desuden skrive den inverse Fourier transformation, F, som F {F(ω)} f (t) F(ω)e iωt dω. (.4) π Denne størrelse kaldes også integral-repræsentationen af f (t). Bemærk, at t ikke nødvendigvis er et udtryk for tid, men også kunne være udtryk for en rumlig position.

7 .. DEFINITION OG OPRINDELSE 7 Eksempel.. Vi fortsætter det forrige eksempel og vil finde den inverse transformation af F(ω) sin(ω) ω. Uden tøven anvender vi definitionen, F {F(ω)} sin(ω) π ω eiωt dω. (.5) Umiddelbart ser dette udtryk lidt vanskeligt ud, men vi kan udnytte Eulers formel, hvorved følgende opnås, F {F(ω)} π π e iωt cos(ωt) + isin(ωt), sin(ω) [cos(ωt) + isin(ωt)]dω (.6) ω ω sin(ω)cos(ωt)dω + i sin(ω)sin(ωt)dω. (.7) π ω For at komme videre skal vi anvende, at cos(t) er en lige funktion, og at sin(t) er en ulige funktion. For en lige funktion, f, gælder følgende egenskaber, A A og for en ulige funktion, g, tilsvarende A f (x) f ( x) (.8) f (x)dx A A f (x)dx. (.9) g(x) g( x) (.) g(x)dx. (.) I ligning (.7) ser vi, at /ω er en ulige funktion, at sin(ω)cos(ωt) er en ulige funktion, samt at sin(ω) sin(ωt) er en lige funktion. Produktet af en ulige funktion med en ulige funktion giver en lige funktion, og produktet af en ulige funktion med en lige funktion giver en ulige funktion. De to integraler bliver derfor F {F(ω)} π π ω sin(ω)cos(ωt)dω + i sin(ω)sin(ωt)dω. (.) π ω sin(ω)cos(ωt)dω +. (.3) ω

8 8 KAPITEL. FOURIER TRANSFORMATIONEN Ved hjælp af den trigonometriske identitet, bliver integralet nu F {F(ω)} π sin(α)cos(β) sin(α + β) + sin(α β), ω sin(ω)cos(ωt)dω [ sin(ω + ωt) + π ω ] sin(ω ωt) dω. ω (.4) Dette integrale kan vi ikke umiddelbart evaluere, men ved slå op i en tabel over kendte integraler kan man finde, at sin(ax) dx x π/ a > π/ a < a I sidste ende får vi følgende udtryk for f (t),, < t < f (t) /, t ±, ellers (.5) hvilket er identisk med funktionen vi startede med... Funktioner der kan transformeres Umiddelbart ser det ud til, at de funktioner der kan Fourier transformeres er dem der kan integreres fra til. Hvis ikke dette er tilfældet giver integralet i definitionen, ligning (.) ikke mening, da dets værdi vil gå imod uendelig. For anvendelige funktioner vil man typisk observere, at de går imod i grænserne, altså f (t) når t ±. Selvom denne betingelse måske virker meget begrænsende, har de fleste signaler/funktioner i praksis både en begyndelse og en start. Man kan umiddelbart Fourier transformere signaler/funktioner der er begrænsede, i den forstand at de har en begyndelse og en afslutning. Der er dog en undtagelse til enhver regel, og der findes derfor funktioner der ikke har som grænseværdi for t ±, men som vi stadig ønsker at Fourier transformere; i afsnit.4 vil vi se på hvordan vi behandler de vigtigste og mest anvendte af sådanne funktioner. Det er desuden et krav, at de anvendte funktioner er stykkevis kontinuerte; se figur.3. Funktionerne må altså kun være diskontinuerte i et endeligt antal punkter. Dette betyder også, at en funktion kan deles op i mindre stykker i mellem diskontinuiteterne. Mellem diskontinuiteterne er det altså et krav, at funktionen er kontinuert. Et eksempel på et signal hvor man gerne vil

9 .. DEFINITION OG OPRINDELSE 9 f(t) t Figur.3: Et eksempel på en funktion med diskontinuiteter i enkelte punkter. Cirklerne indikerer funktionsværdien i et givent punkt: de fyldte cirkler betyder at værdien er med, hvorimod en åben cirkel betyder at værdien ikke er med. undersøge frekvensindholdet er vist til venstre på figur.4. Signalet i dette tilfælde er cos(3t) + cos(t) + cos(5t) t π f (t), ellers og den tilhørende Fourier transformation er vist til højre i figur.4; bemærk her, at transformationen er symmetrisk omkring ω /s, og at der tydeligt ses tre peaks ved de frekvenser der er anvendt i input signalet. Læg desuden mærke til, at den anvendte funktion, f (t), var begrænset, idet den kun var forskellig fra nul i intervallet t π. Dette sikrede os, at dens Fourier transformation kunne beregnes. Eksempel.3. Vi vil finde Fourier transformationen af funktionen f (t) u(t)e t, hvor t u(t) t <, er Heavisides stepfunktion. Problemet løses igen ved at bruge definitionen på Fourier trans-

10 KAPITEL. FOURIER TRANSFORMATIONEN Signal styrke 3 Fouriertransformation Tid [s] Frekvens [/s] Figur.4: Venstre: Et eksempel på et input signal som består af summen af tre cosinus funktioner med frekvenser på 3, og 5 Hz. Højre: Fourier transformationen af signalet til venstre; løsningen er symmetrisk omkring, og der ses tre tydelige peaks omkring 3, og 5 Hz. formationen, F { f (t)} F(ω) f (t)e iωt dt e t e iωt dt e (+iω)t dt [ ] e (+iω)t ( + iω) + iω. Sidste lighedstegn opnåede vi ved at betragte grænsen t, for hvilken e (+iω)t. Det er god regnetræning at udregne integralet hver gang man skal lave en Fourier transformation, men det er også tidskrævende. Det vil derfor tit være en god ide at benytte en tabel over funktioner samt deres transformerede, og vi har derfor inkluderet en række kendte funktioner i tabel. samt deres Fourier transformerede (inkluderet til sidst i dette dokument). Opgave.. Find Fourier transformationen af de følgende funktioner /4 t 3 a) f (t) t > 3

11 .. DEFINITION OG OPRINDELSE t/ t b) f (t) +t/ t ellers e αt t c) f (t), hvor α > e αt t < e t t d) f (t) t < e) f (t) u(t)e t/τ, hvor τ er en konstant og u(t) er Heavisides stepfunktion.

12 KAPITEL. FOURIER TRANSFORMATIONEN. Tabel over Fourier transformationer Fourier transformationer f (t) F(ω) f (t) Au(t)e αt, α > F(ω) α+iω A α t α f (t) F(ω) sin(ωα) ω ellers f (t) A, hvor A er en konstant f (t) u(t)a F(ω) πaδ(ω) F(ω) A ( πδ(ω) i ω ) f (t) δ(t) F(ω) f (t) δ(t a) f (t) cos(at) F(ω) e iωa F(ω) π [δ(ω + a) + δ(ω a)] f (t) sin(at) f (t) e α t, α > F(ω) α t > f (t) sgn(t) F(ω) iω t < f (t) t F(ω) π i [δ(ω + a) δ(ω a)] α +ω F(ω) iπsgn(ω) f (t) e at F(ω) πa e ω /(4a) Tabel.: Fourier transformationen af kendte funktioner, hentet fra A. Croft et al.: Engineering mathematics: A Foundation for Electronic, Electrical, Communications and Systems Engineers..3 Egenskaber af F Man kommer langt med definitionen af Fourier transformationen samt listen over funktioner i tabel.. Dog kan man vise en række meget anvendelige egenskaber, og i det følgende vil vi fremhæve de vigtigste. Der eksisterer flere end dem vi viser, og hvis man er interesseret må man konsultere en mere uddybende tekst om Fourier transformationen.

13 .3. EGENSKABER AF F 3.3. Linearitet Fourier transformationen opfylder F { f (t) + g(t)} F { f (t)} + F {g(t)} (.6) F {c f (t)} cf { f (t)}. (.7) Man siger, at transformationen er en lineær operation, netop på grund af disse to egenskaber. Bevis. Vi undersøger det første krav, F { f (t) + g(t)}: F { f (t) + g(t)} Det andet krav er, at F {c f (t)} cf { f (t)}: ( f (t) + g(t))e iωt dt f (t)e iωt dt + F { f (t)} + F {g(t)}. F {c f (t)} c c f (t)e iωt dt cf { f (t)}, f (t)e iωt dt g(t)e iωt dt hvor sidste lighed gælder fordi c ikke er afhængig af t. Vi har nu vist at Fourier transformationen er en lineær operation. Opgave.. Vis, at den inverse transformation, ligning (.4), også er en lineær operation. Eksempel.4. Betragt funktionen f (t) u(t)e 7t + u(t)e 3t ; vi vil finde F { f (t)}. Ud fra lineariteten af F samt tabel., får vi, F { f (t)} F { u(t)e 7t + u(t)e 3t} F { u(t)e 7t} + F { u(t)e 3t} 7 + iω iω + iω ω + iω + ω ( ω) + ω + i 58ω ω 3 ( ω) + ω

14 4 KAPITEL. FOURIER TRANSFORMATIONEN.3. Modulering af frekvens Denne egenskab kaldes på engelsk First shift theorem og på dansk siger man, at frekvensen moduleres, F { e iω t f (t) } F(ω ω ). (.8) Bevis. Denne egenskab vises også ved at betragte definitionen på Fourier transformationen, F { e iω t f (t) } F(ω ω ). e iω t f (t)e iωt dt f (t)e i(ω ω )t dt Eksempel.5. Ligning (.8) kan fx. bruges til at finde ud af hvilken funktion en bestemt transformation tilhører. Lad os først beregne F af funktionen e 3t t f (t) e 3t t <. Vi finder Fourier transformationen på den sædvanlige måde, F { f (t)} F(ω) Antag nu, at vi har givet en transformation, [ e 3t e iωt dt + e (3 iω)t dt + [ e (3 iω)t 3 iω F {g(t)} G(ω) ] + 3 iω iω ω. 6 + ω + ω. e 3t e iωt dt e (3+iω)t dt e (3+iω)t (3 + iω) Vi vil gerne finde funktionen g(t) og undersøger derfor om der skulle være en sammenhæng ]

15 .3. EGENSKABER AF F 5 mellem F(ω) og G(ω). Vi ser nu, at G(ω) og vi kan derfor benytte os af ligning (.8); 6 (ω + ) F(ω + ), + 9 F(ω + ) e it f (t), og derfor er e ( 3 i)t t g(t) e (3 i)t t <. Vi tager endnu et eksempel. Eksempel.6. Lad os betragte en lidt simplere udgave af funktionen der var anvendt til at producere figur.4, nemlig cos(3t) π t π f (t) (.9) ellers Denne funktion er plottet til venstre i figur.5. Vi ønsker at finde dens Fourier transformerede, og anvender til dette ligning.8 samt følgende identitet, cos(ω t) eiωt + e iω t. (.) Bemærk, at funktionen f (t) kan skrives som f (t) cos(3t)g(t), hvor g(t) er boks-funktionen nævnt i eksempel.. I ligning (.) ganger vi med netop g(t) samt e iωt, og tager derefter integralet, cos(3t) ei3t + e i3t g(t)cos(3t) [ g(t)e i3t + g(t)e i3t] e iωt g(t)cos(3t) [g(t)e i(ω 3)t + g(t)e i(ω+3)t] e iωt g(t)cos(3t)dt [ ] g(t)e i(ω 3)t dt + g(t)e i(ω+3)t dt.

16 6 KAPITEL. FOURIER TRANSFORMATIONEN Vi ser nu, at venstre-siden er lig med F {g(t)cos(3t)} F { f (t)}. Hvis vi samtidig anvender ligning (.8) får vi, F {g(t)cos(3t)} [G(ω 3) + G(ω + 3)], hvor G(ω) sin(ωπ) ω blev fundet i eksempel.. Resultatet kan ses til højre i figur.5. 8 Signal styrke Tid [s] Fourier transformation Frekvens [/s] Figur.5: Venstre: Funktionen f (t). Højre: F { f (t)}..3.3 Translation i tid Hvis vi laver en translation eller et skift i tid, t a, får vi dét der på engelsk kaldes Second shift theorem, Bevis. Vi anvender definitionen af Fourier transformationen, F { f (t a)} e iωa F(ω). (.) F { f (t a)} og benytter nu substitutionen s t a, F { f (t a)} e iωa f (t a)e iωt dt, f (s)e iω(s+a) ds e iωa F(ω). f (s)e iωs ds

17 .3. EGENSKABER AF F 7 Ved et skift i tid får man altså en løsning der er proportional med løsningen til det originale problem men med et skift i fasen. En forsinkelse i tiden ændrer altså ikke indholdet i frekvenssignalet, hvilket også giver intuitiv mening, da det oprindelige signal blot er forskudt i tid, men ikke i amplitude. Eksempel.7. En anvendelse af tidsskiftet kan findes ved fx. at betragte funktionen t 3 g(t) ellers. For at finde F {g(t)} ser vi hurtigt, at g(t) f (t ), hvor t f (t) ellers Vi kender Fourier transformationen af f (t) fra tabel., og derfor er.3.4 Skalering af tid F {g(t)} F { f (t )} e iω iω sin(ω) F(ω) e ω I det tilfælde hvor tiden er skaleret med en faktor b, opnås følgende resultat, F { f (bt)} b F ( ω b ). (.) Bevis. Udledningen af denne egenskab fås ved at tage Fourier transformationen af f (bt) og anvende substitutionen s bt i de efterfølgende integraler. Dette betyder samtidig, at ds bdt. I det følgende bruger vi også den numeriske værdi af b, da grænserne skiftes i det tilfælde at b er negativ. Her vil man, ved at skifte grænserne tilbage til det oprindelige, opnå en faktor b, hvilket er ækvivalent med at skrive b : F { f (bt)} b b f (bt)e iωt dt. b F ( ω b f (s)e iωs/b ds. f (s)e i ω b s ds. ).

18 8 KAPITEL. FOURIER TRANSFORMATIONEN Et eksempel på betydningen af en skalering af tiden, får man ved at betragte et lydklip der afspilles ved en anderledes hastighed end normalt. Funktionen f (t) repræsenterer i det følgende lydklippet afspillet ved normal hastighed. Funktionen g(t) f (bt), hvor b > er en konstant, repræsenterer således lydklippet afspillet ved en anden hastighed. Hvis < b < afspilles lyden langsommere end normalt, og hvis b > afspilles lyden hurtigere. f(t) g(t)f(t/3) h(t)f(3t) 6 5 F(ω) G(ω) 3F(3ω) H(ω)/3F(/3ω) Signalstyrke Fourier transformering t 5 5 ω Figur.6: Venstre: De tre funktioner f (t) e t, g(t) f (t/3) og h(t) f (3t). Højre: De tilhørende Fourier transformationer. Den venstre del af figur.6 viser et eksempel på funktionen f (t) e (bt) plottet for b, b /3 og b 3..4 Dualitet og specielle funktioner I tabel. præsenterede vi en liste over Fourier transformationen af nogle kendte funktioner. Vi diskuterede også i indledningen hvilke krav der skulle stilles til funktionerne for at det gav mening at tage den transformerede. Et af kravene var bl.a. at f (t) for t ±. Fourier transformationen giver os information om frekvens indholdet af et signal, så hvis vi fx. valgte at betragte funktionen med en enkelt frekvens, f (t) cos(t) hvor t (, ), ville vi forvente, at det transformerede signal bestod udelukkende af den ene frekvens. Fourier transformationen af f (t) cos(t), F { f (t)} cos(t)e ωt dt, kan dog ikke umiddelbart evalueres da cos oscillerer i tid, hvilket resulterer i, at integralet ikke kan beregnes. Det viser sig, at vi har brug for at indføre en ny funktion kaldet delta funktionen for at kunne beregne Fourier transformationen af cosinus og sinus. Først introducerer vi dog begrebet om dualitet, og derefter kigger vi på delta funktionen og dens egenskaber.

19 .4. DUALITET OG SPECIELLE FUNKTIONER 9.4. Dualitet Integral repræsentationen af en funktion f (t) blev defineret i ligning (.4), F {F(ω)} f (t) π Variablen ω kan uden problemer omdøbes til fx. z, hvilket giver F {F(z)} f (t) π Samtidig kan vi omdøbe variablen t til ω, for at opnå hvilket jo er π f ( ω) π F(z)e iωz dz π F(ω)e iωt dω. F(z)e izt dz. gange Fourier transformationen af F(t), altså F(t)e iωt dt,, f ( ω) F {F(t)}. (.3) π Dette resultat kaldes dualitetsprincippet, og kan bruges til at finde Fourier transformationer af funktioner der ellers ville være svære at beregne. Eksempel.8. Vi betragter igen funktionen f (t) u(t)e t, der har Fourier transformationen F(ω) +iω. Hvis vi nu ønsker at finde F af F(t) +it, kan vi benytte dualitetsprincippet; F {F(t)} π f ( ω) πu( ω)e ω..4. Delta funktionen For at kunne analysere Fourier transformationen af funktioner som fx. cosinus og sinus, skal vi også introducere delta funktionen (også kaldet Dirac s delta funktion). Denne funktion støder man på mange steder indenfor matematik og fysik, så det er en god ide at bruge noget tid på at forstå den. Det specielle ved delta funktionen er, at den kun er forskellig fra nul i et enkelt punkt, a. I dette punkt er dens værdi uendelig stor. Dette kan virke en smule mærkeligt, og delta funktionen er som sådan heller ikke en helt normal funktion. Forskriften for den er, t a δ(t a) (.4), ellers og den opfylder samtidig Desuden har den følgende meget anvendelige egenskab δ(t a)dt. (.5)

20 KAPITEL. FOURIER TRANSFORMATIONEN δ(t a) f (t)dt f (a), (.6) for alle pæne funktioner f, fx. de kontinuerte og differentiable funktioner. Lad os finde Fourier transformationen af delta funktionen, F {δ(t a)} δ(t a)e iωt dt, hvilket sammen med egenskaben i ligning (.6) giver F {δ(t a)} e iωa. (.7) Eksempel.9. Lad os finde Fourier transformationen af g(t) e ita. Vi ved, at for f (t) δ(t a) bliver F(ω) e iωa, ud fra ligning (.7). Dualitetsprincippet giver os nu, Altså er f ( ω) δ( ω a) π F { e ita}. F {g(t)} F { e ita} πδ( ω a) πδ( (ω + a)) πδ(ω + a), (.8) hvor det sidste lighedstegn gælder fordi δ(t) er en lige funktion..4.3 Cosinus og sinus Funktionerne cosinus og sinus er så hyppigt anvendte, at vi her viser udledningen af deres Fourier transformation. Disse funktioner er periodiske med en enkelt specifik frekvens, så vi forventer som sagt, at frekvensindholdet afspejler dette. Cosinus kan udtrykkes via Eulers formel som cos(at) eiat + e iat. (.9) Vi fandt i ligning (.8), at F { e ita} πδ(ω + a), og samtidig (ved at udskifte a med a), F { e ita} πδ(ω a). Kombineres disse to resultater med Eulers formel samt lineariteten af Fourier transformationen, får vi F { e ita} + F { e ita} πδ(ω + a) + πδ(ω a) F { e ita + e ita} πδ(ω + a) + πδ(ω a) { e ita + e ita } F {cos(at)} F πδ(ω + a) + πδ(ω a). Som forventet ser vi, at transformationen udelukkende består af en enkelt frekvens komponent, lokaliseret ved ±a. I figur.7 har vi til venstre vist input signalet, f (t) cos(t), og den tilhørende fourier transformation er vist til højre.

21 .5. DIFFERENTIALLIGNINGER Signal styrke Tid [/s] Fourier transformation Frekvens [/s] Figur.7: Venstre: Funktionen f (t). Højre: F { f (t)}. Opgave.3. Find F {sin(at)}. Det er en god ide at tage udgangspunkt i ovenstående udledning af F {cos(at)}.5 Differentialligninger For at illustrere hvorledes vi kan løse differentialligninger med Fourier transformationen vælger vi at betragte et konkret eksempel. Vi skal kigge på en partiel differentialligning, og det kan måske virke som et svært eksempel. Der er dog ikke noget i eksemplet der ikke er gennemgået i denne note; man kan tænke på funktionen u i det følgende som en funktion der er afhængig af de to variable x og t, og når vi skriver u(x,t) menes der den anden afledte af u med hensyn til t variablen t. Princippet i det følgende eksempel er, at Fourier transformere en partiel differentialligning i flere variable til en ordinær differentialligning i en af variablene. Herfra kan man så få information om løsninger og opførsel. Den ligning vi vil kigge på er bølgeligningen, der beskriver en bølges afhængighed af tid t og sted x. I dens simpleste form er den u(x,t) t c u(x,t) x, (.3) hvor u(x,t) er bølgens amplitude og c er dens udbredelseshastighed. Vi antager, at < x < og t >. For at kunne løse problemet skal vi også finde randbetingelserne. Vi beskriver amplituden til tiden t ved funktionen g(x), og antager desuden, at hastigheden af amplituden til tiden t er nul; u(x, ) g(x) (.3) u(x,) t. (.3)

22 KAPITEL. FOURIER TRANSFORMATIONEN Vi vil lave en transformation af ligning (.3) med hensyn til stedet, x (og ikke tiden t). Dette betyder også, at hvor vi tidligere har transformeret fra det tidslige domæne med t over til frekvensdomænet med ω, skal vi nu transformere fra domænet med x over til domænet med λ. Dimensionen af ω var s, og i dette eksempel er dimensionen af λ således m. Vi får nu { } { u(x,t) c } u(x,t) F t F x. (.33) I det følgende lader vi F {u(x,t)} U(λ,t). Ved at indsætte i definitionen af Fourier transformationen får vi u(x,t) t e iωx dx c u(x,t) x e iωx dx. (.34) For at lette arbejdet vil vi nu benytte os af følgende egenskab til at udregne højresiden af ligning (.34), { d n } F dx n f (x) (iλ) n F(λ). (.35) Højresiden bliver nu { } u(x,t) F x c λ U(λ,t). (.36) Til at udregne venstresiden af ligning (.34) skal vi indse, at den variabel der integreres med hensyn til er x, mens differentiationen er med hensyn til t. Dette betyder, at vi kan flytte differentiationen ud foran integralet (dette kaldes også Leibniz regel), { } u(x,t) F t t F {u(x,t)} tu(λ,t). (.37) Nu samler vi ligning (.36) og (.37), t U(λ,t) c ω U(λ,t), (.38) hvilket er en ordinær differentialligning i tid, hvis løsning er givet ved U(λ,t) A(λ)cos(cλt) + B(ω)sin(cλt). (.39) Koefficienterne A og B finder vi ved at anvende vores randbetingelser, der dog også skal transformeres til frekvensdomænet: U(λ, ) G(λ) (.4) U(λ,) t, (.4) hvor vi har antaget at funktionen g(x) har en Fourier transformation der eksisterer, så G(λ) F {g(x)}. Fra de to ovenstående randbetingelser får vi, at U(λ,t) G(λ)cos(λt). (.4)

23 .5. DIFFERENTIALLIGNINGER 3 Sidste skridt er nu, at benytte den inverse transformation til at finde u(x,t), u(x,t) F {U(λ,t)} F {G(λ)cos(cλt)}. (.43) Ved at anvende Eulers relation, ligning (.9), samt ligning (.) får vi u(x,t) [g(x + ct) + g(x ct)], (.44) hvilket betyder, at løsningerne u(x,t) er vandrende bølger (travelling waves) der bevæger sig til højre og venstre med hastigheden c. Dette problem blev oprindeligt undersøgt af Jean le Rond d Alembert og senere af Leonhard Euler. Opgave.4. Udregn resultatet i ligning (.44) med udgangspunkt i ligning (.4) samt de skridt der beskrives i teksten.