Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13"

Transkript

1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende vil vi approksimere Laplace- og Poisson-ligningerne med en diskret udgave. For klarheds skyld holder vi os til to dimensioner, hvor Laplace-ligningen altså ser ud på følgende måde: 2 u = u xx + u yy = 0, mens Poisson-ligningen er den inhomogene pendant: 2 u = u xx + u yy = f(x, y). Vi minder om, at Laplace-ligningen kan tolkes som en tidsuafhængig udgave af såvel bølge- som varmeligningen, mens f et i Poisson-ligningen kan tolkes som et kildeled, eksempelvis som en modellering af en konstant varmekilde. I lektion kiggede vi på Eulers metode, hvor vi fandt en numerisk løsning til en eksplicit ODE af førsteorden ved at diskretisere den reelle akse. Hvis vi nu tilsvarende diskretiserer planen med {(x i, y j )} i,j, hvor x i = x 0 + ih og y j = y 0 + jh, altså samme skridtlængde i de to retninger, og bruger det, der kaldes den centrale andenordensdifferenskvotient i diskretiseringen af både u xx og u yy, så bliver diskretiseringen af Laplace-ligningen til eller blot 2 u(x i, y j ) u i+,j 2u i,j + u i,j h 2 mens Poisson-ligningen tilsvarende bliver til + u i,j+ 2u i,j + u i,j h 2 = u i+,j + u i,j + u i,j+ + u i,j 4u i,j h 2 = 0 u i+,j + u i,j + u i,j+ + u i,j 4u i,j = 0, (2) u i+,j + u i,j + u i,j+ + u i,j 4u i,j = h 2 f(x i, y j ). (3) ()

2 .2 Dirichlet-randbetingelser Hvis randen af den region, hvor vi ønsker at løse Laplace- eller Poisson-ligningen, er så pæn, at randen af vores maske kan arrangeres til at ligge på randen af den pågældende region, så kan vi inkludere Dirichlet-randbetingelser (faste værdier langs randen) i modellen blot ved at sætte u i,j = u(x i, y j ) for de par (x i, y j ) som ligger på randen. Vi illustrerer med et eksempel. Eksempel.. Vi har en 2 2 kvadratisk plade som langs øverste kant holdes på temperaturen 0 grader, mens de andre kanter holdes på 00 grader (spørg ikke, hvad der sker i hjørnerne det er alligevel ikke relevant i vores diskrete model). Vi er interesserede i den temperatur, pladen har, når der er gået tilpas lang tid, til at temperaturudvekslingen er i ligevægt. Dette modelleres altså med en tidsuafhængig varmeligning, også kendt som Laplace-ligningen. Vi vil løse ligningen numerisk, og skal derfor diskretisere, u i,j u(x i, y j ). Vi vælger h = 4 (en ret voldsom størrelse af en skridtlængde, som dog skal vise sig at give nogenlunde fornuftige resultater), et koordinatsystem, som følger pladens rand og har origo i nederste, venstre hjørne, og vælger masken givet ved x i = x 0 + ih og y j = y 0 + jh for x 0 = 0 og y 0 = 0. Vi kan nu benytte (2) til at opstille ligningssystemet. Det ses let, at regionen, som pladen dækker, diskretiseres til {(x i, y j )} 3 i,j=0, og da temperaturen er kendt på kanten (i = 0, 3, j = 0, 3), er der faktisk kun fire ubekendte: u, u 2, u 2 og u 22. Disse værdier kan nu findes vha. (2), idet vi får ligningssystemet: 4u + u 0 + u 0 + u 2 + u 2 = 0, 4u 2 + u + u 20 + u 3 + u 22 = 0, 4u 2 + u 02 + u + u 22 + u 3 = 0, 4u 22 + u 2 + u 2 + u 32 + u 23 = 0. Her er u 0 = u 0 = u 02 = u 20 = u 3 = u 32 = 00 mens u 3 = u 23 = 0 pga. randbetingelserne (bemærk, at hjørnerne ikke indgår i nogen af ligningerne), så hvis vi smider kendte størrelser over på højresiden og omrokerer, fås 4u + u 2 + u 2 = 200, u 4u 2 + u 22 = 200, u 4u 2 + u 22 = 00, u 2 + u 2 4u 22 = 00, altså fire ligninger med fire ubekendte, som nemt kan løses. Gøres dette, fås u = u 2 = 87.5 og u 2 = u 22 = 62.5, hvilket er omkring % fra den eksakte løsning: u(x, y ) = u(x 2, y ) = 88. og u(x, y 2 ) = u(x 2, y 2 ) = 6.9. Vi bemærker, at sidste ligningssystem også kan skrive på formen Au = b, hvor ( ) ( ) ( ) B I2 4 A = med B = og I B 4 2 =, I 2 mens u = ( u u 2 ) hvor u i = ( u i ) u i2 2

3 og b repræsenterer randbetingelserne. Hvis vi i stedet for at lade h = 4 = 2, hvor vi endte med 3 en (3 ) 2 (3 ) 2 -matrix A (antallet af indre punkter er (3 ) 2 ) og to (3 ) (3 )-matricer B og I 3 = I 2, havde valgt h = 2, så havde vi fået en (n n )2 (n ) 2 -matrix A på formen B I n 4 I n B I n 4 A =..., hvor B =... I n B I n 4 B 4 I n er en (n ) (n )-matrix. Med andre ord ville vi med en fin inddeling (eller et lille h) hurtigt ende med en stor matrix med en masse 0-indgange. Bliver n tilstrækkeligt stor, bliver det umuligt at invertere A på en computer, og vi må ty til andre metoder. Næste sektion beskriver en iterativ metode til numerisk løsning af sådanne inverteringsproblemer..3 Gauss-Seidel-iterationsmetoden Den såkaldte Gauss-Seidel-iterationsmetode er en metode til numerisk løsning af lineære ligningsystemer med samme antal ligninger som ubekendte. Vi vil illustrere metoden på ligningssystemet 4u + u 2 + u 2 = 200, u 4u 2 + u 22 = 200, u 4u 2 + u 22 = 00, u 2 + u 2 4u 22 = 00 fra forrige sektion. Vi bemærker, at ligningssystemet også kan skrives som Au = b med alle diagonalelementer i A forskellige fra nul (i dette konkrete tilfælde er de alle 4), hvilket er vigtigt for denne metode. Først omskriver vi systemet til u 4 u 2 4 u 2 = 50, 4 u + u 2 4 u 22 = 50, 4 u + u 2 4 u 22 = 25, 4 u 2 4 u 2 + u 22 = 25, ved at dividere hver række med diagonalelementets værdi, således at systemet nu er på formen A u = b hvor diagonalelementerne i A er. Herefter omskrives til formen u = u , u 2 = u 4 + u , u 2 = 4 u + 4 u , u 22 = 4 u u

4 Nu gættes på løsninger u (0), u (0) 2, u (0) 2 og u (0) 22, eksempelvis u (0) = u (0) 2 = u (0) 2 = u (0) iterationen fra u (n) ij til u (n+) ij er nu som følger: u (n+) = 4 u(n) u(n) , u (n+) 2 = 4 u(n+) + 4 u(n) , u (n+) 2 = 4 u(n+) + 4 u(n) , u (n+) 22 = 4 u(n+) u(n+) , 22 = 00, og hvor vi bemærker, at så snart en værdi er opdateret i linjen ovenover, skal den nye værdi benyttes i den efterfølgende linje, således at værdier over diagonalen er gamle, mens værdier under diagonalen er nye. Med valget u (0) = u (0) 2 = u (0) 2 = u (0) 22 = 00 giver de første iterationer n u (n) u (n) 2 u (n) 2 u (n) og resultaterne konvergerer altså mod de rigtige løsninger u = u 2 = 87.5, u 2 = u 22 = Vi opsummerer metoden i mere formel form. Først skrives ligningssystemet Au = b om til A u = b, hvor diagonalen i A er lutter ere ved at dividere hver række i Au = b med den oprindelige (ikke-nul) værdi af diagonalelementet. Herefter skrives A = I + N + O, hvor I er identitetsmatricen, Mens N er en nedre triangulærmatrix og O er en øvre triangulærmatrix. Ligningssystemet kan nu skrives u = b Nu Ou. Der gættes på en løsning u (0) og iterationen er u (n+) = b Nu (n+) Ou (n), som under visse betingelser, som er opfyldt i ovenstående eksempel, konvergerer mod løsningen u..4 Neumann- og blandede randbetingelser Vi har set, hvordan man kan diskretisere Laplace- og Poisson-ligningen på en pæn region med Dirichlet-randbetingelser, og vi vil nu se, hvordan man diskretiserer i tilfældet med Neumanneller blandede randbetingelser. Vi genkalder os, at Neumann-randbetingelser er randbetingelser, hvor den ydre normal-afledede u har en bestemt (stedafhængig) værdi på randen, og i den tidsuafhængige varmeligning eksempelvis svarer til en isoleret rand hvis denne værdi er konstant lig n 0. Vi illustrerer metoden for blandede randbetingelser med et eksempel. 4

5 Eksempel.2. Vi betragter Poissonligningen 2 u = u xx + u yy = f(x, y) = 2xy på regionen R = [0,.5] [0, ] med de blandede randbetingelser u 0 på L = [0,.5] {0}, u(x, y) = 3y 3 på L 2 = {.5} [0,.0], u(x, y) = 6x på L n 3 = [0,.5] {.0} og igen u 0 på L 4 = {0} [0,.0]. Vi ønsker at løse ligningen numerisk, og diskretiserer problemet vha. (3) med h = 0.5. Vi skal altså finde {u ij } i=3,j=2 i,j=0, så u ij u(x i, y j ) med x i = ih og y j = jh. Randbetingelserne på L og L 4 giver u i0 = u 0j = 0 for i = 0,, 2, 3, j = 0,, 2 u 3 = 0.375, u 32 = 3, u 2 n = u 2 = = 3, u 22 n = u 22 = 6 = 6. Vi har altså værdier for alle punkter undtagen u 2 og u 22, hvor vi har partielt afledede, samt u og u 2, hvor vi kan bruge samme metode som før: 4u + u 2 + u 2 = h 2 f(x, y ) u 0 = 0.75, u 4u 2 + u 22 = h 2 f(x 2, y ) u 3 =.25. (4) Problemet er naturligvis, at punkterne u 2 og u 22, som vi kun kender de afledede af, også indgår. Vi løser dette problem ved at tilføje to kunstige punkter u 3 og u 23 udenfor regionen R, som vi antager også opfylder Poisson-ligningen og skriver i første omgang u 4u 2 + u 22 + u 3 = h 2 f(x, y 2 ) u 02 =.5, u 2 + u 2 4u 22 + u 23 = h 2 f(x 2, y 2 ) u 32 = 0. (5) For at slippe af med de kunstige punkter u 3 og u 23 benytter vi nu den centrale differenskvotient, som approksimerer u, og får 3 = u 2 u 3 u 2h = u 3 u og 6 = u 22 u 23 u 2 2h = u 23 u 2, og da u ij erne i forvejen er approksimationer, kan vi tillade os at sætte sættes disse udtryk ind i (5), fås u 3 = u + 3 og u 23 = u u 4u 2 + u 22 = h 2 f(x, y 2 ) u 02 3 =.5, 2u 2 + u 2 4u 22 = h 2 f(x 2, y 2 ) u 32 6 = 6. (6) Vi står nu med fire lineære ligninger (4) og (6), med fire ubekendte u, u 2, u 2 og u 22, som vi kan løse med en valgfri metode. Som en service bringer vi her resultatet (u ij erne), samt den eksakte værdi (u(x i, y j ) erne): u = 0.077, u(x, y ) = 0.25, u 2 = 0.9, u(x 2, y ) = 0.25, u 2 = 0.866, u(x, y 2 ) =, u 22 =.82, u(x 2, y 2 ) = 2, som vel kan siges at være en rimelig approksimation med den ret grove maske. 5

6 .5 Irregulær rand Indtil videre har randen været gevaldig pæn, så pæn, at maskens rand flugtede med regionens. Dette er naturligvis ikke altid muligt. Vi vil nu vise, hvordan man håndterer denne situation. Antag, at (x i, y j ) er et maskepunkt indenfor regionen R, som ligger så tæt på randen, at ét eller flere af nabopunkterne (x i, y j ) = (x i h, y j ), (x i+, y j ) = (x i + h, y j ), (x i, y j ) = (x i, y j h) og (x i, y j+ ) = (x i, y j +h) ligger udenfor R. Vælg 0 < a, b, p, q så de fire punkter u P = (x i ph, y j ), u A = (x i + ah, y j ), u Q = (x i, y j qh) og u B = (x i, y j + bh) hver især enten er et randpunkt eller et af de førnævnte maskepunkter, som ligger indenfor R. Med andre ord rykker vi om nødvendigt nabopunkterne lige præcis så langt ind mod (x i, y j ), at de alle fire ligger i R. Justerer vi de to centrale andenordensdifferenskvotienter i forhold til disse punkter, får man i stedet for () approksimationen 2 u(x i, y j ) 2 h 2 ( ua a(a + p) + u B b(b + q) + u P p(p + a) + u ) Q ap + bq q(q + b) abpq u ij (det bemærkes, at hvis a = b = p = q =, så reducerer udtrykket til højresiden i ()). Problemer med irregulær rand kan nu løses som før, blot med () erstattet af (7) nær problematiske randpunkter. Vi vil nu se på et eksempel. Eksempel.3. Vi ser på Laplace-ligningen på regionen R = {(x, y) R 2 0 x 8, 0 y 9, x 2 + y }, med Dirichlet-randbetingelserne u(x, y) = x 3 på nederste kant, u(x, y) = 52 24y 2 på højre kant, u(x, y) = 4x 3 300x på den runde del af kanten, u(x, y) = x 3 243x og u 0 på venstre kant. Vi vælger h = 3 og x 0 = y 0 = 0. Dette giver en maske med punkter indenfor regionen, men her er de 7 allerede kendte blot ud fra randbetingelserne. De ukendte værdier er u, u 2, u 2 og u 22. For u og u 2 sættes a = b = p = q =, for u 2 sættes a = 2 3 og b = p = q =, og for u 22 sættes a = b = 2 3. Det betyder, at omkring u 2 er u A = 296, og omkring u 22 er u A = 352 og u B = 936. Indsættes også de andre u ij er, som er kendte fra randbetingelserne, samt koefficienterne fra (7), fås følgende ligningssystem: 4u + u 2 + u 2 = 0 27 = 27, 0.6u 2.5u u 22 = = 374.4, u 4u 2 + u 22 = = 702, 0.6u u 2 3u 22 = = 59.2, som nemt kan løses. Igen er der god service, og u ij samt den eksakte værdi u(x i, y j ) (idet løsningen er u(x, y) = x 3 3xy 2 ) serveres her: u = 55.6, u(x, y ) = 54, u 2 = 49.2, u(x 2, y ) = 54, u 2 = 298.5, u(x, y 2 ) = 297, u 22 = 436.3, u(x 2, y 2 ) = 432, altså en ret imponerende præcision, den grove maske taget i betragtning. En meget bedre løsning fås naturligvis ved at vælge h meget mindre, og eventuelle problemer med at løse det tilhørende ligningssystem kan afhjælpes vha. eksempelvis Gauss-Seidel-iteration. Da Laplace-ligningen er homogen, kan vi se bort fra den konstante faktor 2 h 2. Dette gælder ikke, hvis vi arbejder med Poisson-ligningen. 6 (7)

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 14

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 14 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 3 november 6 Numeriske metoder til løsning af differentialligninger Bevarelseslove I det følgende vil vi skrive p for et punkt

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder. Metoder Matematisk modellering numeriske metoder Metoder Morten Grud Rasmussen 29. december 2015 Indhold 1 Analytiske metoder 3 1.1 Metoder til ODE er af første orden............................ 3 1.1.1 Separation

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer Lineære ligningssystemer Olav Geil Januar 000 Eksempel 1 Ligningssystemet 1) kan også skrives Matricen kaldes for koefficientmatricen for ligningssystemet 1) Ligningssystemet 1) er fuldstændig beskrevet

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 14. september 016 1 Numerisk analyse 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse om at bringe matematiske problemer på

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Eksempelsamling

Matematisk modellering og numeriske metoder. Eksempelsamling Matematisk modellering og numeriske metoder Eksempelsamling Morten Grud Rasmussen 2. december 206 Indhold Analytiske metoder 3. Metoder til ODE er af første orden............................ 3.. Separation

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Opsætning af vandtransportmodel

Opsætning af vandtransportmodel Opsætning af vandtransportmodel I dette afsnit beskrives grundlæggende teori og anvendt metode til modellering af den 2- dimensionelle vandtransport i sandkassen i Del 2. Vandtransporten modelleres ved

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Hans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder. Resumé

Hans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder. Resumé Hans Harhoff Andersen 20072394 25. juni 2010 Projekt i numeriske metoder Resumé Ved hjælp af en finite difference approksimation og dertilhørende diskretisering af akserne konstrueres matricer for Schrödingerligningen.

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede

Læs mere

Dokumentation - Del 2 - Måling og modellering af vand- og stoftransport i grundvandsstrømninger

Dokumentation - Del 2 - Måling og modellering af vand- og stoftransport i grundvandsstrømninger Dokumentation - Del 2 - Måling og modellering af vand- og stoftransport i grundvandsstrømninger Opsætning af vandtransportmodel I dette afsnit beskrives grundlæggende teori og anvendt metode til modellering

Læs mere

Konstruktion af Splines

Konstruktion af Splines Konstruktion af Splines Svend Daugaard Pedersen 29 maj 2011 Indhold 1 Hvad er en spline? 1 2 Matematisk behandling af en spline 1 3 Den naturlige spline 2 4 Andre splines 4 5 Tilpasset spline 4 6 Afslutning

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen

Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Modeller af befolkningsudvikling Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Af Mikkel Rønne, Brøndby Gymnasium Forord. Data er udtrukket fra Danmarks Statistiks interaktive

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Numerisk. differentiation. Erik Vestergaard

Numerisk. differentiation. Erik Vestergaard Numerisk differentiation Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 25. Billeder: Forside: istock.com/iunewind Side 5: istock.com/cienpies Desuden egne illustrationer Erik

Læs mere

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Arealer som summer Numerisk integration

Arealer som summer Numerisk integration Arealer som summer Numerisk integration http://www.zweigmedia2.com/realworld/integral/numint.html Her kan ses formlerne, som er implementeret nedenfor med en effektiv kode. Antag, at funktionen er positiv,

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm.

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm. Institut for Matematiske Fag Plan Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser Helle Sørensen Eftermiddagen vil være bygget om 3 4 eksempler: A. B. Random

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Varmeligningen og cosinuspolynomier.

Varmeligningen og cosinuspolynomier. Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Nummeriske Metoder. 1 Indledning. 2 Davidson metoden. Bo Thomsen, juni 2009

Nummeriske Metoder. 1 Indledning. 2 Davidson metoden. Bo Thomsen, juni 2009 Nummeriske Metoder Bo Thomsen, 20050885 25. juni 2009 1 Indledning I denne opgave søges løsninger på et relativt stort egenværdiproblem. I mit tilfælde er dette fremkommet ved at konstruere hamilton matricen

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

GPS og geometri - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære ligninger. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007

GPS og geometri - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære ligninger. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007 GPS og geometri - lineære og ikke-lineære ligninger Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007 1 Baggrund GPS (Global Positioining System) er et system, der ved hjælp af 24 satellitter i kredsløb om jorden,

Læs mere

Note om interior point metoder

Note om interior point metoder MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 5 udgave 05 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Noter til elementær numerisk regning

Noter til elementær numerisk regning Noter til elementær numerisk regning Dieter Britz Kemisk Institut, Aarhus Universitet 19 juli 2010 Foreord Dette hæfte er vokset fra noter oprindeligt skrevet af forskellige forfattere til kurset DatA,

Læs mere

Differensligninger og populationsstørrelser

Differensligninger og populationsstørrelser Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 22, 2015 Printed: October 22, 2015 File: differensligninger-slides.tex

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Seriediagrammer - Guide til konstruktion i LibreOffice Calc

Seriediagrammer - Guide til konstruktion i LibreOffice Calc Seriediagrammer - Guide til konstruktion i LibreOffice Calc På forbedringsvejlederuddannelsen anvender vi seriediagrammer til at skelne mellem tilfældig og ikketilfældig variation. Med et seriediagram

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Lektion 1 Grundliggende regning

Lektion 1 Grundliggende regning Lektion 1 Grundliggende regning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine... Talsystemets opbygning - afrunding af tal... Store tal og negative tal...

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere