qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå"

Transkript

1 qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd egenskaber. Henrik S. Hansen, Sct. Knus Gymnasium fghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasdfghj klæøzxcvbnmqwertyuiopåasdfghjklæ Udgave 5. øzxcvbnmqwertyuiopåasdfghjklæøzx cvbnmqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvb Opgaver til noterne kan hentes her. PDF nmqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnm Facit til opgaverne kan hentes her. PDF qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd fghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasdfghj klæøzxcvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcv

2 Indhold Polynomier... 1 Den rette linje (førstegradspolynomium)... 1 Sætning: En linjes ligning ud fra et punkt og hældning Skæring mellem linjer... Ligningssystemer... 4 Substitutionsmetoden... 4 Lige store koefficienters metode... 4 Parabel (Andengradspolynomie)... 6 Sætning: Løsning af andengradsligning Toppunkt i parablen... 9 Sætning: Toppunkt for et andengradspolynomie... 9 Sætning: Symmetri omkring toppunktet Sætning: Opløsning i faktorer Nulreglen... 1 Regel: Nulreglen... 1 Polynomier af højere grad Sætning: Antal rødder i et n te-gradspolynomie Polynomiers division... 14

3 Polynomier Et polynomium er en funktion, hvis forskrift følger en bestemt "model". I forskriften indgår en række tal, også kaldet parametre, som er "faste" / konstante. Det er disse parametre som éntydigt beskriver polynomiet. Forskriften for et polynomium er en sum af led, som alle består af et tal ganget med x opløftet til en heltals potens. Typisk er leddene sorteret efter faldende potens af: f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n x n + + a x + a 1 x + a 0, og a n 0 bemærk at x 1 = x og x 0 = 1 medfører, at de to sidste led kan skrives lidt enklere end de øvrige i rækken. Konstanterne an, an 1, an osv., til og med a1 kaldes for koefficienter, mens a0 omtales som konstantleddet. Polynomiet benævnes efter den højeste potens, derfor skal a n 0. De andre konstanter kan være alle andre reelletal. Eksempelvis: f(x) = x 5 4x 3 + πx x.4 er et 5 te grads polynomie og konstanterne er, 0, -4, π, 3 5 og.4 Den rette linje (førstegradspolynomium) Definition Et førstegradspolynomium f er en funktion af formen f(x) = ax + b, hvor a og b er koefficienter (konstanter) og hvor a 0. Dm(f) = R. I noterne om sammenhænge kiggede vi på en ret linje y = ax + b, som kunne bestemmes udfra to punkter. Sætning: En linjes ligning ud fra et punkt og hældning. En ret linje, der har hældningen a og går gennem et punkt (x 0, y 0 ) har ligningen y = a(x x 0 ) + y 0 eller f(x) = a(x x 0 ) + f(x 0 )når punktet er (x 0, f(x o )) Bevis: (video) Vi ved der gælder at a = y y 1 x x 1 når to punkter er kendt. Lad nu a være kendt og (x, y ) være et tilfældigt punkt på linjen f(x) = a x + b, og kald det (x, y). Lad endvidere (x 1, y 1 ) være det kendte punkt og kald det (x 0, y 0 ) i stedet. Nu har vi a = y y 0 x x 0 Hermed bevist a(x x 0 ) = y y 0 a(x x 0 ) + y 0 = y 1

4 Eksempelvis: En linje f går gennem punktet (,3) og har en hældning på 5. Bestem linjens ligning f(x) = 5(x ) + 3 = 5x = 5x 7 Skæring mellem linjer Placerer vi to rette linjer (som ikke er lodrette) i et almindeligt koordinatsystem, så vil de altid gøre én af følgende tre ting 1. Hvis hældningskoefficienterne er ens, men skæring med andenaksen forskellig, så er linjerne parallelle. (graf 1). Hvis hældningskoefficienterne er ens og skæring med andenaksen er ens, så er linjerne sammenfaldende (de er også parallelle). (graf ) 3. Hvis hældningskoefficienterne er forskellige, så er linjerne ikke parallelle, og der vil (uanset skæring med andenaksen) være et skæringspunkt mellem linjerne. (graf 3) y 10 y 10 f(x)=ax+b f(x)=ax+b y 10 g(x)=cx+d 8 6 f(x)=ax+b 4 g(x)=cx+d g(x)=cx+d x x x Vi tager i det efterfølgende udgangspunkt i situation 3, altså at der er ét skæringspunkt. y f(x) For at bestemme skæringspunktet, så skal vi først have en forståelse for, at der i skæringspunktet gælder, at de to funktioner har samme værdi altså at f(x) = g(x). Vi kan se på grafen til højre at der i skæringspunktet mellem de to linjer må gælde at funktionsværdierne er lige store. (video) x0 f(x0) = g(x0) x g(x)

5 I praksis kan vi gøre det på følgende måde 1. For at bestemme x-værdien til punktet løses f(x) = g(x) Dette giver os nu vores første koordinat til punktet.. For at bestemme y-værdien til punktet indsættes den fundne første koordinat i en af de til forskrifter og resultatet af dette er vores andenkoordinat. I Nspire kan det se således ud. Vi kan selvfølgelig også anskue det grafisk, og her benytte vores CAS-værktøj til at finde skæringspunktet direkte. (skæringspunktet kommer først efter vi har angivet nedre og øvre grænse for skæringspunktet, vi skal altså fortælle Nspire i hvilket interval at punktet er). Vi indtaster de to funktioner, og vælger at undersøge grafer. Så vælges skæringspunkt. Herefter skal vi angive den nedre og den øvre grænse for intervallet hvor i skæringspunktet er. Det er altid en god ide at benytte først den analytiske fremgangsmetode og derefter underbygge facit ved en grafisk fremstilling. 3

6 Ligningssystemer Det er forholdsvis nemt at håndtere skæringspunkter mellem to pæne lineære sammenhænge som i ovenstående, men hvad nu hvis den lineære sammenhæng ser således ud: Linjen n er givet y = x 4 Linjen m er givet ved 3y 3x = 4 Hvad er skæringen mellem disse linjer/ligninger? Hertil kan vi benytte to metoder til at løse sådanne ligningssystemer. Substitutionsmetoden Isolér den ene ubekendte i den ene ligning. Indsæt resultatet i den anden ligning. Herved har man en ligning med én ubekendt som derfor kan løses med sædvanlige metoder. Indsæt det fundne resultat i den første ligning og bestem den anden ubekendte. I vores eksempel kunne det se således ud: Linjen n er givet y = x 4 (1) Linjen m er givet ved 3y 3x = 4 x = y 8 () Nu fås andenkoordinaten til punktet ved at indsætte () i (1): y = ( y 8) 4 = y 0 y = 5 (3) Nu bestemmes første koordinaten til punktet ved at indsætte (3) i (): x = ( 5) 8 = 5 8 = 3 Samlet fås skæringen til (-3,-5) Lige store koefficienters metode Forlæng den ene ligning (og evt. også den anden) med en passende faktor, så koefficienten til enten x eller y er ens i de to ligninger. Addér eller subtrahér herefter ligningerne. Herved har man en ligning med én ubekendt som derfor kan løses med sædvanlige metoder. Indsæt det fundne resultat i den første ligning og bestem den anden ubekendte. I vores eksempel kunne det se således ud: Linjen n er givet y = x 4 (1) Denne (1) forlænges med -3: 6 y = 6 x + 1 () Linjen m er givet ved 3 y 3 x = 4 (3) Denne (3) forlænges med : 6 y 6 x = 48 6 y = 6 x + 48 (4) 4

7 Nu trækkes (4) fra () 6 y = 6 x y = 6 x = 1 x 36 Nu bestemmes hvilken x værdi der opfylder udtrykket Løsningen er x = 3 Nu indsættes denne løsning i (1) eller (3) og derefter bestemmes y Dette giver y = ( 3) 4 y = 5 Samlet fås skæringen til (-3,-5) Som afrunding på ligningssystemer kan der nævnes, at der frit kan vælges om der benyttes substitution eller lige store koefficienter. I TI Nspire kan ligningssystemerne løses således solve( y = x 4 and 3 y 3 x = 4, {x, y}) Vi kan også isolere y i begge ligninger og løse det grafisk som vist under skæringspunkter. 5

8 Parabel (Andengradspolynomie) Definition Et andengradspolynomium f er en funktion af formen f(x) = ax + bx + c, hvor a, b og c er koefficienter (konstanter) og hvor a 0. Dm(f) = R. Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel, og konstanterne a, b og c kan fortælle følgende: a) Hvis a > 0 vender grenene opad (glad) y f(x)=x^-3x+4 10 Hvis a < 0 vender grenene nedad (sur) Vi kan vise det ved at lade x ±. Da vil ledet med x 9 8 blive det dominerende led (de andre vil blive ubetydelig 7 små i forhold til). Da ledet er i anden, er det kun a som er 6 afgørende for om funktionsværdien er positiv eller 5 (0,4) 4 negativ. På tegningen ses en glad parabel da > 0 b) Konstanten b angiver hældningen i punktet (0, f(0)). Dette svarer til at fjerne ax -leddet og så tegne den rette linje som fremkommer og lade denne være en tangent til parablen. Kan vises ved at differentiere parablen, og så indsætte x = 0 for at finde væksthastigheden i dette punkt. (ax + bx + c) = x + b hvilket så giver a 0 + b = b. Ses på grafen som tangenten (den grønne linje). Hældningen på den rette linje y = 3x + 4 (tangenten) og er b = 3. c) Konstanten c angiver parablens skæring med y-aksen. Vises ved at indsætte x = 0, hvilket giver a 0 + b 0 + c = c Jo større a bliver jo mere spids bliver grafen. Se side 18 i B1 bogen for eksempel. Ses på grafen som andenkoordinaten til skæringspunktet med andenaksen, altså c = 4 Eks: I f(x) = x + 3x kan vi aflæse at parablen er sur, så grenene vender nedad da a =. Grafen skærer andenaksen i y =, da c =. I dette skæringspunkt er grafen voksende/stigende da b = y=-3x+4 x 6

9 I forbindelse med ligningsløsning kan det være praktisk at kende til løsning af andengradsligning. Generelt kan en andengradsligning skrives på formen ax + bx + c = 0 hvor a 0. Løsningerne til denne ligning er de eventuelle x-værdier, som indsat i andengradspolynomiet giver 0. Grafisk finder vi funktionens skæring med førsteaksen. f(x) g(x) h(x) y x Sætning: Løsning af andengradsligning. Løsning af andengradsligningen ax + bx + c = 0 hvor a 0. Diskriminanten d = b 4ac udregnes Hvis d < 0 Hvis d = 0 Hvis d > 0 Bevis: (video) ax + bx + c = 0 x = b x = b± d Ingen løsning én løsning to løsninger 4a x + 4abx + 4ac = 0 4a x + 4abx + 4ac + b 4ac = b 4ac Her ganges 4a på fordi det er smart Her lægges b 4ac til på begge sider 4a x + 4abx + b = d 4a x + b + 4abx = d (x + b) = d x + b = ± d x = b ± d x = b± d Nu tager vi udgangspunkt i at d < 0. Da vi ikke kan tage kvadratroden af negative tal, når vi befinder os i de reelle tal, eller da der ikke findes noget reelt tal, som ganget med sig selv giver et negativt resultat, så er der ingen løsning. 7

10 Nu tager vi udgangspunkt i d = 0 Så har vi at: x = b Nu tager vi udgangspunkt i d > 0 x = b± d Hermed bevist Disse løsninger kaldes også for rødder eller nulpunkter. Definition Ved en rod eller et nulpunkt for en funktion forstås en x-værdi for et skæringspunkt mellem grafen og x-aksen. Eksempelvis: Løs 3x 3x + 6 = 0 Først bestemmes diskriminanten d = ( 3) 4 ( 3) 6 = 81 Der er altså to løsninger som er givet ved x1 = x1 = ( 3) + 81 ( 3) ( 3) 81 ( 3) = = 1 6 = = Løsningerne til ligningen er altså fundet til = 6 6 = 1 x = eller x = 1. Grafisk kan vi se løsningen til højre I Nspire kan det løses ved kommandoen: solve( 3x 3x + 6 = 0, x) Grafisk kan vi gøre det ved at undersøge grafen for nulpunkter og angive nedre og øvre grænse for hvert punkt. 8

11 Toppunkt i parablen Grafen for et andengradspolynomie kaldes for en parabel, og har den klassiske facon som tidligere vist. Der er intet hårdt knæk på kurven. Definition: Lad f være et andengradspolynomie. Punktet T p = (h, k) kaldes parablens toppunkt. Anden koordinaten k er bestemt ved, at f(x) = k kun har én løsning (se graf). Denne løsning kaldes h, og er førstekoordinat til T p y f(x) = x^-4x x y = -4-4 (h,k) = (,4) -6-8 Sætning: Toppunkt for et andengradspolynomie Toppunktet for et andengradspolynomie f(x) = ax + bx + c, hvor a 0. T p = ( b, d ) 4a hvor d = b 4ac er polynomiets diskriminant Bevis: (video) Lad os først opskrive toppunktets koordinat som T p = (h, k). Så vil der jf. definitionen gælde at f(x) = k ax + bx + c = k ax + bx + c k = 0 Definitionen angiver, at der kun er en løsning, altså er d = 0 Dermed får vi d = b 4a(c k) = 0 b 4ac + 4ak = 0 d + 4ak = 0 k = d Nu har vi bevist andenkoordinaten til toppunktet er T p = (h, k) = (h, d 4a ) Da definitionen giver at der kun er én løsning, så må løsningen være h = b. T p = (h, k) = ( b, d 4a ) Hermed bevist 4a 9

12 Når vi senere kender til differentialeregning, kan beviset gøres lettere /anderledes. Vi har at f(x) = ax + bx + c, og vi ved at væksthastigheden i toppunktet er 0. Dermed må f (x) = 0 i toppunktet. Først opstiller vi den afledte funktion til f(x): f (x) = a x + b Så løser vi f (x) = 0 a x + b = 0 a x = b x = b Hermed er første koordinaten til toppunktet fundet. Nu kan vi finde anden koordinaten til toppunktet ved: f ( b ) = a ( b ) + b ( b b b ) + c = a ( 4a) ab + c = 4a b b + c = 4a b + c = b 4a b 4a + 4ac 4a = b b + 4ac = b + 4ac = (b 4ac) = d 4a 4a 4a 4a Så er anden koordinaten bestemt og vi har nu et udtryk for toppunktet T p ( b, d 4a ). Hermed bevist Eksempelvis Bestem toppunktet til f(x) = x + x 8 Hertil benytter vi blot formlen Tp = ( b, d ) = (, 4 1 ( 8) ) = ( 1, 36 ) = 4a ( 1, 9) Altså er toppunktet fundet til Tp = ( 1, 9) 9

13 Sætning: Symmetri omkring toppunktet Grafen for andengradspolynomiet f er symmetrisk omkring den lodrette linje x = h, hvor h = b, dvs. den lodrette linie gennem toppunktet. Bevis: (video) Hvis sætningen passer, så må funktionsværdien til toppunktets førstekoordinat ±t give den samme værdi. f(x) y Vi skal altså blot vise at f(h t) = f(h + t) (h,k) 4 a(h t) + b(h t) + c = a(h + t) + b(h + t) + c t t h-t x = h h+t - x a(h + t ht) + bh bt + c = a(h + t + ht) + bh + bt + c ah + at ht + bh bt + c = ah + at + ht + bh + bt + c ht bt = ht + bt b bt b t bt = t + bt bt bt = + bt bt bt = bt + bt 0 = 0 Hermed bevist 10

14 Sætning: Opløsning i faktorer Et andengradspolynomie hvor d 0 og med rødderne r 1 og r kan omskrives således ax + bx + c = a(x r 1 )(x r ) Hvis d = 0 så bliver r 1 = r. Polynomiet siges at have en dobbeltrod. Bevis: (video) Vi antager at d 0. Vi ved da ifølge sætningen om løsning af en andengradsligning har, at den generelle løsning er x = b± d. Dette giver os to rødder r 1 = b+ d Vi skal så blot vise at a(x r 1 )(x r ) = ax + bx + c a(x r 1 )(x r ) = a (x b+ d b d ) (x ) = a (x x b d = a (x x ( b+ d + b d ) + ( b) d 4a ) = a (x x ( b+ d b d og r = b d. x b+ d ) + b d 4a ) = a (x x ( b ) + b (b 4ac) ) = a (x x ( b ) + 4ac 4a a 4a ) = a (x + b x + c ) a a = ax + ba a x + ca a = ax + bx + c Hermed bevist + b+ d b d ) Eksempelvis Faktoriser følgende andengradspolynomie f(x) = x + 5x + 6 Først finder jeg diskriminanten d = = 1 Rødderne bliver x = 5± 1 1 = { 3 Hermed kan jeg skrive polynomiet som f(x) = 1(x + )(x + 3) I Nspire kan der factoriseres ved kommandoen factor Eks. factor(x + 10x + 1) = (x + 3)(x + ) 11

15 Nulreglen I kobling til ovenstående, så vil en andengradsligning kunne omskrives til formen ax + bx + c = a(x r 1 )(x r ) hvor rødderne er indsat i de to faktorer. Hvis den ene faktor giver nul, så vil andengradspolynomiet give nul (det samme som at sige at andengradspolynomiet har en rod/rødder ). Mere generelt gælder der at Regel: Nulreglen Et produkt er nul, hvis og kun hvis en af faktorerne er nul. Dette er i god tråd med den måde hvorpå et andengradspolynomium kan omskrives i forhold til sine nulpunkter. Her vil der gælde at a(x r 1 )(x r ) = 0 når rødderne indsættes enkeltvis. Eksempelvis Løs x + 8x = 0 Her kan jeg omskrive til x(x + 8) = 0 Løsningen er så x = 0 eller x = 8 1

16 Polynomier af højere grad Sætning: Antal rødder i et n te-gradspolynomie Et polynomium af n te grad, har maksimalt n reelle antal rødder. Et polynomium af ulige n te grad har minimum én rod. Bevis Beviset springes over her, men anskueliggøres ved nedenstående graf. På grafen gælder der at: f(x) er et førstegradspolynomium g(x) er et andengradspolynomium h(x) er et tredjegradspolynomium i(x) er et fjerdegradspolynomium Det ses at polynomier af lige grad har de deres yderste grene pegende samme vej (op eller ned) Det ses også at polynomier af ulige grad har deres yderste grene pegende hver sin vej (en op og en ned) g(x) f(x) y i(x) h(x) x Et lommebevis kunne være: Vi lader et polynomium p(x) have graden n. Hvis p(x) samtidig har f.eks. n+1 rødder, vil det kunne skrives som et produkt af n+1 parenteser af formen (x - r). Hvis parenteserne derefter ganges ud, vil det nødvendigvis give et led indeholdende en faktor x n+1, som ville gøre p(x) til et (n+1) tegradspolynomium - dette er ikke muligt, da vi allerede har defineret p(x) som værende et n tegradspolynomium. 13

17 Polynomiers division Hvis et polynomium opløses i faktorer kan dette være en metode til at bestemme eventuelle rødder i polynomiet. Det kan gøres i TII, men også manuelt. Ved n = 1 og n = har vi løsningsformler, men ved n > begynder det at knibe. (video) Der gælder, at såfremt et tal a er rod i polynomiet kan dette opløses i faktorer, hvor (x a) vil være en af faktorerne jf. sætningen om løsning af en andengradsligning. I praksis starter man med at gætte en rod. Øvrige faktorer kan bestemmes ved polynomiers division, som følgende eksempel viser: Givet følgende 3.gradspolynomium: f(x) = x 3 4x 10x + 1 Ved indsættelse af x = 1 fås f(1) = = 0, altså er 1 rod i polynomiet. (Vi har gættet en rod, og eftervist den) For at opløse f(x) i faktorer (og derigennem finde resterende rødder) foretages følgende division: 3 ( x 4 x x 3 x x x 10 x 1 ) 10 x x 1x 1 1 x 1 : ( x 1) x x 1 Lidt forklaring: Vi starter med at spørge os selv, hvad skal x (fra x-1) ganges med for at få x 3. Dette er her x. Dette skrives i resultatet. Nu ganges divisoren med det fundne x. Dette giver x 3 x. Nu trækkes ens potenser fra hinanden. Så startes der forfra. 0 Denne division giver 0 til rest så divisionen er gået op, så heraf fås: f(x) = x 3 4x 10x + 1 = (x 1)(x x 1) Ligningen f(x) = 0 løses da ved anvendelse af nulreglen: (x 1) = 0 giver at x = 1 x x 1 = 0 giver x = eller x = 3 Polynomiet f(x) har altså rødderne 1, og 3, og kan skrives som f(x) = (x 1)(x + )(x 3) Polynomiers division kan altså benyttes som et redskab til at faktorisere højere grads polynomier. Igennem denne faktorisering kan eventuelle rødder findes. 14

18 Men polynomiers division kan også anvendes uden henblik på at finde rødder, og det er ikke altid at divisionen går op. Giver divisionen en rest, så vil denne rest divisoren være det sidste led i resultatet. x 7x Eks. vil f ( x) x. Prøv at eftervise det. x 6 x 6 I Nspire kunne det gøres ved 15

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. IX Funktioner Side 1

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. IX Funktioner Side 1 Side 1 Funktion Opgaverne med svar starter på side 2, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 3 med et s foran nummeret. 1001 Figuren viser grafen

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

GRUND. Mathematicus. Mike Vandal Auerbach FORLØB.

GRUND. Mathematicus. Mike Vandal Auerbach FORLØB. Mathematicus GRUND FORLØB y x Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus Grundforløb. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Algekoncentrationen målt i mio. pr. L betegnes med A. Tiden måles i antal timer fra start og angives med t.

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj- juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

A U E R B A C H. c h A H

A U E R B A C H. c h A H M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik C Lærer(e) LSP ( Liselotte Strange-Pedersen

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Matematik B STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler

Matematik B STX 18. maj 2017 Vejledende løsning  De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik B, STX 18 maj Matematik B, STX 23 maj Matematik B, STX 15 august

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Ann Risvang

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 16/17 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Haderslev Handelsskole hhx Matematik B Mette

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere